ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПОЛ?ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Дьогтєв Володимир Григорійович

УДК 621.313.3.045

СТРУКТУРНІ МОДЕЛІ ТА МЕТОДИ СИНТЕЗУ

БАГАТОФАЗНИХ ОБМОТОК ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИН

Спеціальність 05.09.01 - Електричні машини і апарати

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Харків - 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Одеському державному політехнічному університет? Міністерства освіти і науки України

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор Захаров Михайло Костянтинович, Одеський державний політехнічний університет, професор кафедри електричних машин

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Новіков Юрій Дмитрович, Харківський державний політехнічний університет, професор кафедри електричних машин

доктор технічних наук, професор Фінкельштейн Володимир Борисович, Харківська державна академія міського господарства, професор кафедри електротехніки

доктор технічних наук, доцент Шинкаренко Василь Федорович, Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут", в.о. завідувача кафедри електричних машин

Провідна установа Інститут електродинаміки НАН України, м. Київ

Захист відбудеться 22 червня 2000 р. о 1430 годин на засіданні спеціалізовано? вченої ради Д 64.050.08 при Харківському державному політехнічному університет? за адресою: 61002, м. Харків, вул. Фрунзе, 21.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Харківського державного політехнічного університету.

Автореферат розісланий 16 травня 2000 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Болюх В.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Багатофазні обмотки відіграють найважливішу роль в процесі електромеханічного перетворення енергії в електричних машинах змінного струму. Експлуатаційні, технічні і вартісні показники електричних машин в значній мірі визначаються електромагнітними і конструктивно-технологічними властивостями обмоток.

В останнє 30-річчя вдосконалення електричних машин здійснюється в напрямку підвищення рівня їхніх питомих показників, спрощення технології виготовлення і розробки спеціальних модифікацій (багатошвидкісні асинхронні двигуни з полюсоперемикаємими обмотками, електричні машини з суміщеною магнітною системою, різноманітні види електромашинних перетворювачів та інші). Практика проектування показала, що для успішного рішення подібних задач часто потрібно відмовлятися від застосування відомих раніше обмоток, замінюючи їх нетрадиційними. Такі обмотки істотно відрізняються від звичайних або електромагнітними властивостями, або конструктивно-технологічними характеристиками, або тим і другим водночас. Необхідність застосування нетрадиційних обмоток призвела до розробки різноманітних способів синтезу. Характерним недоліком більшості з них є неможливість забезпечення повноти рішення, тобто отримання всіх без винятку можливих варіантів, що задовольняють заданій системі обмежень. Основною причиною цього є відсутність простої і компактної моделі, що адекватно відображає будь-які різновиди багатофазних обмоток. Тому рішення проблеми слід шукати на шляху розробки узагальненої математичної моделі, що дозволило б створити на її основі ефективні методи синтезу обмоток з поліпшеними електромагнітними і технологічними властивостями.

Широке застосування таких обмоток було б вагомим вкладом в рішення проблеми збереження ресурсів в Україні.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проблема вдосконалення способів синтезу багатофазних обмоток вирішувалася під час виконання науково-дослідних робіт по модернізації багатошвидкісних асинхронних двигунів, що проводились з 1980 по 1988 р. р. в галузевій науково-дослідній лабораторії нових типів низько швидкісних і спеціальних електродвигунів кафедри електричних машин Одеського політехнічного інституту. Тематика цих робіт визначалася управлінням "Союзелектромаш" Міністерства електротехнічної промисловості СРСР і відносилась до розряду найважливіших. Теоретичне узагальнення результатів наукових досліджень означеного періоду знайшло відображення в держбюджетних науково-дослідних роботах періоду 1990-1994 р. р., виконаних на кафедрі електричних машин Одеського державного політехнічного університету в рамках національної енергетичної програми України, код напрямку 4, пріоритетний напрямок науки і техніки "Екологічно чиста енергетика і ресурсозберігаючи технології".

Мета і задачі досліджень. Метою роботи є розробка ефективних методів синтезу нетрадиційних багатофазних обмоток з поліпшеними електромагнітними і конструктивно-технологічними властивостями. Досягнення поставленої мети можливо тільки за умови створення адекватних проектованим обмоткам структурних моделей з високим рівнем формалізації. Для цього необхідно вирішити наступні задачі:

- розробити узагальнену структурну модель багатофазних однокоординатних обмоток (ОКО), що складаються з котушок з однаковими числами витків;

- розробити апарат операційних перетворень структурних складових і встановити вплив цих перетворень на електромагнітні властивості обмоток;

- визначити стратегію синтезу ОКО з застосуванням модульного принципу;

- розробити методи синтезу ОКО з заданими властивостями на основі використання закономірностей взаємодії властивостей найпростіших багатофазних обмоток в складних композиціях;

- розробити методи синтезу багатофазних двокоординатних обмоток (ДКО), що складаються з котушок з різними числами витків;

- розробити ефективні методи синтезу полюсоперемикаємих обмоток.

