НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
Інститут математики
Фоайд Собхi Алi Oбайд
УДК 517.9
Деякі задачі теорії
усереднення сингулярно збурених диференціальних рівнянь
01.01.02 - диференціальні рівняння
А в т о р е ф е р а т
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ - 1998
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана у відділі нелінійного аналізу Iнституту математики Національної академiї наук України.
Науковий керівник: кандидат фіз.-мат. наук
СУКРЕТНИЙ Василь Iванович,
учений секретар ІМ НАН України.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук
САМОЙЛЕНКО Валерій Григорович,
Київський національний університет ім. Тараса
Шевченка, кафедра математичної фізики,
завідуючий кафедрою;
кандидат фіз.-мат. наук
МАЛИШЕВ Дмитро Віталійович,
Інститут математики НАН України, відділ
математичних методів в статистичній механіці,
науковий співробітник
Провідна установа: Інститут прикладної математики і механіки
НАН України, м. Донецьк
Захист відбудеться “_08_” __жовтня___1998 р. о годині
на засіданні спеціалізованої вченої ради D.26.206.02 при Інституті математики НАН України за адресою:
252601 Київ 4, МСП, вул, Терещенківська 3.
З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту математики НАН України.
Автореферат розіслано “ _30 ” ___жовтня____1998 р.
Учений секретар
спеціалізованої вченої ради
доктор фіз.-мат. наук А.Ю.Лучка
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. В фізиці, хімії, біології, техніці часто дослід-жуються процеси в сильно неоднорідних середовищах, які, як правило, описуються диференціальними рівняннями з швидкоосцилюючими коефіцієнтами і приводять до необхідності побудови усереднених моделей для цих середовищ. Досить часто ці рівняння містять ще і сингулярні збурення (прикладом може служити пластинка з сильно неоднорідного матеріалу з малою жорсткістю ).
В таких задачах необхідно побудувати модель середовища, локальні властивості якого різко змінюються, і тому зручніше перейти від мікроско-пічного його опису до макроскопічного, тобто розглядати усереднені харак-теристики такого середовища. Теорія усереднення для звичайних диферен-ціальних рівнянь в зв’язку з задачами механіки була створена М.М.Боголю-бовим, Ю.О.Митропольським, А.М.Самойленком та їх учнями. Систематичне вивчення фізичних задач, що приводять до усереднення рівнянь в частин-них похідних, почалося в 70-і роки і пов’язане з роботами Е.Де Джорджі, С.Спаньоло, А.Бенсусана, Ж.Ліонса, Г.Папаніколау, О.А. Олійник, В.В.Жи-кова та інших авторів.
Для фізичних задач інколи необхідно отримати асимптотичне розви-нення розв’язку крайової задачі для рівняння з частинними похідними з швидкоосцилюючими коефіціентами виду ( x / ) за ступенями малого параметра . З цією метою, як і в теорії звичайних диференціальних рів-нянь, може бути використаний метод двомасштабних розкладів. Розвиток
цього методу для рівнянь в частинних похідних запропоновано в роботах М.С. Бахвалова. В роботах О.А. Олійник, Г.А.Іосіфьяна, О.C. Шамаєва, Г.П.Панасенко, В.І.Сукретного побудовані асимптотичні розвинення розв’язків крайових задач для еліптичних рівнянь з швидкоосцилюючими коефіцієнтами, як другого так і високого порядку, а також для системи теорії пружності, які враховували поведінку розв’язків поблизу границі.
Проте, не зважаючи на велику кількість робіт з даної тематики, багато питань лишаються відкритими. Так, становить інтерес знаходження коефіцієнтів граничних поліномів в теоремах типу Фрагмена - Ліндельофа для еліптичних рівнянь високого порядку як з постійними так і з змінними коефіцієнтами. Актуальною лишається задача побудови асимптотичного розвинення для розв’язків крайових задач для сингулярно збурених еліптичних рівнянь з швидкоосцилюючими коефіцієнтами високого порядку.
Перераховані вище питання і стали предметом розгляду дисертації.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень диференціальних рівнянь в частинних похідних Інституту математики НАН України.
Мета і задачі дослідження. Мета цієї роботи - побудувати асимптотичні розвинення розв’язків задачі Діріхле в напівпросторі, що обмежений гіперплощиною , для сингулярно збурених еліптичних рівнянь з швидкоосцилюючими коефіцієнтами високого порядку.
Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, що визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі :
1.
