НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ФІЗИКИ

Куліш Володимир Вікторович

УДК 537.312.5, 539.21

ОПТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ МАЛИХ МЕТАЛЕВИХ ОБОЛОНОК РІЗНОЇ ФОРМИ

Спеціальність 01.04.07 – фізика твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі прикладної фізики, Фізико-Технічний Інститут, Національний Технічний Університет України “Київський Політехнічний Інститут”

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

член-кореспондент НАНУ

Томчук Петро Михайлович,

Інститут фізики НАН України,

зав. теоретичним відділом

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Пашицький Ернест Анатолійович

Інститут фізики НАН України,

головний науковий співробітник

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Усенко Константин Володимирович

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

фізичний факультет, кафедра теоретичної фізики,

доцент

Провідна установа:

Інститут теоретичної фізики НАН України,

відділ нелінійної фізики конденсованого стану, м. Київ

Захист відбудеться “27” жовтня 2005 року о 1430 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.159.01 при Інституті фізики НАН України за адресою: 03680, м. Київ-28, МСП, проспект Науки, 46, конференц-зал.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту фізики НАН України.

Автореферат розісланий 23 вересня 2005 р

Т.в.о. вченого секретаря

спеціалізованої вченої ради, Борщ А.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми

Останнім часом новим перспективним напрямком фізики конденсованого стану виділилась фізика наноструктур – об’єктів, що мають нанорозміри по одному, двох чи трьох вимірах; зокрема, з точки зору застосування у техніці інтерес представляють металеві кластери. Відомо, що такі об’єкти мають властивості, що суттєво відрізняються від властивостей масивних тіл [1,2]. Як показують дослідження, коли мова іде про металеві кластери, особливості з’являються, коли один (принаймні один) з характерних розмірів кластера, скажімо товщина тонкої плівки, зрівнюється з довжиною вільного пробігу електрону [1,2]. Зокрема, у острівкових плівках (тонких плівках, що не є суцільними, а являють собою сукупність малих кластерів – острівців) спостерігається електронна і фотонна емісія при введені в острівкові металеві плівки потужності [3,4]. При цьому мова йде про відносно малі потужності, такі, при яких у масивному металі нічого подібного не спостерігається. Нові закономірності спостерігаються також в поглинанні світла малими металевими частками (зокрема, з’являється різка залежність поглинання від форми частки і від поляризації електромагнітної хвилі [5]). Для такого класу металевих наночасток, як тонкі металеві дротики, оптичні властивості досліджувались окремо – наприклад, у роботах [6] (експериментально) і [7,8] (теоретично). Далі нас будуть цікавити саме оптичні властивості малих кластерів, оскільки використання наночасток у техніці базується перш за все на їх оптичних властивостях. Конкретно – ми вивчаємо оптичну (високочастотну) провідність малих кластерів з металевою оболонкою.

На використанні нанооб’єктів базується нова галузь техніки – нанотехнологія. Завдяки аномальним властивостям нанооб’єктів ця галузь вже зараз є модною і перспективною, незважаючи на її молодість. Нанотехнологія знайшла багато технічних рішень, невідомих раніше.

Суцільні металеві кластери досліджуються теоретично досить давно та інтенсивно. Зокрема, теоретичному дослідженню оптичних властивостей металевих кластерів різної форми присвячена низка статей ([5,7-9] та інші) і кілька монографій [1,2]. Виявлено, що поглинання світла у малих металевих кластерах (взагалі, їх оптичні властивості) сильно залежить від форми кластера [5,10], тому оптичні властивості досліджувались окремо для сферичних [9], циліндричних [7] кластерів, кластерів у формі еліпсоїду [5] та паралелепіпеду, а також для тонких плоскопаралельних плівок. Для кластерів різних форм досліджувалось електричне і магнітне поглинання (тобто поглинання світла, пов’язане відповідно з електричною та магнітною компонентами електромагнітної хвилі) [5,7]; вони досліджувались з використанням квантово-мікроскопічного [7] або кінетичного [5] підходу.

