КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

СЕМЕНОВ АНДРІЙ ОЛЕКСАНДРОВИЧ

УДК 530.145

ЛОКАЛІЗАЦІЯ СКАЛЯРНОЇ ЗАРЯДЖЕНОЇ ЧАСТИНКИ У ФАЗОВОМУ

ПРОСТОРІ

01.04.02 – теоретична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті фізики Національної

Академії Наук України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Лев Богдан Іванович,

провідний науковий співробітник

Інституту фізики НАН України.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Ситенко Юрій Олексійович, зав. відділу теорії ядра і

квантової теорії поля Інституту теоретичної фізики

ім. М. М. Боголюбова НАН України,

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Голод Петро Іванович, зав. кафедри фізико-математичних наук

Національного університету “Києво-Могилянська Академія”.

Провідна установа:

ННЦ “Харківський фізико-технічний інститут”, І

нститут теоретичної фізики ім. О.І. Ахієзера.

Захист відбудеться 7 травня 2002р. о 14-30 на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.001.08 Київського

національного університету імені Тараса Шевченка за адресою

03022, Київ, пр. Академіка Глушкова, 6.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського

національного університету імені Тараса Шевченка за адресою

Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий 3 квітня 2002р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

кандидат фіз.-мат. наук Свечнікова О.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ.

Актуальність теми. Серед існуючих релятивістських узагальнень формалізму функції Вігнера найбільш поширеними на сьогодні є так звані коваріантні (чотиривимірні) представлення. Окрім того, що деякі з них мають досить суттєві внутрішні недоліки (наприклад, розбіжність інтегралу в означенні функції Вігнера), жоден з цих підходів не враховує існування системи відліку, де відбувається редукція квантового стану.

Серед тривимірних представлень функції Вігнера досить розповсюджені матричнозначні розподіли. Вони враховують вищеозначений фактор, але питання про вплив нетривіальної зарядової структури оператора координати на картину руху у фазовому просторі в роботах, де був розвинений даний підхід, в достатній мірі не досліджувалося.

Релятивістські когерентні стани розглядалися багатьма авторами з різних сторін. Так в роботі Малкінa і Манько [ЖЭТФ, - 1968, т. 5, № 3, с. 1014-1025] представлені когерентні стани для частинок спінів 0 та ? в сталому та однорідному магнітному полі. Вони задовольняють правилу супервідбору, але середні значення стандартних координати та імпульсу не пов’язані з дійсною та уявною частинами параметра когерентних станів. Фактично такі стани добре описують наближення нелокальної теорії.

В роботах Багрова, Гітмана та ін. (див, наприклад [Bagrov V. G., Baldiotti M. C., Gitman D. M.,Shirokov I. V. New solutions of relativistic wave equations in magnetic fields and longitudinal fields: Preprint / LANL: hep-th/0110037]) рух релятивістської квантової частинки (в тому числі в сталому та однорідному магнітному полі) розглядався в підході нульової площини (змінних світлового конусу). Це дало можливість записати рівняння Клейна—Гордона в формі рівняння Шредінгера для гармонічного осцилятора і дуже просто отримати відповідні когерентні стани. Середні значення координат та імпульсів в такому підході повністю співпадають з класичним розв’язком. Але, на думку автора дисертації, такий підхід містить в собі кілька інтерпретаційних проблем.

Задача якій присвячена дисертаційна робота потребує більш детального розгляду, тому що вона по-перше є важливою в фундаментальних дослідженнях по квантовій теорії поля, по-друге може допомогти більш детально зрозуміти процес вимірювання, по-третє має просту аналогію із процесами в твердих тілах, і в перспективі може бути використана в квантових технологіях.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась в рамках наступних держбюджетних науково-дослідних робіт:

1. “Колективні процеси в маловимірних і мезофазних системах”, шифр 1.4.1. В/42, № державної реєстрації 0198U001418.

2. “Кінетичні, електричні і оптичні властивості маловимірних систем”, шифр 1.4.1. В/67, № державної реєстрації 0101U000353.

При виконанні цих науково-дослідних робіт автор дисертації досліджував вплив зонної структури спектру на рух частинки в представленні фазового простору на прикладі найпростішої моделі – релятивістської скалярної зарядженої частинки.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є знаходження особливостей сильно локалізованих станів квантових частинок, зумовлених нетривіальною зарядовою структурою операторів координати та імпульсу, а також ефективною нелокальністю (існуванням похідних до нескінченного порядку) гамільтоніана. Для досягнення цієї мети необхідно розглянути такі задачі:

1. Визначити вплив сталого та однорідного магнітного поля на парні (тобто спостережувані) частини операторів координати та імпульсу та на комутаційні співвідношення між ними.

2. Побудувати матричнозначний формалізм Вейля – Вігнера – Мояла (ВВМ) для скалярних заряджених частинок.

3. Побудувати формалізм ВВМ для особливого класу спостережуваних, що являють собою довільну комбінацію координат та імпульсів (зарядоінваріантні спостережувані).

