КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Сливка Ганна Іванівна

УДК 519.21

КРАЙОВІ ЗАДАЧІ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ З ВИПАДКОВИМИ ПОЧАТКОВИМИ УМОВАМИ

01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

КИЇВ – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу математичного факультету Ужгородського національного університету.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

КОЗАЧЕНКО Юрій Васильович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

професор кафедри теорії ймовірностей та

математичної статистики

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

ЯСИНСЬКИЙ Володимир Кирилович,

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича,

завідувач кафедри математичної і

прикладної статистики

кандидат фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

ПАШКО Анатолій Олексійович,

Європейський університет (Київ),

доцент кафедри інформаційних

систем і технологій

Провідна установа Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова

НАН України, м. Київ

Захист відбудеться “14” червня 2004 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001.37 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ – 22, просп. академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий “_11_” ____травня___ 2004.

Вчений секрет

спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження властивостей випадкових рядів у різних функціональних просторах було і залишається актуальним напрямком теорії випадкових процесів. Можливість зображення деяких випадкових процесів у вигляді функціональних рядів дозволяє вивчати властивості цих процесів на основі властивостей їх зображень.

Інтенсивне вивчення цих проблем в першу чергу пов'язане з широким застосуванням результатів, отриманих у даному напрямку, не тільки у самій теоріі випадкових процесів, а і при розв'язуванні практичних задач математичної фізики з випадковими початковими та крайовими умовами. Фізична постановка таких задач та обґрунтування їх актуальності міститься ще в роботах Кампе де Фер'є .

Останнім часом з'явилося багато робіт, в яких вивчались задачі математичної фізики з випадковими початковими умовами, які базуються на дослідженні збіжності за ймовірностю в функціональних просторах послідовності випадкових функцій, що апроксимують розв'язки крайових задач. Зауважимо, що у більшості з цих робіт для знаходження умов рівномірної збіжності випадкових рядів застосовується метод, що ґрунтується на ідеї Ж. Кахана. У дисертації використовується новий метод, який був запропонований В.В. Булдигіним та

Ю.В. Козаченком. Цей метод дозволяє обґрунтовувати застосування методу Фур'є до задач математичної фізики у багатовимірному випадку.

Основним завданням роботи є використання методу В.В. Булдигіна та Ю.В. Ко-заченка при обґрунтуванні застосування методу Фур'є до крайових задач математичної фізики із випадковими початковими умовами у багатовимірному випадку для гіперболічних рівнянь, а також дослідження властивостей їх розв’язків. Це визначає актуальність тематики дисертації, оскільки такі задачі у багатовимірному випадку в такій постановці раніше не розглядались.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках наукової тематики кафедри математичного аналізу УжНУ "Аналіз і статистика випадкових процесів і полів" та пов'язана з держбюджетними темами, що виконувалися на кафедрі математичного аналізу УжНУ (номер державної реєстрації №0193V019658).

Мета та задачі дослідження. Метою роботи є подальший розвиток теорії випадкових процесів, а також розширення теоретичних і практичних застосувань даної теорії, зокрема, до задач математичної фізики гіперболічного типу. В роботі вивчаються наступні задачі :

· дослідження умов слабкої збіжності в випадкових процесів з простору

;

· застосування отриманих результатів до обґрунтування методу Фур'є в крайовій задачі гіперболічного типу математичної фізики із сумісно випадковими початковими умовами у багатовимірному випадку;

· застосування отриманих результатів до обґрунтування методу Фур'є в задачах дослідження коливання неоднорідної струни, коливання круглої мембрани, коливання прямокутного паралелепіпеда, коли випадкові умови є сумісно випадкові процеси.

Методика дослідження. У роботі використовуються методи теорії процесів, методи теорії диференціальних рівнянь у частинних похідних.

Наукова новизна одержаних результатів.

· Отримано нові достатні умови слабкої збіжності в випадкових процесів із простору .

