МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Герасік Володимир Олександрович

УДК 539.3

НЕУСТАЛЕНІ ХВИЛЬОВІ ПРОЦЕСИ У НЕОДНОРІДНИХ

СЕРЕДОВИЩАХ ІЗ ПЛОСКОЮ ГРАНИЦЕЮ РОЗПОДІЛУ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі динаміки хвильових процесів НДІ проблем геодинаміки Таврійського національного університету, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник – доктор технічних наук, професор

Шевляков Юрій Андрійович,

НДІ проблем геодинаміки

Таврійського національного університету,

завідувач відділом хвильових процесів.

Офіційні опоненти – доктор фізико-математичних наук, професор

Селезов Ігор Тимофійович,

Інститут гідромеханіки НАН України,

завідувач відділом гідромеханіки хвильових процесів;

доктор технічних наук, професор

Хапілова Нелі Сергійовна,

Інститут прикладної математики і механіки НАН України,

завідувач відділом аналітичних методів гірничих порід.

Провідна установа – Київський національний університет ім. Т.Г. Шевченка,

кафедра теоретичної механіки, м. Київ.

Захист відбудеться 28.10.2004 р. о 14-30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К11.051.05 при Донецькому національному університеті за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, головний корпус, математичний факультет, ауд. 603.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Донецького національного університету,

83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24.

Автореферат розісланий 27.09.2004 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Мисовський Ю.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Актуальність дослідження неусталених хвильових процесів у деформівних твердих тілах обумовлюється практичними потребами сейсмології, сейсморозвідки, гідроакустики, динаміки гідротехнічних споруд, включаючи питання підводного фундаментобудування, а також багатьох розділів геофізики. Основні результати в цій області отримано на основі застосування математичних моделей і методів механіки суцільного середовища, у першу чергу - теорії пружності і гідромеханіки.

Задачі кількісної сейсмології часто приводять до необхідності досліджувати найпростіші моделі неоднорідних середовищ, зокрема, шматково-однорідні середовища з плоскою границею розподілу. Особливий інтерес у цьому випадку становлять пружні зсуви вільної від напруги границі середовищ. У зв’язку з цим з’явилася необхідність розвивати теоретичну базу фундаментальних законів поширення пружних і акустичних хвиль при дії нестаціонарних джерел різних типів. У випадку півпростору, поля зсувів вільної від напруг границі є основною ознакою сейсмічної активності глибинного джерела, яке необхідно ідентифікувати як у просторі, так і в часі. Характеристики джерела (координати розташування, потужність, час включення) практично знаходяться на основі аналізу даних про зсуві в деяких стаціонарних точках спостереження (сейсмостанціях), розташованих на поверхні. Для відновлення цих характеристик за даними спостережень, необхідно мати рішення прямих задач для полів пружних зсувів на поверхні розподілу середовищ.

Незважаючи на те, що багато явищ у природі - землетруси, цунамі, удари, або обумовлені діяльністю людини, наприклад, підземні вибухи, моделюються саме за допомогою імпульсних крапкових навантажень, вивченню нестаціонарних хвильових процесів приділялося менше уваги, у порівнянні з задачами зі стаціонарним навантаженням. При цьому, саме рішення задач з нестаціонарними джерелами подають необхідну інформацію для зворотних задач, де треба визначити характеристики джерела, наприклад, у вигляді часів приходів окремих хвиль.

Метою дослідження в дисертаційній роботі є вивчення закономірностей поширення хвиль при неусталених режимах у пружному півпросторі від нестаціонарних джерел різних типів, а також у пружному півпросторі, що знаходиться в контакті з акустичним середовищем, при цьому особлива увага приділяється випадку руху “верхнього” акустичного середовища. Для досягнення мети необхідно:

- розвивати методи рішення вісісиметричних і плоских крайових задач теорії пружності для різних моделей неоднорідних середовищ;

- застосовувати ці методи для одержання теоретичних рішень конкретних задач і їхньої алгоритмізації;

- розроблення пакетів програм на ЕОМ для чисельної реалізації розрахунків хвильових полів;

- проведення чисельних досліджень з метою установлення фізико-механічних закономірностей напружено - деформівного стану границі розподілу середовищ.

Об'єктом дослідження є наступні моделі неоднорідних середовищ: пружний півпростір; пружний півпростір, що знаходиться в контакті з напівнескінченним акустичним середовищем; пружний півпростір, що знаходиться в контакті з рухомим акустичним середовищем, зокрема, шаром.

Предметом дослідження є розробка методів розрахунку й аналіз пружних хвильових полів у неоднорідних середовищах із плоскою границею розподілу при дії нестаціонарних точкових і лінійних джерел різних типів, як зовнішніх (діючих на поверхні півпростору, включаючи точкове рухоме навантаження), так і внутрішніх (діючих на деякій глибині).

