НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ

ім. Я.С.ПІДСТРИГАЧА

Гольцев Аркадій Сергійович

УДК 539.3

МЕТОДИ ФУНДАМЕНТАЛЬНИХ РОЗВ’ЯЗКІВ

В ТЕРМОПРУЖНОСТІ ОРТОТРОПНИХ

ПЛАСТИН І ОБОЛОНОК

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Львів – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі прикладної механіки і комп’ютерних технологій Донецького національного університету

Науковий консультант – академік НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор

Шевченко Володимир Павлович,

Донецький національний університет,

ректор, завідувач кафедри.

Офіційні опоненти: член-кореспондент НАН України, доктор технічних наук, професор

Андрейків Олександр Євгенович,

Львівський національний університет ім. Івана Франка,

професор кафедри;

доктор фізико-математичних наук, професор

Карнаухов Василь Гаврилович,

Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України,

завідувач відділу;

доктор фізико-математичних наук, професор

Осадчук Василь Антонович,

Національний університет “Львівська політехника”,

завідувач кафедри.

Провідна установа: Дніпропетровський національний університет,

кафедра теоретичної та прикладної механіки.

Захист відбудеться __26.12____ 2005 р. о 1500 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці ІППММ ім. Я.С.Підстригача НАН України (м. Львів, вул. Наукова, 3-б).

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б, ІППММ ім. Я.С.Підстригача НАН України, вченому секретарю спеціалізованої ради.

Автореферат розісланий __24.11._ 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

доктор фізико-математичних наук Мартиняк Р.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність роботи. Пластини й оболонки є основним несучим елементом об'єктів і виробів у багатьох галузях сучасної промисловості. Це авіабудування, суднобудування, нафтова, газова і хімічна промисловість, промислове і цивільне будівництво і т.д. Для оцінки несучої здатності конструкцій, до складу яких входять тонкостінні елементи, необхідно мати точні і надійні методи розрахунку цих елементів під дією навантажень різного виду.

Температурні впливи відносяться до основного виду навантаження, якому піддаються об'єкти і вироби сучасної промисловості. При цьому локалізація даного виду впливів вносить додаткових труднощів у розрахунок несучої здатності тонкостінних елементів. Необхідно також враховувати умови експлуатації елементів конструкцій при температурному навантаженні. Наявність різного виду дефектів, зокрема тріщин, приводить до значного росту температурних напружень у зонах їхньої концентрації та істотному зниженню несучої здатності тонкостінних елементів. Необхідність обліку різних факторів, що впливають на термопружний стан тонкостінних елементів конструкцій, вимагає удосконалювання методів їхнього розрахунку при моделюванні температурних впливів.

На сьогоднішній день існують різні моделі зосереджених і локальних температурних впливів на тонкостінні елементи конструкцій. Для зосереджених температурних впливів це – зосереджене нагрівання і зосереджене джерело тепла. Більш кращою є модель зосередженого джерела тепла. Вона дозволяє враховувати умови теплообміну з навколишнім середовищем і характер розподілу температури по товщині тонкостінного елемента. Це ускладнює розв’язок задач термопружності, але сприяє більш точному моделюванню процесів зосередженого теплового впливу.

Високі вимоги до механічних характеристик конструкційних матеріалів привели до широкого використання на практиці композитів. Вплив структури композитного матеріалу виявляється через величини усереднених термомеханічних постійних. Тому для оцінки несучої здатності тонкостінних елементів з композитів використовують теорію анізотропних пластин і оболонок.

При розв’язанні задач термопружності пластин і оболонок, що володіють ортогональною анізотропією, застосовують різні методи. Проводять розрахунки для спеціально-ортотропних матеріалів, що дозволяє звести задачу до відомих розв’язків для ізотропних пластин і оболонок. Можна використовувати математичну аналогію між напружено-деформованим станом при силовому і температурному впливах. Розробка нових методів розрахунку, заснованих на рівняннях термопружності оболонок з довільного ортотропного матеріалу, вимагає інших математичних підходів. Цим і обумовлена актуальність теми даної дисертаційної роботи.

Метою дисертаційної роботи є узагальнення методики побудови фундаментальних розв’язків статики ортотропних оболонок, що заснована на використанні двовимірного інтегрального перетворення Фур'є і теорії узагальнених функцій на рівняння теплопровідності та термопружності ортотропних пластин і оболонок; застосування отриманих фундаментальних розв’язків для дослідження термопружного стану ортотропних пластин і оболонок, підданих зосередженому і локальному температурному впливам; побудова систем сингулярних інтегральних рівнянь (СІР) задачі термопружності для ізотропних оболонок з системами розрізів і проведення чисельних досліджень; розробка методики побудови функцій впливу для відрізків з постійними розривами переміщень і температури в плоскій задачі термопружності для ізотропного й ортотропного середовища; реалізація отриманих функцій впливу в схемі методу граничних елементів (МГЕ) і розв’язання нових задач математичної теорії тріщин.

Об'єктом дослідження є термопружний стан ортотропних пластин і оболонок при зосереджених і локальних температурних впливах і температурні напруження в околиці кінців тріщин у тонкостінних елементах конструкцій.

