Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова

Калинюк Наталія Анатоліївна

УДК 517.958:519.633:004.415

Моделі, обчислювальні алгоритми та автоматизація розрахунку неусталених процесів в багатокомпонентних середовищах

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття

наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України

Науковий керівник: член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

Дейнека Василь Степанович,

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова

НАН України, завідувач відділу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

Гладкий Анатолій Васильович,

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова

НАН України, провідний науковий співробітник,

кандидат фізико-математичних наук

Клюшин Дмитро Анатолійович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

факультет кібернетики, доцент.

Провідна установа: Інститут космічних досліджень НАН України і НКА

України, відділ системного аналізу та керування, м. Київ.

Захист відбудеться “ 17 ” жовтня 2003 р. о ______годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України за адресою:

03680 МСП Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві інституту.

Автореферат розісланий “ 15 ” вересня 2003 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради СИНЯВСЬКИЙ В.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. За своєю будовою земна кора – багатокомпонентна, містить тріщини та пустоти. Її складові відрізняються між собою щільністю, пористістю, мінералогічним складом, здатністю до деформування та ін.

Добування корисних копалин, вирубування лісів, інтенсивне будівництво висотних будинків, створення різноманітних підземних споруд, меліорація, наземне та підземне зберігання відходів промисловості та інший вплив людської діяльності на природу призводять до підвищення рівня грунтових вод; порушення суцільності грунтових масивів, зміни фільтраційної здатності їх складових, теплофізичних і сейсмічних властивостей масивів у цілому, внаслідок чого відбувається порушення стійкості грунтових об’єктів. Наслідки таких явищ дуже негативні, оскільки спричиняють: зсуви значних об’ємів грунту; провали та осідання земної поверхні; руйнацію грунтових об’єктів, у тому числі внаслідок проявів явищ суфозії; змішування брудних приповерхневих вод з чистими грунтовими водами нижчих шарів грунту; зникнення питної води з водоносних горизонтів тощо. На ці негативні явища вказується в роботах І.В. Сергієнка.

У роботах Г.Н. Каменського, Н.К. Гіринського зазначається, що взаємодія горизонтальних водоносних горизонтів суттєво залежить від розмежовуючого їх слабкопроникливого прошарку. Його вплив враховано умовою перетоку.

У роботах І.В. Сергієнка, В.С. Дейнеки, В.В. Скопецького побудовані математичні моделі основних процесів, що протікають у багатокомпонентних грунтових середовищах, для випадків довільного розташування в просторі тонких включень (у вигляді крайових, початково-крайових задач для рівнянь у частинних похідних з умовами спряження та відповідних узагальнених задач).

У 70 – 80-х роках минулого століття були розроблені підходи до побудови ефективних різницевих та скінченно-елементних схем дискретизації основних класів задач математичної фізики з гладкими розв’язками. Значно менше було робіт стосовно побудови таких алгоритмів для задач з умовами спряження (з розривними розв’язками). При побудові розв’язків таких задач використову-валися різноманітні підходи, в тому числі підхід, що базується на продовженні рівняння нерозривності на лінію розриву за допомогою - функції Дірака. Для еліптичного рівняння з розривом розв’язку на прямій, що паралельна одній з осей координат, А.А. Самарський та В.Б. Андрєєв розробили та дослідили різницеву схему. І.М. Молчанов і Л.Д. Ніколенко побудували функціонал енергії для звичайного диференціального рівняння 2-го порядку з умовами спряження. Для з’ясування питання існування та єдиності узагальненого розв’язку використали клас неперервних функцій.

Наприкінці 70-х років В.С. Дейнека запропонував використовувати відпо-відні класи розривних функцій при побудові узагальнених задач для крайових задач з розривними розв’язками, з’ясуванні питання існування їх єдиного узагальненого розв’язку, розробці високоточних обчислювальних алгоритмів. Цей підхід був поширений І.В. Сергієнком, В.С. Дейнекою, В.В. Скопецьким на інші класи задач з розривними розв’язками. Питання існування єдиних узагальнених розв’язків для задач з неоднорідними головними умовами спряження, побудови високоточних обчислювальних алгоритмів їх дискрети-зації, дискретизації задач з умовами зосередженої теплоємності, зосередженої маси та інші розглядалися в роботах І.В. Сергієнка, В.С. Дейнеки.

