ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Ім. В. Н. КАРАЗІНА

Бритік Валерій Володимирович

УДК 517.518.6

МАЙЖЕ ПЕРІОДИЧНІ РОЗВ'ЯЗКИ АЛГЕБРАЇЧНИХ ТА ІНШИХ

ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

01.01.01 - математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків - 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті ім. В.Н. Каразіна

Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, доцент

Фаворов Сергій Юрійович,

завідувач кафедри теорії функцій та функціонального аналізу

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,професор,

Гришин Анатолій Пилипович

завідувач кафедри математичного аналізу

Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Васильків Ярослав Володимирович

доцент кафедри математичного та функціонального аналізу

Львівського національного університету ім. І.Франка

Провідна установа : Інститут математики НАН України, м.Київ

відділ комплексного аналізу і теорії потенціалу

Захист відбудеться " 11 " червня 2002 р. о 15.30 на засіданні спеціалізованої вченої ради К64.051.11 у Харківському національному університеті ім. В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, майдан Свободи, 4, ауд. 6-48.

З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна (61077, м. Харків, майдан Свободи, 4).

Автореферат розісланий " 10 " травня 2002 р.

Вчений секретар Фардигола Л.В.

спеціалізованої вченої ради

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія майже періодичних функцій, створена в роботах Г.Бора ще у двадцятих роках минулого століття, завжди залучала інтерес математиків. Досить відзначити, що в цієї області, крім самого Г.Бора, працювали М.Вейль, Н.Вінер, Дж. Тло Нейман, С.Бохнер, Н.Боголюбов .

Голоморфними майже періодичними функціями в смузі, крім самого М.Бора, займалися Б.Йессен , Г. Торнехав , М.Г.Крейн, Б.Я.Левин. Наприкінці двадцятого століття з'явилися роботи Л.И.Ронкина , А.Рашковского , С.Фаворова, де результати про голоморфні майже періодичні функції у смузі поширювалися на функції, голоморфні в трубчастих областях.

У дослідженнях з майже періодичних функцій неодноразово виникало питання про майже періодичні розв'язки функціональних рівнянь. Легко бачити, що неперервний розв'язок навіть найпростішого рівняння з майже періодичною правою частиною не зобов'язан бути майже періодичним. Якщо, наприклад, , і знак вибирається досить довільно, то ні періодичності ні майже періодичності від чекати не можна.

Питання про майже періодичність розв'язків розглядався А. Вальтером і Г.Бором і Д.Фландерсом (там було доведено майже періодичність неперервного розв'язка алгебраїчного рівняння зі старшим коефіцієнтом 1, із майже періодичними іншими коефіцієнтами і з відмежованим від нуля дискримінантом), а також Р. Камероном (де доводилася майже періодичність розв'язків рівнянь при досить жорстких умовах на ; ці умови подібні тим, що були в цитованих роботах А. Вальтера і Г.Бора і Д.Фландерса і збігаються з ними, якщо є поліномом за змінною .)

Відзначимо також, що Е.Гориним і В.Лином цілком вивчени розв'язки алгебраїчних рівнянь істотно більш загального виду, коефіцієнти яких є неперервними функціями на довільній топологічній групі. Однак і там на рівняння накладаються обмеження того ж типу, що і в цитованих роботах А. Вальтера і Г.Бора і Д.Фландерса .

М.Бором і Д.Фландерсом розглядалися також розв'язки алгебраїчних рівнянь з майже періодичними голоморфними на смузі коефіцієнтами; тут також доводилася майже періодичність розв'язків у випадку старшого коефіцієнта рівного 1 і дискримінанта, що не має нулів .

Однак були підстави вважати, що ці обмеження для розв'язків алгебраїчних рівнянь із голоморфними майже періодичними коефіцієнтами зайві. Так, відповідно до класичної теореми

Бора, будь-який неперервний розв'язок рівняння у смузі, з голоморфними майже періодичними , , також є голоморфною майже періодичною функцією.