Предметом дослідження є узагальнення методів фундаментальних розв’язків статики пологих оболонок на задачі термопружності ортотропних пластин і оболонок і на задачі термопружності математичної теорії тріщин для тонкостінних елементів конструкцій.

Методи дослідження. Методом двовимірного інтегрального перетворення Фур'є побудовано фундаментальні розв’язки термопружності ізотропних і ортотропних пластин і оболонок. Цей же метод використано для одержання інтегральних представлень термопружних компонент в ізотропних оболонках із системами розрізів. Реалізовано метод граничних інтегральних рівнянь (ГІР) для визначення коефіцієнтів інтенсивності температурних зусиль і моментів. За допомогою теорії узагальнених функцій і двовимірного інтегрального перетворення Фур'є побудовано функції впливу для плоских задач термопружності ізотропних і ортотропних середовищ. Реалізовано МГЕ для проведення чисельних досліджень у задачах термопружності математичної теорії тріщин.

Зв'язок роботи з науковими програмами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках конкурсних держбюджетних і хоздоговірних тем:

?

?

?

?

Наукова новизна одержаних результатів:

?

?

?

?

?

?

Вірогідність отриманих результатів і зроблених висновків забезпечується строгістю постановки задач і використаних математичних методів, застосуванням теоретично обґрунтованих чисельних методів і зіставленням отриманих результатів з відомими окремими розв’язками інших авторів.

Особистий внесок здобувача полягає в узагальненні методів фундаментальних розв’язків на задачі термопружності ортотропних пластин і оболонок, підданих зосередженому і локальному температурному впливам; побудові систем СІР задачі термопружності для ізотропних оболонок із системами розрізів, що мають різні теплофізичні властивості; розробці методики побудови і знаходженні функцій впливу в плоских задачах термопружності для ізотропного й ортотропного середовища; чисельної реалізації методу ГІР і МГЕ; створенні прикладних програм для ЕОМ; проведенні чисельних розрахунків і аналізі отриманих результатів.

Практичне значення отриманих результатів полягає в можливості здійснювати оцінку впливу різних факторів на термопружний стан тонкостінних елементів конструкцій, підданих зосередженому і локальному температурному впливам, а також тонкостінних елементів, які мають дефекти у виді тріщин. Створено програми для проведення чисельних розрахунків у широкому діапазоні вхідних параметрів.

Отримані результати мають теоретичне і прикладне значення і можуть бути використані в науково-дослідних інститутах і конструкторських бюро, що займаються розробкою і конструюванням тонкостінних оболонкових конструкцій.

Апробація роботи. Окремі результати, приведені в дисертаційній роботі, доповідалися на щорічних наукових конференціях професорсько-викладацького складу Донецького національного університету; на конференції "IV Міжнародна конференція з механіки неоднорідних структур" (Тернопіль, 1995); на конференції "IX Конференция по прочности и пластичности" (Москва, 1996); на Українській конференції "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Київ, 1996); на Міжнародній конференції "Устойчивость, управление и динамика твёрдого тела" (Донецьк, 1996); на III і IV Міжнародних конференціях "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 1997, 1998); на Міжнародній науковій конференції "Современные проблемы концентрации напряжений" (Донецьк, 1998); на V і VI Міжнародних науково-технічних конференціях "Машиностроение и техносфера на рубеже XXI века" (Севастополь, 1998, 1999); на Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки і математики" (Львів, 1998); на Міжнароднім симпозіумі "IUTAM/IACM/IABEM Symposium on Advanced Mathematical and Computational Mechanics Aspects of the Boundary Element Method" (Cracow, Poland, 1999); на Міжнародній конференції "The 13th European Conference on Fracture. Fracture Mechanics: Applications and Challenges" (San Sebastian, Spain, 2000); на Міжнароднім симпозіумі "IABEM 2000. Symposium of the International Association for Boundary Element Methods" (Brescia, Italy, 2000); на I і II Міжнародних конференціях "Актуальные проблемы механики деформируемого твёрдого тела" (Донецьк, 2001, 2003).

У цілому дисертаційна робота доповідалася й обговорювалася на об'єднаному науковому семінарі кафедри прикладної механіки і комп'ютерних технологій і кафедри теорії пружності й обчислювальної математики Донецького національного університету під керівництвом академіка НАН України В.П.Шевченка (Донецьк); на проблемному семінарі по механіці Інституту прикладних проблем механіки і математики імені Я.С.Підстригача НАН України під керівництвом член-кореспондента НАН України Г.С.Кіта (Львів); на науковому семінарі кафедри теоретичної та прикладної механіки Дніпропетровського національного університету під керівництвом професора В.В.Лободи (Дніпропетровськ); на об'єднаному науковому семінарі відділів термопружності і термопластичності Інституту механіки імені С.П.Тимошенка НАН України під керівництвом академіка НАН України Ю.Н.Шевченка (Київ); на науковому семінарі кафедри механіки Львівського національного університету імені Івана Франка під керівництвом професора Г.Т.Сулима (Львів).

