Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

Просянюк Наталія Сергіївна

УДК 511.33

Статистичні задачі теорії чисел

01.01.06 – алгебра та теорія чисел

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ-2004

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Одеському національному університеті імені І.І. Мечникова

Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник

д. ф.-м. н., професор Варбанець Павло Дмитрович, завідувач

кафедри комп’ютерної алгебри та дискретної математики

ОНУ імені І.І. Мечникова

Офіційні опоненти:

д.ф.-м.н., професор Берник Василь Іванович, завідувач лабораторії теорії

чисел Інституту математики Академії наук Білорусі, м. Мінськ;

к.ф.-м.н., доцент Ганюшкін Олександр Григорович,

доцент кафедри алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Провідна установа Ужгородський національний університет (кафедра алгебри).

Захист відбудеться “ 8 ” червня 2004 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (01033 Київ, вул. Володимирська, 64, механіко-математичний факультет).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий “ 7 ” травня 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Плахотник В.В.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Метод тригонометричних сум – один з таких, що дозволяє вирішувати широке коло різноманітних задач теорії чисел та її застосувань. За допомогою цього метода були отримані найбільш сильні результати в низці центральних питань аналітичної теорії чисел. Цей метод виникнув на початку XX століття в роботах Харді та Літлвуда, в яких вони застосовували оцінки деяких тригонометричних сум при вирішенні питання про можливість представлення натурального числа N у вигляді суми однакових степеней натуральних чисел , та визначанні такого найменшого , для якого кожне натуральне число допускає таке представлення (проблема Варінга).

Як відомо, в 30-их роках XX століття ця проблема була майже вирішена І.М.Виноградовим (він довів, що кожне достатньо велике N допускає таке представлення), зокрема, при виникла проблема про найменше число кубів в представленні N у вигляді суми кубів. Ще в 1909 р. Вієферіх довів, що кожне натуральне – є сумою, саме більше, дев’яти кубів, та є натуральні числа, які не можна представити у вигляді суми восьми кубів. Цікавою також є задача про розподіл натуральних чисел, які можна представити у вигляді суми трьох кубів. Та хоча відомі числа, які мають більше ніж одне представлення, але як показав Крістофель Хуллі кількість чисел, які мають більше одного представлення, є від кількості чисел, які допускають хоча б одне представлення у вигляді суми трьох кубів. Тому природньо виглядає задача побудови асимптотичної формули для суми , де .

Основний вплив на розвиток аналітичної теорії чисел чинили роботи І.М.Виноградова, який глибоко розробив метод тригонометричних сум, та зумів за допомогою цього метода розв'язати низку задач, які до цього здавалися зовсім недоступними. Застосування цього метода знайшло свій розвиток в роботах цілої низки математиків: Ван дер Корпута, Л.Мордела, Хуа ло Кена, М.М.Коробова, К.А.Родоського, А.О.Карацуби та інших.

Надалі, в роботах Ван дер Корпута та І.М.Виноградова оцінки тригонометричних сум стали застосовуватися в різноманітних задачах підрахунку числа точок з цілими координатами, розташованих всередині заданої області. В їх роботах було показано, що оцінка істотно залежить не тільки від гладкості границі області, але й від наявності на ній точок з нульовою кривизною.

Ще Гаус та Діріхле знали, що число цілих точок в області, обмеженою кривою Г, дорівнює

(тут оцінює довжину кривої Г).

Але можна сподіватися, що для достатньо гладких кривих залишковий член має більш точну оцінку . Так в задачі круга, розпочинаючи з гаусової оцінки ми спостерігаємо послідовну зміну : (Гаус), (Серпінський), (Ван дер Корпут); (Колєснік); (Іванєц-Мозуччі); (Хакслі).

Так, теорія побудови асимптотичних формул для задач, які досліджують розподіл цілих точок в заданих областях k- вимірного арифметичного простору, стала називатися статистичною теорією чисел, а основними методами розв'язання задач статистичної теорії чисел є метод тригонометричних сум та метод гармонійного аналізу.

Метод гармонійного аналізу хоча й дає нетривіальні оцінки для числа цілих точок в областях, але не дає результатів тієї сили, якої хотілося б. Тому побудова нових оцінок спеціальних тригонометричних сум і зараз є актуальною проблемою. Поліпшень можна досягнути також, застосовуючи метод експонентних пар, який був впроваджний Ван дер Корпутом для оцінки одновимірних тригонометричних сум, і потім удосконалений П.Філліпсом. Англійський математик Хакслі, використовуючи деякі міркування метода Харді-Літлвуда, отримав оцінки тригонометричних сум, які часто зустрічаються в статистичній теорії чисел. В ідейному плані роботи Хакслі є продовженням метода Ван дер Корпута.