З метою збереження ґрунтових шарів у природному стані, чи близькому до нього, особливої актуальності та широкого практичного застосування набува-ють побудова математичних моделей фізичних процесів, що відбуваються в багатокомпонентних грунтових середовищах зі змінними за часом фізичними характеристиками; розробка високоточних чисельних алгоритмів та ефективних і зручних програмних засобів для розв’язання складних нестаціонарних задач теорії фільтрації. Дисертаційна робота є продовженням досліджень у зазначених напрямках.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційна робота виконувалася в рамках наукових тем та проектів Інституту кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України: “Розробка та теоретичне обгрунтування моделей і високоточних обчислювальних алгоритмів дослідження проблеми екологічного стану грунтів і грунтових об’єктів” (№ 0197U015907); “Розробити математичну теорію, методи та програмні засоби розв’язування окремих класів задач прикладної математики” (№ 0198U005043); “Розробка та обгрунтування проблемно-орієнтованих методів та програмно-алгоритмічних засобів для розв’язання деяких класів задач прикладної математики на ПЕОМ” (№ 0199U001031); “Розробка математичних моделей та алгоритмів дослідження стаціонарних та динамічних процесів дифузії в неоднорідних середовищах” (№ 0102U006942); “Розроблення математичного забезпечення вирішення складних задач аналізу навколишнього середовища” (контракт № ОК_2001_3_ЦЕНТР_ІК від 14.09.2001 р.) (№ 0101U007894); “Розроблення математичного забезпечення аналізу процесів в грунтових середовищах на основі поєднання усномовного діалогу з високоточним моделюванням” (контракт № ОК_2002_5_ЦЕНТР_ІК від 5.07.2002 р.) (№ 0101U006938).

Мета і задачі дослідження. Мета роботи – побудова та дослідження нових математичних моделей нестаціонарних дифузійних процесів у багатокомпо-нентних середовищах з включеннями, розробка і обгрунтування високоточних обчислювальних алгоритмів дискретизації розглянутих класів початково-крайових задач з розривними розв’язками та створення на їх основі автоматизованого діалогового програмно-алгоритмічного комплексу розра-хунку розглядуваних процесів.

Для досягнення сформульованої мети в процесі досліджень поставлені та розв’язані наступні задачі:

– розробка математичних моделей нестаціонарних дифузійних процесів у багатокомпонентних середовищах з включеннями;

– встановлення єдиності узагальнених розв’язків класів початково-крайових задач з умовами спряження, що описують вищезазначені процеси;

– побудова високоточних обчислювальних алгоритмів методу скінченних елементів (МСЕ) дискретизації початково-крайових задач з розривними розв’язками;

– теоретичне обгрунтування розроблених алгоритмів та встановлення відповідних оцінок похибок наближених розв’язків;

– створення системи НАДРА автоматизованого розрахунку полів у багатокомпонентних середовищах;

– проведення експериментального дослідження розроблених обчислю-вальних алгоритмів та автоматизованої системи НАДРА.

Об’єкт дослідження. Процеси в багатокомпонентних грунтових середовищах.

Предмет дослідження. Математичні моделі неусталеної дифузії в багатокомпонентних грунтових середовищах, що містять тонкі включення або тріщини, які сформульовані у вигляді початково-крайових задач для рівнянь параболічного типу з умовами спряження неідеального контакту. Високоточні обчислювальні алгоритми. Система автоматизованого розрахунку процесів у багатокомпонентних середовищах. Експериментальні дослідження програмно-алгоритмічних засобів.

Методи досліджень. Математичне моделювання та чисельні методи, зокрема, метод скінченних елементів та скінченно-різницеві схеми Кранка - Ніколсона. При побудові математичних моделей використані основні закони збереження. Класичні узагальнені задачі побудовано з використанням методу Гальоркіна та відповідних класів розривних функцій. Високоточні обчислювальні алгоритми розроблено на основі МСЕ та відповідних класів розривних функцій. Автоматизована система НАДРА створена з використанням засобів об’єктного програмування та реалізації розроблених високоточних обчислювальних алгоритмів.