· Знайдено достатні умови існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розв'язку задачі гіперболічного типу математичної фізики у багатовимірному випадку з сумісно випадковими початковими умовами. Отримано оцінку для розподілу супремуму розв'язку такої задачі.

· Досліджено достатні умови існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розв'язку задачі про коливання неоднорідної струни з сумісно випадковими початковими умовами. Отримано оцінку для розподілу супремуму розв'язку такої задачі.

· Знайдено достатні умови існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розв'язку задачі про коливання круглої мембрани з сумісно випадковими початковими умовами.

· Досліджено достатні умови існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розв'язку задачі про коливання прямокутного паралелепіпеда з сумісно випадковими початковими умовами. Знайдено оцінку для розподілу супремуму розв'язку такої задачі.

Практичне значення отриманих результатів. Всі отримані в дисертаційній роботі результати мають теоретичне та практичне застосування при вивченні рівнянь математичної фізики з випадковими умовами. Вони можуть використовуватися при моделюванні розв’язків цих рівнянь на комп’ютерах, при збереженні інформації про розв’язок такого рівняння.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно. За результатами дисертації здобувач опублікувала п'ять робіт, з них дві разом з науковим керівником проф. Ю.В. Козаченком, в яких

Ю.В. Козаченку належить загальна постановка задач та керівництво роботою.

Апробація результатів. Результати дисертації доповідались та обговорювались на

· 56-ій підсумковій науковій конференції професорсько-викладацького складу Ужгородського національного університету (секція математичних наук)

(м. Ужгород, 2002 р.);

· міжнародній конференції "П'яті Боголюбовські читання. Теорія еволюційних рівнянь" (м.Кам'янець-Подільський, 2002 р.);

· міжнародній школі-семінарі "Ланцюгові дроби, їх узагальнення та застосування", присвяченій 75-річчю з дня народження В. Я. Скоробагатька (м. Ужгород, 2002 р.);

· міжнародній школі-семінарі "Теорія прийняття рішень"(м. Ужгород, 2002 р.);

· шостій міжнародній школі "Математичні та статистичні методи в економіці, фінансах та страхуванні" (Ласпі (Крим), 2002 р.);

· Воронезькій зимовій математичній школі "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (м. Воронеж, 2003 р.);

· 57-ій підсумковій науковій конференції професорсько-викладацького складу Ужгородського національного університету (секція математичних наук)

(м. Ужгород, 2003 р.);

· міжнародній науково-практичній конференції "Україна наукова 2003"

(м. Дніпропетровськ, 2003 р.);

· міжнародній науковій конференції "Шості Боголюбовські читання" (м. Чер-нівці, 2003 р.);

· сьомій міжнародній школі "Математичні та статистичні методи в економіці, фінансах та страхуванні" (Ласпі (Крим), 2003 р.);

· засіданнях наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики кафедри математичного аналізу Ужгородського національного університету (м. Ужгород, 2001-2004 рр.);

· засіданні наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (м. Київ, 2003 р.);

· 58-ій підсумковій науковій конференції професорсько-викладацького складу Ужгородського національного університету (секція математичних наук) (м. Ужгород, 2004 р.).

Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано п'ять статей у фахових виданнях та вісім тез доповідей на конференціях .

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, розподілених на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертаційної роботи становить 150 сторінок. Список використаних джерел займає 13 сторінок та включає 101 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету і задачі дослідження, виділено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів.

Перший розділ містить огляд літератури за тематикою даної роботи та спорідненими питаннями, висвітлені деякі результати щодо схожих проблем, отримані іншими авторами.

Другий розділ присвячений дослідженню випадкових процесів з простору . Розглядаються достатні умови слабкої збіжності та умови існування частинних похідних випадкових процесів з простору .

Означення 2.3. Парна неперервна опукла функція і така, що при і називається -функцією.

Означення 2.5. Нехай -функція. Функція називається перетворенням Юнга-Фенхеля функції

Означення 2.8. Нехай -функція, причому існують і такі, що при Простором породженим - функцією , називається простір випадкових величин , для яких існує така константа , що для всіх виконується нерівність

Простір є банаховим простором відносно норми

Означення 2.9. Випадковий процес належить простору, якщо для всіх випадкова величина.

