ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ДЕКАНОВ Станіслав Якович

УДК 517.521.8

ТАУБЕРОВІ ТА МЕРСЕРОВІ ТЕОРЕМИ

ДЛЯ ДЕЯКИХ МЕТОДІВ ПІДСУМОВУВАННЯ

ФУНКЦІЙ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ

01.01.01 – математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Дніпропетровськ – 2004

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Національному педагогічному університеті

імені М. П. Дра-гоманова, Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник:

кандидат фізико-математичних наук, доцент

МиХАЛІН Геннадій Олександрович,

Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова,

доцент кафедри математичного аналізу

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

ТІМАН Майор Пилипович,

Дніпропетровський державний аграрний університет,

завідувач кафедри вищої математики

доктор фізико-математичних наук, професор

ЗАДЕРЕЙ Петро Васильович,

Київський національний університет технологій

та дизайну, завідувач кафедри вищої математики

Провідна установа:

Інститут математики НАН України, відділ теорії наближення, м. Київ

Захист відбудеться “12” листопада 2004 року о 1430 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К .051.06 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: 49050, м. Дніпро-петровськ, вул. Козакова, 18, к. 405.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Дніпропетровського наці-онального університету за адресою: м. Дніпропетровськ, вул. Козакова, 8.

Автореферат розісланий “01” жовтня 2004 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Вакарчук М. Б.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. У середині XX ст. досить потужною галуззю матема-тич-ного аналізу стала теорія підсумовування розбіжних рядів. На той час багато відо-мих математиків зробили свій внесок у цю теорію. Серед них Л. Ейлер, Н. Абель, С. Пуассон, Г. Харді, Дж. Літтлвуд, Ф. Борель, О. Гельдер, Е. Чезаро, А. Таубер, Р. Шмідт, Е. Ландау, О. Тепліц, К. Кнопп, М. Ріс, Р. Агнью, Н. Ві-нер, Г. Ф. Вороний, А. Г. Постніков, А. М. Колмогоров та багато інших. Моно-графія Г. Харді “Розбіжні ряди” (1951 р.) завершила класичний етап розвитку теорії під-сумову-вання і дала по-штовх новим дослідженням. На наступних ета-пах здійс-нювалося узагальнення класи-чних резуль-татів у таких напрямах: 1) пе-рехід від числових послідовностей та функцій до векторнозначних; 2) від одно-кратних – до n-кра-т-них; 3) вивчення нових ви-дів збіжності; 4) урахування швидкості збі-жності тощо. Просування в цих напрямах було нелегким, вима-гало нових ідей, підхо-дів, методів дослі-джень і досить часто приводило до вельми цікавих, на-віть не-сподіваних, результатів.

Значний вклад у теорію підсумовування, зокрема, у тауберову теорію, вніс М. О. Давидов. У 1956 р. він запропонував новий спосіб одержання тауберових тео-рем – “спо-сіб (с)-точок”. Дави-довим було знайдено так звану (с)-власти-вість методів під-сумовування Чезаро, з якої випливали як про-сті наслідки май-же всі відомі раніше тауберові теореми для методів Чезаро. Постало питання про застосування аналогіч-ного підходу до інших методів під-сумовування.

Це питання продовжував вивчати М. О. Давидов разом із своїми учнями. При кафедрі мате-матичного аналізу Київського педінституту під керівництвом Миколи Олексійовича розроблялися також такі питання як регулярність, кон-сер-вативність, сумісність, включення, ефективність різних методів підсу-мову-вання, вклю-чення ядер, тауберові теореми та інші, діяв постійний семінар з тео-рії підсумо-вування роз-біжних рядів. Пред-ставниками школи Дави-дова отри-мано багато важливих результатів, які є значно сильнішими за аналогічні резу-льтати інших математиків, у тому числі за-кор-донних. Разом з цим залишилося багато цікавих нерозв’язаних питань. Деякі з них знайшли розв’язання у даній роботі.

По-перше, у мерсерових теоремах (тісно по-в’язаних з неефективністю пев-них матриць) наводяться, переважно, тільки достатні умови. Природно виникає питання про послаблення цих умов і пошук необхідних або необхідних і доста-тніх умов у та-ких теоремах. З іншого боку, у мер-серових теоремах фігурують, як правило, числові параметри, котрі визначають певні класи неефе-ктивних ма-триць. Щоб дістати ши-рші класи неефективних матриць, можна спробувати за-мінити параметри-числа на параметри-послідовності.

По-друге, останнім часом почали з’являтися узагальнення класичних тауберо-вих теорем шляхом заміни звичайної збіжності середніх статистичною збі-жністю. Ці дослідження можна про-довжувати, розглядаючи інші методи підсу-мовування прос-тих і кратних послідовностей. При цьому, безумовно, доцільно застосовувати “спосіб (с)-точок” М. О. Давидова, який, до того ж, був удоско-налений та узагальне-ний Г. О. Михаліним у 1989 р. і набув ширших можливос-тей застосу-вання. Зреш-тою, і подальша розробка “способу (с)-точок” для різ-номанітних методів підсумову-вання є перс-пективною.