Нещодавно були отримані малі кластери, що належать до нового типу – композитні (неоднорідні) кластери. Сюди відносяться отримані нещодавно в лабораторних умовах нанооболонки [11] – малі композитні кластери, що складаються з діелектричного ядра та тонкої (товщина порядку нанометра) металевої оболонки навколо нього – та металеві нанотрубки [12] – композитні кластери, що складаються з вуглецевої (фулеренової) нанотрубки та металевої оболонки навколо неї. Унікальні властивості таких структур полягають в можливості контролювати оптичні властивості таких систем, змінюючи співвідношення між внутрішнім та зовнішнім характерним розміром кластеру, залишаючи власне зовнішні розміри постійними. Це пов’язано з тим, що оптичні властивості таких систем визначає металева оболонка – діелектрик всередині не дає суттєвого внеску. (Тому для дослідження оптичних властивостей таких систем досить дослідити оптичні властивості відповідної малої металевої оболонки.) Так, частота плазмонного резонансу у нанооболонках може таким чином бути змінена в широких межах для нанооболонок з постійним зовнішнім розміром [11,13]. Такі властивості відкривають широкі перспективи для застосування у техніці, дозволяючи отримувати кластери фіксованого розміру з керованими оптичними властивостями. Крім того, реальні нанооболонки при застосуванні у техніці дозволяють працювати з більш широким діапазоном довжин хвиль, ніж суцільні металеві кластери [13]. Нанооболонки також, незважаючи на нещодавність їх відкриття, вже знайшли застосування, наприклад, у медицині.

Неоднорідні малі кластери досі досліджувались передусім експериментально [11,12]. Що стосується теоретичного дослідження оптичних властивостей подібних систем, воно досі було обмежено класичним випадком – без урахування квантування електронного спектру енергій (дискретний спектр замінювався на неперервний) [5]; досліджувалось переважно магнітне поглинання світла [14,15]. Квантування електронного спектру, проте, може суттєво вплинути на результат для випадку тонких оболонок, коли товщина металевої оболонки стає порядку довжини хвилі де Бройля електрона. (Це пов’язано з тим, що для тонкої оболонки задача стає квазіодновимірною і рівні енергії електрона у оболонці розріджуються.) Ефекти, пов’язані з квантуванням електронного спектру, можна спостерігати навіть у суцільних кластерах, як це було пророблено в роботі [6] для тонких металевих дротиків, де подібні ефекти спостерігались при дослідженні явищ електролюмінесценції і провідності. Теоретичні дослідження [8] показують, що врахування дискретності електронного спектру у тонких суцільних металевих дротинках призводить до появи осциляційних добавок у залежності провідності від частоти електричного поля, що викликає струм. А електричне поглинання у малих металевих кластерах може бути як набагато більше, так і набагато менше за магнітне [5] в залежності від частоти світла, а також розмірів і форми кластера. Крім того, теоретичні дослідження малих металевих оболонок досі обмежувались випадком сферичної та циліндричної оболонки. Інші конфігурації, в тому числі металеві оболонки у формі еліпсоїду обертання, теоретично не досліджувались взагалі.

В дисертаційній роботі досліджено електричне поглинання світла у малих кластерах з металевою оболонкою різної форми – сферичних, циліндричних та еліпсоїдальних, досліджені в тому числі ефекти, пов’язані з квантуванням енергії електрона в металевій оболонці.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами

Робота виконана за цільовим проектом Національної Академії Наук України (ВЦ85).

Мета і задачі дослідження

Мета роботи полягає у знаходженні оптичної провідності малих металевих оболонок різної форми (сфера, циліндр, еліпсоїд обертання) квантомеханічними методами, а також в узагальненні використаних для цих трьох геометрій оболонок методів у єдиний. Розглядається поглинання світла неоднорідною наночасткою; досліджується електричне поглинання.