Наукова новизна отриманих результатів. В дисертації особисто здобувачем отримані наступні нові наукові результати, що виносяться на захист:

- розроблені узагальнена структурна модель і апарат операційних перетворень, що дозволять адекватно відображати довільні багатофазні ОКО;

- запропонована стратегія синтезу багатофазних ОКО, що забезпечує необхідний рівень потокозчеплення по робочим гармонікам;

- досліджені електромагнітні властивості генеруючих модулів двофазних і трифазних ОКО, встановлені залежності зміни цих властивостей від операційних перетворень, в тому числі і від операцій симетрії;

- синтезовано новий тип багатофазних ОКО з незначним проявом несиметрії, названих слабко несиметричними;

- встановлена фундаментальна властивість інваріантності векторних діаграм багатофазних ОКО в симетричних частинах гармонійного спектру відносно операцій симетрії;

- запропоновані нові способи формування багатоперіодних обмоток і досліджені основні властивості їх однокоординатних модифікацій;

- розроблено метод повного синтезу багатофазних ОКО в заданому числі пазів з попереднім обмеженням області пошуку і оперативним контролем потокозчеплення по робочій гармоніці;

- розроблено метод вибіркового синтезу багатофазних ОКО в заданому числі пазів, призначений для умов інженерного і навчального проектування електричних машин;

- розроблено метод множинного синтезу багатофазних ОКО, оснований на формуванні структур обмоток, що не залежать від числа пазів на фазну зону;

- розроблені методи синтезу багатофазних ДКО, на базі яких одержані нові типи обмоток з різними числами витків, переважаючі існуючі аналоги в відношенні електромагнітних і технологічних властивостей;

- розроблено метод множинного синтезу багатофазних полюсоперемикаємих обмоток, а також метод їх синтезу у заданому числі пазів.

Практичне значення отриманих результатів. Теоретичне значення розробленої узагальненої структурної моделі полягає в можливості підвищення ефективності вивчення властивостей обмоток з будь-яким числом фаз. Використання апарату операційних перетворень дозволяє виявити закономірності прояву властивостей генеруючих модулів в композиційних моделях і організувати направлений синтез багатофазних обмоток. Можливість упорядкованого формування структурних моделей дозволяє перейти від синтезу обмоток в заданому числі пазів до синтезу підмножин обмоток, здійснених в будь-якому числі пазів, кратному подвоєному числу фаз. Модульне подання обмоток дає можливість реалізації нового методичного підходу при викладенні теорії багатофазних обмоток з метою поглиблення знань і розвитку творчих навиків у тих, що навчаються.

Практичне значення отриманих результатів полягає в створенні ефективних методів, алгоритмів і програмного забезпечення, призначених для синтезу багатофазних обмоток з заданими властивостями.

Частина означених можливостей (синтез слабко несиметричних двофазних і трифазних обмоток, ряду підмножин обмоток з заданими властивостями, методи і алгоритми синтезу і т. д.) реалізовано безпосередньо в представленій роботі. Результати застосування розроблених методів синтезу реалізовані в патенті і 30-ти свідоцтвах на винахід, кращі з яких були використані в макетних, дослідних і промислових зразках електричних машин. По результатам науково-дослідної роботи №913-20, виконаної по замовленню - наряду ДО 281048823 Міністерства електротехнічної промисловості СРСР, в якій автор приймав участь як відповідальний виконавець, отриманий економічний ефект в сумі 460,61 тис. карбованців (в цінах 1985 р.) від впровадження схем полюсоперемикаємих обмоток двошвидкісних асинхронних двигунів серії 4А з висотами осей обертання 180, 200, 225, 250 мм. По результатам науково-дослідної роботи №913-20, в якій автор приймав участь як відповідальний виконавець отриманий економічний ефект в сумі 312,5 тис. карбованців (в цінах 1987 р.) від впровадження полюсоперемикаємої обмотки на заводах "Вольта" (м. Таллінн) і "Сібелектромотор" (м. Томськ). Схеми переключення полюсів без перерви кола живлення по свідоцтвам СРСР на винахід №№1683137, 1683138, 1683139 пройшли апробацію на заводі "Вольта" при виконанні науково-дослідної роботи №248-51 "Розробка і засвоєння випуску двошвидкісних асинхронних двигунів серії АИР132, АИС160" по замовленню - наряду ДО 28778023Д47. Спосіб укладки двофазних обмоток по свідоцтву на винахід СРСР №1048550 впроваджений на заводі "Фіолент" (м. Сімферополь) при виготовленні дослідної партії обертових трансформаторів. Обмотки з поліпшеним гармонійним складом по патенту СРСР №1816335 підтвердили свої переваги при дослідженнях макетного зразка неявно полюсного синхронного генератора на Новокаховському електромашинобудівному заводі. Універсальна підсистема гармонійного аналізу МРС (ЕРС) багато-фазних обмоток впроваджена в науково-технічному центрі ВАТ "Южелектромаш".

Основи теорії структурного моделювання і синтезу обмоток більше 6-ти років викладаються студентам-електромеханікам Одеського державного політехнічного університету в спеціальному лекційному курсі "Аналіз і синтез обмоток електричних машин". Паралельно з лекціями проводиться лабораторний практикум з використанням контрольна-навчальної підсистеми "A_SWEM", розробленої під керівництвом автора на основі узагальненої структурної моделі.

Документи про впровадження наведені в додатку до дисертації.

