НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України

Контрерас Дмитро Едгарович

УДК 681.3.057:518.12

МЕТОДИ ТА ЗАСОБИ КОМП'ЮТЕРНОЇ РЕАЛІЗАЦІЇ ІНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦІЙНИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ

Спеціальність

01.05.02 – Математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Одеському національному політехнічному університеті Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор, Тихончук Сергій Тимофійович Одеський національний політехнічний університет, завідувач кафедри комп'ютеризованих систем управління

кандидат технічних наук, доцент, Миргород Володимир Федорович, Одеський національний політехнічний університет, доцент кафедри комп'ютеризованих систем управління

Офіційні опоненти: член-кореспондент НАН України, доктор технічних наук, професор, Васильєв Всеволод Вікторович, керівник Відділення гібридних моделюючих і управляючих систем в енергетиці Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України, м.Київ. кандидат технічних наук, доцент Олецький Олексій Віталійович, Національний університет "Києво-Могилянська академія", доцент факультету інформатики, м. Київ.

Провідна установа: Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут" Міністерства освіти і науки України, Фізико-технічний інститут, м.Київ.

Захист відбудеться “24” жовтня 2002 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.185.01 Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України за адресою: 03680, м.Київ, вул. Генерала Наумова, 15.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України за адресою: 03680, м.Київ, вул. Генерала Наумова, 15.

Автореферат розісланий “23” вересня 2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

кандидат технічних наук Семагіна Е.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Ускладнення задач аналізу динаміки систем і розширення класу динамічних об'єктів, що досліджуються, обумовлює необхідність подальшого розвитку й удосконалення методів математичного моделювання, розробки нових ефективних методів і засобів комп'ютерної реалізації математичних моделей реальних фізичних об'єктів і процесів. При цьому потребують вирішення такі проблеми як підвищення адекватності математичних моделей, збільшення точності їх чисельної реалізації, зниження розмірності обчислювальних задач, розширення класу алгоритмів моделювання.

Позитивний внесок у рішення цих проблем для широкого кола прикладних задач в техніці та інших областях може бути внесений шляхом використання інтегро-диференціальних моделей. Зокрема, інтегро-диференціальними рівняннями описуються електричні ланцюги та електромеханічні комплекси, системи автоматичного управління з інерційним зворотним зв'язком, різні об'єкти і процеси в механіці і енергетиці. Задачі моделювання, в яких разом з поточною динамікою необхідно враховувати передчас стану об'єктів, природним образом приводять до інтегро-диференціальних моделей.

Крім того, для деяких задач застосування інтегро-диференціальних моделей має суттєві переваги при їх чисельній реалізації перед традиційними диференціальними моделями. Але проблеми застосування і особливо комп'ютерної реалізації інтегро-диференціальних моделей вирішені поки що недостатньо. Тому сукупність задач по дослідженню математичних моделей динамічних систем у вигляді інтегро-диференціальних рівнянь є важливою і актуальною, а розробка методів та засобів їх комп'ютерного моделювання необхідна для широкого кола прикладних задач розробки, проектування та дослідження об'єктів в науці та техніці.

У роботі над дисертаційним дослідженням автор спирався на праці й підтримку відомого фахівця з моделювання динамічних систем С.Т. Тіхончука.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Робота пов'язана з проектом 06.01/07868 Міністерства науки й технологій, тема №303-63 "Розробка впровадження апаратних і програмних засобів комп'ютерних систем управління технологічними процесами, що забезпечують високі якісні показники" кафедри комп'ютеризованих систем управління Одеського національного політехнічного університету, а так само з програмою досліджень Відділення ІПМЕ АН України при Одеському національному політехнічному університеті, тема №430-139 "Теорія, математичні моделі та методи реалізації прямих та зворотних задач в енергетиці та неруйнівному контролі".

Мета й задачі дослідження.

Метою роботи є розробка методів і засобів комп'ютерного моделювання лінійних і нелінійних динамічних систем на основі застосування інтегро-диференціальних рівнянь типу Вольтерра.

Поставлена мета досягається шляхом розв'язання ряду взаємопов'язаних задач:

1. На основі аналізу розповсюджених і перспективних класів прикладних задач дослідження динамічних систем окреслити області ефективного використання математичних моделей динаміки у вигляді інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра.

2. Проаналізувати якісні особливості інтегро-диференціальних динамічних моделей на основі теорії інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра.

3. Розробити та удосконалити методи комп'ютерної реалізації інтегро-диференціальних моделей динамічних систем, на основі квадратурно-різницевих алгоритмів та адаптації алгоритмів розв'язання інтегральних рівнянь.

4. Створити алгоритмічне забезпечення методів комп'ютерного моделювання динамічних систем, що описуються інтегро-диференціальними рівняннями типу Вольтерра.

5. Розробити програмні засоби для моделювання широкого класу динамічних об'єктів при застосуванні лінійних і нелінійних інтегральних та інтегро-диференціальних моделей.

