Міністерство освіти і науки України

Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя

РАФА ТАРАС МИКОЛАЙОВИЧ

УДК 681.3.02.021:519.1

МАТЕМАТИЧНА ТА ІМІТАЦІЙНА МОДЕЛЬ ЗОБРАЖЕННЯ

ДЛЯ ЗАДАЧІ Х-ПРОМЕНЕВОЇ ЛОКАЛЬНОЇ ТОМОГРАФІЇ

Спеціальність 01.05.02 — математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Тернопіль – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Тернопільському державному технічному університеті імені Івана Пулюя Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник — кандидат технічних наук, старший науковий співробітник

Яворський Богдан Іванович,

Тернопільський державний технічний університет

імені Івана Пулюя, завідувач кафедри біотехнічних систем, м. Тернопіль

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Сопронюк Федір Олексійович,

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича, завідувач кафедри математичних проблем управління і кібернетики, м. Чернівці

кандидат технічних наук

Олійник Андрій Петрович,

Івано-Франківський національний технічний університет нафти і газу, докторант кафедри комп'ютерних технологій в системах управління і автоматики, м. Івано-Франківськ

Провідна установа — Державний науково-дослідний інститут інформаційної інфраструктури Державного комітету зв'язку та інформації України та Національної академії наук України, відділ інформаційних технологій і систем, м. Львів

Захист відбудеться ”_31_”___01_____2003 р. о13_ год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К .052.01 в Тернопільському державному технічному університеті імені Івана Пулюя, 46001, м. Тернопіль, вул. Руська, 56.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя, 46001, м. Тернопіль, вул. Руська, 56.

Автореферат розісланий “_30_”___12____2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради К .052.01

кандидат фізико-математичних наук Шелестовський Б. Г.

загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В Х-променевих комп'ютерних томографах зображення розподілу речовини в плоскому перерізі тіла пацієнта отримується за допомогою його радонівського образу (РО) — результату взаємодії Х-випромінювання з речовиною. Основним недоліком існуючих медичних томографів загального призначення є значна інтенсивність Х-випромінювання, що небезпечно для пацієнта. Для зниження цієї небезпеки (інвазивності) доцільно розділити томографи за напрямами їх клінічного використання, створивши низку локальних томографів, спеціалізованих для діагностики конкретного органу, тканини, патології. Реконструкція розподілу за його РО є оберненою задачею, яка розв'язується числовими методами, і її розв'язок є дуже чутливим до точності РО. Але при низьких інтенсивностях Х-випромінювання ця задача не розв'язувалась. Для реконструкції якісних томографічних зображень в локальних томографах з низькою інвазивністю актуальним є удосконалення і ефективне використання методів математичного моделювання та обчислювальної математики.

Відомі методи та алгоритми реконструкції томографічних зображень базуються на стаціонарній моделі шумів РО. При низьких інтенсивностях Х-випромінювання така модель перестає бути адекватною: не враховує нелінійні ефекти взаємодії випромінювання з речовиною, шуми аналогово-цифрового перетворення РО. Нова математична модель зображення та його РО має врахувати суттєві з точки зору задачі локальної низькоінвазивної комп'ютерної томографії (КТ) особливості досліджуваного біооб'єкта (БО): неоднорідність його просторових стохастичних характеристик, поліхроматичний характер Х-випромінювання, числову реалізацію реконструкції за дискретним РО. Для розробки ефективних алгоритмів, оптимізації та оцінювання їх якості доцільно використати комп'ютерну імітаційну модель.

Удосконалені методи та засоби математичного моделювання Х-променевої локальної КТ, крім наукової цінності, приведуть до зниження вартості та покращення технічних характеристик томографів: роздільної здатності, габаритів, маси, теплових і енергетичних параметрів. Завдяки цьому розв'яжеться низка прикладних задач, серед яких: проведення масових профілактичних обстежень, ранньої і об'єктивної діагностики поширених хвороб кісток та суглобів (остеопороз, артрити, туберкульоз, остеосклероз), створення мобільних томографів для спортивної медицини та невідкладної діагностики.

Таким чином, побудова моделей зображення і його РО в локальній КТ з низькими інтенсивностями Х-випромінювання є актуальною науково-практичною задачею. Враховуючи високий науково-технічний потенціал України, доцільним є використання результатів досліджень для вдосконалення існуючих та впровадження у виробництво нових вітчизняних Х-променевих локальних томографів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертації входить до тематичного плану наукових робіт Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя. Окремі результати роботи були отримані при виконанні наукових тем:

·

· ДІ 98-02 "Дослідження методів та розробка засобів кореляційної біометрії для ідентифікації особи за папілярними лініями", номер держреєстрації 0102 U ;

· ВК 5-01 "Дослідження і розробка методів та засобів обробки евентуальних, циклічних та ритмічних біосигналів", номер держреєстрації 0101 007912.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є удосконалення методів та засобів математичного і комп'ютерного моделювання та обчислювальних методів при реконструкції зображень в Х-променевій локальній КТ з низькими інтенсивностями Х-випромінювання.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв'язати такі задачі:

·

· побудова математичної моделі РО в локальній КТ з урахуванням апріорної інформації про неоднорідність структури БО;

· побудова математичної моделі шумів аналогово-цифрового перетворення, інтерполяції та шумів обробки РО в алгоритмі реконструкції;

· визначення на імітаційній моделі спектрально-кореляційних характеристик шумів, що виникають при реконструкції томографічних зображень;

· визначення характеристик алгоритму реконструкції в локальній КТ;

· оптимізація початкового наближення в алгоритмі реконструкції;

· оцінювання якості реконструкції на базі побудованої моделі.

