Міністерство освіти і науки України
Львівський національний університет
імені Івана Франка

Бугрій Олег Миколайович

УДК 517.95

ПАРАБОЛІЧНІ ВАРІАЦІЙНІ НЕРІВНОСТІ
БЕЗ ПОЧАТКОВИХ УМОВ

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук,
професор Лавренюк Сергій Павлович,
професор кафедри диференціальних рівнянь
Львівського національного університету
імені Івана Франка.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,
професор Панков Олександр Андрійович,
професор кафедри математики
Вінницького державного педагогічного
університету імені Михайла Коцюбинського;
кандидат фізико-математичних наук,
доцент Пукальський Іван Дмитрович,
доцент кафедри диференціальних рівнянь
Чернівецького національного університету
імені Юрія Федьковича.

Провідна установа - Інститут прикладної математики і механіки
НАН України (м. Донецьк), відділ рівнянь
математичної фізики.

Захист відбудеться "18" квітня 2002 р. о 15.20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради
К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000,
м. Львів, вул. Університетська, 1, аудиторія 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий "14" березня 2002р.

Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Бокало М.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Багато важливих прикладних задач фізики, механіки та теорії оптималь-ного керування приводять до вивчення параболічних варіаційних нерівностей. Прикладами таких задач є задача про визначення закону зміни тиску в області, обмеженої напівпроникливою мембраною, та задача керування температурою за допомогою створення теплового потоку на межі, чи всередині області. Якщо момент часу t0, в який почався процес, віддалений настільки, що початкові дані вже практично не впливають на його проходження, то можна вважати, що t0 = – , та вивчати явище лише залежно від режиму на границі області. У цьому випадку виникає задача, яку називають задачою без початкових умов або задачою Фур'є.

Класом єдиності розв'язку деякої параболічної задачі назвемо таку множину функцій, що задача не має розв'язків або має тільки один розв'язок з цієї множини. Класом існування розв'язку деякої параболічної задачі назвемо таку множину функ-цій, що задача має хоча б один розв'язок, коли вихідні дані беруть з цієї множини.

Параболічні варіаційні нерівності були вперше введені Ліонсом Ж.-Л. (Lions J.L.), Стампак'я Г. (Stampacchia G.) і вивчені в працях цих авторів та Дюво Г. (Duvaut G.), Фрідмана А. (Friedman A.), Брезіса X.(Brezis H.), Панкова О.А., Лавренюка С.П., Бокала М.М., Аліханової Р.І., Атакішіє-
вої Р.Х., Біролі М.(Biroli M.) та інших. Варіаційні нерівності в необмежених областях вивчали Ліонс Ж.-Л., Фрідман А., Панков О.А., Лавренюк С.П., Бокало М.М., Нагасе X. (Nagase H.). Зокрема, варіаційні нерівності в класі обмежених функцій розглянув Ліонc Ж.-Л., в класі обмежених, періодичних та майже періодичних функцій – Панков О.А.

Фрідман А. вивчив лінійну параболічну варіаційну нерівність, яка моделює задачу оптимальної зупинки часу і яку заміною змінних можна звести до нерівності без початкових умов. Деякі пара-болічні варіаційні нерівності без початкових умов в класі експоненціально зростаючих при t – функцій вивчав Лавренюк С.П. Він і Бокало М.М. довели однозначну розв'язність задачі Фур'є для певного класу сильно нелінійних параболічних варіаційних нерівностей без умов на поведінку при t – вихідних даних задачі та її розв'язку. Варіаційні нерівності, які вироджуються на почат-ковій гіперплощині {t = 0}, розглядали Бернарді М.Л. (Bernardi M.L.) та Поззі Г.А. (Pozzi G.A.)

В останні роки нелінійні параболічні задачі почали вивчати в деяких спеціальних класах функцій, зокрема, в просторах Соболєва-Орліча. Параболічним рівнянням в таких класах функцій присвячені праці Дубінського Ю.А. У цих же просторах параболічні варіаційні нерівності з початковою умовою вивчено Аліхановою Р.І. та Атакішієвою Р.Х.

Мало вивченим питанням є параболічні задачі в узагальнених просторах Соболєва Wk,p(x), які містять функції, інтегровні разом зі своїми похідни-ми до порядку k включно зі степенем p(x), який теж є функцією. Властивості цих просторів дослідили Мусіляк Ж. (Musielak J.), Ковачек О. (Kovacik O.), Ракоснік Ю. (Rakosnik J.). У працях Ковачека О. та Самохіна В.Н. вивчено питання існування та єдиності розв'язку в просторах Wk,p(x) певних задач з початковими умовами для нелі-нійних параболічних рівнянь, які узагальнюють рівняння політропної фільтрації. Задачу Фур'є (в тому числі і задачу з виродженням) для таких рівнянь дослідили Бокало М.М. та Сікорський В.М.

Варіаційні нерівності, які містять другі похідні за часовою змінною та старші похідні за x, дос-лідили Ліонс Ж.-Л., Дюво Г., Глазатов С.Н. Ці ж автори та Бенсусан А., Алієв А.Б., Артюшин А.Н. розглянули гіпербо-лічні варіаційні нерівності.