Досліджено поведінку на нескінченності періодичних по всіх змінних, крім однієї, розв’язків задачі Діріхле в напівпросторі для еліптичного рівняння з періодичними коефіцієнтами високого порядку. Знайдено коефіцієнти поліному по неперіодичній змінній, до якого на нескінченності прямує цей розв’язок.
1.
Аналогічна задача роглянута для суми двох еліптичних операторів. Показано, що порядок поліному визначає оператор меншого порядку.
1.
Розглянута третя крайова задача для еліптичного рівняння другого порядку. Знайдено сталу до якої прямує розв’язок задачі.
1.
Побудовано асимптотичні розвинення розв’язків задачі Діріхле в напівпросторі для сингулярно збуреного еліптичного рівняння з швидкоосцилюючими періодичними коефіцієнтами високого порядку.
Показано, що це асимптотичне розвинення має різний вигляд в залеж-
ності від ступеня сингулярного збурення.
5. Знайдено оцінки похибки цих асимптотичних розвинень.
Практичне значення одержаних результатiв. Результати, одержані в роботі, можна використати для дослідження фізичних процесів,
які виникають в сильно неоднорідних середовищах.
Особистий внесок здобувача. По темi дисертац опублiковано 5 робiт. Математичні результати робіт [ 2 - 4 ] одержані дисертантом самостiйно. В даних роботах співавтору належить вибір напрямку досліджень та обговорення теоретичних результатів. Результати решти робіт отримані дисертантом самостiйно.
Апробацiя результатiв дисертацi. Основнi результати дисертації доповiдались та обговорювались :
1) на засiданнi семiнару iз звичайних диференцiальних рiвнянь вiддiлу
звичайних диференцiальних рiвнянь Iнституту математики НАН Украни;
2) на засiданнi семiнару з нелінійного аналізу Iнституту математики НАН
України;
3) на мiжнароднiй конференцi “Aсимптотичнi та якiснi методи в теорiї
нелiнiйних коливань” (серпень 1997 р., м. Київ);
4) на мiжнароднiй конференцiї “Сучаснi проблеми математики“ (20 - 28
червня 1998 р., м. Чернiвцi.).
Публікації. По темi дисертації опублікованo 5 робiт, з них 2 роботи самого автора, 4 роботи надруковано в провiдних наукових профiльних виданнях.
Структура і об’єм роботи. Дисертаційна робота обсягом 132 машинописні сторінки складається із вступу, двох розділів, висновку та списку цитованої літератури, що містить 62 найменування.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обгрунтовуться актульність теми, формулються мета дослдження, даться короткий аналз сучасного стану проблем, як вивчаються в дисертац , наводиться анотаця одержаних результатв .
В розділi I розглядаються перiодичнi по всiх змiнних , крiм однi, розв`язки задачi Дiрiхле в напівпросторі для еліптичного рівняння з постійними та змінними коефіцієнтами високого порядку. Показано, що на нескінченності розв`язок цієї задачі прямує до деякого поліному по неперіодичній змінній. Знайдені коефіцієнти цього поліному. Розглянута третя крайова задача для еліптичного рівняння другого порядку.
В 1.1 - 1.3 розділу I розглядається наступна крайова задача :
, , (1)
, , , (2)
- періодична по ,
, (3)
де ,,
,,,,,,, - простір функцій - поповнення по нормі простору множини 1-періодичних по і нескінченно диференційовних на множині функцій, простір слідів 1- періодичних по функцій, які мають обмежену норму в . Норма в визна-чається рівністю
Вважаємо , що для функцій має місце оцінка
, , (4)
для деяких додатних сталих та .
Всі функції, які входять в праві частини (1) - (2), є I - періодичними по , . Крім того, для оператора виконується умова еліптичності :
,
де и додатні сталі.
В 1.1 розділу I. розглядаються узагальнені моменти m-го порядку , , доведені теоремі затухання енергії для розв’язку еліптичного рівняння (1), які використовуються при дослідженні асимптотики на нескінченності розв’язків задачі (1)-(3) в 1.2 , 1.3 , 1.5.
Покладемо
, .
Теорема 1. В області , де , розглянемо I -періодичний по розв’язок рівняння (1) у випадку нульової правої частини , і нехай . Тоді існують сталі незалежні від такі, що мають місце наступні оцінки:
,
.
В 1.2 розділу I розглядається крайова задача (1)-(3) для еліптичного рівняння високого порядку з сталими коефіцієнтами.
Теорема 2. В області розглянемо задачу (1)-(3) при .Тоді існує поліном і додатні сталі такі, що для будь-якого має місце наступна оцінка :
і коефіцієнти цього поліному визначаються формулами
,
де , .
