Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

БЕНДІТКІС Дмитро Борисович

УДК 517.929

ДОСЛІДЖЕННЯ КРИТИЧНИХ ВИПАДКІВ СТІЙКОСТІ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ З КВАДРАТИЧНОЮ

ПРАВОЮ ЧАСТИНОЮ

ТА МОДЕЛЕЙ ЗІ СЛАБКИМ ЗАПІЗНЕННЯМ

01.05.04. – Системний аналіз і

теорія оптимальних рішень

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті

імені Тараса Шевченка на кафедрі моделювання складних систем.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

Хусаінов Деніс Ях’євич

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

професор кафедри моделювання складних систем

факультету кібернетики

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук

Мазко Олексій Григорович

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник відділу

динаміки стійкості багатовимірних систем;

кандидат фізико-математичних наук

Оболенський Анатолій Юрійович

Інститут механіки НАН України,

старший науковий співробітник відділу стійкості процесів.

Провідна установа: Інститут кібернетики НАН України, м.Київ,

відділ оптимізації керованих процесів

Захист відбудеться 17 жовтня 2002 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої

вченої ради Д 26.001.09 Київського національного університету

імені Тараса Шевченка, 03127, Київ, проспект Глушкова, 2, корпус 6,

факультет кібернетики, ауд. 40 (тел. 252-58-83, факс 252-59-77,

e-mail: rada@unicyb.kiev.ua).

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського

національного університету імені Тараса Шевченка за адресою:

01033, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий 7 вересня 2002 року

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Шевченко В.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При моделюванні динамічних процесів у біології, медицині, фізиці та інших галузях природознавства останнім часом широке поширення знайшли диференціальні рівняння з квадратичною правою частиною. Вони більш адекватно описують реальні процеси, ніж лінійні моделі, враховують ефекти насичення та обмеженості. Тому розробка методів аналізу нелінійних систем є надзвичайно актуальною задачею. Од-ним з ефективних апаратів дослідження таких систем є другий метод Ляпунова. За його допомогою можна розв'язувати такі задачі системного аналізу, як дослідження стійкості розв’язків та одержання оцінки ха-рак-те-ри-стик перехідних процесів, стабілізації системи до заданого степеня та розв’язування задач оптимального керування. Теоретичні основи методу для систем звичайних диференціальних рівнянь були закладені в середині XX-го сторіччя в роботах Четаєва М.Г., Малкіна І.Г., Персидського К.П.

Надалі другий метод Ляпунова був розповсюджений на дослідження інших класів динамічних систем, а саме, диференціальних рівнянь з роз-по-ді-ле-ними параметрами (Сиразетдінов Т.К, Бублик Б.М.), ди-фе-ре-нціаль-них рів-нянь з післядією (Хейл Дж., Мишкіс А.Д., Красовський М.М., Кол-ма-новський В.Б., Хусаінов Д.Я.), керованих систем (Кунцевич В.М., Ки-ри-чен-ко М.Ф., Гаращенко Ф.Г.).

Проблеми побудови функцій Ляпунова розглядались також в роботах Зубова В.І., Мартинюка А.А., Матросова В.М., Барбашина Є.О., Валєєва К.Г., Мазка О.Г, Оболенського А.Ю. та ін. При тому, що теоретичні питання до-слід-ження стійкості та існування функцій Ляпунова для багатьох випадків розв’язані, при дослідженні конкретних систем (особливо у критичних випадках) виникають значні труднощі.

Питання пошуку аналітичної форми розв’язку за скінченну кількість кроків навіть для лінійних систем з післядією, за винятком систем спеціального вигляду, до цього часу залишається відкритим. Суттєвою особливістю цих систем є нескінченновимірність простору розв’язків, тому одержати конструктивні умови стійкості надто важко.