Прагнучи до якомога повніших результатів, бажано працювати у лінійному то-пологічному просторі, використовувати узагальнені види збіжності, а в тауберових теоремах досліджувати і за-лишки.

Все сказане обумовлює актуальність теми дослідження.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисер-та-ційне дослідження проводилося згідно з річними планами наукової роботи кафедри мате-матичного аналізу НПУ імені М. П. Драгоманова.

Мета і завдання дослідження. Підсилення деяких мерсерових теорем, узагальнення (с)-вла-стивості методу Чезаро на деякі методи підсумовування простих і подвійних послідовностей у фо-рмі, яка дає тауберові теореми із залишком, а також одно-часне узагальнення цих теорем на випа-док статистичної збіжності або обме-же-ності середніх, причому для послідовностей, що набу-вають значень з дійс-ного віддільного, локально опуклого лінійного тополо-гічного простору L, – все це є метою даного дисертаційного дослідження. Для досягнення мети потрібно ви-конати наступні завдання:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Об’єкт і предмет дослідження. Об’єктом даного дослідження виступа-ють деякі матричні методи підсумовування простих і подвійних послідовностей і функцій кількох змінних, а предме-том – теореми типу Мер--сера або типу Таубера для цих методів підсумову-вання.

Методи досліджень. У процесі дослідження використовувалися загальні методи класичного і функціонального аналізу, теорії підсумовування розбіжних рядів і функцій, метод (с)-точок М. О. Давидова, удосконалений Г. О. Миха-лі-ним, метод оберненого перетворення (при доведенні мерсе-рових тео-рем), а також метод згорток і твірних функцій, вперше використаний М. М. Білоць-ким для доведення (с)-влас-тивості однократних методів підсумовування Вороного. При вста-нов-ленні ознак (с)-точок для L-значних послідовностей важливу роль зіграла теорема Хана – Банаха про відді-льність опуклих множин.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, що визначають нау-кову новизну і виносяться на захист, є такі:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Практичне значення отриманих результатів. Дана робота є теоретич-ним дослідженням і може мати практичний інтерес у теорії підсумовування кратних послідовностей і функцій багатьох змінних, а також у тих галузях ма-тематики, де ця теорія використовується, наприклад, у теорії чи-сел, теорії ймо-вірностей і математичній статистиці, гармонічному аналізі, спектральній теорії опе-раторів, теорії функцій, математичній фізиці тощо.

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку дослідження і зага-льна постановка за-дач належить науковому керівникові – Г. О. Михаліну. Роз-в’язання поставлених задач здійснено здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації допові-далися на

–

–

–

–

–

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у статтях [1] – [4]. У статті [1] час-тинний випадок, коли ?n?уn=1, на основі поняття (с)-точки М. О. Давидова першим отримав М. М. Білоцький, постановка загальної задачі належить Г. О. Михаліну, а розв’язання її здійснено С. Я. Декановим. У статті [2] Г. О. Михаліну належить постановка за-дач, а С. Я. Деканову – розв’язання цих задач. За результатами дисертаційного дослідження опубліко-вано сім тез допо-відей на міжнарод-них наукових конференціях.

Структура та об’єм дисертації. Робота складається із вступу, двох роз-ділів, що об’єднують 9 підрозділів, загальних висновків, списку використаних джерел (90 найменування) і 4 додатків. Усього в ній доведено 26 лем, 21 теоре-му і 22 наслідки. Повний обсяг роботи складає 147 сторі-нок. Основний зміст викладено на 131 сторінці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дослідження, визначено його об’єкт і предмет, мету і завдання, методи дослідження, наукову новизну та практичне значення, а також наведено ві-домості щодо апробації результатів.

Розділ 1 – “Мерсерові теореми для деяких методів підсумовування послі-довно-стей та функ-цій” – складається з трьох підрозділів.

У підрозділі 1.1 наведено означення абстрактних понять границі і ядра функції та методу підсумовування, визначено всі конкретні класи методів підсу-мовування, які вивчатимуться у дисертації.

На початку підрозділу 1.2 зроблено огляд публікацій, присвячених мерсе-ровим теоремам і поставлено завдання узагальнити деякі мерсерові теореми М. О. Да-видова, З. Сімсона, В. І. Мель-ника та Рогозинських.

Далі ми доводимо теореми 1 і 2 про не-ефективність одного перетво-рення відносно обмеже-ності та відносно збіжності, відповідно. Наведемо теорему 2.

Теорема 2. Нехай (n) і (pn) – фіксовані числові послідовності такі, що pn?0, Pn=?nk=0 pk?0 і an=nPn–1/pn?–1 nN0 (P–1=0). Тоді для того щоб з рів-ності limn(nSn+(1–n)?nk=0pkSk/ /Pn)=S ви-пливала рівність limnSn=S, де (Sn) – дові-льна бана-ховозна-чна послі-довність,

І)   достатньо, щоб одночасно виконувалися умови:

limn|n|>0, ?nk=0 | ––––1ak+1 ?nj=k+1 ––––ajaj+1| = H nN0 і ?8n=k ––––anan+1 kN;

ІІ)  якщо ?nk=0|pk|=O(Pn) і Pn?8 (n?8), то необхідно, щоб виконувалися дві останні умови з І);

ІІІ) якщо (|pn|=K n і 1–n=o(Pn)) або (|pn|=K|pm| n=m і (1–n)pn=o(Pn)), то необ-хідно, щоб limn|n|>0.