Математичні методи. При рішенні конкретних задач використовуються методи інтегральних перетворень, таких як: Лапласа, Фур’є, Беселя і Ханкеля 1го, 2го роду. Звертання інтегралів рішень проводиться, як правило, методом контурного перетворення Кан’яра, що часто дозволяє звести рішення вісісиметричних задач до вигляду слабосінгулярних інтегралів по кінцевому відрізку з особливостями на обох кінцях, а також одержати рішення плоских задач у замкнутому вигляді.

Чисельні методи, використовувані при розрахунку хвильових полів, включають чисельне інтегрування слабосінгулярних інтегралів, чисельне диференціювання, чисельний пошук реальної, уявної частини функції декількох перемінних, а також пошук коренів дисперсійних рівнянь.

Наведені аналітичні і чисельні розрахунки хвильових полів проводяться точно, без використання тих чи інших апроксимацій, тобто є однаково прийнятними як у ближній, так і в дальній зоні. Особлива увага приділяється аналізу поверхневих хвиль, у даному випадку - Релея і Стоунлі, для цього пропонується таке представлення рішення, у якому вирази для зсувів поверхневої хвилі виділяється окремо, у вигляді відрахування. Розглядаються хвильові процеси від точкових джерел різних типів: внутрішні сферичні джерела об’ємних хвиль - джерело P - хвиль (джерело розширення), джерело SV - хвиль; сферичні і циліндричні джерела об’ємних швидкостей (акустичні); зосереджені сили (включаючи рухоме навантаження), прикладені до границі розподілу середовищ. При рішенні задач про взаємодію пружного півпростору з акустичним середовищем не ставиться задача визначення полів швидкостей і тиску в акустичному середовищі, а аналізуються тільки хвильові поля пружних зсувів.

Побудова рішень нестаціонарних задач часто вимагає побудови передатних функцій, які є відгуками на імпульсні часові залежності типу дельта функції Дірака. Розрахунки хвильових полів у роботі приводяться точно, без використання тих чи інших асимптотичних методів, так що рішення є однаково справедливими як у ближній, так і дальній зоні.

На основі отриманих розрахунків і аналізу хвильових полів були зроблені наступні висновки, що становлять наукову новизну.

Наукова новизна й основні результати отримані в процесі роботи:–

Отримано нове рішення вісісиметричної задачі про внутрішнє джерело, однаково прийнятне для розрахунків хвильових полів у ближній і дальній зоні. Запропоновано представлення рішення, отриманого на основі методу Кан’яра, що дозволяє одержати окремі вирази для зсувів поверхневих хвиль, на основі якого досліджені питання про формування і поширення поверхневих хвиль (Релея, Стоунлі), що виникають при дії нестаціонарних джерел різних типів. Отримано аналітичні вирази для квазістатичних доданків при дії глибинного джерела P - хвиль, які характеризують витріщання середовища вибухом; –

Поставлені і вирішені нові задачі про дію нестаціонарних джерел у системі пружний півпростір - рухоме акустичне середовище, зокрема, досліджена дисперсія, що виникає при обтіканні пружного півпростору акустичним шаром. Отримано нові рівняння поверхневих хвиль у цій системі, дано аналіз впливу швидкості плину “верхнього” акустичного середовища на фазову швидкість і амплітуду поверхневої хвилі Стоунлі; –

Вивчені конічні хвилі в системі пружний півпростір - акустичне середовище для різних співвідношень пружних параметрів середовищ; –

Вперше отримане аналітичне рішення вісісиметричної задачі про рухоме по поверхні пружного півпростору точкове силове навантаження. На відміну від подібних робіт, задача зважується в нестаціонарній постановці, що дозволяє визначити області усталених / неусталених рухів.

Вірогідність отриманих результатів ґрунтується не тільки на застосуванні в роботі строгих математичних методів, але і забезпеченням високого ступеня точності задоволення крайових умов на границях розподілу середовищ, а також узгодженням отриманих результатів для окремих задач з відомими в літературі.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження пов’язані з фундаментальними науково-дослідними роботами:–

фінансованої Міністерством освіти і науки України конкурсної держбюджетної теми “Хвильова динаміка будівельних конструкцій”, № держреєстрації 199U001332, що виконувалася з 1997р. по 1998р., на підставі рішення науково-експертної ради;–

фінансованої Міністерством освіти і науки України конкурсної держбюджетної теми “Дослідження динаміки спеціальних споруджень при нестаціонарних процесах навантаження” № держреєстрації 0197U000424, що виконувався з 1999р. по 2001р. на підставі рішення науково-експертної ради;

Частина результатів дисертаційної роботи була використана в звітах по зазначеним НДР.

Практичне значення дисертації полягає в тому, що отримані результати розрахунків і дослідження хвильових полів при дії нестаціонарних джерел різних типів у пружному півпросторі, а також в акустичному середовищі можуть бути застосовані при рішенні зворотних задач кількісної сейсмології, зокрема, для визначення характеристик джерел сейсмічних хвиль на підставі сейсмограм поверхневої хвилі Релея.