В 1.3 розділу I розглядається крайова задача (1)-(3) для еліптичного рівняння із змінними коефіцієнтами високого порядку.
Нехай функції , належать класу зростаючих при розв’язків і визначаються як періодичні по , узагальнені розв’язки наступних задач :
,,
, (5)
- періодична по ,
, .
Тоді для , в області справедливі наступні оцінки:
, .
Має місце наступне твердження.
Теорема 3 . В області розглянемо задачу (1)-(3) .Тоді існує поліном
і додатні сталі такі, що для будь-якого має місце наступна оцінка :
і коефіцієнти цього поліному визначаються формулами
,
де - розв’язки задачі (5).
В 1.4 розділу I розглядається задача Діріхле для еліптичного рівняння високого порядку із змінними коефіцієнтами, які містять молодші члени (випадок суми двох еліптичних операторів) .
Розлянемо наступну крайову задачу :
,,
, , (6)
- періодична по ,
,
де , оператор так само як і оператор задовольняє умови еліп-тичності, функції періодичні по і задовольняють умови (4).
Визначимо наступну множину
на ,
де .
Тут періодичні функції по , .
Теорема 4. Нехай - періодичні по узагальнені розв’язки задачі (6) , такі , що для будь-якого
,
де . Тоді існує поліном степені
, ,
такий , що при деяких додатних справедлива оцінка
для будь-якого .
Розлянемо наступну крайову задачу :
, ,
, ,
, , (7)
- періодична по , .
Припустимо, що для правих частин виконуються умови (4).
Має місце наступне твердження .
Теорема 5 (про існування погранпрошарку). Нехай множина не порожня. Тоді існують сталі , , такі, що для розв’язку задачi (7) виконується нерівність
,
де і не залежать від .
В 1.5 розділу I розглядається третя крайова задача для еліптичного рівняння другого порядку.
В розділі 2 дисертації розглядаються крайові задачі для сингулярно збурених еліптичних диференціальных рівнянь з швидкооосцилюючими коефіцієнтами.
Розлянемо наступну крайову задачу :
, , (8) , , (9)
- періодична по ,
(10)
де - малий параметр, цілі, ,
,
- 1 - періодичні по функції, обмежені та вимірні в ,
. Припускаємо, що і всі функції , , які входять в (7) і (8), є періодичними функціями по , . Крім того, для операторов виконана умова еліптичності :
.
Тут , додатні сталі, .
Як звичайно позначає середнє по періоду .
В 2.1 розділу 2 будується асимптотичне розвинення розв’язку
задачі (8) - (10) при у вигляді
, , ,
де
.
Тут - розв’язки рекурентної послідовності задач
,
періодична по , ,
а відповідають пограничним прошаркам і є розв’язками рекурентної послідовності задач
на ,
періодична по , ,
сталі , вибрані так, щоб виконувались нерівності
,
де сталі не залежать від , а функції визначаються за допомогою функцій з меншою довжиною мульти-індекса.
Функції є розв’язками рекурентної послідовності задач:
,,
,,
періодична по ,
де
.
Тут вважається, що
,,
, .
Доведено твердження.
Теорема 7. Усереднений оператор задовольняє умови еліптичності , і симетрії .
Нехай
, , .
Доведено наступне твердження.
В 2.2 розділу 2 будується асимптотичне розвинення розв’язку задачі (8) - (10) при у вигляді
, ,
де
є розв’язками рекурентної послідовності задач:
періодична по , ,
відповідають пограничним прошаркам і є розв’язками рекурентної послідовності задач :
, ,
, ,
періодична по ,
де сталі ,, вибрані так, щоб виконувалось нерівність , , де сталі не залежать від , а розв’язки рекурентної послідовності задач для усередненого оператора , де
,
- узагальнені розв’язки задач
періодична по ,.
, і , визначаються за допомогою функцій з довжиною мультиіндексу .
Доведення існування таких , ,, випливає з теореми 5.
Нехай
, , .
Теорема 9. Для справедлива оцінка
,
де сталане залежить від, - узагальнений розв’язок задачі (8)-(10) .
В 2.3 розділу 2 у випадку в обмеженій області розглядається задача
, , (11) , . (12)
Доведено, використовуючи результати Cанчес - Паленсії, що слабо в (відповідно сильно в ) при , де - розв’язок задачі
, ,
, , ,
періодична по .
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ
1.
