Національна академія наук України

Інститут математики

МАЙСТРЕНКО Тетяна Юріївна

УДК 517.986.3

ОПЕРАТОРНІ АЛГЕБРИ, ЩО ЗВ'ЯЗАНІ

З ОДНОВИМІРНИМИ ПРОСТИМИ ДИНАМІЧНИМИ СИСТЕМАМИ

01.01.01. – математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

САМОЙЛЕНКО Юрій Степанович,

Інститут математики НАН України, завідувач відділу

функціонального аналізу.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

КЛІМИК Анатолій Улянович,

Інститут теоретичной фізики ім.. М.М. Боголюбова

НАН України, завідувач відділу математичних методів

теоретичної фізики;

кандидат фізико-математичних наук

ФЕДОРЕНКО Володимир Васильович,

Інститут математики НАН України, старший науковий

співробітник відділу динамічних систем.

Провідна установа:

Харківський національний університет ім.. В.Н. Каразіна

МОН України, м. Харків.

Захист відбудеться “25” грудня 2002 року о 16 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради

Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою:

01601, Київ-4, вул.. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий “22” листопада 2002 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Робота належить до одного з сучасних напрямків теорії операторів та операторних алгебр, що виникає на стику двох дисциплін: теорії зображень інволютивних

алгебр, з одного боку, і, з іншого, --- теорії динамічних систем.

Наведемо короткий огляд ідей, продовженням яких є тематика дисертації. Перші результати з теорії зображень, зокрема зображень інволютивних алгебр, були одержані в кінці XIX на початку XX сторіччя Фробеніусом Г., Бернсайдом В., Шуром І., Моліним Ф.Е. та ін. Подальший розвиток теорії зображень *-алгебр (30-60 рр. XX сторіччя) пов'язаний з вивченням самоспряжених операторних алгебр, зокрема, C*-алгебр та W*-алгебр (Фон Нейман Дж., Диксм'є Дж., Наймарк М.А., Гельфанд І.М., Райков Д.А., Кирилов А.А., Сігал І. та інші).

Сучасний розвиток теорії зображень інволютивних алгебр пов'язаний з виникненням понять квантової групи, квантового однорідного простору (Дринфельд В.Г., Джимбо М., Воронович С., Фадєєв Л.Д., Клімик С., Лісневський А. та інші) та їх застосуваннями в моделях математичної фізики, теорії спеціальних функцій, теорії вузлів, моделях q-квантової механіки та квантової теорії поля (Зуміно Б., Весс Дж., Віттен Е., Кен К., Клімик А.У. та інші).

Значна кількість сучасних робіт присвячена вивченню *-алгебр, заданих твірними та визначальними співвідношеннями, та їх зображень у гільбертовому просторі. Багато прикладів *-алгебр, заданих твірними та співвідношеннями, пов'язані з деформаціями класичних співвідношень квантової механіки (Макфарлейн А., Біeденхарн Л., Воронович С., Шмютген К., Йоргенсен П., Фарлі Д.Б. та інші). В роботах Йоргенсена П., Шмітта Л. і Вернера Р. та Йоргенсена П., Проскуріна Д.П., Самойленка Ю.С. і інших вивчалися *-алгебри, що допускають віківське впорядкування, вони включають різноманітні узагальнення квантового осцилятора та q-CCR.

Одними з перших результатів, в яких були застосовані методи теорії динамічних систем для розв'язання питань теорії операторних алгебр, були отримані Мюрреєм Ф. та фон Нейманом Дж. Вони, зокрема, запропонували конструкцію алгебри, побудовану за дією групи на просторі з мірою, яка потім була узагальнена в роботах Гана П. та Маккі Дж., використовуючи поняття вимірного групоїда для вивчення W*-алгебр. Аналогічну роль в теорії C*-алгебр відіграють топологічні локально-компактні групоїди, які були запропоновані Ехресманом С. для застосування в диференціальній топології та геометрії. Конструкції C*-алгебр, побудовані за групоїдами, були запропоновані Вестманом Дж., Ефросом Е. та Ганом Ф., Зеллер-Меєром Дж.

Майже всі операторні алгебри, що виникають в застосуваннях до квантової фізики, є обгортуючими C*-алгебрами чи W*-алгебрами до скіченно-породжених *-алгебр, заданих твірними та визначальними співвідношеннями спеціального вигляду, які називають <<динамічними співвідношеннями>>:

AkB =BFk(A1,…,A n),

де A I --- набір комутуючих самоспряжених елементів, B --- взагалі кажучи несамоспряжений елемент, F k --- борелівські функції. Зокрема, до таких співвідношень зводиться співвідношення

XX*=f(X*X), (1)

де елементи X, X* є твірними *-алгебри. Теорія зображень таких алгебр тісно пов'язана з динамікою відображення F=(F1, … ,Fn). Цей напрямок розробляли київські математики Березанський Ю.М., Самойленко Ю.С., Островський В.Л., Беспалов Ю.Н., Вайслеб Е.Є., Туровська Л.Б., Попович С.В. та інші.

Тісний зв'язок теорії зображень таких *-алгебр з теорією динамічних систем вивчається також в цілому ряді фізичних робіт. Наведемо лише деякі з них. Так в роботах А. Макфарлейна та Л. Біeденхарна, в рамках узагальнення квантового одновимірного гармонічного осцилятора, досліджувалась *-алгебра, породжена твірними a, a*, що задовольняють q-канонічні комутаційні співвідношення

a* a-qa a* =1, -1<q<1.

Теорія зображень цієї алгебри операторами в гільбертовому просторі пов'язана здинамічною системою, що задається відображенням f(x)=1+qx дійсної осі. Вроботах Клімека С. і Ліснєвського А. вивчались *-алгебри функцій на квантовому одиничному диску, пов'язані з динамічними системами, що задаються відображеннями . Перша деформація Віттена Е. пов'язана з двовимірною нелінійною динамічною системою

f(x,y)=(p-1(1+p -1x), g(gy-x+(p-p-1)x2 )), (x,y) О R2,

де p О (0,1), g О {1,-1}. Кубічна деформація A+pq(3,1), що введена у роботі Делбека С. і Кена С., також пов'язана з двовимірною динамічною системою.

Останнім часом актуальною задачею є вивчення C*-алгебр, пов'язаних з невзаємно-однозначними динамічними системами. Цей напрямок узагальнює добре розвинуту теорію схрещених добутків C*-алгебр з групами на випадок дій напівгруп і C*-алгебр, пов'язаних з ендоморфізмами топологічних просторів.

