Одеський національний університет ім. І.І.Мечникова

Cкляр Катерина Валеріївна

УДК 517.977

ВIДОБРАЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ КЕРОВАНИХ

СИСТЕМ НА ЛIНIЙНI

01.01.02 -- диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Одеса - 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Хруслов Євген Якович,

заступник директора Фізико-технічного інституту

низьких температур ім. Б.І.Вєркіна НАН України.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Перестюк Микола Олексійович,

завідувач кафедри диференціальних

та інтегральних рівнянь

Київського національного університету ім. Тараса Шевченка;

кандидат фізико-математичних наук

Дмитришин Дмитро Володимирович

доцент кафедри вищої математики №2

Одеського національного політехнічного університету.

Провідна установа: Інститут прикладної математики і механіки НАН України, відділ технічної механіки, м. Донецьк.

Захист відбудеться "_4_"____березня_______ 2003 p. o __15___ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради K 41.051.05 при Одеському національному університеті ім. І.І. Мечникова за адресою: м. Одеса, вул. Дворянська, 2, ауд. 73.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Одеського національного університету за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Преображенська, 24.

Автореферат розісланий "_3_"___лютого__ 2003 p.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Вітюк О.Н.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним з нових напрямків теорії диференціальних рівнянь, що інтенсивно розвивається, є дослідження якісних властивостей керованих систем: їх керованості, стабілізовності, спостережуваності, опис множин досяжності та ін. Ці дослідження лежать в основі сучасних побудувань в області оптимального керування і теорії синтезу позиційних керувань. Зазначимо, що історично вказані питання вивчалися, перш за все, для лінійних керованих систем, теорія яких на теперішній час носить цілком завершений характер.

Теорія нелінійних керованих систем, навпаки, є далекою від завершення. Незважаючи на те, що відносно нелінійних систем отримано велику кількість результатів, залишаються нерозв'язаними багато важливих задач. Нині в нелінійній теорії керованих систем застосовуються різні методи, в тому числі ті, що активно залучають і розвивають нові ідеї і підходи із багатьох розділів математики – звичайних диференціальних рівнянь і рівнянь в частинних похідних, варіаційного числення, функціонального аналізу, диференціальної геометрії, алгебри та інші. Як конкретні методи дослідження задач нелінійної теорії керування, які в тій чи іншій мірі пов'язані з дисертацією, назвемо такі: дослідження нелінійних керованих систем за їх лінійним наближенням, вилучення і подальше вивчення систем із спеціальними нелінійностями, відображення нелінійних систем на лінійні, залучення теорії груп Лі і диференціальної геометрії, використання алгебраїчних методів та спеціальних рядів та інші.

Зокрема, важливим інструментом вивчення властивостей нелінійних керованих систем є відображення їх на системи більш простого вигляду, властивості яких можуть бути вивчені відомими засобами. Наприклад, якщо нелінійна система є відображуваною на лінійну систему, то, по-перше, це дозволяє встановити низку якісних властивостей вихідної нелінійної системи (керованість, стабілізовність та ін.), та, по-друге, отримати конкретні розв'язки різних задач, наприклад, задачі синтезу або оптимальної швидкодії.

Важливий клас нелінійних систем, що припускають відображення на лінійні системи, - це трикутні системи, які описують низку фізичних процесів (орієнтація супутника на орбіті, керування роботом-маніпулятором та інші). Клас трикутних систем був введений і вперше розглянутий В.І. Коробовим в 1973 році1 у зв'язку з дослідженням керованості і стабілізовності нелінійних систем. В цій роботі запропоновано конструктивний метод відображення трикутної системи на лінійну за допомогою заміни змінних і заміни керування, що згодом стало предметом численних узагальнень. Так, О.М. Ковальовим цей результат був розповсюджений на трикутні нестаціонарні системи, В.М. Кунцевичем і М.М. Личаком отримано подібний результат для різницевих систем, подальші дослідження здійснені S. Celikovsky'м і H. Nijmeijer'ом, В.І. Коробовим і С.С. Павличковим та іншими. Зауважимо, що важливою особливістю початкового підходу до дослідження трикутних систем є мінімальні вимоги до гладкості правих частин відображуваних систем, що, проте, не отримало достатньо повного розвитку. Більш того, у існуючій в теперішній час теорії нелінійних систем загального вигляду задача відображуваності, як і багато інших питань, традиційно вивчається в нескінченно-диференційовному випадку. Це пов'язано з тим, що вимога нескінченної диференційовності є загальноприйнятою в диференціальній геометрії, методи якої активно застосовуються в нелінійній теорії керування. Проте зауважимо, що нескінченна диференційовність, взагалі кажучі, може не відповідати природі фізичної моделі, поведінку якої описує керована система.

