київський національний університет

Іmehi Тараса Шевченка

Цяпута Галина Юріївна

УДК 512.53

Напівгрупи перетворень iз

деформованим множенням

01.01.06 - алгебра i теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник кандидат фізико-математичних наук, доцент

Ганюшкін Олександр Григорович,

Київський національний університет iмені Тараса Шевченка, доцент кафедри алгебри та математичної логіки.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Волков Михайло Володимирович,

Уральський державний yніверситет

iм. А.М.Горького, м. Єкатеринбург (Росія),

професор кафедри

алгебри i дискретної математики;

доктор фізико-математичних наук, професор Протасов Iгop Володимирович,

Київський національний університет iмені Тараса Шевченка, провідний науковий співробітник кафедри дослідження операцій факультету кібернетики.

Провідна установа

Львівський національний університет iмені Івана Франка МОН України

Захист відбудеться “23” січня 2006 року о 14:00 годині на засіданні спеціалізованоі вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

03127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 6, механіко-математичний факультет.

3 дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету iмені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “20” грудня 2005 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

В. В. Плахотник

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Термін "напівгрупа" вперше з'явився лише на початку XX століття, a перші систематичні дослідження напівгруп почав у 20-х роках минулого століття відомий український математик Сушкевич. Підсумком цих досліджень стала його монографія1 - перша i на довгий час єдина монографія з теорії напівгруп, а основний його результат, відомий нині як теорема Сушкевича-Pica (другому автору належить більш зручне матричне формулювання цієї теореми), є одним з найяскравіших результатів цього розділу алгебри.

У 40-50-i роки минулого століття інтенсивність досліджень з теорії напівгруп починає стрімко зростати. До напівгруп звертаються такі математики як Мальцев, Pic, Кліффорд, Ляпін та інші. Теорія напівгруп поступово починає формуватись як окремий розділ алгебри. Підсумком цього періоду розвитку теорії напівгруп стали монографія Ляпіна2 i перший том "Алгебраїчної теорії напівгруп" Кліффорда i Престона. Вихід цих двох книг можна вважати завершенням "дитячого" періоду у розвитку теорії напівгруп.

Про швидке зростання кількості досліджень з теорії напівгруп свідчить i той факт, що замість підсумкових монографій починають виходити монографії, присвячені окремим розділам напівгруп (наприклад, у 1984 році виходить "Inverse semigroups" Петріча, яка за об'ємом порівняльна з двотомником Кліффорда i Престона), а в 1996 році з'являється перша монографія3, присвячена конкретній напівгрупі.

Класичним об'єктом теорії напівгруп є напівгрупи перетворень. Відомий російський математик Курош4 навіть вважав, що основною мотивацією для вивчення напівгруп є те, що кожна з них занурюється у деяку напівгрупу перетворень. Загальна бібліографія з теорії напівгруп перетворень нараховує багато тисяч позицій. Зокрема, трьом напівгрупам перетворень n-елементної множини - Тп (всіх перетворень), PTn (всіх часткових перетворень) та ISn (всіх часткових підстановок) присвячено кількасот робіт.

У вже згаданій монографії Ляпін описав одну загальну конструкцію для напівгруп перетворень i поставив задачу вивчення її властивостей. Ця

і Сушкевич А.К., Теория обобщенных груп. - Харьков, Киев.: гос. науч.-тех. изд.-во Укр., 1937.- 140 с.

2Ляпин Е.С. Полугруппы. - М.: Физматгиз, 1960.- 592 с.

3Lipskomb S.L. Symmetric inverse semigroups. - Mathematical surveys and monographs. -1996. - Vol.46. - 167 p.

4Курош А.Г. Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года. - Москва: Наука, 1974. - С. 22.

конструкція допускає природну модифікацію для довільних напівгруп: якщо а - фіксований елемент напівгрупи S, то на S можна визначити нову асоціативну дію *а правилом

х *а у = хау, х,у S.