Проте задача без початкових умов для параболічних варіаційних нерів-ностей вивчена ще не достатньо. Зокрема, така задача не розглядалася для варіаційних нерівностей в узагальнених просторах Соболєва та варіаційних нерівностей вищого порядку. Дослідженню задачі без початкових умов для цих та деяких інших класів параболічних варіаційних нерівностей присвячена дисертаційна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисер-таційної роботи передбачена планами наукової роботи Львівського національного університету імені Івана Франка і є складовою частиною завдання держбюджетної теми "Побудова математичних моделей та розробка методів дослідження крайових задач для диференціальних рівнянь та випадкових еволюцій" (номер держреєстрації 0100U001411).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є знаходження класів існування та єдиності розв'язків задач без початкових умов для деяких типів парабо-лічних варіаційних нерівностей.

Задачами дослідження є:

1) визначення умов існування та єдиності розв'язків слабко нелінійних пара-болічних варіаційних нерівностей без початкових умов в областях, обмежених за просторовими та необмежених за часовою змінними;

2) побудова нових класів існування та єдиності розв'язку задачі Фур'є для систем лінійних параболічних варіаційних нерівностей в областях, необмежених за всіма змінними;

3) побудова в узагальнених просторах Соболєва класів існування та єдиності розв'язків задачі без початкових умов для деяких типів систем нелінійних варіаційних нерівностей, в тому числі і систем з виродженням;

4) дослідження нових умов однозначної розв'язності задачі з початковими умова-ми і знаходження класів існування та єдиності розв'язку задачі без початко-вих умов для варіаційних нерівностей вищого порядку в загальному вигляді.

Об'єктом досліджень є задачі для параболічних варіаційних нерівностей, а предметом досліджень – однозначна розв'язність задач з початковими та без початкових умов для деяких параболічних варіаційних нерівностей.

Методами досліджень є: метод штрафу, метод Гальоркіна, метод вве-дення параметра та методи монотонності і компактності.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі вперше отримано такі результати.

1. Визначено умови існування та єдиності розв'язків деяких слабко нелінійних параболічних варіаційних нерівностей без початкових умов в класах експоненціально зростаючих при
t – функцій. Аналогічні результати для простіших варіаційних нерівностей за певних додаткових обмежень на коефіцієнти нерівності отримано раніше Лавренюком С.П.

2. Для систем лінійних параболічних варіаційних нерівностей в слабко-му формулюванні в областях, необмежених за просторовими та часовою змінними, знайдено умови однознач-ної розв’язності задачі без початкових умов в класах функцій, які на нескінченності зростають не швидше за . Системи варіаційних нерівностей в таких класах функцій раніше не вивчалися. У випадку = 1 відповідну лінійну варіаційну нерівність у сильному формулюван-ні за деяких додаткових обмежень на вихідні дані задачі дослідив Фрідман А.

3. В узагальнених просторах Соболєва визначено умови існування та єдиності розв'язку задач без початкових умов для нових нелінійних сис-тем варіаційних нерівностей, включаючи і системи нерівностей з виродженням, які узагальнюють рівняння політропної фільтрації. Варіаційні нерівності в узагальнених просторах Соболєва та системи нерівностей з виродженням раніше не розглядалися. Нерівність з іншим виродженням у звичайних просторах Соболєва вивчали Бернарді М.Л. та Поззі Г.А.

4. Визначено слабші від відомих (Ліонс Ж.-Л., Глазатов С.Н.) умови існування та єдиності сильних розв'язків задачі з початковими умовами для лінійних варіаційних нерівностей вищого порядку.

5. У класах експоненціально зростаючих функцій знайдено умови існування та єдиності сильних розв'язків задачі без початкових умов для лінійних параболічних варіаційних нерівностей, які містять похідні включно до другого порядку за t та x від шуканої функції. Варіаційні нерівності вищого порядку без початкових умов раніше не вивчалися.

У дисертації для доведення існування розв’язку параболічних варіаційних нерівностей модифіковано метод штрафу.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер і можуть бути застосовані в теорії диференціальних рівнянь з частинними похід-ними і математичній фізиці.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації ав-тор одержав самостійно. У працях [3, 4] науковому керівнику Лавренюку С.П. належать формулювання задач та аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені до дисертації, доповідалися на: міжнародних конференціях "Nonlinear partial differential equations" (Львів, 1999р.; Київ, 2001р.), VIII міжнародній конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2000р.) і Міжнародній конференції "Нові підходи до розв'язання диференціаль-них рівнянь" (Дрогобич, 2001р.); Львівському міському семінарі з ди-ференціальних рівнянь (Львів, 1998-2001рр.), науковому семінарі мате-матичного факультету Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (Чернівці, 2001р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 9 працях, з них 5 – у наукових журналах, 4 – у тезах та матеріалах конференцій. Серед публікацій 5 праць у наукових фахових виданнях з переліку ВАК України.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із всту-пу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел, який містить 157 найменувань і займає 15 сторінок. Повний обсяг роботи – 165 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми, сформульовано мету і задачі до-слідження, вказано на зв'язок дисертації з науково-дослідною роботою кафедри ди-ференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка, де вона виконана, наведено основні ре-зультати, відзначено їх новизну й апробацію.