Багато прикладів, в тому числі наведені вище, а також розглянутий в роботі приклад ангармонійного квантового осцилятора, призводять до вивчення одновимірних динамічних систем. Добре вивченим класом таких систем є F2n -динамічні системи. В дисертації вивчаються *-алгебри, пов'язані з одновимірними невзаємно-однозначними F2n -динамічними системами, розв'язуються задачі опису їх *-зображеннь та обгортуючої C*-алгебри.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана відповідно до планів наукових досліджень відділу функціонального аналізу Інституту математики НАН України (номер державної реєстрації 0198U001995).

Мета роботи.

1. Вивчити властивості одновимірних невзаємно-однозначних простих динамічних систем, які потрібні при дослідженні структури та зображень відповідних C*-алгебр.

2. Дати класифікацію незвідних зображень C*-алгебри, пов'язаної з простою динамічною системою, заданою U-відображенням. Описати зображення C*-алгебри, пов'язаної з простою динамічною системою вигляду f(x)=1+ax-bx2 (a>0, b>0) (ангармонійний квантовий осцилятор).

3. Навести умови топологічної спряженості для простих унімодальних динамічних систем і дослідити зв'язок між спряженістю динамічних систем та ізоморфізмом відповідних C*-алгебр. Дослідити спряженість динамічних систем на множині додатних орбіт та вивчити зв'язок між топологічною спряженістю та позитивною спряженістю.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи теорії операторів, операторних алгебр та їх зображень, методи теорії динамічних систем, зокрема символічної динаміки, та методи теорії асоціативних алгебр, зокрема тих, що задані твірними та визначальними співвідношеннями.

Наукова новизна. В дисертації отримано такі нові результати:

1. Описано a-граничні множини двосторонніх орбіт простих динамічних систем, що дозволяє описати структуру відповідної C*-алгебри.

2. Наведено опис усіх двосторонніх орбіт простої динамічної системи, заданої U-відображенням. Для цього запропоновано узагальнення поняття вимірного перерізу взаємно-однозначної динамічної системи на випадок U-відображення. Наведено опис усіх орбіт, що є <<приклеєними>> до точок циклу.

3. Наведено повну класифікацію незвідних зображень C*-алгебр, що пов'язані з простими динамічними системами, заданими U-відображенням.

4. Для C*-алгебри, пов'язаної з динамічною системою, заданою відображенням f(x)=1+ax-bx2 (a>0, b>0) (ангармонійного квантового осцилятора), описано незвідні зображення для деяких областей значень параметрів.

5. Доведена достатня умова ізоморфізму C*-алгебр, пов'язаних з динамічними системами, заданими U-відображенням. Наведено критерій спряженості динамічних систем для U-відображень, виділено три класи спряженості.

6. Встановлений зв'язок між топологічною спряженістю та позитивною спряженістю U-відображень та досліджена позитивна спряженість для унімодальних відображень у часткових випадках.

Теоретичне та практичне значення одержаних результатів. Результати мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані для вивчення структури операторних алгебр, пов'язаних з простими динамічними системами, та їх застосувань у моделях теоретичної фізики.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на засіданнях семінару <<Алгебраїчні питання функціонального аналізу>> в Інституті математики НАН України та на <<Київському семінарі з функціонального аналізу>>; на міжнародних конференціях <<Симетрія в нелінійній математичній фізиці>>, м.Київ (1999, 2001), <<Ергодична теорія та динамічні системи>>, Крим, Кацивелі (2000).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 4 наукових статтях [1]-[4], які наводяться в кінці автореферату. З сумісних робіт [1, 2] до дисертації включені лише результати, одержані автором особисто.

Структура і об'єм роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку літератури, викладених на 111 сторінках друкованого тексту. Список літератури містить 47 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ

Дисертація складається із змісту, вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел. У вступі обгрунтовано актуальність дослідження, проведеного в дисертації, та охарактеризовано зміст роботи.

У першому розділі вивчаються ті властивості простих динамічних систем, що використовуються при дослідженні структури відповідних $C^*$-алгебр та їх зображень, зокрема вводиться до розгляду клас орбіт, за якими можна побудувати зображення. До цього класу належать двосторонні додатні орбіти, циклічні додатні орбіти, фоківська та антифоківські орбіти. Такі обмеження в багатьох прикладах принципово змінюють задачу дослідження поведінки орбіт.

У підрозділі 1.1 наводяться основні означення та відомі результати з теорії динамічних систем, що використовуються в дисертаційному дослідженні.

Під орбітою динамічної системи $(f,X)$ в роботі розуміється послідовність $\delta =(x_k)_{k\in P}$, де $f(x_k)=x_{k+1}$, а $P$ "--- одна з множин $\mathbb{Z}$ або $\mathbb{N}$. Множину усіх орбіт динамічної системи позначимо $Orb~(f)$.

Означимо клас орбіт, за якими далі будуються зображення відповідних $C^*$-алгебр. Двобічною додатною орбітою назвемо орбіту $\delta =(x_k)_{k\in \mathbb{Z}} \in Orb~(f) $ таку, що $x_k>0$ для всіх $k\in \mathbb{Z}$. Фоківська орбіта "--- це послідовність $\delta =(x_k)_{k\in \mathbb{N}}$ така, що $x_1=0,~x_k>0$ для $k>1$. Антифоківська орбіта "--- це послідовність $\delta =(x_{-k})_{k\in \mathbb{N}}$ така, що $x_{-1}=0,~x_{-k}>0$ для $k>1$. Множину усіх додатних орбіт (двобічних, фоківських та анти-фоківських) позначимо $Orb_+(f)$. Для кожної орбіти $\delta \in Orb ~(f)$ визначимо $\omega $-граничну множину $\omega (\delta)$, як множину точок накопичення правої напіворбіти (тобто, для кожного $x\in \omega(\delta)$ існує послідовність $(k_n)_{n\in \mathbb{N}}$ така, що $x_{k_n}\to x$ при $n\to \infty$) і $\alpha$-граничну множину $\alpha (\delta)$, як множину точок накопичення лівої напіворбіти. Зауважимо, що $\omega (\delta )=\emptyset$ для кожної анти-фоківської орбіти $\delta$ і $\alpha (\delta ')=\emptyset$ для фоківської орбіти $\delta'$.

