Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

СЕМЕНОВ Володимир Вікторович

УДК 517.977.58

МОДЕЛІ І МЕТОДИ УЗАГАЛЬНЕНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ

ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ З РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі обчислювальної математики

факультету кібернетики Київського національного

університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

професор

ЛЯШКО Сергій Іванович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка, факультет кібернетики,

завідувач кафедри обчислювальної математики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор

ГУПАЛ Анатолій Михайлович,

Науково-учбовий центр прикладної інформатики

НАН України, директор

кандидат фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

АДЖУБЕЙ Лариса Трохимівна,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка, факультет кібернетики,

кафедра системного аналізу та теорії прийняття рішень,

старший науковий співробітник

Провідна установа: Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова

НАН України,

відділ моделювання інформаційно-функціональних

систем, м. Київ

Захист відбудеться “25” квітня 2002 р. о 14 год. на засіданні

спеціалізованої вченї ради Д 26.001.09 Київського національного

університету імені Тараса Шевченка за адресою:

03127, Київ, пр. Глушкова, 2, корп. 6, ф-т кібернетики, ауд. 40.

(Тел. 252-58-83. Факс 252-59-77. E-mail: rada@unicyb.kiev.ua)

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського

національ-ного університету імені Тараса Шевченка за адресою:

01033, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “24” березня 2002 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради ШЕВЧЕНКО В.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Розвиток сучасних комп'ютерних технологій обумовив необхідність розробки нових наукових напрямків прикладної математики та кібернетики. Серед них важливе місце займають якісні дослідження та розробка чисельних методів розв’язування задач моделювання та оптимізації в лінійних системах з розподіленими параметрами. В багатьох прикладних проблемах (застосування імпульсної техніки, корекції космічних апаратів, проектування систем мікрозрошення грунту, прогнозування розповсюдження забруднень з місць екологічних катастроф тощо) приходять до задач керування розподіленими системами з сингулярними узагальненими функціями (імпульсне, точкове, рухоме керування тощо) в правій частині рівняння стану. Сингулярність і нелінійна залежність від керування правої частини рівняння стану ускладнює дослідження задач традиційними методами теорії оптимального керування та ставить перед математиками нові проблеми. Одним з перших на даний клас задач звернув увагу А.Г. Бутковський.

Різним питанням оптимізації в класах узагальнених впливів присвячені ро-боти О.І. Єгорова, Ж.-Л. Ліонса, В.С. Мельника, О.Г. Наконечного, Ю.В. Орлова та інших. Для доведення існування розв’язків граничних задач ефективними вия-вились теорія оснащених гільбертових просторів, побудована Ю.М. Березансь-ким, та метод апріорних оцінок в негативних нормах, запропонований А.В. Бі-цадзе та розвинутий В.П. Діденком. Пізніше ці ідеї в роботах С.І. Ляшка та його учнів знайшли застосування при дослідженні різних питань теорії узагальненої оптимізації лінійних розподілених систем. Але не дивлячись на значну кількість робіт з даної тематики, багато актуальних проблем узагальненого керування (умо-ви керованості систем, ефективні чисельні методи) залишаються не вирішеними чи дослідженими неповно.

Певні фізичні процеси, зокрема фільтрацію рідини в неоднорідному порис-тому середовищі, міграцію хімічних речовин з урахуванням структури середови-ща, не вдається адекватно моделювати за допомогою відомих рівнянь математич-ної фізики другого порядку, що приводить до розгляду нових моделей (псевдо-параболічних, псевдогіперболічних та ін.), питання розв’язності та оптимізації яких розроблені значно менше у порівнянні з класичними рівняннями другого по-рядку. Дослідження цих моделей з даними з класів узагальнених функцій важливе для створення систем моніторингу та прогнозування розповсюдження забруднень в пористих середовищах. Для псевдопараболічних та псевдогіперболічних рівнянь не досліджувався важливий випадок граничних задач третього роду та граничних задач зі змішаними умовами. Крім того, для псевдогіперболічних рівнянь та рів-нянь С.Л. Соболєва раніше не вивчалось питання регулярності сліду . узагаль-неного розв’язку у випадку “сильної сингулярності” правої частини, важливе для задач фінальної керованості та оптимального керування.

Все це визначає актуальність подальшого розвитку методів узагальненої оп-тимізації лінійних систем з розподіленими параметрами та дослідження гранич-них задач указаних типів для теорії оптимального керування та математичного моделювання процесів в суцільних середовищах.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацій-на робота виконана у відповідності до плану наукових досліджень кафедри обчис-лювальної математики факультету кібернетики Київського національного універ-ситету імені Тараса Шевченка в межах науково-дослідних тем: “Моделювання та оптимізація інформаційних систем” ТЗ НДР № 01БФ015-06, “Неопукла оптиміза-ція некласичних систем із сингулярним керуванням” ТЗ НДР № 01ДФ015-02.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є дослідження задач узагальне-ного оптимального керування та керованості певних некласичних лінійних розпо-ділених систем, а також побудова конструктивних методів знаходження опти-мальних керувань.

