КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

КАРНАУХОВА ОЛЬГА ВАСИЛІВНА

УДК 539.3

ПАРАМЕТРИЧНІ КОЛИВАННЯ В’ЯЗКОПРУЖНИХ

ШАРУВАТИХ ТОНКОСТІННИХ П’ЄЗОЕЛЕМЕНТІВ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

КИЇВ – 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Національному транспортному університеті,

Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник - доктор технічних наук, професор

Рассказов Олександр Олегович,

Національний транспортний університет, завідувач

кафедри теоретичної і прикладної механіки

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Григоренко Олександр Ярославович,

Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України,

провідний науковий співробітник;

кандидат фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Олійник Валерій Никифорович,

Інститут гідромеханіки НАН України,

старший науковий співробітник

Провідна установа - Інститут прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С.Підстригача НАН України, м. Львів

Захист відбудеться “9” 04 2003 p. о 14 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради К 26.001.21 у Київському національному

університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

03127, м. Київ, проспект Глушкова,2, корпус 7,

механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського

національного університету імені Тараса Шевченка

(м.Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий “6” 03 2003р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

кандидат фізико-математичних наук Кепич Т.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Шаруваті тонкостінні п’єзоелектричні елементи конструкцій знаходять широке застосування в багатьох галузях науки й техніки: в машинобудуванні, гідроакустиці, радіоелектроніці, обчислювальній техніці, дефектоскопії, в різноманітних технологічних процесах і т. п. Дуже часто на такі елементи діють гармонічні за часом механічні та електромагнітні навантаження. При деяких співвідношеннях між параметрами цього навантаження і фізичними та геометричними характеристиками елементів в них може мати місце втрата стійкості коливань, при цьому один режим коливань змінюється іншим. Наприклад, планарні коливання пластини стають нестійкими і в ній виникають інтенсивні згинні коливання, в результаті яких пластина може зруйнуватись через високий рівень напружень чи циклічну втому матеріалу. Тому дослідженню параметричних коливань тонкостінних елементів приділяється велика увага вчених-механіків. В останнє десятиріччя п’єзоелектричні елементи ефективно використовуються для контролю коливань тонкостінних елементів з пасивних (без п’єзоефекту) металічних і композитних матеріалів. В зв’язку з цим різко зросло коло питань, пов’язаних з вивченням впливу п’єзокомпонент на механічну поведінку тонкостінних елементів. Проведений дисертантом аналіз публікацій з цих питань свідчить, що незважаючи на велику кількість робіт з параметричних механічних коливань тонкостінних елементів, в існуючій на сьогодні літературі відсутні роботи, присвячені дослідженню параметричних коливань шаруватих в’язкопружних тонкостінних п’єзоелементів. Тому тема дисертаційної роботи є актуальною.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацію виконано згідно до комплексної теми досліджень “Розробка некласичних моделей фізико-механічних процесів та полів у шаруватих анізотропних середовищах”, яка виконувалась у Національному транспортному університеті згідно до Координаційного плану досліджень НАН України (№ держреєстрації 01970017548), а також згідно до теми “Дослідження теплових, статичних та динамічних напружено-деформованих станів реальних анізотропних середовищ та конструкцій” за планом досліджень Міністерства освіти і науки України (№ держреєстрації 02994000603). При виконанні цих науково-дослідних робіт автор розробив пакети прикладних програм і розв’язав коло задач про динамічну стійкість тонкостінних елементів.

Мета й задачі дослідження. Мета роботи полягає у встановленні закономірностей впливу спряженності механічних та електричних полів на параметричні коливання в’язкопружних шаруватих тонкостінних п’єзоелементів. Для її досягнення потрібно дати постановку задач про параметричні коливання в’язкопружних тонкостінних п’єзоелементів; розробити чисельно-аналітичні методи розв’язування крайових задач в рамках цих постановок; провести аналіз впливу основних факторів на головну область динамічної нестійкості тонкостінних п’єзоелементів.

Об’єкт дослідження - динамічна стійкість тонкостінних елементів.

Предмет дослідження - параметричні коливання шаруватих тонкостінних п’єзоелементів з врахуванням взаємодії механічних та електричних полів.