Єдиний результат, що стосується алгебраїчного нелінійного рівняння з голоморфними коефіцієнтами, належить Б.Иессену і М.Торнехаву. Вони довели, що будь-який голоморфний у смузі розв'язок рівняння з голоморфною майже періодичною в смузі функцією є також майже періодичним. Однак, як докладно показано в першому розділі, доказ цього результату істотно не повен.

Таким чином, актуальною залишається задача про майже періодичність неперервних розв'язків алгебраїчних рівнянь з майже періодичними голоморфними в смузі коефіцієнтами і також дослідження розв'язків рівнянь виду , де голоморфна майже періодична за змінною у смузі функція.

У зв'язку із сучасними дослідженнями з голоморфних майже періодичних функцій багатьох комплексних змінних актуальної є також задача поширення цих результатів на голоморфні майже періодичні функції у трубчастій області.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу В.В.Бритіка виконано у рамках тем "Функційні простори та напівгрупи" (0100U003348 номер державної реєстрації 2-11-00) та "Функційні простори та теорія операторів" (0197U015780 номер державної реєстрації 2-11-97), які виконуються згідно кафедральним планам науково-дослідних робіт.

Мета й задачі дослідження. Об'єктами дослідження є голоморфні майже періодичні функції у смузі і трубчастій області, а також, голоморфні майже періодичні функції, що залежать від параметрів.

Предметом дослідження є голоморфні і мероморфні розв'язки алгебраїчних рівнянь з голоморфними майже періодичними в смузі (у трубчастій області) коефіцієнтами, а також, голоморфні розв'язки рівнянь виду , з голоморфною майже періодичною по у смузі функцією .

Основні задачі дослідження наступні:

1.знайти достатні умови для того, щоб неперервні розв'язки алгебраїчних рівнянь з голоморфними майже періодичними в смузі коефіцієнтами були майже періодичними;

2. знайти достатні умови для того, щоб неперервні розв'язки алгебраїчних рівнянь с голоморфними майже періодичними в трубчастій області коефіцієнтами були майже періодичними;

3.дослідити голоморфні розв'язки рівнянь виду , з голоморфною майже періодичною за у смузі функцією ;

4. знайти достатні умови на функцію для того, щоб голоморфні розв'язки рівняння були майже періодичними.

Методами дослідження є методи теорії майже періодичних функцій, а також методи теорії функцій однієї і багатьох комплексних перемінних.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі вперше:

1. Доведено, що неперервні розв'язки будь-якого алгебраїчного рівняння с голоморфними майже періодичними на смузі коефіцієнтами завжди майже періодичні;

2.Доведено, що мероморфні розв'язки алгебраїчних рівнянь з голоморфними майже періодичними в смузі коефіцієнтами не можуть мати нульову щільність полюсів;

3.Доведено, що неперервні розв'язки будь-якого алгебраїчного рівняння з голоморфними майже періодичними в трубчастій області коефіцієнтами завжди майже періодичні;

4.Одержано узагальнення класичної теореми Бора про частку двох голоморфних майже періодичних на смузі функцій на трубчасту область;

5.Доведено, що мероморфні розв'язки алгебраїчних рівнянь с голоморфними майже періодичними у трубчастій області коефіцієнтами не можуть мати нульову щільність полюсів;

6.Одержано достатні умови для того, щоб розв'язок системи алгебраїчних рівнянь з голоморфними майже періодичними в трубчастій області коефіцієнтами був майже періодичними в трубчастій області;

7.Одержано достатні умови для того, щоб неперервний розв'язок рівняння з голоморфною майже періодичною за на смузі функцією був майже періодичною функцією.

8.Одержано достатні умови для того, щоб неперервний розв'язок рівняння з голоморфною майже періодичною за у трубчастій області функцією був майже періодичною функцією.

9.Одержано достатні умови для того, щоб неперервний розв'язок системи рівнянь з голоморфним майже періодичним за на смузі відображенням та якобіаном, що може мати нулі , був майже періодичним відображенням.

