Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Гайдей Віктор Олександрович

УДК 519.9

КЛАС БАГАТОПАРАМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ
ГІПЕРГЕОМЕТРИЧНОГО ТИПУ
ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

01.01.02 – диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу

та теорії імовірностей Національного технічного

університету України “КПІ”

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

Професор Вірченко Ніна Опанасівна,

(Національний технічний університет України “КПІ”)

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Пташник Богдан Йосипович (Інститут прикладних проблем

механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів))

кандидат фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Плотницький Томко Адамович (Інститут математики

НАН України (м. Київ))

Провідна установа: Одеський національний університет

ім. І.І. Мечникова,

кафедра обчислювальної математики

Захист відбудеться 21 квітня 2003 року о 14 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 у Київському національному

університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

03127, м. Київ-127, проспект Акад. Глушкова, 6,

Київський університет імені Тараса Шевченка,

механіко-математичний факультет, ауд. 42.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського

університету імені Тараса Шевченка

(Київ, вул. Володимирська, 58, к.10).

Автореферат розіслано 18 березня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради М.П. Моклячук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Узагальнена гіпергеометрична функція є одним із найвагоміших класів спеціальних функцій. Як відомо, такі функції виникають при розв’язанні багатьох диференціальних рівнянь, які в свою чергу — описують конкретні задачі математичної фізики, механіки суцільних середовищ, квантової механіки, розмаїтих питань астрономії та ін.

Виходячи із розв’язання задач для диференціальних рівнянь дробового порядку різних виглядів виникла потреба розглянути достатньо широкий клас узагальнених багатопараметричних функцій гіпергеометричного типу.

Важливим представником цього класу є функція Бесселя першого роду що є розв’язком диференціального рівняння з оператором Бесселя, залежним від одного параметра. Різні розділи теорії бесселевих функцій використовуються при розв’язанні задач акустики, радіофізики, гідродинаміки, теорії пружності, атомної та ядерної фізики та ін.

Розв’язання задач для диференціальних рівнянь з узагальненням оператора Бесселя — гіпербесселевим оператором, залежним від параметрів, привернуло увагу до гіпербесселевих функцій , що узагальнюють функції Бесселя, і вимагало систематичного розвитку теорії таких функцій.

Подальше узагальнення гіпербесселевого оператора — побудова багатопараметричних диференціальних операторів дробового порядку та розгляд рівнянь з цими операторами ставить задачу про дослідження їх розв’язків — багатопараметричних функцій.

Всебічне вивчення вже відомих спеціальних функцій та побудова їх ефективних узагальнень дає можливість значно розширити коло задач, що розв’язуються у замкненому вигляді.

Дисертаційну роботу присвячено дослідженню та вивченню класу функцій гіпергеометричного типу, що виникають при розв’язанні диференціальних рівнянь цілого та дробового порядків і знаходять своє застосування в сучасній математиці. Так, функції гіпергеометричного типу є ядрами багатьох інтегральних перетворень. А, як відомо, метод інтегральних перетворень є одним із ефективних методів розв’язання диферен-ціальних рівнянь (звичайних, із частинними похідними та ін.), інтегральних рівнянь, а також широкого класу крайових задач.

Отримані результати узагальнюють відповідні властивості для функцій Бесселя першого роду , функцій Струве та гіпербесселевих функцій , які виникли природнім чином при розв’язанні бесселевого, однорідного і неоднорідного та гіпербесселевого диференціальних рівнянь.

Досліджуваному класу належать і функції , їх узагальнення — функція Міттаг-Лефлера та функція типу Міттаг-Лефлера , функції Бесселя першого роду , функції Струве , та їх узагальнення — функція Ломмеля , узагальнені (за Райтом) функції Бесселя, Струве, Ломмеля, гіпербесселеві функції Delarue

У працях Ю. Митропольського, А. Самойленка, М. Перестюка, В. Плотнікова, О. Бойчука, Д. Хусаїнова, С. Трофимчука та їх учнів досліджується широке коло питань теорії диференціальних рівнянь, зокрема, і застосування їх розв’язків.