Поставлена мета зумовлює наступні основні задачі: ¦ довести існування та єдиність узагальнених розв’язків граничних задач для псевдопараболічних, псев-догіперболічних рівнянь та рівняння С.Л. Соболєва з правими частинами з прос-торів узагальнених функцій скінченного порядку; ¦ знайти умови керованості сис-тем для різних класів узагальнених впливів та дослідити існування оптимального керування коефіцієнтами та правими частинами; ¦ відшукати градієнт функціона-лу якості та дослідити його гладкість для широкого класу задач сингулярної опти-мізації; ¦ для розв’язування граничних задач з негативними правими частинами запропонувати та дослідити аналоги методу Гальоркіна; ¦ розробити та обгрунту-вати чисельні методи знаходження оптимальних сингулярних керувань.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі основні результати дисер-таційної роботи є новими. Для моделей, що описуються граничними задачами для псевдопараболічних, псевдогіперболічних рівнянь (умови Неймана, Ньютона) та рівняння С.Л. Соболєва (умова Діріхле) отримано нові типи апріорних оцінок з негативними нормами, що дало можливість, застосовуючи різні схеми, довести нові теореми узагальненої розв’язності. Знайдено нові умови керованості псевдо-параболічних, псевдогіперболічних систем в різних класах узагальнених впливів та досліджено існування оптимального керування коефіцієнтами та правими час-тинами. Вперше досліджено питання гладкості критерію якості в загальній ситуа-ції, що дає можливість застосовувати чисельні методи градієнтного типу для ши-рокого класу систем та керуючих функцій. Автором запропоновано та досліджено загальну процедуру параметризації керування. Вивчено питання збіжності та стій-кості запропонованих ітераційних методів градієнтного типу.

Практичне значення одержаних результатів. Обгрунтовано можливість застосування чисельних методів розв’язування задач узагальненої оптимізації та моделювання для широкого класу лінійних систем з розподіленими параметрами. Отримані результати можуть бути використані при проектуванні систем керуван-ня фільтрацією рідини в неоднорідному пористому середовищі, розповсюджен-ням збурень у в’язких середовищах тощо. Результати роботи знайшли відобра-ження в спеціальних та нормативних курсах з проблем оптимального керування, які читаються на факультеті кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Особистий внесок здобувача. Наведені в дисертації результати отримані автором самостійно. У спільно виконаних роботах науковому керівнику професо-ру С.І. Ляшку та академіку І.І. Ляшку належать постановка задач та участь в обго-воренні результатів; аспіранту В.В. Бубнову – проведення розрахунків на ЕОМ.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідалися на: Міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (25-28 січня 2001 р., м. Київ), Міжнародній конференції “Dinamical systems modelling and stability investigation” (22-25 травня 2001 р., м. Київ), Міжнародному симпозіумі “Питання оптимізації обчислень – ХХХ” (21-27 вересня 2001 р., с. Кацивелі), II Міжнародному семінарі “Recent Advances in non-differentiable optimization” (1-4 жовтня 2001 р., м. Київ), конференції “Functional Methods in Approximation Theo-ry, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics” (19-22 жовтня 2001 р., м. Ки-їв), наукових семінарах факультету кібернетики Київського національного універ-ситету імені Тараса Шевченка та Інституту прикладного системного аналізу НАН України та Міносвіти.

Публікації. Основні положення дисертації висвітлено у 8 наукових робо-тах, з яких 5 надруковано в наукових виданнях, що затверджені ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел з 120 найменувань. Пов-ний обсяг роботи становить 153 сторінки, з них – 140 сторінок основного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, формулюється мета, відзна-чається наукова новизна дослідження.

У першому розділі досліджуються питання узагальненої розв’язності гра-ничних задач для псевдопараболічних, псевдогіперболічних рівнянь та одного рів-няння С.Л. Соболєва з узагальненими функціями у правих частинах. Для рівнянь перших двох типів розглядаються змішані граничні умови, зокрема аналоги умов Ньютона та Неймана. Дослідження проводяться в межах теорії оснащених гіль-бертових просторів, при цьому суттєво використовується апарат апріорних нерів-ностей з негативними нормами.

У багатьох моделях теорії переносу розглядають системи, функціонування яких описується лінійними рівняннями псевдопараболічного типу

в циліндричній області шукана функція, обмежена область з регулярною межею .,

диференціальні вирази з достатньо гладкими коефіцієнтами, які задовольняють умови

де ., – додатні сталі.