10.вперше отримані достатні умови для того, щоб неперервний розв'язок системи рівнянь , з голоморфним майже періодичним по у трубчастій області відображенням та якобіаном, що може мати нулі , був майже періодичним відображенням.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації носять чисто теоретичний характер. Вони можуть бути використані як у теорії майже періодичних функцій, так і інших розділах сучасної математики.

Особистий внесок здобувача. Постановки задач належать науковому керівнику С.Ю.Фаворову. Усі результати дисертації одержано автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися й обговорювалися на наступних конференціях:

1. Міжнародна конференція з математичного аналізу та економіки (Суми, 19-22 Жовтня, 1999 року);

2. Міжнародна конференція " Цілі і мероморфні функції" присвячена 70-річчю з дня народження А.А.Гольдберга.(Львів, 23-25 Травня, 2000 року);

3. Міжнародна наукова конференція з комплексного аналізу і теорії потенціалу(Київ, 7-12 Августа, 2001 року);

4. Міжнародна наукова конференція з теорії функцій і математичної фізики присвячена 100-річчю Н.І.Ахієзера(Харків, 13-17 Августа, 2001 року);

5. Харківський міський семінар по теорії функцій.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 3 статтях[1-3] і в 2 тезах конференцій[4,5].

Об'єм і структура дисертації. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 65 найменування. Загальний обсяг дисертації 118 сторінок, обсяг списку використаних джерел 6 сторінок.

Автор щиро дякує науковому керівнику Фаворову Сергію Юрієвичу за постановки задач та постійну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі зроблено огляд літератури, виділено напрямки дослідження, дано означення основних понять та подано допоміжні результати. Основним поняттям, яке використовується у дисертаційній роботі, є поняття майже періодичної функції, яке було вперше введено у двадцятих роках минулого століття Г.Бором. Почнемо з необхідних означень.

Означення 1.1. Функція називається майже періодичною на дійсній осі , якщо для кожного , множина відносно щільні на ; множину назвемо водносно щільною якщо для деякого і для кожного , .

Теорема 1.2.(Г.Бор і Д.Фландерс.) Якщо всі коефіцієнти рівняння

голоморфні і майже періодичні на смузі , і дискримінант на смузі , тоді усі різних голоморфних розв'язків цього рівняння майже періодичні на смузі .

З іншого боку має місце наступна теорема.

Теорема 1.3.(Г.Бор.) Нехай і голоморфні майже періодичні на смузі функції. Якщо частка голоморфна функція на смузі , тоді майже періодична функція на смузі .

Тому були підстави вважати, що в теоремі Г.Бора і Д.Фландерса обмеження на старший коефіцієнт і дискримінант зайві.

Єдиний раніше відомий результат, що стосується алгебраїчного нелінійного рівняння з голоморфними на смузі , належить Б.Иессену і Г.Торнехаву . У своїй роботі вони стверджують, що голоморфний розв'язок рівняння буде майже періодичною функцією.

Доказ цього факту, на думку автора, не повен.

У підрозділі 1.3 ми будуємо приклад майже періодичної функції на дійсній осі , що ніде не перетворюється на нуль, але квадратний корінь з якої вже не є майже періодичною функцією.

Розділ 2 містить результати про алгебраїчні рівняння с голоморфними майже періодичними на смузі коефіцієнтами. У цьому розділі доводиться, що неперервні розв'язки таких рівнянь завжди майже періодичні. Також розглядаються мероморфні розв'язки алгебраїчних рівнянь. У цьому розділі ми одержуємо достатні умови для того, щоб неперервний розв'язок рівняння з голоморфной майже періодичної за на смузі функцією був майже періодичною функцією і одержуємо достатні умови для того, щоб неперевний розв'язок системи рівнянь з голоморфним майже періодичним за на смузі відображенням був майже періодичним відображенням.

Підрозділ 2.1 присвячений неперервним та мероморфним розв'язкам алгебраїчних рівнянь із голоморфними майже періодичними на смузі коефіцієнтами.

Відзначимо ще декілька еквівалентних означень майже періодичної функції.