Узагальнення функцій Бесселя та функцій типу Міттаг-Лефлера вивчалися в роботах P. Humbert, E. Wright, P. Delarue, A. Chak, R. Pathak, М. Джрбашяна, С. Акопяна, М. Хриптун, М. Ключанцева, V. Kiryakova та ін.

Інтегральним перетворенням, ядрами яких є функції гіпергеометричного типу, присвячено роботи R. Agarwal, R. Pathak, М. Джрбашяна, С. Самка, А. Кілбаса, О. Марічева, В. Кір’якової, А. Клімика, М. Ключанцева, Н. Вірченко та ін.

Важливість цих і багатьох інших функцій, їх застосувань якраз і роблять актуальною задачу — дослідження і вивчення функції вищезгадуваного класу, виходячи з сучасного стану речей, не зважаючи на “вік” функцій або їх “класичність” чи “некласичність”. Виконання цього завдання дозволить не лише ефективно організувати наявний фактичний матеріал, провести його ґрунтовний аналіз, але й значно поповнити його. Здійснити накреслене пропонується на основі теорії диференціальних рівнянь, звичайних чи дробових, яким справджують ці функції.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана згідно з загальним планом наукових досліджень кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей НТУУ “КПІ” за темою:

№ 2411. “Лінійні та нелінійні проблеми теорії випадкових процесів та математичної фізики”.

Метою роботи є розвинути теорію важливих для застосувань узагальнених гіпергеометричних функцій, які є розв’язками диференціальних рівнянь цілих та дробових порядків, зокрема: —

побудувати та дослідити диференціальне рівняння, якому справджує багатопараметрична функція типу Міттаг-Лефлера —

отримати рекурентні формули для багатопараметричної функції типу Міттаг-Лефлера ;—

встановити результати дії диференціальних та інтегральних операторів на ці функції;—

побудувати інтегральні зображення та співвідношення для функцій ;—

застосувати побудовану теорію до розв’язання інтегральних та диференціальних рівнянь, до обчислення інтегралів.

Методи досліджень. У роботі використано методи теорії диференціальних рівнянь, комплексного аналізу, теорії спеціальних функцій, теорії інтегральних рівнянь, операторів дробового інтегро-диференціювання.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:—

побудовано диференціальне рівняння для багатопараметричної функції типу Міттаг-Лефлера —

встановлено низку рекурентних, диференціальних та інтегральних співвідношень для цієї функції;—

отримано інтегральні зображення для багатопараметричної функції типу Міттаг-Лефлера;—

обчислено низку інтегралів з багатопараметричними функціями;—

розв’язано багатовимірні інтегральні рівняння;—

знайдено розв’язок задачі типу Коші для диференціального рівняння дробового порядку;—

запропоновано нову термінологію щодо функцій розглядуваного класу.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер. Здобуті результати поповнюють теорію спеціальних функцій гіпергеометричного типу. Вони можуть бути використані до розв’язання диференціальних рівнянь цілого і дробового порядків, при обчисленні інтегралів, при розгляді задач теорії ймовірностей, математичної фізики тощо.

Особистий внесок здобувача. Постановка задач належить науковому керівнику — професору, доктору фізико-математичних наук Н.О. Вірченко, конкретні результати складають самостійний внесок автора.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались і обговорювались на:

Междунар. конф. “Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление” (Минск, 1996);

V, VI, VII, VIII, IX Міжн. наук. конф. ім. академіка М. Кравчука (Київ, 1996, 1997, 1998, 2000 та 2002 рр.);

Междунар. конф. “Моделирование и исследование устойчивости систем” (Київ, 1996, 1997 рр.);

2nd International Workshop “Transform methods & Special functions” (Varna, Bulgaria, 1996 р.);

4th International conf. “Integral methods in science and engineering” (Oulu, Finland, 1996 );

7-ой и 8-ой научной межвузовской конф. “Математическое моделирование и краевые задачи” (Самара, 1997, 1998 рр.);

Міжнар. наук. конф. “Сучасні проблеми математики” (Чернівці, 1998 р.);

Міжнар. конф. “Диференц. та інтегр. рівняння” (Одеса, 2000 р.);

Междунар. конф. “Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений” (Минск, 2001);

Засіданнях кафедри математичного аналізу і теорії імовірностей Національного технічного університету України “КПІ” (1998, 2001 рр.).