У першому розділі зроблено огляд праць з теорії варіаційних нерівностей та параболіч-них рівнянь в необмежених областях. Подано також розгорнутий огляд результатів дисертації.

У другому розділі дисертації поряд з низкою допоміжних тверджень, які вико-ристовуються протягом всієї праці, розглянуто слабко нелінійні параболічні варіа-ційні нерівності та системи лінійних варіаційних нерів-ностей без початкових умов.

Нехай – область (обмежена чи необмежена) в Rn, n 1, з межею C1; Q= (t1,t2),
– < t1 < t2 < +, Q = (– ,), R; 1 < p ; B – банахів простір з нормою ||;B|| та спряженим простором B*; Lploc(– ,T;B) – простір визначених на (– ,T) функцій u = u(t), які приймають значення в B і належать до Lp(t0,T;B) для всіх t0 (– ,T).

У підрозділі 2.1 вивчено слабко нелінійні параболічні варіаційні нерів-ності без початкових умов, коли область – обмежена.

Нехай V – замкнений підпростір, H01() V H1(); K – опукла замкнена підмножина множини V, яка містить нульовий елемент; T R.

Означення. Функцію u C((– ,T];L2()) L2loc(– ,T;V) таку, що u(t)K майже для всіх (м.д.в.) t (– ,T), називатимемо розв'язком параболічної варіацій-ної нерівності

+ c(x,t)u(v – u) + g(x,t,u)(v – u) – f0(x,t)(v – u) –

, (1)

якщо вона задовольняє (1) для всіх t1,t2 (– ,T], t1 < t2, і будь-яких v L2loc(– ,T;V), v(t) K м.д.в. t (– ,T), vt L2loc(– ,T;V*).

У роботі накладено такі умови на коефіцієнти нерівності (1): 1) функції a1,…,an,b1,…,bn,c є обмеженими; 2) каратеодорівські функції ai та g задовольняють оцінки: (ai(x,r1)r1 – ai(x,r2)r2)(r1 – r2) a0 |r1 – r2|2, i{1,…,n}, для всіх r1,r2 [0, +) і м.д.в. x , (g(x,t,s1) – g(x,t,s2))(s1 – s2) 0, |g(x,t,s)| g0|s|q –1 для всіх s1,s2,s R і м.д.в. (x,t) QT, де a0,g0 > 0, 1 < q 2; 3) c(x,t) c0 м.д.в.
(x,t) QT, , де c0 R. Приймемо b0 =ni=1|bi(x,t)|2.

За цих умов доведено (теорема 2.1) єдиність розв'язку варіаційної нерівності (1) в класі функцій, які задовольняють умову:

|u(x,t)|2 dx = 0, (2)

де 0 = (4a0c0 – b0)/(2a0). Побудовано приклад, який показує, що цей клас єдиності у певному сенсі є точним.

Теорема 2.2. Нехай виконуються сформульовані вище умови 1)-3) і, крім того, 4) {b1,…bn,c} C((– ,T];L()); 5) для довільного > 0 існує таке 1 = 1() > 0, що для всіх (0,1), s R та м.д.в. (x,t) QT, виконується оцінка: |g(x,t,s) – g(x,t – ,s)| |s|q – 1 Якщо etfj L2(QT), j {0,1,…,n}, для деякого < 0/2, то варіаційна нерівність (1) має розв'язок, який задовольняє оцінку:

, (3)

(– ,T], де стала C1 не залежить від u,,f0,f1,…,fn.

Аналогічні до теорем 2.1 і 2.2 результати одержано для варіаційної нерівності, яка від (1) від-різняється нелінійним доданком в головній частині нерівності, а саме, a(x,|u|p – 1)|u|p – 2(u,(v – u), 1 < p 2 та тим, що bi = fi = 0, i {1,…,n}. Такі ж результати для простішої нерівності з ліній-ною головною частиною отримав раніше Лавренюк С.П. В його працях вимагалася умова 0 > 0 і накладалися сильніші обмеження на гладкість "правої частини" нерівності – функції f0,f1,…,fn.

У підрозділі 2.2 вивчено системи параболічних варіаційних нерівностей без початкових умов в областях, необмежених за всіма змінними.

Нехай – необмежена область з некомпактною межею, {x Rn:|x| < 1} = ; N N. Через [B]N позначатимемо декартовий степінь простору B, причому, якщо u [B]N, то u = colon(u1,…,uN), де uj B, j {1,…,N}. Якщо A = [aij]Ni,j=1 – матриця розміру N N з дійсними коефіцієнтами, то її норму визначимо так: ||A;M|| = (Ni,j=1|aij|2)1/2. Нехай (,) – скалярний добуток в RN, |u| =;
> 0, 1 – деякі параметри; L2,() – за-микан-ня простору C0() за нормою ||v;L2,()|| = (|v(x)|2 edx)1/2; H1,() та 1,() – замикання відповідно C() та C0() за нормою ||v;H1,()|| = ([|v(x)|2 + |x|2( – 1)|v(x)|2] edx)1/2; V, – замкнений підпростір, [1,()]N V, [H1,()]N; K – опукла замкнена підмножина V,, яка містить нульовий елемент.