В роботах Бомб’єрі – Іванєц, а також Іванєц – Мозуччі, Фаворі – Іванєц були побудовані суттєві покращення оцінок тригонометричних сум з гладкою функцією в показнику.

В роботах Г.Вейля, Е.Тітчмарша, Ван дер Корпута, Л.Мордела та інших вивчалися тригонометричні суми з дійсно–значною функцією в показнику та з певними диференціальними властивостями на неї. Такі суми, зокрема, виникають при вивченні дзета-функції Рімана, при розв'язанні проблеми круга Гауса, проблеми дільників Діріхле та багатьох інших. Тому актуальним залишається питання про створення нових методів для розв'язання різноманітних задач статистичної теорії чисел.

Все вище викладене свідчить про те, що дослідження, які пропонуються в дисертаційній роботі, є актуальними.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика

дисертації пов'язана з напрямком основних досліджень кафедри комп’ютерної алгебри та дискретної математики Одеського національного університету ім. І.І.Мечникова, які ведуться в рамках науково-дослідної теми “Дослідження асимптотичних задач теорії чисел” (номер держ. реєстрації 0101V008297).

Мета та задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є:

а) вивчення розподілу цілочисельних точок на площині та в трьох-вимірному просторі з певними умовами на координати точок;

б) дослідження розподілу розвязків конгруенції

y2 x3 + (mod pn), (n N, n 3)

в кільці цілих гаусових чисел;

в) вивчення деяких функцій знаків цілих гаусових чисел, які зображуються в канонічних та узагальнених числових системах.

Наукова новизна отриманих результатів В дисертації отримані наступні результати:–

знайдено поліпшення залишкового члена в задачі про число цілих точок в області ;–

доведена спеціальна лема про оцінку тригонометричної суми з лінійною функцією в показнику над кільцем цілих гаусових чисел і знайдено узагальнення методу Л. Мордела для визначення кількості розвязків конгруенцій в Z[i] в неповних системах лишків;–

збудована асимптотична формула суматорної функції для числа зображень натурального n сумою трьох невід’ємних кубів, коли n пробігає арифметичну прогресію, різниця якої росте;–

отримана асимптотична формула для суматорної функції кількості зображень натурального числа сумою двох невід’ємних k-их степенів в арифметичній прогресії;–

досліджена асимптотична поведінка функції “суми q-ічних знаків” з представленням в канонічній базі числової системи в полі гаусових чисел;–

досліджений розподіл знаків простих гаусових чисел в канонічній числовій системі, у яких на наперед заданих місцях стоять наперед задані знаки;–

побудована асимптотична формула для функції “суми знаків” на множині простих гаусових чисел.

Практичне значення отриманих результатів Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані в асимптотичних задачах аналітичної теорії чисел, а також для розв’язування задач геометричної теорії чисел.

Особистий внесок здобувача Всі результати дисертаційної роботи отримані самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати, викладені в дисертації, доповідалися на:–

III Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Суми, 2001р.);–

науковому семінарі кафедри алгебри та теорії чисел Одеського національного університету ім. І.І.Мечникова (Одеса, 2000-2002р.р.);–

Міжнародній математичній конференції, присвяченій сторіччю від початку роботи Д.О.Граве (1863-1939) в Київському університеті (Київ,2002р.);–

Всеукраїнській конференції “Алгебраїчні методи дискретної математики” (Луганськ, 2002р.);–

розширеному семінарі кафедри алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ,2002р.);–

IV Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Львів, 2003р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 11 наукових роботах. Серед них 4 статті в спеціалізованих виданнях з переліку №1, затвердженого ВАК України, та 4 тези доповідей на наукових конференціях. Список робіт наведений наприкінці автореферату.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, позначень, трьох розділів та списку використаної літератури, який містить 59 найменувань. Повний обсяг роботи 147 сторінок, серед них 142 сторінки основного змісту та 5 сторінок використаної літератури.

Основний зміст

У вступі викладено огляд основної літератури за темою дисертації, сформульовані основні результати дисертаційної роботи.

Перший розділ дисертації містить основні результати з асимптотичних оцінок кількості цілих точок в області .

В параграфі 1.1 викладається метод гармонійного аналізу для лічби цілих точок в областях.