Особистий вклад здобувача. В спільних наукових статтях, доповідях і тезах [2, 4 – 6, 8 – 9, 11 – 12, 14 – 19, 21, 23, 44, 45, 47 – 51, 53 – 55, 57, 59] автору належать формулювання ідеї, формування математичних моделей, розробка основних положень методів синтезу та аналізу. В [1] автором запропонована схема обмотки з вимиканням частини витків, в [3] запропоновані схеми обмоток з нерівновитковими котушками. В патенті [43] і авторських свідоцтвах СРСР [24, 26, 27, 40 – 42] автору належать ідеї винаходів. В авторських свідоцтвах [28, 29, 32, 33, 35, 38] використані розроблені автором методи структурного синтезу для формування необхідних електромагнітних або технологічних властивостей. В інших авторських свідоцтвах [30, 31, 34, 36, 39] автор приймав участь у синтезі обмоток і виконував гармонійний аналіз.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на V Всесоюзній науково-технічній конференції “Стан і перспективи розвитку виробництва асинхронних двигунів”, Владимир-1980, VI Всесоюзній науково-технічній конференції “Перспективи розвитку виробництва асинхронних двигунів”, Владимир-1983, Всесоюзній науково-технічній наради “Регульовані електродвигуни змінного струму” Владимир-1987, Республіканській науково-технічній конференції" Перспективи розвитку електромашинобудування на Україні", Харків-1987, Всесоюзній науково-технічній наради “Електродвигуни змінного струму підйомне-транспортних механізмів”, Владимир-1988, Ювілейній науковій сесії "30 годин ИЕП", Софія -1990, 5-й національній науково-технічній конференції "Регульовані ЕМ". ЕЛМА'90, Варна-1991, 10-й Всесоюзній конференції "Інтелектуальні електродвигуни і економія електроенергії", Владимир-1991, 1-й Міжнародній науково-технічній конференції “Математичне моделювання в електротехніці і електроенергетиці", Львів-1995, науково-технічній конференції, присвяченій 100-річчю українського вченого електромеханіка Т. Губенка, Львів – Славськ -1996, на міжнародних наукових конференціях ITHURS'96, Леон, Іспанія-1996 і CCM'98, Ліон, Франція-1998, а також на постійно діючому семінарі Академії наук України по проблемі наукових основ електроенергетики і на науково-технічних конференціях професорсько-викладацького складу Одеського державного політехнічного університету.

Публікації. По темі дисертації опубліковано 59 наукових праць, в тому числі 23 статті в наукових журналах і збірках наукових праць, 1 патент, 19 авторських свідоцтв на винаходи, 10 доповідей в працях конференцій, 2 депонованих рукописи, 4 тези доповідей.

Автор висловлює щиру вдячність ученим і фахівцям ОДПУ, ВНИПТИЭМ, інституту електродинаміки НАНУ, заводів НКЭМЗ, "Фіолент", "Вольта", спільна робота і творчі дискусії з якими сприяли рішенню поставлених задач.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, 6 розділів тексту з висновками, списку літератури з 257 джерел і 3 додатків. Робота виконана на 399 сторінках, з яких 295 сторінок основного тексту, включаючи 28 таблиць і 64 рисунка, 29 сторінок списку джерел, що використалися, і 74 сторінок додатків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

В першому розділі виконаний аналіз стану питання і сформульована постановка задачі дослідження. Показано, що в останні десятиріччя підвищується попит на електричні машини змінного струму спеціального призначення. В більшості таких машин застосування традиційних якірних багатофазних обмоток виявляється проблематичним, що викликає необхідність проектування спеціальних модифікацій. До інших причин розробки нетрадиційних обмоток відносяться спроби зміни компонувальних схем електричних машин, прагнення спростити конструкцію обмоток, технологію їхнього виготовлення і укладання. Знаходять застосування ДКО, властивості яких залежать окрім просторової координати x, ще і від додаткової координати w, що визначається числами витків котушок.

В той же час класична теорія замкнута на обмежену підмножину традиційних обмоток і базується на їхньому поданні в виді сукупності структурних елементів нижчого рівня - активних котушкових сторін (АКС). Тому вона не в стані забезпечити створення ефективних методів синтезу нових типів обмоток і аналізу їхніх властивостей, відповідаючих вимогам сучасної практики. Відсутність чітких уявлень про структуру повних множин Sm багатофазних обмоток і єдиного підходу до рішення означеної проблеми призвели до появі великого числа методів проектування. Розробкою означених методів займалася велика кількість зарубіжних і вітчизняних учених: Rawcliffe G. H., Burbidge R. F., Fong W., Eastham J.F., Laithwait E.R., Broadway A.R.W., Амбарцумов Т.Г., Харитонов А.М., Дартау А.А., Баришников Ю.В., Ванурін В.Н., Попов В.И., Макаров Л.Н., Ахунов Т.А., Карімов Х.Г., Войтех О.А., Кірічек Г.М., Антоненко А.І., Вакуленко К.М., Краштан І.І., Мішин В.И., Захаров М.К., Радімов И.Н., Бєлікова Л.Я., Білоненко М.И., Федан Р.Г., Лущик В.Д. та інші. Характерною рисою більшості з них є формування обмоток шляхом пошуку необхідної комбінації АКС, що призводить до вибіркового характеру одержуваних рішень і обмежених можливостей забезпечення необхідних властивостей. Проектування обмоток означеними способами в деяких випадках дозволяє одержувати прийнятні для практики технічні рішення часткового характеру, але виключає можливість застосування будь-якого з них при пошуку оптимального рішення або при постановці задачі в загальному виді.