Частина I) теореми 2 повністю включає у себе твер-дження М. О. Давидова, З. Сімсона та В. І. Мельника, переносить їх на банаховозначні послідовності (Sn) і при цьому не вимагає обмеже-но-сті послідовності (n). Суть привнесеної теоремою 2 новизни добре помітна у найпростішому її наслідку 3.

Наслідок 3. Нехай (Sn) – довільна банаховозначна послідовність, n>0 і n=o(n). Тоді для того щоб з рівності limn(nSn+(1–n)–––1n+1  ?nk=0 Sk)=S ви-пливала рівність limnSn=S, необхідно й досить, щоб limn n>0 і  ?n=1 –––1nn =, причому умова n=o(n) потрібна лише для необхідності умови limn n>0.

В аналогічному твердженні М. О. Давидова 0<a=n=b<+ n>n0, а тут послідов-ність (n) може бути і необмеженою.

Далі доведено загальну мерсерову теорему 3 для функцій.

Теорема 3. Нехай (x) і p(x) – фіксовані неперервні функції на проміжку [0;+), при-чому (x)>0, p(x)>0, P(x)=?x0(y)dy x0, а функція S(x) до-вільна банаховозначна і неперервна на [0;+). Тоді для того щоб з рівності x+ ((x)S(x)+(1–(x))–––1P(x)  ?x0(y)S(y)dy)=S випливала рівність x+ S(x)=S,

І)   достатньо, щоб  limx+(x)>0 і  ?+1 ––––––p(x)dx(x)P(x)=+;

ІІ)  якщо x+ P(x)=+, то необхідно, щоб мала місце умова  ?+1 ––––––p(x)dx(x)P(x)=+;

ІІІ) якщо (P(x)+, (x)=O(1), p(x)=O(P(x)) (x+)) або (p(x)=O(1) і 1–(x)=o(P(x)) (x+)), то необхідно, щоб limx+(x)>0.

Характер узагальнення цією теоремою та її наслідками 7 – 9 результатів попе-редніх авторів (М. О. Давидова і Л. Ф. Таргонського) такий самий, як і в теореми 2 з її наслідками.

Основним результатом підрозділу 1.3 є теорема 4, що узагальнює одну мерсе-рову теорему Рогозинських. Тут використовуються поняття границі, част-кової границі і ядра функції f : XL за системою Ur, де X – довільна множина, на якій задано систему {Ur: r=0} її непорожніх під-множин, таких, що Ur1Ur2 при r1<r2 і nr=0Ur=, а L – нормований простір.

А саме: 1) еле-мент aL називають границею функції f за системою Ur і по-значають limUr f=a, якщо для будь-якого околу G цього елемента існує r00 таке, що f(Ur0)G; 2) якщо
a=nf(xn) для деякої послідовності xnUrn, де 0rn+, то елемент aL нази-вають частковою границею функції f за систе-мою Ur; 3) якщо f обмежена на множині X, то її ядром (за системою Ur) назива-ють замкнену опуклу оболонку множини Ef її часткових гра-ниць за системою Ur, тобто K(f)=Co–– Ef.

Теорема 4. Нехай j(x), jN, xX, – задана послідовність числових функцій така, що ряд
?j=1j(x) збігається на множині X і limUr ?j=1j(x)=1, а функції fj(x), jN, xX, набувають значень з обмежено компактного но-рмованого простору L. Тоді для того щоб для всіх функціо-нальних послідов-ностей (fj(x)), рівномірно обмежених на X і таких, що K(fj)K(f1) j=2, з умови limUr ?j=1j(x)fj(x)=a ви-пливала умова limUr f1(x)=a, необ-хідно і достат-ньо, щоб c>1, r0=0: ?j=2|j(x)|=(x)=1/c|1(x)| xUr0 і щоб ряд ?j=2|j(x)| збігався рівномірно на кож-ній множині E={xn: xnUrn , r0=rn+}.

Теорема Рогозинських є частинним випадком теореми 4, коли X=N, Ur={nN: n>r}, L=Rm, а j(x)=j xX, jN.

Досить цікавим є наслідок 10 з теореми 4, який узагальнює одну з теорем М. О. Давидова, доведену ним для однократних дійсних послідовностей.

Наслідок 10. Нехай L – про-стір з теореми 4, (x) – задана на множині X чи-слова функ-ція. Для того щоб з рівно-сті limUr ((x)f(x)+(1–(x)g(x))=a, де f і g – обмежені L-зна-чні функції на X, для яких K(g)K(f), кожного разу випли-вала рівність limUr f(x)=a, необ-хідно і достатньо, щоб c>1, r00: |1–(x)|1/c|(x)| xUr0, а це у випадку (x)R xX рівносильно умові

1/2<limUr  (x)Ur –––(x)<+.

Розділ 2 – “Статистична збіжність та обмеженість і тауберові теореми із залиш-ком для де-яких методів підсумовування простих і подвійних послідовно-стей” – складається з шести підроз-ділів.

