ВІННИЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Богач Ілона Віталіївна

УДК 519.65.652

МЕТОДИ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ ФУНКЦІЙ ДВОХ ЗМІННИХ

Спеціальність 01.05.02 - Математичне моделювання та

обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Вінниця – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Вінницькому національному технічному університеті Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор

Квєтний Роман Наумович,

Вінницький національний технічний університет, завідувач кафедри автоматики та інформаційно-вимірювальної техніки.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Пєтух Анатолій Михайлович,

Вінницький національний технічний університет, завідувач кафедри програмного забезпечення

кандидат технічних наук

Герцій Олександр Анатолійович,

Київський університет економіки і технології транспорту, доцент кафедри телекомунікаційних технологій та автоматики

Провідна установа: Національний університет “Львівська політехніка”, кафедра автоматики та телемеханіки, Міністерство освіти і науки України, м. Львів.

Захист відбудеться 27 січня 2005 р. о 930 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 05.052.01 у Вінницькому національному технічному університеті за адресою: 21021, м. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці ВНТУ за адресою: 21021, м. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95.

Автореферат розісланий 24 грудня 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Захарченко С.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблема розробки методів обробки даних є ключовою при експериментальних дослідженнях, побудові математичних моделей різноманітних процесів, створенні систем автоматики, управління та обчислювальної техніки. Однією з головних задач обробки даних є інтерполяція. Особливу актуальність ця задача має сьогодні в тривимірному моделюванні при отриманні та обробці зображень реальних об‘єктів, побудові поверхонь та ландшафтів, в фізиці, астрономії, космонавтиці, медицини та ін.

В порівнянні з методами інтерполяції в двовимірному просторі задача інтерполяції в тривимірному просторі розроблена недостатньо глибоко. Саме тому в даній дисертаційній роботі в першу чергу проведено аналіз методів інтерполяції. В процесі дослідження було виявлено, що не для всіх класичних методів, що існують для функції однієї змінної, розроблені чи запропоновані модифікації для функцій двох змінних (наприклад, метод Лагранжа). Також для деяких методів досить необхідним та можливим є вдосконалення існуючих моделей та розробка модифікацій існуючих методів, що дозволять збільшити обчислювальну ефективність за рахунок зменшення кількості обчислювальних операцій та спрощення розрахунків. Однак, класичні методи не дозволяють ефективно проводити інтерполяцію погано диференційованих функцій. До обмежень даних методів слід також віднести той факт, що вузлами інтерполяції для них можуть бути лише окремі точки простору, а не множини точок. Тому в даній роботі також розроблено метод інтерполяції самоподібними множинами в тривимірному просторі. Цей метод в багатьох практичних випадках дає можливість уникнути обмежень, що властиві класичним методам.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації відповідає пріоритетним напрямкам розвитку науки в Україні.

В основу роботи покладено дослідження, що проводилися в період з 1999 по 2004 р. У 1999-2001 році проводилась науково-дослідна робота в рамках магістерської дисертації здобувача, що була представлена та захищена у 2001 р.

З 2000 по 2004 рр. робота виконувалась у відповідності з держбюджетними науково-дослідними роботами Вінницького національного технічного університету:

- 41-Д-214 – “Розробка математичних моделей та алгоритмізація сучасних задач моделювання вимірювальних інформаційних систем”, (№_держ. реєстрації: 0199U002939), затвердженої Міністерством освіти та науки України на 2000-2001 р.

- 41-Д-237 – “Розробка методології інтервального моделювання складних систем”, (№_держ. _реєстрації: 0192U002257), затвердженої Міністерством освіти та науки України на 2002-2004 р.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є підвищення ефективності та розширення області застосування методів інтерполяції функцій двох змінних на основі вдосконалення класичних методів та розробки методів інтерполяції самоподібними перетвореннями в тривимірному просторі.