В цих умовах природно прагнення до розробки узагальненої математичної моделі багатофазних обмоток і систематизації повної множини Sm. Перша спроба узагальненого подання ОКО виконана ще Г.Кроном, який запропонував універсальне відображення обмоток у вигляді матриць, що враховують просторовий розподіл АКС і кількість провідників в кожній з них. Таке подання ОКО вимагає введення повної інформації про просторові і фазові параметри кожної АКС однієї з фаз при аналізі симетричних і всіх без винятку АКС при дослідженні несиметричних обмоток. В наступному спосіб зазнав численних видозмінень в роботах вітчизняних і зарубіжних фахівців, не змінюючи, однак, своєї суті.

Принципово новий підхід в розробці узагальненої моделі трифазних ОКО був запропонований групою українських електромеханіків – проф. Губенком Т. П. і його учням Гаврилюком Р. Б. і Онишко Є. А. Будь-яка симетрична трифазна обмотка відображається як сукупність елементарних обмоток, складених трьома АКС, зміщеними в просторі одна відносно другої на 120? і підключених до трифазної системи струмів. Така модель названа авторами "симетричним кільцем елементів" (СКЕ). Вступ жорстких зв'язків між структурними елементами моделі призвів до прояву найважливішої функціональної властивості - спроможності створювати кругові обертові магнітні поля. Таким чином, СКЕ є функціональним модулем, а рівень інтеграції процесу синтезу реальних обмоток на основі СКЕ різко підвищується - збірка об'єкту з елементів замінюється його збіркою з блоків цих елементів. Ви-явлені причини, в силу яких при розробці методики синтезу на базі СКЕ автори не зуміли придати цьому процесу цілеспрямований характер і зупинилися тільки на принципі повного перебору всіх можливих сполучень СКЕ.

Проведений аналіз науково-технічної літератури з питань теорії обмоток дозволив вибрати основні напрямки досліджень і способи рішення поставлених задач. Об'єктом дослідження вибрана множина Sm багатофазних якірних обмоток електричних машин змінного струму, яка складається з підмножини Wm ОКО і підмножини Tm ДКО.

Метою дослідження підмножин Wm є розробка узагальненої математичної моделі і створення на її основі ефективних методів синтезу ОКО. Базою цього напрямку дослідження вибрано розвиток методу СКЕ шляхом формування набору модулів з різними властивостями і вивченню закономірностей прояву цих властивостей в композиціях модулів. Основна задача дослідження підмножин Tm полягає в визначенні принципів структурного проектування ДКО і розробка на цій підставі методів, яки дозволять здійснювати синтез ДКО, придатний до умов інженерного і серійного проектування електричних машин.

Другий розділ присвячений розробці узагальненої структурної моделі багатофазних ОКО. На основі сформульованої системи допущень проаналізовані структури довільних m-фазних ОКО. Показано, що багатофазні обмотки є просторово-фазовими структурами, до найпростіших елементів яких відносяться просторові x і фазові t структурні параметри (СП). Запропоновано формалізоване цифрове подання СП в виді чисел, кратних значенням базових просторового axb і фазового a tb кутів:

axb = 2р/ Z0 = 360°/Z0; a tb = р/ m = 180°/m,

де Z0 - число рівномірно розподілених пазів на періоді обмотки.

В цьому випадку відображення просторових СП - xj - співпадає з номерами пазів, а фазові СП - ti - відображаються цілими числами від 0 до 2m. Будь-яка пара СП {xj, ti} утворює структурний елемент e{xj, ti} і відображає АКС. Структурні елементи можливо по-різному об'єднувати в групи (котушка, котушкова група, паралельна гілка, фазна зона, фаза і т. д.). Будь-яке об'єднання СП або елементів, число яких не перевищує 2m, називається структурним блоком і позначається символом b.

Відомо, що узагальнений підхід може бути забезпечений тільки на базі такої моделі, що містить в своїй основі інваріант. Як інваріант вибраний незмінний набір з (2m) просторових структурних параметрів {xj}, в якому кожне наступне значення xj відрізняється від попереднього x(j-1) на величину Q:

Q = Z0/(2·m)

Умовимося називати його інваріантним просторовим блоком і позначати поєднанням символів bxc. Фізичною моделлю інваріанта bxc є сукупність номерів пазів або відповідних координатах котушкових сторін, зміщених одна відносно другою на кут axi=p/m. Тоді матрична модель має вигляд, наведений на рис. 1.

Найважливішою характеристикою інваріанта bxc є фіксоване кутове відносне зміщення (a xi = p/m= const) його СП. Для сусідніх просторових СП xj інваріанта це відображається в не-змінній (Q=const) різниці їхніх значень. Означені властивості при будь-якому допустимому в множині Wm числі пазів Z0 забезпечують можливість подати просторову структуру довільної обмотки в вигляді набору з Q=Z0/(2m) блоків bxc.

З урахуванням рівномірного розподілу просторових координат xj визначене і кутове зміщення бстб = р/m. між осередками сусідніх рядків. Це дозволяє однозначно визначити кутову координату бijn довільного осередку таблиці на перетинанні i-го стовпця і j-го рядка для гармонік довільного порядку n: бстр = р/(m·Q)

Таким чином, отримана таблиця є не тільки узагальненим відображенням просторової структури довільної обмотки множині Wm, але і узагальненою моделлю векторних діаграм пазових ЕРС (МРС). Вона названа просторовою матрицею і позначається символом MQx. Упорядкованість алгоритмом (рис. 2) номерів осередків матриці дозволяє в подальшому не вказувати цю інформацію, зали-шаючи поля осередків вільними для заповнення значеннями фазових параметрів ti.