На початку підрозділу 2.1 зроблено короткий огляд публікацій на тему таубе-рових теорем, який показав, що для деяких класів методів підсумовування найбільш ефективним способом оде-ржання тауберових теорем є “спосіб (с)-точок” М. О. Да-видова. Проте маючи на меті одержати та-уберову теорему для конкре-тного класу методів підсумовування, потрібно спочатку вдало ввести поняття (с)-точки для цих методів. Для методів (H,p,) і (C,p,), котрі підсумо-вують послі-дов-ності з дійсного віддільного, локально опуклого ліній-ного топо-логічного простору L, по-няття (p,,)-точок z= і z= першим ввів Г. О. Михалін і з їхньою допо-могою він одержав найза-гальніші в своєму роді тауберові теореми із залишком. Він же поставив задачу підсилити свої резуль-тати, замінивши звичайну збіжність або обмеженість середніх на так звану ста-тистичну збіж-ність або обмеженість.

Розв’язання цієї задачі пропонується у підрозділі 2.2 даної дисертації. Для цього введено нове означення (p,,)-точки, яке виявилося еквівалентним озна-ченню Г. О. Михаліна, але про-с-тішим, компактнішим і зручнішим.

Нехай L* – простір неперервних лінійних функціоналів на L, pn0, Pn=?nk=0 pk>0 n, а додатні послідовності (n) і (n) задовольняють умови:

mn і mn, коли PmPn, (1)

n>0 nN0 і npn/Pn0 (n). (2)

Точку z= (точку z=) назвемо D(p,,)-точкою L-значної послідов-ності (Sn), якщо знайдуться послідовності (mk), (nk), kL* і ak0: mk+1nk>mk, limk   ?nk=mk+1p/P>0, та абсолютно опуклий окіл нуля U такий, що для деякого >0 (для будь-якого >0) k0: k(mkSn)ak>k(U) nmk,nk––––– k>k0. (Літера “D” в цьому означенні – на честь М. О. Да-ви-дова).

Нехай (n) і (n) – додатні послідовності, що задовольняють умови (1) і (2), n()=n/n n, N0. Казати-мемо, що послідов-ність (Sn) (p,,)-ста-тистично збігається до елемента aL, якщо ко-жен абсолютно опук-лий окіл U нуля простору L є таким, що >0

limn  ––1Pn          ?k=n:k(Sk–a)Ukpk=0. (3)

Якщо в цьому означенні покласти a= і замінити “>0” на “>0”, то діс-танемо озна-чення (p,,)-статистичної обмеженості послідовності (Sn). Цю збіжність чи обмеже-ність позначати-мемо Sna ((p,,)-st) або Sn=O(1) ((p,,)-st) відповідно. Якщо у на-ведених вище означеннях замінити рівність (3) рівністю

limn  ––nPn          ?k=n:k(Sk–a)U  pk=0,

то дістанемо поняття (p,,)*-статистичної збіжності та обмеженості послідо-в-ності (Sn), які є зручнішими для методів Вороного. При nnpn1 обидва наші означення дають так звану статистичну збіжність, вперше введену Х. Фас-том у 1951 році для числових послідовностей. Статистичну збіж-ність розгля-дали також Дж. Фрайді і М. Хан. Саме їм належить ідея підсилення класичних тауберових теорем шляхом заміни звичайної збіжності середніх ста-тистич-ною.

Середні (Hn()) і (Cn()) ме-тодів підсумо-вування (H,p,) і (C,p,) визна-чаються так. Нехай p0>0, pn0, Pn(0)=1, Pn()=  ?ni=0piPi(–1) nN0, при-чому Pn(1)=Pn. Для довільної послі-довності (Sn) по-кладемо Sn(0)=Hn(0)=Sn, Sn()=  ?ni=0piSi(–1), Hn()=  ?ni=0piHi(–1)/Pn, Cn()=Sn()/Pn() nN0, N.

Основним результатом підрозділу 2.2 є наступна теорема 7.

Теорема 7. Якщо z= (z=) є D(p,(),)-точкою послідовності (Sn), то послідов-ності
(Hn()) і (Cn()) не можуть (p,,)-статистично збігатися до нуля (бути (p,,)-статистично обмеженими).

Ця теорема є наслідком з одного результату Г. О. Михаліна і показує, що всі відомі раніше тауберові теореми для вказаних методів підсу-мовування перено-сяться на випадок статис-ти-чної збіжності та обмеженості середніх.

Надалі твердження, аналогічні теоремі 7, називатимемо статистичними D-властивос-тя-ми відповідних методів підсумовування (оскільки вони узага-льнюють (с)-властивість М. О. Да-ви-дова).

Однією із статистично підсилених тауберових теорем із залишком для методів (H,p,) і (C,p,), котрі випливають з теореми 7, є такий наслідок.

Наслідок 12. Нехай додатна послідовність (n) задовольняє умови (1) і (2), а послідовність (Sn) точок нормованого простору L задовольняє умову

limn>nkSn–Snk||=r<+, коли      ?n=nk+11/p/P0.