Публікації. Результати дисертації опубліковано у 23 наукових працях, із них 7 статей — у фахових журналах.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, трьох додатків та списку літератури з 151 назви. Повний обсяг роботи становить 152 сторінок, додатків — 16 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові Ніні Опанасівні Вірченко за постановку задач, підтримку та постійну увагу до роботи.

Основний зміст роботи

У розділі 1 подано критичний огляд та аналіз літератури про клас функцій гіпергеометричного типу.

Розділ 2 присвячено методам дослідження використаним у дисертації. У ньому ж подано означення функцій гіпергеометричного типу та класу функцій цього типу. А саме,

Означення. Функцією гіпергеометричного типу в широкому розумінні від змінної назвімо будь-яку функцію , яка виражається через лінійну комбінацію функцій вигляду:

а також, функцію, яку можна отримати з такої лінійної комбінації граничними переходами за параметрами, де —

узагальнена (за Райтом) гіпергеометрична функція, — гамма-функція.

Означення. Функцією класу назвімо функцію гіпергеометричного типу в широкому розумінні вигляду:

де

Одним з методів досліджень є теорія дробового інтегро-диференціювання. Зокрема, широко використовується багатопараметричний оператор інтегрування Ердеї — Кобера (V. Kiryakova, Fractional Calculus and Applied Analysis. — 1999. — 2, № 4):

де

У розділі 3 запроваджено багатопараметричну функцію типу Міттаг-Лефлера першого роду:

де — гамма-функції, та її важливий частинний випадок — узагальнену (за Райтом) гіпербесселеву функцію першого роду:

У підрозділі 3.1. подано низку співвідношень, що виражають зв’язок елементарних та вищих трансцендентних функцій з багатопараметричною функцією Міттаг-Лефлера. Наприклад,

У підрозділі 3.2 доведено таке твердження:

Теорема 3.1. Нехай задано сукупність пар параметрів Ряд, який означає функцію збігається абсолютно і рівномірно в довільній замкненій області зміни (у випадку початок координат не належить області), і в довільній обмеженій області значень параметрів

Підрозділ 3.3. присвячено дослідженню властивостей функцій з цілими параметрами. А саме — доведено теореми:

Теорема 3.2. Нехай задано сукупність пар параметрів Якщо серед параметрів знайдеться цілих параметрів то для функції -вимірною твірною функцією є функція

де вибраних цілих параметрів позначено решта параметрів сукупності позначено а відповідні їм параметри сукупності— та — суми параметрів та відповідно.

Виділимо теореми, які виражають властивості функцій з цілими від’ємними параметрами:

Теорема 3.5. Нехай задано сукупність пар параметрів та серед параметрів є цілих від’ємних параметрів. Позначимо їх , а відповідні їм параметри сукупності —решту параметрів позначимо та

Якщо всі то має місце співвідношення:

Якщо знайдуться параметри то має місце співвідношення:

де

У підрозділі 3.4. побудовано низку інтегральних зображень багатопараметричних функцій типу Міттаг-Лефлера: типу Бесселя, типу Шлефлі — Соніна, Пуассона, типу Мелліна — Барнса.

Зокрема, одержано інтегральне зображення типу Шлефлі — Соніна (зображення функції параметрів через функцію параметрів):

Теорема 3.6. Нехай задано сукупність пар параметрів Виберемо серед них пар параметрів і позначимо їх Решту параметрів сукупностей та позначимо та а їх суми відповідно та Справедливе інтегральне зображення типу Шлефлі порядку :

де

У пункті 3.4.3. отримано інтегральне зображення функції параметрів через функцію параметрів:

де — суми параметрів сукупностей відповідно.

У пункті 3.4.4. побудовано інтегральне зображення багатопараметричної функції інтегралом типу Мелліна — Барнса:

Теорема 3.8. Нехай задано сукупність пар параметрів Справедливе таке інтегральне зображення інтегралом типу Мелліна — Барнcа:

де — петля, яка розташована в горизонтальній смузі, починається в точці залишає точки ліворуч, а точки праворуч, і закінчується в точці де при

Теорема 3.9. Нехай задано дві сукупності пар параметрів сукупність параметрів де та сукупність параметрів Справедливе інтегральне зображення типу Пуассона порядку

де

Підрозділ 3.5. присвячено встановленню рекурентних співвідношень між багатопараметричними функціями та вивченню дії диференціальних та інтегральних операторів цілого та дробового порядків на ці функції.