Об'єкт дослідження — обчислювальний процес реконструкції зображень розподілу речовини в Х-променевій КТ.

Предмет дослідження — математична модель зображення та його РО в Х-променевій локальній КТ при низьких інтенсивностях випромінювання.

Методи дослідження. Для аналізу рівняння взаємодії Х-випромінювання низької інтенсивності з речовиною та для побудови моделі РО в локальній КТ використані методи спектрально-кореляційної теорії випадкових сигналів і полів, для побудови математичної моделі шумів аналогово-цифрового перетворення та інтерполяції РО — методи моделювання неоднорідних стохастичних полів, для дослідження збіжності і оптимізації початкового наближення алгоритму реконструкції — методи імітаційного моделювання та числових експериментів.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Побудовано нові математичні моделі томографічного зображення у вигляді векторного простору над бульовим полем та РО як функціоналу у цьому просторі, що дало змогу враховувати неоднорідність досліджуваного БО при розв'язуванні задачі реконструкції.

2. Вперше запропоновано періодично-корельовану модель шумів аналогово-цифрового перетворення, інтерполяції та обробки РО, що забезпечило адекватність моделі задачі локальної низькоінвазивної КТ.

3. Дістав подальший розвиток ітераційний алгоритм реконструкції: підвищено його швидкість збіжності завдяки врахуванню спектрально-кореляційних взаємозв'язків у дискретному РО.

4. Вперше оптимізовано початкове наближення ітераційного алгоритму, використавши реконструкцію методом зворотнього проектування згорткою, чим забезпечено стійкість алгоритму.

5. Підвищено достовірність оцінки якості реконструйованих зображень, використавши статистичні характеристики стаціонарних компонентів нестаціонарних випадкових шумів їх РО.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані теоретичні результати розширюють область застосування методів математичного моделювання на задачі, які стосуються створення низькоінвазивної діагностичної медичної апаратури та засобів неруйнівного контролю в техніці. На базі запропонованої моделі синтезовано алгоритм реконструкції, що дозволяє отримувати якісні реконструйовані зображення за умов використання Х-випромінювання низької інтенсивності, що в свою чергу розширює область застосування КТ для розв'язання задач ранньої медичної діагностики. Розроблена імітаційна модель, яка враховує апріорну інформацію про БО та особливості реконструкції і дозволяє оцінювати швидкодію, точність, стійкість, збіжність для різних варіантів реалізації алгоритму реконструкції. Це значно скорочує час та вартість проектування, дослідження характеристик та визначення оптимальної структури при вдосконаленні існуючих та впровадженні у виробництво нових локальних томографів в Україні.

Сформульовані у роботі наукові положення використано при розробці та програмній реалізації алгоритму компонентного аналізу періодично корельованих випадкових процесів при виконанні держбюджетної теми №ДІ 72-97, що підтверджується заключним звітом з теми (інвентарний №  U ).

Розроблені у дисертації математична та комп'ютерна імітаційна моделі та отримані на їх базі алгоритми і програми впроваджено:

·

·

· у Тернопільському державному технічному університеті імені Івана Пулюя на кафедрі біотехнічних систем для підготовки бакалаврів, інженерів і магістрів за напрямом 6.0910 "Електронні апарати", спеціальностями 7.091002, 8.091002 "Біотехнічні та медичні апарати та системи" та у Тернопільській державній медичній академії ім. І. Я. Горбачевського на кафедрі медичної інформатики з фізикою і спецобладнанням у лабораторний практикум (акт впровадження від 14.06.2002 р.).

Особистий внесок. Основні результати, які відображають суть дисертаційної роботи отримані автором самостійно. З робіт, які опубліковані у співавторстві здобувачеві належить: в роботі [2] — розробка блок-схеми системи цифрування сигналів, розробка та реалізація окремих її вузлів (інтерфейсу, схеми керування), розробка алгоритмів вводу-виводу та попередньої обробки сигналів; в роботі [3] — схема взаємозв'язків між зображеннями при цифруванні простих та складних сигналів, опис характеристик томографічного зображення та створення моделі шумів аналогово-цифрового перетворення РО, верифікація на імітаційній моделі запропонованих гіпотез; в роботі [4] — розробка математичної моделі тестового зображення та РО в Х-променевій локальній КТ, проведення експериментальних досліджень на імітаційній моделі; в роботі [8] — розробка імітаційної моделі Х-променевої КТ та дослідження за її допомогою залежності ефективності алгоритмів реконструкції від параметрів алгоритмів та особливостей БО; в роботі [11] — опис характеристик томографічного зображення, застосування моделі шумів до задачі реконструкції, імітаційне моделювання цифрування простих та складних сигналів та зображень; в роботі [13] — лекції №4, 5, 7, 10, 11, 12 та частково лекція №2.