Наукова новизна одержаних результатів. Отримані результати є новими та такими, що узагальнюють існуючі. Зокрема:

– розроблено нові математичні моделі у вигляді класів задач, що описуються параболічними рівняннями з неоднорідними головними умовами спряження, нелінійними параболічними рівняннями з умовами зосередженого власного джерела; параболічними рівняннями з коефіцієнтами, що залежать від просторових та часових змінних з розривним розв’язком та розривним потоком; доведено єдиність узагальнених розв’язків таких задач;

– побудовано класичні узагальнені задачі, визначені на класах розривних функцій;

– з використанням класів розривних функцій МСЕ побудовано високо-точні алгоритми знаходження наближених узагальнених розв’язків;

– доведено існування та єдиність наближених узагальнених розв’язків;

– отримано оцінки похибок наближених узагальнених розв’язків, що за порядком кроків дискретизації не гірші аналогічних, відомих для відповідних задач з гладкими розв’язками;

– розроблено різницеві схеми Кранка - Ніколсона для дискретизації відпо-відних задач Коші;

– отримано оцінки похибок наближених розв’язків за допомогою функцій МСЕ та схем Кранка - Ніколсона;

– побудовано об’єктну модель подання та відображення даних, на її основі розроблено підсистеми вводу геометричної інформації про розв’язувану задачу та вводу інформації про взаємодію об’єкта з оточуючим середовищем;

– створено автоматизовану систему НАДРА для математичного моделювання процесів у багатокомпонентних середовищах;

– за допомогою створеної системи проведені обчислювальні експери-менти, які підтвердили ефективність розроблених алгоритмів.

Вірогідність одержаних теоретичних результатів забезпечується тим, що вони сформульовані у вигляді лем та теорем, які повністю доведено, та підтверджується результатами обчислювальних експериментів.

Практичне значення одержаних результатів. Запропоновані теоретичні результати можуть бути використані при побудові ефективних обчислювальних алгоритмів для аналогічних класів задач, що виникають при дослідженні стану, прогнозуванні поведінки нових об’єктів, вирішенні проблем раціонального природокористування, екології грунтів тощо.

Побудовані математичні моделі можуть бути використані при вирішенні питань планування попереджувальних та захисних заходів стосовно забруднення водойм від смітників, а розроблені обчислювальні алгоритми та створена автоматизована система НАДРА – при моделюванні деяких процесів у багатокомпонентних грунтових середовищах, що вміщують тонкі включення.

За створення математичних методів та програмного забезпечення для розв’язання деяких класів задач захисту навколишнього середовища у 2002 р. автору була присуджена премія Президента України для молодих вчених Національної академії наук України.

Особистий внесок здобувача. У роботах [1–3, 6, 10], що написані у співавторстві, автору дисертаційної роботи належать усі теоретичні та практичні результати, крім постановки задач та ідей теоретичних досліджень; у [4, 8, 9, 11] – розробка об’єктно-орієнтованої моделі автоматизованого комплексу дослідження процесів у багатокомпонентних середовищах, об’єктно-орієнтованих підсистем вводу інформації, задання фізичних параметрів, розв’язання задачі та виведення результатів у зручному для користувача вигляді, програмна реалізація комплексу в середовищі C++ Builder.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи обговорювалися та доповідалися на конференціях: восьмій Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 11–14 травня 2000 р.); Міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (МОСС – 2001, Київ, 2001 р.); Міжнародній конференції “Обчислювальна та прикладна математика”, присвяченій 80-річчю академіка НАН України І.І. Ляшка (Київ, 9–10 вересня 2002 р.).

Автоматизована система НАДРА демонструвалася: на виставці ювілейної сесії загальних зборів НАН України, присвяченій 50-річчю з часу створення першої в континентальній Європі електронно-обчислювальної машини “МЭСМ” (Київ, 15, 16 січня 2002 р.); V виставці-ярмарку з міжнародною участю Екологія’2002 (Київ, 21–24 травня, система НАДРА відзначена Дипломом); Міждержавній виставці-ярмарку промислових технологій, наукових розробок, засобів виробництва, товарів та послуг країн СНД (Київ, 14–17 травня 2003 р.); VІ міжнародній виставці-ярмарку Екологія – 2003 (Київ, 20–23 травня, система НАДРА відзначена Дипломом).

Результати дисертації систематично доповідалися та обговорювалися на наукових семінарах відділу математичних методів і програмних засобів прикладної інформатики Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України. У повному обсязі дисертаційна робота доповідалася та обговорю-валася у відділі математичних методів і програмних засобів прикладної інформатики Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України та у відділі системного аналізу і керування Інституту космічних досліджень НАН України та НКА України.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 11 роботах, з яких 7 надруковано у наукових фахових виданнях, 2 – у збірниках доповідей міжнародних конференцій, 2 препринти (2 роботи опубліковано без співавторів).

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 137 найменувань, та додатків. Загальний обсяг дисертаційної роботи викладено на 180 сторінках друкованого тексту, обсяг основного тексту – 167 сторінок. Робота включає 30 рисунків, 11 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі дослідження, визначено наукову новизну отриманих результатів та їх практичне значення.

