НаціональнА академіЯ наук України

Інститут прикладних проблем

механіки і математики ім. Я.С. Підстригача

ПАКОШ

Віра Степанівна

УДК 539.3

ЗАДАЧІ ДИНАМІКИ ПРЯМОКУТНИХ ШАРУВАТИХ ПЛАСТИН,

ПОДАТЛИВИХ НА ЗСУВ ТА СТИСНЕННЯ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів - 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача Національної Академії наук України.

Науковий керівник кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Марчук Михайло Володимирович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України, м. Львів,

завідувач відділу

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Василенко Анатолій Тихонович,

Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України,

головний науковий співробітник

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Швець Роман Миколайович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України, м. Львів,

провідний науковий співробітник

Провідна установа Львівський національний університет ім. Івана Франка,

кафедри механіки та інформаційних систем,

Міністерство освіти і науки України, м. Львів

Захист відбудеться “08” липня 2002 року о “15” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .195.01 при Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79601, м. Львів, МСП, вул. Наукова, 3-Б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і мате-матики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-Б.

Автореферат розісланий 07 червня 2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

кандидат фізико-математичних наук П. Р. Шевчук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Характерною тенденцією розвитку сучасної техніки (зокрема авіаційної та космічної), більшості галузей машино-будування (для потреб нафтогазової, хімічної та інших галузей промисловості) є розробка та застосуван-ня нових конструкційних матеріалів на заміну традиційним. Одними з найпер-спек-тив-н-і-ших нових матеріалів стають композиційні матеріали, яким часто властива шару-ва-тість. Експлуатаційні та питомі характеристики таких матеріалів можна про-гнозу-вати і формувати їх властивості на стадії виготовлення шляхом застосування певних технологій, що також дозволяє зменшити матеріалоємність виробів. Важли-вою в цьому аспекті є роль теоретичних методів оцінки міцності та надійності на стадії про-е-ктування несучих конструкцій із композиційних матеріалів, що є однією з основ-них задач механіки деформівного твердого тіла. Це, в свою чергу, потребує подальшого розвитку та уточнення моделей деформування елементів конструкцій із композиційних матеріалів в реальних експлуатаційних умовах, вдосконалення і розробки нових розрахункових схем, переходу від лінійних теорій до нелінійних.

Шаруваті пластини з композиційних матеріалів є одним з основних конст-ру-к--ти-вних елементів різноманітних конструкцій та приладів, які, як правило, можуть знаходитись під дією інтенсивних динамічних навантажень і піддаватись значним деформаціям, залишаючись при цьому лінійно пружними. Розрахунок таких еле-ментів конструк-цій з урахуванням дискретності будови за товщиною при викорис-танні тривимірних співвідношень геометрично нелінійної динамічної теорії пруж-ності пов’язаний зі значними матема-тичними труднощами, в більшості випадків – непереборними. Тому актуальним є застосування двовимірних теорій шаруватих пластин, що значно спро-щує матема-тичну модель їх динамічного деформування, але дозволяє врахувати анізотропію фізико-механічних характеристик і подат-ли-вість трансверсальним деформаціям зсуву та стиснення кожного шару, розробити методи знаходження розв’язків відповідних початково-крайових задач.

Ця робота присвячена вирішенню наукового завдання – визначення напружено-деформованого стану прямокутних шаруватих пластин, зумовленого дією ударних та імпульсних попере-ч-них навантажень, а також отриманню амплітудно-частотних залежностей при гео-мет-рично нелінійних коливаннях.