Нову напівгрупу (S, *а) називають напівгрупою S із деформованим множенням (або варіантом напівгрупи S, або сендвіч-напівгрупою).

Перші дослідження напівгруп із деформованим множенням належать Магіллу1. У середині 70-х років такі напівгрупи почали досліджувати Михайлов, Сулліван, Саймонс. Поступово кількість досліджень напівгруп iз деформованим множенням зростає: з'являються роботи Xiкi, Хуанга, Чейза та інших. Вивчаються як загальні властивості таких напівгруп2, так i варіанти конкретних напівгруп3. Зокрема, досить багато уваги приділяється варіантам різних матричних напівгруп.

Дослідження варіантів конкретних напівгруп важливе з двох мотивів - з одного боку таким чином можна одержувати нові цікаві приклади напівгруп, а з іншого - дослідження варіантів дає додаткову інформацію i про будову вихідних напівгруп. Однак варіанти класичних напівгруп перетворень (Tn,PTn,ISn) майже не вивчались. I якщо деякі властивості варіантів напівгрупи Тп все ж фактично розглядались4 — у більш широкому контексті, то варіанти напівгруп PTn i ISn до останнього часу залишались зовсім невивченими.

Усе вищенаведене свідчить про те, що класифікація, дослідження будови i властивостей вapiaнтів напівгруп перетворень Тп, PTn та ISn є актуальною задачею. Розв'язанню цієї задачі i присвячена дана дисертаційна робота.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою досліджень кафедри алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка, тема 01БФ038-03 "Розробка методів асимптотичного інтегрування нелінійних систем, теорії керування в біології та медицині i

lMagill K.D., Jr. Semigroup structures for families of functions. I—III. // J. Austral. Math. Soc. - 1967. - №7.

2Hickey J.B. On variants of a semigroup // Bull. Austral. Math. Soc. - 1986. - Vol.34. - P. 447-459.

3 Chase K. Sandwich semigroups of binary relations // Discrete Math. - 1979. - Vol.28, No.3. - P. 231-236.

4iSymons J.S. V. On a generalization of the transformation semigroup // J. Austral. Math. Soc. - 1975. - №19 (Series A). - P. 47-61.

моделювання процесів взаємодії та деформування суцільних середовищ", підрозділ "Геометричні структури та комбінаторно-геометричні методи дослідження алгебраїчних систем та їх зображень" (номер державної реєстрації 0101U002479).

Мета i задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є опис iз точністю до ізоморфізму напівгруп, які одержуються деформацією множення з трьох класичних напівгруп перетворень, Тп, PTn,, ISn та біциклічної напівгрупи, i дослідження піднапівгрупової будови цих напівгруп.

У дисертаційній роботі поставлено наступні задачі:

- Класифікувати з точністю до ізоморфізму варіанти повної напівгрупи всіх перетворень Tn, повної напівгрупи всіх часткових перетворень PTn, інверсної симетричної напівгрупи ISn та біциклічної напівгрупи. Обчислити кількості попарно неізоморфних варіантів.

- Описати відношення Гріна на напівгрупах ISn та Tn, обчислити кількості та потужності класів відношень Гріна.

- Описати будову максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгруп, що одержуються з напівгрупи ISn деформацією множення та класифікувати такі піднапівгрупи з точністю до ізоморфізму.

- Дати повний опис цілком ізольованих, ізольованих та опуклих піднапівгруп у варіантах напівгруп ISn, Tn, обчислити кількість таких піднапівгруп в залежності від елемнента деформації.

- Описати будову групи автоморфізмів деформованої скінченної інверсної симетричної напівгрупи ISn,.

Об'єктом дослідження дисертаційної роботи є напівгрупи із деформованим множенням. Предмет дослідження – варіанти трьох класичних напівгруп перетворень ISn, Tn, PTn та варіанти біциклічної напівгрупи.