Диференціальні рівняння з післядією є одним з видів динамічних систем, що знайшли поширене застосування при моделюванні еволюційних процесів. Вони враховують не тільки поточний стан системи, але й попередній і особливо ефективні при моделюванні в екології, медицині, соціальних явищах. Використовуються системи з післядією і при мо-де-лю-ванні динаміки процесів у комп’ютерних мережах, банківській сфері. Саме тому аналіз систем, що описуються рівняннями з післядією, та керування ними є надзвичайно важливою та актуальною задачею.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася згідно з планами наукових досліджень кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного уні-вер-си-те-ту імені Тараса Шевченка № 97063 “Розвиток теорії проектування скла-д---н-их систем на основі теорії стійкості та недиференційованої оп-ти-мі-за-ції” та № 01БФ015-05 “Розробка структурованих математичних та програмних тех-но-ло-гій”. Ряд результатів одержано також в рамках про-екту ДКНТ України, № 01.07/00081.

Мета і задачі досліджень. Метою дисертаційної роботи є: одержання конструктивних умов стійкості нульового розв’язку систем диференціальних рівнянь з квадратичною правою частиною; обчислення гарантованої області стійкості у критичному випадку одного нульового кореня та пари чисто уявних коренів; знаходження умов стійкості систем з чисто квадратичною правою частиною; дослідження математичної моделі взаємодії вузлів в інформаційній мережі; побудова оцінок впливу зовнішніх збурень та по-чат-ко-во-го стану системи на її функціонування; дослідження керованості та об-чи-с-лення характеристик динаміки систем зі слабким запізненням.

Наукова новизна одержаних результатів. Одержані нові достатні умови стійкості та досліджено вплив коефіцієнтів квадратичних складових на стійкість нульового розв’язку систем диференціальних рівнянь. Вперше одержані необхідні та достатні умови існування інтегралу еліпсоїдального вигляду для системи з чисто квадратичною правою частиною. Введено поняття слабкого запізнення і одержані необхідні та достатні умови слабкого запізнення для лінійних стаціонарних систем. Вперше одержано явний вигляд розв’язку двовимірних та тривимірних систем із слабким запізненням та наведено умови керованості двовимірних систем. Вивчено нову математичну модель взаємодії вузлів у комп’ютерній мережі. Проведено дослідження моделей без оберненого та з оберненим зв’язками.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертації можуть бути використані при дослідженні динаміки систем з квадратичною правою частиною в біології та економіці. Введене в роботі поняття “систем із слабким запізненням” дозволить будувати більш адекватні математичні моделі в біології та економіці, які мають розв’язок в аналітичному вигляді. Побудована та досліджена модель взаємодії вузлів комп’ютерної мережі дасть можливість виявляти у комп’ютерних мережах перевантаження та позбавлятись їх.

Особистий внесок здобувача. Науковому керівникові проф. Хусаінову Д.Я. та проф. Дібліку Й. належить постановка задач та їх обговорення, Шарифу М. належить постановка задач з моделювання динаміки комп’ютерної мережі. Доведення всіх результатів дисертації, які виносяться на захист, проведено автором самостійно.

Апробація результатів роботи. Результати роботи доповідались на Міжнародній конференції “Dynamical System Modeling and Stability Investigation” (Київ, травень 2001 р.), Міжнародній конференції “Мо-де-лю-ва-ння та оптимізація складних систем” (Київ, січень 2001 р.), Українському між--на-род-ному конгресі (Чернівці, серпень 2001 р.), наукових семінарах фа-куль--тету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Інституту математики НАН України, Інституту кібернетики НАН Укра-їни.

Публікації. За темою дисертації у виданнях, затверджених ВАК України, опубліковано 5 статей, а також 2 тези.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, 16 параграфів, висновків, списку використаної літератури (142 назви) та додатку, основний зміст викладений на 142 стор., повний зміст дисертації викладений на 178 стор.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі до роботи обґрунтовано актуальність проблематики дисертації, сформульовано мету роботи, розглянуто її зміст за розділами з висвітленням найважливіших результатів.

У першому розділі наведений детальний аналіз робіт, присвячених другому методу Ляпунова та дослідженню стійкості нульових розв’язків нелінійних систем. Розглянуто історичний шлях розвитку методу Ляпунова, його ефективність при дослідженні динамічних систем різного типу. Підкреслено, що особливістю методу є його універсальність, можливість не тільки одержувати твердження про стійкість розв’язків систем, а й обчислення різних характеристик динамічних систем, застосування при обчисленні області стійкості.

Наведено основні результати з теорії систем з післядією. Для лінійних систем із сталим запізненням характерна нескінченновимірність простору розв’язків, і при розв’язуванні навіть лінійних однорідних скалярних рівнянь виникають труднощі.