Тоді якщо якась із послідовностей (Hn()) або (Cn()) (p,,1/)-статистично обмежена, то Snk=O(1), а якщо r=0 і якась із послідовностей (Hn()) або (Cn()) (p,,1/)-статистично збігається до aL, то Snk=a+o(1).

У підрозділі 2.3 доведено ряд тауберових теорем для методів Вороного класу WQ. Додатні регулярні методи Вороного (W,p) визначаються середніми

Wn(p)=––1Pn   ?nk=0 pn–kSk, nN0,

де pn0, Pn=?nk=0 pk>0 nN0, причому pn/Pn0 (n). До класу WQ віднесемо ті ме-тоди, твірна функція яких має вигляд

p(z)= ?n=0 pnzn=––––pl(z)p(z) z: |z|<1, (4)

де pl(z) і p(z) – многочлени з дійсними коефіцієнтами степенів l і відпо-відно, причому pl(0)>0, pl(z) не має додатних нулів, а pl(z) і p(z) не мають спільних нулів.

До класу WQ належать методи Чезаро (C,k), kN, додатні поліноміальні ме-тоди Воро-ного, котрі розглядав Л. Ф. Таргонський, а також деякі інші методи підсумовування.

Зафіксуємо додатні послідовності (n) і (n), що задовольняють умови

mn і mn, коли mn,

n>0 nN0 і n=o(n) (n).

Позначимо n()=n/n n, N0.

Основним результатом підрозділу 2.3 є наступна D-властивість методів підсу-мовування класу WQ.

Теорема 11. Нехай (W,p)WQ і має твірну функцію (4). Якщо точка z= (точка z=) є D(1,(1),)-точкою послі-довності (Sn), де 1N0 – крат-ність ко-реня z=1 мно-гочлена p(z), то Wn(p)o(1) (O(1)) ((1,,)*-st).

З теореми 11 легко випливають (с)-властивість методів Чезаро, знайдена М. О. Давидовим, (с)-властивість додатних поліноміальних методів Воро-ного, знайдена Л. Ф. Тар-гонським, а також багато статистично підсилених тауберо-вих теорем із залиш-ком. Наведемо одну з них.

Наслідок 16. Нехай (W,p)WQ, з твірною функцією (4), число z=1 є ну-лем кратності 1N0 многочлена p(z), Sn= ?nk=0akR nN0, nk і має місце одна з умов
(n(1)an=OL(n/n), коли lk=n=mk k>k0, де lk<nk<mk і limk lk(1–lk/nk)>0 та
limk nk(1–nk/mk)>0) або (n(1)an=O(n/n), коли nk=n=k або k=n=nk, k>k0, при-чому відповідно limk nk(1–nk/k)>0 або limk k(1–k/nk)>0).

Тоді з рівності Wn(p)=o(1) (=O(1)) ((1,,)*-st) випливає рівність nk(1)Snk=o(1) (=O(1)) (k).

В останніх трьох підрозділах 2.4 – 2.6 здійснено перенесення здобутих ре-зуль-татів з простих послідовностей на подвійні. Як і раніше, L є дійсним відді-льним, локально опуклим лінійним топологічним простором, L* – спряже-ним з ним простором, а послідовність (Sm,n) є L-значною.

На початку підрозділу 2.4 дається означення D(p,,)-точок подвійної послі-довності (Sm,n).

Нехай pn0, pn0, Pn= ?nk=0 pk>0, Pn= ?nk=0 pk>0 nN0, причому Pn і Pn при n. Зафіксуємо також до-датні послідовності (n), (n), (n) і (n), які за-довольняють умови (1) і (2). Позначимо pm,n=pmpn, Pm,n=PmPn, m,n=mn, m,n=mn m,nN0.

Точку z= (точку z=) назвемо D(p,,)-точкою послідов-ності (Sm,n), якщо існу-ють послідовності номерів (mk), (m*k), (nk), (n*k): mk+1m*k>mk, nk+1n*k>nk,
limk   ?m*k=mk+1p/P>0, limk   ?n*k=nk+1p/P>0, послідовність функціо-налів kL*, чисел ak0 і абсолютно опуклий окіл нуля U такий, що для деякого >0 (для будь-якого >0) k0: k(U)<ak=k(mk,nkSm,n) nmk,m*k–––––  nk,n*k––––– k>k0.

У пункті 2.4.2 наводяться тауберові умови для подвійної послідовності (Sm,n). Критерієм добору цих умов була найбі-льша аналогія з наведеними в пункті 2.1.4 тауберовими умовами для простої послідов-ності. Підкрес-лимо, що для L-значних подвійних послідовностей всі ці умови фор-мулюються вперше. Для числових послідовностей схожі умови роз-глядали М. О. Калаталова, М. Ф. Бурляй, Г. О. Михалін, В. М. Алданов та інші автори.