Означення 2.10. Випадкова величина називається строго (), якщо норма.

Означення 2.11. Сім’я випадкових величин з простору називається строго, якщо для довільної скінченої множини і для всіх виконується рівність

Означення 2.12. Випадковий процес називається сумісно строго , якщо сім'я випадкових величин є строго.

Основними результатами другого розділу є теореми, які містять достатні умови слабкої збіжності в випадкових процесів з простору а також теорема про існування частинних похідних у випадкових процесів з простору.

Теорема 2.8. Нехай -- k-вимірний простір,. Нехай процеси сепарабельні і виконується умова , де -- неперервна монотонно зростаюча функція така, що при . Якщо виконується умова де -- функція обернена до і для будь-якого процес збігається за ймовірністю до процесу , тоді збігається за ймовірністю в просторі

Теорема 2.11. Нехай -- сепарабельне випадкове поле,., існують частинні похідні і Якщо існує така неперервна монотонно зростаюча функція що при , і справджується нерівність

і для всіх можливих , для достатньо малого де тоді з імовірністю одиниця існують неперервні частинні похідні

Третій розділ присвячений обґрунтуванню можливості застосування методу Фур’є до рівняння математичної фізики гіперболічного типу у багатовимірному випадку, коли початкові умови є випадковими полями.

Для рівняння

,

де коефіцієнти якого визначені в скінченій зв’язній області і задовольняють в умови , , розглядається наступна мішана задача А: визначити в циліндрі розв’язок даного рівняння, який задовольняє початкові умови

і граничну умову

де -- межа області Початкові умови і є сумісно випадкові поля.

Розв’язок задачі записується у вигляді

(1)

де -- власні значення і власні функції задачі Штурма-Ліувілля

Теорема 3.1. Для того, щоб з імовірністю одиниця існував двічі неперервно диференційовний розв’язок задачі (А) в області, (-- деяка додатна стала), що зображується у вигляді рівномірно збіжного за ймовірністю ряду (1), достатньо, щоб виконувались умови:

1) існують неперервні з імовірністю одиниця похідні

2) для всіх ряди

збіжні рівномірно за ймовірністю.

Теорема 3.2. Нехай випадкові поля і є сумісно. Для того, щоб з імовірністю одиниця існував двічі неперервно диференційовний розв’язок задачі (А) в області, (-- деяка додатна стала), що зображується у вигляді рівномірно збіжного за ймовірністю ряду (1), достатньо, щоб виконувались умови:

1) існують неперервні з імовірністю одиниця похідні

2) для всіх збіжні наступні ряди

3) для справджується нерівність

де -- неперервні монотонно зростаючі функції такі, що при , причому виконується умова

де функції -- обернені до функцій . -- частинні суми ряду (1), та рядів, що отримані з даного ряду почленним диференціюванням за і за .

Приклад 3.1. Нехай випадкові процеси і є сумісно . Тоді з теорем 3.2 і 3.1 випливає, що є сумісно випадкові процеси. Нехай -- така функція, що при Тоді при і для довільного виконується умова

Дана умова також виконується, якщо, при. В цьому випадку умова 3) теореми 3.2 виконується, якщо для і довільних існує така константа , що для достатньо малого значення

,

при

В підрозділі 3.2 розглядаються достатні умови існування з імовірністю одиниця розв’язку крайової задачі гіперболічного типу математичної фізики для частинного випадку.

Теорема 3.3. Нехай випадкові поля і є сумісно , де -- така функція, що ри

Для того, щоб з імовірністю одиниця існував двічі неперервно диференційовний розв’язок задачі (А) в області, (--деяка додатна стала), що зображується у вигляді рівномірно збіжного за ймовірністю ряду (1), достатньо, щоб виконувались умови:

1) існують неперервні з імовірністю одиниця похідні

,

і для достатньо малих значень виконуються нерівності

;

2) збіжний наступний ряд

Для довільних виконуються такі умови

У підрозділі 3.3 цього ж розділу знайдено оцінку для розподілу супремуму розв’язку даної крайової задачі (А), яка дає можливість моделювати розв’язок.