Співавтори робіт [2,3,4,8,11,13] брали участь у постановці задач та обговоренні наукових результатів, отриманих при їх розв'язуванні. Науковий керівник роботи брав участь у формулюванні задач, обговоренні можливостей практичного застосування результатів і є співавтором публікацій [2,3,4,8,11,13].

Апробація результатів дисертації. Окремі результати роботи апробовано на 13-й міжнародній науковій конференції — "BIOSIGNAL-96" (м. Брно, Чеська Республіка, 1996 р.), на міжнародній конференції "Математичні методи в електромагнітній теорії" "MMET'96" (м. Львів, 1996 р.), на першій Всеукраїнській конференції "Стрес і адаптація в біологічних системах" ТДПУ ім. В. Гнатюка (м. Тернопіль, 1998 р.), на науково-технічних конференціях "Прогресивні матеріали, технології та обладнання в машино- і приладобудуванні" Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя (м. Тернопіль) у 1998, 2000, 2002 роках, на науково-технічних семінарах кафедри біотехнічних систем та кафедри комп'ютерних наук Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя (1995-2002 рр.). Робота загалом обговорювалася на засіданні тематичних семінарів Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя “Зображення біомедсигналів та реконструкція їх джерел”, "Математичне моделювання та інформаційні системи" та на розширеному науковому семінарі факультету математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 13 наукових праць, з них 7 написано без співавторів, 4 статті у наукових фахових виданнях, 8 тез конференцій, 1 конспект лекцій.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків. Обсяг основного тексту дисертаційної роботи 130 сторінок, повний обсяг дисертаційної роботи становить 189 сторінок, дисертація містить 40 рисунків, 15 таблиць, список використаних джерел, що складається з 136 позицій, 5 додатків, акти впровадження.

основний зміст

У вступі розкрито сутність і стан наукової проблеми, обґрунтовано актуальність теми дисертації та необхідність проведення досліджень, сформульовано мету роботи, викладено основні положення, що виносяться на захист, їх наукову новизну та практичне значення, апробацію результатів роботи.

У першому розділі на основі аналітичного огляду літератури показано стан проблеми зниження інвазивності у КТ, проаналізовано обмеження та недоліки існуючих томографів, можливості їх вдосконалення та розширення застосування в медичній діагностиці. Показано, що одним із способів зниження інвазивності КТ та покращення технічних характеристик томографів є їхня вузька спеціалізація для діагностики конкретного органу, тканини чи навіть патології. Використання апріорної інформації про характеристики БО при розробці таких локальних томографів та алгоритмів реконструкції для них дає можливість отримувати якісні томографічні зображення при низьких інтенсивностях Х-випромінювання. Розглянуто можливість застосування локальних томографів для проведення ранньої та об'єктивної діагностики патологій кісток та суглобів, зокрема колінного, спортивної медицини та медицини катастроф, травматології і проведення масових профілактичних обстежень. Показано, що крім зниження інвазивності, локальні томографи мають ще ряд техніко-економічних переваг у порівнянні з універсальними томографами всього тіла. Розглянувши існуючі томографи та можливості використання локальних томографів, зроблено висновок про високу економічну ефективність та рентабельність їх виробництва в Україні.

Досліджено основні підходи до зниження інвазивності при проведенні КТ та показано, що найефективнішими з них є використання низьких інтенсивностей Х-випромінювання та зміни параметрів просторової дискретизації при отриманні дискретного РО. Показано, що це приводить до зростання шумів у виміряному РО, на основі чого сформульовано вимоги до алгоритмів реконструкції в низькоінвазивній локальній КТ та проведено їх порівняльний аналіз.

Розглянуто існуючі моделі, що використані при розробці методів та алгоритмів реконструкції томографічних зображень стосовно їх придатності для локальної КТ на основі наукових праць О. Тихонова, І. Троїцького, В. Арсєніна, О. Тімонова, Ґ. Германа, Ф. Наттерера, А. Маковскі, Р. Бейтса, Р. Луітта, В. Каріха та ін. Визначено, що стаціонарна модель РО томографічного зображення у вигляді адитивної суміші сигналу та білого шуму , яка розглядається у згаданих роботах, є неадекватною до задачі низькоінвазивної локальної КТ, оскільки не враховує нелінійності взаємодії поліхроматичного Х-випромінювання низької інтенсивності з речовиною БО та неоднорідності структури цього БО. Встановлено, що методи та алгоритми реконструкції, побудовані на базі існуючих математичних моделей, не враховують апріорну інформацію про БО, нелінійні ефекти взаємодії Х-випромінювання з речовиною БО, дискретизацію та квантування проекційних даних, і тому є неадекватними до задачі локальної КТ. Тому актуальним є удосконалення і ефективне використання методів та засобів математичного моделювання для розв'язання задачі низькоінвазивної локальної Х-променевої КТ.