Межа складається з трьох частин , та , які є кусками гладких по-верхонь. Вважаємо, що оператор діє в просторі та має область визна-чення ., – множина функцій з , які задовольняють умови

де . (), , ., . – ко-нормальні похідні, – -а компонента одиничного вектора зовніш-ньої нормалі до поверхні в точці , -– функція з класу , яка задовольняє умови: ..

Нехай – поповнення за нормам

, – аналогічні простори, утворені поповненням області визначнння формально спряженого до оператора , , та , – відповідні нега-тивні відносно простори.

Лема 1. Для всіх функцій , справедливі нерівності ()

Праві частин нерівностей леми 1 дозволяють розширити за неперервністю лінійний оператор () до лінійного, неперервно діючого з усього простору () у простір (). Для розширень збережемо попередні позначення.

Доведено теореми існування та єдиності узагальненого розв’язку граничної задачі (1), (4).

Означення 1. Узагальненим розв’язком з простору задачі (1), (4) з правою частиною називаємо таку функцію, що в .

Означення 2. Узагальненим розв’язком з простору задачі (1), (4) з правою частиною називаємо таку функцію , що рівність виконується для довільних : , де– білінійні форми, по-будовані розширенням на та відповідно.

Теорема 1. Для довільної функції ) існує єдиний узагальнений ро-зв’язок задачі (1), (4) з простору Теорема 2. Нехай – узагальнений розв’язок граничної задачі (1), (4) у сенсі означення 2 . Тоді – розв’язок задачі (1), (4) у сенсі означення 1.

Теорема 3. Нехай – узагальнений розв’язок граничної задачі (1), (4) з простору – має класичну гладкість. Тоді – розв’язок у класичному розумінні.

Аналогічні результати справедливі для спряженої граничної задачі.

У підрозділі 1.3 “Системи псевдогіперболічного типу” будується теорія уза-гальненої розв’язності псевдогіперболічних задач. Розглянуто лінійне рівняння

в циліндричній області . Диференціальні вирази та мають вигляд (2), їх коефіцієнти достатньо гладкі та задовольняють умови типу диференціаль-них нерівностей (подібних до (3)), необхідних для виводу відповідних апріорних оцінок. Тут – множина функцій з , що задовольняють граничні умови

, – позитивні простори – поповнення множин, (область визна-чення формально спряженого оператора ) за нормою ., , – відповідні негативні відносно простори. Введено пару гільберто-вих просторів , як поповнення , за наступними нормами

Описано стуктуру просторів Наприклад, ізометрично ізоморфний , отже, простір складається з елементів простору для яких відомо значення . – поповнення множини за нор-мою .. Мають місце щільні алгебраїчні та топологічні вкладення ,.

Зауваження. Для вкладення відсутні.

У пункті 1.3.2 для операторів , отримано апріорні нерівності

У пункті 1.3.3 доведено теореми існування та єдиності узагальнених розв’-язків граничної задачі (5), (6) у сенсі різних означень, досліджено зв’язок між ни-ми та з класичним розв’язком.

Нехай -– негативний простір, побудований по та позитивним простором – замиканням в нормі Теорема 4. Для довільної функції існує єдина функція.

Розв’язок відповідного операторного рівняння називатимемо узагальненими розв’язком задачі (5), (6) з простору . Для розв’язності задачі (5), (6) при до-вільних правих частинах з простору розширено клас узагальнених розв’язків.

Означення 3. Узагальненим розв’язком задачі (5), (6) з правою частиною називаємо функцію , для якої існує така послідовність функцій , ., що ., ..

Теорема 5. Для довільної функції існує єдиний узагальнений розв’язок задачі (5), (6) у сенсі означення 3.

Означення 4. Узагальненим розв’язком задачі (5), (6) з правою частиною називаємо таку функцію .., що для всіх функцій , . має місце рівність ., де – білінійна форма, побудована розширенням за неперервністю скалярного добутку на .

Розглянемо на лінійній множині норму .. Нехай – прос-тір, отриманий поповненням за нормою . Рівність дає мож-ливість розширити за неперервністю оператор з множини на весь простір Розширення позначимо

Означення 5. Узагальненим розв’язком задачі (5), (6) з правою частиною називаємо таку функцію,, що виконується рівність

Задача конструктивного опису простору є складною. Хоча, неважко по-казати, що оператор .задає ізометричний ізоморфізм та Тому має місце

Теорема 6. Для довільної функції існує єдиний узагальнений розв’язок задачі (5), (6) у сенсі означення 5.

Лема 2. Означення 3, 4 та 5 узагальненого розв’язку задачі (5), (6) еквівалентні.

Теорема 7. Нехай – узагальнений розв’язок задачі (5), (6) у сенсі означення 3. Тоді – розв’язок з простору

Теорема 8. Нехай – узагальнений розв’язок задачі (5), (6) з простору – має класичну гладкість. Тоді – розв’язок у класичному розумінні.

Аналогічні означення та твердження сформульовані та доведені для спря-женої граничної задачі.