У дисертаційній роботі використовуються стандартні методи теорії напівгруп і комбінаторного аналізу. Групи автоморфізмів варіантів напівгрупи ISn описуються в термінах стандартних конструкцій теорії груп. При дослідження нільпотентних під напівгруп використовується техніка часткових порядків.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі автором вперше одержано нові теоретичні результати. Основними

результатами дисертаційної роботи, які визначають її наукову новизну і виносяться на захист, є наступні:

- Встановлено критерії ізоморфізму напівгруп, одержаних деформацією множення з повної напівгрупи всіх перетворень Tn, повної напівгрупи всіх часткових перетворень PTn,інверсної симетричної напівгрупи ISn та біциклічної напівгрупи, обчислено з точністю до ізоморфізмів їх кількість.

- Дано повний опис відношень Гріна для напівгруп, одержаних деформацією множення з ISn та Tn; обчислено кількості та потужності L – та R – класів відношень Гріна для таких напівгруп.

- Описано цілком ізольовані та ізольовані піднапівгрупи напівгруп ISn, і Tn, із деформованим множенням; пораховано кількості таких напівгруп.

- Дано опис максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгрупи ISn, із деформованим множенням і встановлено критерій ізоморфізму двох таких напівгруп.

- Доведено, що група автоморфізмів деформованої напівгрупи ISn, із деформованим множенням розпадається у напівпрямий добуток двох множників, один з яких є прямою сумою, а другий – прямим добутком симетричних груп.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер.Вони можуть бути використані при дослідженні деформованого множення в інших напівгрупах перетворень, а також при дослідженні опуклих, ізольованих і цілком ізольованих піднапівгруп в різних класах скінченних напівгруп.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати дисертаційної роботи одержані автором самостійно. У спільній роботі 6 співавтору Кудрявцевій Г.М. належить ідея конструкції групи автоморфізмів напівгрупи ISn, із деформованим множенням, формулювання 3.9 отримано при рівному вкладі співавторів, а її доведення належить дисертанту. У спільній роботі 7 співавтору Мазорчуку В.С. належить поняття стабільного рангу елемента і формулювання теорем 4.6 і 4.8. Доведення цих теорем одержано при рівному квладі співавторів. Інші результати цієї роботи належать дисертанту.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися на:

- семінарі з теорії груп та напівгруп на кафедрі алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2004р., 2005 р.);

- Дев'ятій міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука, м.Київ (травень 2002 р.);

- Четвертій міжнародній алгебраїчній конференції, м.Львів (серпень 2003 р.);

- семінарі з алгебри та геометрії університету м.Уппсала, Швеція (лютий 2005 р.);

- П'ятій міжнародній алгебраїчній конференції, м.Одеса (липень 2005 р.);

- Київському алгебраїчному семінарі, м.Київ (вересень 2005 р.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано у 8 наукових роботах. Із них чотири статті у фахових виданнях 2, 4, 5, 6 та троє тез доповідей на конференціях 1, 3, 8.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, основної частини, висновків та списку використаних джерел. Основна частина дисертаційної роботи складається з п'яти розділів, розбитих на підрозділи, деякі з яких, в свою чергу, розбиті на пункти. Підрозділи нумеруються у межах кожного розділу, а пункти – у межах підрозділу. Перша цифра у номері пункту вказує на номер розділу, друга – на номер підрозділу, третя – на номер пункта. Нумерація лем, тверджень, теорем та формул здійснюється у межах розділів.

Список використаних джерел містить 59 позицій.

Автор дисертації висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові кандидату фізико-математичних наук, доценту Олександру Григоровичу Ганюшкіну за постановку задачі та постійну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ 3MICT

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету i задачі дослідження, висвітлено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів.

Перший розділ містить огляд літератури за тематикою дисертаційної роботи та спорідненими питаннями, зокрема, у цьому розділі окреслено основні етапи вивчення напівгруп iз деформованим множенням.