Для досягнення поставленої задачі досліджень необхідно розв’язати наступні задачі:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Об’єкт дослідження - процес інтерполювання функції, що задана експериментальними даними в тривимірному просторі.

Предмет дослідження – класичні методи інтерполяції функцій двох змінних та методи інтерполяції в тривимірному просторі на основі самоподібних перетворень.

Використані у науковій праці методи дослідження: методи аналітичної геометрії - для інтерпретації результатів інтерполювання у тривимірному просторі; методи лінійної алгебри та функціонального аналізу – для розроблення теоретичних основ інтерполяції самоподібними перетвореннями; чисельні методи – для загальної постановки та розробки класичних методів інтерполяції функцій двох змінних; теорія алгоритмів, комп’ютерне моделювання – для алгоритмізації та програмної реалізації розроблених математичних моделей інтерполяції функцій двох змінних.

Наукова новизна одержаних результатів.

1.

2.

дозволяє проводити інтерполяцію просторових кривих та поверхонь.

3.

4.

Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що на основі проведених теоретичних досліджень:

1.

2.

3.

4.

Практичні результати дисертаційних досліджень впроваджені на підприємствах НВВФ “Роботметалургінвест” (м. Дніпропетровськ) та ТОВ “Комп’ютерні мультимедіа системи” (м. Вінниця), а теоретичні положення роботи впроваджено у навчальний процес кафедри автоматики та інформаційно-вимірювальної техніки Вінницького національного технічного університету. Впровадження результатів дослідження підтверджено відповідними актами.

Особистий внесок здобувача.

Всі результати дисертаційної роботи отримані автором особисто.

Серед 8-ми статей за темою дисертації 3 виконані автором самостійно 6, 7, 8, 3 в співавторстві з науковим керівником [1, 2,_4]. Робота [3] виконана в співавторстві з К.Ю.Костровою та науковим керівником. В даній роботі дисертанту належить побудова множин Хатчинсона, отриманих при інтерполяції контурів зображень. Робота [5] виконана в співавторстві з О.М.Кириловською та науковим керівником. В цій роботі дисертанту належить розробка математичних моделей класичних методів інтерполяції функцій двох змінних (різницевими методами та методом Лагранжа). В статті [2] запропоновано підхід для побудови математичних моделей та алгоритм інтерполяції функцій двох змінних класичними методами з застосуванням методу Лагранжа і приклади роботи програми, що створена на основі розробленого алгоритму. В статтях [1, 3, 4, 6, 7] та тезах [8-13] розвинуто підхід до обробки даних на основі методів, що застосовують самоподібні перетворення. В статті [1] автором здійснено побудову математичної моделі інтерполяції самоподібними перетвореннями в тривимірному просторі, розроблено алгоритм методу, наведені приклади застосування створеного програмного забезпечення. В роботах [12, 13], що виконані в співавторстві, здобувачу належить алгоритмізація методу самоподібних перетворень для чисельних розрахунків.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи пройшли апробацію на 18 наукових конференціях та симпозіумах: Міжнародній науково-технічній молодіжній конференції “XXV Гагаринские чтения” (Росія, м. Москва, 1999), міжнародних науково-технічних конференціях “Приборостроение - 99”, “Приборостроение - 2000” (м. Ялта, 1999, п.Симеїз, 2000), на 66-й науковій студентській конференції УДУХТ, Українського державного університету харчових технологій (м._Київ, 2000), четвертій науково-технічній конференції Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя “Прогресивні матеріали, технології та обладнання в машино- і приладобудуванні” (м. Тернопіль, 2000); VII науково-технічній конференції “Вимірювальна та обчислювальна техніка в технологічних процесах” (м. Хмельницький, 2000), XXIX, XXX, XXXI, XXXII, XXXIII науково-технічних конференціях професорсько-викладацького складу, співробітників та студентів Вінницького національного технічного університету з участю працівників науково-дослідницьких організацій та інженерно-технічних працівників підприємств м. Вінниці та області (м. Вінниця, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004), міжнародній конференції оптоелектронних інформаційних технологій “Photonics-ODS 2000” (м. Вінниця, 2000); 67-ї студентській науковій конференції студентів, аспірантів та молодих вчених (Київ, Український державний університет харчових технологій, 2001); Першій Всеукраїнській науково-технічній конференції аспірантів та студентів (м. Донецьк, Донецький державний технічний університет, 2001); Міжнародній конференції моделювання MS’2001 – Lviv (м. Львів Львівська політехніка, 2001); спільному семінарі ВДТУ з Ліверпульским технічним університетом імені Джона Мурса (Великобританія) (м. Вінниця, 2002); 9-й міжнародній науково-методичній конференції “Технології XXI віку” (Донецьк, 2002); VII Міжнародній конференції “Контроль і управління в складних системах (КУСС-2003)” – (м.Вінниця, ВНТУ, 2003).

Публікації. За результатами виконаних досліджень опубліковано 13 наукових праць: з них 8 статей, з яких 3 видані у науково-технічних журналах, що входять до переліку ВАК України, та 5 тез доповідей.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, 4 розділів, загальних висновків, списку використаних джерел і додатків. Загальний обсяг дисертації 186 сторінки, з яких основний текст викладено на 119 сторінках друкованого тексту, містить 62 рисунка, 7 таблиць. Список використаних джерел складається з 171 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розглянуто актуальність проблеми досліджень, зазначено зв’язок роботи з науковими програмами, темами. Обґрунтовано актуальність теми дисертації, зазначено зв’язок з науковими програмами, планами та темами, сформульовано мету та задачі досліджень. Також охарактеризовано наукову новизну та практичне значення одержаних результатів, наведено інформацію про впровадження результатів роботи, їх апробацію та публікації.

У першому розділі здійснено постановку задачі інтерполяції функцій двох змінних. Проаналізовано класичні методи інтерполяції, визначені переваги і недоліки кожного з них. Проведено аналіз фрактального підходу до обробки даних. Приведено стислу історію розвитку фрактальних методів і алгоритмів, зазначені їх переваги та обмеження. Описано необхідний математичний апарат для обробки даних на основі самоподібних перетворень – метрику Хаусдорфа, оператор Хатчинсона, самоподібну розмірність. Надані означення самоподібних та самоафінних множин. Наведено приклади класичних фрактальних множин.

На основі проведеного аналізу сформульовано основні задачі, які повинні бути розв’язані в роботі:

1. Вдосконалення різницевих методів інтерполяції функцій двох змінних та узагальнення різницевих методів на випадок застосування різних типів різниць.

2. Розробка математичної моделі для узагальнення методу Лагранжа для функцій двох змінних.

3. Розробка підходу та математичної моделі для реалізації методу інтерполяції функцій двох змінних на основі самоподібних перетворень.

4. Розробка алгоритмічного та програмного забезпечення для реалізації запропонованих математичних моделей методів інтерполяції функцій двох змінних.

5. Розробка загальної методики інтерполяції функцій, що задані експериментальними даними в тривимірному просторі.

6. Розв’язання практичних задач та перевірка адекватності розроблених моделей та алгоритмів.

В другому розділі розроблено:

- модифікований метод інтерполяції Ньютона для функцій двох змінних, що дозволяє спрощення обчислень за рахунок розміщення точок у заданому порядку;

- поширено модифікаційний метод інтерполяції Ньютона для функцій двох змінних на випадок різних типів різниць;

- розроблено метод інтерполяції Лагранжа для функцій двох змінних на основі методу інтерполяції Лагранжа для функцій однієї змінної;

- розроблено методику інтерполяції просторових кривих методами

- Лагранжа та Ньютона і поширення методу Ньютона на різні типи різниць;

- оцінена похибка розроблених методів та алгоритмів.

При постановці задачі інтерполяції задаються множини відомих точок , де змінюється з кроком , а - з кроком .