У підрозділі 1.4, методом апріорних нерівностей з негативними нормами досліджено першу початково-крайову задачу для рівняння типу С.Л. Соболєва з узагальненими правими частинами.

Нехай – обмежена однозв’язна область в з регулярною межею . Покладемо, як і раніше, – циліндрична область, – бічна поверхня циліндричної області, де – фіксоване скінченне число. Для задачі

де – рівномірно еліптичні диференціальні вирази з гладкими коефіцієнтами, при досить широких припущеннях щодо правої частини доведено існування та єдиність узагальненого розв’язку з простору – поповнення природної області визначення оператора за нормою ..

Другий розділ присвячений дослідженню питання керованості для розподі-лених систем псевдопараболічного, псевдогіперболічного типів з імпульсним, точковим та імпульсно-точковим керуваннями.

У підрозділі 2.1 розглянуто систему, функція стану якої є розв’язком задачі (1), (4) (всі позначення відповідають введеним в 1.2) з правою частиною що залежить від керування з деякої допустимої множини яка належить про-стору . Розв’язок задачі (1), (4), що відповідає керуванню позначимо Означення 6. Система (1), (4) точно керована (асимптотично керована) в бана-ховому просторі множиною допустимих керуючих впливів,, якщо множина . покриває (щільна в ), тобто . в (. З результатів підрозділу 1.2 безпосередньо випливає: якщо , то система (1), (4) точно керована в . Умова є жорсткою та, як прави-ло, не виконується для правих частин, що зустрічаються в задачах сингулярного керування. Послабивши вимоги на праву частину, яка задає вплив, приходимо до твердження: якщо щільна в , то система (1), (4) асимптотично керована в . Далі розглянуто питання про імпульсну керованість системи (1), (4). Нехай

де . – фінітна послідовність елементів . (тобто, починаючи з деякого всі елементи дорівнюють нулю). – множина всіх таких фінітних послідовностей.

Теорема 9. Нехай керуюче відображення має вигляд (10). Тоді система (1), (4) асимптотично керована в множиною

Розглянуто також випадок просторово зосередженого керування.

Зауваження. Аналогічні результати справедливі для усіх розподілених систем, що задовольняють подібним апріорним нерівностям з негативними нормами.

У підрозділі 2.2 наведено результати по задачі фінальної або траєкторно-фі-нальної керованості (за скінченний час) у випадку узагальнених керуючих впливів. Сингулярність правої частини робить розгляд питання доволі важким для багатьох систем математичної фізики, оскільки невідомо, що розуміти під . Один з шляхів подолання цієї проблеми вказано в роботах Ж.-Л. Ліонса, але при цьому приходимо до розгляду складних некласичних функціональних просторів та звуження множини керувань. Для псевдогіперболічних систем отри-мано результати по траєкторно-фінальній керованості за скінченний час, спираю-чись на теореми існування та єдиності розв’язків з підрозділу 1.3. Розглянуто імпульсні просторово зосереджені керуючі впливи:

де . – фінітна послідовність елементів декартового добутку .. – множина всіх таких фінітних послідовностей.

Теорема 10. Нехай стан системи є розв’язком задачі (5), (6) та керуюче відображення має описаний вигляд. Тоді система асимптотично керована в просторі множиною , тобто пробігає щільну підмножину в

Зауваження. Подібні результати можна отримати для системи С.Л. Соболєва, вивченої в підрозділі 1.4. Можливе узагальнення на широкий клас операторів математичної фізики, що містять похідні

Нехай належить допустимій множині з банахового простору керувань , а – відображення, що діє з в На керуваннях та станах системи (5), (6) задано функціонал .. Задача оптимального керування полягає в знаходженні таких , що

Теорема 11. Нехай 1) . – слабко неперервне відображення; 2) . -– напівнеперервний знизу в топології, породженій до-бутком слабких топологій просторів., та, функціонал; 3) – слабко компактна множина з банахового простору, тоді існує оптимальне ке-рування системою (5), (6), причому множина оптимальних керувань слабко компактна в.

Зауваження. Зважаючи на нелінійність відображення та можливу неопуклість, функціонал якості може бути неопуклим навіть при квадратичних або лінійних , а оптимальне керування не єдиним.

У підрозділі 2.3 розглянуто інші постановки задач керованості у випадку зосереджених впливів для псевдопараболічних систем. Нехай стан системи є розв’язком граничної задачі

в ., . – обмежена область з регулярною межею, ., . Керуванням є .,. – моменти імпульс-них впливів, . – задані “елементарні” інтенсивності.

Означення 7. Система імпульсно керована, якщо в щільна множина ., де ., ..

Означення 8. Система імпульсно керована в множині . за кроків, якщо в щільна множина ., де Отримано критерій імпульсної керованості системи (11).