Методи дослідження. При розробці моделей параметричних коливань тонкостінних п’єзоелементів використовувався метод гіпотез; для розв’язування відповідних крайових задач використовувались аналітичні методи нелінійної механіки в поєднанні з методом Фур’є і чисельний метод скінченних елементів; дослідження впливу різних факторів проводилось шляхом аналізу результатів розв’язання конкретних задач.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати роботи стосуються дослідження параметричних коливань шаруватих в’язкопружних тонкостінних п’єзоелементів з врахуванням взаємодії механічних та електричних полів. В дисертації: 1) вперше розроблено нелі-нійні й лінеаризовані моделі, які описують параметричні коливання шаруватих в’язкопружних тонкостінних п’єзоелементів при електромеханічному гармонічному за часом навантаженні; 2) для випадку шарнірного закріплення торців вперше одержано аналітичні розв’язки задач про параметричні коливання прямокутної п’єзопластини, циліндричної п’єзоелектричної панелі та пологої п’єзооболонки довільної конфігурації; ці розв’язки мають самостійне значення і є еталонними для оцінки ефективності й достовірності результатів, одержаних чисельними методами; 3) вперше розроблено ефективний чисельно-аналітичний метод розв’язування лінеаризованих задач про параметричні коливання шаруватих пружних і в’язкопружних тонкостінних п’єзоелектричних елементів у вигляді пластин і оболонок, в основі якого лежить скінченно - елементний метод (СЕМ) для розв’язування лінеаризованих задач на власні числа; 4) вперше систематично досліджено вплив основних факторів – структурної неоднорідності, дисипативних властивостей матеріалів, механічних та електричних граничних умов, сил інерції, геометричної нелінійності – на параметричні коливання шаруватих тонкостінних п’єзоелементів.

Практичне значення одержаних результатів полягає в розширенні кола питань електромеханіки тонкостінних елементів при їх гармонічному навантаженні, в можливості

застосування цих результатів для оцінки ефективності роботи п’єзоелементів при їх проектуванні та експлуатації, зокрема при контролі параметричних коливань тонкостінних елементів із пасивних матеріалів шляхом оптимального розміщення п’єзошарів та зміни характеру електричних граничних умов; частина результатів використана при виконанні робіт за вищезгаданими державними темами, а також у навчальному процесі в Національному транспортному університеті.

Особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано десять наукових праць [1-10], в тому числі 5 – у наукових фахових виданнях [1-5]. Основні результати було отримано автором самостійно. В роботах, опублікованих у співавторстві, дисертантка одержала нелінійні й лінеаризовані співвідношення, які описують параметричні коливання шаруватих в’язкопружних тонкостінних п’єзоелементів, запропонувала методику розв’язування задач, побудувала алгоритм їх розв’язку, реалізувала цей алгоритм на персональному комп’ютері, одержала аналітичні розв’язки, розв’язала конкретні задачі й провела їх аналіз. Співавторам належить допомога в постановці задач та консультації при реалізації скінченно-елементного методу. Вони також брали участь в обговоренні результатів розрахунків та їх аналізі.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати досліджень за темою дисертації доповідались на наукових конференціях студентів Київського національного університету імені Тараса Шевченка (1994-1996р.р.), на наукових конференціях професорсько-викладацького складу Національного транспортного університету (1997 - 2001р.р.); на 3-ому міжнародному симпозіумі інженерів-механіків (Львів, 1997р.), на міжнародних конференціях “Modelling and investigation of systems stability” (Київ, 1997, 2001 р.р.), на 5-ій Міжнародній конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів–Луцьк, 2000р.), на Міжнародній науково-практичній конференції “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (Донецьк, 2001р.). Дисертаційна робота в цілому обговорювалась на науковому міжкафедральному семінарі Національного транспортного університету (2002р.), сумісному науковому семінарі НАН України і Київського національного університету імені Тараса Шевченка “Сучасні проблеми механіки” (2002р.), а також на засіданні кафедри теоретичної і прикладної механіки механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2002р.).

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 10 наукових статтях [1-10], в тому числі 6 - у наукових журналах [1-5,8], 1 – в збірнику наукових праць [6], 3 – в тезах конференцій [7,9,10].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, 5 розділів, висновків та списку використаної літератури. Загальний обсяг дисертації становить 146 сторінок, в тому числі ілюстрації займають 22 сторінки (28 ілюстрацій), таблиці - 6 сторінок (6 таблиць), бібліографічний список із 96 найменувань на 9 сторінках.

Автор вдячний своєму науковому керівникові доктору технічних наук, професору О.О.Рассказову за постійну увагу до роботи, доктору фізико-математичних наук В.І.Козлову за наукові консультації при реалізації скінченно-елементного методу.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подається загальна характеристика дисертаційної роботи. Зокрема, обгрунтовується актуальність її теми, сформульована мета дослідження, визначені новизна та практичне значення отриманих результатів. Вказано на зв’язок роботи з науковими темами, наведено публікації автора, в яких викладено основний її зміст.