В пункті 1.1.1 доводиться формула Кратцеля для середнього значення кількості цілих точок в областях , 1 х Х.

В пункті 1.1.2 наводяться оцінки тригонометричного інтегралу з гладкою функцією в показнику.

В пункті 1.1.3 доводиться асимптотична формула, яка є аналогом класичної тотожності Вороного для залишкового члена в задачі круга.

В пункті 1.1.4 розглядається задача про зображення натуральних чисел сумою двох k-их степенів.

Основні результати цього параграфу.

Теорема 1.3. При фіксованому та має місце асимптотична формула

.

Теорема 1.4. При фіксованому k та при

,

стала в символі O залежить тільки від k.

Для k = 2 ця оцінка поліпшується.

В параграфі 1.2 використовуються нові оцінки М.Хакслі тригонометричних сум, які основані на застосуванні дискретного аналогу метода Харді- Літлвуда, для поліпшення результатів параграфу 1.1

Основним результатом цього параграфу є

Теорема

.

В розділі 2 дисертації показане використання методів M. Huxley та L. Mordella для побудови асимптотичних формул в статистичних задачах теорії чисел з умовою конгруентності.

В параграфі 2.1 викладається метод Л.Мордела, який дозволяє визначити кількість розв'язків конгруенції вигляду , q > 1, q N в неповних системах лишків.

Основний результат цього параграфу:

Теорема 2.2. Нехай . Тоді має місце асимптотична формула:

,

де – кількість розв'язків конгруенції , , під умовою 0 х Т1, 0 у Т2.

Метод Мордела можна використовувати для розв’язання аналогічних конгруенцій над кільцем цілих гаусових чисел Z[i] за допомогою леми.

Лема 2.6. Нехай і нехай

Тоді

,

де означає відстань u до найближчого цілого числа, крім того, тут
– найменше натуральне число, таке, що .

Теорема 2.4. Нехай p – просте гаусове число, – цілі гаусові, причому є кубічним нелишком по mod p. Тоді для кількості розв’язків конгруенції

з умовою та , має місце асимптотична формула

(сталі в символах не залежать від та ).

В параграфі 2.2 розглядається задача про побудову асимптотичної формули для суматорної функції , яка означає кількість зображень натурального n у вигляді суми трьох кубів в арифметичній прогресії.

Основний результат цього параграфу:

Теорема 2.5. Нехай . Тоді при і для кожного справедлива асимптотична формула

,

де – сталі, ; (сталі в символах ''О'' залежать тільки від ).

В параграфі 2.3 застосовується результат M.Huxley для отримання асимптотичної формули суматорної функції для кількості зображень натурального n сумою двох невід’ємних k-тих степенів в арифметичній прогресії.

Основний результат цього параграфу:

Теорема 2.6. Для натуральних та і

,

де

,

рівномірно по .

Розділ 3 присвячений вивченню функції знаків в полі гаусових чисел. За прикладом І. Катаі ми визначаємо узагальнену числову систему в Zk: нехай G – матриця k-го порядку над Z і нехай усі її власні значення різні і за модулем більше 1. Розглянемо множину векторів в Zk, які є представниками різних суміжних класів фактор-групи , . Пара (G,A) зветься узагальненою числовою системою, якщо кожний вектор має скінчений розлад

В параграфі 3.1 Ми вивчаємо властивість ”нормальності” (у сенсі О.Г. Постникова) послідовність узагальнених знаків k-мірних векторів. Тут має місце аналог критерію Пятецького нормальності послідовності знаків.

Доведена теорема 3.1.

Теорема 3.1. Нехай – узагальнена числова система для z.

Якщо – множина нормальних по чисел із , то .

В параграфі 3.2 ми вивчаємо розподіл значень функції суми знаків в кільці цілих гаусових чисел.

Основний результат цього параграфу.

Нехай

, причому .

Для кожного набору , ми позначаємо через кількість індексів j в представленні , таких, що Ми вважаємо, що так, що .

Теорема 3.3. Для кожного натурального l та кожного набору маємо

(логарифм береться по основі 2).

Стала c(l) залежить тільки від l.

В параграфі 3.3 вирішується задача про розподіл знаків простих гаусових чисел, у яких на наперед заданих місцях представлення в канонічній числовій системі стоять наперед задані знаки.

Основний результат цього параграфу.

Теорема 3.4. Нехай , , , . Тоді

рівномірно по

(тут c > 0 – підходяща стала).