Теорема 12. Система (11) керована у сенсі означення 7 тоді і тільки тоді, коли для довільного натурального виконується умова , де ., – власні функції еліптичного оператора, що відповідають власним значенням .

Система (11) не керована в за (скінченну кількість) кроків. Позна-чимо – лінійний підпростір простору, породжений власними функціями оператора . Нехай – наближений розв’язок (11), отриманий методом Гальоркіна з базисними функціями .

Означення 9. Система апроксимаційно імпульсно керована в за кроків, якщо ., де ..

Теорема 13. Система (11) апроксимаційно імпульсно керована за кроків в тоді і тільки тоді, коли для всіх виконується умова.

У пункті 2.3.2 досліджено псевдопараболічну систему з керуючими вплива-ми, що зосереджені в просторових підобластях. Стан системи є розв’язком задачі

де – індикатор підмножини (“зони”) з додатньою лебеговою мірою, – задані ”елементарні” інтенсивності. Керування системою здійснюєть-ся з допомогою вектор-функції .. Необхідно за рахунок керувань привести систему в бажаний стан до моменту часу .

Означення 10. Система (12) зонально керована, якщо в щільна множина

Теорема 14. Система (12) зонально керована в тоді і тільки тоді, коли для довільного натурального виконується умова, де

У роботі для псевдопараболічної системи доводиться розв’язність задачі оп-тимального керування коефіцієнтами та сингулярними правими частинами.

У третьому розділі доведено теорему загального характеру про корект-ність параметризації керування в задачах узагальненої оптимізації. Досліджено питання гладкості функціоналу якості загальної задачі сингулярної оптимізації. Розроблено та обгрунтовано чисельні методи оптимізації розглядуваних систем. Це дає можливість розв’язувати такі задачі моделювання, як ідентифікація неві-домих параметрів, задачі спостереження та інші. Розглядається застосування от-риманих результатів до конкретних задач сингулярної оптимізації (точкове, рухо-ме оптимальне керування).

Нехай – лінійний диференціальний оператор з частинними похідними, який діє в (. – регулярна циліндрична область) та має об-ласть визначення , що складається з гладких в функцій, які задовольняють однорідні граничні умови (гр). Формально спряжений оператор позначимо , а його область визначення -– -– множина гладких в функцій, які задоволь-няють однорідні спряжені граничні умови (гр-+). На лінійних многовидах задано позитивні норми, породжені відповідними ска-лярними добутками, для яких виконуються співвідношення

Після поповнення .,отримаємо ланцюжки позитивних просторів: ., ., причому вкладення щільні та неперервні. До-повнимо ланцюжки негативними відносно просторами, побудованими за введеними позитивними: ., ..

Припустимо, що для операторів справедливі апріорні нерівності

Тоді оператор можна вважати неперервно діючим з усього простору та для довільного елемента існує єдина функція що . .: . – білінійні форми, побудо-вані розширенням за неперервністю скалярного добутку на та ; для довільного елемента існує єдина функція Аналогічні факти справедливі для рівняння з

Нехай стан системи визначається як розв’язок рівняння

у вказаному сенсі, де -– відображення, що діє з рефлексивного бана-хового простору керувань в простір – обмежена, замкнена та опукла множина . На розв’язках (13) треба мінімізувати функціонал Існування оптимальних керувань забезпечують умови:

а) . – слабко напівнеперервний знизу функціонал;

б) . – слабко неперервне відображення,

які вважаємо виконаними.

Розглянемо загальні принципи, що дозволяють апроксимувати розв’язок за-дачі сингулярного оптимального керування розв’язком деякої скінченновимірної задачі. Дану методику будемо називати параметризацією керування. Припусти-мо, що . – сепарабельний рефлексивний банаховий простір. Тоді існує послідов-ність скінченновимірних підпросторів простору яка задовольняє умову граничної щільності. Далі, -– послідовність замкне-них, опуклих підмножин, що рівномірно по обмежені в нормі та апрокси-мують множину допустимих керувань у наступному сенсі:

Задачу оптимізації системи (13) заміняємо на наступну задачу:

Теорема 15. Якщо виконуються умови а), б), (14), (15) та 1) . – силь-но напівнеперервний зверху функціонал; 2) . – сильно неперервне відо-браження, то для довільного . задача оптимального керування (16) має розв’язок ., причому .. З послідовності можна виді-лити таку підпослідовність, що слабко в, де – опти-мальне керування системою (13).

Зауваження. Якщо сильно неперервний, то . Якщо опти-мальне керування системою (13) єдине, то слабко в . Функ-ціонали задовольняють умови теореми 15.

Метою підрозділу 3.2 є дослідження питання гладкості функціоналу якості для задачі узагальненої оптимізації загального вигляду. Розглянемо задачу опти-мізації системи (13): .

Теорема 16. Якщо існує похідна Фреше відображення . в; існує похідна Фреше . функціоналу . в ., то функціонал якості . диференційовний за Фреше в . і похідна визна-чається виразом ., де . – розв’язок задачі ..