Означення 2.1. Функція називається майже періодичною на дійсній осі , якщо належить замиканню множини кінцевих експонентних сум

у топології рівномірної збіжності на .

Далі, нехай S смуга (a може бути і може бути +). Ми пишемо якщо , .

Означення 2.2. Функція називається майже періодичною на смузі якщо належить замиканню множини кінцевих експонентних сум (1) у топології рівномірної збіжності в кожної підсмузі .

Означення 2.3. Функція називається майже періодичною на дійсній осі якщо сім'я відносно компактна в топології рівномірної збіжності на .

Означення 2.4. Функція називається майже періодичною на смузі якщо сім'я відносно компактна в топології рівномірної збіжності чи в топології рівномірної збіжності на кожній підсмузі .

Означення 2.5. Будемо говорити, що послідовність функцій збігається до функції у

просторі , якщо на будь-якій , такий, що , послідовність збігається рівномірно, тобто

при

(неважко побачити, що в цьому випадку ).

Означення 2.6. Простір голоморфних майже періодичних функцій на смузі з топологією рівномірної збіжності на кожній підсмузі позначимо .

Означення 2.7. Нульову множину функції позначимо .

Розглянемо алгебраїчне рівняння

(3)

де - голоморфні майже періодичні функції на смузі для всіх .

Теорема 2.1. Нехай функція є неперервний розв'язок рівняння (3) у смузі та - голоморфні майже періодичні функції в смузі для всіх .

Тоді функція - голоморфна майже періодична функція на смузі .

Теорема 2.5. Нехай функція є мероморфним розв'язком рівняння (3) з , та нехай при цьому

для кожної .

Тоді .

Означення 2.8. Мероморфна функція на смузі ,

називається мероморфною майже періодичною на смузі якщо множина

відносно щільна на для кожного на будь-якій підсмузі , . Під будемо позначати сферичну метрику в .

Наведемо еквівалентне означення мероморфної майже періодичної функції.

Означення 2.9. Функція називається мероморфною майже періодичною на смузі якщо сім'я відносно компактна в топології рівномірної збіжності в сферичній метриці у кожної підсмузі .

Теорема 2.6. Нехай -мероморфний розв'язок (3), де - голоморфні майже періодичні функції на смузі . Нехай, далі, для будь-якої існує таке, що відстань між нулями і нулями на підсмузі не меньша за .

Тоді мероморфна майже періодична функція на смузі .

Підрозділ 2.2 присвячено майже періодичним розв'язкам функціональних рівнянь на смузі .

Означення 2.10. Функція називається майже періодичною на смузі , рівномірно по , де , , довільна множина, якщо сім'я функцій , компактна в топології рівномірної збіжності у кожній області , і .

Означення 2.11. Позначимо простір усіх голоморфних майже періодичних функцій на з топологією рівномірної збіжності на кожній множині , і .

Означення 2.12. Функція називається граничною для функції , ,якщо існує послідовність така, що послідовність збігається до у просторі .

Через ми позначимо відкриту кулю в радіуса з центром у точці 0. Через ми позначимо замкнуту кулю в радіуса з центром у точці 0.

Теорема 2.8. Нехай -голоморфна функція в області і нехай для будь-якої підсмуги і будь-якого функція майже періодична за рівномірно за .

Нехай -голоморфна функція на смузі така, що . Тоді якщо виконано три умови

1.;

2.;

3.;

то .

Майже періодичне відображення ,

де функції і майже періодичні в смузі , рівномірно по , де довільна множина у , будемо називати регулярним за Ронкіним, якщо , і те ж вірно для будь-яких граничних відображень .

Теорема 2.12. Нехай функція голоморфна в області , з наступними властивостями:

1. майже періодична за рівномірно відносно множини ;

2.Відображення є регулярним за Ронкіним.

Тоді якщо функція є голоморфним та обмеженим за модулем константою розв'язком рівняння , то .

Теорема 2.13. Нехай функції задовольняють нерівності:

, , де .