4. Побудувати релятивістські когерентні стани, які одночасно враховують нетривіальну зарядову структуру операторів координат та імпульсів, та не вступають в протиріччя із правилом супервідбору.

5. На прикладі перших та других моментів координат та імпульсів визначити характер впливу фізичного вакууму на середні значення динамічних змінних при умовах, коли народження пар частинок не існує.

6. Розглянути переплутані когерентні стани двох релятивістських частинок, та визначити яким чином надсильні локалізації можуть впливати на їхні властивості.

Об’єктом дослідження є вплив заповненої зони від’ємних значень енергії релятивістських частинок (моря Дірака) та сильної локалізації квантового стану на фізично-спостережувані величини.

Предметом дослідження є сильно локалізовані стани безспінової частинки в представленні фазового простору.

Методи дослідження:

1. Основний метод, що використовується в дисертації – представлення ВВМ. Він узагальнений на релятивістський випадок з урахуванням нетривіальної структури операторів координат та імпульсів.

2. Перехід в представлення фазового простору найбільш зручний, якщо вихідне рівняння записано в формі рівняння Шредінгера. З цією метою на протязі всієї роботи використовується формалізм Фешбаха—Вілларса.

3. Ряд фізичних процесів досліджено на прикладі когерентних станів. Цей метод також потребує кардинальної модернізації для застосування в релятивістському випадку.

Наукова новизна одержаних результатів:

1. Побудовано релятивістські когерентні стани, що одночасно враховують нетривіальну зарядову структуру операторів координат та імпульсів і задовольняють правилу супервідбору.

2. Показано, що парна та непарна частини операторів спостережуваних, що являють собою довільні комбінації координат та імпульсів (зарядоінваріантні спостережувані), однозначно зв’язані між собою. Знайдено вираз для цього зв’язку.

3. Показано, що у випадку вільної частинки та частинки у сталому магнітному полі еволюційні рівняння для зарядоінваріантних спостережуваних співпадають із своїми аналогами в нелокальній теорії. Відмінність проявляє себе в класі функцій, що представляють нестаціонарний стан системи.

4. Теоретично передбачено низькочастотну модуляцію (додаткове затухання) радіусу орбіти при русі частинки у сталому та однорідному магнітному полі.

5. Показано, що для частинки в сталому та однорідному магнітному полі оператори “середніх положень” в площині обертання належать до деформованої алгебри Гейзенберга - Вейля.

6. Показано, що при сильних локалізаціях енергія переплутаного когерентного стану двох ферміонів зменшується при зближенні хвильових пакетів порівняно із нерелятивістським випадком.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації можуть бути використані при експериментальних дослідженнях одночастинкових процесів у релятивістських системах, а також в інших системах, що мають зонну структуру спектру (наприклад, тверді тіла). Вони можуть слугувати фундаментом для побудови методу релятивістської квантової томографії та томографії електронів провідності в кристалах.

Явище ефективного зростання когерентності між власними станами гамільтоніану може бути використане при експериментальних дослідженнях процесів декогерентності, тому що воно дозволяє більш детально розглянути динаміку інтерференційних доданків. Подібний механізм може виявитися корисним у практичних застосуваннях, коли суттєву роль відіграє квантовий характер інформації (наприклад, в квантових комп’ютерах).

Низькочастотна модуляція (додаткове затухання) радіусу обертання частинки в надсильних магнітних полях може бути предметом окремих астрофізичних досліджень. Якщо такий надтонкий ефект можна буде спостерігати, наприклад, у синхротронному випромінюванні від нейтронних зірок, то по-перше він може свідчити про систему відліку, в якій відбувається редукція квантового стану, а по-друге – бути додатковим чинником при оцінці величини магнітного поля.

Особистий внесок здобувача. Роботи, на яких основана дисертація, написані у співавторстві з провідним науковим співробітником док. фіз.-мат. наук Б. І. Левом (Інститут фізики НАН України) та канд. фіз.-мат. наук доцентом К.В. Усенком (Київський національний університет ім. Тараса Шевченка). На всіх етапах дослідження здобувач приймав активну участь у постановці та розв’язанні всіх задач.

В роботах [1,3,4,5] здобувачу належить основна ідея та більша частина всіх розрахунків. В роботі [2] здобувачу належать ідея використовувати вторинне квантування на базисі станів із зміщеними числами, розрахунки середніх енергій (без їхнього аналізу) в нерелятивістському випадку та розгляд релятивістського випадку.

При розгляді нелінійних когерентних станів релятивістського ротатора консультації щодо оцінки функціонального факторіалу та існування розкладу одиниці було надано проф. Дж. Р. Клаудером (Університет Флориди, США), проф. К. А. Пенсоном та док. Ж.-М. Сіденьє (Університет ім. П’єра та Марі Кюрі, Франція).

Апробація результатів роботи.

1. Семінари відділу теоретичної фізики Інституту фізики НАН України.

2. International Workshop “Mathematical Physics – today, Priority Technologies – for tomorrow”, Kiev, Ukraine, 12—17 May 1997.