Зв’язок роботи з науковими планами, темами і програмами. Вибраний напрям дослі-д-жень відповідає науко-вій тематиці відділу механіки тонкостінних еле-мен-тів конструкцій ІППММ НАНУ, де виконана дисертація, а саме, має тісний зв’я-зок з державними науковими програмами: "Розвиток математичних моделей і мето-дів дослідження нелінійної динаміки тонкостінних конструкцій із композитів сто-сов-но проблеми конструктивної міцності та довговічності хімічних джерел струму", № держ-ре-єстра-ції 0193U033345 (1993-1997рр.), "Ство-рен-ня математичних моде-лей та теоретико-експериментальних методів дослідження деформативності і міцнос-ті конструкцій з композитів з урахуванням впливу термомеханічних та техно-логіч-них факторів", № держреєстрації 0193U033346 (1998-2002рр.) і з розділом Націо-наль-ної космічної програми України “Програма розвитку матеріалознавства та техно-логії для виробів космічної техніки” - шифр “Титан”, № держконтракту 6-8/94.

Мета і задачі дослідження: розробка математичної моделі лінійного та гео-метрично нелінійного динамічного дефор-мування податливих деформаціям попе-речного зсуву та стиснення шаруватих пластин з урахуванням демпфування на базі варіанту уточненої теорії тонкостінних елементів, отримання в замкненому вигляді наближених розв’язків сформу-льованих на основі запропонованої моделі задач визначення динамічного напружено-деформованого стану прямокутних композит-них пластин; одержання якісних та кількісних оцінок щодо несучої здатності вказаних елементів конструкцій; побудова амплітудно-частотних залежностей при геометрично нелінійних коливаннях композитних пластин і дослідження впливу податливості на зсув та стиснення на характер поведінки скелетних кривих.

Об’єкт дослідження. Динамічний напружено-деформований стан і амплітуд-но-частотні залежності податливих деформаціям поперечного зсуву та стис-нен--ня прямокутних шаруватих пластин.

Предмет дослідження. Розвиток математичної моделі та методів для дослідження динамічного напружено-деформованого стану шаруватих пластин з урахуванням деформацій поперечного зсуву та стиснення на базі варіанту уточненої теорії.

У роботі використані такі методи досліджень: зведення тривимірних рів-нянь нелінійної динаміки пружного плоского шару до їх двовимірного аналогу шля-хом розвинення шуканих функцій в ряди за поліномами Лежандра, прямі методи інтегру--вання диференціальних рівнянь, а також розвинутий автором метод набли-же-ного знаходження розв’язку двовимірних початково-крайових задач для прямо-кутних областей.

Наукова новизна роботи полягає у тому, що:–

на основі варіанту уточненої теорії запропонована математична модель для дослідження динамічного напру-же-но-деформо-ваного стану податливих деформа-ціям поперечного зсуву та стиснення шаруватих пластин;–

отримано на основі запропонованої моделі в замкненому вигляді наближений розв’язок задачі про визначення динамічного напружено-дефо-р-мованого стану жорстко закріплених на краях прямокутних пластин за дії попе-речного ударного навантаження та досліджено вплив параметрів зсуву і демпфу-ван-ня на поведінку в часі розрахункових напружень;–

виконано аналіз рівнів контакт-них напружень у тришарових, симетричної будови за товщиною прямокутних плас-ти-нах за дії імпульсного навантаження;–

отримано та проаналізовано амплітуд-но-частотні залежності для транс-вер-сально-ортотропних пластин при геометрично не-лі-нійних коливаннях.

Обґрунтованість і достовірність наукових результатів випливає з корект-ності та строгості математичних постановок задач, використання основних по-ложень механіки суцільного середовища; співпадіння окремих результа-тів з резуль-татами відомих з літе-ратури теоретичних і експериментальних дослід-жень, засто-сування до розв’язання початково-крайових задач обґрунтованих аналітичних методів.

Практичне значення отриманих результатів роботи полягає у можливості проведення аналізу динамічного напружено-деформованого стану шаруватих пластин, оцінки залежності рівнів міжшарових контактних напружень, деформа-тивності та амплітудно-частотних характеристик від геометричних та фізико-механічних параметрів. Отримані в дисертації чисельні результати можна використовувати як методичні приклади для розв’язування більш складних задач.