У підрозділі 2.5 перш за все вводяться поняття (p,,)-статистичної збіж-ності та об-меже-ності подвійної послідовності. Послідовність (Sm,n) назвемо (p,,)-статистично збіжною до еле-мента aL, якщо кожен абсолютно опуклий окіл U нуля простору L є таким, що >0

limm,n  –––1Pm,n               ?(i,j)=(m,n):i,j(Si,j–a)U  i,jpi,j=0. (5)

Якщо покласти a= і замість “>0” написати “>0”, то дістанемо озна-чення (p,,)-ста-тистичної обмеженості послідовності (Sm,n). Цю збіжність чи обме-женість познача-тимемо, від-повідно, як Sm,na ((p,,)-st) або Sm,n=O(1) ((p,,)-st). Вимагаючи замість рівності (5) рі-вність

limm,n  –––m,nPm,n               ?(i,j)=(m,n):i,j(Si,j–a)U  pi,j=0,

дістанемо ще два означення – (p,,)*-статистичної збіжності до елемента aL та обме-же-ності. Всі ці поняття для подвійної послідовності вводяться вперше і вже одразу в такій зага-льній формі.

Далі доводиться статистична D-властивість факторизованого методу Ріса (R,pm,n), середні якого мають вигляд Rm,n=––––1PmPn   ?mi=0  ?nj=0 pipjSi,j.

Теорема 16. Якщо точка z= (точка z=) є D(p,/,)-точкою по-слідов-ності (Sm,n), то послідовність (Rm,n) не може (p,,)-статистично збігатися до нуля (бути (p,,)-стати-стично обмеженою).

Простим наслідком з теореми 16 є (R,p,q)-властивість методів Ріса, доведена для подвій-них числових послідовностей М. Ф. Бурляєм.

З D-властивості методів Ріса випливають тауберові теореми 17 і 18 що є уза-гальненнями усіх відомих раніше тауберових теорем для факторизованого методу Ріса на випадок L-значних послі-довностей (Sm,n) і статистичної збіж-ності та обме-женості середніх.

У підрозділі 2.6 досліджено методи Вороного класу W2Q. Нехай pn0, pn0, Pn= ?nk=0 pk>0, Pn= ?nk=0 pk>0 nN0, причому Pn/pn0 і Pn/pn0 (n). Середні факторизованого методу Вороного (W,pm,n) мають вигляд Wm,n(p)=––––1PmPn   ?mi=0  ?nj=0 pm–ipn–jSi,j. Відне-семо цей метод Вороного до класу W2Q, якщо він має такі твірні функції:

p (x)= ?m=0 pmxm=–––––pa(x)p(x) , |x|<1, (6)

p(y)= ?n=0 pnyn=–––––pb(y)p(y) , |y|<1,

де pa(x), p(x), p b(y), p (y) – многочлени з дійсними коефіцієнтами, степе-нів a, , b та відповідно, pa(0)>0, p b(0)>0, pa(x) і p b(y) не мають дода-тних нулів і обидва дроби в правій частині рівностей нескоротні.

Додатні послідовності (n), (n), (n) і (n) у підрозділі 2.6 задоволь-няють умови

mn, mn, mn, mn при mn,

0<=n=o(n) і =n=o(n) (n).

Позначимо m()=m/m, n()=n/n, m,n(,)=m()n() m, n, , N0.

Основним результатом останнього підрозділу 2.6 є наступна статистична D-властивість методів Вороного класу W2Q.

Теорема 19. Нехай (W,pm,n) – метод Вороного з твірними функціями (6), число z=1 є нулем кратності 1N0 многочлена p(x) і нулем кратності 1N0 много-ч-лена p (y). Тоді якщо точка z= (точка z=) є D(1,(1,1),)-точкою послі-довності (Sm,n), то Wm,n(p)o(1) (O(1)) ((1,,)*-st).

З цієї теореми легко випливає (с)-властивість подвійних методів Чезаро (C,,), доведена М. О. Калаталовою.

На завершення підрозділу 2.6 доводиться декілька тауберових теорем із зали-шком для мето-дів підсумовування Вороного класу W2Q (теореми 20, 21 і наслідки 20 – 22). Уявлення про них дає наступна теорема, яка міститься в теоремі 21.

Теорема 21*. Нехай (W,pm,n) – метод Вороного з теореми 19, (Sm,n) – дій-сна послідов-ність, яка задовольняє умову limm*mn*nSm*,n*–Sm,n)m,n(1,1)–r>–, коли m(1–m/m*)0 і n(1–
–n/n*)0. Тоді якщо Wm,n(p)=O(1) ((1,,)*-st), то m,n(1,1)Sm,n=O(1) (m,n), а якщо r=0 і
Wm,n(p)=o(1) ((1,,)*-st), то m,n(1,1)Sm,n=o(1) (m,n).

ВИСНОВКИ

Дисертація є теоретичним дослідженням, яке присвячене теоремам типу Мер-сера і типу Тау-бера. Основні її наукові результати полягають у наступному.

1. Підсилено мерсерові теореми М. О. Давидова для послідовностей і для фун-кцій шляхом з’ясування необхідних та необхідних і достатніх умов; усі ре-зультати до-ведені для банаховоз-нач-них послідовностей і функцій.

2. Узагальнено одну мерсерову теорему Рогозинських шляхом розгляду більш зага-льного, ніж Rn, – а саме довільного скінченновимірного нормо-ваного простору Ln, шляхом заміни число-вого ряду функціональним, а звичай-ного поняття гра-ниці функції – поняттям границі за систе-мою множин Ur.