Проведено дослідження структури поверхневих хвиль (Релея, Стоунлі) показує, що в кожній конкретній задачі поверхневі хвилі мають різну структуру, так що часи їхнього вступу можуть фіксуватися на сейсмограмах у вигляді декількох послідовних піків (екстремумів), що можуть нести додаткову інформацію, як про джерело, так і про властивості пружного середовища; розрахунок залишкових зсувів при дії внутрішнього джерела може бути використано при рішенні задач про підземний вибух, наприклад, для визначення радіуса чи лійки профілю пагорба витріщання, при наявності тих чи інших критеріїв міцності ґрунту.

Апробація результатів дисертації. Результати, викладені в дисертації, доповідалися на міжнародних конференціях і наукових школах:–

міжнародній науковій конференції “Математичні моделі фізичних процесів і їхні властивості” (м. Таганрог, 1997);

– міжнародних наукових школах “Деформування і руйнування матеріалів з дефектами і динамічні явища в гірських породах і виробках” (м. Алушта, 1998, 1999, 2000, 2001); –

міжнародних наукових конференціях “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (м. Донецьк, 1999, 2001);

Дисертаційна робота в цілому обговорювалася:–

на науковому семінарі відділу динаміки хвильових процесів НДІ проблем геодинаміки Таврійського національного університету (м. Сімферополь);–

на науковому семінарі Інституту гідромеханіки НАН України (м. Київ);–

на науковому семінарі кафедри теоретичної механіки Київського національного університету ім. Т.Г. Шевченко (м. Київ);

Публікації й особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи відображені в публікаціях [1-8]. Статті [4, 5, 7] перекладено в США на англійську мову й опубліковані в журналі “Journal of Mathematical Sciences”. Роботи [1, 2, 4, 5, 7] опубліковано в журналах, затверджених ВАК України як спеціалізовані видання.

Основні результати були отримані автором самостійно. У роботах [5, 7] співавторам Тищенку В.М. і Шевлякову Ю.А. належить участь у постановках задач, в обговоренні отриманих результатів. У роботі [2] співавтору Шевлякову Ю.А. належить участь в обговоренні постановки задачі.

Особисто автору належать, включені в дисертаційну роботу і публікації, наукові результати: –

побудова загальних виражень потенціалів поверхневих зсувів вісісиметричної задачі теорії пружності для півпростору при дії внутрішніх нестаціонарних джерел P і SV - хвиль [1, 4];–

одержання точних виражень для квазістатичного режиму у випадках, коли тимчасова залежність джерела виходить на константу. Ці вирази характеризують витріщання середовища під дією внутрішніх джерел P і SV - хвиль [1]; –

розробка методів аналітичного рішення задач про півпростір, що має плоску границю розподілу з рухомим акустичним середовищем, зокрема, шаром [2, 3];–

розробка методів рішення прямих і зворотних задач про рух силового навантаження по поверхні пружного півпростору [5-7]; –

складання комплексів програм для чисельної реалізації алгоритмізованих рішень [1-6]; –

проведення чисельних досліджень пружного стану півпростору та півпростору, що знаходиться в контакті з акустичним середовищем і виявлення нових фізико-механічних закономірностей поширення поверхневих хвиль [1-6].

Структура роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаної літератури, що містить 131 джерело і п’яти додатків. У роботі є 1 таблиця та 31 рисунок. Загальний обсяг дисертації складає 183 сторінки, з яких 14 сторінок займає список літератури, 16 сторінок – додатки, що містять 39 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми; сформульовано мету і задачі досліджень дисертаційної роботи; приведено основні результати, що виносяться на захист; викладено короткий зміст роботи по розділах; зазначено наукову новизну і практичне значення отриманих результатів; наводиться зв’язок роботи з науковими темами і планами; охарактеризовано особистий внесок автора в спільні публікації.

У першому розділі викладено аналітичний огляд відомих у літературі методів дослідження динамічних задач теорії пружності. Аналізом охоплено 131 робота вітчизняних і зарубіжних авторів. Відзначено провідну роль у розвитку теорії та її застосуванні щодо розв’язання практичних задач робіт В.М. Олександров, В.О. Бабешко, Л.М. Бреховських, І.І. Ворович, І.А. Вікторов, В.Т. Грінченко, О.М Гузь, В.Д. Кубенко, В.З. Партон, Г.І. Петрашень, В.Б. Поручиков, В.М. Сеймов, І.Т. Селезов, Л.І. Слепян, А.Ф. Улітко, Е.І. Шемякін, M.A. Biot, L. Cagniard, V. Cerveny, W.M Ewing, W.S. Jardetsky, H. Lamb, C.L. Pekeris, F. Press, R. Rayleigh, P. Richards, R. Stoneley. За допомогою аналізу літературних джерел виявлено області теорії та практики, які внаслідок наявності математичних труднощів до даного часу залишились мало дослідженими.

Зокрема, говориться про відсутність відомих робіт, у яких, наприклад, приводилися б розрахунки точних (однаково прийнятних як у ближній, так і в дальній зоні) рішень просторової задачі про глибинне джерело поздовжніх хвиль; недостатні дослідження пружних хвильових полів у системі пружний півпростір - рухоме акустичне середовище; відзначається відсутність досліджень задачі про рух силового джерела в нестаціонарній постановці. У зв’язку з цим, відзначено актуальність розробки чисельно-аналітичних методів дослідження пружного стану та розв’язання динамічних крайових задач теорії пружності з точковими та лінійними нестаціонарними джерелами для неоднорідних середовищ із плоскою границею розподілу.