Занесення у вільні осередки просторової матриці MQx значень фазових СП еквівалентне переходу до активної моделі MQ. Так, активна модель базової 2m-фазної обмотки з 2m рівномірно розподіленими АКС і зрушенням фаз струмів (ЕРС) в сусідніх пазах на кут p/m синтезується заповненням осередків інваріанту bxc фазовими СП ti, а її матрична модель b0m має вигляд матриці-рядка:

0 1 2 … m-1 m m+1 … 2m-2 2m-1 ,

в осередках якої проставлені значення тільки фазових структурних параметрів. Значення просторових параметрів не вказані, бо вони однозначно визначені раніше і при Q=1 складають: {xj}={1, 2, 3,..., 2m}.

При відображенні основних m-фазних ОКО в реальних числах пазів Z0=2mQ, фазовими параметрами ti заповнюють осередки просторової матриці MQx, одержуючи активну матричну модель MQ.

В тих випадках, коли в окремих блоках або матрицях число фазових структурних параметрів виявляється меншим числа просторових, вони називаються неповними або доповненнями і позначаються доданням перед символом знаку "\".

В одних і тих же пазах реальних електричних машин може бути реалізована множина варіантів обмоток. Перехід від одного варіанту до іншого здійснюється за допомогою переміщення котушкових сторін, або зміни характеру їхніх електричних сполучень. Для успішного рішення задач синтезу і аналізу розроблено відповідний цим реальним діям апарат операційних перетворень моделей.

Система параметричних операцій (ПО) не тільки регламентує перетворення СП довільного структурного елементу, але і визначає відповідну зміну Daxn кутової координати векторів ЕРС (МРС) на векторних діаграмах в масштабі гармонік будь-якого порядку n. Переміщенню e{x, t} в просторі відповідає ПО №1 – просторове множення, що позначається "*Dx". Важливими частковими випадками просторового множення є його локалізація в межах блоку – ПО №2 – циклічне множення, що позначається "·ck " і ПО №3 – просторова інверсія, що позначається підкреслюванням (е). Зміні фази струму в АКС відповідає ПО №4 – фазове множення, що позначається "·Dt", частковим випадком якого є ПО №5 – фазова інверсія, що позначається хвилястою рисою над символом (). Поєднання просторового і фазового множин утворює ПО №6 – повне множення, що позначається символом "Е(Dx, Dt)", частковим випадком якого є ПО №7 – повна інверсія, що позначається . Локалізація повного множення в межах блоку (ПО №8) називається блочним множенням і позначається символом "·ek,l ". Зміст кожної ПО і зміна Da xn наведені в табл. 1.

Таблиця 1

Параметричні операції

№ ПО Зміна параметру Приріст куту на ВД

1 е { x, t }*Dx=e{x+Dx, t} Daxn = р·Dx Чn/ mQ

2 е { x, t } = e{x+ mЧ QЧ(2n-1), t} Daxn = р·mQ Чn/ mQ = р·n

3 е { x, t }·ck=e{, t} Daxn = р· k Чn/ m

4 e(x, t) · Dt= e(x, t + Dt) Daxn = *pЧ Dt/ m

5 (x, t) = e{x, t + mЧ(2n-1)} Daxn = рЧ(2n-1)

6 e(x, t) Е (Dx, Dt) = e(x + Dx, t + Dt) Daxn =р·Dx Чn/ mQ * pЧ Dt/ m,

7 (x,t)=e(x, t) Е{ mЧQЧ(2n-1), mЧ(2n-1) } Daxn= р·(n-1)

8 e(x,t)·ek,l=e(x,t+l)·ck = e(, t + l ), Daxn =р·k Чn/ m *pЧ l/ m

До інтегральних групових операцій відносяться суміщення n неповних блоків (матриць), що називається суперпозицією, і послідовне приєднання Q блоків або доповнень, що називається збіркою і позначається відповідно " " и "".

До диференціальних групових операцій відносяться підрозділ повних блоків (матриць) на n доповнень (неповних блоків або матриць), що називається декомпозицією і підрозділ матриці MQ на блоки, що називається розбиранням і позначається відповідно “” і ““.

На основі аналізу структури повної множині Wm багатофазних обмоток виконаний порівняльний аналіз напрямків синтезу, в результаті якого вибрана стратегія, заснована на першочерговому формуванні генеруючих підмножин BmS\B. Останні можуть бути отримані шляхом декомпозиції базових блоків b0m на два взаємно інверсних \b0m1 і \b0m2=\0m1 доповнення з наступним формуванням інших варіантів симетричних модулів комбінованим застосуванням циклічного множення і суперпозиції.

В третьому розділі виконані дослідження моделей симетричних однокоординатних обмоток. Синтезовані генеруючі підмножини симетричних двофазних B2S\B і трифазних B3S\B обмоток. Показано, що підмножина B2S\B окрім інваріанту bxи={- - - -} містить тільки один блок b1_2, що відображає симетричну базову 4-зонну обмотку: b1_2={0123}.