Порядок точок при застосуванні модифікованого методу Ньютона наступний:

1. Точки розміщуються по мірі зростання кореня суми квадратів значень та . Для цього вводиться позначення , значення якого розраховується за формулою:

.

2. Якщо для деякої множини точок дорівнює однаковому числу, тоді точки розміщуються за мірою зростання координат.

Згідно з приведеним вище, точки будуть переписуватися у новій послідовності:

Відповідно, при використанні методів інтерполяції для різних типів різниць будуть використовуватися прості різниці/

Відповідно, кінцеві різниці вищих порядків будуть розраховуватися за формулою: .

Інтерполяційна формула Ньютона для функцій двох змінних прийме вигляд:

Друга інтерполяційна формула Ньютона для функцій двох змінних:

Аналогічно в дисертаційній роботі виведені формули Гауса, Стірлінга та Бесселя для функцій двох змінних.

Остаточний член першої інтерполяційної формули Ньютона при введенні двох змінних, прийме наступний вигляд:

,

Формула Лагранжа для функцій двох змінних набуде вигляду:

Причому, якщо в чисельнику та знаменнику деякий співмножник або зустрічається декілька разів, то усі, крім одного, виключаються з обчислень.

Блок-схема алгоритму інтерполяції методом Лагранжа наведена на рис.1, 2.

Оцінка абсолютної похибки інтерполяційної формули Лагранжа здійснюється за формулою:

,

Рис.1. Блок-схема алгоритму інтерполяції Лагранжа для функції двох змінних

Рис. 2. Блок-схема допоміжної функції

для алгоритму Лагранжа

В третьому розділі розглянуто основні підходи до інтерполяції кривих в тривимірному просторі на основі самоподібних перетворень. Розглянуто загальний підхід до моделювання кривих та поверхонь на основі зазначеного методу. Розроблено підхід та математичну модель для реалізації методу інтерполяції функцій двох змінних на основі самоподібних перетворень. Розглянуто питання збіжності самоподібної множини у метриці Хаусдорфа.

Нехай, – деяка впорядкована скінчена множина тривимірного евклідового простору , а - оператор Хатчинсона, який задовольняє наступним умовам:

1) послідовність множин , ..., є збіжною відносно метрики Хаусдорфа.

2) множина належить множині , отриманій на -ій ітерації , . .

Інтерполяційною множиною Хатчинсона рангу будемо називати неперервну криву, що проходить через усі точки впорядкованої множини , причому з’єднана з , з’єднана з , …, з’єднана з .

Отже, задача інтерполяції полягає у знаходженні оператора Хатчинсона , що задовольняє умовам 1-2, наведеним вище, та у побудові за допомогою цього оператору інтерполяційної множини Хатчинсона рангу .

Нехай , – скінчена впорядкована множина точок тривимірного евклідового простору , тоді:

, , ;

. . . . .

, , ,

де – кут між векторами та .

Зауважимо, що кут буде розраховуватися в площинах та . Будемо називати вищевикладені співвідношення -співвідношеннями.

Для кожного сегменту заданої фігури розраховується наступне:

1. Обчислюється коефіцієнт

масштабування (рис. 3):

Рис. 3. Обчислення коефіцієнту масштабування

2. Обчислюється кут обертання в площині XOY (рис 4):

;

Рис. 4. Обчислення кута обертання площини XOY | 3. Обчислюється кут обертання в площині XOZ (рис. 5):

Рис. 5. Обчислення кута обертання площини XOZ

4. Виконується обертання перетвореної початкової ламаної та змінюється її позиція (рис. 6):

Рис. 6. Зміна позиції перетвореної початкової ламаної

Четвертий розділ присвячено практичному використанню розроблених методів та алгоритмів:

- здійснено аналіз та вибір засобів створення програмного продукту, що реалізує розроблений та модифікований методи інтерполяції;

- розроблено програмне забезпечення, що реалізує класичний та модифікований алгоритми методу Ньютона та алгоритм методу Лагранжа для функцій двох змінних;

- розроблено програмне забезпечення методу інтерполяції функцій та кривих самоподібними перетвореннями у тривимірному просторі.

У якості мови програмування було обрано мову C# та середовище програмування Microsoft Visual Studio 2003, що надало можливість створити додаток під платформу .NET. Програма має досить досконалу об’єктну модель, що робить її більш гнучкою і дає можливість швидко додавати механізми побудови поверхонь за новими методами, якщо в цьому виникне потреба.

Вхідними даними розробленого програмного забезпечення є функція , з якої беруться точки для інтерполювання, або окремий набір точок.

Програма інтерполяції класичними методами інтерполяції поділена на два основних модулі. У першому модулі реалізована основна логіка програми, інтерфейсна та обчислювальна частина, а другий модуль відповідає за парсінг та обчислення функцій, що задані користувачем.

Розроблена програма являє собою звичайний додаток Windows і містить стандартні елементи управляння Windows. Загальний вигляд інтерфейсу програми інтерполяції класичними методами інтерполяції наведено на рис. 7:

Рис. 7 - Інтерфейс програми інтерполяції функцій двох змінних
класичними методами

Таблиця 1

Практичні результати швидкодії модифікованого методу Ньютонадля функцій

Таблиця 2

Результати роботи інтерполяційного алгоритму Лагранжа

для функцій

Результати роботи алгоритму інтерполяції самоподібними перетвореннями наведено на рис. 8.

Початкові значення точок: А (137; 185; 100)

Б (251; 100; 200)

В (207; 185; 150)

Д (289; 181; 150)

Е (246; 192; 100)

Рис. 8. Отримання зображення об‘єкту при збільшенні на кожному кроці кількості ітерацій на одиницю

ВИСНОВКИ

Відсутність загальних підходів до інтерполяції функцій двох змінних обумовило необхідність та актуальність дослідження у дисертаційній роботі задачі розробки методів та моделей щодо функцій двох змінних на основі класичних підходів та з використанням самоподібних перетворень.

В результаті було розроблено математичне, алгоритмічне, програмне та методичне забезпечення для інтерполяції функцій двох змінних різницевими методами, методом Лагранжа та методами на основі самоподібних перетворень, що особливо ефективні для інтерполяції погано диференційованих функцій.

Основні наукові та практичні результати дисертаційної роботи полягають в наступному:

1. Здійснено постановку задачі інтерполяції функцій двох змінних. Проаналізовано відомі класичні методи інтерполяції, визначено переваги та обмеження кожного з них. Проаналізовано можливості фрактального підходу до обробки даних. Приведено стислу історію розвитку фрактальних методів і алгоритмів, визначено їхні переваги й обмеження. Описано необхідний математичний апарат для обробки даних на основі афінних перетворень – метрику Хаусдорфа, оператор Хатчинсона, самоподібну розмірність, фрактал; дані означення самоподібних та самоафіних множин. Наведено приклади класичних фрактальних множин.

На основі проведеного аналізу сформульовано основні задачі, які повинні бути розв’язані в роботі.

2. У відповідності з поставленими задачами розроблено модифікований метод інтерполяції Ньютона для функцій двох змінних, що дозволяє спрощення обчислень за рахунок розміщення точок у заданому порядку. Розроблений метод поширено для різного типу різниць.

3. Розроблено метод інтерполяції Лагранжа для функцій двох змінних на основі методу інтерполяції Лагранжа для функцій однієї змінної.

4. Запропоновано підхід до реалізації методу інтерполяції самоподібними множинами в тривимірному евклідовому просторі, що:

- дозволяє працювати з нерівновіддаленими вузлами інтерполяції;

- застосовується для інтерполяції недиференційованих функцій;

- використовує в якості вузлів інтерполяції як окремі точки простору, так і множини, що належать цьому просторові.