Теорема 3.5. Нехай -- к-вимірний простір, , , Сепарабельний випадковий процес. Нехай де -- неперервна монотонно зростаюча функція така, що при і виконується умова де Тоді для будь-якого має місце нерівність

,

де

Нехай

і виконується умова теореми 3.2

де -- неперервна монотонно зростаюча функція така, що при , а також виконується умова де -- обернена функція до . Тоді має місце нерівність

де

У четвертому розділі розглядаються приклади застосування теорії, що досліджувалась в третьому розділі, до конкретних крайових задач гіперболічного типу математичної фізики з сумісно випадковими початковими умовами, а саме до класичних задач про коливання неоднорідної струни, круглої мембрани та прямокутного паралелепіпеда.

Розглянемо першу крайову задачу для однорідного гіперболічного рівняння

-- сумісно строго випадкові процеси.

Розв’язок задачі записується у вигляді

(2)

де -- власні значення, -- відповідні їм власні функції задачі Штурма-Ліувілля

Теорема 4.1. Для того, щоб з імовірністю одиниця існував двічі неперервно диференційовний розв’язок задачі про коливання неоднорідної струни в області, що зображується у вигляді рівномірно збіжного за ймовірністю ряду (2), достатньо щоб виконувались умови:

1) існують неперервні з імовірністю одиниця похідні

2) для всіх збіжні рівномірно за ймовірністю ряди

Теорема 4.2. Нехай -- сумісно строго випадкові процеси. Для того, щоб з імовірністю одиниця існував двічі неперервно диференційовний розв’язок задачі про коливання неоднорідної струни в області , що зображується у вигляді рівномірно збіжного за ймовірністю ряду (2), достатньо, щоб виконувались умови:

1)існують неперервні з імовірністю одиниця похідні

2) для всіх збігаються ряди

де -- неперервні монотонно зростаючі функції такі, що при і виконується умова де -- обернені до функцій . -- частинні суми рядів в умові 2) теореми 4.1.

Розглянемо умови існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розв’язку задачі про коливання неоднорідної струни, що формулюються в термінах кореляційних функцій.

Розглянемо задачу про коливання неоднорідної струни при Нехай -- кореляційні функції випадкових процесів і. Продовжимо на всю площину так, щоб вони були періодичними функціями з періодом 2 за і і щоб виконувались рівності

Нехай

Теорема 4.5. Нехай незалежні випадкові процеси -- строго . Для того, щоб з імовірністю одиниця існував двічі неперервно диференційовний розв’язок задачі про коливання неоднорідної струни в області, що зображується у вигляді рівномірно збіжного за ймовірністю ряду (2), достатньо щоб виконувались умови:

1)

2)

д

3)

де

У підрозділі 4.1.2 розглядається оцінка для розподілу супремуму розв’язку задачі про коливання неоднорідної струни.

У підрозділі 4.2 досліджується задача про вільні коливання круглої однорідної мембрани, якщо в початковий момент часу положення та швидкість її точок є деякі випадкові поля з простору

Розв’язок зображується у вигляді

де -- власні значення крайової задачі

-- функції Бесселя першого роду -го порядку

Сформулюємо одну з доведених в дисертації теорем, що містить умови існування з ймовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розв’язку задачі про вільні коливання круглої однорідної мембрани.

Теорема 4.8. Нехай випадкові поля ,

Для того, щоб з імовірністю одиниця існував двічі неперервно диференційовний розв’язок задачі про вільні коливання круглої однорідної мембрани в області, що зображується у вигляді рівномірно збіжного за ймовірністю ряду (3), достатньо, щоб виконувались умови:

1)

і для достатньо малих виконуються нерівності

де

2)

У підрозділі 4.3 розглядається рівняння коливання прямокутного паралелепіпеда з сумісно строго випадковими початковими умовами. Для такої задачі знайдено умови існування з ймовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розв’язку, отримано оцінку для розподілу супремуму розв’язку.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі досліджуються випадкові процеси з простору та крайові задачі для рівняння гіперболічного типу математичної фізики з сумісно випадковими початковими умовами.