3. Fifth International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations. Balatonfured, Hungary, 27—31 May 1997.

4. Восьма Українська Конференція—Школа “Фізика Плазми та Керований Синтез”. Алушта, Крим, 11—16 вересня 2000 року.

5. Seventh International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations. Boston, Massachusetts, USA, 4—7 June 2001.

6. Seventh International Wigner Symposium. Baltimore, Maryland, USA, 24—29 August 2001.

Публікації. Результати дисертації опубліковано в чотирьох статтях [1,2,3,4] та в трьох збірниках матеріалів конференцій [5,6,7].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, семи розділів, висновків з оглядом основних результатів; викладена на 174 сторінках, у тому числі 1 додаток на 3 сторінках, 10 рисунків на 10 сторінках та 1 таблиця на 1 сторінці. Список використаних літературних джерел складається з 142 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У ВСТУПІ роботи описані стан наукової проблеми та причини того, чому формалізм представлення на фазовому просторі не достатньо розвинений у релятивістському випадку. А саме, існування кількох концептуальних проблем і неможливість ще донедавна експериментально спостерігати квантово-інформаційні процеси при релятивістських значеннях параметрів.

Також у ВСТУПІ обгрунтовано актуальність теми дисертації, описані мета дослідження, нау-ко-ва новизна та практичне значення отриманих результатів.

У ПЕРШОМУ РОЗДІЛІ “Огляд літератури і вибір напрямків досліджень” описані основні положення нерелятивістського формалізму представлення на фазовому просторі (формалізм ВВМ, когерентні стани, та їх застосування у фундаментальних та прикладних дослідженнях), проблеми узагальнення на релятивістський випадок та різні підходи до нього.

Перший підрозділ описує нерелятивістський формалізм ВВМ. В основі його лежить перетво-рен-ня Вейля – від операторів до символів (функцій на фазовому просторі). У цьому представленні первинна різниця між квантовою та класичною механіками може бути зведена до переозначення операцій звичайного множення та дужки Пуасона. Замість першої у квантовій механіці з’являється некомутативна операція зірчатого добутку (star product), а замість другої – дужка Мояла.

Досить важливою відмінністю квантової механіки від класичної є специфічна умова на можли-вий клас функцій, що можуть представляти реальні стани фізичних систем. Тобто, далеко не кожна функція (навіть нормована) може бути функцією Вігнера.

У другому підрозділі описаний формалізм когерентних станів та їх узагальнень. Окрім стандартних когерентних станів, докладно розглянуто так звані нелінійні когерентні стани. Вони можуть бути означені як власні стани деформованого оператора знищення , що визначається за допомогою стандартного оператора знищення та деякої деформаційної функції наступним чином:

.

Такі стани природнім чином виникають при розгляді частинок в лазерних уловлювачах. Тобто, вони добре описують рух частинок в полі деякого (неквадратичного) потенціалу.

У третьому підрозділі описані застосування даного формалізму, які можуть бути цікаві з точки зору теми дисертації. А саме, згадуються метод квантової томографії, переплутані когерентні стани та застосування в квантовій кінетиці.

У четвертому підрозділі розглядаються концептуальні проблеми, що заважають коректному узагальненню формалізму представлення на фазовому просторі на релятивістський випадок. Виділяється дві таких проблеми:

1. Перетворення Вейля, як і будь-яке інше перетворення від символу до оператора, не є Лоренц-інваріантним. Тобто воно не містить (і не може містити) час, як незалежну динамічну змінну.

2. В релятивістський квантовій механіці не існує добре визначеного оператора координати. Це знаходить своє відображення в тому факті, що власні функції стандартного оператора координати є суперпозиціями станів з різними знаками заряду, а оператор координати Ньютона—Вігнера погано визначений з точки зору Лоренц-інваріантності.

Детально проаналізовано наявні експериментальні дані та теоретичні розробки, що дають змогу визначити вихідні положення, які використовуються в дисертації:

1. Використовується звичайне (тривимірне) перетворення Вейля. При цьому рівняння сформульовано в тій системі відліку, де відбувається редукція квантового стану.

2. Вважається, що оператор координати має нетривіальну зарядову структуру. Результати всюди, де це можливо, будуть порівнюватися із нелокальною теорією, для того, щоб знайти прямі наслідки, які можливо перевірити експериментально.

Під нелокальною теорією мається на увазі такий варіант релятивістської квантової механіки, де гамільтоніан має наступний вигляд:

.

У п’ятому підрозділі розглядаються різні підходи до релятивістського узагальнення представлення на фазовому просторі, що були розвинені іншими авторами.

У ДРУГОМУ РОЗДІЛІ “Зарядова структура операторів координати та імпульсу” розглядається як оператори координат та імпульсів виглядають у представленні нелокальної теорії (Фешшбаха – Вілларса у випадку вільної частинки). Грунтуючись на принципі супервідбору та відомих мірку-ван-нях Фешбаха, Вілларса, а також інших авторів, робиться висновок, що саме парна частина деякого оператора (а не оператор нелокальної теорії) є спостережною.