На початку другого розділу формулюється відома задача Ляпіна1. Нехай М і N — дві довільні непорожні множини, a S — множина вcix відображень із М в N. Зафіксуємо деяке відображення : N М. Для S визначаємо їхній добуток правилом:

.

Так визначена дія є асоціативною. Задача Ляпіна полягає у вивченні властивостей напівгрупи (S,) в залежності від обмежень, які накладають на множину S i відображення . Зокрема, важливим є випадок, коли М = N, S — деяка напівгрупа перетворень множини Mi — елемент із S.

В останньому випадку задача легко узагальнюється на довільні напівгрупи: для фіксованого елемента а напівгрупи S визначаємо на S дію *а правилом:

х *а у = хау.

Дію *а називатимемо множенням, деформованим за допомогою елемента а (або просто деформованим множенням). Саму ж напівгрупу (S, *а) називатимемо напівгрупою із деформованим множенням або варіантом напівгрупи S. Іноді напівгрупу (S, *а) називають також сендвіч напівгрупою (від англ. sandwich) із сендвіч-елементом а.

Підрозділи 2.2.-2.3. мають допоміжний характер. У них наведено необхідні для подальшої роботи означення та твердження. У підрозділі 2.4. доведено ряд властивостей ізольованих, цілком ізольованих та опуклих піднапівгруп, які потім використовуються у розділі 4, i, крім того, мають самостійне наукове значення.

У розділі 3 розглядається деформація множення в інверсній симетричній нaпівгрупі. Спочатку встановлено критерій ізоморфізму вapiaнтів напівгрупи ІS(N) для довільної множини N:

Теорема 3.1. Напівгрупи (IS(N), ) та (IS(N), ) ізоморфні тоді i тільки тоді, коли для деяких підстановок .

Далі більш глибоко вивчаються властивості варіантів скінченної iнвepcної симетричної напівгрупи ISn вcix часткових ін'єктивних перетворень множини N = {1,2,..., п}.

1Ляпип Е.С. Полугруппы. - М.: Физматгиз, 1960, с.353

З теореми 3.1 випливає, що з точністю до ізоморфізму можна обмежитись розглядом лише тих варіантів напівгрупи ISn, в яких елементом деформації є ідемпотент iз ІSn. То ж далі до кінця розділу елемент деформації ІSn є фіксованим ідемпотентом, через А позначається його область визначення dom(), а через — його ранг (тобто = rank() = \А\). Зауважимо, що , як елемент iз ISn, діє на А тотожно.

Наслідок 3.2. Із точністю до ізоморфізму icнyє рівно п + 1 варіантів скінченної напівгрупи ISn.

Підрозділ 3.3. присвячений опису відношень Гріна на напівгрупі .

Теорема 3.3. Нехай

1) Якщо, то інакше

2) Якщо, то; інакше.

3) Якщо i, то інакше.

4) Якщо i то
якщо i, то
якщо i, то інакше.

Зокрема, якщо, то всі класи відношень Гріна напівгрупи одноелементні.

Твердження 3.3. Нехай. Tоді в напівгрупі кількість одноелементних класів (класів) дорівнює

Кількість неодноелементних класів (класів) дорівнює. Неодноелементні класи мають потужність

, де,

причому, кількість класів (класів) потужності дорівнює.

У підрозділі 3.4. описано цілком ізольовані та ізольовані піднапівгрупи

напівгрупи .

Позначимо через множину тих елементів iз ISn, для яких А

є інваріантною підмножиною i які діють на А взаємно однозначно,

Теорема 3.4. Єдиними цілком ізольованими піднапівгрупами напівгрупи є , і .

Для кожного позначимо

.

Зауважимо, що якщо , то , .

Теорема 3.5. (1) Якщо, то ізольовані піднапівгрупи напівгрупи вичерпуються списком:, , і , .

(2) Якщо, то усі ізольовані піднапівгрупи вичерпуються списком, , , зокрема всі вони є цілком ізольованими.

