Теорема 10.

Простір X належить класу AR(M) тоді і тільки тоді, коли він стягуваний по собі і належить класу ANR(M).

Доведення. Всякий AR(M) – простір стягуваний і належить класу ANR(M). Навпаки, нехай X є стягуваний по собі ANR(M) – простір. Ми можемо вважати X замкненою підмножиною опуклої множини Q, яка лежить в лінійному нормованому просторі Z. Так як X стягуваний, то існує така неперервна сім’я {ft} відображень ft є XX, що f0 переводить X в точку a є X, а f1 є тотожним відображенням. Поклавши f0’(x)=a для всіх точок x є Q, ми отримаємо неперервне продовження f0’: Q>X відображення f0. Дальше ми отримаємо неперервну сім’ю {ft’} продовжень ft’: Q>X відображень ft. Зокрема, f1’: Q>X продовжує тотожне відображення f1, і є ретракцією. Звідси за теоремою про елементарні властивості просторів AR(M) X є AR(M).

Розглянемо AR І ANR – простори в компактних метричних просторах.

Означення

Простір X називається абсолютним ретрактом або AR – простором (X є AR), якщо X є компактом і X є AR(M).

Означення

Простір X називається абсолютним околовим ретрактом або ANR – простором (X є ANR), якщо X – компакт і X є ANR(M).

Теорема 11.

AR – простори – це r – образи гільбертового куба. ANR – простори – це компактні r – образи відкритих підмножин гільбертового куба.

Доведення. Так як гільбертів куб Qw є компактною опуклою множиною в гільбертовому просторі Ew, то всякий його r – образ є компактом і в той же час AR(M) – простором. ANR(M) – простором – це r – образи відкритих підмножин опуклих множин, які лежать в нормованому лінійному просторі. Тому, всякий компактний r – образ відкритої підмножини в Qw є компактним ANR(M) – простором.

Припустимо тепер, що X є AR. За класичною теоремою Урисона існує гомеоморфізм h: X>Qw. Оскільки X – компакт, множина h(X) замкнена в Qw, а із умови X є AR(M) випливає, що існує ретракція r: Qw>h(X). Таким чином, h-1r: Qw>X є r – відображення, і X є r – образ гільбертового куба Qw.

Припустимо, що X є ANR. Як і вище, існує гомеоморфізм h простору X на замкнену підмножину h(X)Qw. Оскільки X є ANR(M), існує відкритий окіл U множини h(X) в Qw і ретракція r: U>h(X). Відображення h-1r: U>X є r – відображенням, і тому, простір X є r – образом відкритої підмножини UQw.

Твердження 12.

Компакт X є AR – простором тоді і тільки тоді, коли для всякого гомеоморфізму h, відображаючого його на підмножину компакта Y, множина h(X) є ретрактом простору Y.

Доведення. Якщо X є AR, то множина h(X) належить класу AR(M) і замкнена в Y, тому h(X) є ретрактом простору Y. Навпаки, нехай X є такий компакт, що для кожного гомеоморфізма h: X>h(X)Y, де Y – компакт, h(X) є ретрактом Y. Розглянемо таку рефракцію r: Qw>h(X) для гомеоморфізма h: X>h(X)Qw. Композиція h-1r: Qw>X є r – відображенням. Із попередньої теореми випливає, що X є AR.

Твердження 13.

Компакт Х є ANR – простором тоді і тільки тоді, коли для всякого гомеоморфізму h, відображаючи на його підмножину компакта Y , множина h(Х) є околовим ретрактом простору Y.

Доведення аналогічне до доведення попереднього твердження.

Розглянемо різні елементарні властивості AR - просторів і ANR- просторів, які випливають з відповідних властивостей AR(M) і ANR(M) – просторів і двох останніх тверджень і теореми.

Всякий r – образ AR – простору (відповідно ANR- простору) є AR – простір (відповідно ANR- простір).

Х є AR тоді і тільки тоді, коли Х є ANR і Х стягуваний по собі.

Всякий околовий ретракт ANR - простору є ANR– простір.

Всякий ANR – простір локально стягуваний.

Об’єднання двох AR (ANR) – просторів, перетин яких є AR (ANR) – простір, також є AR (ANR) – простір.

Всяка відкрита підмножина ANR - простору є ANR – простір.

Якщо об’єднання і перетин двох компактів є AR (ANR) – просторами, то і самі компакти є AR (ANR) – просторами.

Декартовий добуток послідовності просторів належить класу AR тоді і тільки тоді, коли кожний із цих просторів належить класу AR.

Декартовий добуток послідовності просторів належить класу ANR тоді і тільки тоді, коли всі співмножники є ANR – просторами і майже всі AR - просторами.

Компакт Х є ANR- простором в тому і тільки тому випадку, якщо для кожної його точки існують околи (де завгодно малі), які є ANR (М) – просторами.

Доведення. Всяка точка ANR (М) – простору володіє малими околами класу ANR (М). Навпаки, припустимо, що Х є компакт і для всякої його точки х є Х, існує окіл UX є ANR (M).

Внутрішності всіх цих околів UX є відкритими ANR (M) – множинами. Вони утворюють відкрите покриття простору Х. Оскільки Х є компакт, із цього покриття можна вибрати скінчене під покриття. Тому Х є ANR (M). Оскільки Х є компакт, то Х є ANR.

Якщо Х є ANR і ХХ’ є М, то всяке відображення f:володіє неперервним продовженням f’: .

Якщо Х є ANR і ХХ’ є М, то існує такий окіл U множини Х в Х’,