Компакт Y є AR – простором тоді і тільки тоді, коли для всякої замкненої підмножини Х метризованого простору Х’ довільне відображення f:володіє неперервним продовженням f’: .

Компакт Y є AR – простором тоді і тільки тоді, коли для всякої замкненої підмножини Х метризованого простору Х’ і всякого відображення f:існує окіл U множини Х в Х’ і неперервне продовження f’: U відображення f на цей окіл.

Означення.

Множина б, яка складається із всіх точок х є Еw (гільбертового простору) виду х = 6о хо + t1 x1 + …tm xm , де ti0 і to+t1+…+ tm= 1, називається m - мірним геометричним симплексом з вершинами xo, x1, …, xm і позначається xo, x1, …, xm .

Означення

Гранню геометричного симплекса у називається геометричний симплекс у’, всі вершини якого є вершинами у.

Означення

Простір Х називається політоном, якщо існує така система ф геометричний симплексів у, що

Означення

Сукупність ф називається тріангуляцією простору Х, а вершини симплексів із ф називаються її вершинами.

Означення. Якщо фо є підсистемою системи ф і кожна грань симплекса у є фо, то називається піднолітоном політона Х.

Означення

Для даного цілого числа n підмножини ХnХ, яка є об’єднанням всіх симплексів із ф розмірності n, називається n-омірним кістяком простору X відносно триангуляції ф.

Означення

Тріангуляцію ф політона Х будемо називати нуль-триангуляцією, якщо вона злічення і діаметри її симплексів прямують до нуля.

Теорема 14 (про характеризацію ANR - просторів).

Компакт Y є ANR- простором в тому і тільки тому випадку, якщо він задовольняє наступній умові:

(х) Для всякого метризованого політона W, який має нуль-триангуляцію ф, і для всякого рівномірного неперервного відображення fо: Wо>Y (де Wо – нуль мірний кістяк політона W відносно тріангуляції ф) існує рівномірно неперервне продовження f відображення fо на майже повний (містить майже всі симплекси W) піднолітом W1 політона W.

Доведення. Можна вважати, що YQw. Доведемо необхідність умови (х), використовуючи наступне, більш сильне, твердження:

Якщо Y є ANR, то для всякого метризованого політопа W, всякої його тріангуляції ф з діаметрами симплексів, які прямують до нуля, і всякого підполітона W’ W (відносно ф), який містить Wо, виконується наступна умова: довільне рівномірно неперервне відображення f’: W’>Y допускає рівномірно неперервне продовження f: W1>Y на майже повний (відносно ф) піднолітом W1 політона W.

Щоб закінчити доведення теореми, залишається показати, що всякий непорожний компакт Y, який задовольняє умові (х), належить класу ANR. Спів ставимо кожній вершині х є ф точку fo(x) є Y, для якої p(fo (x), x) = p(x, Y). Ясно, що fo рівномірно відображає в Y нульмірний кістяк Wo тріангуляції ф. Існує такий майже повний підноліт W’ політона W і таке рівномірно неперервне відображення f’: W’>Y, що f’(x) = fo (x) для довільного х є Wo W’ множина W’ W’ є околом множини Y. Покладемо r Відображення r: W’ Y>Y є ретракцією. Таким чином Y є околовим ретрактом, тобто Y є ANR.