В першому розділі подано огляд наукових праць за темою дисертації. Починаючи з робіт Н.М.Беляєва, дослідженню параметричних коливань пружних стержнів, пластин й оболонок приділялась велика увага вчених-механіків. Результати цих досліджень узагальнено в оглядових статтях, монографіях і довідниках Є.А.Бейліна, А.Є.Богдановича, В.В. Болотіна, Г.Ю.Джанелідзе, Г.Шмідта, R.M.Evan - Ivanovski, E.Metler та ін. Перші результати з параметричних коливань в’язкопружних стержнів одержано в роботах В.І.Матяша, K.K.Stevens, а перші результати з параметричних коливань анізотропних циліндричних оболонок з врахуванням в’язкопружних властивостей матеріалу та геометричної нелінійності - в роботах А.Є.Богдановича. Досягнення останніх років з цих питань відображено в роботах В.В.Болотіна, А.Т.Василенка, В.Д.Кубенка, П.С.Ковальчука, R.Mao, F.W.Williams, A.A.Popov, J.M.J.Thomson, F.A.Mc. Robic та ін. Проте в усіх відомих на сьогодні роботах параметричні коливання досліджувались без врахування взаємодії механічних та електричних полів. Але внутрішня логіка розвитку механіки й потреби практики привели до необхідності розробки моделей коливань тонкостінних п’єзоелементів з врахуванням такої взаємодії при дослідженні параметричних коливань. Фундаментальні результати з електромеханіки тонкостінних пружних елементів одержано в роботах В.Т.Грінченка, А.Ф.Улітка та їх учнів. В них на основі аналізу розв’язків елементарних задач класичні гіпотези Кірхгофа- Лява були доповнені адекватними їм гіпотезами для електричних польових величин і на основі цих узагальнених гіпотез були побудовані моделі одношарових тонкостінних п’єзопластин і оболонок. Моделі пружних шаруватих п’єзооболонок з використанням класичних гіпотез Кірхгофа- Лява й уточнених гiпотез типу Тимошенка були побудовані в роботах Б.О.Кудрявцева, В.З.Партона, Н.Д.Сеніка, Ю.Б.Євсейчика, С.І. Рудницького, М.О.Шульги й ін. Проте в існуючій на сьогодні літературі відсутні роботи, в яких було б проведено систематичне дослідження параметричних коливань шаруватих в’язкопружних тонкостінних п’єзоелементів при механічних та електричних збудженнях.

В другому розділі представлено нелінійні та лінеаризовані співвідношення (моделі), які описують параметричні коливання шаруватих в’язкопружних тонкостінних п’єзоелементів. Для моделювання таких процесів використано універсальні співвідношення механіки й електростатики - рівняння руху, кінематичні співвідношення, рівняння електростатики, механічні й електричні граничні умови. При цьому приймаються такі гіпотези: оболонка складена з довільного числа пасивних (металічних, полімерних, композитних) та поляризованих по товщині п’єзоактивних шарів; деформації – малі, проте враховуються квадрати кутів повороту; матеріали шарів вважаються лінійно в’язкопружними; використовуються механічні гіпотези Кірхгофа-Лява та додаткові гіпотези про розподіл електричних польових величин; докритичний стан вважається гармонічним за часом та безмоментним. В результаті використання цих гіпотез рівняння стану запишуться у вигляді

(1)

Тут зірочка означає інтегральний оператор Вольтера:

Операторні характеристики жорсткості є сумою операторних характеристик жорсткості пасивних і активних шарів, а виражаються через операторні характеристики матеріалів і задані на електродах потенціали. Врахування взаємодії механічних та електричних полів змінює ці характеристики. В універсальних кінематичних співвідношеннях та рівняннях руху враховуються нелінійні члени, пов’язані з кутами повороту. Ці нелінійні рівняння наведено, наприклад, в монографії Я.М.Григоренка, М.М.Крюкова. Одержано нелінійні й лінеаризовані рівняння технічної теорії п’єзооболонок, які узагальнюють рівняння Муштарі-Донелла-Власова на випадок, коли враховується взаємодія механічних та електричних полів. В цьому ж розділі, як окремий випадок, представлено визначальні рівняння тришарової оболонки, яка складається з середнього пакету пасивних шарів і приєднаних до нього активних пакетів. Розглянуто випадки, коли середній пакет є ортотропним металічним або діелектричним (наприклад, композитним на полімерній основі), а також різні варіанти розміщення нескінченно тонких електродів на поверхнях контакту пакетів. Жорсткістні характеристики визначальних рівнянь залежать від наявності чи відсутності електродів між пасивним і п’єзоактивним шарами. На закінчення цього розділу представлено постановку задач про параметричні коливання механічно навантажених оболонок з розімкнутими та коротко - замкнутими електродами.