Тоді, якщо функція є голоморфним та обмеженим за модулем константою розв'язком рівняння ,

то функція .

Підрозділ 2.3 присвячено системам функціональних рівнянь на смузі .

Під у будемо розуміти .

У цій частині будемо розглядати відображення зі смуги у простір , де кожне координатне відображення - голоморфна функція для кожного .

Означення 2.13. Відображення зі смуги у простір називається майже періодичним, якщо сім'я відносно компактна в топології рівномірної збіжності на будь-який такий, що .

Означення 2.14. Позначимо простір усіх голоморфних майже періодичних відображень зі смуги у простір з топологією рівномірної збіжності на будь-який такий, що .

Означення 2.15. Відображення зі смуги у , що залежить від параметра , назвемо майже періодичним, рівномірно за , якщо сім'я при відносно компактна в топології рівномірної збіжності на , для довільної та довільної .

Це еквівалентно тому, що кожна функція для всіх буде майже періодичною

у смузі , рівномірно за .

Означення 2.16. Позначимо через простір усіх голоморфних майже періодичних відображень зі смуги у , що залежить від параметра , з топологією рівномірної збіжності в , для довільної та довільної .

Теорема 2.17. Нехай голоморфне відображення в області , і нехай відображення -майже періодичне за рівномірно за .

Нехай голоморфне та обмежене відображення зі смуги у простір . Позначимо через якобіан відображення по .

Тоді, якщо виконано умови

1.;

2.;

3. функція ,

то відображення голоморфне майже періодичне відображення зі смуги у простір , тобто функції , .

Розділ 3 містить результати про алгебраїчні рівняння з голоморфними майже періодичними в трубчастій області коефіцієнтами. У цьому розділі доводиться, що неперервні розв'язки таких рівнянь завжди майже періодичні. У цьому розділі ми також одержуємо достатні умови для того, щоб неперервний розв'язок системи алгебраїчних рівнянь з голоморфними майже періодичними у трубчастій області коефіцієнтами був також майже періодичним. У цьому розділі ми одержуємо достатні умови того, щоб неперервний розв'язок рівняння з голоморфною майже періодичною за на смузі функцією був майже періодичною функцією і одержуємо достатні умови для того, щоб неперевний розв'язок системи рівнянь з голоморфним майже періодичним за на смузі відображенням був майже періодичним відображенням.

Підрозділ 3.1 присвячено неперервним та мероморфним розв'язкам алгебраїчних рівнянь з голоморфними майже періодичними у трубчастій області коефіцієнтами.

Нехай опукла область в .

Означення 3.1. Трубчастою областю в ми назвемо область виду .

Означення 3.2. Назвемо функцію голоморфною майже періодичною в трубчастій області , якщо належить замиканню множині кінцевих експонентних сум виду

, , ,

у топології рівномірної збіжності у кожній меншій трубчастій області , такий, що .

Наступне означення є еквівалентним.

Означення 3.3. Функція називається голоморфною майже періодичною в трубчастій області , якщо сім'я компактна в топології рівномірної збіжності в кожній меншій трубчастій області , такий, що .

Означення 3.4. Позначимо простір голоморфних майже періодичних функцій у через .

Означення 3.5. Будемо говорити, що послідовність функцій збігається до функції у

просторі , якщо в будь-який , такий, що , послідовність збігається рівномірно , тобто

при

(неважко побачити, що в цьому випадку ).

Теорема 3.1 Нехай -неперервний розв'язок рівняння

у і , . Тоді .

Як наслідок із теореми 3.1, ми можемо перенести класичну теорему Бора зі смуги у трубчасту область .

Теорема 3.5. Нехай і голоморфні майже періодичні в смузі функції. Якщо частка голоморфна функція в смузі , тоді -майже періодична функція в смузі .

Введемо також означення.

- об'єм комплексно - мірної поверхні полюсів функції у множині .

Теорема 3.6 Нехай мероморфне розв'язок рівняння

в області , де функції , .

Припустимо, що об'єм множини полюсів функції задовольняє співвідношення

Тоді .