Згадуються різні види нестаціонарних джерел, їхній фізичний смисл, так що їх можна класифікувати по типу: сейсмічні (глибинні), акустичні і силові. Приділяється особлива увага перевагам методу Кан’яра де Хоопа при рішенні задач з точковими нестаціонарними джерелами, що часто дозволяє знайти відгук на одиничний імпульс безпосередньо і з мінімумом обчислювальних зусиль. Приводяться приклади рішення простих задач.

У другому розділі розглядаються задачі про дію нестаціонарних джерел сейсмічного типу в пружному півпросторі. Приведено докладне рішення задач про дію точкового джерела поздовжніх (P) та поперечних (SV) хвиль на глибині . У даному випадку, метою є одержання та аналіз такого рішення, що є однаково прийнятним для будь-яких епіцентральних відстаней точки спостереження, тобто точного рішення, отриманого без використання апроксимацій.

Наприклад, джерело P - хвиль у циліндричній системі координат можна представити у вигляді потенціалу об’ємної сили , так що:

, (1)

де - деяка константа, що характеризує потужність джерела, - часова залежність джерела.

У цьому випадку рівняння Ламе:

, (2)

можна представити у вигляді системи двох хвильових рівнянь щодо потенціалів P і SV хвиль і :

, . (3)

При рішенні цієї задачі для пружного півпростору з вільною границею:

, , (4)

використовуються інтегральні перетворення Лапласа – Беселя у вигляді:

де , - модифіковані функції Ханкеля і Беселя. Далі, щодо отриманих виражень проведено перехід до комплексного променевого параметра повільності , за допомогою якого зворотне перетворення Лапласа знаходиться аналітично, що дозволяє застосувати контурні інтегралі по шляху Кан’яра.

Показано, що рішення для пружних зсувів на поверхні, у випадку довільної часової залежності можна точно визначити у вигляді згортки з передатною функцією :

(5)

де ; ( - правобічна границя) характеризують відповідно відгуки на джерела з імпульсними часовими залежностями і , а функція має вигляд:

(6)

де , , - безрозмірний час приходу поздовжньої хвилі. Зазначено аналітичний спосіб обчислення границь , .

Рис. 1. Відгук на джерело Хаскела.

Рис. 2 Пружні зсуви і хвилі Релея (пунктир).

Докладні розрахунки для різних епіцентральних відстаней приймача проведено для джерела Хаскела (експериментально визначена форма хвилі від глибинного джерела):

(7)

де - постійна, залежна від роду середовища (Рис. 1), а також для імпульсної часової залежності (Рис. 2).

Цей розділ присвячено також вивченню формування і зміни структури нестаціонарної хвилі Релея. Запропоновано і практично обґрунтовано використання відрахувань підінтегральних виражень для ідентифікації внеску поверхневих хвиль у загальне рішення (Рис. 2). Таким чином, можна одержувати прості для аналізу вирази, що характеризують поверхневу хвилю. Так, наприклад, у випадку , зсуви в хвилі Релея можна представити у вигляді:

(8)

де , , , - корінь рівняння Релея .

Тому що в міру поширення пружних хвиль по поверхні поверхневі хвилі переважають над об’ємними, ці вирази досить точно характеризують поле пружних зсувів на великих відстанях і великих часах. Проведено розрахунок перемінних швидкостей кожного окремого піка (екстремуму пружних зсувів) хвилі Релея.

Рис.3 Витріщання середовища вибухом.

Вивчається також витріщання середовища вибухом. Цей ефект є наслідком залишкових зсувів ґрунту при підземному вибуху. Отримано точні вирази залишкових пружних зсувів, що характеризують витріщання (Рис. 3):

(9)

Важливо відзначити наступне: по-перше, (9) є гарним тестом для чисельного розрахунку пружних полів від джерел з часовими залежностями, що володіють властивістю: , а по-друге, можна зробити висновок про те, що радіус лійки ніколи не перевищує приблизно 3.5, незалежно від потужності джерела, що узгоджується з багатьма експериментальними даними по ядерних і хімічних вибухах. Вирази (9) може бути використано для обчислення радіуса лійки, профілю й обсягу пагорба витріщання, а також при рішенні зворотних задач механіки підземного вибуху.

Третій розділ присвячено дослідженню нестаціонарних пружних хвиль у системі акустичне середовище – пружний півпростір при дії нестаціонарних джерел акустичного типу. Перший підрозділ присвячено дослідженню пружних зсувів в вісісиметричній задачі про дію акустичного нестаціонарного сферичного джерела об’ємних швидкостей. Рішення отримано за планом, запропонованим в другому розділі. Аналізується структура поверхневої хвилі Стоунлі. Отримано вирази для часу приходу головної хвилі у випадку “м’якого” ґрунту, в якому швидкість поширення поздовжніх хвиль менша швидкості звуку в акустичному середовищі.