У підрозділі 3.5. досліджуються нільпотентні піднапівгрупи напівгрупи . При цьому використовується модифікація загального методу дослідження нільпотентних піднапівгруп напівгруп перетворень, запропонованого в роботі Ганюшкіна i Мазорчука1.

lGanyushkin О., Mazorchuk V. On the structure of IОп // Semigroup Forum. - 2003. -Vol.66. - P. 455-483.

Для кожного додатного через позначимо множину вcix нільпотентних піднапівгруп напівгрупи ступеня нільпотентності. Множина частково впорядкована природним чином за включенням. Позначимо, де, а - є диз’юнктною копією множини.

Впорядкованим розбиттям множини на непорожніх блоків назвемо розбиття де, і, причому порядок блоків враховується. Кожному впорядкованому розбиттю множини поставимо у відповідність множину

Для кожного впорядкованого розбиття множини позначимо

Теорема 3.6

(1) Для кожного впорядкованого розбиття множини напівгрупа є максимальною напівгрупою із .

(2) Різним впорядкованим розбиттям множини відповідають різні піднапівгрупи у.

(3) Кожна максимальна піднапівгрупа з має вигляд для деякого впорядкованого розбиття.

Нехай S - максимальна нільпотентна піднапівгрупа ступеня нільпотентності i нехай - впорядковане А-розбиття множини, що відповідає частковому порядку . Ha6ip (||,||,..., ||)Nk назвемо типом нільпотентної піднапівгрупи S i позначатимемо через type(S). Покладемо .

Теорема 3.8. Нехай і дві максимальні нільпотентні піднапівгрупи ступеня нільпотентності . Тоді

(1) якщо , то і ізоморфні тоді і лише тоді, коли або.

(2) якщо , то і ізоморфні тоді і лише тоді, коли та антиізоморфні тоді і лише тоді, коли.

У підрозділі 3.6. вивчається будова групи автоморфізмів напівгрупи

Нехай Р - множина розкладних, Q - множина нерозкладних елементів iз. Для кожного Q введемо до розгляду множини

Ясно, що. Для покладемо тоді і тільки тоді, коли для вcix. Якщо хоча б один з елементів не належить до Q, то покладемо тоді і лише тоді, коли Лема 3.9. Відношення ~ є конгруенцією на напівгрупі

Теорема 3.9. Нехай - перелік класів еквівалентності відношення ~ на множині . Тоді

Розділ 4 дисертаційної роботи присвячений напівгрупі Tn iз деформованим множенням.

Для кожного через позначається відношення еквівалентності

Типом перетворення Тп назвемо нa6ip, де— це кількість тих елементів, повний прообраз яких містить рівно i елементів. Очевидно, що, а сума

Наступна теорема дає критерій ізоморфізму напівгруп, отриманих деформацією множення з напівгрупи Тп

Теорема 4.1. Напівгрупи i ізоморфні тоді i тільки тоді, коли перетворення i мають однаковий тип.

Наслідок 4.1. Із точністю до ізоморфізму деформацією множення у напівгрупі Тп можна одержати р(п) напівгруп, де р(п) - кількість способів розбиття числа п у невпорядковану суму натуральних доданків.

Твердження 4.1. У напівгрупі Тп кількість перетворень типу дорівнює:

З теореми 4.1 випливає, що з точністю до ізоморфізму можна вивчати лише тi варіанти напівгрупи де є ідемпотентом. Отже, далі елемент

є фіксованим ідемпотентом рангу l. Тоді та для вcix. Покладемо А.

У підрозділі 4.3. вивчаються ідемпотенти напівгрупи (Тп, *а) та відповідні максимальні підгрупи.

Теорема 4.2.