Показано необхідність створення математичних та імітаційних моделей зображення та його РО з урахуванням апріорної інформації про досліджуваний БО для синтезу ефективних алгоритмів реконструкції в локальній КТ на базі цих моделей. На основі проведеного аналізу сформульовано основні вимоги до математичної та імітаційної моделі локальної КТ, вибрано напрям та сформульовано задачі дисертаційного дослідження.

У другому розділі розглянуто основні підходи до побудови математичних моделей, що використовуються в КТ, проведено класифікацію моделей, отриманих на основі цих підходів. Виходячи із специфіки задачі, сформульовано загальну методику побудови моделей та синтезу алгоритмів реконструкції на їх базі, що включає такі етапи:

·

· побудова моделі зображення тестового об'єкта, яка описує в загальних рисах характеристики досліджуваного перерізу БО, конкретної патології, що діагностується проектованим томографом та представлена у формі, зручній для знаходження РО;

· отримання математичної моделі РО на основі моделі взаємодії та моделі тестового об'єкта;

· побудова моделі шумів у РО, що враховує як систематичну, так і випадкову складову, спричинену відхиленнями характеристик реального БО від тестового, відкиданням деяких аспектів взаємодії, впливом квантових шумів на вимірювану інтенсивність Х-випромінювання;

· вибір методу реконструкції та синтез алгоритмів реконструкції на базі отриманих моделей зображення, РО та шумів;

· верифікація алгоритмів та оцінювання якості реконструйованих ними томографічних зображень.

Взаємодія Х-випромінювання з речовиною БО описується рівнянням переносу Х-променевих фотонів (рівнянням Больцмана):

,

де , , — відповідно просторові, кутові координати та енергія фотонів, — розподіл Х-променевих фотонів, — розподіл характеристики поглинання речовин БО, — макропереріз релеївського та комптонівського розсіювання, — функція густини джерел Х-випромінювання.

Припустивши, що випромінювання поліхроматичне, поширюється вузьким колімованим пучком з точкового джерела, розсіюванням фотонів можна знехтувати, отримано рівняння

,

Рис. 1. Схема вимірювання

де — розподіл первинних (нерозсіяних) фотонів, — дельта-функція Дірака, розв'язок якого для схеми вимірювання, показаної на рис. 1, має вигляд:

,

де — нормальні координати прямої, по якій ведеться інтегрування.

Ввівши оператор вимірювання, отримано вираз для поліхроматичного РО:

, (1)

де — розподіл речовини БО, — спектральний розподіл потужності джерела Х-випромінювання, , .

Рис. 2. Схема розбиття зображення на підобласті

Задача реконструкції томографічного зображення полягає у розв'язуванні нелінійного рівняння (1) відносно . Запропоновано математичну модель томографічного зображення, у якій область задання зображення розбивається на підобласті , кожна з яких є замкнутою геометричною фігурою, всередині якої знаходиться однорідна речовина чи тканина БО (рис. 2). Тоді повністю зображення представляється через індикатори підобластей , що є елементами лінійного векторного простору над бульовим полем,

, (2)

в кожній підобласті знаходиться речовина з відомою функцією поглинання Х-випромінювання .

Поліхроматичний РО нелінійно залежить від коефіцієнта поглинання Х-випромінювання. Використавши індикатори, можна записати:

.

Ввівши функцію довжини перетину прямої з підобластю A

(див. рис. 2), що визначається індикаторами прямої та підобласті, отримано результуючий вираз для поліхроматичного РО:

. (3)

У третьому розділі обґрунтовано доцільність проведення експериментальних досліджень на імітаційній моделі Х-променевого локального комп'ютерного томографа, що враховує реальні характеристики системи сканування, поліхроматичний характер випромінювання, скінченну ширину пучка, квантову природу сигналу, шумів аналогово-цифрового перетворення та особливості алгоритму реконструкції. Провівши аналіз схеми перетворення інформації в КТ на базі сигнальної концепції, сформульовано основні вимоги до імітаційної моделі. Враховуючи техніко-економічні чинники, медичний аспект, замість використання реальних діючих томографів або їх натурних моделей для проведення експериментальних досліджень з метою отримання реалізацій сигналу використано програмну імітаційну модель, що реалізована на комп'ютері. Програма імітаційного моделювання TOMO містить такі частини:

·

· імітаційну модель взаємодії Х-випромінювання з речовиною, що дає можливість отримати РО, з урахуванням спектру випромінювання;

· імітаційну модель первинного перетворення сигналу і його цифрування;

· імітаційну модель алгоритму реконструкції.

В імітаційній моделі спектр фотонів вважається таким, що складається з K дискретних енергетичних рівнів з відносною часткою , і РО для поліхроматичного випромінювання подано у вигляді

.

Для обчислення довжини проходження променя через підобласть використовуються схеми, показані на рис. 3. В ході числових експериментів встановлено, що схема розбиття зображення, показана на рис. 3 а, дає найвищу точність, оскільки контури підобластей співпадають із границями структур БО.