В роботі розглядаються лише прості динамічні системи. Динамічна система називається простою, якщо кожна її траєкторія є періодичною або асимптотично періодичною. Необхідною умовою простоти динамічної системи є відсутність періодичних траєкторій періоду, відмінного від степені двійки. Відомо, що для простої динамічної системи $\omega$-гранична множина кожної орбіти є притягуючим циклом.

Нехай $\mathcal{F}_{m}=\{f\in C(I,I)~|~Per ~f=Fix~f^m\}$, де $I$ "--- деякий інтервал з $\mathbb{R}$. До множини $\mathcal{F}_m$ входять відображення, у яких період кожного циклу не перевищує $m$ і, більш того, є дільником $m$. В цьому випадку динамічна система проста, а отже, $m$ може дорівнювати $2^k,~k=0,1,2\ldots$. Для гладких та кусково-монотонних відображень поняття $\mathcal{F}_{2^k}$-динамічної системи та простої динамічної системи еквівалентні.

У підрозділі 1.2 вивчається асимптотична поведінка двобічних орбіт простих динамічних систем. Для опису (наведеного у теоремі 2.4.4, розділ 2) зображень динамічного співвідношення (\ref{relation}) та структури $C^*$-алгебр, породжених операторами незвідних зображень цього співвідношення (теорема 2.4.6), необхідно описати не тільки $\omega$-граничні, але і $\alpha$-граничні множини додатних орбіт. Оскільки в роботі розглядаються лише обмежені зверху функції $f$ та додатні орбіти, то можна розглядати динамічну систему на замкненому інтервалі $[0,sup~f]$. Доводиться наступна теорема.

\begin{RTheorem}{1.2.1.}\label{lema}

Нехай $(f,\mathbb{R})$ "--- проста динамічна система з обмеженим зверху $f\in C(\mathbb{R})$. Припустимо, що множина періодичних точок, що не є точками притягуючих циклів, тобто множина \[[0,sup~f]\bigcap Per(f)\setminus \bigcup\beta\] скінченна, де об'єднання берется по всім притягуючим циклам $\beta$. Тоді для кожної орбіти $\delta \in Orb_+(f)$ $\alpha $-гранична множина $\alpha (\delta )$ є циклом, причому непритягуючим.

\end{RTheorem}

Далі для відомого логістичного відображення $f_{\lambda}(x)=\lambda x(1-x)$, $I=[0,1]$ і відображення $f_{a,b}(x)=1+ax-bx^2,~a>0,~b>0,~x\in \mathbb{R}$ досліджується поведінка двосторонніх додатних орбіт цих відображень, зокрема їх $\alpha$-граничні множини. Отримані результати використовуються в розділі 2 для опису незвідних зображень співвідношення (1).

У підрозділі 1.3 розглядається поведінка двосторонніх додатних орбіт простих динамічних систем, заданих $U$-відображеннями.

Відображення $f\in C^0(I,I)$ називається унімодальним, якщо інтервал $I$ розпадається на два інтервали $I_1,I_2$ (що залежать від $f$) і на кожному з них відображення $f$ є строго монотонним: на одному зростає, на іншому спадає. Відображення $f\in C^3(I,I),~I=[0,1]$ називається $U$-відображенням, якщо

1) f(0)=f(1)=0;

2) існує єдина точка екстремуму $c\in Int~I$, тобто $f(x)$ монотонно зростає на $[0,c]$ і монотонно спадає на $[0,c]$;

3) $Sf<0$ на $I\setminus \{c\}$, де $~Sf$ "--- похідна Шварца (або шварціан), що обчислюється за формулою:

\[

Sf(x)=\frac{f'''(x)}{f'(x)}-\frac{3}{2}\left(\frac{f''(x)}{f'(x)}\right)^2, \mbox{ для таких } x, \mbox{ що } f'(x)\not= 0.

\]

Надалі також розглядатимуться відображення класу $SU$, що складається з унімодальних відображень з від'ємним шварціаном. Наступна теорема дає опис усіх додатних орбіт динамічної системи з заданими властивостями.

\begin{RTheorem}{1.3.2.}\label{umap1}

Нехай $(f,I)\in \mathcal{F}_{2^n}$ "--- динамічна система з унімодальним відображенням $f$, яке має тільки дві нерухомі точки $s_0=0,0<s_1<1$, і припустимо, що для кожного $m\le n$ існує лише один цикл періоду $2^m$, котрий є відштовхуючим для $m<n$ і притягуючим при $m=n$. Покладемо $P_B=\{\delta~|~\delta \in Orb_+(f)\setminus Per(f),\ \alpha(\delta) =B \}$ для кожного циклу $B$ періоду $m<n$.

Тоді\\

1. $Orb_+(f)=\bigcup \limits_B^{\cdot} P_B$, де об'єднання береться по всіх відштовхуючих циклах.\\

2. Для кожного відштовхуючого циклу $B$ існує $I_B=[t_1,t_2)$ і взаємно однозначне відображення $\Phi: I_B \to P_B$ таке, що $t\in\Phi(t)$ для кожного $t\in I_B$. Причому, $I_B$ може бути обраний у довільному околі $B$.\\

3. $I_{B_1}\cap I_{B_2}=\emptyset$ для $B_1\ne B_2$. \\ 4. Якщо дві орбіти з

$P_B$ мають спільну точку у $I_B$, то вони співпадають.

\end{RTheorem}

\begin{RCorollary}{1.3.1.}

Відображення $\Phi: \cup_B I_B \ni t\to \delta_t$ з п.2 попередньої теореми є бієкцією між об'єднанням $n$ копій інтервалу $[0,1)$ і множиною нециклічних додатних орбіт.

\end{RCorollary}

Ця теорема дозволяє для таких динамічних систем в розділі 2 роботи описати усі незвідні зображення динамічного співвідношення (\ref{relation}).

Відомо, що кожне $U$-відображення має не більше одного притягуючого циклу. Далі доводиться, що $U$-відображення задовольняють усі умови, накладені в теоремі 1.3.2.

\begin{RProp}{1.3.1.}\label{number}

Нехай $(f,I)$ "--- динамічна система і $f\in \mathcal{F}_{2^n}$, $f$ "--- $U$-відображення. Тоді $f$ має не більше двох нерухомих точок і для довільного $m\leq n$ існує лише один цикл періоду $2^m$, що є відштовхуючим при $m<n$ і притягуючим при $m=n$.