(а) Нехай ранг елемента

дорівнює k. Тоді елемент буде ідемпотентом напівгрупи (Тп, *а) тоді i тільки тоді, коли існуе таке ін'єктивне відображення f : {1,...,k;} {1,..., l}, що виконуються наступні дві умови:

(1)

(2)

(b) Кількість ідемпотентів напівгрупи (Тп, *а) дорівнює

Наслідок 4.2. Нехай ідемпотент напівгрупи фіксований i rank() = k. Тоді максимальна підгрупа напівгрупи (Тп,*а), що відповідає ідемпотенту , ізоморфна симетричній гpyпi та складається з ycix таких елементів які задовольняють наступні дві умови:

(1)

(2)

У підрозділі 4.5. розглядаються відношення Гріна на напівгрупі, обчислено кількості класів Гріна та iхні потужності.

В останньому підрозділі 4.6. вивчаються ізольовані, цілком ізольовані, опуклі зліва, опуклі справа та опуклі піднапівгрупи напівгрупи .

Нехай i нехай єдиний ідемпотент циклічної піднапівгрупи, породженої елементом. Стабільним рангом strk перетворення називається ранг ідемпотента. Стабільним розбиттям елемента називається розбиття на класи еквівалентності відношення. Аналогічно визначаеться стабільний образ перетворення.

Вивчення ізольованих піднапівгруп напівгрупи розбивається на три випадки: 1) ізольовані піднапівгрупи, які містять тільки елементи стабільного рангу l (тобто рангу елемента деформації), 2) ізольовані піднапівгрупи, які містять тільки елементи стабільного рангу, 3) інші ізольовані піднапівгрупи.

Для кожного позначимо через множину вcix елементів напівгрупи стабільного рангу . Через i позначимо множину вcix ізольованих, цілком ізольованих, опуклих справа, опуклих зліва та опуклих піднапівгруп напівгрупи S відповідно.

Нехай X — множина вcix таких невпорядкованих розбиттів множини на диз'юнктних блоків, що вci попадають у piзні блоки, а У — множина вcix таких множин вигляду, що для вcix. Для довільних підмножин через позначається об'єднання всіх піднапівгруп таких, що.

Для довільних через позначається множина вcix невпорядкованих розбиттів множини на диз'юнктних блоків, які задовольняють умову, що кожний блок містить принаймні один елемент iз множини А, причому елементи i попадають в один блок

Через позначається множина вcix підмножин вигляду дедля вcix.

Для довільних через позначається об’єднання всіх такий ідемпотент, що.

Для довільних через позначається об'єднання вcix, для яких або є таким ідемпотентом, що або таким ідемпотентом, що

Для довільних через позначається об'єднання ycix такий ідемпотент, що.

Теорема 4.5. Нехай rank(a) = Тоді кожна з наступних напівгруп є ізольованою піднапівгрупою напівгрупи

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Класи (1) - (7) попарно не перетинаються i кожна ізольована піднапівгрупа напівгрупи належить одному з цих класів.

Теорема 4.6. Нехай. Тоді

1)

2)

3)

4)

Для позначимо через константу .

Теорема 4.7. Припустимо, що. Тоді

(a)

(b)

(c)

Теорема 4.8. Припустимо, що l=2. Тоді

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Твердження 4.10. Покладемо і для покладемо Тоді

(a)

(b)

(c)

У п'ятому розділі вивчаються варіанти напівгрупи PTn та біциклічної напівгрупи.

Теорема 5.1. Напівгрупи i ізоморфні тоді i тільки тоді, коли для деяких підстановок

Наслідок 5.1. Із точністю до ізоморфізму деформацією множення у напівгрупі PTn можна одержати напівгруп, де р{k) - кількістьспособів розбиття числа k у невпорядковану суму натуральних доданків.

Нехай біциклічна напівгрупа. Кожний елемент напівгрупи В однозначно записується у вигляді де

Твердження 5.2. Для кожного, множина ідемпотентів деформованої напівгрупи має вигляд , причому ідемпотенти утворюють нескінченний спадний ланцюг відносно природного часткового порядку на множині ідемпотентів.

Теорема 5.2. Для довільних різних елементів напівгрупи і не ізоморфні.