а) б) в)

Рис. 3. Схеми розбиття зображення для обчислення РО

Для випадку, коли випромінювання монохроматичне з енергією фотонів , , , РО обчислюється за спрощеною формулою

.

Провівши числові експерименти для монохроматичного та поліхроматичного РО, підтверджено, що шум реконструкції для поліхроматичного РО є неоднорідним в площині зображення внаслідок впливу нелінійності взаємодії Х-випромінювання з речовиною. Виявлено, що при аналогово-цифровому перетворенні одноракурсних проекцій, тобто отриманні відліків РО при фіксованому куті та їх подальшій інтерполяції в алгоритмі реконструкції, виникає нестаціонарний шум, який має періодичний характер. Дослідження нестаціонарних випадкових процесів, їх моделювання та методи аналізу на базі енергетичної теорії випадкових сигналів відображені у наукових працях Я. П. Драґана, Б. І. Яворського, І. М. Яворського. На основі аналізу спектрально-кореляційних властивостей томографічного зображення та РО запропоновано використати періодично корельовану модель шумів, матсподівання та коваріація яких періодичні з періодом :

, , ,

де — шум аналогово-цифрового перетворення та інтерполяції одноракурсної проекції, — оператор матсподівання, нулик над означає усереднення: , риска над означає комплексну спряженість, — період корельованості. Виявлено, що період співпадає з кроком дискретизації одноракурсної проекції.

Для аналізу періодично-корельованого випадкового шуму використано компонентний метод оцінювання, що є ефективним для малої кількості його стаціонарних компонент. Компонентний метод аналізу базується на тому, що як періодичну функцію його матсподівання та параметричну коваріацію , можна розкласти в ряд Фур'є:

, ,

де , а та — відповідно компоненти математичного сподівання та коваріаційні компоненти, які обчислюються за формулами:

, (4)

. (5)

Експериментальними дослідженнями підтверджено, що даний метод є ефективним в обчислювальному плані та дає кращі оцінки характеристик періодично корельованого шуму цифрування та інтерполяції одноракурсних проекцій з точки зору їх незміщеності та слушності у порівнянні з синфазним методом. Обчислені за допомогою компонентного методу оцінки статистичних характеристик нестаціонарних періодично корельованих випадкових шумів, що виникають про обробці РО в локальній томографії, дають значно більше інформації, ніж оцінки, отримані для стаціонарної моделі. Це дає підстави для синтезу конструктивних алгоритмів реконструкції на основі періодично корельованої моделі, що враховують неоднорідну структуру РО та спектрально-кореляційні зв'язки у ньому.

У четвертому розділі на основі аналізу проведених теоретичних та експериментальних досліджень обґрунтовано необхідність розробки ітераційного алгоритму реконструкції на базі розроблених математичних моделей та сформульовано основні вимоги до алгоритму. Серед ітераційних алгоритмів найкраще узгоджується з моделлю зображення (2) алгоритм Германа-Лента, в якому на ()-му кроці реконструкції за оцінкою на попередньому кроці будується зображення за таким правилом:

(6)

де , — РО, отриманий для функції , — початкове наближення, — довжина відрізка прямої, що знаходиться в області зображення .

Провівши імітаційне моделювання реконструкції тестових зображень колінного суглоба, виявлено, що даний алгоритм має низьку швидкість збіжності: при використанні поліхроматичного РО з розмірністю матриці 64х64 необхідно більше 1000 ітерацій для досягнення середньоквадратичної похибки реконструкції менше 10%. Зауважено напівзбіжність алгоритму, коли похибка реконструкції починає зростати після досягнення свого мінімального значення на певній ітерації, крім того, даний алгоритм стає нестійким при рівні шуму у дискретному РО більше трьох відсотків.

На базі розробленої математичної моделі зображення та його РО, використовуючи отриману інформацію про кореляційні властивості шумів у дискретному РО, синтезовано новий ефективний ітераційний алгоритм реконструкції зображень в Х-променевій локальній КТ — MLYN. В алгоритмі MLYN вибір кута на кожному кроці ітерації проводиться не у порядку зростання, як у алгоритмі Германа-Лента, а таким чином, щоб забезпечити мінімальне значення стаціонарних компонент шуму після даного кроку. Для цього кожна пара послідовних проекцій вибирається так, щоб вектори проектування були взаємно ортогональними, а сума скалярних добутків вектора даної проекції на всі попередні була мінімальною. Показано, що такий алгоритм вибору кутів є близький до оптимального з точки зору швидкості збіжності алгоритму. Оптимальний алгоритм пов'язаний з обчисленням взаємної кореляції шумів для всіх одноракурсних проекцій після знаходження кожної ітерації і тому є непридатними для практичного застосування з точки зору обчислювальних затрат. В алгоритмі MLYN реалізована проста рекурсивна функція, що генерує необхідну послідовність кутів розподілених у діапазоні від 0 до :

0, , , , , , , і т.д.