\end{RProp}

Для формулювання наступної теореми введемо деякі позначення:\\

$B_0={s_0}$ і $B_1={s_1}$ позначатимуть нерухомі точки;\\ $B_{2^k}=\{ \beta_1, \beta_2,\ldots, \beta_{2^k}\}$ "--- цикл довжини $2^k$, де $\beta_i <\beta_j$, якщо $i<j$;\\ $B_{2^k}=B_{2^k}^- \cup B_{2^k}^+$, де $B_{2^k}^-=\{\beta_1,\ldots,\beta_{2^{k-1}}\}$ і $B_{2^k}^+=\{\beta_{2^{k-1}},\ldots,\beta_{2^k}\}$; позначимо через $B_{2^k}(f^2)$ цикл періоду $2^k$ динамічної системи $(f^2,I_2)$, де $I_2$ "--- деякий інваріантний відносно $f^2$ інтервал.

\begin{RDef}{1.3.1.}

Будемо говорити, що орбіта $\delta=(x_k)_{k\in\mathbb{Z}}$ приклеєна до точки $\beta_i$ циклу $B_{2^k}$, якщо існує ціле $k_0$ таке, що $x_{k_0}=\beta_i$ і $x_k\not\in B_{2^k}$ для всіх $k<k_0$. Орбіта приклеєна до циклу, якщо вона приклеєна до деякої його точки.

Будемо говорити, що орбіта вироджена, якщо вона приклеєна до циклу не максимального періоду.

\end{RDef}

Якщо $\beta_i\in B_{2^m}$, то $D_{B_{2^k}}^{\beta_i}:=\{ \delta \in P_{B_{2^k}}|\delta$ приклеєна до $\beta_i\}$. Позначимо через $D_{B_{2^k}}^{\beta_i}(f^2)$ множину $D_{B_{2^{k-1}}(f^2)}^{\beta_j}$, де $j=i-2^{m-1}$ і $\beta_j\in B_{2^{m-1}}(f^2)$.\\

Для $x\in [0,M]$ лівим продовженням $x$ назвемо орбіту $\mu_-(x)=(y_k)_{k\in {\rm Z}}$, коефіцієнти якої визначаються за правилом $y_k=f^k(x)$ при $k\ge 0$ і $y_k=f_-^{-1}(y_{k+1})$ при $k<0$. Очевидно, що $\mu_-(x)\in P_{B_0}$. Для $x\in [s_1,M]$ правим продовженням $x$ назвемо орбіту $\mu_+(x)=(y_k)_{k\in {\rm Z}}$, для якої $y_k=f^k(x)$ при $k\ge 0$, $y_{1}=f_+^{-1}(x)$ і $y_{-k}=f_-^{-1}(y_{-k+1})$ при $k>1$.

Наступна теорема дає опис усіх орбіт, що є приклеєними до циклів.

\begin{RTheorem}{1.3.3.}\label{degenerate}

Нехай $(f,I)$ "--- динамічна система така, як у теоремі 1.3.2 і $\beta_i\in B_{2^m},~m\leq n$. Тоді

1. $D_{B_{2^k}}^{\beta_i}=\emptyset$, якщо $k\ge m$.

2. Якщо $\beta_i \in B^{-}_{2^m}$, то $D_{B_0}^{\beta_i}=\{\mu_-(\beta_i) \}$ складається з однієї орбіти.

$D_{B_{2^k}}^{\beta_i}=\emptyset$, якщо $k\ge 0$.

3. Якщо $\beta_i \in B^{+}_{2^m}$, то $D_{B_0}^{\beta_i}$ складається з $\mu_-(x_k),\ \mu_+(x_k)$ для цілих $k$, де $(x_t)_{t\in\mathbb{Z}}\in D_{B_{2^l}}^{\beta_i}(f^2)$, $l<m$.

4. Якщо $k<m$ і $\beta_i \in B^{+}_{2^m}$, то $D_{B_{2^k}}^{\beta_i}=\{r^{-1}(\delta)~|~\delta\in D_{B_{2^k}}^{\beta_i}(f^2)\}$\\ (де $r:\bigcup\limits_{k\ge 1}{P_{B_{2^k}}}\rightarrow \bigcup\limits_{k\ge 1} P_{B_{2^{k-1}}}(f^2)$ відображення, побудоване при доведенні попередньої теореми).

\end{RTheorem}

Ця теорема суттєво використовується при доведенні теореми про гомеоморфізм спектрів $C^*$-алгебр, наведеній у розділі 2.

Розділ 2 присвячений вивченню властивостей $C^*$-алгебр, пов'язаних з простими динамічними системами, та опису їх незвідних зображень обмеженими операторами.

У підрозділі 2.1 наводяться необхідні означення та факти з теорії зображень інволютивних алгебр. Якщо $ \mathcal{A}$ "--- алгебра над полем $\mathbb{C}$ комплексних чисел, то відображення $x\rightarrow x^*$ алгебри $\mathcal{A}$ в $\mathcal{A}$ називається інволюцією, якщо виконуються наступні властивості:

\begin{tabular}{ll}

(1) $(x+y)^*=x^*+y^*,$ & (3) $(xy)^*=y^*x^*,$ \\

(2) $(\lambda x)^*=\overline{\lambda}x^*,$ & (4) $(x^*)^*=x $

\end{tabular}\\

для довільних $x,y\in \mathcal{A}$ і $\lambda \in \mathbb{C}$. Алгебри з інволюцією ще називають інволютивними або $*$-алгебрами. $C^*$-алгеброю називається така інволютивна нормована банахова алгебра $\mathcal{A}$, що $\Vert x^*x\Vert =\Vert x\Vert ^2$ для довільного $x\in \mathcal{A}$. Зображенням $*$-алгебри $\mathcal{A}$ називається $*$-гомоморфізм $\pi :\mathcal{A} \rightarrow L(H)$ в алгебру обмежених операторів у гільбертовому просторі $H$ із звичайною інволюцією "--- спряженням.

У підрозділі 2.2 вводиться до розгляду алгебраїчне співвідношення (1):$XX^*=f(X^*X)$, для неперервного і, взагалі кажучи, небієктивного відображення $f:I\to I$. Якщо $f(\cdot)=P_n(\cdot)$ поліном, то зображення цього співвідношення дає зображення $*$-алгебри

\begin{eqnarray}\label{alg}

\mathcal{A}_f= \mathbb{C}\langle X,X^*~|~XX^*=f(X^*X)\rangle,

\end{eqnarray}

що задана твірними $X,X^*$ та визначальним співвідношенням (\ref{relation}). У випадку, якщо $f$ не поліном, то $*$-алгебра не визначена, але визначена $C^*$-алгебра.