Теорема 5.3. Напівгрупи i антиізоморфні тоді i тільки тоді, коли елементи i iнверсні.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вивчаються напівгрупи, які можна одержати деформацією множення з класичних напівгруп перетворень: напівгрупи ІSn вcix часткових підстановок на п—елементній множині, напівгрупи Тп вcix перетворень п—елементної множини, напівгрупи РTn вcix часткових перетворень п—елементної множини, та біциклічної напівгрупи.

Одержано такі результати:

—

—

—

—

—

описано ізольовані та цілком ізольовані піднапівгрупи напівгруп, одержаних деформацією множення з ІSn i Tn;—

описано будову групи автоморфізмів варіантів напівгрупи ІSn.

ПУБЛІКАЦП АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Цяпута Г.Ю. Напівгрупи перетворень iз деформованим множенням // Матеріали IX-oї Міжнародної наукової конференції iм. академіка М. Кравчука (16-19 травня 2002 р., Київ). - К.: НТУУ "КПІ". - 2002. - С. 393.

17

[2] Цяпута Г.Ю. Напівгрупи перетворень iз деформованим множенням // Вісник Київського університету. Cepiя: фізико-математичні науки - 2003. - №3. - С. 82-88.

[3] Tsyaputa G. Green's relations on the deformed transformation semigroups // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. - Lviv, 2003. - P. 217-220.

[4] Tsyaputa G. Y. Green's relations on the deformed transformation semigroups // Algebra and Discrete Mathematics. - 2004. - №1. - P. 121-131.

[5] Цяпута Г.Ю. Деформоване множення в напівгрупі РTn // Вісник Київського національного університету iмeнi Тараса Шевченка. Серія: Математика. Механіка. - 2004. - випуски 11-12. - С. 35-38.

[6] Кудрявцева Г.М., Цяпута Г.Ю. Трупа автоморфізмів деформованої інверсної симетричної напівгрупи // Вісник Київського національного університету iмeнi Тараса Шевченка. Серія: Математика. Механіка. -2005. - випуски 13-14. - С. 101-105.

[7] Mazorchuk V., Tsyaputa G. Isolated subsemigroups in the variants of Tn. -Uppsala (Sweden), 2005. - 29 p. (Preprint U.U.D.M. Report 2005:9, Uppsala University, Sweden).

[8] Tsyaputa G. Nilpotent subsemigroups in ІSn under a sandwich operation // 5th International Algebraic Conference in Ukraine. - Odessa, 2005. - P. 213-214.

АНОТАЦП

Цяпута Г.Ю. Напівгрупи перетворень із деформованим множенням. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 — алгебра i тeopiя чисел. — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

Дисертаційну роботу присвячено дослідженню напівгруп, які можна одержати деформацією множення з трьох класичних напівгруп перетворень елементної множини: напівгрупи ISn вcix часткових підстановок, напівгрупи Тп вcix перетворень, напівгрупи PTn вcix часткових перетворень, та біциклічної напівгрупи.

18

Для напівгруп, одержаних деформацією множення з напівгрупи ISn, знайдено критерій ізоморфізму, описані вci відношення Грінша, максимальні підгрупи, ізольовані та цілком ізольовані піднапівгрупи, для кожного можливого класу нільпотентності вci максимальні піднапівгрупи серед нільпотентних піднапівгруп даного класу, описано будову групи автоморфізмів таких напівгруп.

Встановлено критерій ізоморфізму для напівгруп, отриманих деформацією множення з напівгрупи Тп, наведено опис ідемпотентів напівгрупи (Тп,), описані вci відношення Гріна, класифіковано ізольовані піднапівгрупи.

Для напівгруп, одержаних деформацією множення з напівгруп РTn та біциклічної, встановлено критерії ізоморфізму та досліджено їх деякі властивості.

Ключові слова: напівгрупи перетворень, біциклічна напівгрупа, деформоване множення, варіанти напівгрупи, відношення Гріна, нільпотентні напівгрупи, ізольовані піднапівгрупи, група автоморфізмів.