Перший розділ присвячено огляду літературних джерел за тематикою дисертації. Викладено відомі наукові результати та підходи до математичного моделювання дифузійних процесів у неоднорідних середовищах. Наведено дані про відомі програмні продукти, орієнтовані на автоматизоване дослідження процесів, що протікають у грунтових середовищах. Обгрунтовано вибір подальших напрямків досліджень, пов’язаних з моделюванням процесів у багатокомпонентних середовищах з тонкими включеннями.

У другому розділі розглянуто нові одновимірні за просторовою змінною математичні моделі нестаціонарних дифузійних процесів, які описуються за допомогою параболічних рівнянь із змішаними крайовими умовами та умовами спряження на тонких включеннях.

Підрозділ 2.1 присвячено параболічній задачі з умовами спряження і коефіцієнтами, залежними від часової змінної, та її чисельній дискретизації. Залежність коефіцієнта фільтрації від часової змінної обгрунтовано тим, що в складних багатокомпонентних грунтових масивах під дією різноманітних факторів складається ситуація, коли фізичні характеристики середовища з часом змінюються. Цей фактор породжує нові класи задач та потребує розробки нових схем їх розв’язання.

Нехай в області , , ,

визначено рівняння

, , (1)

де , , ,

, , , .

На кінцях відрізка [0,l] задані змішані неоднорідні крайові умови

, , (2)

, , (3)

де , , .

У точці виконуються неоднорідні умови спряження трьохшарового тонкого включення

, x=, t(0,T], (4)

, x=, t(0,T], (5)

де – невід’ємні сталі, ; , ,

, .

Початкова умова має вигляд

, , , (6)

де , .

Для задачі (1)–(6) визначено класичний розв’язок – функція u(x,t)M, що задовольняє рівності (1)–(6), де

. Узагальнена задача полягає у відшуканні функції , для якої виконуються рівності

, , (7)

, , (8)

де , ,

, , ;

, .

Лема 1. Якщо узагальнений розв’язок u(x,t) H існує, то він єдиний.

До розгляду введена лінійна множина функцій v(x) з базисом . За допомогою цього базису побудована підмножина функцій вигляду

, , (9)

де – деяка відома функція з H.

Наближеним узагальненим розв’язком задачі (1)–(6) називається функція , яка задовольняє рівності (7), (8), де замість u(x,t) та v(x) використані відповідно функції U(x,t) та V(x).

Теорема 1. Нехай u(x,t) – узагальнений розв’язок початково-крайової задачі (1)–(6), а – її наближений узагальнений розв’язок із . Тоді існують такі додатні сталі , що має місце нерівність

, (10)

де , , , , , .

Теорема 2. Якщо класичний розв’язок задачі (1)–(6) досить гладкий на , то для наближеного узагальненого розв’язку справедлива оцінка

, (11)

де ; – множина неперервних на , функцій, що є поліномами степеня k змінної x на кожному відрізку розбиття проміжку ; , .

Враховуючи (9), із наближеної узагальненої задачі отримаємо задачу Коші для системи звичайних лінійних диференціальних рівнянь першого порядку вигляду

,, (12)

, , (13)

де , , ,

, , ,

, , .

Розв’язок задачі Коші існує і єдиний, тобто існує єдиний наближений узагальнений розв’язок розглядуваної початково-крайової задачі. Задача Коші розв’язується за допомогою різницевої схеми Кранка - Ніколсона

, , (14)

, (15)

де , , , , ,

, .(16)

Теорема 3. Нехай u(x,t) – досить гладкий на класичний розв’язок початково-крайової задачі (1)–(6). Тоді існують додатні сталі , такі, що , для похибки наближеного розв’язку , отриманого з викорис-танням множини та різницевої схеми Кранка - Ніколсона, маємо

. (17)

Теорема 4. Якщо u(x,t) – достатньо гладкий на , , класичний розв’язок початково-крайової задачі (1)–(6), то для похибки , , наближеного розв’язку , отриманого за допомогою функцій МСЕ з класу та різницевої схеми Кранка - Ніколсона (14), (15), справедлива оцінка

, . (18)

З використанням функцій розв’язано модельний приклад. Відносна похибка отриманого розв’язку не перевищувала 5%.

У підрозділі 2.2 розглянуто задачу з розривним потоком. Початково-крайова задача визначена рівнянням (1), крайовими і початковою умовами (2), (3), (6) та умовами спряження

[u]=0, x=, t(0,T], (19)

, x=, t(0,T]. (20)

Побудовано узагальнену задачу. Наведено теореми, аналогічні теоремам 1–3. При розв’язанні модельного прикладу з використанням функцій відносна похибка не перевищувала 7%.