6. Провести апробацію розроблених методів та засобів комп'ютерного моделювання шляхом розв'язання модельних та прикладних задач.

Об'єктом дослідження є інтегро-диференціальні моделі динамічних систем.

Предметом дослідження є методи та засоби комп'ютерної реалізації інтегро-диференціальних моделей динамічних систем.

Методи дослідження.

Методи чисельного аналізу (розробка алгоритмів реалізації інтегро-диференціальних моделей); методи організації комп'ютерних засобів моделювання (розробка програмного забезпечення); методи обчислювального експерименту (дослідження алгоритмів та програмних засобів); методи теорії автоматичного керування, теорії електричних ланцюгів і теорії в'язкопружності (математичний опис та аналіз низки прикладних задач).

Наукова новизна отриманих результатів.

1.Встановлено, що дієвим шляхом підвищення ефективності методів та засобів комп'ютерного моделювання динамічних систем є застосування інтегро-диференціальних рівнянь типу Вольтерра у якості математичних моделей цих систем.

2.Розроблено комплекс квадратурно-різницевих алгоритмів моделювання широкого класу лінійних і нелінійних динамічних систем. Створення алгоритмів ґрунтується на ефективному застосуванні однокрокових і багатокрокових обчислювальних схем та квадратурних методів при чисельній реалізації інтегро-диференціальних операторів.

3.Запропоновано метод чисельного розв'язку інтегро-диференціальних рівнянь зі слабко-сингулярними ядрами, який базується на використанні квадратурних формул відкритого типу, що забезпечує підвищену обчислювальну стійкість при комп'ютерному моделюванні об'єктів з пам'яттю.

4.Розроблено чисельний алгоритм розв'язку інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра з заданими крайовими умовами, що базується на сумісному використанні методу продовження рішення по параметру, методу Ньютона та квадратурно-різницевих обчислювальних схем, що забезпечує високу якість ітераційного процесу при реалізації моделей, які представлені багатокрапковими крайовими задачами.

5.Розроблено метод комп'ютерної реалізації інтегро-диференціальних моделей Вольтерра, в основу якого покладено автоматичну адаптацію квадратурних методів розв'язку інтегральних рівнянь, що забезпечує високу ефективність дослідження як лінійних так і нелінійних об'єктів.

Практичне значення отриманих результатів полягає у розробці комплексу програмних засобів моделювання лінійних та нелінійних динамічних систем, що описуються інтегро-диференціальними рівняннями з оператором Вольтерра.

Зокрема, найбільш істотне значення для практики мають наступні результати:—

розроблені та апробовані програми для розв'язання задачі Коші і крайової задачі для нелінійного інтегро-диференціального рівняння Вольтерра;—

за допомогою розроблених засобів моделювання досліджена динаміка нелінійної електромеханічної системи підлеглого регулювання електроприводу з урахуванням інерційності датчиків у зворотному зв'язку;—

вирішена прикладна задача моделювання й оптимізації АСУ ТП сатуратора відділення очищення дифузійного соку цукрового виробництва;—

досліджена й реалізована в чисельному вигляді математична модель тиристорного пристрою регулювання напруги для дугової сталеплавильної печі, що дозволило проаналізувати його функціонування в різних режимах. —

розроблені програмні моделюючі засоби для дослідження коливань в'язкопружного циліндра.

Особистий внесок здобувача.

Основні наукові, практичні та експериментальні результати отримані автором самостійно. У роботі [1] ним проведені розрахунки перехідних процесів інтегральним методом. У публікації [2] здобувач зробив порівняльний аналіз застосування різних типів математичних моделей динамічних систем у випадку наявності помилок у вхідних даних. У публікаціях [4,5] автор розробив квадратурно-різніцеві алгоритми розв'язання задачі Коші для інтегро-диференціальних рівнянь та методику їх застосування при розв'язанні крайової задачі. У роботі [6] здобувачем виведені вирази для побудови інтегро-диференціальних моделей для класу систем автоматичного управління з інерційним зворотним зв'язком та поставлені обчислювальні експерименти. У роботі [7] ним розроблені квадратурно-різніцеві алгоритми чисельної реалізації інтегро-диференціальної моделі пристрою регулювання живлення та поставлені обчислювальні експерименти. У роботах [8] здобувач розробив програмні засоби для розв'язання інтегро-диференціальних рівнянь у системі Matlab. У роботі [9] здобувач розробив програмні засоби для розв'язання інтегральних рівнянь у системі Matlab.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідались на конференції "Комп'ютерні системи й мережі" (Польща, 1997), на конференції "Оптимізація управління, інформаційні системи й комп'ютерні технології" (Одеса, 1999), на конференції "Сучасні інформаційні й електронні технології" (Одеса, 2001), на конференції "Диференціальні рівняння і нелінійні коливання" (Київ, 2001), на кафедрі "Комп'ютеризовані системи управління" Одеського національного політехнічного університету (1999-2001р.).