Отже, актуальною є задача подальшого розвитку теорії трикутних систем, а також застосування ідей і техніки трикутних систем до дослідження відображуваності нелінійних систем загального вигляду при мінімальних вимогах до гладкості їх правих частин. На цьому шляху найбільш природною постановкою є відображуваність на лінійні системи за допомогою так званої адитивної заміни керування; зокрема, це дозволяє зберегти обмеження на керування, що, як правило, є важливим при розв'язанні задач оптимального керування.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження проводилося у математичному відділі Фізико-технічного інституту низьких температур НАН України в межах тематичного плану ФТІНТ за відомчою тематикою ``Крайові задачі гідродинаміки в областях з дрібнозернистою і вільною границею'' (шифр теми 1.4.10.23.2).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є повний опис множини нелінійних керованих систем класу з одновимірним керуванням, які можливо відобразити на лінійні системи за допомогою двічі неперервно-диференційовної заміни змінних та адитивної заміни керування класу , конструктивне знаходження цієї заміни, а також розв'язання на цій основі деяких задач теорії керування для нелінійних систем, що відображуються на лінійні.

Об'єкт дослідження. Нелінійні керовані системи звичайних диференціальних рівнянь, задачі швидкодії та позиційного синтезу для таких систем.

Предмет дослідження. Необхідні і достатні умови відображуваності нелінійних керованих систем на лінійні системи за допомогою заміни змінних та адитивної заміни керування. Умови відображуваності нелінійних керованих систем на лінійні без заміни керування.

Методи дослідження. В дослідженнях дисертаційної роботи використовуються методи теорії диференціальних рівнянь, класичного нелінійного анализу, лінійної алгебри і теорії оптимального керування.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що в роботі дістала суттєвого розвитку теорія трикутних систем, а також вперше одержано розв'язок задачі відображуваності нелінійних систем класу на лінійні. А саме, в роботі вперше:

1. Для трикутних систем за певними вимогами до їх гладкості отримано

- необхідні і достатні умови локальної в області відображуваності на лінійні системи за допомогою заміни змінних класу та адитивної заміни керування класу ,

- необхідні і достатні умови відображуваності на лінійні системи без заміни керування,

- достатні умови глобальної відображуваності.

Вказано явний вигляд відображення.

2. Для нелінійних систем загального вигляду класу отримано

- необхідні і достатні умови локальної в області відображуваності на лінійні системи за допомогою заміни змінних класу та адитивної заміни керування класу ,

- необхідні і достатні умови відображуваності на задану лінійну систему без заміни керування.

На основі цих результатів:

3. Для спеціального класу трикутних систем (так званих адитивних за останнім аргументом) отримано явний вигляд керування, яке розв'язує задачу керованості.

4. Для нелінійних систем, що відображуються на лінійні за допомогою адитивної заміни керування, показано існування граничного керування та наведено алгоритм для його знаходження.

5. Для нелінійних систем, що відображуються на лінійні без заміни керування, а також для нестаціонарних систем за першим наближенням розв'язано задачу синтезу позиційного обмеженого керування.

6. Для нелінійних систем, що відображуються на лінійні без заміни керування, розв'язано задачу швидкодії.