У першому розділі прореферована література за тематикою дисертаційної роботи.

У другому розділі отримано достатні умови слабкої збіжності в випадкових процесів з простору. Обґрунтовані умови існування частинних похідних у процесів.

У третьому розділі знайдено умови існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розв’язку крайової задачі для рівняння гіперболічного типу математичної фізики в багатовимірному випадку з сумісно випадковими початковими умовами. Отримано умови існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розв’язку рівняння гіперболічного типу в багатовимірному випадку з сумісно випадковими початковими умовами у частинному випадку. Знайдено оцінку для розподілу супремуму розв’язку такої задачі.

Значну увагу в дисертації приділено застосуванню отриманих результатів до дослідження хвильових процесів у різних середовищах з сумісно випадковими початковими умовами. Зокрема, результати третього розділу застосовуються до знаходження умов існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовних розв’язків крайових задач гіперболічного типу математичної фізики в одновимірному, двовимірному та тривимірному випадках.

У четвертому розділі знайдено достатні умови існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розв’язку для крайової задачі про коливання неоднорідної струни з сумісно випадковими початковими умовами та умови існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розв’язку цієї задачі у частинному випадку, а також проведені дослідження у термінах кореляційних функцій. Для такої задачі знайдено оцінку для розподілу супремуму розв’язку. Обґрунтовані умови існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розв’язку для задачі про коливання круглої мембрани з сумісно випадковими початковими умовами та умови існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розв’язку цієї задачі у частинному випадку. Знайдено умови існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розв’язку для задачі про коливання прямокутного паралелепіпеда з сумісно випадковими початковими умовами та умови існування з ймовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розв’язку такої задачі у частинному випадку. Для даної задачі дослідження проведені у термінах кореляційних функцій, а також знайдено оцінку для розподілу супремуму розв’язку.

При роботі над дисертацією використовувалися деякі методи теорії випадкових процесів та методи теорії просторів випадкових величин, а також методи теорії диференціальних рівнянь.

Результати дисертаційної роботи є новими, отримані автором самостійно. Вони мають теоретичне значення і можуть застосовуватися при розв’язанні крайових задач гіперболічного типу математичної фізики з випадковими початковими умовами, а також при моделюванні розв’язків таких задач.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Сливка Г. І. Обґрунтування застосування методу Фур'є до задачі про коливання круглої мембрани з випадковими початковими умовами // Вісник Київського університету. Серія фіз.-мат. науки.--2002.-- Вип. №4. -- С.31-37.

2. Сливка Г. І. Крайова задача математичної фізики з випадковими початковими умовами // Вісник Київського університету. Серія фіз-мат. науки. – 2002. – Вип. №5. -- С.172-178.

3. Козаченко Ю.В., Сливка Г.І. Обґрунтування методу Фур'є для гіперболічного рівняння з випадковими початковими умовами // Теорія ймов. та матем. статист. – 2003. -- Вип. 69. -- С. 63--78.

4. Козаченко Ю.В., Сливка Г.І. Крайові задачі математичної фізики з випадковими початковими умовами із простору // Доповіді НАН України.-- 2003.-- №12-- С.7 -- 10.

5. Сливка Г.І. Властивості розв'язку задачі про коливання прямокутної мембрани з випадковими початковими умовами // Математичні методи та фізико-механічні поля. – 2003. -- 46т., №4. – С. 138--144.

6. Козаченко Ю.В., Сливка Г.І. Властивості розв'язків крайових задач з випадковими початковими умовами // Тези доповідей міжн. конф. "Теорія еволюційних рівнянь". -- Кам'янець-Подільський, 2002. -- С. 86.