У підрозділі 2.3 наводиться конструкція обгортуючої $C^*$-алгебри і визначається $C^*$-алгебра для відображень, що розглядаються в даній роботі. У випадку, якщо $f$ "--- обмежений зверху поліном з дійсними коефіцієнтами, існує $*$-алгебра (\ref{alg}), яка є $*$-обмеженою. Отже, існує обгортуюча $C^*$-алгебра, що позначається $C^*(\mathcal{A}_f)$. Якщо $f$ не поліном, то під $C^*(\mathcal{A}_f)$ ми розуміємо $C^*$-алгебру, що отримується з вільної $*$-алгебри $\mathcal{F}(X,X^*)$, породженої $X$, з переднормою $\Vert u\Vert=\sup_{\pi }\Vert \pi(u)\Vert$ $(u\in \mathcal{F}(X,X^*))$, де супремум береться по всіх $\pi\in Rep~(\mathcal{F}(X,X^*))$ таких, що $\pi(XX^*)=f(\pi(X^*X))$ за стандартною процедурою факторизації і поповнення. Зауважимо, що зображення співвідношення (\ref{relation}) є зображеннями відповідної $C^*$-алгебри.

У підрозділі 2.4 розглядається зв'язок незвідних зображень співвідношення (1) з орбітами динамічної системи та вивчаються зображення даного співвідношення. Відомо, що для $\mathcal{F}_{2^m}$-динамічної системи, заданої частково монотонним відображенням, кожній орбіті з множини $Orb_+(f)$ відповідає незвідне зображення і цим вичерпуються всі нееквівалентні незвідні зображення даного співвідношення. Доводиться теорема, що дає параметризацію множини незвідних зображень для заданого класу функцій.

\begin{RTheorem}{2.4.4.}\label{repres}

Нехай $C^*(\mathcal{A}_f)=C^*\langle X,X^*~|~XX^*=f(X^*X)\rangle$ "---$C^*$-алгебра, пов'язана з простою динамічною системою $(f,I)$, $f$ "--- $U$-відображення, $\Pi$ "--- множина незвідних зображень $C^*(\mathcal{A}_f)$.

Тоді існує бієктивне відображення $\rho : \bigcup_{B}I_B \to \Pi$ між множиною $n$ копій інтервалу $[0,1)$ та множиною незвідних зображень алгебри $C^*(\mathcal{A}_f)$.

\end{RTheorem}

Наступна теорема з роботи \cite{PoMai} дає опис $C^*$-алгебр, породжених операторами незвідних зображень.

\begin{RTheorem}{2.4.6.}\label{onerep}

Нехай динамічна система $(f,\mathbb{R})$ проста і $\delta \in Orb_+ (f)$.

1. Якщо $\delta$ "--- не циклічна двостороння орбіта, тоді

\begin{eqnarray*}

C^*(\pi_\delta)=Z\times_{\delta}C(\overline{\delta})

\end{eqnarray*}

є схрещеним добутком $C^*$-алгебри $C(\overline{\delta})$ й групи цілих чисел, де $\overline{\delta}=\delta \cup \omega (\delta) \cup \alpha(\delta)$.\\ Множина незвідних зображень $Irr(C^*(\pi_{\delta}))$ це $\pi_{\delta},\pi_{\omega(\delta),\phi},\pi_{\alpha(\delta),\phi}$ де $0\leq \phi \leq 2\pi$.

2. Припустимо, що $0$ не є періодичною точкою. Якщо $\delta$ "--- фоківська орбіта, то

\begin{eqnarray*}

C^*(\pi_{\delta}) \cong M_m(\mathcal{T}(C(\mathbb{T})))

\end{eqnarray*}

є алгеброю всіх матриць розмірності $m=\mid \omega(\delta)\mid$ над $C^*$-алгеброю $\mathcal{T}(C(\mathbb{T}))$ Тьоплицевих операторів.

Аналогічне твердження вірне для анти-фоківської орбіти із заміною $m=\mid\alpha(\delta)\mid$.

\end{RTheorem}

У підрозділі 2.5 описано незвідні зображення співвідношення (\ref{relation}), заданого відображенням $f(x)=1+ax-bx^2~(a>0,~b>0)$, для деяких областей значень параметрів.

\begin{RProp}{2.5.1.}

Якщо $(a,b)$ належать області

\[

P_1=\{(a,b)~|~b<1-\frac{(a-1)^2}{4}\},

\]

то $C^*(\mathcal{A}_f)$ має сім'ю одновимірних незвідних зображень і фоківське зображення. Це всі незвідні зображення такої алгебри. Причому

\[

C^*(\mathcal{A}_f)\simeq \mathcal{T}(C(\mathbb{T})).

\]

\end{RProp}

\begin{RProp}{2.5.2.}

Нехай

\[

P_2=\{(a,b)~|~1-\frac{(a-1)^2}{4}<b<-\frac{a^2}{4}+\frac{a}{2}+\frac{5}{4}\}.

\]

Область $P_2$ розкладається в об'єднання областей $P_2^1,~P_2^2,~P_2^3$, де\\ $P_2^1=P_2\cap D;\\ P_2^2=\{(a,b)\in P_2\setminus D~|~b<a+1\}; \\

P_2^3=\{(a,b)\in P_2\setminus D ~|~b>a+1\}$.

Тоді для $(a,b)\in P_2^1$ алгебра $C^*(\mathcal{A}_f)$ має сім'ю одновимірних незвідних зображень, двовимірне та фоківське незвідне зображення і не має анти-фоківських зображень.

Якщо $(a,b)\in P_2^2$, то алгебра $C^*(\mathcal{A}_f)$ має сім'ю одновимірних незвідних зображень, двовимірне та анти-фоківські незвідні зображення.

Якщо $(a,b)\in P_2^3$, то $C^*(\mathcal{A}_f)$ має сім'ю одновимірних незвідних зображень і анти-фоківське незвідне зображення, але не має двовимірних та фоківських зображень.

\end{RProp}

У підрозділі 2.6 наводиться підрахунок базису Грьобнера для\\ $*$-алгебри $\mathbb{C}\ \langle X,X^*~|~XX^*=X^*X(1-X^*X)\rangle$.

