Нехай тепер X є r – образ опуклої підмножини Q локально опуклого лінійного простору, і нехай f: Q>X є r – відображення з правим оберненим g: X>Q. Нехай h гомеоморфно відображає X на замкнену підмножину метричного простору X’. Тоді композиція U=gh-1 відображає h(X) в Q, і за теоремою Тітце існує її неперервне продовження U’: X’>Q на весь простір X’. Поклавши r(X’)=h(f(U’(X’))) для всіх x’ є X’, ми одержимо таке відображення r: X’>h(X), що для y=h(x) є h(X) r(y)=(hfU’h) (x)=(hfgh-1h) (x)=h (x)=y. Таким чином, r є ретракцією простору X’ на h(X).

Наслідок 1

Всякий r – образ AR(M) – простору є AR(M) – простором.

Наслідок 2

Всякий AR(M) простір стягуваний по собі і локально стягуваний.

Теорема 7 (про елементарні властивості просторів ANR(M)).

Для того, щоб метризований простір X був ANR(M) – простором, необхідно, щоб X був r – образом відкритої підмножини опуклої множини, яка лежить в лінійному нормованому просторі, і достатньо, щоб X був r – образом відкритої підмножини опуклої множини, яка лежить в локально опуклому лінійному просторі.

Доведення. Нехай X є ANR(M). За теоремою Куратовського і Войдиславського існує гомеоморфізм h, відображаючий X на замкнену підмножину опуклої підмножини Q лінійного нормованого простору. Тому існує ретракція r відкритого околу U (в Q) множини h(X) на h(X), і h-1r: U>X є r – відображенням U на X. Припустимо тепер, що X є r – образ множини U, відкритої в опуклій підмножині Q локально опуклого лінійного простору. Нехай f: U>X є r – відображення з правим оберненим g: X>U. Розглянемо гомеоморфізм h, відображаючий X на деяку замкнену підмножину h(X) метричного простору X’. Композиція U=gh-1 відображає h(X) в UQ і володіє за теоремою Тітце неперервним продовженням U’: X’>Q. Позначимо через U’ повний прообраз множини U при відображенні U’. Очевидно, U’ є околом h(X) в X’. Поклавши r(x’)=hf U’(x’) для x’ є U’, ми отримуємо відображення r: U’>h(X), таке, що при y=h(x) є h(X) r(y)=hfU’h (x)=hfgh-1h (x)=h (x)=y. Таким чином r ретрагує U’ на h(X).

Наслідок 1.

Всякий r – образ ANR(M) – простору є ANR(M) – простір.

Наслідок 2.

Всякий ANR(M) – простір локально стягуваний.

Наслідок 3.

Всякий околовий ретракт ANR(M) – простору є ANR(M) – простір.

Доведення. Нехай X є ANR(M). За теоремою про елементарні властивості просторів ANR(M) існує r – відображення f: G>X, де G – відкрита підмножина опуклої множини Q, яка лежить в лінійному нормованому просторі Z. Нехай g: X>G – праве обернене для f. Якщо множина X0 є околовим ретрактом X, то вона замкнена в X і володіє в X відкритим околом U з ретракцією r: U>X0. Множина H=f-1(U) відкрита в Q. Покладемо f0(z)=r(f(z)) для z є H, ми отримаємо відображення f0: H>X0, яке є r – відображенням з правим оберненим g0(x)=g(x) для довільної точки x є X0. Насправді для x є X0 ми маємо f0g0(x)=rfg (x)=r (x)=x.

Теорема 8.

Нехай X – замкнена підмножина метризованого простору X’. Якщо X є AR(M), то довільне відображення f: X>Y має неперервне продовження f’: X’>Y. Якщо X є ANR(M), то існує окіл U множини X в X’, такий, що довільне відображення f: X>Y має неперервне продовження f’: U>Y.

Доведення. Позначимо через i: X>X’ гомеоморфізм вкладення. Так як X є AR(M), то існує ретракція r: X’>i (X)=X. Потрібне продовження відображення f ми отримаємо, поклавши f’=fr. Нехай тепер X є ANR(M), тоді існує ретракція r околу U множини X (в просторі X’) на X. Формула f’=fr дає неперервне продовження f’: U>Y відображення f: X>Y.

Теорема 9. Нехай Y – метризований простір.

Y є AR(M) – простором тоді і тільки тоді, коли для всякої замкненої підмножини X метризованого простору X’ довільне відображення f: X>Y допускає неперервне продовження f’: X>Y.

Y є ANR(M) – простором тоді і тільки тоді, коли для всякої замкненої підмножини X метризованого простору X’ довільне відображення f: X>Y допускає неперервне продовження f’: U>Y та деякий окіл U множини X в просторі X’.

Доведення. Згідно теореми Куратовського і Войдиславського, можна вважати без втрати загальності, що Y є замкнена підмножина опуклої множини Q, яка лежить в лінійному нормованому просторі. За теоремою Тітце для довільного відображення f: X>Y існує таке відображення f”: X’>Q, що f”(x)=f(x) для довільної точки x є X. Якщо Y є AR(M), то існує ретракція r: Q>Y, і f’=rf” є шуканим продовженням відображення f. Якщо ж Y є ANR(M), то існує окіл V множини Y в Q з ретракцією r: V>Y. Позначимо через U повний прообраз множини V при відображенні f” і визначимо f’ формулою I’(x)=rf”(x) для x є U. Ми отримаємо продовження f’: U>Y відображення f. Таким чином, доведена необхідність умов 1,2.

Для доведення достатності першої умови припустимо, що довільне неперервне відображення f замкненої підмножини X метризованого простору X’ в Y має неперервне продовження f’: X’>Y. Тоді, тотожне відображення простору Y допускає продовження f’: Q>Y, яке є ретракцією. За теоремою про елементарні властивості просторів AR(M) Y є AR(M).

Доведемо достатність другої умови. Припустимо, що всяке відображення f: X>Y допускає продовження f’: