dgg
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
КАЧАН ЮЛІЯ БОРИСІВНА
УДК 539.3
ДВОВИМІРНА ЗАДАЧА ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ
ДЛЯ КУСКОВО-ОДНОРІДНИХ ТІЛ З ОТВОРАМИ
ТА ТРІЩИНАМИ
01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Донецьк – 2003
Дисертація є рукопис.
Робота виконана у Донецькому національному університеті, Міністерство освіти і науки
України
Науковий керівник – доктор фізико-математичних наук, професор
Калоєров Стефан Олексійович,
Донецький національний університет
Офіційні опоненти – доктор фізико-математичних наук, професор
Камінський Анатолій Олексійович,
Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України,
завідувач відділу механіки руйнування матеріалів
доктор фізико-математичних наук, професор
Фільштинський Леонід Антшелович,
Сумський державний університет,
завідувач кафедри прикладної математики та механіки
Провідна установа – Львівський національний університет ім. Івана Франка,
кафедра механіки та інформаційних систем, м. Львів
Захист відбудеться “12” травня 2003 р. о 1415 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.051.05 при Донецькому національному університеті за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, головний корпус, математичний факультет, ауд. 603.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Донецького національного університету (83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24).
Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, Донецький національний університет, вченому секретарю спеціалізованої ради К 11.051.05.
Автореферат розісланий “10” квітня 2003 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Мисовський Ю.В.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. В багатьох галузях сучасної промисловості, в будів-ництві, гірничій справі, машинобудуванні та інших широко використовуються складні конструкції, елементи яких по технічним міркуванням мають отвори, а по технологічним та експлуатаційним причинам містять додаткові концентратори напружень типу тріщин.
Під дією зовнішніх зусиль в таких елементах конструкцій виникають високі концентрації напружень, які можуть привести до їх руйнування. Тому зазначені концентратори доводиться підкріплювати пружними або жорсткими включеннями. Всі ці фактори необхідно враховувати при розрахунку конструкцій на міцність.
У зв’язку з цим виникає необхідність розробки методів визначення напружно-деформівного стану (НДС) багатозв’язного тіла та напівпростору з отворами, тріщинами та включеннями, які дозволяють знаходити не тільки коефіцієнти інтенсивності напружень (КІН) для вершин концентраторів напружень, але й напруження, деформації та щільність потенційної енергії в будь-якій точці тіла або напівпростору. Тому розробка високоефективних методів визначення напружно-деформівного та гранично-рівноважного станів багатоз-в’язних кусково-однорідних тіла та напівпростору є однією з актуальних проблем теорії та практики розрахунків на міцність елементів різних конструкцій. Розв’язку деяких проблем цієї галузі і присвячена дана дисертаційна робота.
Метою дисертації є вивчення впливу геометричних характеристик та пружних властивостей тіла та напівпростору з отворами, тріщинами та включеннями на напружно-деформівний та гранично-рівноважний їх стан, встановлення закономірностей його якісних та кількісних змін. Для досягнення цієї мети необхідно було
-
розробити і розвинути математичні методи розв’язання загальної двовимірної задачі теорії пружності для багатозв’язного кусково-однорідного тіла і напівпростору;
-
із використанням цих методів отримати теоретичні розв’язки конкретних задач з їх алгоритмізацією;
-
скласти комплекси програм для чисельної реалізації розроблених алгоритмів;
-
провести чисельні дослідження з метою встановлення нових механічних закономірностей, що стосуються напружного та енергетичного станів розглядуваних тіл.
Об’єктом дослідження є проблема вивчення напружно-деформівного та гранично-рівноважного станів багатозв’язного кусково-однорідного тіла з отворами, тріщинами, пружними або жорсткими включеннями, яка виникає при розрахунках на міцність.
Предметом дослідження є розробка ефективних методів визначення НДС багатозв’язного кусково-однорідного тіла з отворами, тріщинами та включеннями з урахуванням їх взаємодії між собою, а також з плоскою границею (у випадку напівпростору), способів підкріплення отворів, пружних властивостей тіла-матриці та включень.
Методи дослідження. Для досягнення сформульованої мети розвинуто і використано ряд підходів. Зокрема, розроблено методику, яка дозволила розв’язок задач теорії пружності для тіл з концентраторами напружень уздовж однієї площини зводити до системи задач лінійного спряження для розрізів в багатозв’язній області, розв’язанням яких отримуються загальні представлення комплексних потенціалів, які точно задовольняють граничним умовам на роз-різах та містять невідомі функції, що визначаються з умов на замкнених контурах та умов розв’язності задач; розроблено чисельно-аналітичний метод побудови розв’язку загальної двовимірної задачі теорії пружності для багатозв’язного анізотропного кусково-однорідного тіла, який ґрунтується на використанні загальних властивостей комплексних потенціалів і конформних відображень, на вилученні сингулярностей потенціалів в вершинах плоских концентраторів напружень, отриманні формул для знаходження наближених значень КІН, розробці методики використання дискретного метода найменших квадратів для визначення невідомих постійних, що входять до комплексних потенціалів; отримані з використанням метода інтегралів типу Коші по нескінченній прямій загальні вирази узагальнених комплексних потенціалів для кусково-однорідного напівпростору, які точно задовольняють умовам на плоскій границі та містять голоморфні зовні отворів функції, які визначаються з граничних умов на контурах отворів, тріщин та включень.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження пов'язані з фундаментальними науково-дослідними роботами, що фінансувалися Міністерством освіти і науки України: “Розробка методів дослідження напружено-деформованого стану композицій-них анізотропних тіл з отворами, включеннями і тріщинами” (№ держреєстрації 0198U005565, 1998–2000 рр. на підставі рішення науково-експертної ради), “Розробка методів дослідження напружено-деформованого стану композицій-них тіл з концентраторами напружень і їхнє застосування” (№ держреєстрації 0101U005377, 2001–2003 рр. на підставі рішення науково-експертної ради). Частина результатів дисертації була використана в звітах по зазначеним НДР.
Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що
-
отримані загальні представлення комплексних потенціалів для кусково-однорідного анізотропного або ізотропного тіла та напівпростору с отворами, тріщинами, пружними та жорсткими включеннями;
-
отримані побудовані на розв’язку задач лінійного спряження для розрізів в багатозв’язній області загальні розв’язки двовимірних задач теорії пружності для тіла з тріщинами або жорсткими включеннями уздовж однієї площини, які містять невідомі функції або сталі, які визначаються з умов розв’язності задач і граничних умов на контурах кусково-однорідного тіла;
-
вилучені сингулярності класичних комплексних потенціалів у випадку плоских (лінійних) тріщин, пружних і жорстких включень в матриці, а також тріщин в пружних включеннях;
-
розроблено чисельно-аналітичний метод дослідження двовимірного НДС кусково-однорідного анізотропного тіла та напівпростору з отворами, тріщина-ми, пружними і жорсткими включеннями, який побудован на використанні узагальнених комплексних потенціалів з вилученими сингулярностями в вершинах плоских тріщин та включень, метода інтегралів типу Коші по нескін-ченній прямій та наближеного обчислення КІН;
-
встановлені “ширина” (піввісь моделюючого еліпсу) та жорсткість еліп-тичного пружного включення, для якого спостерігається сингулярність напружень в вершинах включень, а отже, можна казати про “сингулярне пружне включення” та КІН для нього;
-
розв’язано ряд нових задач для багатозв’язного кусково-однорідного тіла і напівпростору, коли поряд з отворами, пружними або жорсткими включеннями з гладкими контурами є плоскі тріщини та включення;
-
встановлені нові механічні закономірності впливу пружних характеристик матриці та включень, їх геометричних розмірів, кількості, взаємного розташування і комбінації на розподіл напружень, пружного потенціалу і на зміну КІН.
Вірогідність отриманих результатів та висновків роботи забезпечується строгістю постановки задач та використанням строгих математичних методів; контролем ступеня точності задоволення граничним умовам в чисельних точках границі; узгодженням отриманих результатів для ряду випадків з відомими в літературі, знайденими іншими методами, а також узгодженням результатів, що отримані в дисертаційній роботі методами лінійного спряження і класичних комплексних потенціалів.
Практичне значення отриманих результатів полягає в можливості використання розроблених методик розв’язання задач і програмних засобів для їх чисельної реалізації при розрахунках, зв'язаних з проектуванням і визна-ченням робочих параметрів елементів конструкцій, що містять отвори, тріщини та включення; в одержанні результатів, що дозволяють оцінювати взаємовплив отворів, тріщин, включень і плоскої границі (у випадку напівпростору) в зале-жності від їхньої кількості, близькості друг до друга, взаємного розташування і комбінації, а також впливу пружних властивостей тіла і включень на розподіл напружень і пружного потенціалу.
Апробація результатів роботи. Основні положення роботи були повідомлені та обговорені на ряді наукових конференцій і семінарів, у тому числі на науковій конференції “Математика і механіка у Львівському універ-ситеті (історія і сучасність)” (1999 р.), Міжнародній науково-практичній конфе-ренції “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (м. Донецьк, 2001 р.), науковій конференції Донецького національного університету (2001 р.), Міжнародній науково-практичній конференції “Актуальні проблеми механіки суцільних середовищ” (м. Донецьк, 2002 р.).
У повному обсязі дисертаційна робота доповідалася на науковому семінарі кафедр теорії пружності та обчислювальної математики, теоретичної та прикладної механіки Донецького національного університету і відділу аналітичних методів механіки гірничих порід Інституту прикладної матема-тики і механіки НАН України (м. Донецьк), науковому семінарі кафедри меха-ніки та інформаційних технологій Львівського національного університету ім. І. Франка (м. Львів), науковому семінарі відділу по механіці руйнування Інсти-туту механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України (м. Київ), науковому семінарі кафедри прикладної математики і механіки Сумського державного універ-ситету (м. Суми).
Публікації і особистий внесок здобувача. Основні наукові результати дисертації опубліковані в 9 наукових працях [1-9], у наукових журналах, виз-наних Ваком України фаховими виданнями [1-7, 9].
Основні результати отримані автором самостійно. У роботах [1-8] співав-тору С.О.Калоєрову належить участь в постановці розглянутих задач, виборі методу дослідження та обговоренні отриманих результатів. У роботах [1-6] автору належить розробка алгоритмів, складання програм чисельної реалізації, співавторам О.В.Авдюшиній та О. С. Горянській – участь в отладці програм і обговоренні результатів досліджень.
Особисто Ю. Б. Качан належать такі включені в дисертаційну роботу і публікації наукові результати:–
побудова загального розв’язку двовимірної задачі для анізотропного тіла з тріщинами або жорсткими включеннями уздовж однієї площини [2] та ізот-ропної пластинки з отворами, жорсткими і пружними ядрами або кільцями при наявності тріщин або жорстких включень уздовж однієї прямої [7-9];–
одержання загального розв’язку двовимірної задачі теорії пружності для кусково-однорідного тіла з еліптичними порожнинами, тріщинами, жорсткими і пружними включеннями, коли матеріали тіла і включень володіють загальною прямолінійною анізотропією без площин пружної симетрії [1, 4-6];–
знаходження загального розв’язку двовимірної задачі теорії пружності для кусково-однорідного анізотропного напівпростору з еліптичними порожни-нами, тріщинами, жорсткими і пружними включеннями при точному задово-ленні граничним умовам на плоскій границі [3];–
побудова теоретичних розв’язків ряду практичних задач з їхньою алго-ритмізацією;–
складання комплексів програм для чисельної реалізації алгоритмізованих розв’язків;–
проведення чисельних досліджень напруженого та енергетичного станів кусково-однорідних багатозв’язних анізотропних тіл та напівпростору, а також ізотропної пластинки з плоскими або лінійними концентраторами напружень з виявленням механічних закономірностей [1-4, 6-7, 9].
Структура роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, п'яти розділів, висновку, списку використаної літератури, що містить 208 джерел, і двох додатків. У роботі 22 таблиці і 26 рисунків. Загальний обсяг дисертації складає 209 сторінок, з яких 20 сторінок займає список літератури, 47 сторінок – додатка.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обгрунтована актуальність теми; сформульована мета роботи та основні наукові результати, що виносяться на захист; зазначений зв'язок роботи з науковими програмами, планами; охарактеризовані наукова новизна, прак-тичне значення отриманих результатів і особистий внесок автора в спільні роботи.
В першому розділі представлений аналітичний огляд відомих в літературі методів розв’язання задач теорії пружності для багатозв’язних середовищ, методів визначення КІН. Тут приведений великий огляд літератури по дослід-женню НДС кусково-однорідних тіл з отворами, тріщинами і включеннями. Аналізом охоплено більш 200 робіт вітчизняних і зарубіжних авторів. Відзна-чена ведуча роль у розвитку теорії і її додатків до розв’язання практичних задач робіт Н. І. Мусхелішвілі, С. Г. Лехницького, Л. Н. Гузя, Г. С. Кіта, О. С. Кос-модаміанського, В. І. Моссаковського, В. В. Панасюка, В. П. Шевченка, Д. В. Грилицького, С. О. Калоєрова, А. О. Камінського, М. П. Саврука, Г. Т. Су-ліма, Л. А. Фільштинського, Аткинса, Ірвина, Орована, Сі, Ердогана, Ешелби і багатьох інших вітчизняних і зарубіжних вчених. За допомогою аналізу літературних джерел виявлені області теорії і практики, що в силу наявності математичних труднощів дотепер залишалися мало дослідженими. Встановле-но, що для багатозв’язних кусково-однорідних платівок з лінійними концентра-торами напружень типу тріщин, пружних або жорстких включень широких досліджень НДС немає. У випадку двовимірної задачі теорії пружності для тіла з загальною прямолінійною анізотропією при відсутності площин пружної симетрії відомі в літературі розв’язки відносяться до однорідних тіл при наявності тільки отворів і тріщин. Актуальні ж задачі для кусково-однорідного анізотропного тіла з отворами і включеннями у випадку наявності плоских пружних або жорстких включень і відсутності площин пружної симетрії практично не розглядалися.
У другому розділі наведені основні співвідношення для комплексних потенціалів двовимірної задачі теорії пружності багатозв'язного кусково-однорідного тіла, матеріал якого має загальну прямолінійну анізотропію без площин пружної симетрії; одержані вирази узагальнених комплексних потен-ціалів, основні співвідношення для їхнього знаходження і використання в дос-лідженнях НДС тіл. Приведені аналогічні співвідношення і для ізотропної кусково-однорідної багатозв’язної пластинки.
Розглядається кусково-однорідне циліндричне тіло-матриця з циліндрич-ними порожнинами. Поверхні порожнин не підкріплені або жорстко підкріплені, а в інші порожнини матриці впаяні або вклеєні без попе-реднього натягу пружні багатозв’язні включення з іншого матеріалу. Деякі з порожнин як матриці, так і включень можуть переходити в концентратори напружень типу плоских тріщин або жорстких включень. Вважається, що під дією зовнішніх зусиль тіло знаходиться в двовимірному напруженому стані, що не змінюється в напрямку утворюючих порожнин. Як тіло, так і пружні включення можуть бути з анізотропного або ізотропного матеріалів. У випадку ізотропних матеріалів матриці і включень вважається, що вони знаходяться в умовах узагальненого плоского напруженого стану, тобто має місто пластинка з отворами, тріщинами, пружними або жорсткими включеннями.
В поперечному перерізі розглянутого тіла будемо мати багатозв’язну область , обмежену зовнішнім контуром , контурами отворів і розрізів , а в перетинах пружних включень – багатозв’язні області , кожна з який обмежена зовнішнім контуром і внутрішніми контурами (рис. ). Як приватний, будемо розглядати випадок, коли у тіла відсутній зовнішній контур , тобто має місто нескінченне куско-во-однорідне тіло. Іншим частним є випадок, коли відсутні внутрішні конту-ри пружних включень, тобто, коли пружні включення є суцільними циліндрами (або ядрами у випадку пластинки).
Для визначення НДС розглянутого тіла у випадку анізотропії його мате-ріалу використовуються узагальнені комплексні потенціали для тіла-матриці і потенціали для кожного з пружних включень, що повинні задовольняти граничним умовам на поверхнях матриці і включень. Якщо функції і визначені, то можна обчислювати напруження і змі-щення в матриці і у включеннях, пружний потенціал, а також КІН для вершин плоских концентраторів.
Комплексні потенціали і їхні похідні визначені в областях і , що одержуються із заданих областей і аффінними перетвореннями і , де і – корені відповідних характеристичних рівнянь шостого порядку. В цих областях контурам , , відповідають контури , , , які одержані з , , зазначеними афінними перетвореннями. У роботі приведені загальні вирази комплексних потенціалів і їхніх похідних, в які входять функції, що голоморфні в розглянутих багатозв’язних областях , і задовольняють умовам розв’язності задачі, які одержуються з однозначності напружень і зміщень. Аналогічні співвідношення приведені для випадку ізотропного кусково-однорідного тіла-платівки.
В третьому розділі для розв’язання розглянутих задач при наявності концентраторів напружень уздовж однієї площини (прямої) використовується метод лінійного спряження, що дозволяє точно задовольняти граничним умо-вам на границях цих концентраторів.
Спочатку розглядається нескінченне анізотропне тіло з тріщинами або жорсткими включеннями уздовж однієї площини, що знаходиться в загальному двовимірному напруженому стані. Введенням додаткових комплексних потен-ціалів із граничних умов отримується система задач лінійного спряження для розширених трилистих площин. Рішенням цих задач знайдені загальні предс-тавлення комплексних потенціалів, що точно задовольняють граничним умовам і що включають поліноми з невідомими коефіцієнтами, які знаходяться з умов на нескінченності і умов розв'язності задачі. Аналогічні співвідношення отримані для комплексних потенціалів у випадку ізотропної пластинки, що, крім зазначених концентраторів уздовж однієї прямої, може мати також еліп-тичні отвори або пружні (суцільні або кільцеві) включення. В останньому випадку, крім невідомих коефіцієнтів поліномів, потрібно визначати і постійні, що входять в функції, голоморфні поза отворами платівки-матриці та в облас-тях пружних включень. Ці постійні знаходяться з граничних умов на контурах отворів і пружних включень.
Для анізотропного тіла з плоскими концентраторами напружень при його розтяганні на нескінченності чисельними дослідженнями одержано ряд резуль-татів. Аналітично і чисельно доведено, що у випадку тріщин значення КІН не залежать, а значення напружень залежать від анізотропії матеріалу; для жорстких включень вплив параметрів анізотропії значний і на КІН, і на напруження. При зближенні кон-центраторів один з одним відбу-вається збільшення КІН. При цьому, якщо кількість тріщин , то цей ріст незначний, і для КІН практично дорівнює КІН для нескін-ченного ряду та відрізняється від останнього менш ніж на 1%. В випадку жорстких концентраторів відмінність КІН для кінцевого і нескінченного ряду менш ніж на 1% настає швидше, при . Це можна побачити з рис. , де для тіл з деяких відомих матеріалів зображені графіки значень КІН () для вершин центрального жорсткого включення в залежності від їхньої кількості і “ступеня” анізотропії матеріалу (), коли відстань с між ними приймалась рівною 0,1.
Для ізотропної пластинки з тріщиною або жорстким лінійним включенням при наявності, крім того, еліптичного (кругового) отвору, жорсткого або пружного ядра, кругового кільця також проведені докладні чисельні дослідження зміни напружень, КІН і щільності потенційної енергії. Отримані результати представлені в роботі в ряді таблиць і графіків, виявлено ряд цікавих закономірностей зміни НДС. Деякі з них приведені на рис. 3, 4, де для розтягання пластинки з круговим пружним ядром зображені графіки розподілу нормальних напружень у пластинці біля контуру її спаю з ядром при наявності тріщини (рис. ) або жорсткого лінійного включення (рис. 4). При цьому – центральний кут ядра, що відлічується від лінії центрів тріщини і ядра проти годинникової стрілки. Вважалося, що коефіцієнти Пуассона для матеріалів пластинки і ядра однакові (=), а їхні модулі зсуву (, ) різні і характеризуються коефіцієнтом жорсткості . Значення коефіцієнта жорсткості , що дорівнюють і 0, відповідають випадкам абсолютно м'якого ядра (отвору) і жорсткого ядра. Як випливає з рис. 3, 4, при збільшенні жорсткості ядра (зменшенні коефіцієнта жорсткості ) концентрація напружень у пластинці біля ядра як при наявності тріщини, так і жорсткого лінійного включення, зменшується. Особливо різке зниження спостерігається, коли . При цьому максимальні напруження на контурі спаю в пластинці з жорсткими лінійним включенням значно нижче, ніж у пластинці з тріщиною.
Четвертий розділ присвячений розв’язанню загальної двовимірної задачі теорії пружності для багатозв'язного кусково-однорідного анізотропного тіла, коли плоскі концентратори напружень розташовані довільним образом відносно один одного і щодо порожнин і пружних включень, причому ці плоскі концентратори на відміну від третього розділу можуть бути не тільки абсолютно м'якими (тріщинами) або жорсткими, але і пружними, суцільними або кільцевими, що містять порожнини, які можуть переходити в плоскі тріщини.
Загальний розв’язок базується на основі розв’язку задачі для кусково-однорідного тіла з порожнинами або включеннями (пружними або жорсткими) еліптичного поперечного перерізу. Плоскі концентратори напружень розгляда-ються як граничні випадки еліптичних, у яких одна піввісь дуже мала. У роботі розв’язок задачі зведено до знаходження комплексних потенціалів для тіла-матриці і для пружних включень із граничних умов на контурах отворів і включень, в тому числі на внутрішніх контурах пружних включень. При цьому умови розв’язності задачі задовольняються автоматично відповідним вибором комплексних потенціалів.
З використанням конформних відображень і розкладання функцій в ряди по поліномам Фабера і Лорана, похідні комплексних потенціалів для матриці і пружних суцільних або кільцевих включень представлені відповідно у вигляді
; (1)
; (2)
, (3)
де
; ;
;
, , , , , – відомі постійні, що залежать від геометричних і пружних характеристик розглянутих середовищ, а також від прикладених зов-нішніх зусиль; , – змінні, що обчислюються з конформних відображень зовнішності одиничного кола на зовнішності відповідних еліпсів; , , – постійні, що визначаються з граничних умов на контурах отворів матриці і включень, в тому числі на внутрішніх контурах пружних включень. Для задоволення цим умовам у роботі використано дискретний метод найменших квадратів, що приводить до системи лінійних алгебраїчних рівнянь для визна-чення , , і дозволяє задовольнити цим умовам з досить високим ступенем точності.
Складено комплекс програм для чисельної реалізації на ЕОМ отриманого загального розв’язку для кусково-однорідного багатозв'язного тіла при будь-якому наборі отворів, включень, в тому числі плоских пружних включень. Програми дозволяють розглядати і випадки “практичної” ізотропії, коли постійні анізотропії (коефіцієнти деформації або пружності) близькі до відпо-відних коефіцієнтів для ізотропного тіла. В роботі в якості такого розглядається ізотропний граніт. У цьому випадку розглянуте тіло знаходиться в умовах плоскої деформації.
Для ряду задач проведені докладні чисельні дослідження розподілу напружень, щільності потенційної енергії і змін КІН. Отримані результати в роботі наведені в численних таблицях і на рисунках. При цьому коефіцієнти деформації для -го пружного включення обчислювалися по формулі , де – коефіцієнти деформації для матриці, – коефіцієнт жорсткості -го включення.
Насамперед були проведені дослідження з метою з'ясування питань, при якому співвідношенні півосей еліпса пружне включення може розглядатися як плоске (лінійне), при яких жорсткостях таких включень може виникати сингулярність напружень у вершинах цих включень і, отже, існує КІН. Для відповіді на ці питання досліджувався напружений стан анізотропного тіла з одним еліптичним суцільним пружним включенням при різних значеннях півосі (при цьому піввісь ) і параметра жорсткості включення .
Чисельними дослідженнями в роботі встановлено, що, якщо виникає сингулярність напружень в вершинах пружного еліптич-ного включення, то це може бути, коли піввісь . В зв’язку з цим в усіх по-дальших розрахунках плоскі (лінійні) включення вважа-лися еліпсами з піввіссю (при ). Вияв-ляється, що і для вузького включення сингулярність напружень в вершинах вини-кає, якщо або . Це видно з рис. , де для тіла з ізотропного граніта зображені графіки зміни КІН в залежності від параметра жорсткості .
У цьому розділі даний розв’зок задачі для тіла з двома еліптичними включеннями, кожне з яких може бути пружним, абсолютно м'яким або абсолютно жорстким. Чисельні дослідження проведені для випадків двох кругових включень, плоского і кругового включень, двох плоских включень. Наведений розв’язок задач для тіла з кінцевим або нескінченним числом включень уздовж однієї площини, паралельних площин, плоского включення і кругового кільця, в тому числі, коли внутрішня порожнина кільця переходить в плоску тріщину. В усіх задачах проведені докладні чисельні дослідження з виявленням впливу геометричних характеристик порожнин, включень, їхнього взаємного розташування і сполучення, пружних характеристик матриці і вклю-чень на значення і розподіл напружень і щільності потенційної енергії, а у випадку плоских концентраторів також на значення КІН. Виявлено ряд механічних закономірностей. Нижче описані деякі з отриманих результатів для тіла з двома включеннями.
Для тіла з тріщиною і пружним круговим включенням на рис. у залежнос-ті від коефіцієнта жорсткості включення приведені графіки зміни КІН для лівої () і правої ( ) вершин тріщини у випадку ізотропного граніту (суцільна лінія) і ортогонально-армо-ваного склопластику, для якого (штрихова лінія). При цьому радіус включення і напівдов-жина тріщини дорівнюють одиниці, довжина перемички . З рис. та інших отриманих у роботі резуль-татів випливає, що зі збільшенням жорсткості включення (зменшенням ) значення КІН зменшуються. Анізотропія матеріалу на значення КІН впливає незначно, хоча цей вплив на загальне НДС (зокрема, біля включення) значно.
Для тіла з ортогонально-армованого стеклопластику з двома плоскими концентраторами напружень одиничної напівдовжини при довжині перемички між ними на рис. 7 і 8 приведені значення КІН ( і для лівого, і для правого включення) для вершин концентраторів. Дані рис. відносяться до тіла з тріщиною і пружним включенням при зміні коефіцієнта жорсткості включення , дані рис. відповідають випадку двох пружних включень з коефіцієнтами жорсткості , . При цьому суцільні і пунктирні лінії відповідають значенням коефіцієнта жорсткості лівого включення , рівним і . Як видно з рис. і рис. , наявність підкріплювального елемента, навіть не сильно жорсткого, істотно зменшує значення КІН і напружень в цілому. При постійній жорсткості одного включення зі збіль-шенням жорсткості (зі зменшенням коефіцієнта жорсткості) другого вклю-чення значення КІН для вершин ос-таннього і НДС біля нього істотно зменшуються, поки його жорсткість менше жорст-кості матриці (), а потім (при ) зі збільшенням жорсткості цього включення ці величи-ни змінюються незначно.
Аналогічні висновки виходять для тіла з тріщиною і кільцем. Це, зокрема, випливає з даних рис. , де в залеж-ності від радіуса внутрішнього контуру кільця зображені графіки змін КІН для вершин тріщини у випадку тіла з ортогонально-армованого стеклопластику, коли напівдовжина тріщини і радіус зовнішнього контуру кільця дорівнюють одиниці, довжина перемички . Суцільні лінії відносяться до випадку кільця з коефіцієнтом жорсткості , штрих-пунктирні – з коефіцієнтом жорсткості . З рис. 9 також випливає, що зі зменшенням ширини кільця значення КІН ростуть.
У п'ятому розділі наведено розв’язок задачі для багатозв'язного кусково-однорідного анізотропного напівпростору з отворами, тріщинами, пружними і жорсткими включеннями. У поперечному перерізі напівпростору виходить напівплощина з прямолінійною границею та отворами з контурами . У перетинах пружних включень виходять багатозв’язні області , кожна з яких обмежена зовнішнім контуром і внутрішніми контурами . Зовнішні зусилля діють на поверхнях порожнин і на нескінченності.
З граничних умов на плоскій границі напівпростору методом інтегралів типу Коші отримані наступні представлення комплексних потенціалів , які точно задовольняють граничним умовам на плоскій границі,
, (4)
де
; ;
– функції, що залежать від навантаження напівпростору; і – змінні, що обчислюються з конформних відображень зовнішності одиничного кола на зовнішності еліпсів , що одержуються з відомими аффінними перетвореннями, і на зовнішності контурів , що отримуються з їхнім дзеркальним відображенням щодо прямолінійної границі; – невідомі пос-тійні, які знаходяться з граничних умов на контурах отворів і включень. По-дальша побудова загального розв’язку задачі проводиться таким же чином, як це зроблено в четвертому розділі для тіла без урахування плоскої границі.
Для випадку напівпростору також вирішений ряд задач. Зокрема, прове-дені докладні чисельні дослідження розподілу напружень, щільності потен-ційної енергії і зміни КІН для анізотропного напівпростору, що містить одне плоске пружне включення, плоске і кругове пружні включення, плоске і кіль-цеве пружні включення. З отриманих результатів добре просліджується вплив відстані від границі напівпростору до отворів і включень, пружних характе-ристик напівпростору і включень на значення КІН, напружень і їх розподіл. Зокрема, для напівпростору з плоским і круговим пружними включеннями це просліджується з даних рис. , де приведені графіки змін КІН для верхньої () і нижньої () вершин плоского включення в залежності від коефіцієнта жорсткості круго-вого включення . При цьому кое-фіцієнт жорсткості плоского вклю-чення вважався рівним (су-цільна лінія), (штрихова лінія) або 0 (пунктирна лінія). Радіус кругового включення дорівнює одиниці, напівдовжина плоского включення , довжина кожної з перемичок . З даних рис. легко побачити, що зі збільшенням жорсткості кругового включення (зі зменшенням ) відбувається істотне зниження КІН для вершин тріщини, а також для нижньої вершини м'якого плоского включення (в даному випадку ) без істотних змін для верхньої вершини. У випадку жорсткого плоского включення зміна на значення КІН впливає незначно.
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ
В результаті проведених в роботі досліджень одержали подальший розвиток методи розв’язання крайових задач теорії пружності і механіки руйнування і їхнього застосування до проблеми вивчення НДС кусково-однорідного тіла і напівпростору з отворами, тріщинами, пружними і жорсткими включеннями. Основні наукові результати і висновки, що отримані в роботі такі:
1. Розроблено підходи розв’язку двовимірної задачі теорії пружності для кусково-однорідного багатозв'язного тіла і напівпростору з концентраторами напружень типу отворів і включень, в тому числі плоских (лінійних) тріщин, жорстких і пружних включень. Ці підходи засновані на розв’язку задач лінійного спряження для розрізів в багатозв’язній області або на використанні класичних комплексних потенціалів з вилученими особливостями в вершинах плоских концентраторів напружень і методу найменших квадратів.
2. Розв’язки задач теорії пружності для тіл з концентраторами напружень уздовж однієї площини приведені до системи задач лінійного спряження, розв’язанням яких отримані загальні представлення комплексних потенціалів, що точно задовольняють граничним умовам на поверхнях плоских концентраторів напружень, що містять невідомі функції, які знаходяться з умов на замкнених контурах і умов розв’язності задачі.
3. Побудовано загальний розв’язок двовимірної задачі для багатозв'язного кусково-однорідного тіла з довільними концентраторами напружень, у тому числі довільно розташованими плоскими концентраторами напружень. Цей розв’язок базується на використанні властивостей комплексних потенціалів і конформних відображень, на знаходженні загальних представлень потенціалів з вилученням їх сингулярностей в вершинах плоских концентраторів напружень, одержанні формул для знаходження КІН, розробці методики використання дискретного методу найменших квадратів для визначення невідомих постійних, які входять в комплексні потенціали.
4. Застосуванням методу інтегралів типу Коші по нескінченній прямій із граничних умов на плоскій границі багатозв'язного напівпростору, що знаходиться в двовимірному напруженому стані, отримані загальні вирази комплексних потенціалів для кусково-однорідного анізотропного напів-простору, що точно задовольняють умовам на плоскій границі та включають голоморфні поза отворами функції, які знаходяться з граничних умов на контурах включень.
5. Складено комплекс програм для чисельної реалізації отриманих розв’язків.
6. Чисельними дослідженнями продемонстрована висока ефективність розробленних методик і стійкість одержаних результатів.
7. Для раніше вирішених іншими методами задач показане гарне узгодження одержуваних результатів з відомими. Це поряд із застосуванням строгих математичних методів підтверджує вірогідність одержаних результатів.
8. Розв’язано ряд нових задач двовимірної теорії пружності для анізотропного тіла і напівпростору, для кусково-однорідної ізотропної пластинки. Це дозволило виявити ряд нових закономірностей впливу на НДС геометричних форм і розмірів концентраторів напружень, їхнього числа, взаємного розташування і сполучення, пружних властивостей матеріалів розглянутих тіл-матриць і включень.
Основний зміст дисертаційної роботи відображено у публікаціях:
1.
Калоєров С., Горянська О., Шаповалова Ю. Напружний стан анізотропної платівки з еліптичним пружним включенням за наявності тріщини або лінійного жорсткого включення // Вісн. Львів. ун–ту. Сер. мех.-мат.– 2000.– Вып. 57.– С. 76–79.
2.
Калоеров С. А., Авдюшина Е. В., Качан Ю. Б. Задача теории упругости для анизотропного тела с плоскими трещинами или жесткими включениями // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. А.– 2002.– Вып. 1.– С. 35–41.
3.
Калоеров С. А., Авдюшина Е. В., Качан Ю. Б. Напряженное состояние кусочно-однородного анизотропного полупространства с трещинами, упругими и жесткими включениями // Теорет. и прикладная механика.– 2002.– Вып. .– С. –65.
4.
Калоеров С. А., Горянская Е. С., Качан Ю. Б. Напряженное состояние ку-сочно-однородного анизотропного тела с плоскими трещинами или жест-кими включениями и упругими кольцами // Вісн. Донец. ун-та. Сер. А.– 2001.– Вып. 2.– С. 31–39.
5.
Калоеров С. А., Горянская Е. С., Шаповалова Ю. Б. Двумерное напряженное состояние анизотропного тела с отверстиями, упругими включениями и тре-щинами // Теорет. и прикладная механика.– 1999.– Вып.29.– С. 63–70.
6.
Калоеров С. А., Горянская Е. С., Шаповалова Ю. Б. Исследование напря-женного состояния анизотропного тела с эллиптическими отверстиями, уп-ругими включениями и трещинами // Теорет. и прикладная механика.– 1999.– Вып.30.– С. 175–187.
7.
Калоеров С. А., Качан Ю. Б. Упругое равновесие многосвязной изотропной пластинки с жесткими линейными включениями или трещинами вдоль одной прямой // Теорет. и прикладная механика.– 2001.– Вып.34.– С. 72–82.
8.
Калоеров С. А., Качан Ю. Б. Напряженное состояние пластинки с упругими включениями при наличии трещин или жестких линейных включений // Тр. науч. конф. Дон. нац. ун-та.– 2001.– С. 60.
9.
Качан Ю. Б. Напряженное состояние пластинки с упругими кольцами и трещинами или жесткими включениями // Вісн. Донец. ун-та. Сер. А.– 2001.– Вып. 1.– С. 47–54.
АНОТАЦІЇ
Качан Ю. Б.: Двовимірна задача теорії пружності для кусково-однорідних тіл з отворами та тріщинами. – Рукопис.
Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла, Донецький національний університет, Донецьк, 2003.