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить в цілому теоретичний характер. В дисертації отримала подальший розвиток теорія нелінійних керованих систем. Зокрема, дано повний опис множини усіх нелінійних систем класу , що відображуються на лінійні. Це дозволяє розглядати низку конкретних, в тому числі практичних, задач теорії керування для систем вказаного класу, використовуючи розв'язки цих задач для лінійних систем. Крім того, в дисертації отримано нові результати щодо трикутних систем, що може бути використано в прикладних дослідженнях, які пов'язані із трикутними системами (орієнтація супутника, керування роботом тощо).

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що винесено на захист, отримані автором особисто. В роботі [1] автору дисертації належать теореми 1, 2 і доведення теореми 3, в роботі [2] автору належать теореми 1 та 2, в роботі [7] - теореми 1 та 2.

Апробація результатів диссертації. Результати дисертации доповідалися та обговорювалися на Кримській Міжнародній математичній школі "Метод функций Ляпунова и его приложения", що присвячена 60-річчю директора Інституту Математики НАН України А.М. Самойленка (Алушта, 1998); на Міжнародному науковому семінарі в Інституті Математики Щецинського університету (Szczecin, Poland, 1999, 2001); на Міжнародній науковій конференції "Проблемы оптимального управления в динамике космических полетов" (Greifswald, Germany, 1999); на Міжнародній науковій конференції "Дифференциальные и интегральные уравнения" (Одеса, 2000), на Міжнародному науковому семінарі "Анализ, управление и стабилизация динамических систем" (Warszawa, Poland, 2001); на науковому семінарі по теорії керування механіко-математичного факультету Харківського національного університету.

Публикації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 8 роботах, з яких 7 статей у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, шести розділів, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації складає 141 сторінку, список літератури складається із 108 найменувань. Результати, що винесено на захист, формулюються і доводяться в розділах 2 -6.

OСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито сутність і стан наукової проблеми, що розглядається в дисертації, її актуальність, наведена мета роботи та наукова новизна отриманих результатів.

У розділі 1 наведено огляд літератури за темою дисертації, обґрунтовується вибір напрямків досліджень та наводяться основні результати дисертації.

У розділі 2 розглянуто задачу про глобальну відображуваність систем диференціальних рівнянь на лінійні системи. В підрозділах 2.1, 2.2 розглядаються системи без керування. Для системи отримані необхідні і достатні умови існування заміни змінних , що відображує її на лінійну систему де - стала матриця у формі Фробеніуса. Далі у підрозділі 2.3 цей метод застосовується до задачі про відображуваність трикутної керованої системи

(1)

на лінійну систему вигляду

(2)

де - матриця у формі Фробеніуса,

Теорема 2.3. Нехай у системі (1) функції є разів неперервно-диференційовними і задовольняють в нерівностям а функція має вигляд

де - коефіцієнти характеристичного полінома матриці .

Тоді система (1) відображується на систему (2) за допомогою заміни змінних z=F(x) вигляду

Далі в цьому підрозділі для n=2 та n=3 наведено явний вигляд систем (1), що відображуються на лінійні канонічні системи. Існування відображення на канонічну систему дає можливість отримати точний розв'язок задачі швидкодії для вихідної нелінійної системи при обмеженнях на керування вигляду . Наведено відповідний приклад.

В підрозділі 2.4 обговорюється питання про відображуваність системи з m-вимірним керуванням на лінійну систему.

В розділі 3 вивчається спеціальний підклас трикутних систем

(3)

у припущенні, що функції разів неперервно-диференційовними, Як відомо, ця система відображується на лінійну канонічну систему

(4)

за допомогою заміни змінних та керування .В підрозділі 3.1 показано, що в даному випадку зворотнє відображення знаходиться в явному вигляді і керування u також явно виражається через v та z. Докладніше, встановлено (теорема 3.1), що виражається тільки через причому від залежить лінійним чином, а також що u лінійно залежить від v,

(5)

де . Далі в підрозділі 3.1 розглянуто задачу керованості для системи (3) із заданої точки до заданої точки за заданий час . А саме, показано (теорема 3.2), що якщо v=v(t) - керування, що переводить точку в точку за час T в силу канонічної системи (4), а z=z(t) - відповідна траєкторія, то шукане керування і відповідна траєкторія для системи

(3) визначаються рівністю (5). При цьому керування v=v(t) можна вибирати наступним чином:

де f(t) - довільна інтегровна, майже всюди на відрізку [0,T] додатна функція.

Аналогічний результат отримано для систем вигяду

У підрозділі 3.2 розв'язується задача локальної керованості системи (3) з обмеженнями на керування. Показано (теорема 3.3), що якщо точка 0 є точкою спокою системи, тобто то система (3) є локально 0-керованою з обмеженнями на керування вигляду .

У розділах 4, 5, які є основними у роботі, розв'язана загальна задача про відображуваність нелінійних систем на лінійні, як з адитивною заміною керування, так і без заміни керування.

Означення 1.1. Будемо казати, що система

(6)

локально в околі точки відображується з адитивною заміною керування на лінійну систему

(7)

якщо знайдуться: окіл , відображення , що є двічі неперервно-диференційовним в і має невироджений якобіан в точці , тобто таке, що , і неперервно-диференційовна функція , такі, що після підстановки z=F(x), v=u+g(x) система (6) переходить у систему (7). В цьому випадку будемо говорити про локальну в околі точки відображуваність за допомогою заміни змінних z=F(x) та адитивної заміни керування v=u+g(x). У випадку, коли g(x)=0, т.е. u=v, будемо говорити про локальну в околі точки відображуваність без заміни керування (за допомогою тільки заміни змінних z=F(x)).

Означення 1.2 Систему (6) назвемо локально відображуваною в області на систему (7), якщо знайдуться відображення і функція , такі, що система (6) є локально відображуваною в околі кожної точки Q за допомогою заміни змінних z=F(x) та адитивної заміни керування v=u+g(x) у сенсі означення 1.1. В цьому випадку будемо говорити про локальну в області Q відображуваність за допомогою заміни змінних z=F(x) та адитивної заміни керування v=u+g(x). У випадку, коли g(x)=0, тобто u=v, будемо говорити про локальну в області Q відображуваність без заміни керування (за допомогою тільки заміни змінних z=F(x)).

Відзначимо, що невиродженість якобіану є достатньою умовою взаємної однозначності відображення, що здійснює заміну змінних, в деякому околі кожної точки області Q.

Означення 1.3. Будемо казати, що система (6) глобально відображується на систему (7) з адитивною заміною керування, якщо існують взаємно однозначне відображення класу та функція класу такі, що після підстановки z=F(x) та v=u+g(x) система (6) переходить у систему (7). У випадку, коли g(x)=0, тобто u=v, будемо говорити про глобальну відображуваність без заміни керування.

Нехай область є проекцію області Q на підпростір, що натягнуто на перші k координатних векторів.

В розділі 4 вивчається трикутна система (1) у припущенні, що функції є (n-k+1) разів неперервно-диференційовними в областях відповідно, . В підрозділі 4.1 отримано допоміжний результат, який є поширенням теореми A. Krener'a2 про відображуваність нелінійної системи на лінійну без заміни керування (ми використовуємо загальновживані означення

та ).

Теорема 4.1. Нехай система вигляду , де a(x), b(x) - вектор-функції класу , локально в області відображується на лінійну цілком керовану систему де A - стала матриця , q - n-вимірний вектор, за допомогою тільки заміни змінних z=F(x) з невиродженим якобіаном, . Тоді

1) вектор-функції існують, є неперервно-диференційовними в Q і

2)

Основний результат розділу міститься в теоремах 4.2, 4.3, що дають повний опис класу трикутних систем, що локально в області відображуються на лінійні за допомогою заміни змінних класу з невиродженим якобіаном та адитивної заміни керування класу , а також без заміни керування у сенсі означення 1.2. Далі, в теоремах 4.4, 4.5 дані достатні умови глобальної відображуваності у сенсі означення 1.3.

Теорема 4.2. Для того, щоб система (1) (з функціями класу ) відображувалася локально в області Q на систему за допомогою заміни змінних (класу з невиродженим якобіаном) та адитивної заміни керування (класу ), необхідно і достатньо, щоб для будь-яких виконувалась рівність

(8)

де - n разів неперервно-диференційовна функція, яка не дорівнює нулю в області . В підрозділі 4.3 розглядається локальна в області відображуваність системи (1) на лінійну систему без заміни керування.

Теорема 4.3. Для того, щоб система (1) (з функціями класу ) відображувалася локально в області Q на систему (2) за допомогою тільки заміни змінних (класу з невиродженим якобіаном), необхідно і достатньо, щоб

1.

2. Існувала (n+1) разів неперервно-диференційовна в функція така, що

для всіх . При цьому заміна змінних має вигляд

Підрозділ 4.4 присвячено питанню про глобальну відображуваність трикутної системи. Зазначимо, що в загальному випадку питання глобальної відображуваності є більш складним і потребує істотних припущень, які, взагалі кажучи, важко перевірити. Проте для трикутних систем достатні умови глобальної відображуваності набувають досить простого вигляду.

Теорема 4.4. Для того, щоб система (1) (з функціями класу ) глобально відображувалася на лінійну систему за допомогою заміни змінних (класу з невиродженим якобіаном) та адитивної заміни керування (класу ), достатньо, щоб в виконувалася рівність (8) і в мали місце нерівності

Теорема 4.5. Для того, щоб система (1) (з функціями класу ) глобально відображувалася на лінійну систему за допомогою заміни змінних (класу з невиродженим якобіаном) та без заміни керування, достатньо, щоб в виконувалася умова 2. теореми 4.3 та в мали місце нерівності

Остання теорема дозволяє, зокрема, отримати достатні умови глобальної керованості трикутної системи при наявності обмежень на керування вигляду А саме, враховуючи, що канонічна система є глобально керованою, маємо наступну теорему.

Теорема 4.6. Нехай для трикутної системи (1) виконані умови теореми 4.5, причому функція має вигляд

Тоді система (1) є глобально керованою з обмеженнями на керування вигляду

У підрозділі 4.5 наведено тривимірну трикутну систему, що є глобально відображуваною на лінійну, для неї дано розв'язок задачі швидкодії.

У розділі 5 розглядається питання про відображуваність нелінійної керованої системи загального вигляду

(9)

з неперервно-диференційовною правою частиною на лінійну систему з адитивною заміною керування і без заміни керування. Основні результати даного розділу містяться в теоремах 5.1 - 5.4 і дають повний опис множини систем вигляду (9), що відображуються на лінійні за допомогою заміни змінних класу з невиродженим якобіаном та адитивної заміни керування класу , а також без заміни керування у сенсі означення 1.2.

Зауважимо, що відображуваність на лінійну систему з адитивною заміною керування еквівалентна відображуваності на трикутну систему

(10)

без заміни керування. Неважко бачити, що якщо система (9) відображується на лінійну, то вона має вигляд

(11)

де . Далі і означають похідні Лі функції класу вздовж векторних полів a и b відповідно.

Центральне місце в розділі 5 займає наступна теорема.

Теорема 5.1. Для того, щоб система (9) (в якій ) відображувалася локально в області Q на лінійну канонічну систему за допомогою заміни змінних (класу з невиродженим якобіаном) та адитивної заміни керування (класу ), необхідно і достатньо, щоб:

1) система була лінійною відносно керування, тобто мала вигляд (11);

2) існувала система скалярних неперервних в Q функцій таких, що вектор-функції, визначені рівностями

(12)

існують і належать до класу ; функції лінійно незалежні в області Q, а система задовольняє умові замкнутості

3) серед розв'язків системи рівнянь в частинних похідних першого порядку

в якій визначені (12), існував такий розв'язок , що функції належать до класу і

(13)

де деяка функція однієї змінної класу що не дорівнює нулю в області .

При цьому якщо умову (13) виконано для деякого розв'язку , що задовольняє решті умов пункту 3), то її виконано і для будь-якого такого розв'язку.}

Зазначимо, що ця теорема узагальнює умови Brockett'a щодо відображуваності3 на випадок систем класу . Зокрема, вона показує, що для системи, що відображується на лінійну з адитивною заміною керування, вектор-функції не обов'язково існують. Проте, навіть якщо вони існують, умови Brockett'a не є достатніми в класі . Дійсно, для системи

що має лише один раз неперервно-диференційовну праву частину, існують і задовольняють умовам Brockett'a (оскільки ), показано, що не існує заміни змінних класу і адитивної заміни керування, що відображують систему на лінійну. А саме, показано, що якщо заміна має вигляд z=F(x), то з необхідністю тобто F(x) не є функцією класу .

В підрозділі 5.2 розглянуто питання про відображуваність на лінійну систему без заміни керування.

Теорема 5.2. Для того, щоб система (11) (де ) локально в області Q відображувалася на лінійну цілком керовану систему

в якій за допомогою заміни змінних (класу з невиродженим якобіаном) без заміни керування, необхідно і достатньо, щоб:

1) існували, належали до класу і були лінійно незалежними в Q вектор-функції для яких виконується умова

2) серед розв'язків системи

знайшовся такий розв'язок класу що 3) мала місце рівність

де - коефіцієнти характеристичного полінома матриці A.

Теорема 5.3. Нехай в області Q міститься точка спокою системи (11), тобто для деякої . Тоді твердження теореми 5.2 справедливо і без припущення щодо невиродженості матриці A.

Нарешті, в теоремі 5.4 розглянуто загальний випадок.

Теорема 5.4. Умови теореми 5.2 (без вимоги ) необхідні і достатні для відображуваності системи (11) на систему без заміни керування, де w - деякий сталий вектор. При цьому w=0, якщо або для деякої точки .

Прикладом системи, для якої виконуються умови теореми 5.4, є система

в області з один раз неперервно-диференційовною правою частиною. Показано, що ця система задовольняє умовам теореми 5.3 і відображується на лінійну канонічну систему за допомогою заміни змінних Як приклад застосування отриманих результатів, в теоремі 5.5 дані умови локальної 0-керованості з обмеженим керуванням для системи (11), що має точку спокою в початку координат і відображується на лінійну в околі нуля.

Розділ 6 присвячено застосуванню отриманих результатів про відображуваність систем до розв'язання задачі швидкодії і задачі припустимого синтезу для систем вигляду (11) в околі точки спокою x=0 при наявності обмежень на керування вигляду . В підрозділі 6.1 розглянуто питання про існування граничного керування (тобто кусково-сталого, що набуває значень і має не більш ніж n-1 переключення), яке переводить початкову точку до нуля в силу системи (9). А саме, показано (теорема 6.1), що якщо система (9) задовольняє умовам теореми 5.3 в деякому околі нуля Q, причому a(0)=0, то знайдеться окіл нуля , такий, що для будь-якої точки існує граничне керування, що переводить точку до нуля в силу цієї системи.

Твердження спирається на існування граничних керувань для системи (10), до якої система (11) зводиться за допомогою заміни змінних.

Запропоновано алгоритм знаходження граничного керування.

В підрозділі 6.2 на основі методу функції керованості показано (теорема 6.2), що якщо система (11) задовольняє умовам теореми 5.1, де , то існує такий окіл нуля і таке керування , що при і будь-який розв'язок системи з початковою умовою задовольняє співвідношенню для деякого . В роботі вказано вигляд такого керування u(x), а також наведено приклад тривимірної системи, для якої розв'язано задачу синтезу. Крім того, в підрозділі 6.2 розглянуто розв'язання задачі синтезу для неавтономних систем за першим наближенням (теорема 6.3).

Підрозділ 6.3 присвячено розв'язанню задачі швидкодії для нелінійних систем, що відображуються на лінійні без заміни керування. Для системи (11), що задовольняє умовам теореми 5.3, побудовано розв'язок задачі швидкодії в околі нуля з використанням аналітичного вигляду розв'язку задачі швидкодії для лінійної канонічної системи.

ВИСНОВКИ

Питання про відображуваність нелінійних систем на лінійні до теперішнього часу було докладно вивчено в нескінченно-диференційовному випадку. В той же час, відомо, що для трикутних систем ця вимога до гладкості може бути істотно знижена. В даній дисертаційній роботі результати щодо відображуваності нелінійних керованих систем на лінійні розвиваються та поширюються на випадок однократно диференційовних систем з використанням методів теорії трикутних систем. При цьому як основний випадок розглядається відображуваність з адитивною заміною керування, яка, зокрема, дозволяє зберегти обмеження на керування, що присутні в постановках низки задач оптимального керування. Основні результати, отримані в роботі, такі:

1. Для трикутних систем

в яких функції припускаються (n-i+1) разів неперервно-диференційовними, отримано необхідні і достатні умови локальної в заданій області відображуваності на лінійну систему за допомогою заміни змінних класу з невиродженим якобіаном та адитивної заміни керування класу , відображуваності без заміни керування, а також достатні умови глобальної відображуваності на лінійну систему.

2. Для нелінійних систем класу отримано необхідні і достатні умови локальної в заданій області відображуваності на лінійну систему за допомогою заміни змінних класу та адитивної заміни керування класу з невиродженим якобіаном, а також умови відображуваності на задану лінійну систему без заміни керування.

3. Для трикутних систем, що є адитивними за останнім аргументом, отримано явний вигляд керування, яке розв'язує задачу керованості.

4. Для нелінійних систем, що відображуються на лінійні, розв'язано деякі задачі теорії керування, а саме, знахождення граничного керування, задачу синтезу позиційного обмеженого керування і задачу швидкодії.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Коробова Е.В., Cкляр Г.М. Один конструктивный метод отображения нелинейных систем на линейные // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. - 1991. - № 55. - C. 68-74.

[2] Бессонов Г.А., Коробова Е.В. Решение задачи позиционного управления для некоторых классов нелинейных систем // Вестник Харьк. ун-та. - 1991. - № 361: Прикладная математика и механика. - C. 27 -- 33.

[3] Скляр Е.В. Нахождение в явном виде управления и траекторий, решающих задачу управляемости для некоторых нелинейных систем // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя "Математика, прикладна математика i механiка". - 1999. - № 458. - С. 3 - 14.

[4] Скляр Е.В. О классе нелинейных управляемых систем, отображающихся на линейные // Математическая физика, анализ, геометрия. - 2001. - № 2/4. - С. 205 - 214.

[5] Cкляр К.В. Необхiднi та достатнi умови вiдображення трикутних керованих систем на лiнiйнi// Доп. НАН України.- 2001. - № 7. - С. 33-36.

[6] Скляр Е.В. Отображение треугольных управляемых ситем на линейные без замены управления // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38, № 1. - С. 34-43.

[7] Луценко А.В., Скляр Е.В. Об аналитическом представлении классов управлений, решающих задачи управляемости и стабилизации // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя "Математика, прикладна математика i механiка". - 2002. - № 542. - С. 85- 95.

[8] Sklyar E.V. Conditions for mappability of triangular systems to linear ones without substitution on control // Тези доповідей Міжнар. конфер. "Диференціальні та інтегральні рівняння". - Одеса, 2000. - Р. 358-359.

АНОТАЦІЯ

Скляр К.В. Відображення нелінійних керованих систем на лінійні. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Одеський національний університет ім. І.І.Мечникова, Одеса, 2003.

Дисертацію присвячено розв'язанню задачі відображуваності нелінійних керованих систем на лінійні. Для трикутної системи за певними вимогами на гладкість отримано необхідні і достатні умови відображуваності на лінійну систему за допомогою двічі неперервно-диференційовної заміні змінних та неперервно-диференційовної адитивної заміни керування, а також без заміни керування. Для керованої системи загального вигляду, що є один раз неперервно-диференційовною, отримано необхідні і достатні умови відображуваності на лінійну систему за допомогою двічі неперервно-диференційовної заміні змінних та неперервно-диференційовної адитивной заміни керування, а також без заміни керування. Докладно вивчено випадок трикутних систем, що є адитивними за останньою змінною. На основі отриманих результатів щодо відображуваності розглянуто розв'язання деяких задач теорії керування для нелінійних систем. Результати дисертації в цілому носять теоретичний характер.

Ключові слова: нелінійні системи, трикутні системи, відображуваність, керованість, задача швидкодії, задача синтезу.