Апробація результатів роботи. Основні результати досліджень, викла-де-ні у дисертації, допо-ві-да-лися на IV Міжнародній науковій конференції з механіки неоднорідних структур (Тернопіль, 1995), ІІІ Між-на-родному симпозіумі “Некласичні проблеми теорії тонкостінних елементів конструкцій та фізи-ко-хімічної механіки компо-зи-ційних мате-ріалів” (Івано-Франківськ, 1995), Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки і математики" (Львів, 1998), Міжнародних конференціях “Композиційні матеріали в промисловості” (Київ, 1999, Ялта, 2001), V Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Луцьк, 2000), Міжнародній науковій конференції “Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки” (Дрогобич, 2001). Дисертаційна робота в цілому допо-ві-далася й обгово-рю-ва-ла-ся на нау-ко-вих семінарах відділу механіки тонкостінних елементів конструкцій, на спільному науковому семінарі відділу механіки тонкостінних елементів конструкцій, відділу термомеханіки та відділу математичних проблем механіки неоднорідних тіл Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, на спеціалізованому кваліфікаційному семі-нарі "Механіка деформівного твердого тіла" в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України та на спільному науковому семінарі кафедр механіки та інформаційних систем Львівського національного університету ім. Івана Франка.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації опубліковані в 8-ми роботах [1–8], з них [1–3] – у рецензованих наукових журналах з Переліку фахових видань ВАК України.

Усі результати, що стосуються основного змісту дисертації отримані здобувачем самостійно. Серед 8-ми наукових праць за темою дисертації дві роботи опубліковані без співавторів. У публікаціях, які написані в співавторстві, особистий внесок здобувача складає: [2] – побудова розв’язку задачі, аналіз числових результатів; [3] – отримання розв’язку та аналіз результатів; [5] — участь у постановці задачі, проведення математичних викладок і отримання числових результатів; [6] — участь у постановці задачі та отримання числових результатів; [7] — отримання числових результатів, що характеризують поведінку в часі контактних міжшарових напружень в прямокутних пластинах; [8] — участь в аналізі експериментальних результатів стосовно демпфування композитних пластин.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, п’яти розділів, які містять 26 рисунків, висновків, а також списку використаних джерел, що містить 125 джерел. Загальний обсяг роботи становить 129 сторінок тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дослідження, визначено мету роботи, сформульовано наукову новизну й обґрунтовано достовірність отриманих у роботі наукових результатів та їх практичне значення. Визначено особистий внесок здобувача у публікаціях та рівень апробації результатів дисертації.

У першому розділі подано огляд робіт, присвячених побудові математичних моделей, теорії та методам розрахунку шаруватих пластин, серед яких відмічено фундаментальні результати С.А. Ам-бар-цумяна, В.В. Болотіна, А.Т. Ва-си-лен-ка, В.В. Васільєва, Е.І. Григолюка, Я.М. Григоренка, О.М. Гузя, Б.Я. Кантора, О.С. Ко-с---модаміанського, Ю.М. Новіч-кова, В.А. Осадчука, Б.Л. Пелеха, В.Г. Піскунова, О.О. Рассказова, В.П. Тамужа, Г.А. Тетерса, Л.П. Хоро-шуна, І.А. Цурпала та ін. У випадку динамічних навантажень при лінійних і нелінійних деформаціях дослід-ження, як правило, проводились на основі класичних моделей, які не завжди дозволяють пов-ністю враховувати такі специфічні властивості композиційних матеріа-лів, як податливість трансверсальним зсувним деформаціям, поперечному стис-нен-ню та дискретність будови за товщиною. Динаміці пластин та оболонок у лінійній та нелінійній постановках присвячена значна кількість робіт Я.Й. Бурака, А.С. Вольміра, В.О.Заруцького, В.Т. Грінченка, В.А. Криська, В.Д. Кубенка, Г.С. Писаренка, Я.Я. Рущиць-кого, І.Т. Селезова, А.Ф. Улітка, Р.М. Швеця, М.О. Шульги та ін.