Другий розділ присвячено дослідженню стійкості нульового розв’язку систем з квадратичною нелінійністю в критичних випадках.

У першому параграфі розглянута система трьох диференціальних рівнянь з квадратичною нелінійністю у критичному випадку наявності одного нульового характеристичного показника лінійної частини

Досліджена стійкість нульового розв’язку та вплив коефіцієнтів системи.

Введемо наступні позначення :

? екстремальні значення відповідних матриць.

Справедливе наступне твердження.

Теорема 1. Нехай існує симетрична додатно визначена матриця , для якої матриця також додатно визначена та виконуються умови

Тоді нульовий розв'язок системи (1) стійкий за Ляпуновим та область стійкості містить еліпсоїд

Розглянута автономна система з квадратичними правими частинами в (n+1) – вимірному просторі, тобто система

Перед формулюванням основного результату введемо такі позначення:

? симетрична, додатно визначена матриця.

Теорема 2. Нехай матриця H ? симетрична додатно визначена, така, що матриця є також додатно визначеною і виконуються умови

тоді тривіальний розв’язок системи (5) є стійким. Гарантована область стійкості містить еліпсоїд

У третьому параграфі розглянута тривимірна система з одним від’ємним і двома спряженими чисто уявними власними числами, тобто, система вигляду

Введемо такі позначення:

Доведено, що при виконанні умов

нульовий розв’язок системи (8) буде стійким, а область стійкості містить еліпсоїд

Розглянута система диференціальних рівнянь з квадратичною правою частиною в (n+2)-вимірному просторі

Введемо такі позначення:

Теорема 3. Нехай існує додатно визначена матриця H, така, що матриця також додатно визначена. Якщо виконуються рівності

то нульовий розв’язок системи (11) стійкий за Ляпуновим.

В четвертому параграфі розглянуті системи з чисто квадратичною правою частиною

- матриці, в яких і-й рядок являє собою вектор , а інші елементи нульові, - симетричні матриці зі сталими коефіцієнтами. Знайдені умови, за виконання яких є інтегралом системи (13). Звідси, якщо матриця H додатно визначена, то нульовий розв’язок буде стійким за Ляпуновим.

Введемо такі позначення:

- це i-й стовбчик (рядок) симетричної матриці - вектор, складений з відповідних елементів матриць . Оскільки матриці - симетричні, то , - нуль-вектор розмірності n.

Теорема 4. Функція є інтегралом системи (13) тоді і тільки тоді, коли виконуються умови

Наслідок 1. Якщо існує додатно визначена матриця H, для якої виконуються умови (15), то нульовий розв’язок є стійким за Ляпуновим.

Третій розділ присвячений вивченню систем зі слабким запізненням. Під системами зі слабким запізненням розуміємо лінійні системи диференціальних рівнянь із запізненням, які мають скінченну кількість коренів характеристичного квазіполінома.

В першому параграфі розглянута система лінійних диференціальних рівнянь із запізненням

Характеристичне рівняння системи (16) має вигляд

або, після розкриття,

і має зліченну кількість коренів.

Означення 1. Система (17) називається системою зі слабким запізненням, якщо

Розглянуто двовимірний випадок (n=2).

Теорема 5. Для того, щоб двовимірна система з запізненням була системою зі слабким запізненням, необхідно і достатньо виконання умов

Для двовимірних систем із слабким запізненням одержано наступне.

Введемо такі позначення:

- жорданова нормальна форма матриці ;

S – матриця, що приводить А до жорданового вигляду :

Теорема 6. Нехай параметри системи (16) (n=2) задовольняють умови (18). Тоді її розв’язок, що задовольняє початковим умовам , , , має вигляд , де

Розглянуто системи з запізненням (18) у тривимірному просторі. Позначимо

- вектори-рядки матриці А,

- вектори-рядки матриці В,

- визначники матриць, в яких на першому, другому та третьому рядках відповідно стоять вектори

Теорема 7. Система (16) при n=3 є системою зі слабким запізненням тоді і тільки тоді, коли виконуються умови

Розглянуто частинний випадок, коли в матриці А всі елементи, що розташовані вище діагоналі, нульові, а в матриці В нульовими є елементи, що розташовані вище діагоналі та діагональні.