Публікації. Результати дисертаційної роботи опубліковані в 43 наукових публікаціях. Серед них 35 статей у наукових журналах і збірниках наукових праць [1-35], 8 тез доповідей на наукових конференціях [36-43]. З них 25 публікацій [1-25] відповідають вимогам ВАК України до публікацій результатів дисертаційних робіт у спеціалізованих виданнях.

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, восьми розділів, висновків, списку літератури і додатків. Загальний обсяг дисертації становить 390 сторінок машинописного тексту і включає 81 ілюстрацію і 5 додатків. Список літератури включає 339 найменувань. Обсяг ілюстрацій, які повністю займають площу сторінки, списку літератури і додатків складає 90 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність розглянутих задач і доцільність використаного методу. Дано загальну характеристику дисертації й описана її структура.

У першому розділі подано літературний огляд робіт з термопружності пластин і оболонок, у яких використані фундаментальні розв’язки.

Спочатку приведені роботи, що характеризують сучасний стан методів фундаментальних розв’язків. Акцент зроблений на публікаціях, що стосуються тонкостінних елементів конструкцій. Це статті, присвячені методам фундаментальних розв’язків у силових задачах для пластин і оболонок, і роботи з використання методу граничних елементів у теорії оболонок.

Основна частина літературного огляду стосується застосування методів фундаментальних розв’язків до задач термопружності пластин і оболонок. Це публікації, у яких розглянуті зосереджені джерела тепла в тонкостінних елементах конструкцій. Уперше задачу про дію зосередженого джерела тепла в центрі суцільної круглої пластинки вирішили Е.Мелан і Г.Паркус (1958р.). В наступні роки найбільш істотні результати для пластин були отримані в роботах Я.С.Підстригача і Ю.М.Коляна. Задачі про дію зосереджених джерел тепла в ізотропних і ортотропних пластинах розглянуті також у роботах Е.Н.Брюханової, Р.М.Кушніра, Ю.І.Міндоліна, І.А.Мотовиловця, Ю.Н.Пишнограєва, А.І.Уздальова, В.Г.Фоміна. С.Лукасевич визначив характер асимптотичної поведінки температурних зусиль і моментів в ізотропних пластинах при зосередженому нагріванні.

Термопружний стан в оболонках, підданих зосередженому нагріванню, уперше розглянули W.Flugge і D.A.Conrad (1958р.). Вони досліджували особливості напруженого стану циліндричних оболонок при дії зосереджених теплових джерел. Уперше постановку задачі про зосереджені температурні впливи в оболонках сформулювали Я.С.Підстригач і С.Я.Ярема (1961р.). Вони описали методику розв’язання задачі термопружності для замкнутої циліндричної оболонки при зосередженому нагріванні. Аналогічну задачу для пологої сферичної оболонки вирішив С.Я.Ярема.

Фундаментальний розв’язок задачі теплопровідності для пластин і пологих оболонок побудував С.Я.Ярема. У роботах Ю.П.Жигалка також побудовано фундаментальний розв’язок температурної задачі для кругової циліндричної оболонки. Розв’язок задачі про зосереджене нагрівання ізотропних оболонок позитивної гаусової кривизни й ортотропних оболонок довільної гаусової кривизни отримав В.П.Шевченко.

Н.В.Урбанович і Г.Н.Чернишов розглянули задачу про дію зосередженого джерела тепла в оболонках довільної гаусової кривизни. Побудовано наближені розв’язки рівнянь, у яких збережені лише члени з головними особливостями. Точний розв’язок задачі про дію зосереджених джерел тепла в ізотропних оболонках позитивної гаусової кривизни отримано в роботі Л.Е.Авраменко і В.П.Шевченка.

У літературному огляді представлені також публікації, у яких розглянуті пластини й оболонки, що містять джерела тепла, розподілені по кільцю і лінії, джерела тепла, що рухаються, об'ємні джерела тепла.

До задач про зосереджені джерела тепла примикають задачі про локальне нагрівання тонкостінних елементів конструкцій. Тематика локального нагрівання пластин досить повно представлена в монографіях Я.С.Підстригача, Ю.М.Коляна, А.Н.Кулика. За період останнього десятиліття цій тематиці присвячені публікації Г.Ю.Голубаря, Р.В.Гольдштейна, Ю.П.Жигалка, Ю.В.Житні-кова, Е.П.Зайцева, І.В.Кадочнікова, А.В.Конюхова, Г.Н.Медведєва, Б.І.Моргунова, І.А.Мотови-ловця, R.Kawamura, Y.Ootao, Y.Tanigawa. У літературному огляді згадані також роботи, що стосуються експериментального дослідження локального термічного навантаження пластин.

Публікації періоду до 1987 року, що стосуються локального нагрівання оболонок, приведені в літературному огляді І.Ф.Образцова, Б.В.Нерубайло, В.П.Ольшанського й у їхній оглядовій статті (1992р.). В наступні роки в даному напрямку працювали Л.Е.Авраменко, А.В.Бабков, Т.П.Грачова, В.В.Дрогобицька, Р.А.Золотарьов, В.Ф.Кириченко, С.В.Козлов, В.Н.Максимович, В.А.Мерзляков, Л.П.Хорошун, В.П.Шевченко, W.I.Astashkin, S.F.Budz, I.S.Budz, I.I.Chupyk.