У пункті 3.5.1. одержано низку рекурентних співвідношень, зокрема:

а) для параметрів

де

б) для параметрів

де

де

У пункті 3.5.2 отримано формули диференціювання:

У пункті 3.5.3 розглянуто дію оператора на багатопараметричну функцію:

де

За допомогою багатопараметричного оператора дробового інтегрування Ердеї — Кобера (2) побудовані інтегральні співвідношення типу першого інтеграла Соніна і типу інтеграла Пуассона. А саме, доведено теорему:

Теорема 3.14. Нехай задано сукупність пар параметрів і сукупність параметрів Виберемо пар параметрів і позначимо їх решту параметрів сукупностей та позначимо відповідно та Для багатопараметричної функції Міттаг-Лефлера справедливе інтегральне співвідношення, яке назвімо першим інтегралом Соніна порядку

де — багатопараметричний оператор Ердеї — Кобера (2).

Наслідком, цієї теореми є зображення типу Пуассона:

.

У пунктах 3.5.5—3.5.7 встановлено результати дії багатопараметричного оператора дробового диференціювання Ердеї — Кобера, багатопараметричних операторів типу Джрбашяна — Гельфонда — Леонтьєва, багатовимірного перетворення Лапласа.

Так -вимірне перетворення Лапласа функції має вигляд:

де

Підрозділ 3.7 присвячений розвиненням функцій у ряди за багатопараметричними функціями. Зокрема, одержані розвинення типу Гегенбауера (степеневої функції), типу Ломмеля, добутку гіпербесселевих функцій. Так доведено теорему:

Теорема 3.20. Нехай задано сукупність пар параметрів Виберемо пару параметрів В області має місце розвинення типу Ломмеля для багатопараметричної функції Міттаг-Лефлера

де

Одним із наслідків цієї теореми є теорема множення узагальнених гіпербесселевих функцій:

Розділ 4 присвячено застосуванням багатопараметричних функцій до розв’язання диференціальних рівнянь цілого та дробового порядку та багатовимірних інтегральних рівнянь, обчисленню інтегралів з цими функціями.

У пункті 4.1.1 доведено теореми про розв’язки диференціального рівняння:

Теорема 4.1. Нехай задано сукупність пар параметрів та число Багатопараметрична функція типу Міттаг-Лефлера справджує диференціальне рівняння порядку :

де

Теорема 4.2. Нехай задано сукупність пар параметрів Якщо то розв’язком рівняння:

разом з функцією з параметрами

де будуть і функції з параметрами

де

У пункті 4.1.2. доведено, що -функція справджує інтегральне рівняння з багатопараметричним оператором Ердеї — Кобера:

де

У пункті 4.1.3 знайдено розв’язок багатовимірного інтегрального рівняння Вольтерра:

У пунктах 4.1.4 — 4.1.6 дослідженні диференціальні рівняння дробового порядку, зокрема доведена теорема типу Пікара:

Теорема 4.7. Нехай — дійсна, неперервна в області функція, яка справджує умову Ліпшиця по

і обмеження Тоді розв’язок задачі типу Коші:

де — відома функція, — задані сталі; в області

де — деякі сталі; існує, неперервний і єдиний.

Наступна теорема встановлює розв’язок задачі типу Коші для неоднорідного лінійного рівняння дробового порядку:

Теорема 4.8. Розв’язком задачі типу Коші для неоднорідного диференціального рівняння:

де є функція

У підрозділі 4.2 знайдено низку невизначених інтегралів. Зокрема,

де

У підрозділі 4.3 обчислено зокрема і такі визначені інтеграли:—

Перший інтеграл Соніна порядку :

де —

Другий інтеграл Соніна порядку :

де а — добуток за параметрами сукупностей та

У підрозділі 4.4 обчислено низку невласних інтегралів:

де — узагальнена (за Райтом) гіпергеометрична функція.