5. Доведено, що процес побудови інтерполяційних множин Хатчинсона є збіжним процесом і має фіксовану похибку.

6. Доведено збіжність запропонованих модифікацій методів та знайдені формули похибки. Похибка модифікацій методу самоподібними перетвореннями в тривимірному просторі визначається як максимальна похибка серед похибок для усіх підмножин, на які розбито початкову множину.

7. На підставі запропонованих методів інтерполяції Ньютона, Лагранжа для функцій двох змінних та інтерполяції самоподібними перетвореннями в тривимірному просторі розроблено відповідні алгоритми та спроектовано для них об'єктно-орієнтований дизайн. Описано класи, що реалізують кожний з розроблених алгоритмів; для цих класів специфіковано власні, успадковані і перевизначені методи. Наведено блок-схеми і детальні описи найбільш значимих частин алгоритмів.

8. Для всіх алгоритмів визначено область застосування. Проведено порівняльний аналіз за точністю і складністю розроблених алгоритмів і відомих алгоритмів (інтерполяція за Ньютоном з використанням подвійних різниць, сплайн-інтерполяція, лінійна інтерполяція), наведено діаграми результатів порівняння.

9. Показано, що класичні алгоритми мають вищу складність, ніж алгоритми, запропоновані в даній роботі.

10. Розроблено програмне забезпечення “3D_Interpolation”, що використовується для дослідження методу та алгоритмів інтерполяції просторових кривих та поверхонь. Описано методику використання програмного забезпечення та шляхи його подальшого вдосконалення.

11. Проаналізовано проблеми, що можуть виникнути при інтерполяції самоподібними множинами гладких функцій – одержання занадто великої похибки або неіснуючих перегинів функцій. Вказано шлях вирішення цих проблем - провести до початку інтерполяції аналіз множини вузлів інтерполяції і на підставі його вибрати алгоритм і варіювати його параметри. Такий підхід є типовим для алгоритмів обробки даних.

12. Розроблені методи і алгоритми пройшли успішну апробацію на фірмах НВВФ “Роботметалургінвест” (м. Дніпропетровськ) та ТОВ “Комп’ютерні мультимедіа системи” (м. Вінниця), де їх було використано для обробки зображень та розрахунку траєкторії рухомих об’єктів в просторі (механічних частин станків, роботів-маніпуляторів, тощо).

13. Розроблені в дисертаційній роботі методи й алгоритми інтерполяції просторових кривих та поверхонь доцільно використовувати в різноманітних задачах обробки даних: обробки зображень в тривимірному просторі, розрахунку траєкторії об’єктів. Їх застосування дозволяє отримати значний технічний та економічний ефект.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

АНОТАЦІЇ

Богач І.В. Методи інтерполяції функцій двох змінних. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – Математичне моделювання та обчислювальні методи. Вінницький національний технічний університет, Вінниця, 2004.

Дисертація присвячена розв’язанню задачі інтерполяції функцій двох змінних класичними методами Ньютона та Лагранжа та самоподібними перетвореннями у тривимірному просторі.

Вдосконалено метод інтерполяції Ньютона для тривимірного простору та поширено його на різні типи різниць. Розроблено метод інтерполяції Лагранжа для функцій двох змінних та метод інтерполяції самоподібними множинами в тривимірному просторі.

На підставі запропонованих різницевих методів, методу Лагранжа для функцій двох змінних та інтерполяції самоподібними перетвореннями в тривимірному просторі розроблено відповідні алгоритми. Описано методику використання програмного забезпечення та шляхи його подальшого вдосконалення.

Розроблені в дисертаційній роботі методи й алгоритми інтерполяції просторових кривих та поверхонь доцільно використовувати в різноманітних задачах обробки даних: обробки зображень в тривимірному просторі, розрахунку траєкторії об’єктів. Їх застосування дозволяє отримати значний технічний та економічний ефект.