У літературному огляді зазначені також роботи, у яких моделюється температурне навантаження, яке викликано впливами різної фізичної природи.

Складовою частиною літературного огляду є характеристика робіт, присвячених розв’язанню задач термопружності математичної теорії тріщин. Це тривимірні задачі термопружності для тіл із тріщинами і задачі термопружності для пластин і оболонок із тріщинами при дії градієнтів тепла. Докладно розглянуті публікації, у яких досліджені системи тріщин у пластинах і оболонках при силовому і температурному навантаженні. Свої роботи присвятили дослідженню систем тріщин Р.В.Гольдштейн, О.П.Дацишин, К.М.Довбня, С.О.Калоєров, Г.С.Кіт, І.С.Костенко, М.Г.Кривцун, Г.А.Кузін, В.Н.Максименко, М.М.Николишин, В.А.Осадчук, Н.М.Осипенко, В.В.Панасюк, М.П.Саврук, Л.М.Сеньків, О.Уханська, В.П.Шевченко, B.Chen, A.S.Kobayashi, G.T.Liu, A.Shimamoto, D-Y.Yu, G.X.Zang. Відзначено, що задачі термопружності оболонок із системою теплоізольованих тріщин представлені в періодичній літературі лише однією роботою І.С.Костенко.

У літературному огляді представлені також роботи, у яких використано метод граничних елементів для розв’язання тривимірних, осесиметричних і плоских задач термопружності. Особлива увага приділена задачам термопружності математичної теорії тріщин у тривимірній і двовимірній постановці. Докладно характеризуються роботи цього напрямку для анізотропних тіл. Незважаючи на значну ефективність використання МГЕ в двовимірних задачах механіки руйнування кількість публікацій на цю тему в країнах СНД досить незначна. Статті, у яких задачі термопружності математичної теорії тріщин для ортотропних середовищ розв’язані за допомогою МГЕ, взагалі відсутні.

На основі проведеного аналізу літературних джерел зроблено висновок про доцільність розвитку методів фундаментальних розв’язків у теорії термопружності пластин і оболонок.

В другому розділі приведені вихідні системи диференціальних рівнянь термопружності ортотропних пластин і оболонок, використовувані в даній дисертації. Дано загальну постановку задач для тонкостінних елементів конструкцій з концентраторами напружень лінійного типу, для рішення яких використовуються методи фундаментальних розв’язків.

Розглядаються тонкі ортотропні оболонки довільної гаусової кривизни і постійної товщини . Оболонки віднесені до ортогональної системи безрозмірних координат , що збігаються з головними осями ортотропії. Значення координат у цій системі дані у відношенні до напівтовщини оболонки .

Задача теплопровідності для пластин і оболонок вирішується щодо інтегральних характеристик температури і . Це – середня температура і температурний момент . Вигляд диференціальних рівнянь теплопровідності відносно і визначається прийнятим законом розподілу температури по товщині. У дисертації прийнятий лінійний закон розподілу, при якому температура знаходиться по формулі

. (2.1)

Рівняння теплопровідності ортотропних оболонок узяті у вигляді, визначеному в роботах Я.С.Підстригача, Р.Н.Швеця, Ю.М.Коляна, В.А.Осадчука.

Задача термопружності для ортотропних оболонок розв’язується за допомогою рівнянь, заснованих на класичних гіпотезах Кирхгофа-Лява. Ці рівняння приведені в монографії С.А.Амбар-цумяна.

Методи фундаментальних розв’язків у теорії ортотропних оболонок застосовуються для визначення напружених станів з великим показником змінюваності, що описуються рівняннями, співпадаючими з рівняннями теорії пологих оболонок. У зв'язку з цим, крім прийнятих гіпотез класичної теорії, приймаються допущення теорії пологих оболонок.

Таким чином, у дисертації використовуються рівняння класичної теорії термопружності ортотропних пологих оболонок.

Методи фундаментальних розв’язків застосовуються до неоднорідних диференціальних рівнянь, у правій частині яких знаходиться -функція або до однорідних рівнянь з урахуванням граничних умов на лініях концентраторів напружень. В останньому випадку компоненти термопружного стану носять розривний характер. Задача полягає в визначенні збурення, що вносять концентратори. Крайова задача по визначенню збуреного термопружного стану полягає в наступному.

Розглянемо тонкостінний елемент конструкції з концентратором напружень, що піддається зовнішнім впливам, а його термопружний стан визначається крайовою задачею

, , , , (2.2)

де - диференціальні оператори рівнянь термопружної рівноваги;

- компоненти силового або температурного навантаження;

- шукані функції;

- диференціальні оператори граничних умов на контурі внутрішньої границі , що відповідає концентраторові напружень;

- значення шуканих функцій на зовнішній границі ;

- кількість шуканих функцій і розмірність системи диференціальних рівнянь.

Термопружний стан, що треба знайти, представимо у виді суми основного стану , що відповідає суцільній області без дефектів, і збуреного , викликаного наявністю дефектів.