Досліджено поведінку на нескінченності періодичних по всіх змінних, крім однієї, розв’язків задачі Діріхле в напівпросторі для еліптичного рівняння з періодичними коефіцієнтами високого порядку. Знайдено коефіцієнти поліному по неперіодичній змінній, до якого на нескінченності прямує цей розв’язок.
1.
Аналогічна задача роглянута для суми двох еліптичних операторів. Показано, що порядок поліному визначає оператор меншого порядку.
1.
Розглянута третя крайова задача для еліптичного рівняння другого порядку. Знайдено сталу, до якої прямує розв’язок задачі.
1.
Побудовано асимптотичні розвинення розв’язків задачі Діріхле в напівпросторі для сингулярно збуреного еліптичного рівняння з швидкоосцилюючими періодичними коефіцієнтами високого порядку.
Показано, що це асимптотичне розвинення має різний вигляд в залежності від ступеня сингулярного збурення.
5.
Знайдено оцінки похибки цих асимптотичних розвинень.
Основні положення дисертації опубліковані в
наступних роботах :
1.
Фоиад Собхи Обаид. О предельном полиноме для решения эллиптического уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами // Укр.мат.журн. - 1998. - 50, № 3 , c. 437-445.
1.
Фоиад Собхи Обаид, Cукретный В. И. О предельном полиноме для решения эллиптического уравнения высокого порядка с постоянными коэффициентами // Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь : Зб. наук. пр. - Київ: Iн-т математики НАН України , 1998.- Вип.1 (17) .- C. 192-207.
1.
Cукретный В. И. Фоиад Собхи Обаид. О поведении на бесконечности решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка // Симетрiйнi та аналiтичнi методи в математичнiй фiзицi : Зб. наук. пр. / НАН України. Iн-т математики;Pедкол.:A.Г.Нiкiтiн та iн. - Київ , 1998 .- C. 232-242.
4. Cукретный В. И. Фоиад Собхи Обаид . Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенных эллиптических дифференцальных уравнений // Нелинейне краеве задачи математической физики и их приложения. Сб. наук. тр. / НАН Украин. Ин-т математики; Pедкол.: А. М.Самойленко (отв. ред.) , A. A. Березовский (отв. ред.) , и др. - Киев , 1998. C 210 - 214.
5. Фоиад Собхи Обаид . О предельном полиноме для решения эллиптического уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами // Aсимптотичнi та якiснi методи в теорiї нелiнiйних коливань : Мiжнар. конф.: Третi Боголюбовськi читання, Київ, 18-23 cерпня 1997 р. - Київ, Iн-т математики НАН України, 1997 р. - C. 126-127.
OБАЙД Фоайд Собхi. Деякі задачі теорії усереднення сингулярно збурених диференціальних рівнянь - Pукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференцiальнi рiвняння. - Інститут математики НАН України, Київ, 1998.
В дисертації побудовано асимптотичне розвинення розв’язків крайових за-дач для сингулярно збурених еліптичних рівнянь з швидкоосцилюючими кое-фіцієнтами високого порядку. Знайдені коефіцієнти граничних поліномів в тео-ремах типу Фрагмена-Ліндельофа для еліптичних рівнянь високого порядку.
Ключові слова: малий параметр, швидкоосцилюючі коефіциєнти , сингулярне збурення, асимптотичне розвинення, узагальнені моменти, затухання енергії.
OБАИД Фоиад Собхи. Некоторые задачи теории усреднения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений . - Рукопись.
Диссертация на соскание ученой степени кандидата физико-мате-матических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения . - Институт математики НАН Украины, Киев, 1998.
В дисертации построено асимптотическое разложение решений краевых задач для сингулярно возмущенных эллиптических уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами высокого порядка. Найдены коэффициенты предельных полиномов в теоремах типа Фрагмена - Линделефа для эллиптических уравнений высокого порядка.
Ключевые слова: малый параметр, быстроосциллирующие коэффициент, сингулярное возмущение, асимптотическое разложение, обобщенные моменты, затухание энергии.
OBAID Fouad Sobhi. Problems in theory of averaging for differential equations with singular perturbation.
Doctor of thesis, speciality 01.01.02 - mathematical physics. - Institute of Mathematics, National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 1998.
In this thesis it is built asymptotic expansion of solutions of boundary value prob-lems for high order partial differential elliptical equations with singular perturbation and fast-oscillating coefficients. In additional, it is found coefficients of the polyno-mials in theorems type Frahmen - Lendilifa for high order elliptical equations.
Key words : small parameter, fast oscillating coefficients, singular perturbation, asimptotic expansion , generalized moments , damping energy.