Результати реконструкції тестового зображення за поліхроматичним РО наведені на рис. 4. Показано графіки відносної середньоквадратичної похибки реконструйованого зображення для ітераційного алгоритму Германа-Лента, алгоритму MLYN та алгоритму зворотнього проектування згорткою. Проведеними експериментальними дослідженнями встановлено, що при поліхроматичному РО ітераційні алгоритми забезпечують в півтора рази меншу середньоквадратичну похибку реконструкції, в порівнянні з алгоритмами на основі методів інтегральних перетворень, а алгоритм MLYN забезпечує на порядок вищу швидкість збіжності і вимагає для досягнення тієї ж похибки в 10 разів менше ітерацій у порівнянні з алгоритмом Германа-Лента. При цьому час реконструкції алгоритмом MLYN при використанні спеціальних обчислювальних засобів не перевищує час, необхідний для реконструкції методом зворотнього проектування згорткою.

Рис. 4. Графіки похибок реконструкції

Показано, що стійкість алгоритму забезпечується належним вибором початкового наближення алгоритму та зупинкою ітерації за відповідним критерієм. Для отримання початкового наближення запропоновано використовувати алгоритм зворотнього проектування згорткою, що ґрунтується на лінійній моделі взаємодії Х-випромінювання з речовиною БО і не враховує поліхроматичності випромінювання. Реконструкція ведеться з меншою роздільною здатністю, чим досягається вища стійкість результату реконструкції до шумів у РО та скорочується час, витрачений на попередню обробку. В такому випадку алгоритм згортки проводить глобальну реконструкцію зображення, тоді як ітераційний алгоритм усуває локальні спотворення спричинені поліхроматичністю Х-випромінювання, підвищуючи чіткість елементів зображення. Додатково підвищити ефективність алгоритму можна, використавши для задання початкового наближення апріорну інформацію про медичну норму зображення досліджуваного БО, записану у вигляді індикаторів підобластей та значень функцій поглинання Х-випромінювання в цих підобластях.

Для побудови критерію зупинки ітерацій та оцінки якості реконструкції використано статистичні характеристики стаціонарних компонент шуму у одноракурсних проекціях. Запропоновано оцінку якості реконструкції проводити не в області томографічних зображень, а в області РО:

, (7)

де — оцінка -го компонента матсподівання шуму РО, обчисленого компонентним методом за формулою (4) для одноракурсної проекції під кутом ,

, — відповідно кількість проекцій та кількість компонентів.

Встановлено, що при досягненні похибки реконструкції (7) свого мінімального значення, що відповідає максимальній якості зображення, коваріаційні компоненти шуму РО стають дельта-корельованими, а матсподівання — константою. Тому, як критерій зупинки, можна використовувати досягнення варіації коваріаційних компонентів або компонентів матсподівання певного порогового значення.

У додатках подано детальний опис програми імітаційного моделювання Х-променевої локальної КТ — ТОМО, реалізованої мовою програмування Pascal в середовищі Borland Pascal 7.0 з використанням пакету Turbo Vision 2.0, включаючи тексти програми з коментарями. Наведено також результати імітаційного моделювання, формат файлів даних, характеристики поглинання речовин БО, що використовувались в імітаційній моделі, акти впровадження.

висновкИ

У дисертаційній роботі наведено теоретичне узагальнення і нове вирішення важливої науково-практичної задачі удосконалення методів та засобів математичного і комп'ютерного моделювання й обчислювальних методів реконструкції зображень в Х-променевій локальній КТ для підвищення їх якості при врахуванні поліхроматичності Х-випромінювання низької інтенсивності. Зокрема:

1. Враховано у моделі РО нелінійність взаємодії поліхроматичного Х-випромінювання низької інтенсивності з речовиною досліджуваного БО за результатами аналізу рівняння взаємодії.

2. У математичній моделі томографічного зображення як векторного простору над бульовим полем та РО як функціоналу у цьому просторі враховано апріорну інформацію про неоднорідність структури досліджуваного БО за допомогою індикаторів підобластей.

3. Побудовано періодично корельовану модель шумів аналогово-цифрового перетворення, інтерполяції та обробки РО, що адекватна задачі локальної низькоінвазивної КТ.

4. На імітаційній моделі експериментально визначено числові значення статистичних характеристик стаціонарних компонентів нестаціонарних шумів за допомогою розробленого програмного забезпечення компонентного аналізу їх періодичної корельованості.

5. Визначено на імітаційній моделі збіжність і ефективність синтезованого ітераційного алгоритму реконструкції для локальної КТ з низькими інтенсивностями Х-випромінювання, що враховує спектрально-кореляційні взаємозв'язки у дискретному РО, підтверджено зменшення впливу поліхроматичності та покращення якості реконструйованих зображень.

6. Забезпечено стійкість та мінімізовано кількість ітерацій алгоритму реконструкції, використавши метод зворотнього проектування згорткою для оптимізації початкового наближення.

7. Побудовано оцінку якості реконструкції з використанням статистичних характеристик стаціонарних компонентів, що дало змогу ставити задачі синтезу, дослідження та оптимізації алгоритмів реконструкції при побудові нових і вдосконаленні існуючих комп'ютерних томографів.