Підрозділ 3.2 присвячено майже періодичним розв'язкам функціональних рівнянь у трубчастій області .

Означення 3.6. Функція називається майже періодичною у трубчастій області , рівномірно за , де , , довільна множина, якщо сім'я функцій , компактна в топології рівномірної збіжності у кожній області , і .

Означення 3.7. Позначимо простір усіх голоморфних майже періодичних функцій у з топологією рівномірної збіжності на кожній множині , і .

Теорема 3.7. Нехай голоморфна функція в області і нехай для будь-який підобласти і будь-якого функція майже періодична за рівномірно за .

Нехай -голоморфна функція в трубчастій області така, що . Тоді якщо виконано умови

1.

2.

3.

то

Підрозділ 3.3 присвячено системам функціональних рівнянь у трубчастій області .

У цій частині будемо розглядати відображення з трубчастої області у простір , де кожне координатне відображення - голоморфна функція при кожном .

Означення 3.8. Відображення з трубчастої області у простір назвемо майже періодичним, якщо сім'я відносно компактна в топології рівномірної збіжності в будь-який , .

Означення 3.9. Позначимо простір усіх голоморфних майже періодичних відображень з трубчастої області у з топологією рівномірної збіжності в будь-який такий, що .

Будемо розглядати також відображення

....

.

зі смуги у , що залежить від параметра з .

Означення 3.10. Відображення виду (10) з трубчастої області у простір , що залежить від параметра , будемо називати майже періодичним, рівномірно за , якщо сім'я при відносно компактна у топології рівномірної збіжності в , для довільної такий, що та довільної .

Це еквівалентно тому, що кожна функція для всіх буде майже періодичною у трубчастої області , рівномірно за .

Означення 3.11. Позначимо простір усіх голоморфних майже періодичних відображень з трубчастої області у , що залежать від параметра , з топологією рівномірної збіжності в , для довільної такий, що та довільної .

Теорема 3.13. Нехай голоморфне відображення в області , і нехай відображення -майже періодичне по рівномірне за .

Нехай голоморфне та обмежене, , відображення з трубчастої множини у простір . Позначимо через якобіан відображення за .

Тоді, якщо виконано умови

1.;

2.;

3. функція ;

то відображення голоморфне майже періодичне відображення зі трубчастой множини у простір , тобто функції , .

Підрозділ 3.3 присвячений системам алгебраїчних рівнянь з голоморфними майже періодичними коефіцієнтами в трубчастій області .

Розглянемо систему з двох рівнянь:

де і належать (можливий випадок , тобто коли - смуга).

Нехай неперервний розв'язок системи.

У цьому підрозділі ми одержуємо достатні умови для того, щоб неперервний розв'язок системи алгебраїчних рівнянь з голоморфними майже періодичними у трубчастій області коефіцієнтами був також майже періодичним.

ВИСНОВКИ

У роботі були повністю досліджено неперервні розв'язки алгебраїчних рівнянь з голоморфними майже періодичними на смузі коефіцієнтами та доведено, що такі розв'язки завжди майже періодичні. Було також доведено, що такі рівняння не можуть мати мероморфних розв'язків з нульовою щільністю полюсів.

Було повністю розв'язано задачу стосовно майже періодичності неперервних розв'язків алгебраїчних рівнянь з голоморфними майже періодичними у трубчастій області коефіцієнтами та доведено, що такі розв'язки завжди майже періодичні. Було також доведено, що такі рівняння не можуть мати мероморфних розв'язків з нульовою щільністю поверхні полюсів.

Як слідство з цієї задачі, було одержано узагальнення класичної теореми Бора про частку двох голоморфних майже періодичних у смузі функцій на трубчасту область

У роботі були повністю досліджені голоморфні розв'язки системи двох алгебраїчних рівнянь з голоморфними майже періодичними в трубчастій області коефіцієнтами.

Були також досліджені голоморфні розв'язки рівнянь виду , з голоморфною майже періодичною за на смузі функцією та знайдені достатні умови на функцію для того, щоб голоморфні розв'язки такого рівняння були майже періодичні.