У випадку вільної частинки парна частина оператора координати співпадає з оператором коор-динати нелокальної теорії (у даному випадку – з координатою Ньютона – Вігнера). Оператор імпульсу взагалі не містить в собі непарної частини.

Зовсім інша картина для частинки у сталому та однорідному магнітному полі. Виявляється, що в цьому випадку парні частини операторів, які описують обертовий рух, утворюють деформовану алгебру Гейзенберга – Вейля. До того ж вони не комутують з відповідним оператором “середнього положення” для руху вздовж поля.

У ТРЕТЬОМУ РОЗДІЛІ “Представлення матричнозначних символів” розглядається те, як формалізм матричнозначної функції Вігнера виглядає для скалярних заряджених частинок, якщо скористатися підходом Фешбаха – Вілларса. Основними результатами є запис відпо-від-ного перетворення Вейля та той факт, що матричнозначна дужка Мояла при певних умовах не співпадає в класичній границі з матричнозначною дужкою Пуасона.

У ЧЕТВЕРТОМУ РОЗДІЛІ “Представлення фазового простору для зарядоінваріантних спостережуваних у випадку вільної частинки” було обмежено розгляд лише тими спостережува-ними, що мають матричнозначні символи Вейля пропорційні одиничній матриці. Тобто

.

Фактично такими спостережуваними є будь яка комбінація координат та імпульсів. Виявляється, що парна та непарна частини таких операторів однозначно пов’язані між собою. Такий зв’язок є наслідком того факту, що вирази для парної та непарної частин оператора координати відомі та мають фіксовані значення.

Для зарядоінваріантних спостережуваних виявляється можливим введення звичайної (не матричнозначної) функції Вігнера таким чином, щоб середнє значення визначалося б за стандартним правилом:

.

Цей об’єкт складається з чотирьох компонент – двох парних

,

та двох непарних

,

де , – деякі функції, що виражаються через енергетичний спектр. Вони відіграють ключову роль у представленому розгляді, та названі як - і -фактори.

Фізичний зміст мають лише парні компоненти. Непарні компоненти відмінні від нуля лише для гіпотетичних станів, що являють собою суперпозицію частинки та античастинки. Такі стани заборонені правилом супервідбору. Проте, непарна частина відіграє важливу роль у процесах з нестабільним вакуумом, а тому також розглядається в дисертації.

Означення парної частини функції Вігнера відрізняється від означення функції Вігнера в нелокальній (або в нерелятивістській) теорії. -фактор описує вплив нетривіальної вакуумної структури на її вигляд.

Проте виявляється, що еволюційне рівняння для парної частини функції Вігнера співпадає із своїм аналогом в нелокальній теорії, і записується наступним чином:

,

де .

В рівнянні для непарної частини фігурує так звана “антимоялівська” дужка, яка є символьним аналогом антикомутатора:

.

Різниця між нелокальною та стандартною теоріями у цьому випадку полягає у тому, що функції, які можуть бути функціями Вігнера реальних фізичних станів належать до різних класів. Особливо яскраво це проявляється на прикладі критерію чистого стану. Для парної частини функції Вігнера відповідна умова виглядає наступним чином:

.

Права частина цього виразу, на відміну від нелокальної (та нерелятивістської) теорії, не є нулем.

Зокрема, це призводить до того, що у релятивістському випадку неможливий стан який був би одночасним гаусівським розподілом по координаті та імпульсу. На рис. 1 показано контури функції Вігнера для стану, що є гаусівським розподілом навколо нульової точки в імпульсному прос-торі. Характерний розмір цього пакету у 8 разів менший за комптонівську довжину хвилі. Надсильна локалізація призводить до появи специфічних “вакуумних флуктуацій”. Вони є причиною того, що другий момент координати (дисперсія) має у стандартній теорії деякі особливості. Так, дисперсія показаного на рис. 1 стану від’ємна. Хоча основна частина функції Вігнера зосереджена в межах характерного розміру.

Рис.1. Контури функції Вігнера “гаусівського” стану вільної частинки. Параметр локалізації . Координату приведено в одиницях , а імпульс – в одиницях .

У П’ЯТОМУ РОЗДІЛІ “Представлення фазового простору для зарядоінваріантних спостережуваних у випадку частинки в постійному магнітному полі” приведено аналогічний розгляд для цього більш складного випадку.

Квантова динаміка тут відрізняється від класичної більш суттєво. Причиню є той факт, що класична функція Гамільтона не співпадає у цьому випадку із символом, що відіграє роль гамільтоніана. Релятивістський квадратний корінь визначається за допомогою операції зірчатого добутку. Реально це призводить до того, що параметр локалізації (відношення комптонівської довжини хвилі до характерного розміру) стає другим релятивістським параметром поряд із швидкістю. Слід відзначити, що ця властивість спільна для стандартної та нелокальної теорій, тому що еволюційні рівняння в них, як і в попередньому розділі, співпадають.