список опублікованих автором праць за темою дисертації:

1. Рафа Т.. Обґрунтування необхідності імітаційного моделювання рентгенівського комп'ютерного томографа // Вісник Тернопільського державного технічного університету. — 1997. — Т. 2, № 2. — С. 67-71.

2. Драґан Я., Рафа Т., Чорна Л., Яворський Б. Синтез інформаційно-вимірювальних систем для активного експерименту // Комп'ютерні технології друкарства: збірник наукових праць №3. — Львів. — 1999. — С. 252-261.

3. Рафа Т., Яворський Б. Модель похибки цифрування складних сигналів // Вісник Тернопільського державного технічного університету. — 2000. — Т. 5, № 4. — С. .

4. Рафа Т. М., Яворський Б. І.. Математична та імітаційна модель локальної комп'ютерної томографії // Вимірювальна та обчислювальна техніка в технологічних процесах. — 2001, № 3. — С. 131-135.

5. Рафа Т. М.. Процесор "згортки" для реконструкції томографічних зображень // Природничі і гуманітарні науки. Актуальні питання. Тези доповідей студентської наукової конференції, присвяченої 150-річчю з дня народження Івана Пулюя. — Тернопіль. — 1995. — С. 101.

6. Рафа Т. М.. Спецпроцесор згортки для комп'ютерної томографії колінного суглоба // Збірник тез кращих студентських робіт за підсумками 1 обласного конкурсу студентських науково-дослідних, творчих, пошукових робіт 1994 - 1995 років. — Тернопіль. — 1995. — С. 50-51.

7. Rafa Selecting of Regularization Parameter of X-Ray Tomography by Computer Simulation Model // Proc. of 13-th Biennial International Conference Biosignal'96. Analysis of Biomedical Signals and Images. — Brno. — 1996. — P. 101-103.

8. Iavors'kyi B., Rafa. Selection of Regularization Parameters of Inverse Problem by Computer Simulation Model // Proc. of VI-th International Conf. оn Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. — Lviv. — 1996. — P. 478-480.

9. Рафа Т. М. Адаптивний метод реконструкції при комп'ютерній томографії // Екологічний стрес і адаптація в біологічних системах: матеріали 1 Всеукраїнської наукової конференції. — Тернопіль: В-во Тернопільського державного педагогічного університету імені Володимира Гнатюка. — 1998. — С. .

10. Рафа Т. Оптимізація ітераційного алгоритму реконструкції томографічних зображень // Прогресивні матеріали, технології та обладнання в машино- і приладобудуванні: Тези доповідей третьої науково-технічної конференції ТДТУ. — Тернопіль. — 1998. — С. 59.

11. Рафа Т., Яворський Б. Модель похибки оцифрування складних сигналів та зображень // Прогресивні матеріали, технології та обладнання в машино- і приладобудуванні: Тези доповідей четвертої науково-технічної конференції ТДТУ. — Тернопіль. — 2000. — С. 94.

12. Рафа Т. Оцінювання якості реконструйованих зображень в локальній томографії // Матеріали шостої наукової конференції Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя.—Тернопіль:ТДТУ. — 2002. — С. .

13. Рафа Т. М., Яворський Б. І. Методи та засоби комп'ютерної реконструктивної томографії: Конспект лекцій. — Тернопіль: ТДТУ імені Івана Пулюя, 2000. — 80 с.

АНОтації

Рафа Т. М. Математична та імітаційна модель зображення для задачі Х-променевої локальної томографії. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 — математичне моделювання та обчислювальні методи. — Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя, Тернопіль, 2002.

Дисертацію присвячено удосконаленню методів та засобів математичного і комп'ютерного моделювання та обчислювальних методів реконструкції зображень в Х-променевій локальній комп'ютерній томографії (КТ). Встановлено, що зниження інвазивності КТ пов'язане із використанням низьких інтенсивностей поліхроматичного Х-випромінювання, вимагає врахування нелінійності його взаємодії з речовиною у моделях зображення та радонівського образу. Побудовано модель томографічного зображення у вигляді векторного простору над бульовим полем індикаторів підобластей та радонівського образу як функціоналу в цьому просторі. Побудовано періодично корельовану модель шумів аналогово-цифрового перетворення, інтерполяції та обробки радонівського образу. Створено комп'ютерну імітаційну модель Х-променевої локальної КТ, числові експерименти на якій підтвердили адекватність періодично корельованої моделі задачі локальної низькоінвазивної КТ. На базі створених моделей синтезовано ефективний ітераційний алгоритм реконструкції і забезпечено його стійкість та збіжність. Побудовано оцінку точності реконструкції з використанням стаціонарних компонентів нестаціонарного періодично корельованого випадкового шуму.

Ключові слова: Х-променева комп'ютерна томографія, локальна томографія, зниження інвазивності, математична модель, радонівський образ, імітаційне моделювання, періодично корельований випадковий процес, ітераційний алгоритм реконструкції.

Рафа Т. Н. Математическая и имитационная модель изображения для задачи рентгеновской локальной томографии. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 — математическое моделирование и вычислительные методы. — Тернопольский государственный технический университет имени Ивана Пулюя, Тернополь, 2002.