Досліджені також голоморфні розв'язки рівнянь виду , з голоморфною майже періодичною за у трубчастій області функцією та знайдені достатні умови на функцію для того, щоб голоморфні розв'язки такого рівняння були майже періодичні.

Одержані достатні умови для того, щоб неперервний розв'язок системи рівнянь , з голоморфним майже періодичним за на смузі (у трубчастій області ) відображенням та якобіаном, що може мати нулі, був майже періодичним відображенням.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Brytik V.V.,Favorov S.Yu. Solution of algebraic equations with almost-periodic coefficients.// Мат.Физ.Анал.Геом.?2000.-т.7(4).-стр.380-386.

2.BrytikV.V.Almost periodic solutions of functional equations.//- Мат.Физ.Анал.Геом.?2001.?т.8(3)-стр.239-250.

3. Бритик В.В. Голоморфное решение алгебраического уравнения с аналитическими почти периодическими коэффициентами.//? Мат.Студ.?2001.?т.15(2).?стр.191-199.

4. Brytik V.V. Almost periodic solutions of functional equations.// Матеріали Міжнародної Конференції "Комплексний Аналіз і Теорія Потенціалу.(7-12 серпня 2001р.,Київ)/ Укр.Мат.Конгр.?2001.?стр.9-10.

5. Brytik V.V. Implisit functions of analytic almost periodic functions.// Матеріали Міжнародної Конференції "Теорія Функцій і Математична Фізика."(13-17 серпня 2001р., Харків)/?2001.?стр.13.

АНОТАЦІЯ

Бритік В.В. Майже періодичні розв'язки алгебраїчних та інших функціональних рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01?математичний аналіз.?Харківський національний університет ім.В.Н.

Каразіна, Харків, 2002.

У дисертації вивчаються голоморфні розв'язки алгебраїчних рівнянь з голоморфними майже періодичними коефіцієнтами на смузі та в трубчастій області та доводиться, що голоморфні розв'язки таких рівнянь завжди майже періодичні. Як наслідок, одержано узагальнення класичної теореми Бора про частку двох голоморфних майже періодичних на смузі функцій на трубчасту область. У роботі доведено, що мероморфні розв'язки алгебраїчних рівнянь з голоморфними майже періодичними в смузі та в трубчастій області коефіцієнтами не можуть мати нульову щільність полюсів. У роботі одержано достатні умови для того, щоб неперервні розв'язки рівнянь з голоморфной майже періодичною за на смузі та в трубчастій області функцією був майже періодичною функцією. Одержано також достатні умови для того, щоб голоморфні розв'язки системи рівнянь з голоморфним майже періодичним за на смузі та в трубчастій області відображенням були майже періодичним відображенням.

Ключові слова: майже періодична функція, трубчаста область, майже періодичне відображення.

Бритик В.В. Почти периодические решения алгебраических и других функциональных уравнений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01?математический анализ.? Харковський национальний университет им.В.Н. Каразина, Харков, 2002.

Диссертация относится к теории почти периодических функций. В диссертации изучаются голоморфные решения алгебраических уравнений с голоморфными почти периодическими коэффициентами и некоторые другие классы функциональных уравнений.

В исследованиях по почти периодическим функциям неоднократно возникал вопрос о почти периодичных решениях функциональных уравнений. Вопрос о почти периодичности решений алгебраических уравнений рассматривался А.Вальтером и Г.Бором и Д.Фландерсом (там было доказано почти периодичность непрерывного решения алгебраического уравнения со старшим коэффициентом 1, с почти периодическими остальными коэффициентами и с отграниченным от нуля дискриминантом), а также Р.Камероном(где доказывалась почти периодичность решений уравнений при достаточно жестких условиях на ; эти условия подобны тем, которые были в цитированных работах А. Вальтера и Г.Бора и Д.Фландерса и совпадают с ними, если есть полином по переменной .)