Для формування B3S\B трифазних обмоток спочатку виконана декомпозиція базового блоку b0_3={012345}, що генерує підмножини, на 2 взаємно інверсних симетричних доповнення: b03={\b03,\03} ={0-2-4-}V{-1-3-5-}. Після цього, використовуючи комбіноване застосування суперпозицій “V” і циклічних перестановок “·ck", отримано 7 різновидів повних блоків. Разом з доповненнями і інваріантом вони утворюють 10 модулів підмножини B3S\B, що не перетворюються одним в одного циклічним множенням:

b0 = {- - - - - -}; b 1={0 - 2 - 4 -}; b 2={0 4 2 0 4 2}; b 3={0 0 2 2 4 4}; b 4={0 3 2 5 4 1};

b 5={0 1 2 3 4 5}; b 6={3 0 5 2 1 4}; b 7={3 3 5 5 1 1}; b 8={3 1 5 3 1 5}; b 9={3 -5 -1 -}.

Аналогічно можуть бути утворені енантіоморфні (дзеркальні) генеруючі підмножини 2S\ і 3S\, які мають всі властивості розглянутих раніше підмножин і відрізняються від них тільки зворотним порядком чергування фаз.

Узвичаєне в теорії електричних машин тлумачення поняття "симетрія багатофазних обмоток" не відповідає сучасним уявленням про симетрію, що призводить на практиці до елементарних помилок. В той же час застосування теорії симетрії в таких розділах природознавства, як фізика, кристалографія, хімія та інші, призводить до отримання нетривіальних результатів і прискорення їхнього розвитку.

Розроблена узагальнена структурна модель дозволила досліджувати симетрію ОКО з позицій класичної теорії, яка розглядає симетрію як систему перетворень автоморфізму, тобто взаємно однозначних відображень об'єкту на себе. Для геометричних об'єктів такими автоморфними перетвореннями або операціями симетрії можуть бути різноманітні види переміщення відносно елементів симетрії: обертання, відбивання в дзеркальній площині і т. і. Наприклад, для статора з чотирма рівномірно розподіленими пазами (рис. 3), що відображається інваріантом bxи, операції симетрії є повороти навколо осі О4 на кути, кратні 90°, і відбивання в 4-х дзеркальних площинах m1…m4. В геометрофізичних об'єктах для досягнення автоморфізму окрім переміщень необхідно вплинути на фізичні параметри. В активних моделях операціями симетрії є деякі різновиди блочного множення. Для модуля b1_2 узагальненої операцією симетрії є блочне множення з однаковими значеннями показників ступеня: k=l, наприклад: b1_2Чe 2,2=|0 1 2 3|Чe 2,2= |0 1 2 3|Чe 2,0Чe 0,2 = |2 3 0 1|Чe 0,2=|0 1 2 3|= b 1_2.

В відповідності з теорією симетрії сукупність операції симетрії будь-якого об'єкту утворює математичну групу. Ці групи зручно відображати в вигляді таблиць множення. Спираючись на правила виконання блочного множення, нижче наведені результати попарного послідовного перемноження всіх операцій групи ={e0,0=I, e 1.1, e 2.2, e 3.3} між собою, зведені в таблицю множення:

e 0,0=I e 1,1 e 2,2 e 3,3

e 0,0=I I e 1,1 e 2,2 e 3,3

e 1,1 e 1,1 e 2,2 e 3,3 I ,

e 2,2 e 2,2 e 3,3 I e 1,1

e 3,3 e 3,3 I e 1,1 e 2,2

яка доводить, що – кольорова циклічна група 4-го порядку. Комутативна група має утворюючу e 1.1, послідовне виконання її операцій є групове множення, а одиничний елемент – операція e 0.0 =I. ОС інваріанту bxи=Ѕ- - - -Ѕ також утворять математичну групу G8={с0=I, с1, с2, с3, m1, m2, m3, m4} восьмого порядку.

Дослідження показали, що активні блоки підмножини B3S\B відрізняються рівнем симетрії. Блоки b1, b3, b4, b6, b7, b9 утворюють структурний клас P1, що складається з трьох підкласів K11={b1, b9}, K12={b4, b6} і K13={b3, b7} взаємно інверсних по фазі модулів, симетрія яких описується кольоровою циклічною групою ={I,e 2.2,e4.4}. Симетрія блоку b5 структурного класу P2={b5} характеризується кольоровою циклічною групою ={I, e 1,1, e 2,2, e 3,3, e 4,4, e 5,5}, а симетрія блоків b2, b8, що утворять клас P3={b2, b8}, визначається кольоровою циклічною групою ={ I, e 1,4, e 2,2, e 3,0, e 4,4, e 5,2}. Операції симетрії інваріанту bxи=Ѕ- - - - - -Ѕ також утворять математичну групу G12={I, с1, с2, с3, с4, с5, m1, m2, m3, m4, m5 ,m6} дванадцятого порядку.

Будь-яким багатофазним обмоткам можливо поставити у відповідність дзеркальні модифікації, тому існують енантіоморфні підмножини 2S\ і 3S\. Їхній синтез може бути виконаний на базі основних блоків із зворотним чергуванням фаз, або безпосереднім застосуванням операції енантіоморфізму до кожного блоку підмножин B2S\B і B3S\B. Операції симетрії енантіоморфних блоків зберігаються, але показники ступеня l оператора e, керуючі зміною фаз, стають негативними. Змінюється і знак верхнього індексу в позначках груп симетрії блоків: = {I, e 1, -1,e 2,- 2,e 3,- 3}; ={I, e 2,- 2,e 4,-4}, ={I, e 1, -1,e 2,- 2,e 3,- 3, e 4,-4,e 5,-5} і ={I, e 1, -4,e 2,- 2,e 3,0,e 4,-4,e 5,-2}. Розподіл елементів підмножини 3S\ по структурним класам і типам такий же, як і в підмножині B3S\B в їхніх дзеркальних аналогах.