висновки

В дисертаційній роботі знайдені нові підходи дослідження розподілу точок з цілими координатами та з умовою конгруенції в областях на площині, побудовані нетривіальні асимптотичні формули для суматорної функції, асоційованої з кількістю зображень натурального n сумою трьох кубів в арифметичній прогресії та для суматорної функції кількості цілих точок з умовою конгруенції в овалах.

Вивчення розподілу цілих точок в областях з умовою конгруенції важливе не тільки для статистичної теорії чисел, але і для її застосувань, і, насамперед, для дослідження відповідних дзета-подібних функцій в смузі 0 < Re s < 1.

Наведено узагальнення методу Л. Мордела для вивчення розподілу розв’язків конгруенції в неповних системах лишків, зокрема, знайдена асимптотична оцінка кількості розв’язків конгруенції просте гаусове, фіксовані цілі гаусови числа.

Отримане узагальнення результатів I. Katai, L. Dringo та інших в задачах про розподіл значень функції знаків натуральних чисел на випадок цілих гаусових чисел.

Методика досліджень, яка розвинута в поданій роботі, а також отримані результати можуть бути використані в асимптотичних задачах аналітичної теорії чисел, а також у прикладних дослідженнях, що пов’язані з геометрією чисел.

Роботи автора за темою дисертації

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. Просянюк Н.С. Розподіл розв’язків конгруенції в кільці цілих гаусових чисел // Вісник Київського Університету. Серія: фізико-математичні науки. – Київ. – 2004. Вип. № 1. – С. 48-54

АНОТАЦІЇ

Просянюк Н.С. Статистичні задачі теорії чисел. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра та теорія чисел. – Київський університет імені Тараса Шевченка, м. Київ, 2003 р.

В дисертаційній роботі викладається метод гармонійного аналізу для підрахунку цілих точок в областях, показано використання методів M.Huxley та L.Mordella для побудови асимптотичних формул суматорних функцій з умовою конгруентності в статистичній теорії чисел. Досліджується поведінка функції знаків на спеціальних послідовностях в полі гаусових чисел, зокрема, за допомогою гармонійного аналізу збудована асимптотична формула для кількості цілих точок (u,v) з умовою ; на основі нових оцінок тригонометричних сум, отриманих Хакслі дискретним методом Харді-Літлвуда, досліджені залишкові члени цієї формули; вивчена дзета-функція Варінга та знайдена асимптотична оцінка для суматорної функції кількості зображень у вигляді суми трьох кубів в арифметичній прогресії.

Ключові слова: асимптотична формула, тригонометрична сума, канонічна база, розподіл знаків, суматорна функція.

Просянюк Н.С. Статистические задачи теории чисел.– Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 – алгебра и теория чисел.– Киевский университет имени Тараса Шевченко, г. Киев, 2003 г.

В диссертационной работе излагается метод гармонического анализа для счёта целых точек в областях; показывается использование методов M.Huxley и L.Mordella для построения асимптотических формул для сумматорных функций с условием конгруентности в статистической теории чисел. Исследуется поведение функции знаков на специальных последовательностях в поле гауссовых чисел. В частности, с помощью гармонического анализа построена асимптотическая формула для количества целых точек (u,v) под условием ; на основе новых оценок тригонометрических сумм, полученных Хаксли дискретным методом Харди-Литллвуда, исследованы остаточные члены этой формулы; изучена дзета-функция Варинга и найдена асимптотическая оценка для сумматорной функции числа представлений в виде суммы трёх кубов в арифметической прогрессии.

Ключевые слова: асимптотическая формула, тригонометрическая сумма, каноническая база, распределение знаков, сумматорная функция.

Prosyanyuk N.S. Statistical tasks of the number theory . – Manuscript.

Thesis of dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 – algebra and number theory. – Kyiv Taras Shevchenko university, Kyiv, 2003.

In the dissertation the method of harmonical analysis is stated which is used for the accounts of the whole points in areas; using of methods M.Huxley and L.Mordella for construction asymptotic formulas for summation functions with a congruence condition in the statistical theory of numbers is shown. The behavior of function of signs on special sequences in a field of Gaussian numbers is investigated. In particular, with the help of harmonical analysis the asymptotic formula for quantity of the whole points (u, v) under a condition is constructed; on the basis of new estimations of the exponential sums received by Huxley by a discrete method of Hardy-Littlwood, the residual members of this formula are investigated; the zeta-function of Varing is investigated and the asymptotic estimation for summation function of number of representations as the sum of three cubes in an arithmetic progression is found.

Key words: asymptotic formula, exponential sum, canonical base, distribution of signs.