У цьому розділі досліджено також питання про фізичний зміст -фактора. Він являє собою до-дат-ковий множник перед інтерференційними доданками між власними станами гамільтоніана. Тобто нетривіальна структура вакууму призводить до ефективного зростання когерентності. Якщо частинку розглядати як відкриту систему, яка утворює з оточенням такий переплутаний стан, що кожному власному стану системи відповідає макроскопічно розпізнавальний стан оточення, то реконструкція функції Вігнера (наприклад, методом квантової томографії) дасть більше інфор-мації про інтерференційні доданки. Відзначимо, що сама когерентність при цьому не зростає, тобто це не відображається ні на яких кількісних характеристиках переплутування. Вакуумна структура відіграє роль своєрідної “квантової лінзи”: спостерігачу при такого роду вимірюваннях здається, що інтерференційні доданки збільшилися, а насправді це не так.

У ШОСТОМУ РОЗДІЛІ “Когерентні стани релятивістської частинки” розглядаються такі когерентні стани, які по-перше, не використовують поняття нульової площини, а по-друге, задовольняють наступним додатковим умовам:

1. Середні значення стандартних координати та імпульсу звичайним чином пов’язані з параметром :

2. Ці стани розкладаються в ряд по власних станах гамільтоніана, що мають однаковий знак заряду.

На перший погляд, ці умови не є сумісними. Дійсно, для того щоб задовольнити першу з них, когерентні стани необхідно було б означати, наприклад, як власні стани стандартного оператора знищення. Але він має нетривіальну зарядову структуру, тому друга умова в такому разі не буде виконуватися. З іншого боку, можна було б означити когерентні стани за допомогою оператора знищення нелокальної теорії. Тоді буде обернена ситуація: друга умова задовольняється, а перша (принаймні для частинки в сталому магнітному полі) – ні.

Вихід з цієї ситуації досить простий. Для того, щоб задовольнити обом умовам, когерентні стани необхідно визначати, як власні стани парної частини оператора знищення.

Особливості, що були виявлені в даному підході, можна поділити на дві групи: пов’язані з не-квад-ра-тичністю гамільтоніана відхилення від класичних траєкторій, та пов’язані з нетривіальною за-ря-д-овою структурою операторів координати та імпульсу “вакуумні флуктуації”.

У випадку вільної частинки перша група ефектів призводить до ефективного збільшення маси сильно локалізованої частинки навіть при малих (нерелятивістських) швидкостях. Це є наслідком того, що при малій дисперсії координати, дисперсія імпульсу стає великою і релятивістські зна-чення імпульсу роблять свій внесок в загальну картину руху. Такий ефект в принципі споріднений до ефективного зростання маси (інертності) при великих швидкостях у спеціальній теорії віднос-ності. Але в квантовому випадку ступінь локалізації виявляється ще одним релятивістським пара-мет-ром.

Для обертового руху частинки у сталому та однорідному магнітному полі дана особливість приз-водить до низькочастотних осциляцій радіусу обертання. Відзначимо, що у підході, який зас-тосовує поняття нульової площини, подібних ефектів немає. Отже, якщо подібні тонкі особливості можна буде спостерігати хоча б у синхротронному випромінюванні від астрофізичних об’єктів типу нейтронних зірок, то це може побічно вказувати на те, в якій системі відліку відбувається ре-дук-ція квантового стану.

Друга група ефектів, пов’язана з вакуумною структурою, майже не виявляє себе на перших моментах координат та імпульсів. Лише для релятивістського ротатора (а у цьому випадку ми маємо справу з нелінійними когерентними станами) у випадку сильної локалізації та малого радіусу обертання можна помітити деякі особливості.

Проте вона дуже яскраво проявляється для других моментів (дисперсій). У випадку сильно локалізованої вільної частинки “вакуумні флуктуації” зосереджені біля нульового значення імпульсу. Тому, коли його значення достатньо великі, частинка менше відчуває ці флуктуації. А отже і дисперсія координати поводить себе як у нелокальній теорії.

Для релятивістського ротатора картина обернена. Стан з нульовим радіусом обертання є основним станом такої системи. Він не містить в собі ніяких ознак вакуумної структури. При збіль-шенні радіусу з’являється суперпозиція власних станів, а отже й інтерференційні доданки. Вони містять перед собою додаткові множники (-фактор), які й призводять до появи “вакуумних

флуктуацій”.

Некомутативність парних частин операторів знищення для поздовжнього та обертового рухів унеможливлює побудову таких станів для обох ступенів вільності одночасно. Можна ввести лише стани, які добре описують одну з ступенів вільності при умові кінцевої локалізації вздовж іншої, що й було зроблено у цьому розділі.

У СЬОМОМУ РОЗДІЛІ “Переплутані когерентні стани вільних релятивістських частинок” розглянуто, як релятивістські ефекти (а саме нелокальність гамільтоніана в представленні Фешбаха – Вілларса або Фолді – Вутхайзена) впливають на енергетичні характеристики переплу-таних когерентних станів.