У другому розділі розглянуто варіант уточненої теорії нелінійного динамічного деформування шаруватих пластин, частковим випадком якого є лінійне деформування. Фрагмент шаруватої пластини з різних складових частин приведений на рис. 1. Кожна -та з цих складових розглядається як тонкий лінійно-пружний шар товщини , віднесений до декартової системи координат (рис. 2). Індекс для простоти поки-що опускаємо.

Просторовий напружено-деформований стан шару при дії на нього зовнішніх об’ємних і поверхневих динамічних зусиль характеризується вектором пружного зміщення --, симетричним тензором скінченних деформацій , взаємозв’язаними несиметричним тензором напружень Кірхгофа і симетричним Піоли та коефіцієнтами демпфування в напрямках осей координат .

Для зведення тривимірної задачі до двовимірної використовується метод апроксимацій характеристик напружено-де-фор-мованого стану поліномами Лежандра від нормальної координати при одно-часному точному задоволенні граничних умов в напруженнях на лицевих площинах шару. Такий підхід вперше запропоно-ваний в робо-тах Б.Л. Пелеха, М.А. Сухорольського для контактних задач лінійного деформу-ван-ня оболонок і пластин та розвинутий для шаруватих пластин В.А. Лазьком, ша-ру--ватих пластин з приведеними характеристиками Р.М. Мах-ні-ць-ким. На випадок геометрично нелінійного деформування цей метод узагаль-не-ний М.В. Марчуком, в робо-тах якого апроксимаційні вирази для переміщень, напру-жень і деформацій запропоновано вибирати у вигляді

(1)

Це дозволяє поряд з урахуванням податливості -ї складової шаруватої структури трансверсальним зсувним деформаціям врахувати податливість попереч-ному стисненню.

Зазначені характерні риси властивостей матеріалу шаруватої структури найбільш повно відображають характер деформування сучасних композиційних матеріалів.

Шляхом підстановки в рівняння руху апроксимаційних виразів для перемі-щень і напружень, при попередньому задоволенні граничних умов в напруженнях на лицевих площинах, та використання методу Бубнова-Гальоркіна за нормальною координатою (коли система функцій мето-ду є ), отримуються рівняння руху -ї складової шаруватої структури, які в ортогональній системі координат мають вигляд.

Аналогічно отримуються вирази для коефіцієнтів апроксимацій компонент тензора скінченних деформацій.

З умов, що при нескінченно малих деформаціях та мінімуму квадратичного функціонала отримуються залежності між коефіцієнтами апроксимацій компонент тензорів напружень Кірх-гофа та Піоли.

Таким самим шляхом одержуються співвідношення пружності та крайові умови на бокових поверхнях шарів і початкові умови.

Рівняння (2) разом із співвідношеннями (3), (4), (7), (8) та відповідними крайовими і початковими умовами складають повну систему рівнянь пружного динамічного деформування - ї складової плоскої шару-ватої структури, якщо відомі умови контакту з -м та -м шарами на-площинах і . В загальному випадку ці умови носять характер функціональних зв’язків між контактними напруженнями та поверхневими переміщеннями шарів і відображають різноманітні умови контакту або ж його відсутності на деяких підобластях міжшарових площин. Надалі будуть використовуватися умови лише ідеального механічного контакту між шарами, які на границі розділу мають вигляд.

Аналогічно записуються умови контакту на границі . Пло-щи-ни і є лицевими площинами пакету і на них задаються умови навантаження.

Ввівши позначення та використовуючи послідовно (4), (3), (8), (7), з (2) отримаємо систему шести нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними відносно узагаль-нених переміщень точок -ї складової шаруватої пластини, яка в операторному вигляді запишеться

. (10)

Матричний диференціальний оператор містить похідні за просторовими коор-динатами від не вище другого порядку та їх добутки і степені.

Отже, маємо співвідношення варіанту уточненої теорії нелінійного пружного динамічного деформування шаруватих пластин при дискретному розгляді шарів з урахуванням податливості матеріалу кожного шару трансверсальним деформаціям зсуву та стиснення.