Публікації. Основний зміст роботи й отримані результати викладені в дванадцятьох друкованих працях, з них вісім статей у науково-технічних виданнях, що входять до переліку ВАК та в чотирьох збірниках матеріалів конференцій.

Структура й об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, 4-х розділів, висновків і 4-х додатків. Робота викладена на 145 сторінках, містить 17 рисунків та 8 таблиць. Обсяг основної частини складає 123 сторінки. Список використаних джерел займає 7 сторінок і складається з 95 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, мету та задачі дослідження, викладено наукову новизну та практичну цінність одержаних результатів, наведено відомості про особистий внесок здобувача, апробацію результатів дисертації та публікації.

У першому розділі розглянуто коло задач математичного моделювання динамічних систем, проведено огляд існуючих типів моделей і підходів до їх чисельної реалізації, встановлено області ефективного використання інтегро-диференціальних моделей, розглянуто питання аналітичної теорії інтегро-диференціальних рівнянь.

У досить загальному випадку інтегро-диференціальне рівняння Вольтерра має вигляд

, (1)

де , ; і – безперервні функції в області , що задовольняють в умові Ліпшица. Кожне рішення рівняння (1) з будь-якими фіксованими початковими даними Коші в точці однозначно визначено і раз безперервно диференціюється на напівінтервалі . Заміною змінних рівняння (1) зводиться до системи рівнянь першого порядку.

Велике практичне значення має крайова задача для інтегро-диференціальних рівнянь. Нелінійну крайову - крапкову задачу можна представити рівнянням

, (2)

де ,

і крайовими нелінійними умовами

, (3)

де g — вектор-функція —

- мірний вектор.

Встановлено області, де використання наведених інтегро-диференціальних моделей забезпечує високий ступень адекватності та можливість ефективного чисельного розв'язання. Зокрема, широке коло задач моделювання, у яких поряд з поточною динамікою необхідно враховувати передісторію руху об'єктів (так називані системи з "пам'яттю"), природним образом приводять до інтегро-диференціальних моделей. До числа таких задач відносяться задачі теорії в'язкопружності. В'язкопружні властивості механічної системи враховуються функціоналом

,

де – ядра релаксації; – змінні, від яких залежать параметри системи; – одномірна координата.

У багатьох випадках для подібних моделей характерна наявність сингулярних ядер релаксації виду

,

для апроксимації яких пропонується використовувати квадратурні формули незамкнутого типу, для чого у другому розділі розроблені відповідні алгоритми і програмні засоби.

Інтегро-диференціальні математичні моделі динамічних систем природним образом, без додаткових перетворень, можуть бути використані для моделювання стану систем автоматичного управління (САУ) з інерційним зворотним зв'язком, які описуються узагальненим співвідношенням вхід-вихід

, (4)

де S, Q – оператори, які реалізують відповідно блоки основного контуру САУ та блоки зворотного зв'язку; та – відповідно вхідна та вихідна величина. Розглянута у роботі схема побудови інтегро-диференціальної моделі дозволяє у загальному випадку записати рівняння (4) у вигляді

,

де — ядро інтегрального оператора Q, зокрема якщо інерційний зворотний зв'язок заданий передатною функцією K(p), то , — символ зворотного перетворення Лапласа. Розглянутий підхід до опису САУ дозволяє розширити клас моделей, що використовуються, без виконання складних аналітичних перетворень.

Широкою областю застосування інтегро-диференціальних моделей є задачі аналізу складних електричних ланцюгів. Показано, що наряду з моделями у виді систем диференціальних рівнянь, які традиційно є найбільш поширеними при дослідженні електричних ланцюгів, у багатьох випадках ефективним виявляється використання апарата інтегро-диференціальних рівнянь, зокрема це дозволяє зменшити розмірність моделей, розширює загал використовуваних чисельних методів, дозволяє одержати стійкі обчислювальні процедури.

Другий розділ присвячений розробці методів та алгоритмів комп'ютерного моделювання динамічних об'єктів, що описуються інтегро-диференціальними рівняннями типу Вольтерра. Розглянуті методи еквівалентних перетворень динамічних моделей, та питання їх використання при розв'язанні задачі Коші для інтегро-диференціальних рівнянь. Аналізуються особливості запропонованих методів та алгоритмів на низці модельних та прикладних задач.

Чисельні методи розв'язання задачі Коші для інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра будуються одним із двох способів.

Перший клас методів, ґрунтується на поєднанні різницевих алгоритмів, відомих із теорії диференціальних рівнянь та методів, що використовуються при чисельному розв'язанні інтегральних рівнянь Вольтерра для апроксимації інтегрального оператора . Зокрема, для розв'язання задачі Коші для рівняння (1) або для системи нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь першого порядку

, , (5)

з початковими умовами , створено сімейство квадратурно-різніцевих алгоритмів, заснованих на однокрокових і багатокрокових обчислювальних схемах та квадратурних методах.