Теорема 17. Нехай . має похідну Фреше в околі точки, не-перервну в; . має похідну Фреше в околі точки ., не-перервну в. Тоді похідна функціоналу якості неперервна в.

Теорема 18. Нехай відображення . має похідну Фреше, що задо-вольняє на обмеженій опуклій множині . умову Гельдера з показником .; функціонал . має похідну Фреше, що задовольняє на просто-рі . умову Гельдера з показником .. Тоді похідна . функціоналу якості задовольняє на множині . умову Гельдера з показником ..

Далі розглядається застосування теорем 16-18 для конкретних задач уза-гальненої оптимізації (точкове, рухоме керування).

Теореми підрозділу 3.2 дають можливість конструювати ітераційні методи знаходження оптимальних керувань. Для цього на кожному кроці слід розв’язу-вати пряму та спряжену граничні задачі, що неможливо в реальній ситуації зроби-ти точно. Крім того, сингулярна права частина рівняння часто апроксимується кусково-постійними чи кусково-лінійними функціями з міркувань регуляризації при моделюванні на ЕОМ. Обчисленням на ЕОМ властиві наявність похибок зао-круглення. Таким чином, є необхідність вивчати збіжність та стійкість методів в умовах збурень даних задачі. Оскільки збурення та похибки у нашому класі задач мають адитивний характер, то розглядається ситуація, коли збурена лише права частина рівняння стану та всі підзадачі розв’язуються з абсолютною точністю.

Розглянемо задачу оптимального керування системою ., ., де ., . – компактна в сильній топології та опукла мно-жина допустимих керувань з гільбертового простору керувань . Припускається, що та задовольняють умовам підрозділів 3.1, 3.2. Розглянемо систему зі збуренням правої частини ., де . -– однопарамет-рична сім’я диференційовних за Фреше відображень, яка апроксимує у деякому сенсі. Замість похідної . маємо оцінку ., де . – розв’язок задачі .. Оскільки простір – гільбер-товий, а – лінійні обмежені функціонали на, то існують такі елемен-ти, що, . відповідно. Будемо їх позна-чати. Структура методів, які вивчаються в підрозділі 3.3, нас-тупна: будується послідовність керувань ., що задовольняє умові , а керування є розв’язком певної допоміжної екстремальної зада-чі. Точність обчислення похідної Фреше функціоналу якості визначається з умов ., ., де – нескінченно малі послідовності додатніх чисел. Розглянуто аналоги методів Розена та умовного градієнта.

Нехай послідовність керувань генерується наступною процедурою:

(i) Почнемо з. Покладемо .

(ii) Для всіх цілих невід’ємних обчислимо

де – номер ітерації, – початкове наближення, – оператор проекту-вання на множину – кроковий множник, що обираємо з умови

Теорема 19. Нехай 1) – диференційовне за Фреше відображення, по-хідна якого задовольняє умову Гельдера з показником; 2 – ди-ференційовний за Фреше функціонал, похідна якого задовольняє умову Гельдера з показником. Якщо функціонал приймає на множині . не більш ніж зліченну кількість значень, то всі граничні точки (які обов’язково існують) послідовності належать компактній зв’язній підмножині, а числова послідовність має границю.

У пункті 3.3.2 аналогічна теорема доведена для аналога методу умовного градієнта з усередненням, що генерує послідовність керувань в такий спосіб:

(i*) Почнемо з ., ., .. Покладемо ..

(ii*) Для всіх цілих невід’ємних обчислимо

де – множники, що обираємо з умов

Якщо відмовитись від умови не більш ніж зліченності різних значень функціоналу на множині, то можна довести менш сильне твердження.

Теорема 20. Якщо виконані умови 1), 2) теореми 19, то послідовність, породжена методом (i), (ii) (породжена методом (i*), (ii*)), має хоча б одну граничну точку, що належить множині.

У підрозділі 3.4 пропонуються аналоги методу Гальоркіна для чисельного розв’язування рівнянь стану вивчених псевдопараболічних та псевдогіпербо-лічних систем з сингулярними керуючими функціями. Доведено теореми збіжнос-ті послідовності наближень до узагальнених розв’язків відповідних задач.

ВИСНОВКИ

В дисертації досліджено задачі узагальненого оптимального керування та керованості для лінійних розподілених систем, що моделюють фільтрацію рідини в неоднорідному пористому середовищі, описують розповсюдження збурень у в’язких середовищах, коливання пружно-в’язких тіл та інше. Побудовано та дос-ліджено наближені методи знаходження оптимальних керувань.

Основні результати дисертації:

Вивчено моделі, що приводять до рівнянь псевдопараболічного, псевдо-гіперболічного типу та типу С.Л. Соболєва та поставлено граничні задачі для загальних рівнянь, що поглинають модельні рівняння.