3. Введено поняття (p,,)-статистичної збіжності та обмеженості прос-тих і по-двійних по-слі-довностей, що набувають значень з лінійного топологіч-ного прос-тору L. Для однократних по-слідовностей ці поняття узагальнюють по-няття ста-тистичної збіжності, яку розглядали Х. Фаст, Дж. Фрайді і М. Хан, а для подвій-них вони вводяться вперше.

4. Сформульовано означення D(p,,)-точок у більш зручній формі, ніж у Г. О. Михаліна, і узагальнено (p,,)-властивість і тауберові теореми із за-лиш-ком для методів підсумову-вання (H,p,) і (C,p,), знайдені Г. О. Михаліним, на випа-док статистичної збіжності та обмеженості середніх.

5. Доведено статистичну D-властивість методів підсумовування Вороного класу WQ, з якої ви-пливають: класична (с)-властивість методів Чезаро, дове-дена М. О. Да-видовим, (с)-властивість додатних поліноміальних методів Вороного, доведена Л. Ф. Таргонським, а також багато ста-тис-тично підси-лених тауберо-вих теорем із за-лишком.

6. Доведено статистичну D-властивість і тауберові теореми із залишком для факто-ризованих ме-тодів Ріса підсумовування послідовностей з лінійного то-пологіч-ного простору L. Цим самим узагальнено результати М. О. Дави-дова, М. Ф. Бур-ляя та В. М. Алданова.

7. Доведено статистичну D-властивість і тауберові теореми із залишком для методів підсу-мову-вання Вороного класу W2Q у лінійному топологічному просторі L. Цим узагальнено резуль-тати М. О. Калаталової.

Використані методи досліджень дозволяють стверджувати, що результати, отримані для по-двійних послідовностей, можуть бути поширені на m-кратні по-слі-довності і відповідні факторизо-вані методи підсумовування.

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

АНОТАЦІЇ

Деканов С. Я. Тауберові та мерсерові теореми для деяких методів підсумовування функ-цій кількох змінних. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціаль-ністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Дніпропетровський національний університет, Дніпропе-тровськ, 2004.

Дисертація присвячена, по-перше, з’ясуванню необхідних і достатніх умов у деяких мерсе-рових теоремах, пов’язаних з перетворенням tn=nSn+(1–n) ?k=0n pkSk/ ?k=0n pk, узагаль-ненню цих теорем на банаховозначні послідов-ності (Sn) і функ-ції S(x) та узагальненню однієї те-ореми Рогозинських шляхом заміни сталих коефіцієнтів j у перетворенні tk=?j=1 jfk(j) на функції k(j).

По-друге, поняття статистичної збіжності числової послідовності (Sn) до числа A, яке ви-значається рівністю limn  –––1n+1        ?k=n:|Sk–A| 1=0 >0, узагальнено на прості та подвійні послідовно-сті з дійсного, віддільного, локально опуклого лінійного тополо-гічного простору L. Після цього знайдено статистичні (у яких за-мість звичайної збіжності середніх береться статистична збіж-ність) D-влас-тивості (так би мови-ти, джерела тауберових тео-рем) і доведено статистично підсилені тау-берові теореми із зали-ш-ком для однократних методів підсумо-вування типу методів Гельдера і Че-заро, Вороного класу WQ та для подвійних методів Ріса і Вороного класу W2Q, заданих над просто-ром L.

Ключові слова: мерсерова теорема, тауберова теорема із залишком, статистична збіжність, D-влас-тивість.

Деканов С. Я. Тауберовы и мерсеровы теоремы для некоторых методов суммирования функций нескольких переменных. – Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математи-ческих наук по спе-циальности 01.01.01 – математический анализ. – Днепро-петровский национальный университет, Днепропетровск, 2004.

В диссертации, во-первых, выясняются необходимые и достаточ-ные усло-вия для того, чтобы из равенства limnnSn+(1–n) ?k=0n pkSk/ ?k=0n pk)=S (с комплексными n и pn) вытекало ра-венство
limn Sn=S для любой банахово-значной последовательности (Sn). Из доказанных общих теорем получены в качестве следствий все известные ранее утверждения такого типа, причём снято условие n=O(1). Аналогичная задача решена также для банаховозначных непрерывных функций и соответствующего интегрального преобразования.

Кроме того, обобщена одна теорема Рогозинских путём замены постоян-ных коэффициентов j в преобразовании tk=?j=1 jfk(j) на функции k(j).

Во-вторых, понятие статистической сходимости числовой последователь-ности (Sn) к числу A, которое определяется равенством n  –––1n+1        ?k=n:|Sk–A| 1=0 >0, обобщено на простые и двой-ные последовательности из действитель-ного отделимого, локально выпуклого линейного то-поло-ги-ческого простран-ства L. После этого найдены статистические (в которых вместо обычной сходимости средних берется статистическая сходимость) D-свойства (так сказать, источники тау-беровых теорем) и доказаны статистически усиленные тауберовы теоремы с остатком для одно-кратных методов суммирования типа методов Гельдера и Чезаро, Вороного класса WQ и для двой-ных методов Риса и Вороного класса W2Q, заданных над пространством L.