Симетричність (антисиметричність) хвильової функції призводить до того, що середня енергія переплутаного когерентного стану містить в собі специфічний кореляційний доданок. У випадку скалярних заряджених частинок він не призводить до суттєвих особливостей. Пояснюється це тим, що дві такі частинки можуть одночасно перебувати в одному й тому ж стані.

Проте для ферміонів стан, коли дві частинки знаходяться в одній точці, є особливим. Причиною цього є принцип Паулі. При зближенні хвильових пакетів одна з частинок переходить в перший збуджений стан із зміщеним числом. Енергія такого утворення більша, ніж енергія просторово розділених частинок. Тому, взагалі кажучи, ферміонам вигідніше зайняти місце як можна далі один від одного (явище Фермі-відштовхування).

Нелокальність релятивістського гамільтоніана в представленні Фолді – Вутхайзена дещо змінює цю картину. Для частинок, що локалізовані на розмірах порядку комптонівської довжини хвилі, різниця між енергіями станів, коли пакети знаходяться навколо однієї точки і коли вони просторово розділені, зменшується. А це означає, що такий стан стає більш енергетично вигідним, і отже має більше шансів на реалізацію в результаті деякого фізичного процесу.

У ВИСНОВКАХ приводяться основні результати дисертаційної роботи та рекомендації щодо їх застосування.

ВИСНОВКИ

У дисертації наведено теоретичний розгляд наукової задачі, що виявляється в проблемі лока-лізації скалярної зарядженої частинки в представленні фазового простору. Було розглянуто те, яким чином квантові релятивістські ефекти можуть бути описані у представленні фазового прос-тору. А саме, увагу було приділено вакуумній структурі та ефективній нелокальності реляти-вістського гамільтоніана. Теоретично передбачено ряд нових фізичних ефектів та обговорена мо-жли-вість їх застосування у фундаментальних та прикладних дослідженнях.

У випадку вільної частинки парна частина оператору координати співпадає з оператором координати Ньютона – Вігнера. Разом із стандартним оператором імпульсу (в даному випадку він не містить непарної частини) вони утворюють канонічну пару. Зовсім інша ситуація, коли в системі присутнє зовнішнє стале магнітне поле. В дисертації це розглядалося на найпростішому прикладі однорідного поля. Парні частини операторів координати та імпульсу (знищення та народження), що описують обертовий рух не співпадають з відповідними операторами нелокальної теорії, а являють собою їхню деформацію. Отже оператори “середніх положень” утворюють деформовану алгебру Гейзенберга – Вейля, з відповідними комутаційними співвідно-шеннями. До того ж виявляється, що відповідний оператор для поздовжнього руху з ними не комутує. Це означає, що частинка не може перебувати у стані, який точно характеризує одночасно поздовжній та обертовий рухи.

Розгляд формалізму ВВМ був обмежений такими спостережуваними, які є довільними комбіна-ціями стандартних координати та імпульсу, і не залежать від зарядової змінної (зарядоінваріантні спостережувані). Або можна ска-зати, що матричнозначні символи Вейля таких спостережуваних пропорційні одиничній матриці. Виявляється, що парна та непарна частини таких спостережуваних однозначно зв’язані між собою. Це співвідношення має явний фізичний зміст. Так, якщо за такий оператор взяти, наприклад, скалярний потенціал зовнішнього електричного поля, то воно буде описувати кількісний зв’язок між рухом частинки у полі та ефектами, пов’язаними з поляризацією вакууму.

Для зарядоінваріантних спостережуваних виявляється можливим визначити стандартну (не мат-рично-значну) функцію Вігнера. Такий об’єкт складається з чотирьох компонент – двох парних та двох непарних. Непарна частина відмінна від нуля лише для гіпотетичних станів, що являють со-бою суперпозицію частинки та античастинки. Основний фізичний зміст несуть на собі лише парні компоненти, еволюційні рівняння для яких повністю співпадають із своїми аналогами в не-ло-кальній теорії.

В означенні парних компонент є деяка відмінність від нерелятивістського випадку та нелокаль-ної теорії. Вона полягає в присутності специфічної функції від двох змінних – -фактора. Його фізичний зміст – додатковий множник перед інтерференційними доданками між власними стана-ми гамільтоніана. Дуже важливо, що -фактор більший за одиницю. Це означає, що при вимірю-ван-нях операторів з нетривіальною зарядовою структурою, когерентність між власними станами гамільтоніана збільшується.

Якщо частинка утворює з оточенням такий переплутаний стан, що кожному власному стану гамільтоніана відповідає макроскопічно розпізна-валь-ний стан оточення, то внаслідок процесу декогерентності інформація про інтерференційні доданки (відносну фазу) губиться. Тому якщо на експерименті відтворити функцію Вігнера (скажімо, методом квантової томографії), то їхній вплив буде майже непомітний. Ефективне зростання когерентності відіграє у цьому випадку роль своєрідної лінзи: хоча й самі ці доданки об’єктивно не збільшуються, але для спостерігача в результаті вимірювання вони стануть більш помітними. Цей ефект може бути застосований при вивчені процесів декогерентності, коли необхідно відтворити дуже малі інтерференційні доданки.