Так, запропонований алгоритм знаходження рішення системи (5), що ґрунтується на найпростішій однокроковій схемі, описується виразом

(6)

де — коефіцієнти квадратурної формули. При цьому, як показали чисельні експерименти, найбільш ефективними при машинній реалізації є узагальнені квадратурні формули, що грунтуються на методі Грегорі.

Розглянутий алгоритм зручний для машинної реалізації і не вимагає попередніх обчислень для початку рахунку, але не дозволяє досягнути високої точності без значного зменшення кроку. Тому, по аналогії з чисельним рішенням диференціальних рівнянь, для отримання високої точності побудовані квадратурно-різницеві алгоритми основані на багатокрокових методах, узагальнена формула яких має вигляд

.

Встановлено, що порівняно з вказаними квадратурно-різницевими методами для деяких класів задач моделювання динамічних систем можна досягнути значного підвищення точності комп'ютерної реалізації шляхом побудови методів другого класу, які засновані на адаптації методів теорії інтегральних рівнянь, коли за допомогою еквівалентних перетворень рівняння (1) зводиться до еквівалентного інтегрального рівняння. Зокрема, для розв'язання нелінійного інтегро-диференціального рівняння вигляду

,

з початковими умовами , запропоновано метод комп'ютерного моделювання, що базується на автоматичній адаптації методу квадратур. Алгоритм може бути представлений у такому вигляді:–

використовуючи тотожність Лагранжа, програмно формуються ядро і права частина еквівалентного інтегрального рівняння:

,

,

де

, , ;–

здійснюється розв'язання отриманого інтегрального рівняння методом квадратур за формулами

,

, ;

при цьому на кожному кроці для знаходження розв'язку інтегрального рівняння в поточній точці розв'язується нелінійне алгебраїчне рівняння;–

використовуючи знайдений розв'язок інтегрального рівняння та тотожність Лагранжа, обчислюється розв'язок інтегро-диференціального рівняння.

Для розв'язання задачі Коші для рівняння (1) запропоновано ітераційний алгоритм, що базується на еквівалентних перетвореннях та має наступний вигляд:–

з апріорних даних про розв'язок, або за допомогою найпростіших квадратурно-різніцевих алгоритмів знаходиться початкове наближення старшої похідної ;–

використовуючи формулу Лагранжа

(7)

обчислюються всі похідні, що входять у рівняння (1), при цьому інтеграл обчислюється за відомими квадратурними формулами;–

знаходиться наступне наближення старшої похідної ,

де ;–

якщо задана точність досягнута, то ітераційний процес закінчується і обчислюється рішення інтегро-диференціального рівняння (1) по формулі (7), у противному випадку повторюються попередні кроки.

Крім того, показано, що ефективним методом розв'язання нелінійних інтегральних рівнянь, отриманих при еквівалентних перетвореннях, є метод Ньютона-Канторовича, що забезпечує високу стійкість і швидку збіжність ітераційного процесу. У зв'язку з цим, запропоновано методику використання методу Ньютона-Канторовича у комбінації з методами еквівалентних перетворень для дослідження нелінійних інтегро-диференціальних моделей.

Розроблені квадратурно-різницеві алгоритми можуть бути ефективно застосовані при розв'язанні крайових задач. Зокрема, створено алгоритм розв'язання інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра з заданими крайовими умовами, який заснований на комбінації методу продовження рішення по параметру з методом Ньютона і квадратурно-різницевими обчислювальними схемами. Крайова задача (2) еквівалентна системі алгебраїчних рівнянь

(8)

і задачі Коші

, , (9)

де вектор-функція , – розв'язок задачі (2) у формі Коші в точці при початкових умовах . Вектор початкових умов визначається із системи (8). Для розв'язання цієї системи застосовується ітераційний метод Ньютона. При цьому, на кожному кроці ітераційного процесу необхідно розв'язати задач Коші (9). Для того щоб ітераційний процес збігався, перше наближення вектора початкових умов повинне бути досить близьким до розв'язку, в іншому випадку, для розв'язання крайової задачі (2) потрібно використати метод продовження розв'язку за параметром, алгоритм якого запропоновано у вигляді: –

задається вектором початкових умов і за допомогою квадратурно-різніцевих методів розв'язується задача Коші

, , (10)

за знайденим рішенням обчислюється ;–

задається параметр і крайова задача представляється у вигляді

, (11)

;

таким чином, при рішення цієї крайової задачі співпадає з рішенням задачі Коші (10), при отримуємо початкову крайову задачу (2); –

відрізок зміни розбивається точками на малих частин і, розв'язуючи за допомогою методу Ньютона послідовно крайових задач вигляду (11), визначається розв'язок вихідної крайової задачі.

Властивості запропонованих методів та алгоритмів досліджувались методом обчислювального експерименту, що дозволило встановити особливості їх застосування та підтвердити достовірність.