У випадку лінійного деформування шару (тобто складової частини шаруватої структури) рівняння руху розпадаються на дві системи: узагальнений плоский динамічний напружений стан та динамічний згин з відповідними лінійними аналогами співвідношень (3), (7), (8).

Третій розділ присвячений обґрунтуванню математичної моделі динамічного деформування податливих на зсув та стиснення композитних пластин за дії попе-речного нава-н-таження, яка отримується шляхом спрощення структури системи диференціальних рівнянь розглянутого вище варіанту уточ-неної теорії.

Поперечне лінійне динамічне деформування композитних плас-тин з достатнім ступенем адекватності описується узагальненою мо-деллю, яка враховує анізотропію пружних характеристик та подат-ливість матеріалу до трансверсальних зсувних деформацій і стиснення. Структура системи ди-ференціальних рівнянь руху в цьому випадку на відміну від класичної теорії, не дозволяє запи-сати розв’язки відповідних початково-крайових задач у замкненому вигляді. В літературі відома лише незначна кількість розв’язків конкретних задач для некругових пластин, отриманих із засто-суванням наближених і числових методів. У більшості ж випадків проблеми ди-на-міки пластин вирішувалися із застосуванням класичної теорії або певних її моди-фікацій. Тому цей розділ присвячений обґрунтуванню запропонованої математичної моделі динамічного згину композитних пластин на основі розглянутого варіанту уточненої теорії.

Нехай композитна пластина з приведеними пружними характеристиками здійснює вільні поперечні коливання за відсутності демпфування. Тоді її динамічний напружено-деформований стан описується системою рівнянь руху відносно узагальнених переміщень.

Шляхом аналізу основної характеристики динамічної системи - спектру час-тот власних коливань, показано, що під-крес-ле-ни-ми членами у рівняннях (11) може-мо знехтувати. Для цього зроблено порів-няль-ний аналіз частотних характеристик за трьома теоріями: класичною, уточненою та запропонованим варіантом уточненої теорії.

Для проведення повністю аналітичних викладок розглянуто випадок, коли один із розмірів прямокутної пластини товщини і з густиною матеріалу значно перевищує інший, тобто напружено-деформований стан пластини, яка здійснює вільні поперечні коливання, залежить лише від однієї координати .

Введемо в розгляд безрозмірну частоту

. (12)

У випадку класичної теорії для спектра безрозмірних власних частот має місце відоме співвідношення

. (13)

У цьому випадку безрозмірні власні частоти залежать лише від параметра тонкостінності пластини і коефіцієнта Пуассона матеріалу пластини.

Для уточненої теорії спектр власних частот поперечних коливань визначається за виразом

. (15)

У цьому випадку власні частоти залежать як від параметра тонкостінності пластини і коефіцієнта Пуассона , так і від параметрів податливості трансверсальним зсувним деформаціям і поперечного стиснення .

Якщо знехтувати інерцією кута повороту нормального до серединної площини елемента в рівняннях (11), то безрозмірні значення власних частот визначатимуться за формулою

. (16)

Отже, як і в попередньому випадку, власні частоти залежать від тих самих геометричних та фізико-механічних параметрів. Однак вираз для значень власних частот у цьому випадку значно простіший.

Відмітимо, що граничним переходом при з (15) отримуємо (16), а також з (16) при випливає класичний випадок (13).

На рис. 3 показано залежність основної власної частоти від параметра податливості трансверсальним деформаціям зсуву, а на рис. 4 – від параметра податливості поперечному стисненню при значеннях параметра тонкостінності .

Прямою лінією зображено значення , обчислене за класичною теорією, середня та нижня криві – значення відповідно при нехтуванні інерцією кута повороту та за уточненою теорією.