Підрозділ 2.3 присвячено побудові та дослідженню обчислювальних алгоритмів підвищеного порядку точності дискретизації початково-крайової параболічної задачі з неоднорідною головною умовою спряження.

Визначено рівняння (1) з початковою умовою (6), де

, , , .

На кінцях відрізка [0,l] задано неоднорідні умови Діріхле, а в точці x= t(0,T] – неоднорідні умови спряження

[u]=(t), (21)

. (22)

Побудовано узагальнену задачу у вигляді (7), (8), доведено лему про єдиність її розв’язку.

Наближений узагальнений розв’язок шукаємо у вигляді (9).

Встановлено оцінки (теореми, аналогічні теоремам 1, 2) для узагальненого розв’язку початково-крайової задачі та її наближеного узагальненого розв’язку.

Отримано відповідну задачу Коші вигляду (12), (13).

Для похибки , , встановлена оцінка, аналогічна (17), та оцінка вигляду (18).

Обмеження (21) можна розглядати як граничний випадок ( ) умови

, , . (23)

Показано, що замість початково-крайової задачі (1), (6), (21), (22) (задачі 1) з головною умовою спряження (21) можна розв’язувати задачу (1), (6), (22), (23) (задачу ), де умова спряження (23) – природна. При цьому для розв’язку , знайденого МСЕ, задачі і класичного розв’язку u(x,t) задачі 1 маємо

. (24)

Із використанням функцій розв’язано модельну задачу 1 та задачу . Значення відносної похибки для задачі 1 не перевищувало 7.1%, а для задачі – 5.4 при (при ).

У підрозділі 2.4 досліджено вісесиметричну задачу дифузії, яка в області

, , описується рівнянням

, . (25)

На кінцях відрізка задано змішані крайові умови, а в точці r= – неоднорідні умови спряження неідеального контакту

, , , (26)

, , . (27)

При t=0 задано початкову умову. Визначено класичний розв’язок. Узагальнена задача полягає у відшуканні функції , яка

задовольняє рівності

, (28)

, , (29)

де ,

, (30)

, , .

Доведено єдиність узагальненого розв’язку. Аналогічно тому, як це зроблено для попередніх задач, введено множини , та визначено наближений узагальнений розв’язок. Встановлено оцінки, аналогічні (10), (11).

Отримано задачу Коші вигляду (12), (13), яка розв’язується з використанням різницевої схеми Кранка - Ніколсона (14), (15).

Для похибки , , наближеного розв’язку, одержаного за допомогою множини і різницевої схеми Кранка - Ніколсона, отримано оцінки, аналогічні (17), (18).

З використанням функцій розв’язано модельну задачу. При цьому 5%.

Третій розділ присвячено дослідженню неусталених дифузійних процесів у двовимірних за просторовими змінними областях із тонкими включеннями.

У підрозділі 3.1 визначено відкриті, зв’язні строго ліпшицеві області , із ; , , – межа області , , – порожня множина; , , , – бокова поверхня циліндра , . Введено простори, деякі норми та напівнорми, необхідні для викладок матеріалу цього розділу.

У підрозділі 3.2 розглянуто задачу з неоднорідними умовами спряження трьохшарового тонкого включення, яка в області описується рівнянням

, (31)

де , , ; , , , , ; .

На границі задані змішані крайові умови

, , (32)

, , (33)

де , , ; , , , , , – зовнішня нормаль до Г.

На умови спряження трьохшарового тонкого включення мають вигляд

, (34)

, (35)

де – невід’ємні сталі, що одночасно не рівні нулю; , ;

, при , при ,

, , , – нормаль до , спрямована із в .

Початкова умова записується таким чином:

, . (36)

Дається означення класичного розв’язку задачі (31)–(36). Для знаходження узагальненого розв’язку введено до розгляду множини ,

, ,

.

Узагальнений розв’язок початково-крайової задачі (31)–(36) – функція , яка задовольняє рівності

, , (37)

, , (38)

де ,

.

Доведено лему про єдиність узагальненого розв’язку задачі (31)–(36).

Аналогічно до одновимірного випадку знаходиться наближений узагальнений розв’язок задачі (31)–(36) у вигляді

, . (39)

Лінійна множина функцій має базис , тобто

, , , . (40)

З а у в а ж е н н я 1. Якщо при кожному фіксованому на прямолінійних складових частини границі Г функція не є поліномом степеня не вище k, то, використовуючи класи функцій методу скінченних елементів, одержимо множину , що не є підмножиною .