У третьому розділі проведено порівняльний аналіз серійних засобів комп'ютерного моделювання, описано їх основні можливості й характеристики та обґрунтовано вибір системи Matlab у якості середовища розробки. Створено програмне забезпечення для розв'язання інтегро-диференціальних і інтегральних рівнянь. Описана методика використання цих програмних засобів. Здійснено оцінку основних характеристик і показників якості розробленої системи моделювання.

Комплекс програмних засобів, створений на основі методів і алгоритмів, запропонованих у другому розділі, дозволяє здійснювати ефективну комп'ютерну реалізацію моделей, що представлені лінійними та нелінійними інтегральними або інтегро-диференціальними рівняннями типу Вольтерра, системами інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра першого порядку, багатокрапковими нелінійними крайовими задачами.

Запропонована система комп'ютерного моделювання організована у вигляді пакета програм для розв'язання інтегро-диференціальних і інтегральних рівнянь згідно з концепцією пакетів прикладних програм (Matlab Application Toolboxes) прийнятої в системі Matlab та з використанням мови програмування системи Matlab. Це дозволяє використовувати наступні переваги системи моделювання:–

можливість спільного використання з іншими пакетами прикладних програм, що входять до складу програмного комплексу Matlab;–

можливість подальшого розвитку, аналізу, корекції і застосування розроблених модулів як шаблонів для розробки нових додатків;–

можливість використання в рамках системи Matlab на будь-якій обчислювальній платформі.

Пакет складається з дев'яти основних модулів, що реалізують ітераційний алгоритм для розв'язання нелінійного інтегрального рівняння, заснований на методі Ньютона-Канторовича (модуль ienut1); ітераційний алгоритм, заснований на еквівалентних перетвореннях (ideit); низку прямих методів для розв'язання задачі Коші для системи інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра 1-го порядку або інтегро-диференціального рівняння Вольтерра порядку, заснованих на квадратурно-різницевих алгоритмах (ideo1, ideo4, idem1, idem4); метод автоматичної адаптації квадратур для розв'язання задачі Коші для інтегро-диференціальних рівнянь (idekv), метод Ньютона (idekr1) та метод подовження по параметру (idekr2) для розв'язання нелінійних крайових задач. А також допоміжних модулів, які можуть бути використані й автономно, що реалізують квадратурні методи, методи еквівалентних перетворень та інтерфейсні функції.

Структурна схема пакета представлена на рис. 1.

Рис. 1. Структурна схема пакета програм

За допомогою модельних прикладів, що охоплюють можливі типи задач, для розв'язання яких призначена розроблена система моделювання, здійснений аналіз надійності програмного забезпечення за таким критеріями як стійкість функціонування, вірогідність, робастність. У таблиці 1 приведені результати тестування надійності розробленої системи.

Таблиця 1. Результати оцінки надійності системи моделювання

Критерій Метрика Результат

Стійкість функціонування можливість обробки помилкових ситуацій на вході +

наявність засобів підтримки при виникненні перешкод +

Вірогідність відсоток правильно виданих повідомлень про отримані результати 93.75%

відсоток тестових задач, розв'язання яких закінчилося аварійною зупинкою 0%

Робастність відсоток вирішених тестових задач 100%

Четвертий розділ присвячений розв'язанню ряду прикладних задач, що описуються інтегро-диференціальними моделями. Отримано інтегро-диференціальні моделі системи автоматичного управління електроприводу постійного струму, АСУ ТП сатуратора відділення очищення дифузійного соку цукрового виробництва, пристрою регулювання живлення. З використанням розроблених алгоритмів і програмного забезпечення здійснена чисельна реалізація отриманих моделей, проведене співставлення отриманих при комп'ютерному моделюванні перехідних процесів з даними експериментальних досліджень, а також з результатами, отриманими іншими засобами.

Здійснено дослідження динаміки в'язкопружного циліндра зі змінною внутрішньою границею. В результаті встановлено, що використання запропонованих квадратурно-різніцевих алгоритмів, що ґрунтуються на квадратурних формулах незамкнутого типу, дозволяє спростити і прискорити обчислювальний процес рішення цього класу задач у порівнянні з традиційно використовуваними методами усереднення.

На основі дослідження режимів роботи тиристорного пристрою регулювання живлення для різних способів управління тиристорами визначені оптимальні алгоритми управління, зокрема встановлено, що при широтно-імпульсному управлінні комутації тиристорів відбуваються без виникнення екстратоків і перенапруг, при цьому форма вихідної напруги залишається синусоїдальної. Результати досліджень та рекомендації що до принципів комутації і вибору параметрів використані при підготовці до виробництва пристроїв регулювання живлення.

Виконано дослідження і порівняльний аналіз різних видів математичних моделей динамічних систем (диференціальної, інтегральної та інтегро-диференціальній моделей) при їхній чисельній реалізації у випадку впливу завади різної частоти на прикладі електромеханічної системи електропривода постійного струму (Рис. 2).