З аналізу цих залежностей, а також для випливає, що параметри податливості трансверсальним деформаціям зсуву і поперечному стисненню суттєво впливають на їх кількісні значення в порівнянні з класичною теорією в реальних діапазонах своїх змін та при реальних значеннях параметра тонкостінності. Однак похибка між значеннями, отриманими за уточненою теорією та її варіантом, становить не більше 3%.

Тобто з достатньою точністю можна досліджувати динамічну поведінку податливих деформаціям трансверсального зсуву та поперечного стиснення композитних пластин при дії нормальних навантажень за запропонованою математичною моделлю.

У четвертому розділі досліджено вплив фізико-механічних характеристик на динамічний на-пру-жено-деформований стан жорстко закріпленої на краях компо-зи-т-ної плас-тини при дії ударного навантаження. На основі висновків розділу 3 у розв’язувальній системі рівнянь нехтувалось інерцією кута повороту.

Розв’язок задачі шукається у вигляді

(17)

Після застосування методу Бубнова-Гальоркіна до системи розв’язувальних рівнянь отримуються вирази для коефіцієнтів через, а також рівняння для визначення останніх:

. (18)

Числові дослідження виконано для квадратної пластинки, виготовленої з ви-со-ко-елас-тич-ного полімерного матеріалу – співполімера пропілену з етиленом з та-кими пара-метрами: м; м; кг/м2; МПа; . Амплітуда ударного імпульсу м/с2 і його тривалість .

На рис. 5 показано зміну в часі прогину в центрі пластини для різних композиційних матеріалів. Як видно, зниження зсувної жорсткості приводить до зменшення амплітуди коливань, що відповідає фізичній суті процесу (значна частина механічної енергії від зовнішнього навантаження спрямовується на зсувні коливання). Рис. 6 ілюструє зміну в часі прогину в центрі пластини для різних коефіцієнтів демпфування. Збільшення коефіцієнта демпфування зумовлює швидше затухання динамічних процесів у пластині. Аналогічна картина спостерігається при аналізі поведінки розрахункових напружень.

Результати дають можливість шляхом підбору величини зсувної жорсткості і коефіцієнта демпфування забезпечити стабілізацію пластини як конструктивного елемента системи за заданий проміжок часу.

У цьому розділі розглянуто також динамічне деформування таких важливих елементів конструкцій як тришарові пластини симетричної будови за товщиною під дією імпульсного навантаження. Використовуючи результати розділу 3 та умови ідеального міжшарового контакту, задачу зведено до визначення розв’язувальних функцій

.

Для їх визначення отримано систему розв’ язу-ва-ль-них рівнянь. Ця система є десятого порядку за просторовими координатами і другого порядку за часовою координатою.

Використовуючи аналогічний підхід, як і в попередній задачі, отримано в аналітичному вигляді набли-жений розв’язок про напружено-деформований стан пластини таких самих розмірів в плані при дискретному розгляді шарів. Верхній і ниж-ній шар (кожний - товщини 0,1 мм) виготовлені з склопластика. Сумарна товщина пластини 20 мм. Жорсткісні характеристики заповню-вача (типу гранульованого пінопласта) на три порядки менші від харак-теристик верхнього та нижнього шарів.

На рис.7-9 наведено характер поведінки в часі міжшарових контактних напружень вздовж прямої від центру до коротшої сторони. Видно, що рівні міжшарових дотич-них контактних напружень на порядок ви-щі від рівнів міжшарових контактних нормальних напружень. Отже, таку кон-струкцію треба розраховувати на несучу здатність за тангенціальними міжшаровими напруженнями.

У п’ятому розділі розглянуто нелінійні поперечні коливання податливих деформаціям трансверсального зсуву та поперечного стиснення композитних пластин.

Система рівнянь, що враховує генеровані поперечним хвильовим процесом поздовжні та зсувні коливання, має вигляд

(19)

де - швидкості поширення поздовжніх і зсувних хвиль в пластинці.

Для нескінченної в одному напрямку пластини з шарнірно закріпленими на нерухомих опорах іншими краями отримано залежність між частотою коливань та її безрозмірною амплітудою :

, (20)

, (21)

- основна частота лінійних власних поперечних коливань пластини.