, . (2.3)

Основний термопружний стан є рішенням крайової задачі

, , , (2.4)

де - значення шуканих функцій основного стану на зовнішній границі .

Вважаємо рішення основної граничної задачі (2.4) відомим, оскільки методи розрахунку суцільних оболонкових конструкцій досить добре вивчені. Тоді задача полягає у визначенні обуреного термопружного стану.

Підставляючи вираження (2.3) у рівняння (2.2), з урахуванням співвідношень (2.4), приходимо до наступної постановки:

, , , . (2.5)

Припускаємо, що зовнішній граничний контур знаходиться на значному видаленні від місця розташування концентраторів напружень. Оскільки збурений термопружний стан носить локальний характер, тобто є істотним лише в локальній області навколо концентратора напружень, вважаємо, що збурення не поширюється до лінії зовнішньої границі. Тоді

, , . (2.6)

Справедливість такого припущення перевіряється після розв’язання задачі шляхом визначення характеру загасання функцій і знаходження компонент збуреного термопружного стану на лінії зовнішньої границі.

Поширюючи область визначення компонент збуреного стану на всю площину, одержуємо крайову задачу для визначення збуреного стану в наступному виді:

, , . (2.7)

Таким чином, задача зводиться до розв’язання однорідних диференціальних рівнянь із заданими граничними умовами на лінії концентраторів напружень. Подальше розв’язання здійснюється за наступною схемою.

Оскільки компоненти збуреного стану перетерплюють стрибок своїх значень на внутрішній границі , то їхнє диференціювання необхідно визначати з позиції теорії узагальнених функцій. Якщо двовимірна функція перетерплює розрив першого роду на лінії , то її похідні визначаються в такий спосіб:

; , (2.8)

де , - направляючі косинуси нормалі до лінії ;

- стрибок функції при переході через лінію ;

- двовимірна дельта-функція Дирака, визначена на лінії .

Похідні, які знаходяться у фігурних дужках в (2.8), позначають класичні похідні функції .

Підставляючи представлення (2.8) у систему диференціальних рівнянь (2.7), групуємо члени, що містять -функцію, у правій частині цієї системи. Отримана права частина, що містить -функцію, відноситься до опису збурення, викликаного наявністю відповідних стрибків. Розв’язок отриманої системи диференціальних рівнянь визначає збурений термопружний стан. Для її розв’я-зання використовуються методи фундаментальних розв’язків.

У третьому розділі описана методика побудови й отримані фундаментальні розв’язки термопружності ортотропних і ізотропних пластин і оболонок.

Застосовуючи двовимірне інтегральне перетворення Фур'є до рівнянь теплопровідності ортотропних оболонок, праві частини яких містять -функції Дирака, і вирішуючи в просторі трансформант систему двох алгебраїчних рівнянь відносно трансформант і , одержуємо розв’язок задачі теплопровідності в трансформантах. Далі застосовуємо розроблену методику звертання. Вона полягає у використанні розкладань, заснованих на формулі Якобі-Ангера, і представленні значень невластивих інтегралів через значення спеціальної G-функції. Ця функція введена в роботах В.П.Шевченка, В.К.Хижняка і має наступне представлення:

, , (3.1)

де - модифікована функція Бесселя другого роду порядку ;

- гамма-функція.

Якщо індекси є цілими числами, ця функція по своїх властивостях подібна функції Макдональда.

Отриманий розв’язок можна показати у вигляді фундаментальної матриці температури

. (3.2)

Елементами цієї матриці є інтегральні характеристики температури, в яких верхній індекс указує на фундаментальний розв’язок при наявності -функції в першому і другому рівнянні теплопровідності. Вони визначаються в полярній системі координат наступними вираженнями:

; ;

(3.3)

; ,

де , , - термомеханічни параметри;

, - функції, що визначаються по формулах

;

(3.4)

.

Тут , , , - тригонометричні функції перемінної , котрі містять термомеханічни параметри; - числові коефіцієнти. Ряди (3.4) швидко сходяться, тому для проведення практичних розрахунків досить обмежитися десятьма членами ряду. Асимптотична поведінка отриманого розв’язку (3.2) визначається властивостями спеціальної G-функції при аргументі, що наближається до нуля. Воно дається формулами

; ; ; , (3.5)

де - константи, що залежать від геометричних і теплофізичних параметрів.

Методика побудови фундаментальних розв’язків задачі термопружності аналогічна. Розв’язок отримано у виді фундаментальної матриці переміщень, компоненти якої визначаються наступним вираженням:

, , (3.6)

де - числові коефіцієнти;

- тригонометричні функції кратного аргументу;

, , - тригонометричні функції перемінної ;

- функції, що виражаються через спеціальну G-функцію.

Формули асимптотичної поведінки фундаментального розв’язку термопружності мають вигляд:

, ; , , (3.7)

де - величини, що не залежать від радіальної координати .

У четвертому розділі приведені фундаментальні матриці температурних зусиль і моментів ортотропних та ізотропних пластин і оболонок. Компоненти цих матриць отримані спочатку в просторі трансформант. Методика звертання цих трансформант докладно описана в даному розділі, де також виписані усі компоненти розглянутих фундаментальних матриць.