Нехай F = colon{F1,…,FN}; Aij(x,t), Bi(x,t), i(x,t), {i,j} {1,…,n}, C(x,t) – квадратні матриці розміру N N, i(x,t) = Bi(x,t) – nj=1Aij(x,t)xj|x| –2, i {1,…,n}, (x,t) QT.

Означення. Функцію u C((– ,T];[L2,()]N) L2loc(– ,T;V,) таку, що u(t) K м.д.в.
t (– ,T), називатимемо розв'язком системи варіа-ційних нерівностей

, (4)

якщо вона задовольняє (4) для всіх t1,t2 (– ,T], t1 < t2, і будь-яких v C((– ,T];[L2,()]N) L2loc(– ,T;V,) таких, що v(t) K м.д.в. t (– ,T), vt L2loc(– ,T;V*,).

Накладемо такі умови на коефіцієнти (4): 1) Aij = Aji, Aij – симет-ричні матриці, {i,j} {1,…,n}; 2) ni,j=1(Aij(x,t)i,j) a0ni=1|i|2, c0|x|2( – 1)||2 (C(x,t),) C2|x|2( – 1)||2 м.д.в. (x,t) QT і для всіх ,1,…,n RN, де a0,c0 > 0; 3) a1||Aij(x,t);M|| < +, b0ni=1||Bi(x,t);M||2 < +.

За цих умов для будь-яких фіксованих 1 і (0,2) доведено (теорема 2.5) єдиність розв'язку (4) в класі функцій, які задовольняють умову:

,

де 0 = sup{2c0 – 22a12n3/1 – b0/(2a0 – 1) : 1 (22a12n3/(2c0),2a0)}. У дисерта-ції побудовано приклад, який показує, що отриманий клас єдиності розв'язку системи нерів-ностей (4) у певному сенсі є точним.

Далі на параметри , та геометрію області робимо припущення, які забезпечують компактне вкладення простору V, в [L2,()]N.

Теорема 2.6. Нехай виконуються сформульовані вище умови 1)-3) на коефіцієнти нерівності (4); 1; (0,2); C0() K; елементи матриць Aij,Bi, {i,j}{1,…,n}, належать до C((– ,T];L()); для довільного > 0 існує таке 2 = 2() > 0, що для всіх (0, 2) і м.д.в. (x,t) QT вико-нується оцінка ||C(x,t) – C(x,t – );M|| |x|2( – 1). Якщо etF L2(– ,T;[L2,()]N) для деякого < 0/2, то існує розв'язок системи (4), який задовольняє оцінку

, (– ,T],

де C3 не залежить від u,,F.

Аналогічні результати можна отримати і для варіаційних нерівностей вищого порядку.

Відповідну системі (4) нерівність з обмеженими коефіцієнтами в силь-ному формулюванні для випадку N = 1, = 1 та спеціальним чином вибраної множини K вивчив Фрідман А. Системи нерівностей зі зроста-ючими коефіцієнтами у слабкому формулюванні раніше не вивчалися.

У підрозділі 2.3 за допомогою методу введення параметра отримано клас єдиності розв'язку параболічної варіаційної нерівності з обмеженими коефіцієнтами в області, необмеженій за x.

У третьому розділі дисертаційної роботи вивчено системи параболічних варіацій-них нерівностей без початкових умов в узагальнених просторах Соболєва W1,p(x). Ці простори є ще недостатньо вивченими. На підставі відомих автору дисертації властивостей таких просторів не можна було провести повне дослідження задач, які розглянуто в дисертації. Тому у підрозділі 3.1 наведено деякі нові властивості просторів W1,p(x).

Нехай – обмежена область, p,q – вимірні функції,

1 < p1 p(x) p2 < +, 1 < q1 q(x) q2 < +, x . (5)

Визначимо функціонал p(,) за правилом: p(v,) = |v(x)|p(x)dx. Тоді Lp(x)() = {v : p(v,) < +} називають узагальненим просто-ром Лебега. Ковачек О. та Ракоснік Ю. довели, що Lp(x)() є банаховим простором з нормою ||v;Lp(x)()|| = inf{ > 0: p(v/,) 1}. Узагальненим простором Соболєва W1,p(x) називають множину функ-цій, які разом зі своїми узагальненими похідними першого порядку належать до Lp(x)(). Відомо, що цей простір є банаховим з нормою ||f;W1,p(x)()|| = ||1||Df;Lp(x)()||. Нехай W01,p(x)() – замикан-ня C0() за нормою простору W1,p(x)(); X – замкнений підпростір, W01,p(x)() X W1,p(x)(), H = L2(), V = X H Lq(x)(); U(Q0,T) – простір функцій u(x,t), (x,t) Q0,T, з нормою ||u;U(Q0,T)|| = ni=1||u;Lp(x)(Q0,T)|| + ||u;L2(Q0,T)|| + ||u;Lq(x)(Q0,T)||; <<,>> – ска-лярний добуток між [U(Q0,T)]* і U(Q0,T); R(r) = nr/(n – r) при 1 r < n і R(r) = + при n r.