Отримано різні типи апріорних оцінок з негативними нормами для псевдопа-раболічних, псевдогіперболічних моделей та систем типу С.Л. Соболєва; до-ведено теореми узагальненої розв’язності граничних задач та досліджено пи-тання зв’язку узагальнених розв’язків між собою та з класичними.

Для псевдопараболічних моделей досліджено питання імпульсної, точкової керованості та існування оптимального керування через праву частину і коефіцієнти рівняння; для псевдогіперболічних моделей з імпульсно-точко-вим керуванням досліджено питання фінальної керованості.

Для псевдопараболічних моделей отримано критерії імпульсної та зональної керованості в та його скінченновимірних підпросторах.

Запропоновано та досліджено процедуру параметризації оптимізаційної зада-чі із загальними керуючою функцією та функціоналом.

Досліджено гладкість і знайдено явний вигляд градієнту функціоналу якості в задачі оптимізації із загальними керуючою функцією та функціоналом, що дає можливість застосовувати наближені методи градієнтного типу.

Досліджено питання збіжності та обчислювальної стійкості наближених мето-дів оптимізації градієнтного типу.

Побудовано аналоги методу Гальоркіна для наближеного розв’язування псев-допараболічних та псевдогіперболічних граничних задач, доведено їх сильну збіжність.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

Семенов В.В., Бубнов В.В. Похідна критерія якості в задачах узагальненого оптимального керування лінійними розподіленими системами // Журнал обчислювальної та прикладної математики. – №1 (84). – 1999. – С. 129-136.

Ляшко И.И., Ляшко С.И., Семенов В.В. Управление псевдогиперболическими системами с помощью сосредоточенных воздействий // Проблемы управления и информатики.– 2000.– №5.– С. 30-45.

Семенов В.В. Диференційовність критерію якості в задачах узагальненого оптимального керування розподіленими системами // Доповіді НАН України. – 2000. – №10. – С. 111-114.

Семенов В.В. Аналог методу Фаедо-Гальоркіна для псевдопараболічних рівнянь // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. -– вип. 4. –2000. – С. 293-303.

Ляшко С.И., Семенов В.В. Об управляемости линейных распределенных сис-тем в классах обобщенных воздействий // Кибернетика и системный анализ. – 2001. – № 1. – С. 18-41.

Семенов В.В. Управляемость псевдопараболических систем в классах сосредоточенных воздействий // Збірка тез доповідей учасників II Національної науково-практичної конференції студентів, аспірантів та молодих вчених “Системний аналіз та інформаційні технології” (28-30 червня 2000 р. м. Київ). – К.: НТУУ “КПІ”. – 2000. – С. 104-106.

Ляшко С.І., Семенов В.В. До питання оптимізації лінійних розподілених систем з сингулярним керуванням // Зб. наук. пр. “Комп'ютерна математика. Оптиміза-ція обчислень”. – НАН України, Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова. – Т.2. – Київ, 2001. – C. 228-238.

Семенов В.В. Про одну задачу С.Л. Соболєва // International Conference "Dinamical systems modelling and stability investigation". – Kyiv:2001. – С. 94.

У спільно виконаних роботах науковому керівнику професору С.І. Ляшку та академіку І.І. Ляшку належать постановка задач та участь в обговоренні резуль-татів; аспіранту В.В. Бубнову – проведення розрахунків на ЕОМ.

Семенов В.В. Моделі і методи узагальненої оптимізації лінійних систем з розподіленими параметрами. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

Для моделей, що описуються рівняннями псевдопараболічного, псевдогі-перболічного типів та рівняннями С.Л. Соболєва, побудовані теорія узагальненої оптимізації та необхідні чисельні методи. Для указаних моделей отримано апріор-ні оцінки з негативними нормами. Доведено теореми узагальненої розв’язності граничних задач. Для псевдопараболічних систем досліджено питання імпульс-ної, точкової керованості та існування оптимального керування через праву части-ну і коефіцієнти рівняння; отримано критерії імпульсної та зональної керованості в . та його скінченновимірних підпросторах. Для псевдогіперболічних сис-тем з імпульсно-точковим керуванням досліджено питання фінальної керованості. Запропоновано та досліджено процедуру параметризації оптимізаційної задачі із загальними керуючою функцією та функціоналом. Знайдено явний вигляд гра-дієнта та досліджено гладкість функціоналу якості в задачі оптимізації із загаль-ними керуючою функцією та функціоналом, що дає можливість застосовувати градієнтні наближені методи. Вивчено питання збіжності та обчислювальної стій-кості наближених методів оптимізації градієнтного типу. Побудовано аналоги ме-тоду Гальоркіна для наближеного розв’язування псевдопараболічних та псевдо-гіперболічних граничних задач, доведено їх сильну збіжність.