Для досягнення мети необхідно було розв’язати наступні головні задачі:

-

-

-

-

-

-

Об’єкт і предмет дослідження

Об’єктом дослідження є неоднорідні наночастки різної форми, що складаються з діелектричного ядра та металевої оболонки; кластери мають розмір порядку нанометра по двох або трьох вимірах.

Предмет дослідження – оптичні властивості на прикладі провідності під дією світла (оптичної провідності) таких систем.

Наукова новизна отриманих результатів

1.

2.

3.

4.

Практичне значення роботи

Нанооб’єкти взагалі і неоднорідні нанооб’єкти особливо є відповідно новими і маловивченими для фізики системами. Результати даної роботи забезпечують поглиблений рівень розуміння процесів, що відбуваються у неоднорідних малих кластерах. Таким чином закладаються фізичні основи для подальшого розвитку нанотехнологій. Зокрема, використання наносистем у техніці пов’язано передусім з їх аномальними оптичними властивостями, вивченню яких присвячена дана робота. Знання цих властивостей (оптичної провідності, поглинання та ін.) відкриває простір для використання нанооб’єктів у техніці.

Вперше отримані залежності для оптичної провідності неоднорідних наночасток можуть бути використані при інтерпретації результатів експериментального дослідження подібних об’єктів для тих випадків, коли електричне поглинання стає суттєвим, особливо для випадку тонкої металевої оболонки, коли суттєвими стають ефекти, пов’язані з квантуванням електронного спектру (для малих кластерів з металевою оболонкою – вперше розраховані в даній роботі).

Узагальнений метод розрахунку оптичної провідності неоднорідної наночастки, виписаний у даній роботі, може бути застосований для розрахунку оптичних властивостей малих неоднорідних кластерів двох інших (крім наведених у роботі) геометрій, а саме еліптичний циліндр і сплюснутий еліпсоїд обертання.

Особистий внесок автора

Дисертаційна робота виконана в аспірантурі Національного Технічного Університету України “КПІ”, кафедра прикладної фізики, Фізико-Технічний інститут (НТУУ “КПІ”), під керівництвом доктора фіз.-мат. наук П.М. Томчука (Інститут фізики НАН України).

Автор дисертаційної роботи брав активну участь у постановці всіх задач, що входять до дисертації, отриманні всіх результатів, що викладені у роботі, та їх інтерпретації, а також у підготовці і написанні всіх опублікованих статей та доповідей на всі вказані нижче конференції. Автор провів узагальнення підходів до розрахунку оптичної провідності малих неоднорідних кластерів різної форми у єдиний.

Апробація роботи

Основні результати досліджень, викладених у дисертаційній роботі, доповідались і обговорювались на конференціях і нарадах: IV International Young Scientists Conference “Problems of Optics and High Technology Material Science” – SPO2003 (Kyiv, Ukraine 2003, дві доповіді), Нанорозмірні Системи: Електронна, Атомна Будова і Властивості - НАНСИС-2004 (Kyiv, Ukraine 2004), V International Young Scientists Conference “Problems of Optics and High Technology Material Science” – SPO2004 (Kyiv, Ukraine 2004).

Публікації

Результати роботи викладені у 5 друкованих працях [1*-5*] та 4 тезах конференцій [6*-9*], всі роботи опубліковані у наукових журналах, що входять до списку реферованих видань ВАК України.

Структура дисертації

Дисертаційна робота складається зі вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаної літератури з 134 найменувань і 3 додатків. Роботу викладено на 147 (без додатків) сторінках; вона містить 8 малюнків (7 у основній частині та 1 у додатках).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі стисло описано сучасний стан проблеми дослідження оптичних властивостей малих металевих кластерів взагалі і малих металевих оболонок зокрема, розкрито актуальність теми дисертації, сформульовані мета і задачі дослідження, визначені наукова новизна і практична цінність результатів роботи. Також у вступі подано відомості про апробацію роботи та публікації по темі роботи і стисло викладено загальну характеристику дисертаційної роботи.