За певних умов на функцію p, зокрема, коли p2 R(p1), доведено узагальнену нерівність Пуанкаре (теорема 3.1), аналог неперервності в середньому функцій з Lp(x)(Q0,T) (теорема 3.3), властивості усереднення (теорема 3.4) та регуляризуючої послідовності (теорема 3.5) функцій з цього простору та деякі інші властивості узагальнених просторів Собо-лєва, які дозволяють довести формулу інтегрування частинами (теорема 3.8) в такому вигляді: для довільної функції uU(Q0,T)C([0,T];H) такої, що ut [U(Q0,T)]*, та будь-яких t1,t2 [0,T], t1 < t2, маємо, що 2<<ut,u>> = |u(t2)|2H – |u(t1)|2H, де – індикатор відрізку [t1,t2].

Підрозділ 3.2 присвячено вивченню задачі Фур'є для системи варіа-ційних нерівностей в QT. Нехай – обмежена область; p,q – вимірні функції, які задовольняють умови (5); p2 2 < R(p1); NN; X1 – замкнений підпростір, [W01,p(x)()]N X1 [W1,p(x)()]N, H1 = [L2()]N,
V1 = X1 H1 [Lq(x)()]N; K – замкнена опукла підмножина множини V1, яка містить нульовий елемент; U1(Q) – простір вектор-функцій u(x,t), (x,t) Q, з нормою ||u;U1(Q)||= ; (,) – скаляр-ний добуток в RN, <,> і <<,>> – відповідно скалярні добутки між V1* і V1 та [U1(Q)]* і U1(Q), t0 (– ,T); U1loc= {u : u U1(Q) t0(– ,T)}, W1loc= {u U1loc: ut [U1(Q)]* t0 (– ,T)}.

Означення. Функцію u U1loc C((– ,T];H1) таку, що u(t) K м.д.в. t(– ,T), називатимемо розв'язком системи варіаційних нерівностей

, (6)

якщо вона задовольняє (6) для всіх t1,t2 (– ,T], t1 < t2, і будь-яких v W1loc C((– ,T];H1),
v(t) K м.д.в. t (– ,T).

Вимагається виконання умов: 1) aij,gj, i {1,…,n}, j {1,…,N} та елементи матриці C нале-жать до L(QT); 2) aij(x,t) a0 > 0, gj(x,t) g0 > 0, i {1,…,n}, j {1,…,N}, (C(x,t), ) c0||2 для всіх RN та м.д.в. (x,t) QT, де c0 R. За вказа-них обмежень в теоремі 3.12 доведено єдиність розв'язку (6) в класі функцій, які задо-вольняють (2) зі сталою 0 = 2c0. Якщо вико-нуються зазна-че-ні вище умови 1), 2) на коефіцієнти системи (6) і: 3) aij,gj, i {1,…,n}, j {1,…,N}, та елементи матриці C належать до простору C((– ,T];L()); 4) існує таке число < c0, що
Nj=1[|Fj0|q(x)/(q(x) – 1) + ni=1|Fji|p(x)/(p(x) – 1)]e2tdxdt < +, то в теоремі 3.13 пока-зано, що існує розв'язок системи (6) і він задовольняє оцінку типу (3).

Зазначимо, що для доведення теореми 3.13 використано те, що відповідна система параболічних варіаційних нерівностей з початковою умовою та відповідна система рівнянь зі штрафом мають розв'язок. Оскільки ці результати є новими і мають самостійний інтерес, то вони наведені в теоремах 3.9-3.11.

У підрозділі 3.2 знайдено умови існування та єдиності розв'язку системи параболічних варіа-ційних нерівностей, частина яких в початковий момент часу t = 0 певним чином вироджується. Нехай – обмежена область; T > 0; N N; q – вимірна функція з умови (5); X1 – замкнений підпростір, [H01()]N X1 [H1()]N; H1 = [L2()]N; V1 = X1 [Lq(x)()]N; K – опукла замкнена підмножина V1, яка містить нульовий елемент; U1(Q) = L2(t1,T;X1) [Lq(x)(Q)], t1 (0,T); U2loc={u:uU1(Q) t1 (0,T)}, W2loc = {u U2loc: ut [U1(Q)]* t1 (0,T)}. Для функції
u = colon(u1,…,uN) і числа l N, 1 l N, позначимо = colon(u1,…,ul), = colon(ul+1,…,uN). Нехай u,F – вектори з RN; ,Aij,Bi, {i,j} {1,…,n}, C, G – матриці-функції розміру N N з обмеженими коефіцієнтами, причому, G = diag(g1,…,gN), = , де 1 – матриця-функція розміру l l, E – оди-нична матриця.

Означення. Функцію u U2loc C((0,T];H1), u(t) K м.д.в. t (0,T), називати-мемо розв'язком системи варіаційних нерівностей

, (7)

якщо вона задовольняє (7) для всіх t1,t2 (0,T], t1 < t2, та будь-яких v W2loc C((0,T];H1), v(t) K м.д.в. t (0,T).