Для ортотропних оболонок компоненти фундаментальних матриць внутрішніх силових факторів ( ; ; ; ; ; , де , , - мембранні зусилля; , , - згинаючі і крутячий моменти) визначаються наступним вираженням:

, , (4.1)

де , - числові коефіцієнти;

, , - тригонометричні функції перемінної ;

- функції, обумовлені компонентами фундаментальної матриці теплопровідності;

- функції, що виражаються через спеціальну G-функцію.

Асимптотична поведінка внутрішніх силових факторів описується наступними формулами:

, , ; , ;

(4.2)

, , ; , ,

де - величини, що не залежать від радіальної координати .

З формул (4.2) випливає, що логарифмічною особливістю володіють мембранні зусилля і при дії "плоского" джерела тепла і згинальні моменти і при дії "згинного" джерела тепла.

При аналізі асимптотичної поведінки компонентів фундаментальних матриць зроблено висновок про те, що ортотропія матеріалу і кривизна оболонки не впливають на характер асимптотичної поведінки фундаментальних розв’язків.

У п'ятому розділі представлені результати чисельних досліджень задач про дію зосереджених джерел тепла в ортотропних пластинах і оболонках. Спочатку викладена постановка розглянутих задач термопружності. Потім приведені результати чисельних досліджень, що характеризують вплив термомеханічних властивостей матеріалу на термопружний стан ортотропних пластин і оболонок.

При проведенні чисельних досліджень як ортотропний матеріал узято склопластик косокутного намотування, що має сильну анізотропію. Його термомеханічні властивості визначаються наступними константами: МПа; МПа; МПа; ; К ; К ; м/с; м/с, де - коефіцієнти температуропровідності по головних напрямках.

Спочатку були розв’язані задачі теплопровідності і термопружності для ортотропних пластин. Розв’язок задачі теплопровідності при дії "плоского" джерела тепла для окремого випадку теплоізольованої пластини співпал з аналітичним розв’язком даної задачі, приведеним у статті Ю.І.Міндоліна, А.І.Уздальова. Для обґрунтування вірогідності використаного методу розглянута задача термопружності для ортотропної пластини з "плоским" джерелом тепла при симетричному теплообміні . Отриманий розв’язок для нормальних зусиль в окремому випадку ізотропної пластини за допомогою представлення для G-функції (3.1) і рекурентних формул для функції Макдональда зведено до аналітичного розв’язку даної задачі, приведеному в монографії Я.С.Підстригача, Ю.М.Коляна.

Чисельні дослідження у випадку ортотропних пластин проведені для "плоского" і "згинного" джерела тепла при довільному теплообміні з навколишнім середовищем.

У випадку оболонок спочатку були проведені дослідження поведінки термопружних переміщень від дії зосереджених джерел тепла. Спочатку були розв’язані задачі для оболонок окремого виду. Розглянуто задачі для сферичних і циліндричних оболонок, підданих роздільній дії "плоского" і "згинного" джерел тепла.

Результати чисельних досліджень для оболонок довільної гаусової кривизни ( , , де , - головні кривизни) представлені на рис. 5.1 – 5.3. Показана залежність переміщень , , від радіальної координати уздовж різних напрямків (рис. 5.1, 5.3 - ; рис.5.2 - ) при симетричному теплообміні ( ). Графіки на рис. 5.1, 5.2 відповідають дії "плоского" джерела тепла, на рис. 5.3 - "згинного" джерела тепла одиничної інтенсивності. Суцільними лініями показані залежності для оболонки, пунктирними – для пластини. Цифрами 1, 2, 3 відзначені криві для сфери ( ), циліндричної оболонки ( ) і псевдосфери ( ). З графіків видно, що кривизна оболонки істотно впливає на характер поведінки термопружних переміщень. Зокрема, радіальні переміщення в пластині при дії "плоского" джерела тепла можуть бути тільки позитивними. В оболонці ці переміщення можуть бути і негативними. При дії "згинного" джерела тепла прогини в сфері і псевдосфері близькі між собою і значно відрізняються від прогинів у циліндричній оболонці.

При дослідженні поведінки температурних зусиль і моментів від дії зосереджених джерел тепла були розглянуті оболонки як окремого виду, так і довільної гаусової кривизни. Вплив кривизни і виду вигнутої поверхні оболонки на поведінку внутрішніх силових факторів досліджено при розгляді оболонок довільної гаусової кривизни. Результати цих досліджень представлені на рис. 5.4 – 5.6 у виді графіків залежностей внутрішніх силових факторів від радіальної координати уздовж осі ( при симетричному теплообміні ( ). Значення зусиль дані у відношенні до параметра , значення моментів – . Графіки на рис. 5.4, 5.5 відповідають дії "плоского" джерела тепла, на рис. 5.6 – "згинного" джерела тепла одиничної інтенсивності. Суцільними лініями показані залежності для оболонки, пунктирними – для пластини. Цифрами 1 і 4, 2 і 5, 3 і 6 відзначені криві для сфери ( ), циліндричної оболонки ( ) і псевдосфери ( ). На рис. 5.6 залежності для згинаючого моменту показані кривими 1, 2, 3, для – 4, 5, 6. З графіків випливає, що мембранні зусилля при дії "плоского" джерела тепла загасають значно повільніше, чим згинальні моменти при дії "згинного" джерела тепла. Вплив кривизни більш істотен для мембранних зусиль. Згинальні моменти слабко залежать від параметра кривизни .