В третьому розділі представлено аналітичні розв’язки задач про параметричні коливання шаруватих, зокрема тришарових, в’язкопружних п’єзоелектричних прямокутних пластин, пологих оболонок довільної конфігурації та циліндричних панелей. Вважається, що торці п’єзоелементів шарнірно закріплені. Ці аналітичні розв’язки одержано з використанням методів нелінійної механіки – методів осереднення, гармонічного балансу та Фур’є. В першому наближенні всі ці методи дають однакові результати. Як відомо з механіки тонкостінних елементів, врахування в’язкості приводить до того, що критичний параметр збудження (в подальшому будемо називати його мінімальним критичним зусиллям - МКЗ) різко зростає з номером області динамічної нестійкості (ОДН). Тому практичне значення має лише перша (головна) ОДН. В зв’язку з цим основна увага зосереджена на дослідженні головної ОДН (ГОДН). Показано, що розв’язання відповідних лінеаризованих задач про параметричні коливання п’єзоелементів може бути зведено до розв’язку задачі на власні числа попередньо навантажених пластин та оболонок та задачі про їх статичну стійкість з заміною дійсних частин комплексних характеристик на уявні при визначенні мінімального критичного зусилля. Методику дослідження параметричних коливань тонкостінних елементів розглянемо на прикладі задачі для прямокутної п’єзопластини, складеної з пакетів пасивних ортотропних і пакетів п’єзоактивних шарів, розділених внутрішніми нескінченно тонкими електродами. На зовнішні п’єзоактивні шари також нанесено нескінченно тонкі електроди. До електродів підведена різниця потенціалів, що змінюється за гармонічним законом. Між деякими пакетами електроди можуть бути відсутні. Вважається, що п’єзопластина має симетричну відносно серединної поверхні структуру. При нульових тангенціальних зміщеннях на торцях пластини її безмоментний докритичний квазістатичний стан визначається за формулами

. (2)

Для шарнірного закріплення торців маємо крайову задачу:

(3)

(4)

Для розв’язку крайової задачі (3)-(4) застосуємо два підходи. Перший з них – традиційний і поля-гає в представленні розв’язку виразом, який автоматично задовольняє граничним умовам (4),

. (5)

Використовуючи метод Бубнова-Гальоркіна й представлення (5), з рівняння (3) одержимо узагальнене інтегро-диференціальне рівняння Матьє

(6)

(7)

Для розв’язування рівняння (6) застосовано вищезгадані методи нелінійної механіки й одержано формули, які дають інформацію про межі ОДН. Вплив електричного поля на ОДН враховується тим, що в характеристики жорсткості входять члени з електричними властивостями матеріалів. В зв’язку зі вказаним вище характером впливу в’язкості, в подальшому основна увага зосереджена на дослідженні ГОДН. Оскільки на межі ГОДН має місце гармонічний режим коливань, для розв’язку крайової задач (3)-(4) можна застосувати другий підхід, наближено представивши прогин у вигляді

. (8)

Підстанляючи (8) в (3) і прирівнюючи коефіцієнти при однакових гармоніках, матимемо крайову задачу на власні числа

(9)

(10)

(11)

а оператор одержимо з оператора заміною на і на 0. Тут де - косинус і синус – перетворення Фур’є ядер інтегральних операторів

Розв’язок задачі у вигляді (5) дає формули, з яких визначаються межі ГОДН, (12)

З формули (12) видно, що МКЗ, при досягненні якого виникають параметричні коливання, визначається за формулою

, (13)

тобто для визначення МКЗ необхідно розв’язати задачу про статичну стійкість пластини з заміною дійсних складових комплексних характеристик на уявні. Формули (12)-(13) співпадають з формулами, одержаними з використанням першого підходу. Якщо в’язкість відсутня, задача зводиться до двох задач на власні числа для

(14)

з граничними умовами (10). Тут оператор одержуємо з оператора (11) заміною на

Аналогічні аналітичні розв’язки одержано для пологих п’єзооболонок та циліндричних панелей. На закінчення цього розділу наведено аналітичні розв’язки задач для випадку, коли зга-дані вище п’єзоелементи навантажені механічними гармонічними за часом зусиллями. Розв’язки одержано для двох крайніх випадків, коли електроди розімкнуті та коли вони коротко-замкнуті.

В четвертому розділі представлено розроблені в дисертації чисельно – аналітичні методи розв’язування лінеаризованих та нелінійних задач, які описують параметричні коливання шаруватих, зокрема тришарових, пружних і в’язкопружних п’єзоелектричних тонкостінних елементів при електричному та механічному навантаженнях. Для розв’язування вказаних вище задач на власні числа розроблено методику з використанням СЕМ. Для цього подано варіаційне формулювання згаданих задач електромеханіки для оболонок обертання із застосуванням рівнянь Лагранжа. Розв’язок варіаційної задачі знаходиться СЕМ з використанням дванадцяти- та шістнадцяти-вузлових ізопараметричних елементів. Як глобальна система координат, в якій об’єднуються всі скінченні елементи, використовується ортогональна циліндрична система координат Апроксимуючи зусилля кубічними поліномами, для визначення компонент вектора зміщень одержимо систему інтегро-диференціальних рівнянь другого порядку з періодичними коефіцієнтами відносно функцій часу в матричному вигляді

(15)

Значення зусиль у відповідних вузлових точках є періодичними функціями з періодом . Представлення розв’язку у вигляді, аналогічному (8), дозволяє задачу розрахунку ГОДН звести до розв’язування узагальненої задачі на власні числа. Для пружного матеріалу вона має вигляд

(16)