В розділі 3 встановлюється ізоморфізм $C^*$-алгебр, пов'язаних з динамічними системами, для деяких класів відображень, що веде до вивчення спряженості динамічних систем. Як було показано для $U$-відображень (див. \cite{PoMai1}), клас гомеоморфізму простору орбіт $\mathcal{F}_{2^n}$-динамічної системи, наділеного деякою природною топологією, визначається лише цілим числом $n$. В цьому розділі показується, що для таких відображень при кожному $n$ існує три класи спряженості динамічних систем, а, отже, щонайбільше три класи ізоморфізму відповідних $C^*$-алгебр. Для більш загального класу відображень (зокрема, для ангармонійного квантового осцилятора) питання класифікації $C^*$-алгебр з точністю до ізоморфізму призводить до вивчення спряженості динамічних систем на множині додатних орбіт. У підрозділі 3.1 розглядається питання топологічної спряженості динамічних систем, заданих $U$-відображенням. Два відображення $f,g:X\to X$ називаються топологічно спряженими, якщо існує гомеоморфізм $h:X\to X$ такий, що $h\circ f=g\circ h$. Для $U$-відображень доводиться такий критерій топологічної спряженості:

\begin{RTheorem}{3.1.2.}\label{conj1}

Нехай $(f_1,I),(f_2,I)$ "--- динамічні системи такі, що $f_1,f_2$ "--- $U$-відображення, $(f_i,I)\in \mathcal{F}_{2^n},~i\in \{1,2\}$. Позначимо через $c_i$ найбільшу точку локального максимуму функції $f_i^{2^n}$.

Тоді

\[

sign (f_1^{2^n}(c_1)-c_1)=sign (f_2^{2^n}(c_2)-c_2)

\]

тоді і тільки тоді, коли $f$ і $g$ топологічно спряжені.

\end{RTheorem}

\begin{RCorollary}{3.1.1.}

Нехай $(f_1,I),(f_2,I)\in \mathcal{F}_{2^n}$, $f_i$ є $U$-відображеннями, $i=1,2$, $B_{2^n}^j$ "--- цикл періоду $2^n$ для системи $(f_j,I)$.

Тоді $f_1\sim f_2$ еквівалентно умові $sign~(\mu(B_{2^n}^1))=sign~(\mu(B_{2^n}^2))$\\ (де $\mu(B_{2^n}^j)$ "--- мультиплікатор циклу $B_{2^n}^j$).

\end{RCorollary}

Безпосереднім наслідком критерію є наступне твердження.

\begin{RCorollary}{3.1.2.}

Для $U$-відображень при кожному $n$ існує три класи спряженості динамічних систем з $\mathcal{F}_{2^n}$.

\end{RCorollary}

Зауважимо, що, як показано у наступному підрозділі, для відображення, що задає ангармонійний квантовий осцилятор, існує зліченна сім'я не топологічно спряжених динамічних систем.

У підрозділі 3.2 вводиться поняття позитивної спряженості динамічних систем та досліджується зв'язок між топологічною спряженістю та позитивною спряженістю. Введемо необхідні означення.

Носієм динамічної системи $(f,I)$ назвемо об'єднання точок всіх додатних орбіт $X=X(f,I)= \{x\in I ~|~\exists~ \delta \in Orb_+(f,I),~x\in \delta\}$. Будемо казати, що два відображення $f_1:[0,a_1]\to [0,a_1]$ і $f_2:[0,a_2]\to [0,a_2]$ позитивно спряжені, якщо $(f_1,X_1)\sim (f_2,X_2)$, де $X_1=X(f_1,[0,a_1])$, $X_2=X(f_2,[0,a_2])$.

\begin{RProp}{3.2.1.}

Якщо функції $f_1:[0,a_1]\to [0,a_1]$ і $f_2:[0,a_2]\to [0,a_2]$ топологічно спряжені, то вони позитивно спряжені.

\end{RProp}

Обернене твердження, взагалі кажучи, невірне. Спочатку розглянемо як пов'язані поняття позитивної спряженості та топологічної спряженості для $U$-відображень. У випадку $n=0$ два відображення, що не є топологічно спряженими, можуть виявитися позитивно спряженими:

\begin{RProp}{3.2.2.}

Нехай $f_1,f_2\in \mathcal{F}_1$, $f_i$ "--- $U$-відображення, $i=\{1,2\}$, $c_i$"--- точка максимуму функції $f_i$. Функції $f_1$ і $f_2$ позитивно спряжені тоді і тільки тоді, коли має місце одне з наступних тверджень:\\

$a)~sign(f_1(c_1)-c_1)=sign(f_2(c_2)-c_2)\not= 0 $, \\

$b)~sign(f_1(c_1)-c_1)\leq 0,~ sign (f_2(c_2)-c_2)=0$.

\end{RProp}

Для $\mathcal{F}_{2^n}$ динамічних систем з $n\geq 1$ поняття позитивної спряженості і топологічної спряженості виявляються еквівалентними:

\begin{RTheorem}{3.2.1.}

Нехай $f_1,~f_2\in \mathcal{F}_{2^n}$ для $n\geq 1$, $ f_i$ є $U$-відображеннями. Якщо $f_1$ та $f_2$ позитивно спряжені, то вони топологічно спряжені.

\end{RTheorem}

Щоб досліджувати позитивну спряженість унімодальних відображень, зокрема відображень $f(x)=d+ax-bx^2$, $(d\in \mathbb{R},~ a>0,~b>0)$, вводиться поняття зрізаного відображення.

Нехай $(F,I)$ "--- динамічна система, $F$ є $U$-відображенням. Позначимо через $F^{-1}_+,~F^{-1}_-$ дві гілки оберненого до $F$ відображення, причому $F^{-1}_-(0)=0$. Назвемо $p$-зрізаним відображенням (або зрізаним на $p$) від $F$ відображення $f_p(x)=F(x+p)-p,~ p\in (0,c),~x\in I_p$, де $I_p=[0,F_+^{-1}(p)-p]$.

Тоді $\{f_p(x)\}_{p\in P}$ складає сім'ю відображень, зрізаних по інтервалу $P\subset (0,c)$ від $F$, де $p\in P $.