Приведем основные результаты для методов Вороного.

Пусть L – действительное отделимое, локально выпуклое линейное топо-логическое про-странство с нулем , L* – сопряженное с L пространство, а (Sn) – L-значная последователь-ность. Положительные регулярные методы Вороного (W,p) оп-ределяются средними

Wn(p)=––1Pn   ?nk=0 pn–kSk, nN0,

где pn0, Pn=?nk=0 pk>0 nN0, причем pn/Pn0 (n). К классу WQ отнесем те ме-тоды, образующая функция которых имеет вид

p(z)= ?n=0 pnzn=––––pl(z)p(z) z: |z|<1,

где pl(z) и p(z) – многочлены с действительными коэффициентами степеней l и соответст-венно, причем pl(0)>0, pl(z) не имеет положительных нулей, а pl(z) и p(z) не имеют общих нулей.

Зафиксируем положительные последовательности (n) и (n), удовлетво-ряющие условиям

mn и mn, когда mn,

n>0 nN0 и n=o(n) (n).

Обозначим n()=n/n n, N0.

Точку z= (точку z=) назовем D((),)-точкой последовательности (Sn), если суще-ствуют последовательности (mk), (nk), kL* и ak0: mk+1nk>mk, limk mk(1–mk/nk)>0, и сущес-т-вует абсолютно выпуклая окрестность нуля U такая, что для не-которого >0 (для любого >0) k(()mkSn)ak>k(U) nmk,nk––––– k>k0.

Будем говорить, что последовательность (Sn) (,)-статистически сходится к нулю ((,)-статистически ограничена), если каждая абсолютно выпуклая окрестность U нуля пространства L такова, что >0 (>0)

limn  –––––nn+1          ?k=n:kSkU  1=0.

Эту сходимость или ограниченность будем обозначать соответственно Sn=o(1) (=O(1)) ((,)-st).

Имеет место следующее статистическое D-свойство методов суммиро-вания Вороного класса WQ.

Теорема 1. Пусть (W,p)WQ – метод Вороного, имеющий образующую функцию, указан-ную выше, причем число z=1 есть корнем многочлена p(z) крат-ности 1N0. Если точка z= (точка z=) есть D((1),)-точкой последовательности (Sn), то Wn(p)o(1) (O(1)) ((,)-st).

Из теоремы 1 легко вытекают (с)-свойство методов Чезаро, открытое Н. А. Давыдовым, и (с)-свойство полиномиаль-ных методов Вороного, найден-ное Л. Ф. Таргонским. Следствиями из тео-ремы 1 являются многие статисти-чески усиленные тауберовы теоремы с остатком. Приведем одну из них.

Следствие 1. Пусть (W,p) – метод Вороного из теоремы 1, SnR nN, nk и имеет место одно из условий

n(1)(Sn–Sn–1)=OL(n/n), если lk=n=mk, k>k0,

где lk<nk<mk, limk lk(1–lk/nk)>0 и limk nk(1–nk/mk)>0,

или

n(1)(Sn–Sn–1)=O(n/n), если nk=n=k или k=n=nk, k>k0,

причем соответственно limk nk(1–nk/k)>0 или limk k(1–k/nk)>0.

Тогда Wn(p)=o(1) (=O(1)) ((,)-st) nk(1)Snk=o(1) (=O(1)) (k).

Ключевые слова: мерсерова теорема, тауберова теорема с остатком, статистическая сходи-мость, D-свойство.

Dekanov S. Ya. Tauberian and Mercerian theorems for some methods of summation of func-tions of several variables. – Manuscript.

The thesis for a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01.01.01 – mathematical analysis. – Dnipropetrovsk National University, Dnipropetrovsk, 2004.

The thesis is dedicated, on the one hand, to elucidation of necessary and sufficient conditions in some Mercerian theorems connected with the transformation tn=nSn+(1–n) ?k=0n pkSk/ ?k=0n pk, to generalization of this theorems on Banakh sequences (Sn) and functions S(x) and to generalization of one theorem of Rogosinski’es by means of changing of the constant coefficients j in the transformation
tk=?k=0n jfk(j) by functions k(j).

On the other hand, the concept of statistical convergence of the numerical sequence (Sn) to the number A, which is defined by the equality limn  –––1n+1        ?k=n:|Sk–A| 1=0 >0, was generalized on simple and double sequences from the real Hausdorff locally convex linear topological space L. After that the statistical (in which statistical convergence of the means instead of plain convergence is taken) D-proper(so to say, the sources of Tauberian theorems) were found and the statistically forced Tauberian theowith a remainder for simple summation methods of type of Holder and Cesaro methods, of Voronoї of the class WQ and for the double summation methods of Riesz and Voronoї of the class W2Q, defined over the space L, were proved.

Key words: Mercerian theorem, Tauberian theorem with a remainder, statistical convergence, D-property.

Підписано до друку 27.09.2004р. Формат 6090/16.

Ум. друк. арк. 0,9. Обл.-вид. арк. 0,9.

Тираж 100 прим. Зам. № 135

“АВТОРЕФЕРАТ”

01034, м. Київ, пров. Георгіївський, 2, оф. 29.

т. 578-04-14, 294-71-27