де

Інтеграл типу Вебера:

де або та

Невласний інтеграл типу Соніна:

де

Інтеграл типу розривного інтегралу Соніна:

де

У додатку Б подано суми деяких рядів у термінах багатопараметричної функції типу Міттаг-Лефлера, зокрема:

Усі теореми проілюстровано частинними випадками, а саме, результатами для функції Бесселя 1-го роду, гіпербесселевої функції, функції Струве.

Висновки

Досліджено клас багатопараметричних функцій гіпергеометричного типу, що є розв’язками диференціальних рівнянь цілого та дробового порядків.

У роботі запроваджено і вивчено багатопараметричні функції типу Міттаг-Лефлера та узагальнені (за Райтом) гіпербесселеві функції а саме:—

побудоване диференціальне рівняння для багатопараметричної функції типу Міттаг-Лефлера з раціональними параметрами і досліджено його розв’язки;—

доведено теорему типу Пікара про існування та єдиність розв’язку задачі Коші для неоднорідного диференціального рівняння дробового порядку;—

знайдено розв’язок задачі Коші для одного неоднорідного диференціального рівняння дробового порядку;—

виражено в термінах багатопараметричної функції деякі відомі трансцендентні функції та суми рядів;—

досліджено властивості -функцій з цілими параметрами;—

побудовано інтегральні зображення багатопараметричних функцій;—

одержано низку рекурентних співвідношень;—

знайдено зображення багатопараметричних функцій після дії диференціальних та інтегральних операторів, зокрема, операторів: багатопараметричного оператора інтегро-диференціювання Ердеї — Кобера; багатовимірного перетворення Лапласа;—

побудовано інтегральне рівняння з багатопараметричним оператором типу Ердеї — Кобера, розв’язком якого є -функція;—

розв’язано багатовимірне інтегральне рівняння Вольтерра;—

побудовано диференціальні рівняння дробового порядку з багатопараметричними операторами;—

обчислено низку інтегралів з - та -функціями;—

запропоновано нову термінологію і систему позначень щодо функцій класу .

Загальні результати проілюстровано великою кількістю частинних випадків, а саме формулами для гіпербесселевої функції функції Бесселя першого роду та функції Струве

Основні результати дисертації опубліковано в роботах:

1. Вірченко Н.О., Гайдей В.О. Про деякі типи узагальнених (за Райтом) -Бессель функцій та їх застосування // Доп. НАН України. — 1997. — № 9. — С. 10—13.

2. Гайдей В.О. Про інтегральне перетворення, породжене узагальненою (за Райтом) -Ломмель-Бессель функцією // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 1998. — № 1. — С. 96—99.

3. Virchenko N.A., Haidey V.O. On some generalized hypergeometric functions // Доп. НАН України. — 1999. — № 9. — С. 42—45.

4. Virchenko N., Haidey V. On generalized -Bessel functions // Integral transforms and Special functions. — 1999. — No. 3—4. — P. 275—286.

5. Вірченко Н.О., Гайдей В.О. Про узагальнену (за Райтом) гіпербессельову функцію // Доп. НАН України. — 2000. — № 8. — С. 15—21.

6. Вірченко Н.О., Гайдей В.О. Про властивості узагальнених гіпербесселевих функцій // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2000. — № 6. — С. 122—127.

7. Вірченко Н.О., Гайдей В.О. Про багатопараметричне інтегральне перетворення // Доп. НАН України. — 2002. — № 3. — С. 7—15.

8. Гайдей В. Про узагальнення функції Бесселя // Матеріали VIII Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. — Київ. — 2000. — С. 254—255.

9. Гайдей В.О. Про багатопараметричну функцію типу Міттаг-Лефлера // Матеріали ІХ Міжн. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. — Київ. — 2002. — С. .

Гайдей В.О. Клас багатопараметричних функцій гіпергеометричного типу та їх застосування. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 — диференціальні рівняння. — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

Дисертацію присвячено дослідженню одного класу функцій гіпергеометричного типу, що базується на диференціальних рівняннях, цілого та дробового порядку, яким справджують функції.