Деякі $SU$-відображення, зокрема відображення $f(x)=d+ax-bx^2~(a>0,~b>0,~ d\geq-\frac{(a-1)^2}{4b})$, можна розглядати як зрізане від деякого $U$-відображення $F$. Далі розглядається поняття позитивної спряженості для зрізаних відображень у часткових випадках.

\begin{RProp}{3.2.3.}

Нехай $(f_1,[0,a_1]),~(f_2,[0,a_2])$ "--- динамічні системи такі, що $f_i$ є $p_i$-зрізаним відображенням від $F_i$, де $F_i\in \mathcal{F}_1$ та $F_i$ є $U$-відображенням, $i=1,2$. Тоді $f_1$ та $f_2$ позитивно спряжені.

\end{RProp}

Ситуація значно складніша вже для $n=1$:

\begin{RTheorem}{3.2.2.}\label{zlich}

Нехай $(F,I)\in \mathcal{F}_2$, $F$ є $U$-відображенням, $F^2(c')-c'<0$ ($c'$ "--- найбільша точка локального максимуму функції $F^2$). Тоді існує зліченна кількість класів позитивної спряженості відображень, зрізаних від $F$ .

\end{RTheorem}

Зауважимо, що теорема 3.2.2 виконується при додатковому обмеженні $F(x)=\lambda x(\delta -x)$.

У підрозділі 3.3 вивчається зв'язок між спряженістю простих динамічних систем

та ізоморфізмом $C^*$-алгебр.

\begin{RTheorem}{3.3.3.}

Нехай $C^*$-алгебри $C^*(\mathcal{A}_{f_i})=C^*\langle X,X^*~|~XX^*=f_i(X^*X)\rangle ,~i=\{1,2\} $ такі, що динамічна система $(f_i,I)$ проста, $f_i$ "--- $U$-відображення, $f_1$ і $f_2$ позитивно спряжені. Тоді

\[

C^*(\mathcal{A}_{f_1})\simeq C^*(\mathcal{A}_{f_2}).

\]

\end{RTheorem}

Для більш загального класу відображень (унімодальних) розглянемо зв'язок між спряженістю динамічних систем та ізоморфізмом $C^*$-алгебр, породжених операторами полярного розкладу. Якщо\\ $C^*(\mathcal{A}_f)=C^*\langle X,X^*\ | \ XX^*=f(X^*X)

\rangle$ і $\mathcal{X}=UC$ "--- полярний розклад оператора $\mathcal{X}$, що є оператором точного зображення, тоді позначимо через $C^*(\mathcal{A}_f')$ $C^*$-алгебру, породжену операторами $U$ і $C$. Ця алгебра має вигляд:

\begin{eqnarray*}

C^*(\mathcal{A}_f')=C^*\langle U,C\ | \ UC^2U^*=f(C^2),\ C=C^*,\ C\geq 0,\\

(U^*U)^2=U^*U,\ Ker (U) =Ker (C) \rangle.

\end{eqnarray*}

У випадку неполіноміального $f$ алгебра $C^*(\mathcal{A}_f')$ вводиться за тією ж схемою, що і $C^*(\mathcal{A}_f)$.

\begin{RTheorem}{3.3.4.}

Нехай $C^*$-алгебри $C^*(\mathcal{A}_{f_i})=C^*\langle X,X^*~|~XX^*=f_i(X^*X)\rangle ,~i=\{1,2\} $ такі, що динамічна система $(f_i,I)$ проста, $f_i$ "--- унімодальне відображення, $f_1$ і $f_2$ позитивно спряжені. Тоді

\[

C^*(\mathcal{A}'_{f_1})\simeq C^*(\mathcal{A}'_{f_2}).

\]

\end{RTheorem}

Аналогічне твердження справедливе, якщо замінити умову позитивної спряженості умовою топологічної спряженості.

Зауважимо, що ізоморфізм $C^*$-алгебр $C^*(\mathcal{A}_{f_1})$ та $C^*(\mathcal{A}_{f_2})$ не забезпечує топологічної спряженості відповідних динамічних систем. Наступне твердження [2] дає контрприклад.

\begin{RTheorem}{3.3.5}

Нехай $f\in \mathcal{F}_1$, $f$ "--- $U$-відображення. Тоді

\[

C^*(\mathcal{A}_f)\simeq

C_{\pi_0,\pi_1}(\mathbb{T},\mathbb{Z}\times_{\psi}C(X)),

\]

де $\pi_0, \pi_1$ "--- одновимірні зображення схрещеного добутку $\mathbb{Z}\times_{\psi}C(X)$, що відповідають різним нерухомим точкам $s_0$ і $s_1$, а нижній індекс $C_{\pi_0,\pi_1}$ позначає підалгебру тих відображень $f$, що $\pi_0(f(t))$ і $\pi_1(f(t))$ є константними відображеннями для всіх $t\in\mathbb{T}$. Зокрема, дві такі $C^*$-алгебри $C^*(\mathcal{A}_{f_1})$ та $C^*(\mathcal{A}_{f_2})$ ізоморфні.

\end{RTheorem}

ВИСНОВКИ

Дисертацію присвячено дослідженню зв'язку між теорією зображень інволютивних алгебр та теорією динамічних систем, зокрема вивченню властивостей $*$-алгебр та $C^*$-алгебр, пов'язаних з простими невзаємно-однозначними динамічними системами.

Введено клас орбіт, за якими будуються незвідні зображення, та описано властивості невзаємно-однозначних динамічних систем, які потрібні при дослідженні структури відповідних інволютивних алгебр.

Для $C^*$-алгебр, пов'язаних з простими динамічними системами, заданими $U$-відображеннями, наведено класифікацію незвідних зображень обмеженими операторами у гільбертовому просторі. Для ангармонійного квантового осцилятора описано незвідні зображення для деяких областей значень параметрів.

Наведено достатню умову ізоморфізму $C^*$-алгебр, пов'язаних з простими динамічними системами, заданими $U$-відображеннями, та виділено, щонайбільше, три класи ізоморфізму. Введено поняття позитивної спряженості динамічних систем та досліджено зв'язок між позитивною спряженістю та топологічною спряженістю для деяких класів відображень.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

[1] Popovych S.V., Maistrenko T.Yu. C*-Algebras associated with quadratic dynamical system // Proc. of Inst. of math. of NAS of Ukraine.- 2000, V. 30, Part 2.- P. 364--370.

[2] Попович С.В., Майстренко Т.Ю. C*-алгебри, пов'язані з F2n-унімодальними динамічними системами. // Укр. мат. журн. - 2001.- 53, N.7.- С. 929--938.