Для розрахунку власних чисел і власних векторів при заданих зусиллях використано алгоритм, який базується на методі хорд. Для визначення власних чисел реалізовано метод половинного ділення інтервалу, в якому знаходиться власне значення . Якщо зусилля то задача (16) – це задача про визначення власних частот і форм коливань пружної оболонки. Якщо ж , то матричне рівняння (16) дозволяє визначити критичне зусилля і форми втрати стійкості. Для дослідження ефективності й точності СЕМ при розв’язуванні задач електромеханіки проведено порівняння відомих аналітичних і СЕМ розв’язків задач про коливання конічної оболонки з жорстко закріпленими торцями. Аналітично розв’язана аналогічна задача про власні коливання циліндричної панелі з шарнірним закріпленням її торців. Результати порівняння розрахунків з використанням аналітичних і СЕМ розв’язків свідчать про високу точність розробленого варіанту методу скінченних елементів – співпадає чотири - п’ять значущих цифр. На закінчення цього розділу описано методи дослідження параметричних коливань п’єзоелементів з врахуванням геометричної нелінійності. Як і в чисто механічній задачі, в основу покладено метод Бубнова-Гальоркіна, за допомогою якого для стандартного лінійного в’язкопружного тіла задача зведена до нелінійного диференціального рівняння. Для дослідження поведінки розв’язку цього рівняння використано ітераційну процедуру, яка зводить вихідну задачу до знаходження показників Ляпунова лінеаризованих на кожній ітерації задач. При збільшенні кількості ітерацій ці показники прямують до деякої границі, яка дає інформацію про поведінку розв’язку нелінійного рівняння. Достовірність одержаних результатів може бути перевірена шляхом порівняння одержаних таким чином результатів з результатами розв’язку задачі прямим чисельним інтегруванням методом Рунге-Кутта.

В п’ятому розділі на основі розроблених моделей і методів розв’язано конкретні задачі і шляхом аналізу числових результатів досліджено вплив основних факторів на параметричні коливання шаруватих в’язкопружних тонкостінних п’єзоелементів. Основна увага при цьому зосереджена на дослідженні меж ГОДН. Досліджено вплив структурної неоднорідності, дисипативних електромеханічних властивостей матеріалів, механічних та електричних граничних умов і сил інерції в докритичному стані на ГОДН. Всі розрахунки проведено для пластин й оболонок, складених з однаково поляризованих зовнішніх шарів п’єзокераміки типу ЦТСтБС-2 і внутрішнього дюралюмінієвого шару. Представлені в роботі числові результати розрахунку першої згинної резонансної частоти і МКЗ для тришарових пластин та циліндричних панелей в залежності від товщини внутрішнього шару, які одержано з використанням аналітичного й скінченно-елементного розв’язків, свідчать про високу точність і ефективність розробленого варіанту СЕМ.

На рис. 1 дано порівняння результатів розрахунків мінімальної власної частоти згинних коливань тришарової п’єзопластини з шарнірним (крива 1) і жорстким (крива 3) закріпленням торців в залежності від товщини середнього пасивного шару. На цьому ж рисунку представлено результати розрахунків МКЗ для шарнірного (крива 2) і жорсткого (крива 4) закріплення торців в залежності від товщини пасивного шару. Нагадаємо, що власна частота характеризує положення ГОДН на частотній осі для пружного матеріалу, а МКЗ – зсув цієї області по осі ординат. При значеннях зусиль, менших від МКЗ, згинні коливання відсутні. Головні області динамічної нестійкості шарнірно закріпленої тришарової пластини (криві 1) і пластини з жорстким закріпленням торців (криві 2) представлено на рис.2. Тут по осі абсцис відкладено значення частоти збудження, а по осі ординат - безрозмірний параметр Аналогічні результати одержано для тришарової циліндричної п’єзопанелі з шарнірно та жорстко закріпленими торцями. Для дослідження впливу електричних граничних умов розгляну-

Рис. 1 Рис. 2

то параметричні коливання тришарової п’єзопластини й циліндричної п’єзопанелі, навантажених механічними двосторонніми зусиллями однакової інтенсивності, для двох випадків електричних граничних умов, коли електроди розімкнуті і коли вони коротко-замкнуті. Вивчено сумісний вплив структурної неоднорідності, механічних та електричних граничних умов на мінімальну власну частоту та мінімальне критичне зусилля тришарових п’єзопластини та циліндричної п’єзопанелі. На рис.3 показано вплив електричних граничних умов на мінімальну власну частоту згинних коливань тришарової п’єзопластини з шарнірним (криві 1,2) і жорстким (криві 1’, 2’) закріпленням торців. Тут криві 1,1’відповідають коротко- замкнутим, а криві 2,2’- розімкнутим електродам.

.