Запроваджено багатопараметричну функцію типу Міттаг-Лефлера та узагальнену (за Райтом) гіпербесселеву функцію, частинними випадками яких є тригонометричні та гіперболічні функції, функція типу Міттаг-Лефлера, функції Бесселя, Струве, Ломмеля, гіпербесселева функція. Отримано низку рекурентних, диференціальних та інтегральних співвідношень для багатопараметричних функцій.

Побудовано та досліджено диференціальне рівняння для узагальнених гіпербесселевих функцій з раціональними параметрами. Доведено теорему про існування та єдиність розв’язку задачі типу Коші для диференціального рівняння дробового порядку. Одержано інтегральні зображення багатопараметричних функцій типу Міттаг-Лефлера. Розв’язано багатовимірні інтегральні рівняння.

Ключові слова: багатопараметричні функції типу Міттаг-Лефлера, диференціальне рівняння гіпергеометричного типу, оператори дробового інтегро-диференціювання.

Гайдей В.А. Класс многопараметрических функций гипергеометрического типа и их применение.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения. — Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

Диссертация посвящена исследованию класса функций гипергеометрического типа, базирующемуся на дифференциальных уравнениях целого и дробного порядков, которым удовлетворяют эти функции.

В работе применялись методы теории дифференциальных уравнений, комплексного анализа, теории специальных функций, теории интегральных уравнений, операторов дробного интегро-дифференцирования.

Введены многопараметрическая функция типа Миттаг-Леффлера и обобщенная (по Райту) гипербесселева функция, частными случаями которых являются тригонометрические и гиперболические функции, функция типа Миттаг-Леффлера, функции Бесселя, Струве, Ломмеля, гипербесселева функция.

Найдены производящие функции разных порядков для многопараметрических функций типа Миттаг-Леффлера.

Получен целый ряд рекуррентных, дифференциальных и интегральных соотношений.

Построены представления многопараметрических функций интегралами типа Шлефли — Сонина, Меллина — Барнса, Пуассона.

Найдено большое число изображений многопараметрических функций типа Миттаг-Леффлера при действии на них различных операторов: дифференциальных, интегральных и операторов дробного интегро-дифференцирования.

Получены разложения некоторых функций в ряды по обобщенным (по Райту) гипербесселевым функциям, в частности, разложение типа Ломмеля и, так называемая, теорема умножения для гипербесселевых функций.

Построено дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет многопараметрическая функция типа Миттаг-Леффлера с рациональными параметрами. Получены решения дифференциальных уравнений дробного порядка и с операторами типа Джрбашяна — Гельфонда — Леонтьева.

Доказана теорема типа Пикара про существование и единственность решения задачи типа Коши для уравнения дробного порядка и решена задача типа Коши для неоднородного линейного уравнения дробного порядка.

Найдены решения интегрального уравнения с многомерным интегральным оператором Ердейи — Кобера и многомерного уравнения Вольтерра.

Вычислено большое число интегралов, содержащих введенные специальные функции, которые обобщают соответствующие формулы для функций Бесселя, в частности, обобщенные интегралы Сонина (первый, второй, несобственный, разрывный).

Ключевые слова: многопараметрические функции типа Миттаг-Леффлера, дифференциальное уравнение гипергеометрического типа, операторы дробного интегро-дифференцирования.

Haidey V.О. On the class of multiparameter functions of the hypergeometric type and their application. — Manuscript.

Thesis for candidate degree by specialty 01.01.02 — differential equations. — Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2002.

The thesis is devoted to investigation of the class of multiparameter functions of the hypergeometric type. The investigation is based on differential equations, satisfied by these functions.

It is introduced and studied multiparameter function of Mittag-Leffler type and the generalized (according to Wright) hyper-Bessel function. Trigonometric, hyperbolic functions, function of Mittag-Leffler type, Bessel, Struve, Lommel functions, hyper-Bessel function are their particular cases. Recurrence, differential and integral relations for the multiparameter function are established.

The differential equation, satisfied by the multiparameter function of Mittag-Leffler type with rational parameters is constructed. It is proved the theorem about the existence and uniqueness of the solution of the initial type problem for fractional order differential equation. Some integral representations are constructed. Multivariate integral equations are solved.

Key words: multiparameter function of Mittag-Leffler type, differential equation of the hypergeometric type, fractional calculus.