Диссертация посвящена усовершенствованию методов и средств математического и компьютерного моделирования и вычислительных методов реконструкции изображений в рентгеновской локальной компьютерной томографии (КТ). Установлено, что снижение инвазивности КТ, которое связано с использованием низких интенсивностей полихроматического рентгеновского излучения, требует учета нелинейности его взаимодействия с веществом в моделях изображения и радоновского образа. Построена модель томографического изображения в виде векторного пространства над булевым полем индикаторов подобластей и радоновского образа как функционала в этом пространстве. Построена периодически коррелированная модель шумов аналогово-цифрового преобразования, интерполяции и обработки радоновского образа. Создана компьютерная имитационная модель рентгеновской локальной КТ, численные эксперименты на которой подтвердили адекватность периодически коррелированной модели задаче локальной низкоинвазивной КТ. На базе созданных моделей синтезирован эффективный итерационный алгоритм реконструкции и обеспечена его устойчивость и сходимость. Построена оценка точности реконструкции с использованием стационарных компонентов нестационарного периодически коррелированного случайного шума.

Ключевые слова: рентгеновская компьютерная томография, локальная томография, снижение инвазивности, математическая модель, радоновский образ, имитационное моделирование, периодически коррелированный случайный процесс, итерационный алгоритм реконструкции.

RafaMathematical and simulation model of an image for the task of х-ray local tomography. — Manuscript.

A dissertation for the Scientific Degree of Candidate of Technical Science in the specialty 01.05.02 — Mathematical Modeling and Computational Methods. — Ternopil State Ivan Pul'uj Technical University, Ternopil, 2002.

The dissertation is focused on the improvement of methods and means of mathematical and computer modeling as well as on the improvement of computational methods of image reconstruction in x-ray local computed tomography (CT). It was noticed that a decrease in x-ray intensity in specialized local CT scanners reduced patient exposure (invasiveness) but increased the noise in a measured discrete Radon image (RI). It was found that existing mathematical models and reconstruction methods built on the basis of those models did not provide necessary quality of tomographic images when low x-ray intensities were used. It was also shown that the nonlinearity of polychromatic x-ray interaction with a nonuniform bioobject (BO) and the noise of the analog-to-digital conversion of a RI should be taken into account during development of mathematical models of a tomographic image and development of reconstruction algorithms on the basis of such models.

In the dissertation, an analysis of the equation of low-intensity polychromatic x-ray interaction with a BO was conducted, and the nonlinearity of this interaction for a model of a RI was taken into account. To solve the equation of x-ray interaction with a nonuniform BO, indicators of subregions with constant characteristics were used. Each subregion was a closed geometrical figure that modeled a homogenous substance or tissue of a BO with a given absorption characteristic. A model of a tomographic image in the form of a vector space in the Boolean field of indicators of subregions and a model of a RI in the form of a functional in that space were build.

A computer simulation model of local CT was developed. In the model, special properties of numerical implementation of reconstruction of a discrete RI were considered. It was found that the noise of the analog-to-digital conversion of a RI had a major effect on the accuracy of the reconstruction. A periodically correlated model of the noises of the analog-to-digital conversion, interpolation, and processing of a RI was developed. The correctness of the periodically correlated model and its higher accuracy in comparison with the stationary model were confirmed by the results of numerical experiments using the simulation model.

In the dissertation, computer codes for the component analysis of periodically correlated signals were developed on the basis of the energy theory of stochastic signals. Using the simulation model, numerical values of the stationary covariance components of nonstationary noises in a RI were determined experimentally. Based on the results of conducted numerical experiments, it was shown that the reconstruction algorithms derived from the integral transform methods did not provide enough accuracy in the case of low-intensity local CT. The use of iterative reconstruction algorithms to account for a priory information about nonuniformity of a BO was substantiated.

An analysis of convergence and stability of the Herman-Lent iterative reconstruction algorithm was performed using test images of a knee joint as inputs to the simulation model. It was found that the algorithm required more than 1000 iterations to reconstruct the test images, and it did not provide a sufficient rate of convergence. Semiconvergence of the algorithm was observed: the reconstruction error began to increase after reaching its minimum at a certain iteration. The algorithm became unstable when the noise in a discrete RI exceeded three percent.

A new, efficient reconstruction algorithm MLYN was proposed based on the results of numerical experiments and the developed models. In this algorithm, correlations among projections and the periodically correlated nature of the noises of the analog-to-digital conversion and interpolation of a RI were considered. It was proposed to choose a projection at each iteration to achieve minimum values of the covariance components of the reconstruction noise. Each pair of successive projections was chosen in such a way that the projections were mutually orthogonal, and the sum of the dot products of a current projection and all the previous projections was minimum. A simple recursive algorithm was created to implement the proposed method of choosing a projection.

Convergence and efficiency of the proposed iterative reconstruction algorithm for low-intensity local CT were confirmed using the simulation model. It was shown that the MLYN algorithm was less affected by the polychromatic nature of x rays and provided better quality of reconstructed images in comparison