7. Сливка Г.І. Коливання прямокутної мембрани з випадковими початковими умовами // Тези доповідей міжн. школи-семінару "Ланцюгові дроби, їх узагальнення та застосування". -- Ужгород, 2002. -- С.46-47.

8. Сливка Г.І. Крайові задачі математичної фізики з випадковими початковими умовами // Abstracts "Sixth international school on mathematical and statistical methods in economics, finance and insurance". -- Київ, 2002.-- C.33.

9. Сливка Г.І. Про розв'язок крайових задач з випадковими початковими умовами // Праці школи-семінару "Теорія прийняття рішень". -- Ужгород, 2002.-- С.63.

10. Сливка А.И. Решение задачи о колебании прямоугольной мембраны с случайными начальными условиями // Материалы конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы." -- Воронеж, 2003. -- С.239-241.

11. Сливка Г.І. Рівняння коливання круглої мембрани з випадковими початковими умовами //Матеріали науково-практичної конференції "Україна Наукова 2003." -- Дніпропетровськ - Запоріжжя, 2003. -- Том 30.-- С.34-35.

12. Kozachenko Yu. V., Slivka A.I. Background for Fourier method applied to problems of mathematical physics whith random initial conditions //Тези доповідей міжн. конф. "Шості Боголюбовські читання". -- Чернівці, 2003. -- С.287.

13. Kozachenko Yu. V., Slivka A.I. Boundary-value problem for hyperbolic equation with random initial conditios //Abstracts "Seventh international school on mathematical and statistical methods in economics, finance and insurance". -- Київ, 2003.-- C.28.

АНОТАЦІЯ

Сливка Г.І. Крайові задачі математичної фізики з випадковими початковими умовами. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2004.

Дисертаційна робота присвячена застосуванні теорії процесів при обґрунтуванні методу Фур’є при розв’язанні задач гіперболічного типу математичної фізики. Отримано достатні умови слабкої збіжності в випадкових процесів із простору , умови існування частинних похідних у випадкових процесів із простору . Знайдено достатні умови існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розв'язку задачі гіперболічного типу математичної фізики у багатовимірному випадку з сумісно випадковими початковими умовами. Отримано оцінку для розподілу супремуму розв'язку такої задачі. За допомогою одержаних результатів отримано умови існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розв'язку задач про коливання струни, про коливання круглої мембрани та про коливання прямокутного паралелепіпеда з сумісно випадковими початковими умовами. Для таких задач знайдено умови існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовних розв'язків у частинному випадку. Для задач про коливання неоднорідної струни та про коливання прямокутного паралелепіпеда дослідження проведено у термінах кореляційних функцій, а також знайдено оцінки для розподілу супремуму розв'язків.

Ключові слова: сумісно випадкові процеси, слабка збіжність випадкових процесів, рівняння гіперболічного типу математичної фізики.

АННОТАЦИЯ

Сливка А.И. Краевые задачи математической физики со случайными начальными условиями. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 – теория вероятностей и математическая статистика. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2004.

Исследования свойств случайных рядов в разных функциональных пространствах было и остается актуальным направлением развития теории случайных процессов. Возможность изображения некоторых случайных процессов в виде функциональных рядов позволяет изучать свойства этих процессов на основе свойств их изображений.

Интенсивное изучение этих проблем в первую очередь связанное с широким применением результатов, полученных в данном направлении, не только в самой теории случайных процессов, а и при решении практических задач математической физики с случайными начальными и краевыми условиями. Физическая постановка таких задач и обоснование их актуальности содержится еще в роботах Кампе де Фер'є .

В последнее время появилось много работ, в которых изучались задачи математической физики со случайными начальными условиями, которые базируются на исследовании сходимости по вероятности в функциональных пространствах последовательности случайных функций, которые аппроксимируют решение краевых задач. Заметим, что в большинстве из этих работ, для нахождения условий равномерной сходимости случайных рядов применяется метод, который основан на идее Ж. Кахана. В диссертации используется метод, который был предложен В.В. Булдыгиним и Ю.В. Козаченком, что позволяет обосновывать применение метода Фурье к задачам математической физики в многомерном случае.