Отримано задачу Коші

,t(0,T], (41)

, t=0, (42)

де M,K – симетричні та додатно означені матриці, , , , , , , , ,

, .

Теорема 5. Нехай u(x,t) – узагальнений розв’язок початково-крайової задачі (31)–(36), а U(x,t) – її наближений узагальнений розв’язок із . Тоді існують такі додатні сталі ,

що має місце нерівність

.(43)

Якщо для знаходження наближеного узагальненого розв’язку використовується МСЕ, а саме множина функцій , які для всіх

неперервні на та є повними поліномами степеня k змінних на кожному елементарному трикутнику скінченно-елементного розбиття областей

, показана справедливість наступного твердження.

Теорема 6. Якщо класичний розв’язок u(x,t) початково-крайової задачі (31)–(36) неперервний разом зі своїми частинними похідними , , (l=1,2) на кожній з областей і має неперервні частинні похідні , , , на (j=1,2), то для наближеного узагальненого розв’язку має місце оцінка

, (44)

де k – степінь поліномів МСЕ; при , – половина найбільшого з кутів усіх трикутників ; при , – найменший з кутів усіх трикутників ; – найбільша з довжин сторін всіх ,

.

Схема Кранка - Ніколсона має вигляд

, , (45)

, (46)

де , , , ,

, – наближений розв’язок задачі Коші (41), (42) на j-му часовому кроці.

Теорема 7. Нехай u(x,t) узагальнений розв’язок задачі (31)–(36), частинні похідні , , разом із – неперервні та обмежені на (j=1,2). Тоді існують додатні сталі , такі, що , для похибки наближеного розв’язку , , одержаного з використанням множини та різницевої схеми (45), (46), справедлива нерівність

.(47)

Теорема 8. Якщо класичний розв’язок u(x,t) початково-крайової задачі (31)–(36) досить гладкий на кожній з областей , , то для наближеного узагальненого розв’язку , отриманого за допомогою множини функцій МСЕ та різницевої схеми Кранка - Ніколсона (45), (46), має місце оцінка

, (48)

де множина , функція , h визначені в теоремі 6.

Розв’язана задача за допомогою МСЕ з використанням кусково-лінійних функцій. Відносна похибка чисельного розв’язку не перевищувала .

Підрозділ 3.3 присвячено задачі з неоднорідною головною умовою спряження. На області визначено рівняння (31), де , початкову умову (36), крайові умови (32), (33) та умови спряження

[u]=-, (49)

. (50)

Побудовано узагальнену задачу.

Наближений узагальнений розв’язок U(x,t) має вигляд (39).

З а у в а ж е н н я 2. Якщо функції (або одна з них) при кожному фіксованому не є поліноміальними на відповідних прямолінійних складових відрізків , , то, використовуючи класи функцій МСЕ, одержуємо множину , що не є підмножиною . У дисертаційній роботі описано процес побудови функції вигляду

. (51)

Отримано задачу Коші вигляду (41), (42).

Для узагальненого та наближеного узагальненого розв’язків одержано оцінки, аналогічні (43), (44).

Наближений розв’язок задачі Коші знаходиться за схемою (45), (46).

Для похибки також встановлено оцінки, аналогічні (47), (48).

При практичній реалізації обчислювальних алгоритмів врахування головних умов породжує певні незручності алгоритмічного характеру. Значно простіше враховувати природні умови, оскільки вони відображаються певними складовими відповідних функціоналів.

У дисертаційній роботі показана можливість врахування головної умови (49) природною умовою з малим параметром . Розглянуто задачу, що задана рівностями (31)–(33), (34), (50) та обмеженням

, , (52)

де – довільне дійсне додатне число. Отримано задачу (31)–(36), де , . При кожному фіксованому узагальнений розв’язок початково-крайової задачі (31)–(33), (36), (50), (52) – єдиний. Для нього оцінка збіжності має вигляд , де u – класичний розв’язок задачі (31)–(33), (36), (49), (50).

У підрозділі 3.4 досліджено квазілінійну задачу з умовами власного зосередженого джерела. В області визначено рівняння

. (53)

На границі задано умову Діріхле.

На умови спряження зосередженого власного джерела мають вигляд

[u]=0, t(0,T], (54)

,=const>0, t(0,T]. (55)

Коефіцієнти задовольняють умову Ліпшиця, обмежені та гладкі на , .

При t=0 початкова умова має вигляд (36).

Узагальнений розв’язок задовольняє рівняння (37), (38), де

, .

, .