[3]. Maistrenko T.Yu. About conjugacy of simple unimodal dynamical systems // Methods of Funct. Anal. and Topology.- 2001, V. 7, N.2.- P. 81--84.

[4]. Maistrenko T.Yu. Positive conjugacy for simple dynamical systems // Proc. of Inst. of math. of NAS of Ukraine.- 2002, V. 43, Part 2- P. 469--473.

АНОТАЦІЇ

Майстренко Т.Ю. Операторні алгебри, що зв'язані з простими одновимірними динамічними системами. --- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 --- математичний аналіз --- Інститут математики НАН України, м.Київ, 2002.

Дисертацію присвячено вивченню зображень та властивостей\\ $*$-алгебр та $C^*$-алгебр, пов'язаних з простими одновимірними не\-вза\-єм\-но-однозначними динамічними системами.

Досліджено властивості простих динамічних систем, що необхідні для вивчення незвідних зображень відповідних інволютивних алгебр. Зокрема, описано $\alpha$-граничні множини двосторонніх орбіт простих динамічних систем та наведено класифікацію додатних двосторонніх орбіт простої динамічної системи, заданої $U$-відображенням. Також описано двосторонні додатні орбіти, що впадають в цикли.

Наведено класифікацію незвідних зображень $C^*$-алгебр, пов'язаних з простими динамічними системами, заданими $U$-відображенням. Для квантового ангармонійного осцилятора ($f(x)=1+ax-bx^2,~a>0,~b>0$) описано незвідні зображення для деяких областей значень параметрів.

Наведено критерій топологічної спряженості простих динамічних систем, заданих $U$-відображеннями. У часткових випадках досліджено спряженість динамічних систем, заданих $SU$-відображеннями, на множині додатних орбіт (позитивна спряженість). Доведено достатню умову ізоморфізму $C^*$-алгебр, пов'язаних з динамічними системами, заданими $U$-відображенням.

Ключові слова: $*$-алгебра, $C^*$-алгебра, зображення, проста динамічна система, двостороння орбіта.

Майстренко Т.Ю. Операторные алгебры, связанные с простыми одномерными

динамическими системами. --- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 "--- математический анализ. "--- Институт математики НАН Украины, Киев, 2002.

Диссертация посвящена изучению представлений и свойств $*$-алгебр и $C^*$-алгебр, связанных с простыми одномерными невзаимно-однозначными динамическими системами.

Изучены свойства простых динамических систем, которые используются при изучении неприводимых представлений соответствующих инволютивных алгебр. В частности, описаны $\alpha$-предельные множества двусторонних орбит простых динамических систем. Дана классификация положительных двусторонних орбит простой динамической системы, заданой $U$-отoбражением, а именно, установлено взаимно-однозначное соответствие между непериодическими орбитами такой динамической системы и конечным набором интервалов. Также описаны двусторонние орбиты простой динамической системы, заданной $U$-отображением, которые впадают в циклы.

Для $C^*$-алгебр, связанных с простыми динамическими системами, заданными $U$-отображением, приводится полная классификация неприводимых представлений ограниченными операторами в гильбертовом пространстве. Доказано, что множество всех таких представлений параметризуется набором $\bigcup_{k}[0,1)$, где $k$ равно количеству отталкивающих циклов соответствующей динамической системы. Для квантового ангармонического осциллятора ($f(x)=1+ax-bx^2,~a>0,~b>0$) описаны неприводимые представления для некоторых областей значений параметров. Показано, что для тех значений параметров, при которых динамическая система не имеет циклов периода $2^n\ (n\geq 1)$, все неприводимые представления соответствующей $C^*$-алгебры исчерпываются фоковским представлением и семейством одномерных неприводимых представлений.

Приводится критерий топологической сопряженности простых динамических систем, заданных $U$-отображениями. Поскольку неприводимые представления строятся только по положительным орбитам, то, для исследования сопряженности $SU$-отображений, введено понятие положительной сопряженности динамических систем, т.е. сопряженности на множестве положительных орбит. Изучена связь между топологической сопряженностью и положительной сопряженностью $U$-отображений. В частных случаях изучена положительная сопряженность динамических систем, заданных $SU$-отображениями. Описана связь сопряженности динамических систем с изоморфизмом соответствующих $C^*$-алгебр. Доказано достаточное условие изоморфизма $C^*$-алгебр, связанных с динамическими системами, заданными $U$-отображением. Для класса унимодальных отображений доказано достаточное условие изомофизма $C^*$-алгебр, порожденных операторами полярного разложения.

Ключевые слова: $*$-алгебра, $C^*$-алгебра, представление, простая динамическая система, двусторонняя орбита.

Maistrenko T.Yu. Operator algebras associated with simple one-dimentional dynamical systems.--- Manuscript.

Thesis for obtaining of the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.01 "--- mathematical analisys. Institute of mathematics of NAS of Ukraine, Kiev, 2002.

The thesis is devoted to studying of representations and properties $*$-algebras and $C^*$-algebras associated with simple one-dimentional non-bijective dynamical systems.

The properties of simple dynamical systems which are necessary for description of irreducible representations of corresponding involutive algebras are studied. The $\alpha$-boundary sets of bilateral orbits of simple dynamical systems are described and the classification of positive bilateral non-periodic orbits of simple dynamical system generated by $U$-mapping is given.

Complete classification of all irreducible representations by bounded operators in Hilbert space of $C^*$-algebras associated with simple dynamical systems generated by $U$-mapping is presented. For Unharmonical Quantum Oscillator ($f(x)=1+ax-bx^2,~a>0,~b>0$) the irreducible representations for some regions of parameter values are described.

The criterion of topological conjugacy of simple dynamical systems generated by $U$-maps is given. In some cases the conjugacy of dynamical systems generated by $SU$-maps on the set of positive orbits is studied. The sufficient condition of isomorphism of $C^*$-algebras assosiated with simple dynamical systems generated by $U$-mappings is proved.

Key words: $*$-algebra, $C^*$-algebra, representation, simple dynamical system, bilateral orbit.

Підп. до друку~19.11.2002.

Формат~60x90/16. Папір офс. Офс. друк. Ум. друк. арк.~1,16. Ум. фарбо-відб. 1,16. Обл.-вид. арк. 0,9. Тираж 100 пр. Зам. 138. Безкоштовно.

Віддруковано в Інституті математики НАН України

01601, Київ-4, МСП, вул.~Терещенківська, 3