Основной задачей работы есть изложение подхода к изучению уравнений математической физики с случайными начальными условиями, а также использования этого подхода при обосновании применения метода Фурье к задачам математической физики с случайными начальными условиями в случае гиперболических уравнений. Это определяет актуальность тематики диссертации.

При решении поставленных задач использовались методы теории случайных процессов и методы теории пространств случайных величин, методы теории дифференциальных уравнений.

В диссертационной работе рассмотрены случайные процессы из пространства и уравнения гиперболического типа математической физики с совместно случайными начальными условиями.

В диссертации получены условия слабой сходимости у случайных процессов с пространства . Получены условия существования частичных производных у процессов. Найдены условия существования с вероятностью единица дважды непрерывно дифференцируемого решения уравнения гиперболического типа математической физики в многомерном случае с совместно случайными начальными условиями. Получены условия существования с вероятностью единица дважды непрерывно дифференцируемого решения уравнения гиперболического типа в многомерном случае с совместно случайными начальными условиями в частичном случае. Найдена оценка для распределения супремуму решения такой задачи.

Значительное внимание в диссертации уделено применению полученных результатов к исследованию волновых процессов в разных средах с совместно случайными начальными условиями. В частности, результаты третьего раздела применяются к нахождению условий существования дважды непрерывно дифференцируемых решений задач гиперболического типа математической физики в одномерном, двумерному и трехмерном случаях. Найдены условия существования с вероятностью единица дважды непрерывно дифференцируемого решения для задачи о колебании неоднородной струны с совместно случайными начальными условиями и условия существования с вероятностью единица дважды непрерывно дифференцируемого решения данной задачи в частичном случае, а также проведены исследования в терминах корреляционных функций. Для такой задачи найдены оценки для распределения супремума решения. Получены условия существования с вероятностью единица дважды непрерывно дифференцируемого решения для задачи о колебании круглой мембраны с совместно случайными начальными условиями и условия существования с вероятностью единица дважды непрерывно дифференцируемого решения данной задачи в частичном случае. Найдены условия существования с вероятностью единица дважды непрерывно дифференцируемого решения для задачи о колебании прямоугольного параллелепипеда с совместно случайными начальными условиями и условия существования с вероятностью единица дважды непрерывно дифференцируемого решения такой задачи в частичном случае, а также исследования проведены в терминах корреляционных функций. Для данной задачи найдены оценки для распределения супремуму решения.

Ключевые слова: совместно случайные процессы, слабая сходимость случайных процессов, гиперболические уравнения математичкой физики.

ANNOTATION

Slivka A.I. The boundary-value problem of mathematical physics with random initial conditions. – Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the specialty 01.01.05 – Probability Theory and Mathematical Statistics. – Taras Shevchenko Kyiv National University, Kyiv, 2004.

The thesis is devoted to the use of the theory of processes for justification of the Fourier method application to boundary-value problems of hyperbolic type equations of mathematical physics. The conditions of weak convergence in C(T) of random processes from space and conditions of existence of partial derivatives of random processes from space have been received. The conditions of existence with probability one of twice continuously differentiated solution of the boundary-value problems of hyperbolic type equations of mathematical physics with strictly random initial conditions in multi-dimensional case are found. The estimation for distribution of supremum of this problem has been got too. With the help of received results the conditions of existence with probability one of twice continuously differentiated solution of the boundary-value problems of heterogeneous string vibration, of round membrane’s vibration, rectangular parallelepiped vibration with strictly random initial conditions are found. For such problems conditions of existence with probability one of twice continuously differentiated solution formulating in terms of correlation functions are obtained. For the problems of heterogeneous string vibration, rectangular parallelepiped vibration there has been got the estimation for distribution of supremum solving.

Key words: jointly strictly random processes, weak convergence of random processes, the hyperbolic equations of the mathematical physics.