Ключові слова: інтерполяція, функція двох змінних, тривимірний простір, різницеві методи, метод Лагранжа, самоподібність, самоподібні перетворення, самоподібні множини.

Богач И.В. Методы интерполяции функций двух переменных – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 – Математическое моделирование и вычислительные методы. Винницкий национальный технический университет. Винница, 2004.

Диссертация посвящена решению задачи интерполяции функций двух переменных классическими методами Ньютона и Лагранжа и самоподобными преобразованиями в трехмерном пространстве.

Отсутствие общих подходов к интерполяции функций в трехмерном пространстве обусловило необходимость и актуальность исследования задачи разработки методов и моделей для интерполяции функций двух переменных.

В результате разработано математическое, алгоритмическое, программное и методическое обеспечение для интерполяции функций двух переменных разностными методами, методом Лагранжа и методами на основе самоподобных преобразований.

Основные научные и практические результаты:

Проведен анализ известных классических методов интерполяции. Приведена краткая история развития фрактальных методов и алгоритмов, Определены их преимущества и недостатки. Описан математический аппарат, необходимый для обработки данных на основе самоподобных преобразований.

Усовершенствован метод интерполяции Ньютона для функций двух переменных, который позволяет упрощение вычислений за счет размещения точек в заданном порядке. Разработанный метод расширен на разные типы разностей.

Разработан метод интерполяции Лагранжа для функций двух переменных на основе метода интерполяции Лагранжа для функции одной переменной.

Предложен подход и разработана математическая модель для интерполяции самоподобными преобразованиями в трехмерном пространстве, который позволяет выполнять интерполяцию широкого класса функций, в том числе плохо дифференцируемых.

На основании предложенных разностных методов, метода Лагранжа для функций двух переменных и метода интерполяции самоподобными преобразованиями в трехмерном пространстве, с применением объектно-ориентированного подхода разработано соответствующее программное обеспечение; описаны классы, которые реализуют каждый из разработанных алгоритмов. Приведены блок-схемы и детальные описания наиболее значимых частей алгоритмов. Описана методика использования программного обеспечения и пути его дальнейшего усовершенствования.

Разработанные в диссертационной работе методы и алгоритмы интерполяции пространственных кривых и поверхностей целесообразно использовать в различных задачах обработки данных: обработки изображений в трехмерном пространстве, расчета траектории объектов. Их применение позволяет получить значительный технический и экономический эффект.

Ключевые слова: интерполяция, функция двух переменных, трехмерное пространство, разностные методы, метод Лагранжа, самоподобность, самоподобные преобразования, самоподобные множества.

Bogach I. Methods of interpolation of two-argument functions - Manuscript. Thesis for a candidate degree in technical sciences for speciality 01.05.02 – mathematical modelling and computational methods. – Vinnytsia National Technical University, Vinnytsia, 2004.

The dissertation is devoted to solving the problem of interpolation of two-argument functions by classic methods of Newton and Lagrange and self-similar transformations in 3D space.

Newton method of interpolation in 3D space is enhanced and expanded for the different types of differences. Lagrange method of interpolation and the self-similar sets interpolation method in 3D space are developed.

Basing on the proposed difference methods, Lagrange method for two-argument function, and self-similar transformations method in 3D space, the corresponding algorithms are developed and designed using object oriented approach.

Interpolation methods and algorithms developed in this dissertation are appropriate to use for various tasks of data processing: image processing in 3D, calculating of traces. Applying of such methods allows to get a significant economic effect.

Keywords: interpolation, two-argument function, 3D space, difference methods, Lagrange method, self-similarity, self-similar transformations, self-similar sets.

Підписано до друку 15.12.2004 р. Формат 29.7  1/4

Наклад. 100 прим. Зам. № 

Віддруковано в комп’ютерному інформаційно-видавничому центрі

Вінницького національного технічного університету

м. Вінниця, Хмельницьке шосе, 93. Тел.: (0432) 44-01-59