Рис. 2. Залежність похибки рішення від частоти перешкоди, для інтегро-диференціальній (1), диференціальної (2) та інтегральної (3) моделей.

Показано, що вибір тієї чи іншої математичної моделі в значній мірі залежить від частоти завади діючої на систему, та окреслено області можливого використання інтегро-диференціальних рівнянь у цьому випадку.

Аналіз практичної реалізації результатів дисертаційної роботи та їх впровадження підтвердили їх достовірність та практичну цінність.

Додатки містять лістинги розроблених програм на мові системи Matlab та акти впровадження результатів роботи.

ВИСНОВКИ

Найбільш істотні наукові і практичні результати, отримані в дисертації:

1. Встановлено, що дієвим шляхом підвищення ефективності методів та засобів комп'ютерного моделювання динамічних систем є застосування, разом з традиційними моделями або самостійно, математичних моделей у вигляді інтегро-диференціальних рівнянь типу Вольтерра. Зокрема, при дослідження динаміки в'язкопружних систем безпосереднє використання інтегро-диференціальних моделей дозволяє здійснювати комп'ютерне моделювання, минаючи складні аналітичні перетворення, характерні для методів усереднення, що традиційно використовуються при розв'язанні цього класу задач; при моделюванні складних електричних ланцюгів використання інтегро-диференціальних моделей дозволяє вирішити проблему зниження розмірності моделей та отримати моделі, найбільш пристосовані для комп'ютерної реалізації; при аналізі систем автоматичного управління з інерційним зворотнім зв'язком застосування інтегро-диференціальних моделей, сформованих безпосередньо за заданою структурою системи, дозволяє отримати розширення класу моделей, що використовуються, без здійснення складних еквівалентних перетворень.

2. Показано, що якісні особливості інтегро-диференціальних моделей, які мають суттєвий вплив на їх комп'ютерну реалізацію, визначаються основними положеннями теорії інтегро-диференціальних рівнянь типу Вольтерра.

3.Розроблено низку методів комп'ютерної реалізації інтегро-диференціальних моделей динамічних систем, зокрема:–

розроблено комплекс квадратурно-різніцевих алгоритмів моделювання широкого класу лінійних і нелінійних динамічних систем;–

запропонований метод чисельного розв'язання інтегро-диференціальних рівнянь зі слабко-сингулярними ядрами, який базується на використанні квадратурних формул відкритого типу, що забезпечує підвищену обчислювальну стійкість при комп'ютерному моделюванні об'єктів з пам'яттю;–

розроблений чисельний алгоритм розв'язання інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра з заданими крайовими умовами, що базується на сумісному використанні методу продовження рішення по параметру, методу Ньютона та квадратурно-різницевих обчислювальних схем, що забезпечує високу якість ітераційного процесу при реалізації моделей, які представлені багатокрапковими крайовими задачами;–

розроблений метод комп'ютерної реалізації інтегро-диференціальних моделей Вольтерра, в основу якого покладено автоматичну адаптацію квадратурних методів розв'язку інтегральних рівнянь, що забезпечує високу ефективність дослідження як лінійних так і нелінійних об'єктів.

4. Створено комплекс програмних засобів для моделювання широкого класу динамічних об'єктів при застосуванні лінійних і нелінійних інтегро-диференціальних моделей. Усі програми, розроблені з використанням мови програмування системи Matlab і об'єднані в єдиний пакет прикладних програм відповідно до концепції пакетів прикладних програм (Matlab Application Toolboxes) прийнятої в системі Matlab.

5. Запропоновані алгоритми та програмні засоби дозволили ефективно розв'язати низку прикладних задач, зокрема: —

досліджена динаміка нелінійної електромеханічної системи підлеглого регулювання електроприводу з урахуванням інерційності датчиків у зворотному зв'язку та підтверджена можливість ефективного використання інтегро-диференціальних моделей при моделюванні систем автоматичного управління з інерційним зворотним зв'язком;—

вирішена прикладна задача моделювання й оптимізації АСУ ТП сатуратора відділення очищення дифузійного соку цукрового виробництва. Результати моделювання у вигляді встановлених оптимальних параметрів регуляторів були впроваджені в виробництво на Первомайському цукровому заводі;

— здійснено моделювання пристрою регулювання живлення, який представлено інтегро-диференціальною моделлю у вигляді системи нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь, що дозволило проаналізувати його функціонування в різних режимах та оптимізувати енергетичні характеристики. Результати моделювання у вигляді оптимальних параметрів та режимів впроваджені на підприємстві "Юлкор-електро";—

розв'язана задача про коливання в'язкопружного циліндра з перемінною внутрішньою границею, що підтвердило ефективність запропонованого методу моделювання в'язкопружних систем при застосуванні інтегро-диференціальних рівнянь зі слабко-сингулярними ядрами;—

встановлено властивості моделей різних типів (диференціальних, інтегральних та інтегро-диференціальних) в умовах дії завади різної частоти за методом обчислювального експерименту при розв'язанні модельних задач дослідження електромеханічної системи електропривода постійного струму; обґрунтована область використання інтегро-диференціальних моделей у цьому випадку.