Особлива увага в цьому розділі приділяється пружним полям, що виникають у системі пружне середовище - акустичне рухоме середовище, що описується системою рівнянь акустики рухомого середовища:

(10)

де - субстанціональна похідна, - характеризує середню швидкість середовища, - описує поле відносних акустичних швидкостей, - тиск, - вектор зовнішніх сил і - джерело акустичних швидкостей.

Розглядається, наприклад, випадок, коли , (акустичне джерело об’ємних хвиль з часовою залежністю , що розташовано у початку координат на границі розподілу середовищ), а середні швидкості середовища постійні, так що . У такому випадку в першому рівнянні (10) , а якщо ввести потенціал швидкостей (), то із системи (10) зв’язок тиску з потенціалом виражається у вигляді:

. (11)

Нижній півпростір описується потенціалами Р - і SV - хвиль, що задовольняють відповідно однорідним хвильовим рівнянням: , . Отримано аналітичне рішенні задачі про акустичне джерело, що діє на границі розподілу середовищ, при цьому граничні умови покладаються у вигляді () :

, , . (12)

Задача розв’язується використанням інтегральних перетворень Лапласа – Фур’є, з наступним переходом до контурних інтегралів по шляху Кан’яра. Зручно ввести безрозмірний параметр числа Маху , де - швидкість плину акустичного середовища, - швидкість звуку.

Рис. 4. Пружні зсуви при відсутності плину (M = 0) та

при наявності плину (M = –0.1, M = –0.2).

Вдається одержати аналітичне рішення цієї задачі в замкнутому вигляді, наприклад для горизонтальної складової:

(13)

Проведено аналіз отриманого дисперсійного рівняння хвиль типу Стоунлі:

, (14)

де , , .

Вивчається фактор горизонтального руху “верхнього” акустичного середовища на фазову швидкість (Рис. 5) і амплітуду хвиль Стоунлі при різних співвідношеннях параметрів середовищ і чисел Маху (включаючи надзвукове обтікання). Зокрема, встановлені критичні числа Маху, при яких (у рамках даної моделі середовищ) хвиля Стоунлі не може виявлятися.

Рис. 5. Залежність фазової швидкості хвилі Стоунлі від швидкості

плину “верхнього” середовища.

Розглянуто також більш загальну плоску задачу, але вже про дію циліндричного акустичного джерела на висоті , що розташовано у рухомому акустичному шарі. При цьому граничні умови на вільній границі шару покладаються у вигляді . У цьому випадку, дисперсійне рівняння поверхневих хвиль має більш загальний вигляд:

, (15)

де - рівняння Релея, - потужність шару.

Проведено аналіз цього рівняння, зроблено висновки щодо змін фазової швидкості хвиль Стоунлі в залежності від швидкості плину і потужності шару. Отримано вирази для часу приходу головної хвилі у випадку “м’якого” ґрунту, що залежать від горизонтальної швидкості акустичного шару.

У заключному, четвертому розділі, приводяться рішення задач про дію точкових силових навантажень. У першому підрозділі приводиться рішення методом Кан’яра вісісиметричної задачі Лемба про дію точкового силового навантаження. Це обумовлено наступними міркуваннями: по-перше, у цьому випадку є можливість одержання аналітичного рішення для вертикального компонента зсувів на поверхні і, таким чином, може бути отримано тестове рішення для чисельних розрахунків інтегралів по шляху Кан’яра вісісиметричних задач, що використовувалися в роботі; по-друге, ця задача також є тестовою при проведенні чисельних розрахунків задачі Лемба, розглянутої в даному розділі, де пружний півпростір знаходиться в контакті з акустичним середовищем, так що при наближенні параметра щільності акустичного середовища до нуля (вакуум) можна одержати рішення задачі Лемба для півпростору; по-третє, рішення цієї задачі дає можливість одержання функції Гріна (відгуку на дельта - імпульс) у замкнутому вигляді для вертикального компонента зсувів на поверхні, що дозволяє одержати аналітичне рішення задачі про рухоме навантаження, використовуючи згортку.

Отримано аналітичне рішення для вертикальної складової зсувів на поверхні, а також чисельно досліджується затухання хвилі Релея з глибиною. Основна увага приділяється структурі хвилі Релея від нестаціонарних джерел з часовими залежностями і . Вказано, що математично, при вивченні поверхневих хвиль в вісісиметричних нестаціонарних задачах важливу роль грає не тільки наявність полюса, але і наявність множника підінтегральних виражень вигляду:

де - горизонтальна повільність, - перемінна інтегрування, що має розмірність часу, - радикал типу чи , а - параметр глибини () чи висоти () джерела. В випадку, коли , поверхнева хвиля (Релея, Стоунлі) може мати ту чи іншу структуру, як у залежності вигляду часової залежності джерела, так і від результатів чисельного розрахунку інтегралів вигляду:

(16)

де - дисперсійне рівняння поверхневих хвиль, - деяка функція.