Наслідок 2. Нехай матриці А і B мають вигляд

,

тоді система (16) є системою зі слабким запізненням і розв’язок задачі Коші має вигляд

де - сталі, що визначаються через коефіціенти системи і початкові умови.

Отримано умови слабкого запізнення для систем загального вигляду. Нехай

? вектор-рядок, в якому на i - му місці стоїть одиниця, а всі інші елементи нульові,

? вектори-рядки матриці А,

? вектори-рядки матриці В,

? визначники, в яких на k-му рядку стоїть вектор-рядок , .

- множина векторів , в яких координат дорівнює нулеві, координат дорівнює одиниці, і відповідно, координат дорівнює двійці, причому .

Теорема 8. Система (16) є системою із слабким запізненням тоді і тільки тоді, коли

Одержано умови керованості систем із слабким запізненням

на площині.

Означення 2. Назвемо систему з запізненням (23) відносно керованою, якщо для довільних початкового положення , , моменту часу і кінцевого стану існує таке керування , де - множина кусково-неперервних функцій, що система (23) має розв’язок , який задовольняє крайовим умовам

і .

Теорема 9. Для того, щоб система із слабким запізненням (3.25) на площині була відносно керованою, необхідно і достатньо, щоб і При цьому функція керування може мати вигляд

де , - матриці розв’язків однорідної системи зі спеціальними початковими умовами.

У четвертому розділі досліджені математичні моделі взаємодії вузлів у комп’ютерній мережі. Розглянуто дві моделі, без оберненого зв’язку та з оберненим зв’язком.

Модель без оберненого зв’язку має вигляд

де

- запит, що подається користувачем на вхід клієнта,

- час запізнення передачі інформації від клієнта до сервера,

- пакети на клієнті, призначені для відправки до сервера (запити),

- пакети на сервері, призначені для відправки до локальної мережі (відповіді),

, - коефіціенти пропускних спроможностей відповідних вузлів “користувач - клієнт" та "сервер – локальна мережа”.

Отримано розв'язок неоднорідної лінеаризованої системи в околі початку координат при досить малих . Він має вигляд

Мажорантна оцінка розв’язку нелінійної системи при обмеженнях , має вигляд

Для мажорування розглядається також система

Теорема 10. Нехай , ? розв’язки систем (25), (26) з початковими умовами

що задовольняють нерівностям

Тоді при будуть виконуватись нерівності

Розглянута модель з оберненим зв’язком, що має вигляд системи чотирьох диференціальних рівнянь з запізненням

де

– кількість пакетів на клієнті в момент t 0, призначених для відправлення до серверу (запити);

– кількість пакетів на сервері в момент t 0, призначених для відправлення до клієнту (відповіді);

– кількість пакетів на клієнті в момент t 0, призначених для користувача (відповіді);

– кількість пакетів на сервері в момент t 0, призначених для відправки до локальної мережі сервером (відповіді);

? потік запитів від користувача на клієнті;

? потік запитів від локальної мережі на сервер.

Знайдено розв’язок відповідної лінеаризованої системи і досліджено стійкість точки спокою

при . А саме при у системи (27) , без запізнення при сталих входах існує положення рівноваги і при воно буде асимптотично стійким, а при нестійким.

Аналогічно випадку для системи без оберненого зв’язку отримані обмеження розв'язку системи (26) при умова.

ВИСНОВКИ

В роботі отримано такі результати:

Одержано достатні умови стійкості нульового розв’язку систем з квадратичною правою частиною у випадку одного нульового та пари чисто уявних власних чисел лінійної частини. Обчислено оцінки радіуса гарантованої області стійкості. Одержано необхідні та достатні умови існування еліпсоїдального інтегралу в системах з чисто квадратичною правою частиною.

Введено поняття систем із слабким запізненням та одержано необхідні та достатні умови слабкого запізнення в лінійних стаціонарних системах. Побудовано явний вигляд розв’язку задачі Коші систем із слабким запізненням загального вигляду на площині та трикутного вигляду в тривимірному просторі.

Одержано умови керованості систем із слабким запізненням на площині, побудовано вигляд функції керування.