Рівність (20) співпадає з отриманою С.А. Вольміром для достатньо довгої пластинки з шарнірно закріпленими краями при застосуванні класичної теорії. У випадку нерухомих шарнірів для коефіцієнта згаданим автором отримано значення . Якщо в (21) виконати граничний перехід , то матимемо аналогічний результат.

На рис. 10 показано характер впливу параметрів податливості трансвер-альному зсуву та поперечному стисненню на величину відносно відхилення коефіцієнта в порівнянні із класичним його значенням .

Як видно, податливість зсувним деформаціям суттєво впливає на величину коефіцієнта при середніх значеннях параметра тонкостінності . Однак залежність не є монотонною, оскільки цей параметр не може змінюватись довільно внаслідок необхідності виконання умови .

На рис.11 зображені скелетні криві, які виражають залежність від безрозмірної амплітуди нелінійних власних поперечних коливань пластини при значенні та . Спостерігається значний вплив параметра податливості трансверсальним деформаціям зсуву на кількісні значення при в порівнянні з скелетною кривою в класичному випадку при та . Тобто, при визначенні частоти власних нелінійних коливань композитних пластин з амплітудою близькою до товщин, врахування податливості зсувним деформаціям суттєво впливає на результат. Для достатньо тонких пластин та ізотропних матеріалах маємо добре співпадіння з класичними результатами. Знову ж, вплив параметра податливості поперечному стисненню не є монотонним, як і в попередньому випадку при розгляді коефіцієнта .

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА висновки

У дисертації наведене теоретичне узагальнення і нове вирішення наукового завдання – визначення напружено-деформованого стану податливих на зсув та стиснення прямокутних шаруватих пла-стин, викликаного дією ударних та імпульсних попере-ч-них навантажень, а також отримання амплітудно-частотних залежностей при гео-мет-рично нелінійних коливаннях.

Для досягнення поставленої мети у роботі:

1.

2.

3.

4. Урахування повздовжніх і зсувних хвильових процесів при вільних нелінійних попе-речних коливаннях композитних пластин значно ускладнює зв’язок між частотою цих коливань та їх амплітудою і приводить до збільшення жорсткості розглядуваної системи порівняно з кла-сичними результатами, що випливає з фізики процесу. Однак при певних границях зміни пруж-них характеристик матеріалу пластини та її параметра тонкостінності можна отримати залеж-ність, яка є аналогічною до класичної. Урахування податливості на зсув і стиснення суттєво впливає на кількісні результати та характер поведінки скелетних кривих. Шляхом підбору спів-відношень між фізико-механічними параметрами ком-позитної пластини у випадку нелінійних коливань можна регулювати характер амплітудно-частотної залежності.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

АНОТАЦІЯ

Пакош В.С. Задачі динаміки прямокутних шаруватих пластин, податливих на зсув та стиснення.— Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 “Механіка дефор-мівного твердого тіла”. — Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, 2002.

Дисертація присвячена питанням динаміки шаруватих пластин в лінійній та геометрично нелінійній постановках з урахуванням демпфування. Розроблена модель динамічного напружено-деформованого стану шаруватих пластин, податливих на зсув та стиснення. Обґрунтовано можливості застосування запропонованого варіанту уточненої теорії, що враховує податливість на зсув та стиснення, до дослідження динамічного напружено-деформованого стану композитних пластин. На основі запропонованої моделі отримано розв’язки в замкненому вигляді задач про визначення динамічного напружено-деформованого стану прямокутних композитних пластин та досліджено вплив фізико-механічних параметрів на поведінку та рівень розрахункових напружень в жорстко-защемленій пластині за дії ударного навантаження. Отримано амплітудно-частотні характеристики для трансверсально-ортотропних пластин у випадку нелінійних коливань.

Ключові слова: динаміка, шаруваті пластини, демпфування, зсув, стиснення, прямокутні композитні пластини, ударне навантаження, нелінійні коливання.