У шостому розділі отримані фундаментальні розв’язки термопружності використані в задачах про визначення термопружного стану тонкостінних елементів конструкцій при локальних температурних впливах. Розв’язок цих задач дається формулою згортки

Рис. 5.1 Рис. 5.2

Рис. 5.3 Рис. 5.4

Рис. 5.5 Рис. 5.6

, (6.1)

де - компоненти термопружного стану, внутрішні силові фактори;

- компоненти фундаментального розв’язку термопружності, відповідні елементи фундаментальних матриць зусиль і моментів;

- щільність розподілу джерел середньої температури і температурного моменту по області ;

- вектор поточної точки;

- вектор точки інтегрування по області .

Чисельні дослідження проведені для двох областей нагрівання. Це пряма, розташована на осі симетрично відносно початку координат, і коло одиничного радіуса з центром на початку координат. Розглянуто задачі локального нагрівання для ортотропних пластин і оболонок як окремого виду, так і довільної гаусової кривизни.

На рис. 6.1 і 6.2 представлені результати чисельних досліджень для оболонок довільної гаусової кривизни рівномірно нагрітих () по лінії довжиною (рис. 6.1) і по колу одиничного радіуса (рис. 6.2).

Рис. 6.1 Рис. 6.2

Побудовано графіки мембранних зусиль для точек лежачих на осі в першому випадку і для точек на осі в другому випадку. Розглянуто випадок симетричного теплообміну ( ). Суцільною лінією показані криві для мембранного зусилля , штриховою – для . Пунктирними лініями показані графіки для пластини. Цифрами 1, 2, 3 відзначені залежності для сфери ( ), циліндричної оболонки ( ) і псевдосфери ( ).

З графіків випливає, що гаусова кривизна впливає на значення температурних зусиль, причому їхні значення в оболонці істотно відрізняються від значень у пластині.

У сьомому розділі описана методика рішення задач термопружності ізотропних пластин і оболонок, що містять системи тріщин з різними теплофізичними властивостями.

Використані класичні рівняння термопружності ізотропних оболонок. Тріщини моделюються теплопроникними і теплоізольованими розрізами. Граничні умови задачі теплопровідності на лініях розрізів описуються наступними співвідношеннями:

, , (7.1)

де - теплопровідність матеріалу оболонки;

- коефіцієнт теплопроникнення -го розрізу;

- стрибки інтегральних характеристик температури на -ом розрізі.

Граничні умови задачі термопружності мають вигляд

, , , , , (7.2)

де - узагальнені перерізуючи зусилля;

- довільні постійні;

- координата на лінії -ого розрізу.

За допомогою розробленої методики побудови фундаментальних розв’язків знайдені інтегральні представлення температури, її похідних і внутрішніх силових факторів . Вони визначаються наступними формулами:

, ; (7.3)

, ; (7.4)

, , (7.5)

де інтегрування здійснюється по лінії , що включає всі розрізи;

, , , , - ядра інтегральних представлень.

Невідомі функції в представленнях (7.5) визначаються через стрибки переміщень, кутів повороту, температури і теплових потоків по формулах

; ; ; ;

(7.6)

; ; ; ,

де , - направляючі косинуси нормалі до лінії розрізу.

За допомогою отриманих інтегральних представлень (7.3) – (7.5) і граничних умов (7.1), (7.2) побудовані системи сингулярних інтегральних рівнянь типу Коші. Для задачі теплопровідності це наступні рівняння:

, , (7.7)

де , , ;

- ядра інтегральних рівнянь;

- лінія -го розрізу.

Система (7.7) вирішується з урахуванням додаткових умов

, , (7.8)

які випливають з безперервності температури у вершинах розрізів.

Система задачі термопружності має такий вигляд:

, , (7.9)

де , - ядра інтегральних рівнянь;

Функції , що у правій частині рівнянь (7.9), знаходяться при розв’язанні задачі теплопровідності. Система (7.9) вирішується з урахуванням додаткових умов, що випливають з безперервності переміщень і кутів повороту у вершинах розрізів.

Після чисельного розв’язку систем (7.7), (7.9), за допомогою інтегральних представлень (7.5) знаходиться термопружний стан у будь-якій точці оболонки, а також коефіцієнти інтенсивності температурних зусиль і моментів для кожного розрізу.

Реалізація описаної методики здійснена для задач теплопровідності і термопружності оболонок із системою двох теплопроникних і теплоізольованих розрізів. Досліджено вплив геометричних і теплофізичних параметрів на величину стрибків інтегральних характеристик температури і на коефіцієнти інтенсивності зусиль і моментів.