Методами лінеаризації та мажорантного оцінювання проведено дослідження двовимірної нелінійної математичної моделі взаємодії вузлів комп’ютерної мережі без оберненого зв’язку.

Для чотиривимірної математичної моделі взаємодії вузлів комп’ютерної мережі з оберненим зв’язком одержано умови стійкості стаціонарного розв’язку.

СПИСОК ДРУКОВАНИХ ПРАЦЬ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

Хусаінов Д.Я, Діблік Й., Бендіткіс Д.Б. Про стійкість квадратичних систем з одним нульовим власним числом // Вісник Київського університету. Серія : Фізико-математичні науки. - 2000. - №3. - С. 313 - 318.

Хусаінов Д.Я., Діблік Й., Бендіткіс Д.Б. Про стійкість систем диференціальних рівнянь з чисто квадратичною правою частиною // Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки. - 2000. - № 4. - С. 321 - 329.

Діблік Й., Хусаінов Д.Я, Бендіткіс Д.Б. Про стійкість квадратичних систем диференціальних рівнянь з двома спряженими чисто уявними власними числами // Вісник Київського університету. Серія : Кібернетика. – 2001. - № 2. - С. 25-31.

Benditkis D.B., Diblik J., Khusainov D.Ya. Systems with weak delay on the plane // Вісник Київського університету. Серія : Фізико-математичні науки. - 2001. - №. 3. - PP. 175-182.

Shareef M., Benditkis D.B., Khusainov D.Ya. Investigation of mathematical model “client-server” without back connection in a computer network // Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки. - 2001. - №. 4. - PP. 315-322.

Бендіткіс Д.Б. Дослідження критичних випадків стійкості диференціальних систем з квадратичною правою частиною // Міжнародна конференція “Моделювання та оптимізація складних систем”. Тези доповідей. - Том 1. - Київ: ВПЦ “Київський університет”, - 2001. - C. 106.

Khusainov D.Ya., Diblik J., Benditkis D.B. The stability of the trivial solution of the differential equation systems with quadratic right-hand sides // Український математичний конгрес - 2001. “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання”. Тези доповідей, Київ, - 2001. - С. 186.

У спільних роботах науковому керівникові проф. Хусаінову Д.Я. та проф. Дібліку Й. належить постановка задач та їх обговорення, Шарифу М. належить постановка задач з моделювання динаміки комп’ютерної мережі.

Бендіткіс Д.Б. Дослідження критичних випадків стійкості нелінійних систем з квадратичною правою частиною та моделей зі слабким запізненням. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рішень. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Киів, 2002.

В дисертації розглянуті системи диференціальних рівнянь з квадратичною правою частиною у критичних випадках одного нульового та пари чисто уявних власних чисел лінійної частини. Одержані конструктивні умови стійкості нульового розв’язку та оцінки області стійкості. При дослідженні використовувалась функція Ляпунова квадратичного вигляду.

Введено поняття “системи із слабким запізненням”, тобто, лінійної системи з післядією, яка має скінченну кількість власних чисел. Одержано необхідні та достатні умови “слабкого запізнення”. Для систем із слабким запізненням загального вигляду на площині одержано розв’язок задачі Коші. Записано розв’язок задачі Коші для систем із слабким запізненням трикутного вигляду у тривимірному просторі. Одержано умови керованості системи на площині.

Досліджена математична модель взаємодії вузлів компьютерної мережі без оберненого та з оберненим зв’язками. Проведено два види лінеаризації і записано розв’язок задачі Коші. Обчислено оцінку впливу зовнішніх збурень і початкового стану системи на її функціонування.

Ключові слова: системи з квадратичною правою частиною, функція Ляпунова, система із запізненням, власне число, стійкість.

Benditkis D.B. Investigation of critical cases of stability of nonlinear systems with quadratic right-hand side and models with weak delay. - Manuscript.

Thesis for candidate degree of physics and mathematics by speciality 01.05.04 - System Analysis And Theory Of Optimal Decisions. Kyiv Taras Shevchenko national university, Kyiv, 2002.

In this thesis there have been considered differential equation systems with quadratic right-hand side in critical cases of one and a pair of pure imaginary eigenvalues of linear part. Constructive stability conditions and stability region estimations have been obtained. Lyapunov function of quadratic form was being used during the investigation.