У роботі, зокрема, вимагається виконання таких умов: 1) 1 – симетрична матриця з елемен-тами з простору ; 2) для всіх наборів (1,…,n), i RN, i {1,…,n}, і м.д.в. (x,t)Q0,T вико-нуються оцінки: gj(x,t) g0 > 0, j{1,…,N}, ni,j=1(Aij(x,t)i,j) a0ni=1|i|2, де a0 > 0; 3) існує число t0(0,T] таке, що м.д.в. (x,t)Q і для всіх векторів Rl, RN виконуються оцінки:
(t)||2 (1(x,t),) (t)0(t)||2, 1(t)'(t)||2 (1,t(x,t),) 2(t)'(t)||2, (C(x,t),) c0'(t)2(t), де C1([0,t0]), додатні функції 0, 1, 2 є обмеженими, (0) = 0, (t), '(t) > 0 при t (0,t0], c0, R.

За виконання цих та деяких інших умов в теоремі 3.15 доведено, що (7) не може мати більше одного розв'язку, який задовольняє умову:

((x,t)u(x,t),u(x,t))dx = 0,

де стала визначається коефіцієнтами системи (7).

Нехай виконуються сформульовані вище умови на коефіцієнти системи (7) і додатково:
4) елементи матриць Aij,Bi, {i,j} {1,…,n}, C, G належать до простору C((0,T];L());
5) F()=tdxdt < +, (0,t0], де стала залежить від коефіцієнтів (7), та деякі інші умови. Якщо F L2(Q), то в теоремі 3.16 доведено, що існує розв'язок u системи (7) і таке число (0,t0), що виконується оцінка

де стала C4 не залежить від u,F,.

Варіаційну нерівність з іншим, ніж у (7), характером виродження у звичайних просторах Соболєва дослідили раніше Бернарді М.Л. і Поззі Г.А. Нерівності в узагальнених просторах Соболєва раніше не вивчалися.

У четвертому розділі дисертації досліджено параболічні варіаційні не-рівності вищого порядку у сильному формулюванні.

У підрозділі 4.1 розглянуто варіаційну нерівність з початковими умо-вами в обме-женій області Q0,T. Нехай m, l N; V – замкнений підпростір, H0m() V Hm(); K – замкнена опукла множина в V, яка містить нульовий елемент.

У теоремі 4.1 доведено існування та єдиність такої функції u L(0,T;V), що ut L(0,T;V), ut(t) K м.д.в. t (0,T), utt L(0,T;L2()) L2(0,T;Hl()), u(0) = u0, ut(0) = u1,

<utt(t) + A1(t)ut(t) + A2(t)u(t) – f(t),v(t) – ut(t)>dt 0 (8)

для всіх (0,T] та всіх v L2(0,T,V), v(t) K м.д.в. t (0,T). У (8) A1(t), A2(t):V V* – сім'ї лінійних еліптичних операторів відповідно порядку 2l і 2m, m > l 1, t [0,T]. У цьому підрозділі вивчено загальніші, ніж у Ліонса Ж.-Л. та Глазатова С.Н., варіаційні нерівності при слабших умовах на вихідні дані.

У підрозділі 4.2 вивчено параболічну варіаційну нерівність четвертого порядку без початкових умов. Нехай – обмежена область; V – замк-нений підпростір, H02() V H2(); K – опукла замкнена множина в V, 0 K; оператори A1(t), A2(t):V V*, t (– ,T], визначимо так: <A1(t)u,v> = [ni,j=1bij+ huv]dx, <A2(t)u,v> = [ni,j,k,l=1+ ni,j=1dij+ cuv]dx, u,v V.

Означення. Функцію u таку, що u,ut Lloc (– ,T;V), utt Lloc (– ,T;L2()), u(t) + ut(t) K м.д.в. t (– ,T), називатимемо розв'язком варіаційної нерівності

<utt(t) + A1(t)ut(t) + A2(t)u(t) – f(t),v(t) – u(t) – ut(t)>dt 0, (9)

якщо вона задовольняє (9) для будь-яких t1,t2(– ,T], t1 < t2, і довільних функцій vLloc (–,T;V), v(t) K м.д.в. t (– ,T).

Вимагатимемо виконання таких умов: 1) функції ,bij,bij t,dij,dij t, {i,j,k,l} {1,…,n}, c, ct,h,ht належать до простору L(QT); 2) квадратичні форми, складені з коефіцієнтів ,bij,dij, {i,j,k,l} {1,…,n}, є додатновизначеними; 3) c(x,t) c0, h(x,t) h0 м.д.в. (x,t) QT, де c0 + h0 > 1. За цих умов в теоремі 4.2 доведено єдиність розв'язку (9) в класі функцій, які задовольняють умову

+ |ut(x,t)|2 + |u(x,t)|2]dx = 0,

де стала залежить від коефіцієнтів нерівності (9).