Сформульовані загальні правила визначення симетрії (несиметрії) обмоток по їхнім структурним моделям. Доведено, що операції блочного множення e k, l і енантіоморфізму не тільки не порушують симетрії модулів, але і інваріантні відносно їхніх електромагнітних властивостей. Будь-які інші перетворення призводять або можуть призвести до порушення симетрії блоків і, отже, до зміни їхніх властивостей. Крім того, встановлено, що не існує симетричних двофазних і трифазних модулів, які відрізняються від блоків генеруючих підмножин B2S\B, 3S\, B3S\B, 3S\ або від їхніх циклічних модифікацій.

Визначені значення коефіцієнтів розподілу kRn для модулів підмножин B2S\B і B3S\B, наведені в табл. 2. Їхній аналіз показує, що симетричні модулі двофазних і трифазних обмоток класів P2={b5} і P3= {b2, b8} з групами симетрії , і вищих порядків характеризуються максимальними значеннями коефіцієнтів розподілу kRn =1 по гармонікам тільки однієї (парної або непарної) частини спектру і нульовими по іншій.

Таблиця 2

Коефіцієнти розподілу модулів підмножини B3S\B

Підмножина Позначки блоків Порядки гармонік

n=2·n+1 n =2·n n=3·(2n-1) n=6·n

B3S\B b1, b9 1 1 1 1

b 5 1 0 1 0

b2, b8 0 1 0 1

b3, b7 0.866 0.5 0.866 0.5

b4, b6 0.5 0.866 0.5 0.866

B2S\B b1_2 1 0 1 0

В той же час у модулів підкласів K12={b4, b6} і K13={b3, b7} з групою симетрії нижчого (третього) порядку максимальні значення коефіцієнтів розподілу kRn зменшуються до 0.866. Блоки підкласу K11={b1, b9} з тієї же групою симетрії хоча і мають максимальні значення коефіцієнтів розподілу kRn=1 для гармонік будь-яких порядків, але не мають властивості вибірності. Таким чином, всі модулі класу Р1 породжують більшу кількість додаткових полів, знижуючи якість електромеханічного перетворення енергії.

Доведено, що застосування будь-якої операції фактор-групи e3,3N3 до довільного блоку класу Р1 рівносильне повній інверсії і не змінює положення векторів МРС (ЕРС) непарних гармонік. Перетворення модулів класу P1 операціями фактор-групи e3,0N3 рівносильне просторовій інверсії та інваріантне відносно векторних діаграм парних гармонік.

Довільну обмотку, виконану будь-яким способом і в будь-якому числі пазів, можна розглядати, як сукупність модулів. Тому будь-яку основну симетричну обмотку, виконану в Z0 пазах, можна відобразити моделлю, отриманою шляхом збірки блоків підмножин B2S\B і B3S\B в полі просторової матриці MQx відповідного (Q=Z0/2m) розміру. В загальному випадку збірка припускає використання модулів будь-яких типів генеруючих підмножин, і може сполучатися з циклічним множенням “·ck“ елементів будь-якого блоку. Такі структурні моделі обмоток називаються матричними і позначаються поєднанням символів MQ. Наприклад, модель MQ1 основної двофазної шестиполюсної (2р=6) обмотки, що виконується в числі пазів Z0=16, і модель MQ2 трифазної обмотки з числом полюсів 2р=2, що виконується в 36 пазах (Z0= 36), мають вигляд:

; MQ2= 0 1 2 3 4 5 .

0 3 2 1 0 10 2 3 4 5

M Q1 = 0 3 2 1 ; 1 2 3 4 5 0

1 0 3 2 1 2 3 4 5 0

2 1 0 3 2 3 4 5 0 10

2 3 4 5 0 10

Будь-який рядок довільної матриці можна замінити її блоком bj і, в випадку необхідності, знаком циклічного множення ·ck, а зв'язок блоків в матриці відобразити символами збірки. Це рівносильне переходу до символічних моделей, що позначаються MQS:

MQS1 =tt·c1t·c2; MQS2 =b5t b5t b5t·c5 b5t·c5 b5t·c4 b5t·c4;

Відмова від позначки операції збірки і збереження від позначок блоків тільки їхніх індексів j, а від позначок циклічного множення – тільки показників степеня k, забезпечує перехід до цифрової моделі MQC в вигляді послідовності двозначних цифрових кодів: MQC1 ={10, 10, 11, 12}; MQC2 = {50, 50, 55, 55, 54, 54}.

Традиційні моделі поділяються на аналітичні і графічні. До першого типу відносяться модель М1, яка відображає обмотку в вигляді числового ряду або його частини, що повторюється, і модель М2, яка відображає обмотку в вигляді послідовності номерів АКС однієї (в випадку симетричних обмоток) або кожної (в випадку несиметричних обмоток) з фаз. Модель М3 відображає обмотку в вигляді розподілу АКС вздовж розгортки пазів, що пронумерувалися, модель М4 відображає обмотку в вигляді схеми зовнішньої комутації як сполучення котушкових груп в порядку їхнього розташування вздовж розкрути пазів, а модель М5 відображає обмотку в вигляді схеми розгортки.