There have been introduced a concept “systems with weak delay”. It means linear systems, which have finite number of eigenvalues. Necessary and sufficient conditions of “weak delay “ have been obtained. Solution of Cauchy problem have been written for general form of weak delay systems on the plane. Solution of Cauchy problem have been written for weak delay systems of triangle form in three-dimensional space. Stability conditions for the plane have been obtained.

Mathematical model of interaction of nodes in computer network either with and without feedback was investigated. Two forms of linearization was carried out and Cauchy problem solution was written. Estimation of external disturbances and initial conditions influence was obtained.

Key words: systems with quadratic right-hand side, Lyapunov function, system with delay, eigenvalue, stability.

Бендиткис Д.Б. Исследование критических случаев устойчивости нелинейных систем с квадратичной правой частью и моделей со слабым запаздыванием. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 – системный анализ и теория оптимальных решений. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

Диссертация носит теоретический характер и посвящена двум направлениям системного анализа ? теории устойчивости и уравнениям с запаздыванием.

В диссертации рассмотрены системы дифференциальных уравнений с квадратичной правой частью в критических случаях одного нулевого и пары чисто мнимых собственных чисел линейной части. Исследование этих случаев проводилось многими математиками, в частности был указан теоретический подход к получению необходимых и достаточных условий устойчивости в критических случаях. Однако в методах, приведенных, в частности, Н.Г. Четаевым, И.Г.Малкиным для получения таких условий в общем виде, например для случая одного нулевого собственного числа линейной части, возникает необходимость сведения данных систем к системам определенного вида. Для этого требуется решить со-ответ-ствующую систему нелинейных алгебраических уравнений, что в общем виде сделать затруднительно уже для квадратичных систем четвертого и выше порядка. В данной работе с помощью второго метода Ляпунова получены конструктивные условия устойчивости нулевого решения и оценки области устойчивости. При исследовании использовалась функция Ляпунова квадратичного вида.

В первом разделе проведен обзор работ, посвященных второму методу Ляпунова и исследованию устойчивости нулевых решений нелинейных систем. Приведены основные результаты из теории систем с последействием.

Во втором разделе рассматриваются критические случаи для систем с квадратичной правой частью. Получены достаточные условия устой-чивости и указана гарантированная область устойчивости для таких систем, у которых матрица линейной части имеет одно нулевое собственное число, а также для систем, у которых матрица линейной части имеет пару сопряженных чисто мнимых собственных чисел. Получены необходимые и достаточные условия существования интеграла эллипсоидального вида для квадратичной системы с нулевой матрицей линейной части.

В третьем разделе введено понятие “системы со слабым запаздыванием”, т.е. линейной системы с последействием, у которой число собственных чисел конечно. Получены необходимые и достаточные условия “слабого запаздывания”. Доказана теорема о нильпотентности матрицы запаздывающей части системы со слабым запаздыванием. Для систем со слабым запаздыванием общего вида на плоскости получено решение задачи Коши. Записано решение задачи Коши для систем со слабым запаздыванием треугольного вида в трехмерном пространстве. Получены условия управляемости на плоскости.

Исследована математическая модель взаимодействия узлов компью-терной сети без обратной и с обратной связью. Соответствующая система дифференциальных уравнений построена на балансовых соотношениях. Проведено два вида линеаризации. Первый ? линеа-ри-за-ция в окрестности особой точки при допущении, что запросы от пользователя и локальной сети есть постоянные функции, в этом случае устойчивость решения системы исследуется первым методом Ляпунова. Во втором построена линейная система, для которой доказано, что ее решение будет мажорировать решение исследуемой системы. Таким образом получены мажорантные оценки решений исходной системы. Для линеаризованных систем записано решение задачи Коши. Получена оценка влияния внешних возмущений и начального положения системы на ее функционирование. В дополнении приведены результаты численных решений исследуемых и соответствующих линеаризованных систем.

Результаты диссертации могут быть использованы при исследованиях динамики систем с квадратичной правой частью в биологии и экономике.

Ключевые слова: системы с квадратичной правой частью, функция Ляпунова, система с запаздыванием, собственное число, устойчивость.