Рис. 6. Конічні фронти у випадку “твердого” півпростору.

Рис. 7. Конічні фронти у випадку “м’якого” півпростору.

Розв’язується більш загальна вісісиметрична задача Лемба для півпростору, що знаходиться в контакті з акустичним середовищем; розглядаються питання, пов’язані з конічними хвилями в глибині півпростору при різних співвідношеннях параметрів середовищ, надано спосіб одержання рівнянь фронтів конічних хвиль (Рис. 6, 7). Отримано рівняння конічних фронтів у вигляді:

(17)

де , - швидкості поздовжних та поперечних хвиль у пружному середовищі, - швидкість звуку в акустичному середовищі.

Отримано точне рішення про рухоме з постійною швидкістю точкове навантаження вздовж границі пружного півпростору в нестаціонарній постановці, встановлено області усталених рухів.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

1. Надано нове рішення задачі про внутрішнє джерело P - SV - хвиль у пружному півпросторі, що однаково прийнятне як у ближній, так і в дальній зоні. Запропоновано метод, заснований на побудові передатної функції, значно спрощує чисельні розрахунки вісісиметричних задач. Надано чисельні розрахунки для різних епіцентральних відстаней для джерела розширення (P - хвиль) у випадку часових залежностей у вигляді залежності Хаскела і функції Хевисайда;

2. На основі контурних інтегралів Кан’яра отримано представлення рішення задачі про внутрішнє джерело у вигляді суперпозиції об’ємних і поверхневих хвиль, що дозволило вивчити питання про формування поверхневої хвилі Релея на границі пружного півпростору і її внеску в загальне рішення при дії внутрішнього джерела сейсмічного типу. Показано, що нестаціонарні поверхневі хвилі Релея при неусталених режимах мають складну структуру, так що можуть виявлятися на теоретичній сейсмограмі у вигляді серії декількох піків (екстремумів на теоретичній сейсмограмі зсувів), швидкість яких спочатку перевищує швидкість поширення поверхневої хвилі в середовищі, а в міру поширення цих імпульсів по поверхні їхні швидкості наближаються до швидкості поверхневої хвилі Релея для даного середовища, так що фіксація часів приходів окремих піків, дозволила б одержати додаткову інформацію про характеристики джерела, що могло б бути використано при інтерпретації сейсмічних даних;

3. Отримано точні вирази для квазістатичного режиму, у випадках, коли часова залежність джерела виходить на константу. Ці вирази характеризують витріщання середовища під дією внутрішніх джерел P - і SV - хвиль та можуть бути використані в геомеханіці, а саме, в області механіки підземних вибухів;

4. Проведено аналіз хвильової картини в задачі про дію акустичного джерела об’ємних швидкостей над пружним півпростором, представлені чисельні розрахунки у випадку часової залежності у вигляді функції Хевисайда. Показано, що нестаціонарні поверхневі хвилі Стоунлі при неусталених режимах, у цьому випадку, можуть мати таку структуру, що можуть з’являтися на теоретичній сейсмограмі у вигляді одного піка радіальних зсувів і одного піка вертикальних зсувів, з досить близькими часами приходу, але проте різними для будь-яких епіцентральних відстаней;

5. Поставлено і вирішено аналітично нові задачі про хвилі в системі рухоме (з постійною горизонтальною швидкістю) акустичне середовище - пружний півпростір при дії точкового нестаціонарного джерела об’ємних швидкостей, що прикладене до границі розподілу середовищ; отримано узагальнення рівняння Стоунлі на випадок горизонтального руху акустичного середовища; дано аналіз залежності фазової швидкості й амплітуди хвилі Стоунлі від параметру числа Маху швидкості акустичного середовища для моделей м’якого і твердого ґрунту; отримано точні вирази, що встановлюють області існування хвилі Стоунлі в залежності від параметра числа Маху для різних наборів параметрів пружних / акустичних середовищ;

6. Отримано і проаналізовано нове дисперсійне рівняння для хвиль Стоунлі при обтіканні пружного півпростору акустичним шаром. Показано, що по-перше, при малих потужностях обтікаємого шару, фазова швидкість хвиль Стоунлі наближається до швидкості поширення хвиль Релея; по-друге, завжди існує така швидкість руху шару (що залежить від співвідношення параметрів середовищ), що фазові швидкості хвиль Стоунлі дорівнюватимуть швидкості поширення хвилі Релея на пружному півпросторі незалежно від потужності шару. При цьому зміна фазової швидкості відбувається таким чином, що при значеннях швидкості менших даний, більші фазові швидкості мають хвилі Стоунлі при обтіканні шаром меншої потужності, а при швидкостях більших даної - навпаки;

7. Зроблено висновки про те, що амплітуди хвилі Стоунлі в системі рухоме акустичне середовище - пружний півпростір збільшуються у випадку, коли напрямок плину збігається з напрямком поширення поверхневої хвилі і зменшуються в протилежному випадку;

8. Отримано чисельні розрахунки, що демонструють затухання з глибиною нестаціонарної хвилі Релея в просторовій вісісиметричній задачі Лемба для різних імпульсних часових залежностей;