Розроблені методи і програмні засоби їх чисельної реалізації мають досить загальний характер і можуть бути використані для розв'язання широкого кола задач моделювання динамічних систем в різних технічних галузях.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Верлань А.Ф., Контрерас Д.Э., Тихончук С.Т. Интегральный метод анализа переходных процессов в нелинейных электрических цепях // Збірник наукових праць ІПМЕ НАН України. – 1998. – Вип.6. – С.165-169.

2. Верлань А.Ф., Контрерас Д.Э., Тихончук С.Т. Интегральный метод анализа динамических систем // Труды Одесского политехнич. ун-та. – Одесса. – 1998. – Вып. 2. – С. 159-162.

3. Контрерас Д.Э. Численная реализация интегро-дифференциальных математических моделей // Труды Одесского политехнич. ун-та. – Одесса. – 1999. – Вып. 3. – С. 136-138

4. Контрерас Д.Э., Миргород В.Ф., Волощенко А.Б. Квадратурно-разностные алгоритмы моделирования нелинейных динамических объектов // Збірник наукових праць ІПМЕ НАН України "Моделювання та інформаційні технології". – 2000. – Вип.6. – С. 152-156.

5. Верлань А.Ф., Волощенко А.Б., Контрерас Д.Э. Квадратурно-разностные алгоритмы решения нелинейной краевой задачи // Збірник наукових праць ІПМЕ НАН України. – 2000. – Вип.10. – С. 148–152.

6. Верлань А.Ф., Миргород А.Ф., Контрерас Д.Э. Моделирование систем автоматического управления с реальной обратной связью на основе интегро-дифференциального уравнения Вольтерра // Труды Одесского политехнич. ун-та. – Одесса. – 2000. – Вып. 3. – С. 120-123.

7. Коротецкий Ю.А., Контрерас Д.Э, Сытник А.А. Применение квадратурно-разностных методов для численной реализации интегро-дифференциальной модели устройства регулирования питания // Збірник наукових праць ІПМЕ НАН України "Моделювання та інформаційні технології". – 2001г. – Вип.9. – С. 53-60.

8. Волощенко А.Б., Верлань А.А., Контрерас Д.Е. Розв'язання систем інтегро-диференціальних рівнянь у системі Matlab // Збірник наукових праць ІПМЕ НАН України. – 2001. – Вип.11. – С. 78-83.

9. Verlan A.F., Kontreras D.E., Tikhonchuk S.T. Integral equation toolbox – programs set for solution of integral equations in Matlab // Computer Systems and Nets. Proc. Int. Conf. – Rzeszow (Poland). – 1997. – P. 263-269.

10. Контрерас Д.Э. Решение нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода методом Ньютона-Канторовича // Труды Украинской академии экономической кибернетики (Южный научный центр) "Оптимизация управления, информационные системы и компьютерные технологии" — Киев-Одесса: ИСЦ. – 1999. – Вып.1. – Ч.1. – С. 217-220.

11. Контрерас Д.Э. Пакет программ для анализа нелинейных динамических систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями Вольтерра // Труды второй международной научно-практической конференции "Современные информационные и электронные технологии". – Одесса. – 2001. – С. 48-49.

12. Клих Ю.А., Рудык О.Г., Контрерас Д.Э. Метод усреднения в задачах управления системой с памятью// Тези доповідей Міжнародної конференції "Диференціальні рівняння і нелінеійні коливання". – Киев. – 2001. – С. 69-69.

АНОТАЦІЯ

Контрерас Д.Е. Методи і засоби комп'ютерної реалізації інтегро-диференціальних моделей динамічних систем. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Одеський національний політехнічний університет, Одеса, 2002.

Дисертація присвячена дослідженню математичних моделей динамічних систем у вигляді інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра, розробці методів, алгоритмів та програмних засобів для їх комп'ютерної реалізації.

Встановлено, що дієвим шляхом підвищення ефективності методів та засобів комп'ютерного моделювання динамічних систем є застосування інтегро-диференціальних рівнянь типу Вольтерра у якості математичних моделей цих систем.

Розроблено комплекс квадратурно-різніцевих алгоритмів моделювання широкого класу лінійних і нелінійних динамічних систем. Запропоновано метод чисельного розв'язання інтегро-диференціальних рівнянь зі слабко-сингулярними ядрами, який ґрунтується на використанні квадратурних формул відкритого типу. Розроблено чисельний алгоритм розв'язання інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра з заданими крайовими умовами. Розроблено метод комп'ютерної реалізації нелінійних інтегро-диференціальних моделей Вольтерра, який базується на автоматичній адаптації квадратурних методів розв'язку інтегральних рівнянь.