АННОТАЦИЯ

Скляр Е.В. Отображение нелинейных управляемых систем на линейные. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. – Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова, Одесса, 2003.

Диссертация посвящена решению задачи отображаемости нелинейных управляемых систем на линейные. Вопрос об отображаемости нелинейных систем к настоящему времени был подробно изучен в бесконечно-дифференцируемом случае. В то же время известно, что для треугольных систем это требование к гладкости может быть существенно снижено. В данной работе результаты по отображаемости нелинейных управляемых систем на линейные развиваются на случай систем с однократно дифференцируемой правой частью с использованием методов теории треугольных систем. При этом в качестве основного случая рассматривается отображаемость с аддитивной заменой управления, которая, в частности, позволяет сохранить ограничения на управление, присутствующие в постановках ряда задач оптимального управления.

Основные результаты, полученные в работе, следующие. Для треугольной системы при определенных условиях на гладкость получены необходимые и достаточные условия локальной в области отображаемости на линейную систему с помощью дважды непрерывно-дифференцируемой замены переменных и непрерывно-дифференцируемой аддитивной замены управления, а также без замены управления; указан явный вид отображения. При этом под локальной в области отображаемостью понимается существование замены переменных, определенной в некоторой области и взаимно-однозначной в некоторой окрестности каждой точки этой области. Получены достаточные условия глобальной отображаемости треугольных систем на линейные как с аддитивной заменой управления, так и без замены управления. Под глобальной отображаемостью понимается существование замены переменных, определенной и взаимно-однозначной во всем пространстве. Полученные условия, в том числе достаточные условия взаимной однозначности в случае глобальной отображаемости, для треугольных систем являются легко проверяемыми. Далее, для управляемой системы общего вида, которая предполагается один раз непрерывно-дифференцируемой, получены необходимые и достаточные условия отображаемости на линейную систему с помощью дважды непрерывно-дифференцируемой замены переменных и непрерывно-дифференцируемой аддитивной замены управления, а также отображаемости без замены управления на заданную линейную систему. Полученные условия существенно обобщают известные для бесконечно-дифференцируемого случая условия отображаемости. Подробно изучен случай треугольных систем, являющихся аддитивными по последней переменной. На основе полученных результатов об отображаемости рассмотрено решение некоторых задач теории управления для нелинейных систем: задачи нахождения граничного управления, задачи синтеза позиционного ограниченного управления, задачи быстродействия.

Работа носит в целом теоретический характер. Однако полученные результаты позволяют исследовать ряд конкретных, в том числе практических, задач теории управления для систем найденных классов, используя решение этих задач для линейных систем. Кроме того, в диссертации получены новые результаты о треугольных системах, что может быть использовано в прикладных исследованиях, связанных с треугольными системами (ориентация спутника, управление роботом и т.д.)

Ключевые слова: нелинейные системы, треугольные системы, отображаемость, управляемость, задача быстродействия, задача синтеза.

ABSTRACT

Sklyar E.V. Mapping of nonlinear controllable systems to linear ones. - Manuscript.

The thesis for candidate's degree in physics and mathematics science by speciality 01.01.02 - differential equations. - Odessa National University by I.I.Mechnikov, Odessa, 2003.

The thesis is devoted to the problem of mappability of nonlinear control systems to linear ones. For a triangular system under certain conditions on smoothness the necessary and sufficient conditions for the system to be mapped to a linear system by use of a two times continuously differentiable change of variables and a continuously differentiable additive change of control are obtained as well as conditions for the mappability without change of control. For a control system of a general form which is supposed to be continuously differentiable the necessary and sufficient conditions for the system to be mapped to a linear system by use of a two times continuously differentiable change of variables and a continuously differentiable additive change of control are obtained as well as conditions for mappability without change of control. The case of a triangular system which is additive with respect to the last variable is studied carefully. On the basis of the obtained results on the mappability the solving of some problems from the control theory is considered. On the whole, the results of the thesis are of theoretical character.

Keywords: nonlinear systems, triangular systems, mappability, controllability, time-optimal problem, synthesis problem.