9. Надано простий спосіб виділення конічних хвиль у глибині півпростору, що знаходиться в контакті з акустичним середовищем, на основі аналізу рішень у формі інтегралів Кан’яра. Показано, що точкове нестаціонарне джерело, прикладене до границі пружного півпростору, що знаходиться в контакті з акустичним середовищем, створює в глибині півпростору наступну хвильову картину: незалежно від співвідношень пружних параметрів середовищ, є сферичні фронти поздовжньої і поперечної хвиль, а також конічна поперечна хвиля, утворена рухомим поздовжнім фронтом; при цьому, у випадку твердого півпростору (), є додатково два конічних фронти (поздовжній і поперечний); у випадку м’якого півпростору ( ) є додатково один конічний фронт (поперечних хвиль); і, нарешті, у випадку м’якого півпростору ( ) не має додаткових конічних фронтів. Випадок примітний тим, що той самий конічний фронт мають поперечні хвилі різного походження: утворений рухомими поздовжнім фронтом і утворений рухомим акустичним фронтом, тобто має місце інтерференція, що підсилює зсуви на цьому конічному фронті тим сильніше, чим більше значення параметра безрозмірної щільності ;

10. Отримано аналітичне рішення просторової вісісиметричної задачі про рух силового джерела вздовж поверхні пружного півпростору. На відміну від відомих робіт на дану тематику, задача вирішується в нестаціонарній постановці, що дозволяє виявити області усталених та неусталених рухів.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ:

1. Герасик В.А. Внутренние источники сейсмического типа // Геотехническая механика. – 2002. – Вып.30. – С. 90–99.

2. Герасик В.А., Шевляков Ю.А. Волны на границе раздела движущейся акустической среды и упругого полупространства // Динамические системы. – 2001. – Вып.17. – C. 90–99.

3. Герасик В.А. Нестационарные волны Стоунли на границе твердого полупространства и движущейся акустической среды // Деформирование и разрушение материалов с дефектами, и динамические явления в горных породах и выработках: Тр. ХI науч. школы. – 2001. – C. 50–53.

4. Герасик В.А. Волны от глубинного источника продольных волн в упругом полупространстве со свободной границей // Динамические системы. –2000. – Вып.16. – С.117–123.

5. Герасик В.А., Тищенко В.Н. Восстановление источника по данным наблюдений // Динамические системы. – 1999. – Вып.15. – С. 164–169.

6. Герасик В.А., Тищенко В.Н., Шевляков Ю.А. Об одной обратной задаче сейсмоакустики // Деформирование и разрушение материалов с дефектами, и динамические явления в горных породах и выработках: Тр. IХ науч. школы. – 1999. – C. 28–30.

7. Герасик В.А., Тищенко В.Н., Шевляков Ю.А. Движение силового источника по упругой поверхности // Динамические системы. – 1998. – Вып.14. – С.106–111.

8. Герасик В.А., Тищенко В.Н. Движение силового источника по упругому полупространству // Тр. науч. конф. Таганрогского гос. ун-та “Математические модели физических процессов и их свойства”. – 1997. – С. 32.

АНОТАЦІЯ

Герасик В.А. Неусталені хвильові процеси в неоднорідних середовищах із плоскою границею розподілу. – Рукопис.

Дисертаційна робота на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за фахом 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. – Донецький національний університет, Донецьк, 2004.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню закономірностей поширення пружних хвиль при неусталених режимах навантаження в пружному півпросторі в наступних моделях неоднорідних середовищ: пружний півпростір; пружний півпростір, що знаходиться в контакті з акустичним середовищем; пружний півпростір, що знаходиться в контакті з акустичним шаром, при цьому особлива увага приділяється випадку горизонтального руху акустичного середовища. Вивчаються хвильові процеси при дії точкових і лінійних нестаціонарних джерел різних типів, як зовнішніх (діючих на поверхні півпростору, включаючи точкове рухоме навантаження), так і внутрішніх (діючих на деякій глибині). Досліджуються нестаціонарні поверхневі хвилі Релея, Стоунлі; узагальнюється рівняння Стоунлі на випадок горизонтального руху “верхнього” середовища (чи шару). У роботі пропонуються чисельні й аналітичні рішення, отримані без застосування апроксимацій типу ближньої і дальної зони, а також результати аналізу цих рішень.

Ключові слова: теорія пружності; акустика рухомого середовища; поверхневі хвилі Релея, Стоунлі; нестаціонарні джерела; пружні зсуви.

ABSTRACT

Gerasik V.А. Unstable wave processes in non-homogeneous medium with flat border. –Manuscript.

Dissertation for academic degree of the Candidate of physical and mathematical sciences (specialty 01.02.04 – Mechanics of Deformable Solid Body). – Donetsk National University, Donetsk, 2004.

The dissertation is devoted to the research of the unstable elastic wave fields in non-homogeneous medium with flat border, such as elastic half-space, elastic half-space contacting with acoustic medium, in particular, layer, including a case of constant horizontal velocity movement of acoustic medium or layer, reasoned by internal, acoustic point non-stationary sources.