Рис. 3 Рис. 4

На рис.4 показано вплив електричних граничних умов на МКЗ тієї ж пластини. Тут прийнято ті ж позначення, що і на рис.3. Аналогічні результати одержано і для тришарової циліндричної п’єзопанелі. Як видно з наведених числових результатів, механічні й електричні граничні умови можуть суттєво вплинути на ГОДН. Досліджено параметричні коливання тришарової конічної п’єзооболонки такої ж структури, як і циліндрична п’єзооболонка. Її торці вважаються жорстко закріпленими, а докритичний стан – безмоментним. Для дослідження впливу сил інерції на ГОДН одержано аналітичний розв’язок задач про параметричні коливання п’єзостержня прямокутного поперечного перерізу з поздовжньою та товщинною поляризацією. Наведено формули, з яких визначаються границі ГОДН та точки, в яких дві області динамічної нестійкості зливаються в одну. Можливість збудження параметричних коливань біля власної частоти поздовжніх коливань не може бути виявлена, якщо вважати докритичний стан квазістатичним.

Вплив геометричної нелінійності досліджено на прикладі задачі про параметричні коливання стержня прямокутного поперечного перерізу, до поверхневих електродів якого підведена гармонічна за часом різниця потенціалів. Результати представлено у вигляді графіків, які ілюструють вплив параметрів в’язкості, геометричної нелінійності та навантаження на параметричні коливання в закритичній області, коли величина параметра навантаження перевищує мінімальне критичне зусилля, знайдене з лінеаризованої теорії. Показано, що в закритичній області збільшення параметра в’язкості стабілізує рух (амплітуда коливань зменшується), а зі зменшенням параметра геометричної нелінійності й з ростом параметра навантаження рух дестабілізується (амплітуда коливань збільшується).

ВИСНОВКИ

У дисертації розроблено математичні моделі та методи дослідження параметричних коливань тонкостінних в’язкопружних п’єзоелементів і на їх основі шляхом аналізу розв’язків конкретних задач досліджено вплив основних факторів на динамічну стійкість п’єзоелектричних стержнів, пластин та оболонок обертання. Основні результати роботи полягають в наступному:

1. Для дослідження параметричних коливань тонкостінних п’єзоелементів у закритичній області та встановлення закономірностей впливу спряженності полів і дисипації на головну область динамічної нестійкості з використанням рівнянь стану лінійної в’язкопружності, гіпотез Кірхгофа-Лява та адекватних їм гіпотез відносно електричних польових величин розроблено геометрично нелінійні й лінеаризовані моделі параметричних коливань шаруватих в’язкопружних тонкостінних п’єзоелементів з товщинною попередньою поляризацією з врахуванням взаємодії механічних та електричних полів і дисипативних властивостей матеріалів.

2. На основі методів нелінійної механіки знайдено аналітичні розв’язки задач про параметричні коливання шаруватих в’язкопружних тонкостінних прямокутних п’єзопластин, прямокутних в плані пологих п’єзооболонок і циліндричних п’єзопанелей з шарнірним закріпленням торців. Вони дозволили оцінити точність й ефективність чисельних методів дослідження параметричних коливань тонкостінних п’єзоелементів.

3. Показано, що розрахунок головної області динамічної нестійкості в’язкопружних п’єзоелементів може бути зведено до узагальненої задачі на власні числа, а дослідження положення головної області нестійкості на частотній осі й розрахунок мінімального критичного зусилля – до розв’язку задачі на власні числа попередньо навантажених пластин та оболонок і задачі про їх статичну стійкість з заміною дійсних частин комплексних характеристик на уявні при визначенні мінімального критичного зусилля.

4. На основі скінченно-елементного методу розроблено ефективну методику розв’язку лінеаризованих задач про параметричні коливання шаруватих в’язкопружних тонкостінних п’єзоелементів. Проведено порівняння скінченно-елементних і аналітичних розв’язків, яке свідчить про високу точність, ефективність і достовірність розробленої методики розв’язку лінеаризованих задач про параметричні коливання п’єзоелементів.

5. На основі розроблених моделей та методів дослідження параметричних коливань шаруватих в’язкопружних тонкостінних п’єзоелементів розв’язано конкретні задачі та досліджено вплив структурної неоднорідності, дисипативних електромеханічних властивостей матеріалів, механічних та електричних граничних умов, сил інерції на головну область динамічної нестійкості п’єзоелементів. Показано, що вказані фактори можуть суттєво вплинути на головну область динамічної нестійкості – її положення на частотній осі, ширину та мінімальне критичне зусилля.

6. На прикладі задачі про параметричні коливання в’язкопружного п’єзостержня зі стандартного лінійного тіла досліджено сумісний вплив параметрів в’язкості, геометричної нелінійності та навантаження на його поведінку в закритичній області, коли параметр навантаження перевищує мінімальне критичне зусилля. Встановлено, що в закритичній області збільшення параметра в’язкості стабілізує рух (амплітуда коливань зменшується), а зі зменшенням параметра геометричної нелінійності й з ростом параметра навантаження рух дестабілізується (амплітуда коливань збільшується).