Такі ефекти можуть спостерігатися і в інших системах із зонною структурою спектру, дослід-ження яких на сьогодні реальне з технологічної точки зору. А отже, можливе його застосування при вирішенні проблеми подавлення декогерентності у квантових комп’ютерах. Представлений формалізм може також слугувати фундаментом для побудови методу релятивістської квантової томографії та томографії електронів провідності в кристалах.

У дисертації побудовані релятивістські когерентні стани, що одночасно враховують нетри-віальну зарядову структуру операторів координат та імпульсів і задовольняють правилу супер-відбору. Одночасно за-до-воль-нити ці умови можна, якщо означити когерентні стани, як власні ста-ни парної частини оператора знищення.

Для частинки у сталому та однорідному магнітному полі такий підхід виявляє низькочастотну мо--ду--ля-цію радіусу обертання. Слід зазначити, що цього ефекту немає у підході, що використовує фор--малізм нульової площини. Тобто він може бути непоганим тестом для визначення того, в який сис-темі відліку відбувається редукція квантового стану (звичайно, при умові, якщо це можна буде спос-терігати, наприклад, у синхротронному випромінюванні від астрофізичних об’єктів типу нейт-рон-них зірок).

В дисертації розглянуто вплив переплутування на значення середньої енергії. Окрім енергії частинок вона містить в собі специфічний доданок – кореляційну енергію. Скалярні заряджені частинки підпорядковані статистиці Бозе – Ейнштейна, тому кореляційна енергія не відіграє для них помітної ролі. Але запропонований формалізм дуже вдало переписується на випадок одно-вимірних діраківських частинок. Для них існує явище Фермі-відштовхування. У даному випадку воно полягає в тому, що коли обидві частинки локалізовані в одній точці фазового простору, то одна з них, внаслідок принципу Паулі, перейде у перший збуджений стан із зміщеним числом. При цьому середня енергія такого стану більша, ніж та, коли частинки знаходяться далеко одна від одної в конфігураційному просторі. Тобто цей стан не є енергетично вигідним, і частинки з більшою імовірністю займають положення на деякій відстані одна від одної. Нелокальність гамільтоніана в представленні Фолді – Вутхайзена вносить сюди деякі зміни. Для переплутаного когерентного стану з локалізацією порядку комптонівської довжини хвилі ця енергія зменшується і такий стан стає більш вигіднішим енергетично.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Lev B. I., Semenov A. A., Usenko C. V. Behaviour of mesons and synchrotron radiation in a strong magnetic field. // Phys. Lett. A. - 1997, Vol.230, №4,5 , P.261-268.

2. Лев Б. І., Семенов А. О., Усенко К. В. Просторові когерентні стани для малоферміонних систем. // УФЖ. - 2000, т.45, №3, с.372-380.

3. Lev B. I., Semenov A. A., Usenko C. V. Peculiarities of the Weyl—Wigner—Moyal formalism for scalar charged particles. // J. Phys. A: Math. Gen. - 2001, Vol.34, № 20, P.4323-4339.

4. Lev B. I., Semenov A. A., Usenko C. V. Possible peculiarities of synchrotron radiation in strong magnetic fields.// Космічна наука і технологія. ДОДАТОК. - 2001, т.7, №2, с.84-88.

5. Lev B. I., Semenov A. A., Usenko C. V. Behaviour of mesons in a strong magnetic field. // Fifth International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations. - NASA/CP-1998-206855, P.567-571.

6. Lev B.I., Semenov A.A. Possible approach to geometrization of interaction and theory of electron. // International Workshop “Mathematical Physics – today, Priority Technologies – for tomorrow”. – 12-17 May 1997, Kyiv, Ukraine, P.17-18.

7. Lev B. I., Semenov A. A., Usenko C. V. Relativistic Wigner function, charge variable and structure of position operator. // Seventh International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations. – 4-8 June 2001, Boston, Massachusetts, USA.

АНОТАЦІЯ

Семенов А.О. Локалізація скалярної зарядженої частинки у фазовому просторі. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 – теоретична фізика. – Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, фізичний факультет, Київ, 2002.

В дисертаційній роботі вивчається представлення релятивістської квантової механіки на фазо-во-му просторі. Для класу спостережуваних, матричнозначні символи Вейля яких пропорційні оди-ничній матриці, запропонований формалізм Вейля – Вігнера – Мояла. Еволюційні рівняння спів-па-да-ють із своїми аналогами в нелокальній теорії, а відмінності виявляються в особливостях обме-жень для можливого класу початкових умов. Знайдене ефективне подавлення декогерентності між влас-ними станами гамільтоніана.

Розглянуто релятивістські когерентні стани, що одночасно враховують нетри-віальну зарядову струк-туру операторів координат та імпульсів, і задовольняють правилу супер-відбору. На цій ос-нові представлений розгляд переплутаних когерентних станів релятивістської частинки.