Ключові слова: гранична задача, моделювання, керованість, оптимізація, псевдо-параболічні рівняння, псевдогіперболічні рівняння, рівняння Соболєва, градієнт, чисельні методи.

Семенов В.В. Модели и методы обобщенной оптимизациии линейных систем с распределенными параметрами. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математичес-ких наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычисли-тельные методы. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченка, Киев, 2002.

В дисертации для моделей, описываемых уравнениями псевдопараболичес-кого, псевдогиперболического типов и уравнениями С.Л. Соболева, построены теория обобщенной оптимизации и необходимые численные методы. Эти модели возникают при изучении миграции химических веществ с учетом структуры сре-ды, динамики вязких сред, стратифицированных жидкостей и др.

Исследования ведутся с привлечением теории оснащенных гильбертовых пространств. Для указаных уравнений третьего и четвертого порядков получены априорные оценки с негативными нормами. Применяя эти неравенства исследо-ван вопрос однозначной обобщенной разрешимости граничных задач, в том чис-ле в случае, когда правая часть уравнения является обобщенной функцией конечного порядка. Для псевдопараболических систем изучены вопросы импуль-сной, точечной управляемости и существования оптимального управления через правую часть и коэффициенты уравнения состояния, найдены критерии импульс-ной и зональной управляемости в . и его конечномерных подпространствах. Для псевдогиперболических систем с импульсно-точечным управлением изучена асимптотическая финальная управляемость. Предложена и обоснована процедура параметризации управления в задаче оптимизации линейной распределенной системы с управляющей функцией и функционалом качества общего вида. В явном виде найден градиент функционала качества, для вычисления которого необходимо решать прямую и сопряженную задачу. Исследован важный для численных методов вопрос о гладкости градиента функционала качества в задаче оптимизации с управляющей функцией и функционалом качества общего вида. Получены достаточные условия существования, непрерывности и липшиц-непрерывности производной Фреше критерия качества систем. Рассмотрен вопрос применения указанных теорем в случае некоторых конкретных задач сингулярно-го оптимального управления. Полученные теоремы позволяют конструировать итерационные методы для нахождения оптимальных управлений. Для этого на каждом шаге необходимо решать прямую и сопряженную граничные задачи, что невозможно в реальной ситуации сделать точно. Кроме того, сингулярная правая часть уравнения часто аппроксимируется кусочно-постоянными или кусочно-линейными функциями из соображений регуляризации задачи при модели-ровании на ЭВМ. Вычислениям на ЭВМ свойственно наличие ошибок округ-ления. Таким образом, необходимо изучить устойчивость методов в условиях возмущений данных задачи. Поскольку возмущения и ошибки в нашем классе задач имеют аддитивний характер, то рассматривается ситуация, когда возмущена лишь правая часть уравнения состояния системы и все подзадачи решаются с абсолютной точностью. Изучен вопрос сходимости и вычислительной устой-чивости некоторых приближенных методов градиентного типа для решения задач сингулярного оптимального управления. Построены аналоги метода Галеркина для приближенного решения псевдопараболических и псевдогиперболических граничных задач с обобщенными функциями в правых частях уравнений. Дока-зана сильная сходимость приближенных решений, согласованная с гладкостью обобщенных решений.

Полученные результаты могут быть использованы при проектировании сис-тем управления фильтрацией жидкости в неоднородной пористой среде, колеба-ниями вязко-упругих тел и др.

Ключевые слова: граничная задача, моделирование, управляемость, оптимиза-ция, псевдопараболические уравнения, псевдогиперболические уравнения, урав-нения Соболева, градиент, численные методы.

Semenov V.V. Models and methods of generalized optimization for linear systems with distributed parameters. – Manuscript.

Dissertation for the degree of a candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.05.02 – mathematical modelling and computing methods. – Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2002.

The theory of generalized optimization and some special numerical methods are built for models described by pseudoparabolic, pseudohyperbolic and Sobolev-type equations. A priori inequalities in negative norms are received for specified models. The theorems about generalized solvability of boundary value problems are proved. Impulse and point controllability problems are studied, the problem of optimal control by the right part and equation coefficients is investigated, the criteria of impulse and zonal controllability in . and its finitedimentional subspaces are received for pseudopara-bolic systems. For pseudohyperbolic systems with impulse-point control the problem of final controllability is studied. The procedure of control parametrization of optimization problem with general controlling function and cost functional is proposed and investi-gated. Explicit gradient form is found and cost functional smoothness is studied for op-timization problem with general controlling function and cost functional, that makes gradient approximate methods possible to use. The convergence and computing stability of approximate gradient-type optimization methods are studied. Galerkin method analogies for solving of pseudoparabolic and pseudohyperbolic boundary value problems are built and their strong convergence is proved.

Keyword: boundary value problem, modelling, controllability, optimization, pseudo-parabolic equation, pseudohyperbolic equation, Sobolev equation, gradient, numerical methods.