Цяпута Г.Ю. Полугруппы преобразований с деформированным умножением. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 — алгебра и теория чисел. -Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2005.

Диссертационная работа посвящена исследованию полугрупп, которые можно получить деформацией умножения из классических полугрупп преобразований п—елементного множества: полугруппы ISn всех частичных подстановок, полугруппы Тп всех преобразований, полугруппы PTn всех частичных преобразований и бицикличной полугруппы.

Для полугрупп, полученных деформацией умножения из полугруппы ISn, найден критерий изоморфизма, описаны все отношения Грина, максимальные подгруппы, изолированные и вполне изолированные подполугруппы, для каждого возможного класса нильпотентности описаны все максимальные подполугруппы среди нильпотентных подполугрупп данного класса, описано строение группы автоморфизмов таких полугрупп.

Установлено критерий изоморфизма для полугрупп, полученных деформацией умножения из полугруппы Тп, приведено описание

19

идемпотентов полугруппы (Тп,), описаны все отношения Грина, классифицировано изолированные подполугруппы.

Для полугрупп, полученных деформацией умножения из полугрупп PTn и бициклической, установлены критерии изоморфизма и исследованы некоторые их свойства.

Ключевые слова: полугруппы преобразований, бициклическая полугруппа, деформация умножения, варианты полугруппы, отношения Грина, нильпотентные полугруппы, изолированные подполугруппы, группа автоморфизмов.

Tsyaputa G. Y. Transformation semigroups with the deformed multiplica-tion. — Manuscript.

Thesis for Candidate's degree in speciality 01.01.06 — algebra and number theory. — Kiev National Taras Shevchenko University, Kiev, 2005.

The thesis is devoted to investigation of semigroups obtained from three clas-sical transformation semigroups, ISn, the semigroup of partial permutation of n—element set, Tn, the semigroup of all transformations of n—element set, PTn, the semigroup of all partial transformations of n—element set, and the bicyclic semigroup, by the deformed multiplication .

The idea of the deformed multiplication belongs to Ljapin. He described some construction on transformation semigroups and set the problem to investigate its properties. This construction admits a natural modification for arbitrary semi-group: if a is a fixed element in semigroup S then we may define new associative operation *a on S by

, .

The new semigroup (S, *a) is called the semigroup S with the deformed multipli-cation (the variant of S, or the sandwich semigroup S).

For semigroups obtained from ISn by the deformed multiplication we have found the isomorphism criterion, described all Green's relations, and calculated the number and the cardinalities of correspondent equivalence classes. For every such semigroup we have described its maximal subgroups, isolated and complete-ly isolated subsemigroups. For each possible nilpotent class we have described all maximal subsemigroups among all nilpotent subsemigroups of the class. In terms of standard theoretical group constructions, the direct sum of permutation groups, the direct and semi-direct products of groups, we have described the automor-

20

phism groups of semigroups obtained from ISn by the deformed multiplication.

The isomorphism criterion for semigroups obtained from Tn by the deformed multiplication is established. We have described all the idempotents of semi-group (Tn,), calculated their number, and described correspondent maximal subgroups. The full description of all Green's relations on (Tn,) is provided. By means of stable rank and stable partition of the elements we have classified all isolated, completely isolated, and convex subsemigroups in the variants of Tn.

For semigroups obtained from PTn by the deformed multiplication we have set the isomorphism criterion and calculated the number of pairwise non isomorphic variants of PTn.

For semigroups obtained from the bicyclic semigroups by the deformed mul-tiplication we have described idempotents, and proved that the deformation by the different elements leads to non isomorphic semigroups while the deformation by the mutually inverse element leads to anti isomorphic variants of the bicyclic semigroup.

Keywords: transformation semigroups, bicyclic semigroup, deformed multi-plication, variants of the semigroup, Green's relations, nilpotent semigroups, iso-lated subsemigroups, automorphism group.