У теоремі 4.3 за додаткової умови etf, etft L2(QT), де стала визна-чається коефіцієнтами
(9), доведено існування такого розв'язку цієї нерівності, що etu, etut L(– ,T;V),
etutt L(–,T;L2()) L2(– ,T;H1()).

Параболічні варіаційні нерівності вищого порядку без початкових умов раніше не вивчалися.

У дисертаційній роботі наведено приклади застосування розглянутих варіаційних нерівностей до вивчення коректності деяких крайових задач для відповідних рівнянь в частинних похідних.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена побудові класів існування та єдиності розв'яз-ків деяких класів параболічних варіаційних нерівностей і їх систем з по-чатковими та без початкових умов.

У дисертації отримано такі результати:

1) умови існування та єдиності розв'язку нових класів слабко неліній-них параболічних варіаційних нерівностей без початкових умов, які ви-значаються поведінкою при t вихідних даних задачі і її розв'язку;

2) для системи лінійних варіаційних нерівностей зі зростаючими коефі-цієнтами в області, необмеженій за всіма змінними, знайдено нові умови однозначної розв'язності цієї задачі в класі функцій, поведінка яких на нескін-ченності визначається експонентою , де
R; > 0, 1;

3) в узагальнених просторах Соболєва знайдено нові умови однознач-ної розв'яз-ності задач з початковою умовою для систем рівнянь та варіаційних нерів-ностей, які узагальнюють рівняння політропної фільтрації, і за їх допомогою в узагальнених просторах Соболєва побудовано кла-си існування та єди-ності розв'язку задач без початкових умов для нових систем нерів-нос-тей з ви-родженням та систем нерівностей в необмеженій за часовою змінною області;

4) визначено умови існування та єдиності сильних розв'язків задач з почат-ковими умовами та задачі Фур'є для лінійних варіаційних нерівностей вищого порядку в загальному вигляді.

Отримані в дисертації разультати є поширенням вже відомих для параболічних варіаційних нерівностей результатів на нові класи нерівностей.

Для обгрунтування результатів дисертації модифіковано метод штрафу, який ви-користано для доведення існування розв'язку параболічних варіаційних нерівностей.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер і можуть бути застосовані в теорії диференціальних рівнянь в частинних похідних і математичній фізиці.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Бугрій О.М. Деякі параболічні варіаційні нерівності без початкових умов // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1998. – Вип. 49. – С. 113-121.

2. Бугрій О.М. Системи параболічних варіаційних нерівностей в необмеженій області
// Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1999. – Вип. 53. – С. 77-86.

3. Бугрій О., Лавренюк С. Мішана задача для параболічного рівняння, яке узагальнює рівнян-ня політропної фільтрації // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2000. – Вип. 56 – С. 33-43.

4. Бугрій О.М., Лавренюк С.П. Параболічна варіаційна нерівність, що узагальнює рівняння політропної фільтрації // Укр. мат. журн. – 2001. – Т.53, N7. – С. 867-878.

5. Buhrii O.M. Parabolic variational inequalities with degeneration // Мате-матичні студії. – 1999. – Т.11, N2. – С. 189-198.

6. Бугрій О.М. Параболічна варіаційна нерівність четвертого порядку в необмеженій області
// VIII Міжнародна наук. конф. імені академіка М. Кравчука (11-14 травня 2000 р., Київ): Матеріали конф. – К., 2000. – С. 38.

7. Бугрій О. Параболічні варіаційні нерівності вищого порядку без початкових умов
// Міжнародна наук. конф. "Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь" (1-5 жовтня 2001 р., Дрогобич): Тези доп. – К., 2001. – С. 28.

8. Buhrii O.M. System of parabolic variational inequality of politropic filtration type // International conference “Nonlinear Partial Differential Equations” (Lviv, August 23-29, 1999): Book of abstracts. – Lviv. – P. 38.

9. Buhrii O. The system of degenerated parabolic variational inequalities // Ukrainian congress of mathematics. International conference “Nonlinear Partial Differential Equations” (Kyiv, August 22-28, 2001): Book of abstracts. – Donetsk. – P. 28.

АНОТАЦІЇ

Бугрій О.М. Параболічні варіаційні нерівності без початкових умов. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2001.

Дисертація присвячена знаходженню умов існування та єдиності розв'язків деяких типів параболічних варіаційних нерівностей та їх сис-тем без початкових умов.

У дисертаційній роботі знайдено класи існування та єдиності розв'язку задач без початкових умов для слабко нелінійних параболічних варіацій-них нерівностей та систем лінійних параболічних варіаційних нерівностей зі зростаючими коефі-цієнтами в областях, необмежених за всіма змінни-ми. Знайдено умови, які гарантують існування та єдиність розв'язків з узагальнених просторів Соболєва W1,p(x), 1 < p(x) 2, систем параболічних варіаційних нерівностей без почат-кових умов, в тому числі і систем з виродженням. Для лінійних варіаційних нерівностей вищого порядку знайдено умови існування та єдиності розв'язку задач з початковими та без початкових умов. У задачах Фур'є розв'язок отримано в класі функцій, які можуть зростати при t не швидше за e t, R.