Г.Бором и Д.Фландерсом рассматривались также решения алгебраических уравнений с почти периодическими голоморфными в полосе коэффициентами; здесь также доказывалась почти периодичности решений в случае старшего коэффициента равного 1 и не обращающегося в нуль дискриминанта.

Однако были основания считать, что эти ограничения для решений алгебраических уравнений с голоморфными почти периодическими коэффициентами излишни. Так, согласно классической теореме Бора, любое непрерывное решение уравнения в полосе(с голоморфными почти периодическими , ) также является голоморфной почти периодической функцией.

В диссертационой работе рассмаривается алгебраическое уравнение без ограничений на старший коэффициент и дискриминант алгебраического уравнения. В работе доказывается, что голоморфные решения любого алгебраического уравнения с голоморфными почти периодическими в полосе коэффициентами всегда почти периодичны. В работе доказано, что мероморфные решения алгебраических уравнений с голоморфными почти периодическими в полосе коэффициентами не могут иметь нулевую плотность полюсов. В работе получены достаточные условия для того, чтобы непрерывное решение уравнения , с голоморфной почти периодической по в полосе функцией , было почти периодической

Функцией, при этом либо накладывалось ограничение на поизводную функции (предполагалось, что -почти периодическая функция), либо рассматривались регулярные (в смысле Ронкина) отображения. В работе также получены достаточные условия для того, чтобы голоморфное решение системы уравнений , с голоморфным почти периодическим по в полосе отображением было почти периодическим отображением.

При этом накладывались ограничения на якобиан отображения : именно, предполагалось, что -почти периодическая функция.

В разделе 3 рассматриваются алгебраические и другие функциональные уравнения в трубчатой области. В работе доказано, что непрерывные решения любого алгебраического уравнения с голоморфными почти периодическими в трубчатой области коэффициентами всегда почти периодичны. Доказательство этого факта не является повторением доказательства одномерного варианта теоремы, а проводится по индукции, где базой индукции является некоторое обобщение одномерного варианта. Как следствие, получено обобщение классической теоремы Бора об отношении двух голоморфных почти периодических в полосе функций на трубчатую область. В работе также доказано, что мероморфные решения алгебраических уравнений с голоморфными почти периодическими в в трубчатой области коэффициентами не могут иметь нулевую плотность полюсов. В работе получены достаточные условия для того, чтобы решения системы двух алгебраических уравнений с голоморфными почти периодическими в трубчатой области коэффициентами были почти периодическими в трубчатой области. Показано, что эти условия зависят от результантов системы по обеим переменным. В работе получены достаточные условия для того, чтобы непрерывное решение уравнения с голоморфной почти периодической по в трубчатой области функцией было почти периодической функцией. В теореме накладывались ограничения на поизводную функции . Здесь предполагалось, что -почти периодическая функция в трубчатой области . В работе получены достаточные условия для того, чтобы голоморфное решение системы уравнений с голоморфным почти периодическим по в трубчатой области отображением было почти периодическим отображением. При этом накладывались ограничения на якобиан отображения

Ключевые слова: почти периодическая функция, трубчатая область, почти периодическое отображение.

Brytik V.V. Almost periodic solutions of algebraic and other functional equations. - Manuscript.

The dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences(Ph.D) in physics and mathematics, speciality 01.01.01-Mathematical analysis.-V.N. Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, Ukraine, 2002.

Holomorphic solutions of algebraic equations with almost periodic coefficients in strip or in tube domain are studied in the dissertation. It is proved that holomorphic solutions of such equations are almost periodic, too. Therefore, we get the generalization of the classical Bohr's theorem to the tube domain. It is proved that meromorphic solutions of such equations can not have relatively small number of poles (or relatively small surface of zeros in case of tube domain).

We get sufficient condition for holomorphic solution of the equation to be almost periodic function, where is almost periodic in(), uniformly in . We obtain sufficient condition for holomorphic solution of the system to be almost periodic mapping, where is almost periodic mapping in () into , uniformly in .

Key words: almost periodic function, tube domain, almost periodic mapping.

meromorphic with