Достовірність основних наукових положень і отриманих результатів забезпечується вико-ристанням теоретично й експериментально обґрунтованих рівнянь стану пасивних і п’єзоактивних матеріалів та гіпотез щодо розподілу електромеханічних польових величин по товщині тонкостінних елементів, застосуванням ефективних чисельно-аналітичних методів дослідження параметричних коливань, що підтверджено порівнянням результатів розрахунків з використанням аналітичних і скінченно-елементних розв’язків.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1. П’ятецький В.О., Карнаухова О.В. Параметричні коливання тонкостінних елементів з п’єзоелектричних матеріалів//Вісник Київського університету. Серія фізико-математичних наук. - 1995. – С.136-146.

2. П’ятецький В.О., Карнаухова О.В. Параметричні коливання тонкостінних елементів з в’язкопружних п’єзоелектричних матеріалів//Вісник Київського університету. Серія фізико-математичних наук. - 1996. – С.77-88.

3. Пятецкий В.А., Карнаухова О.В. Исследование параметрических колебаний вязкоупругого пьезоэлектрического стержня с учетом геометрической нелинейности// Прикл. механика. - 1998.- Т.34, №11. - С. 92-94.

4. Рассказов А.О., Козлов В.И., Карнаухова О.В. Параметрические колебания слоистых пьезопластин//Теоретическая и прикладная механика. – Выпуск 33. – Харьков, Основа. – 2001. – С. 169-174.

5. Карнаухова О.В., Рассказов А.О., Козлов В.И. Параметрические колебания трехслойных пьезоэлектрических оболочек вращения//Акустичний вісник. – Інститут гідромеханіки НАН України. – Т. 4, №1. – 2001. – С. 31 – 43.

6. Рассказов Олександр, Карнаухова Ольга. Вплив електричних граничних умов на параметричні коливання п’єзоелектричного стержня// Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. Т.2. – Львів: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім.Я.С.Підстригача НАНУ. – 2000. – С.252-254.

7. Василь П’ятецький, Ольга Карнаухова. Параметричні коливання тонкостінних елементів з в’язкопружних п’єзоелектричних матеріалів// 3-й міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у Львові. Тези доповідей. –Львів: Мін. освіти України. - 1997р. – С..237-238.

8. Рассказов О.О., Карнаухова О.В. Параметричні коливання в’язкопружних шаруватих тонкостінних п’єзоелементів//Вісник НТУ і ТАУ. – 2001. - №5. – С. 332-336.

9. Пятецкий В.А., Карнаухова О.В. Динамическая устойчивость вязкоупругого стержня с учетом геометрической нелинейности// Theses of International conference “ Modelling and investigation of systems stability”. – Kyiv. - 1997. – P.112.

10. Карнаухова О.В. Моделирование параметрических колебаний слоистых вязкоупругих

тонкостенных элементов// Theses of International conference “Modelling and investigation of systems stability”. – Kyiv. - 2001. – P.283.

АНОТАЦІЯ

Карнаухова О.В. Параметричні коливання в’язкопружних шаруватих тонкостінних п’єзоелементів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2003.

В дисертації на основі гіпотез Кірхгофа - Лява й адекватних їм гіпотез про розподіл по товщині електричних польових величин побудовано нелінійні й лінеаризовані математичні моделі параметричних коливань шаруватих в’язкопружних тонкостінних п’єзоелементів, складених із пасивних і п’єзоактивних шарів. Одержано аналітичні розв’язки лінеаризованих задач про параметричні коливання шаруватих пружних і в’язкопружних прямокутних п’єзопластин, прямокутних у плані пологих п’єзооболонок та циліндричних п’єзопанелей з шарнірним закріпленням їх торців. Розроблено скінченно-елементні методи дослідження головних областей динамічної нестійкості параметричних коливань п’єзопластин і оболонок обертання. На основі розроблених моделей та методів розв’язано конкретні задачі і шляхом аналізу числових результатів досліджено вплив структурної неоднорідності, дисипативних властивостей матеріалів, механічних та електричних граничних умов, сил інерції в докритичному стані та геометричної нелінійності на динамічну стійкість п’єзоелементів.

Ключові слова: параметричні коливання, шаруваті п’єзоелементи, в’язкопружність, метод скінченних елементів.

АННОТАЦИЯ

Карнаухова О.В. Параметрические колебания вязкоупругих слоистых тонкостенных пьезоэлементов. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченка, Киев, 2003.