В роботі одержали подальший розвиток методики розв’язку крайових задач теорії пружності і їх додатків до проблеми вивчення напружно-деформівного стану кусково-однорідного анізотропного або ізотропного тіла і напівпростору з концентраторами напружень типу отворів і включень, в тому числі плоских (лінійних) тріщин, жорстких та пружних включень. Ці методики побудовані на розв’язку задач лінійного спряження для розрізів в багатозв’язній області або на використанні класичних комплексних потенціалів з вилученими особливостями в вершинах плоских концентраторів напружень і метода найменших квадратів. У випадку напівпростору (напівплощини) к умовам на плоскій границі застосовано метод інтегралів типу Коші.
Особливо широко в роботі наведено комбінований метод, який дозволяє
розв’язувати задачі для будь-якої кількості, сполучення і розташування отворів, тріщин і включень. Цей метод включає в себе використання комплексних потенціалів з вилученими сінгулярностями в вершинах плоских концентраторів напружень, використання методики чисельного знаходження КІН і дискретного метода найменших квадратів для визначення невідомих постійних, що входять до комплексних потенціалів.
Чисельними дослідженнями продемонстрована висока ефективність розроблених методик, стійкість отриманих результатів і їх погодження з відомими з літератури.
Розв’язано ряд нових практично важливих задач для анізотропного тіла і напівпростору, для кусково-однорідної ізотропної пластинки. Виявлені нові закономірності впливу на НДС геометричних форм і розмірів концентраторів напружень, їх кількості, взаємного розташування і сполучення, пружних властивостей матеріалів розглядаємих тіл-матриць и включень.
Ключові слова: анізотропне тіло, багатозв’язне тіло, включення, задача лінійного спряження, ізотропна пластинка, коефіцієнти інтенсивності напружень, комплексні потенціали, конформні відображення, концентрація напружень, кусково-однорідне тіло, метод найменших квадратів, напівпростір, напружно-деформівний стан, плоске включення, тріщина, щільність потенційної енергії.
Качан Ю. Б.: Двумерная задача теории упругости для кусочно-однородных тел с отверстиями и трещинами.– Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела, Донецкий национальный университет, Донецк, 2003.
Рассматриваемая в диссертации проблема выявления влияния геометрических характеристик и упругих свойств многосвязного кусочно-однородного те-ла на его напряженно-деформированное состояние является актуальной фунда-ментальной и практической задачей механики деформируемого твердого тела.
В работе получили дальнейшее развитие методики решения краевых задач теории упругости и их приложения к проблеме изучения напряженно-деформированного состояния кусочно-однородного анизотропного или изотропного те-ла и полупространства с концентраторами напряжений типа отверстий и вклю-чений, в том числе плоских (линейных) трещин, жестких и упругих включений. Эти методики основаны на решении задач линейного сопряжения для разрезов в многосвязной области или на использовании классических комплексных потенциалов с выделенными особенностями в концах плоских концентраторов напряжений и метода наименьших квадратов.
Для тел с концентраторами напряжений вдоль одной плоскости (прямой) решения задач приведены к системе задач линейного сопряжения, решением которых получены общие представления комплексных потенциалов, точно удовлетворяющих граничным условиям на поверхностях плоских концентраторов напряжений, содержащих неизвестные функции, определяемые из условий на замкнутых контурах и условий разрешимости задачи.
Построено общее решение двумерной задачи для многосвязного кусочно-однородного тела с произвольными концентраторами напряжений, в том числе произвольно расположенными плоскими концентраторами напряжений. Это решение основано на использовании комплексных потенциалов с выделенными сингулярностями в концах плоских концентраторов напряжений, получение формул для нахождения КИН, разработке методики использования дискретного метода наименьших квадратов. для определения неизвестных постоянных, входящих в комплексные потенциалы.
Методом интегралов типа Коши получены общие выражения комплексных потенциалов для кусочно-однородного анизотропного полупространства, точно удовлетворяющих условиям на плоской границе и содержащих неизвестные функции, определяемые из граничных условий на контурах включений.
Численными исследованиями продемонстрирована высокая эффективность разработанных методик, устойчивость получаемых результатов и их согласование с известными из литературы.
Решен ряд новых практически важных задач для анизотропного тела и полупространства, для кусочно-однородной изотропной пластинки. Выявлен ряд новых закономерностей влияния на НДС геометрических форм и размеров концентраторов напряжений, их числа, взаимного расположения и сочетания, упругих свойств материалов рассматриваемых тел-матриц и включений.
В теле с произвольными упругими включениями, в том числе с плоскими, увеличение их жесткости по сравнению с жесткостью тела приводит к уменьшению концентрации напряжений, упругого потенциала и КИН. При сближении одинаково подкрепленных концентраторов напряжений значения напряжений и КИН растут. В случае разнородно подкрепленных концентраторов их сближение в зависимости от жесткости подкрепляющих элементов может приводить как к увеличению, так и к уменьшению концентрации напряжений. Приближение концентраторов напряжений к внешнему краю тела (в данном случае к границе полупространства) приводит к увеличению концентрации напряжений в теле. На значения КИН и напряжений существенно влияет анизотропия материалов тел и включений, что необходимо учитывать при расчете элементов конструкций на трещиностойкость.
Результаты исследований, представленные в диссертационной работе имеют как теоретический, так и практический интерес. Предложенная методика может быть использована для решения разнообразных инженерных задач.
Ключевые слова: анизотропное тело, включение, задача линейного