Numerical and analytical decisions has been received without application of approximations zone, results of the analysis of these decisions are offered. Particularly, the non-stationary Raleigh and Stoneley surface waves are investigated; Stoneley equation is generalised on a case of horizontal movement of acoustic medium (or layer).

Key words: Solid mechanics; acoustic moving medium; Raleigh, Stoneley surface waves; non-stationary point sources; elastic displacements.

АННОТАЦИЯ

Герасик В.А.: Неустановившиеся волновые процессы в неоднородных средах с плоской границей раздела. – Рукопись.

Диссертационная работа на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела, Донецкий национальный университет, Донецк, 2004.

Диссертационная работа посвящена исследованию закономерностей распространения упругих волн при неустановившихся режимах нагружения в упругом полупространстве в следующих моделях неоднородных сред: упругое полупространство; упругое полупространство, находящееся в контакте с акустической средой; упругое полупространство, находящееся в контакте с акустическим слоем, при этом особое внимание уделяется случаю горизонтального движения акустической среды. Изучаются волновые процессы при действии точечных и линейных нестационарных источников различных типов, как внешних (действующих на поверхности полупространства, включая движущуюся точечную нагрузку), так и внутренних (действующих на некоторой глубине). В работе предлагаются точные численные и аналитические решения, полученные без применения тех или иных аппроксимаций типа ближней и дальней зоны, а также результаты анализа этих решений.

При решении конкретных задач используются методы интегральных преобразований Лапласа, Фурье, Бесселя. Обращение интегралов решений проводится, как правило, методом контурного преобразования Каньяра. Численные методы, используемые при расчете волновых полей включают численное интегрирование слабосингулярных интегралов, численное дифференцирование, численный поиск реальной, мнимой части функции нескольких переменных, а также поиск корней дисперсионных уравнений.

Целью приведенного в первом разделе литературного обзора, является выявление неполноты исследований в рассматриваемой области, в частности, говорится об отсутствии известных работ, в которых, например, приводились бы расчеты точных (одинаково приемлемых как в ближней так и в дальней зоне) решений пространственной задачи о глубинном источнике продольных волн. Отмечается также отсутствие исследований упругих волновых полей в системе упругое полупространство - движущаяся акустическая среда (слой).

Рассматриваются задачи о действии нестационарных источников сейсмического типа (сферические источники продольных (P) и поперечных (SV) волн) в упругом полупространстве. Показано, что решения для упругих смещений на поверхности в случае произвольной временной зависимости можно точно определить в виде интеграла свертки с передаточной функцией, которая имеет вид контурного слабосингулярного интеграла по конечному отрезку пути Каньяра. Подробные численные расчеты для различных эпицентральных расстояний приемника проводились для источника Хаскелла, а также для импульсной временной зависимости в виде функции Хевисайда. Значительное внимание уделяется вопросам формирования и изменения структуры нестационарной поверхностной волны Релея, ее вкладу в общее решение. Предлагается представление общего решения в виде суперпозиции объемных и поверхностных волн, практически обосновывается преимущество использование вычета в полюсе Релея при идентификации вклада поверхностной волны в общее решение. Получены точные выражения, характеризующие выпучивание среды в эпицентральной зоне под действием внутреннего источника.

Проведено исследование нестационарных упругих волн в системе жидкость - упругое полупространство при действии нестационарных источников акустического типа для осесимметрической задачи о действии сферического источника объемных скоростей. Решение получено по плану, предложенному во втором разделе. Анализируется структура поверхностной волны Стоунли. Особое внимание уделяется упругим полям, возникающим в системе упругая среда - движущаяся акустическая среда, которая описывается системой уравнений акустики движущихся сред (рассматривается случай движения с постоянной горизонтальной скоростью). В частности, получены и исследованы дисперсионные уравнения волн Стоунли в системе упругое полупространство - движущаяся акустическая среда / слой. Дан анализ зависимости фазовой скорости и амплитуды волны Стоунли от параметра скорости движения (числа Маха) акустической среды для моделей мягкого и твердого грунта; получены точные выражения, устанавливающие области существования волны Стоунли (в рамках данной модели) в зависимости от параметра числа Маха для различных наборов параметров упругих / акустических сред.

Рассматриваются задачи о действии силовых нестационарных источников. Численно исследуется затухание нестационарной волны Релея с глубиной. Получено решение задачи Лэмба для полупространства, находящегося в контакте с акустической средой; исследуются фронты конических волн в глубине полупространства при различных соотношениях параметров сред, представлен способ получения уравнений фронтов конических волн. Получено точное решение задачи о движущейся с постоянной скоростью нагрузке по границе упругого полупространства в нестационарной постановке. Установлены области установившихся / неустановившихся движений.

Ключевые слова: теория упругости; акустика движущейся среды; уравнения Ламе; продольные, поперечные волны; поверхностные волны Релея, Стоунли; нестационарные источники; импульсные временные зависимости; теоретические сейсмограммы упругих смещений.