На рис. 7.1 і 7.2 представлені результати чисельних досліджень для оболонок довільної гаусової кривизни, що містять систему двох теплоізольованих розрізів однакової довжини ( ), розташованих на осі на відстані друг від друга. Перпендикулярно лінії розрізів поширюється однорідний тепловий потік інтенсивності . Розглянуто випадок симетричного теплообміну ( ).

На рисунках показані графіки залежностей коефіцієнта інтенсивності зусиль і моментів від параметра кривизни для правого розрізу. Значення дані у відношенні до величини (коефіцієнт інтенсивності зусиль у пластині з одним розрізом), значення дані у відношенні до величини .

Рис. 7.1 Рис. 7.2

Криві 1-5 відповідають наступним значенням параметра теплообміну : , , , 1, 10. Суцільні лінії відносяться до правого кінця розрізу, штрихові – до лівого. Значення на правому кінці розрізу позитивні, а на лівому негативні. Значення на лівому кінці розрізу приблизно такі ж, як і на правому, показані на рис. 7.2, але зі зворотним знаком. Крапкою на рис. 7.1 відзначене значення коефіцієнта інтенсивності зусиль для аналогічної схеми розрізів у термоізольованій пластині, полічене по формулі з монографії В.В.Панасюка, М.П.Саврука, О.П.Дацишин. Зірочкою показане значення для пластини, отримане за розглянутою методикою. Розбіжність між ними складає менш 3%.

З графіків випливає, що кривизна і величина теплообміну впливають на значення коефіцієнтів інтенсивності температурних зусиль і моментів.

Восьмий розділ присвячений застосуванню методів фундаментальних розв’язків до реалізації методу граничних елементів у задачах термопружності. Ключовим моментом у методі граничних елементів є отримання функцій впливу для кінцевого відрізка або сегмента. У варіанті методу розривних переміщень використовують рішення для необмеженого середовища з заданими постійними стрибками шуканих величин на лінії сегмента. Стосовно до плоских задач термопружності отримання функцій впливу зводиться до рішення наступної задачі.

Нехай дана нескінченна площина в декартових координатах , , що містить сегмент довжиною . Сегмент розташований на осі з центром на початку координат. На сегменті задані постійні стрибки переміщення (переміщення уздовж осі ), переміщення (переміщення уздовж осі ) і температури . Необхідно знайти температуру, переміщення і напруження в області, обумовлені наявністю заданих стрибків. При цьому знаходження температури складає самостійну задачу – задачу теплопровідності.

Ізотропне середовище. Використано систему рівнянь плоскої задачі термопружності для ізотропного середовища. Застосовуючи двовимірне інтегральне перетворення Фур'є до рівнянь теплопровідності з урахуванням розривного характеру шуканих функцій, тобто представлень (2.8), одержуємо рішення в просторі трансформант. Застосовуючи до нього методику звертання, одержуємо рішення у вихідному просторі в інтегральній формі, де інтегрування здійснюється по лінії сегмента. Виносячи постійний стрибок температури з-під знака інтеграла і проводячи аналітичне інтегрування, приходимо до наступної форми розв’язку:

; , (8.1)

де - функція впливу для температури. Тут і далі використовується скорочена форма запису, подібна до значень первісної функції по перемінній .

Диференціюючи знайдений розв’язок, одержуємо значення похідних і відповідні функції впливу:

; ; (8.2)

; . (8.3)

Методика розв’язку задачі термопружності аналогічна. Перетворення Фур'є застосовується до рівнянь термопружної рівноваги в переміщеннях з урахуванням розривного характеру шуканих функцій. У просторі трансформант знаходиться розв’язок для переміщень і напружень. У результаті звертання одержуємо інтегральні представлення переміщень і напружень. Виносячи з-під інтегралів постійні стрибки переміщень і температури та здійснюючи аналітичне інтегрування по лінії сегмента, одержуємо розв’язок розглянутої задачі та відповідні функції впливу. Для переміщень це вираження

; , (8.4)

де функції впливу даються наступними співвідношеннями:

;

;

; (8.5)

;

; ;

; ; ,

де - коефіцієнт Пуассона;

- температурний коефіцієнт лінійного розширення.

Для напружень маємо наступне представлення:

; ; (8.6)

і відповідні функції впливу

; ;

; ; (8.7)

; ;

;

; ; ; ,

де - модуль Юнга.

Отриманий розв’язок виведено також через виробляючу функцію, використану в монографії С.Крауча, А.Старфілда, де дані функції впливу силової задачі. Порівняння отриманого розв’язку при стрибках переміщень з функціями впливу силової задачі, приведеними в згаданій монографії, показує, що вони відрізняються тільки знаком. Це обумовлено тим, що стрибки переміщень визначені в монографії С.Крауча, А.Старфілда так, що відрізняються від використаних у дисертації тільки знаком.

Отриманий розв’язок для функцій впливу використано в задачах термопружності математичної теорії тріщин. Спочатку була розглянута модельна задача для однієї теплоізольованої тріщини, що знаходиться під впливом однорідного теплового потоку. Використано загальну схему розв’язку методом граничних елементів, яка докладно описана в монографії С.Крауча, А.Старфіл-да. За допомогою функцій впливу розв’язок розглянутої задачі зведено до розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь щодо значень стрибків температури і переміщень на