Ключові слова: фазовий простір, формалізм Вейля – Вігнера – Мояла, нелінійні когерентні стани, переплутування, декогерентність, релятивістська квантова механіка, релятивістська функція Вігнера, релятивістські когерентні стани.

АННОТАЦИЯ

Семенов А.А. Локализация скалярной заряженной частицы на фазовом пространстве.-Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специаль-ности 01.04.02 – теоретическая физика. – Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко, физический факультет, Киев, 2002.

В диссертационной работе изучается представление релятивистской квантовой механики на фа-зо-вом пространстве. Для класса наблюдаемых, чьи матричнозначные символы Вейля пропор-циональны единичной матрице, предложен формализм Вейля – Вигнера – Мояла. Эволюционные урав-нения совпадают со своими аналогами в нелокальной теории, а отличия проявляются в осо-бенностях ограничений на возможный класс начальных условий. Обнаружено эффективное подав-ление декогерентности между собственными состояниями гамильтониана.

Рассмотрены релятивистские когерентные состояния, которые одновременно учитывают нетри-виальную зарядовую структуру операторов координат и импульсов, и удовлетворяют правилу супер--отбора. На этой основе представлено рассмотрение перепутанных когерентных состояний реляти-вистской частицы.

Ключевые слова: фазовое пространство, формализм Вейля – Вигнера – Мояла, нелинейные когерентные состояния, перепутывание, декогерентность, релятивистская квантовая механика, релятивистская функция Вигнера, релятивистские когерентные состояния.

ABSTRACT

Semenov A. A. Phase space localization of a scalar charged particle. – Manuscript.

Thesis for the degree of Doctor of Philosophy (Candidate of Physics and Mathematics) by speciality 01.04.02 – Theoretical Physics. – Physics Department, Kiev National Taras Shevchenko University, Kiev, 2002.

The thesis is devoted to phase space representation of relativistic quantum mechanics. The influence of the effective non-locality of the relativistic Hamiltonian and non-trivial structure of vacuum on observables is studied.

Eigenstates of the standard position (and, generally speaking, momentum) operator contain both charge components. The existence of such states is prohibited by the superselection rule. Following the arof Feshbach, Villars and other authors, only the even parts of operators are considered as obserFor a free particle, it leads to the well-known Newton – Wigner position operator. In the case of a particle in a constant homogeneous magnetic field, even parts of the position and momentum opera-tors for rotational motion are not a standard canonical pair. Respective commutation relation is related to the one for the deformed Heisenberg – Weyl algebra. Furthermore, the operators do not commutate with “mean position” operator for the translational motion along the field.

The Weyl – Wigner – Moyal formalism for a class of observables with matrix-valued Weyl symbols being proportional to the identity matrix (charge-invariant observables) is proposed. In a fact, these observables are arbitrary functions of position and momentum. The even and odd parts of the operator of a charge-invariant observable are uniquely related to each other. Respective expression is found.

It is possible to introduce the standard (not matrix-valued) Wigner function for the class of charge-invaobservables. This object contains four components (related to particle, antiparticle and two inter-rence components, respectively). Evolution equation coincides with its analog in relativistic quantum mewith non-local Hamiltonian. Differences between theories are connected with peculiarities of the constraints on the initial conditions.

In the case of a particle in a constant magnetic field Hamiltonian (or, to be more precise, symbol that plays the role of the Hamiltonian in this consideration) does not coincide with classical Hamilton func-tion. This is determined through the star square root (unlike the usual square root in classical mechanics) and relativistic effects result from both a large value of the non-relativistic Hamilton function (large momenfor the free particle case) and small characteristic length of the system.

The non-trivial charge structure of the position (momentum) operator leads to the peculiarities of the coon the Wigner function. However, they can appear in non-stationary processes only, including those ones that are described in non-equilibrium statistical physics. It can be explained by the peculiarities of the relativistic position (momentum) measurement. The initial one-particle state is destroyed in such processes. As a result, one obtains a multi-particle state. It leads to the appearance of additional multipliers for the interference terms between eigenstates of the Hamiltonian in the distribution function. Those terms are responsible for the non-stationary processes.

It is very important, that those multipliers (-factor) exceed unity. This means an effective increase in cohein such systems (or, to be more precise, in such kinds of measurements). To verify it in the experi-ment, one needs to control the time intervals close to the Compton time. However, such peculiacan appear in other systems with the band structure of energy spectrum. For example, one can use semiwhere an analog of the Compton time is close to .

The relativistic coherent states are considered as well. Unlike the consideration of other authors this one does not use the zero-plane concept, and furthermore, the coherent states satisfy two additional requi-rements: (i) the means of the standard position and momentum operators are uniquely related to the real and imaginary parts of the coherent states parameter ; (ii) these states contain only one charge co-ponent. Three cases are considered: free particle, relativistic rotator and particle in a constant homomagnetic field. For the rotational motion of the two later, such a description leads to the well-known nonlinear coherent states.

Two groups of the consequences from this consideration are found: one related to the effective non-locality of the relativistic Hamiltonian