Введено до розгляду відповідну множину .

Наближений узагальнений розв’язок початково-крайової задачі (53)–(55), (36) задовольняє рівності (37), (38), де замість функцій та записуються відповідно та , і

, .

Задача Коші має вигляд

, , (56)

, t=0 , (57)

де елементи матриці визначено у підрозділі 3.2, а елементи матриці та координати векторів , мають вигляд

, , ,

, , ,

.

Задача Коші розв’язується за допомогою різницевої схеми Кранка -Ніколсона, яка записується наступним чином:

, , (58)

, (59)

де , , , , ,

, ,

.

Для похибки встановлено оцінки, аналогічні до одержаних у теоремі 7.

Для наближеного розв’язку задачі Коші, знайденого з використанням

класу та різницевої схеми Кранка - Ніколсона, одержана оцінка, аналогічна встановленій в теоремі 8.

За допомогою запропонованих обчислювальних схем та класу функцій МСЕ розв’язана модельна задача. При цьому 7%.

У четвертому розділі розглянуто розроблений на основі поєднання математичного опису процесів у багатокомпонентних середовищах і об’єктно-орієнтованого програмування автоматизований комплекс НАДРА.

Комплекс НАДРА складається із системної компоненти, інтерфейсної складової та наступних підсистем: вводу геометричної інформації (ПВГІ); створення упорядкованих чотирикутних зон (ПЧЗ); скінченно-елементного розбиття (ПСЕР); вводу фізичних характеристик, характеристик зовнішнього впливу та тонких включень (ПВФП); формування систем алгебраїчних рівнянь методу скінченних елементів (ПФСАР); розв’язання систем алгебраїчних рівнянь методу скінченних елементів (ПРАЗ); виводу результату розв’язання системи алгебраїчних рівнянь методу скінченних елементів (ПВР).

Системна компонента комплексу НАДРА підтримує функціонування перерахованих вище підсистем. При створенні системи НАДРА застосовувалися прийоми об’єктно-орієнтованого програмування. Об’єктна модель системи НАДРА призначена для збереження інформації про геометрію області, фізичні параметри її елементів і скінченно-елементне розбиття у вигляді, найбільш зручному для створення графічного образу розв’язуваної задачі, а також для подальшої математичної обробки.

Функціональне і математичне забезпечення системи дозволяє задавати інформацію про розв’язувану задачу (геометричну, фізичну, про тонкі включення/тріщини, взаємодію об’єкта з оточуючим середовищем, скінченно-елементне розбиття) у зручному для користувача вигляді. В автоматизованому режимі система будує скінченно-елементне розбиття (у тому числі проводить перенумерацію вузлів з метою зменшення ширини стрічки ненульових елементів матриці МСЕ), визначає порядок матриці і ширину стрічки, утворену її діагоналями, що містять ненульові елементи, розв’язує відповідну задачу і подає результати розрахунків.

У підрозділі 4.13 наведена математична модель усталеного руху рідини в насичено-ненасичених грунтових зонах із смітника до р. Дніпро. За допомогою комплексу НАДРА проведено розрахунки сформульованої задачі та наведено їх результати. Отримані результати використано при оцінці впливу очисних споруд на навколишнє середовище, що підтверджено відповідним актом про впровадження.

ВИСНОВКИ

Основні наукові результати дисертаційної роботи полягають у наступному.

1. Побудовано математичні моделі неусталених процесів фільтрації рідини (нові класи початково-крайових задач), що описуються параболічними рівняннями з неоднорідними головними умовами спряження, нелінійними параболічними рівняннями з умовами зосередженого власного джерела; параболічними рівняннями з коефіцієнтами, що залежать від просторових та часової змінних з розривним розв’язком та розривним потоком.

2. Побудовані класичні узагальнені задачі, визначені на класах розривних функцій. Доведено єдиність узагальнених розв’язків таких задач.

3. З використанням класів розривних функцій МСЕ побудовано високоточні алгоритми знаходження наближених узагальнених розв’язків, доведено їх існування та єдиність. Отримано оцінки похибок наближених узагальнених розв’язків, що за порядком кроків дискретизації не гірші аналогічних, відомих для відповідних задач з гладкими розв’язками.

4. Розроблена методика заміни головної неоднорідної умови спряження природною з малим параметром .

5. Встановлено оцінки похибок збуреного розв’язку та наближеного збуреного розв’язку.

6. Для дискретизації відповідних задач Коші розроблено різницеві схеми Кранка - Ніколсона. За допомогою них та функцій МСЕ отримано оцінки похибок наближених розв’язків.