В диссертации на основе линейных моделей вязкоупругости и нелинейных кинематических соотношений, учитывающих квадраты углов поворота, с использованием гипотез Кирхгоффа – Лява и адекватных им гипотез о распределении по толщине оболочки электрических полевых величин разработаны нелинейные и линеаризированные модели параметрических колебаний слоистых вязкоупругих тонкостенных элементов, составленных из пассивных и поляризованных по толщине пьезоактивных вязкоупругих слоев. С использованием двух подходов получены аналитические решения линеаризированных задач о параметрических колебаниях прямоугольной пьезопластины, прямоугольной в плане пологой пьезооболочки и цилиндрической пьезопанели с шарнирным закреплением их краев. Первый подход – традиционный, когда решение представляется через собственные функции, в результате чего получаем обобщенное интегро-дифференциальное уравнение Матье. Учитывая гармоничность режима колебаний на границе области динамической неустойчивости, для его решения интегральный оператор заменяется моделью Фойгта, коэффициенты которого определяются на основе методов нелинейной механики – метода гармонического баланса, асимптотического метода усреднения и метода Фурье. Все эти методы дают одни и те же результаты. Второй подход основан на представлении решения моногармоническим во времени приближенным выражением. Для амплитуд этого выражения получаем обобщенную краевую задачу на собственные значения предварительно нагруженного пьезоэлемента. Для шарнирного закрепления торцов решение этой краевой задачи дает формулы для определения границ главной области динамической неустойчивости, которые совпадают с формулами, полученными на основе первого подхода. Для других типов граничных условий (например, жесткого закрепления) применение первого подхода встречает значительные трудности. Для решения краевой задачи на собственные значения, полученной при использовании второго подхода, предлагается использовать метод конечных элементов для оболочек вращения. Представлена вариационная формулировка указанной краевой задачи. Для решения вариационной задачи использованы двенадцати- и шестнадцати-узловые конечные элементы. В результате исходная задача сводится к системе интегро-дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Представляя ее решение одночленным моногармоническим приближением, находим границы главной области динамической неустойчивости. В рамках этого приближения минимальное критическое усилие, при достижении которого имеют место изгибные колебания, находится из решения задачи о статической устойчивости тонкостенного пьезоэлемента с заменой действительных составляющих комплексных характеристик на мнимые. Для упругого случая задача распадается на две отдельные задачи на собственные колебания предварительно нагруженного пьезоэлемента. Минимальная собственная частота изгибных колебаний в рамках упругой постановки дает информацию о положении области динамической неустойчивости на частотной оси, а минимальное критическое усилие – информацию о сдвиге главной области вдоль оси параметра возбуждения. Для апробации предложенного подхода решены задачи о собственных колебаниях усеченной конической оболочки с жестким закреплением торцов и задача о собственных колебаниях цилиндрической панели с шарнирным закреплением торцов. Обе эти задачи имеют аналитическое решение. Сравнение результатов расчетов с использованием аналитических и конечно-элементных решений свидетельствует о высокой точности разработанного варианта конечного элемента. С использованием разработанных моделей и методов решения исследованы параметрические колебания трехслойных пьезопластин, цилиндрических и конических пьезооболочек с различным типом граничных условий. Исследовано влияние структурной неоднородности, диссипативных электромеханических свойств материалов, механических и электрических граничных условий. Для исследования сил инерции в докритическом состоянии решена задача о параметрических колебаниях стержня прямоугольного поперечного сечения, один торец которого жестко защемлен, а другой – свободен. Рассмотрены два типа предварительной поляризации – толщинная и продольная. Для выяснения характера движения в закритической области, когда параметр нагружения превышает минимальное критическое значение, найденное из линеаризированной задачи, исследованы параметрические колебания пьезостержня прямоугольного поперечного сечения с поперечной поляризацией. Предполагается, что стержень изготовлен из вязкоупругого материала, поведение которого описывается моделью стандартного линейного тела. Для шарнирного закрепления торцов стержня задача сведена к нелинейному дифференциальному уравнению третьего порядка. Оно решается с помощью итерационной процедуры, определяющей наибольший показатель Ляпунова. Исследовано влияние параметров вязкости, геометрической нелинейности и нагружения на характер движения стержня.

Ключевые слова: параметрические колебания, слоистые пьезоэлементы, вязкоупругость, метод конечных элементов.

SUMMERY

Karnaukhova O.V. Parametric vibrations of viscoelastic layered thin-walled piezoelements. - Manuscript.

Dissertation for Candidate of Sciences Degree in Physics and Mathematics by the speciality 01.02.04 - mechanics of deformable solids. - Taras Shevchenko National University, Kyiv, 2003.

In the dissertation on the basis of Kirchoff-Love hypotheses and adequate assumptions for electrical field quantities the nonlinear and linearizated mathematical models of parametric vibrations of layered viscoelastic thin-walled piezoelements made from passive and piezoactive layers are developed. The analytical solutions of linearizated problems of parametric vibrations of layered elastic and viscoelastic rectangular piezoplates, slope piezoshells and cylindrical piezopanels with simply supported of the edges are obtained. The finite element methods of investigation of main areas of dynamic instability of parametric vibrations of piezoplates and revolution piezoshells are developed. On the basis of developed models and methods and received analytical and numerical solutions the influence of structure’s inhomogeneity, material dissipative properties, mechanical and electrical boundary conditions, inertia forces and geometrical nonlinearity on dynamic stability are investigated.

Key words: parametric vibrations, layered piezoelements, viscoelastisticity, finite element method.