Ключові слова: параболічна варіаційна нерівність, система варіацій-них нерів-ностей, задача без початкових умов, виродження на початковій гіперплощині, умови існування та єдиності розв'язку, узагальнені прос-тори Соболєва.

Buhrii O.M. Parabolic variational inequalities without initial conditions. – Manuscript.

The thesis for Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph. D), specialization 01.01.02 – Differential Equations. – Ivan Franko Lviv National University, Lviv, 2001.

Thesis is devoted to existence and uniqueness results for solutions of Fourier problems for some typies parabolic variational inequalities and systems of inequelities.

The classes of existence and uniqueness of solutions of problems without initial data for weak nonlinear parabolic variational inequalities and systems of the linear variational inequalities in unbounded (with respect to all variables) domains are found. Existence and uniqueness conditions for solutions in generalized Sobolev spaces W1,p(x), 1 < p(x) 2, of systems variational inequalities without initial conditions and systems of degenerated inequalities are obtained. For higher order parabolic variational inequalities it is found conditions for existence and uniqueness of solutions of problems with, and without, initial data. For Fourier problems, the asymptotic behaviour of solutions is like et, R, as t .

Key words: parabolic variational inequality, system of variational inequaliproblem without initial data, degenerations on initial hyperplane, exisand uniqueness conditions of solution, generalized Sobolev spaces.

Бугрий О.Н. Параболические вариационные неравенства без началь-ных условий. – Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения, Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2001.

Диссертация посвящена исследованию условий существования и единственности решений некоторых классов параболических вариационных неравенств и их систем без начальных условий в цилиндрических областях.

В диссертационной работе получены такие результаты.

1. Условия существования и единственности решений новых классов слабо нелинейных параболических вариационных неравенств без началь-ных условий, которые определяются поведением при t исходных даных задачи и её решения.

2. Для системы линейных вариационных неравенств с неограничен-ными коэффициентами в областях, неограниченных по всех переменных, найдены новые условия однозначной разрешимости этой задачи в классе функций, пове-дение которых на бесконечности определяется экспонентой .

3. Получены новые свойства обобщённых пространств Соболева W1,p(x).

4. В обобщённых пространствах Соболева W1,p(x), 1 < p(x) 2, найдены новые классы существования и единственности решений таких задач:

- задачи с начальным условием для систем параболических урав-нений со
штрафом, которые обобщают уравнения политропной фильтрации;

- задачи с начальным условием для систем параболических вариацион-ных
неравенств, которые обобщают уравнения политропной фильтрации.

С их помощью в пространствах W1,p(x), определены классы существования
и единственности решений таких задач Фурье:

- новых систем параболических вариационных неравенств без начальных условий в
неограниченной по t и ограниченой по x цилиндрической области;

- новых вырождающихся систем параболических вариационных нера-венств в
ограниченной цилиндрической области.

5. Определены условия существования и единственности решения задачи с начальными условиями для линейных вариационных неравенств, которые содержат производные до второго порядка по t и производные произвольного порядка по x.

6. Получены условия существования и единственности решения линейных параболических вариационных неравенств высокого порядка без началь-ных условий.

Для доказательства единственности решений рассматриваевых задач использован метод от обратного. Пусть неравенство имеет два решения. Тогда при помощи елементарных преобразований и, так называемой, регуляризирующей последова-тельности функций имеем не-равенство на разность этих решений, из которого и получаем искомый результат.

Существование решения вариационного неравенства доказывается ме-тодом штрафа, который состоит в том, чтобы решение неравенства по-лучить как предел последовательности решений начально-краевых задач для уравнений со штрафом. Этот метод в дисертации модифицирован для каждой рассматриваемой задачи.

Решение вариационных неравенств без начальных условий в облас-ти T) получено следующим образом. В областях kT), k = k0,k0+1,k0+2,…, где k0 N, – k0<T, рассматривается задача с нулевым начальным условием для параболического уравнения со штра-фом (во втором и четвёртом разделе диссертационной работы) или для параболического вариационного неравенства (в третьем разделе диссер-тации). Показывается, что эти задачи имеют решение uk, которое мы продолжаем нулём при t < – k. Решение искомой задачи получаем как предел некоторой подпоследовательности из .

Полученные в диссертационной работе результаты являются распостранением уже известных для параболических вариационных неравен-ств результатов на новые классы вариационных неравенств.

Для обоснования результатов диссертации использованы метод штра-фа, метод Галёркина, метод введения параметра, методы монотонности и компактности.

Результаты диссертации имеют теоретическое значение. Они могут использо-ватся при дальнейшых исследованиях в теории дифференциаль-ных уравнений с часными производными и математической физике.

Ключевые слова: параболическое вариационное неравенство, система вариационных неравенств, задача без начальных условий, вырождение на начальной гипперплоскости, условия существования и единственности решения, обобщённые пространства Соболева.

Підписано до друку 28.02.2002р.
Формат 60 x 90 1/16
Папір офсетний. Умовн. друк. арк. 0.9
Тираж 100 прим. Зам N 75

Надруковано у видавничому центрі Львівського національного
університету імені Івана Франка
79000, м. Львів, вул. Дорошенка, 41