7. Побудовано об’єктну модель, на основі якої розроблено підсистеми вводу геометричної інформації про розв’язувану задачу та інформації про взаємодію об’єкта з оточуючим середовищем. Створено автоматизовану систему НАДРА для моделювання процесів в багатокомпонентних середовищах.

8. З використанням розробленої системи проведено чисельні експерименти та розв’язана практична задача.

Основні результати дисертації опубліковані у таких працях:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Калинюк Н.А. Моделі, обчислювальні алгоритми та автоматизація розрахунку неусталених процесів в багатокомпонентних середовищах. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2003.

У дисертаційній роботі запропоновано нові математичні моделі неуста-лених процесів дифузії, які відбуваються в багатокомпонентних (у тому числі грунтових) середовищах, що вміщують довільно орієнтовані у просторі тонкі включення або тріщини. Вони сформульовані у вигляді нових класів початково-крайових задач для рівнянь параболічного типу з неоднорідними умовами спряження. Для знаходження наближених узагальнених розривних розв’язків розглянутих задач побудовано обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності. Отримано оцінки похибок наближених узагальнених розв’язків МСЕ і оцінки похибок наближених узагальнених розв’язків, одержаних за допомогою різницевої схеми Кранка - Ніколсона та розривних функцій МСЕ. На основі розроблених обчислювальних алгоритмів з використанням засобів об’єктного програмування створено автоматизований комплекс НАДРА. Проведено обчислювальні експерименти, які підтверджують ефективність запропонованих алгоритмів. Розв’язана задача, що знайшла практичне використання.

Ключові слова: математичне моделювання, неусталена фільтрація, початково-крайова задача, багатокомпонентне середовище, тонке включення, високоточні алгоритми, автоматизована система.

Калынюк Н.А. Модели, вычислительные алгоритмы и автоматизация расчета неустановившихся процессов в многокомпонентных средах. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Институт кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2003.

В диссертационной работе рассмотрены новые математические модели неустановившихся процессов диффузии в многокомпонентных грунтовых средах с произвольно ориентированными в пространстве тонкими включениями или трещинами. Они сформулированы в виде новых классов начально-краевых задач для уравнений параболического типа с коэффициен-тами, зависящими от времени, и неоднородными условиями сопряжения. На основе использования классов разрывных функций получены эквивалентные обобщенные задачи. Доказаны леммы о единственности обобщенных решений рассмотренных задач. Для нахождения обобщенных разрывных решений построены вычислительные алгоритмы повышенного порядка точности. Получены оценки погрешности приближенных обобщенных решений. Для задач с неоднородными главными условиями сопряжения рассмотрена возможность замены главного условия естественным с малым параметром .

Разработанные математические модели и вычислительные алгоритмы послужили основой автоматизированного комплекса НАДРА, созданного на основе использования современных средств объектного программирования. Функциональность системы подтверждается результатами вычислительных экспериментов.

Полученные в диссертации результаты имеют теоретический и практический характер, могут быть использованы при разработке алгоритмов и программных продуктов для дальнейших исследований процессов в многокомпонентных средах.

Ключевые слова: математическое моделирование, неустановившаяся фильтрация, начально-краевая задача, многокомпонентная среда, тонкое включение, высокоточные алгоритмы, автоматизированная система.

Kalynyuk N.A. Models, Computation Algorithms and Automation of Calculations for Nonstationary Processes in Multicomponent Environments. –Manuscript.

Candidate of Phys. & Math Sci. Degree Thesis. Speciality 01.05.02 – Mathematical Modelling and Computation Methods. V.M. Glushkov Institute of Cybernetics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2003.

The thesis proposes new mathematical models of nonstationary diffusion processes running in multicomponent soil environments, that contain arbitrarily oriented in space thin inclusions or cracks. The proposed models are formulated as new classes of initial boundary-value problems for parabolic-type equations with heterogeneous conjugation conditions. To find approximated generalized discontinuous solutions to the considered problems, computation algorithms with a higher accuracy order are created. Estimates are obtained for errors of approximate generalized solutions, made by the finite-element method, and also estimates for errors of approximate solutions derived by the difference Krank-Nicholson scheme and discontinuous functions. The computer-aided NADRA system is built on the basis of the developed computation algorithms. Such system is aimed at investigation of the above-mentioned processes. Computational experiments are carried out. A problem is solved that has found its practical application.

Keywords: mathematical modelling, nonstationary filtration, initial boundary-value problem, multicomponent environment, thin inclusion, highly-accurate algorithms, computer-aided system.