ABSTRACT

Pakosh V.S. dynamic problems of Rectangular layered plates, Shear and compression Compliant. —Manuscript.

Thesis for the Candidate’s Degree in Physics and Mathematics by speciality 01.02.04 — Mechanics of Deformable Solids. — Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, L’viv, 2002.

The thesis is devoted to the problems of layered plate dynamics in linear and geometrically nonlinear statement. A model of dynamic stressed-strained state of layered plates, shear and compression compliant, is developed. The possibilities of application of the proposed simplified variant of refined theory, considering shear and compression compliances to study the dynamic stressed-strained state of composite plates are justified. On the basis of the model proposed the solutions are obtained in a closed form to problems on definition the dynamic stressed-strained state of rectangular composite plates. The influence of physical-mechanical parameters on the behavior and level of calculated stresses in a rigidly fixed plate under shock loading is investigated. The levels of inter layer stresses in a three-layer rectangular plate under pulse shock loading is analyzed. The amplitude-frequency characteristics are obtained for transversally-orthotropic plates in the case of nonlinear vibrations.

Key words: dynamics, layered plates, shear, compression, rectangular composite plates, shock loading, nonlinear vibrations.

АННОТАЦИЯ

Пакош В.С. Задачи динамики прямоугольных слоистых пластин, податливых сдвигу и сжатию. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 “Механика дефор-мируемого твердого тела”. Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2002.

Диссертация посвящена вопросам динамики слоистых пластин в линейной и геометрически нелинейной постановках с учетом демпфирования. На основании варианта уточненной теории, учитывающей податливость сдвигу и сжатию, разработана математическая модель динамического напряженно-деформированного состояния слоистых пластин, которая исходит из анализа структуры системы дифференциальных уравнений и позволяет записывать решения соответствующих начально-краевых задач в замкнутом виде. Обоснованы возможности применения предложенной модели к исследованию динамического напряженно-деформированного состояния композитных пластин. На этом основании получены приближенные решения в замкнутом виде задач об определении динамического напряженно-деформированного состояния прямоугольных компо-зит--ных пластин, жестко-защемленных по краям, и трехслойных симметричного строения по толщине. Получены выражения для межслойных контактных напряжений при действии поперечной импульсной нагрузки и показано их поведение в зависимости от времени. Исследовано влияние физико-механических параметров, демпфирования, а также геометрических параметров пластины на поведение и уровень расчетных напряжений в жестко-защемленной пластине при действии ударной нагрузки.

В работе рассмотрен вариант уточненной теории нелинейного динамического деформирования слоистых пластин, частичным случаем которого является линей-ное деформирование. В случае линейного деформирования слоя (т.е. составной части слоистой структуры) уравнения движения распадаются на две системы: обобщенное плоское динамическое напряженное состояние и динамический изгиб.

Получены амплитудно-частотные зависимости для трансверсально-орто-троп-ных пластин в случае нелинейных колебаний.

Приведена система дифференциальных уравнений, описывающая нелинейные поперечные колебания податливых трансверсальным деформациям сдвига и сжатия композитных пластин. Учтены генерированные поперечным волновым процессом продольные и сдвиговые колебания. Построены скелетные кривые зависимости основной частоты поперечных колебаний пластины от амплитуды. Получена связь между амплитудами генерированных продольных и сдвиговых колебаний и амплитудой свободных поперечных колебаний.

Ключевые слова: динамика, слоистые пластины, демпфирование, сдвиг, сжатие, прямоугольные композитные пластины, ударная нагрузка, нелинейные колебания.

Підписано до друку 3. 05. 2002р.

Папір друк.№1. Спосіб друку – офсет.

Формат 60х90/16. Умовн. друк. аркушів0.9

Тираж 100 прим.

Замовл. №564/1

Друк ВКП фірма “ВМС”

м. Львів, Проспект Свободи, 12

Тел./факс(0322) 97-05-67, 72-19-64