При використанні структурних моделей реальних обмоток виникає необхідність розробки як алгоритму їхнього перетворення в традиційні моделі, так і алгоритму зворотного процесу. Найбільшу спільність мають графічна М3 і матрична MQ моделі і тому вони покладені в основу взаємних перетворень.

При цілому числі q пазів на полюс і фазу багатополюсні обмотки виконуються звичайно шляхом повторення основної обмотки, параметри якої визначаються по виразам: Z0=Z/T; p0=p/T. Такі обмотки прийнято також називати інколи багатоперіодними, де число періодів рівно T. Величина періоду, що вимірюється числом пазових поділок, складає Z0.

Операцію послідовного переносу об'єкту з постійним кроком прийнято називати трансляцією. Розглянуто формування багатополюсних обмоток назване лінійною трансляцією і позначається поєднанням символів "Ч", що розташовуються після символу транслюємого об'єкту. Відомі також трансляція декількох неідентичних об'єктів або поєднання трансляції з іншими операціями, наприклад, з відбиттями або обертаннями. Тому при формуванні багатоперіодних обмоток окрім лінійної трансляції ""Ч можна припустити застосування її модифікацій, наприклад, трансляції декількох різновидів основних обмоток або трансляцій в поєднанні з іншими видами перетворень єдиної основної обмотки. Перший з означених способів названий чергуючою "Ч", а другій – комбінованою трансляцією "Ч".

Сформульовані правила перетворення моделей при різноманітних модифікаціях трансляції і досліджений вплив числа лінійних трансляцій на структуру матричних моделей симетричних обмоток.

Розглянута симетрія реальних обмоток, як композиційних систем. Показано, що до обмоток справедливий принцип суперпозиції симетрії. З допомогою цього принципу сформульовано просте правило практичного визначення симетрії.

Двофазні та трифазні обмотки симетричні тоді і тільки тоді, коли всі блоки їх структурних моделей належать тільки одній з генеруючих підмножин B2S\B, 2S\, B3S\B, 3S\.

В четвертому розділі досліджені моделі слабко несиметричних однокоординатних обмоток. Показана можливість отримання багатофазних модулів з обмеженою несиметрією. Ця властивість відображається симетрією векторних діаграм деякої частини гармонійного спектру. Модулі і обмотки, яки утворені тільки такими модулями, названі частково несиметричними. Композиції, які включають симетричні та частково несиметричні модулі, називаються слабко несиметричними.

Базові частково несиметричні модулі отримані декомпозицією блоків b1_2, b5, b2 і b8, що мають групи симетрії вищих порядків:

b1_2 = |0 1 2 3| = |0 1 - -|V|- - 2 3| = @b1_2 V @b1_2Чe2,2 = a1_2V a1_2Чe2,2

b5 = |0 1 2 3 4 5| = |0 1 2 - - -|V|- - - 3 4 5| = \b5 V \b5Чe3,3.

b2 = |0 4 2 0 4 2| = |0 4 2 - - -|V|- - - 0 4 2| = \b2 V \b2Чe3,0,

b8 = |3 1 5 3 1 5| = |3 1 5 - - -|V|- - - 3 1 5| = \b8 V \b8Чe3,0= \b2Чe0,3 V \b2Чe3,3.

Характер несиметрії доповнень \b1_2= a10_2 і \b5=а1 ілюструється рис. 4, на якому наведені векторні діаграми МРС в масштабі гармонік n=1 і n=2.

Для двофазних обмоток на базі модуля a10_2 поєднанням суперпозиції і циклічного множення синтезовано повний блок з таким же характером несиметрії.

a30_2 = a10_2 V a10_2 Чe2,1 =

=|0 1 - -| V |- - 1 2| = |0 1 1 2|.

Інші варіанти частково несиметричних модулів сформовані застосуванням операцій групи до блоків a10_2 і a30_2. При цьому 2-й індекс породжених блоків прирівнюється показнику степеня операції блочного множення групи - а1i_2 = a1_2Чei, i. В сукупності з інваріантом bхс_2 вони утворять генеруючу підмножину G2N ={bхс_2, a10_2, a11_2, a12_2, a13_2, a30_2, a31_2, a32_2, a33_2} моделей частково несиметричних двофазних обмоток. Встановлено, що операції симетрії групи підмножини G2N забезпечують інваріантність векторних діаграм в масштабі гармонік довільних непарних порядків.

Ідентичність просторових структур симетричного (b1_2) і слабко несиметричних блоків генеруючих підмножин G2S і G2N, зумовлена загальним інваріантом bхс_2, припускає їхнє спільне використання. Це дозволяє об'єднати їх в розширену генеруючу підмножину G2FN включенням в G2N, симетричного модуля a20_2=|0 1 2 3|. Отримана підмножина G2FN ={ bхс_2, a10_2, a11_2, a12_2, a13_2, a20_2, a30_2, a31_2, a32_2, a33_2} містить 10 модулів, але складається з ланцюжків споріднених блоків, утворених від однієї і тієї ж генеруючої підмножини. Вони мають цілком ідентичні симетричні частини спектру. Це дозволяє виділити з повної розширеної генеруючої підмножини G2FN своєрідне ядро – породжуючу підмножину I2FN={bхс_2,