Розроблено пакет програм для розв'язання задачі Коші та крайової задачі для інтегро-диференціального рівняння Вольтерра в системі Matlab. За допомогою розроблених алгоритмів та програмних засобів розв'язано низку прикладних задач.

Ключові слова: динамічні системи, математична модель, інтегро-диференціальні рівняння, квадратурно-різницеві алгоритми.

Kontreras D.E. Methods and tools for computer realization of integro-differential models of dynamic systems. - Manuscript.

Thesis for candidate's degree by speciality 01.05.02 - mathematical modeling and computing methods. - Odessa National Polytechnic University, Odessa, 2002.

The thesis is devoted to a research of mathematical models of dynamic systems as the Volterra integro-differential equations and development of methods, algorithms and software for their computer realization.

Is established, that an effective way to increase of efficiency of methods and tools for computer simulation of dynamic systems is the application of the Volterra integro-differential equations as mathematical models of these systems.

The complex of quadrature-difference algorithms for simulation of a wide class of linear and nonlinear dynamic systems is designed. The method for the numerical solution of the integro-differential equations with a singular kernel, which grounded on the quadrature formulas of the opened type, is offered. The numerical algorithm for the solution of the boundary value problem for Volterra integro-differential equations is designed. The method of computer realization of nonlinear Volterra integro-differential models, grounded on automatic adaptations of quadrature methods of the decision of the integral equations is designed.

The software package for the solution of a Cauchy problem and boundary value problem for Volterra integro-differential equation is designed. With the help of the designed algorithms and software the series of practical problems of simulation of the dynamic systems is solved.

Keywords: dynamic systems, mathematical model, integro-differential equations, quadrature-difference algorithms.

Контрерас Д.Э. Методы и средства компьютерной реализации интегро-дифференциальных моделей динамических систем. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Одесский национальный политехнический университет, Одесса, 2002.

Диссертация посвящена исследованию математических моделей динамических систем в виде интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра и разработке методов, алгоритмов и программных средств для их компьютерной реализации, применению полученных методов, алгоритмов и программных средств для решения важных прикладных задач.

Установлено, что действенным путем повышения эффективности методов и средств компьютерного моделирования динамических систем является применение интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра в качестве математических моделей этих систем.

Показаны области эффективного приложения интегро-дифференциальных моделей, к которым, в частности, относятся задачи исследования динамики вязкоупругих систем, моделирования сложных электрических цепей, систем автоматического управления с инерционной обратной связью. Предложена методика построения интегро-дифференциальных моделей для ряда указанных объектов.

Разработан комплекс квадратурно-разностных алгоритмов моделирования широкого класса линейных и нелинейных динамических систем, основанных на эффективном применении одношаговых и многошаговых вычислительных схем при численной реализации дифференциальных и интегральных операторов. Предложен метод численного решения интегро-дифференциальных уравнений со слабо-сингулярными ядрами, основанный на использовании квадратурных формул открытого типа, который обеспечивает повышенную вычислительную устойчивость при компьютерном моделировании объектов с памятью. Предложен численный алгоритм решения интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с заданными краевыми условиями, основанный на комбинации метода продолжения решения по параметру с методом Ньютона и квадратурно-разностными вычислительными схемами, обеспечивающий высокое качество итерационного процесса при реализации моделей, представленных многоточечными краевыми задачами. Разработан метод компьютерной реализации нелинейных интегро-дифференциальных моделей Вольтерра, основанный на автоматической адаптации квадратурных методов решения интегральных уравнений, который позволяет повысить эффективность компьютерной реализации нелинейных интегро-дифференциальных моделей.

Разработан комплекс программных средств на языке программирования системы Matlab для решения задачи Коши и краевой задачи для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра. Предложена методика использования программ пакета для решения конкретных прикладных задач.

Получена интегро-дифференциальная модель АСУ ТП сатуратора отделения очистки диффузионного сока сахарного производства, проведено ее моделирование с помощью разработанного программного обеспечения, в результате которого были установлены значения оптимальных параметров регулятора.

Проведено моделирование устройства регулирования питания, которое было представлено математической моделью в виде системы интегро-дифференциальных уравнений, что позволило проанализировать и оптимизировать его параметры в различных режимах работы.

Установлено, что использование квадратурных формул открытого типа для аппроксимации сингулярного ядра позволяет осуществлять более эффективное решение задач теории вязкоупругости, по сравнению с часто используемыми при решении таких задач методами усреднения. С помощью разработанных алгоритмов исследованы колебания вязкоупругого цилиндра с переменной внутренней границей.

Разработанные методы и программные средства компьютерной реализации интегро-дифференциальных моделей имеют достаточно общий характер и могут быть использованы для решения широкого круга задач моделирования динамических систем в различных технических областях.

Ключевые слова: динамические системы, математическая модель, интегро-дифференциальные уравнения, квадратурно-разностные алгоритмы.