У першому розділі в першому його підрозділі наведено огляд робіт, присвячених теоретичному і експериментальному дослідженню наноструктур взагалі і малих металевих оболонок зокрема. Зазначено зокрема, що теоретичні дослідження поглинання у малих металевих оболонках досі обмежувались обчисленням магнітного поглинання (пов’язаним з магнітною компонентою електромагнітної хвилі) у класичному наближенні (а квантові ефекти у тонких оболонках є суттєвими) для сферичної і циліндричної оболонок.

Далі у розділі наводиться власне постановка задачі про знаходження оптичної провідності малої металевої оболонки довільної форми (поглинання: на оболонку падає електромагнітна хвиля з частотою ) у одноелектронній моделі. (Розглядається тільки оболонка, оскільки у неоднорідних кластерах, що містять металеву оболонку, діелектричне ядро не вносить суттєвого внеску у оптичні властивості.) Записуються базові співвідношення для оптичної провідності – з порівняння феноменологічного співвідношення для енергії, що поглинається таким кластером у одиницю часу (електричне поглинання: пов’язане з електричною компонентою електромагнітної хвилі)

, (1)

де Vs – об’єм кластера, ?j – компоненти електричного вектора, jj=j – діагональні компоненти тензора провідності (використовуємо декартову систему координат (х,у,z)), і макроскопічного виразу через матричні елементи оптичних переходів

, (2)

де

, (3)

W2 та W3 аналогічно (тут індексом і позначено початковий, а f – кінцевий стан електрона, Ei та Ef – енергія електрона відповідно у початковому та кінцевому стані, f(E) – електронна функція розподілу по енергіях). Базові співвідношення для оптичної провідності запишуться

. (4)

Отримано також інший мікроскопічний вираз для енергії, що поглинається кластером (з використанням запису гамільтоніану взаємодії електрона з електромагнітною хвилею через оператор імпульса):

(5)

для ізотропного випадку; аналогічно для неізотропного ( – потенційна енергія електрона у оболонці). З використанням цього виразу записано інші базові співвідношення для оптичної провідності, а саме

. (6)

Доведено еквівалентність записів (4) та (6) оптичної провідності.

У другому розділі досліджено поглинання і обчислено відповідну оптичну провідність для сферичної нанооболонки. Нанооболонка моделюється сферично-симетричною потенційною ямою для електрона, робочою системою координат є сферична (r,,). Внутрішній радіус оболонки позначено – а, зовнішній – b. Через ізотропність задачі (діагональні елементи тензора провідності рівні між собою) можна ввести скалярну оптичну провідність, яка і обчислюється в подальшому.

Хвильова функція електрона у нанооболонці знаходиться шляхом розділення змінних у рівнянні Шредінгера для електрона у модельній потенційній ямі з подальшим розв’язком цих рівнянь. Кутова частина електронної хвильової функції (пов’язана з координатами і ) представляє собою сферичні поліноми (індекси визначаються квантовими числами, що характеризують стан електрона), радіальна – лінійну комбінацію сферичних функцій Бесселя та Неймана. Для обчислення оптичної провідності сферичної нанооболонки використовуються обидва підходи – з використанням базових співвідношень (4), отриманих через матричні елементи оператора координати, та з використанням базових співвідношень (6), отриманих через матричні елементи оператора імпульса.

Для отримання константи нормування хвильової функції і матричних елементів переходів застосовується наближення ka>>1, де k – електронне хвильове число; таке співвідношення виконується для типових значень розміру оболонки і хвильового числа Фермі металів (так, для хвильового числа Фермі золота це наближення накладає обмеження на внутрішній радіус оболонки a2 нм при типовому значенні а~40 нм). Використовуючи асимптотику хвильової функції, що відповідає цьому наближенню, а також вважаючи потенційну яму для електрона безмежно глибокою, вдається отримати спектр хвильових чисел і енергій електрона і, взявши інтеграл нормування, отримати константу нормування хвильової функції. Отримана таким чином хвильова функція, що має вигляд

, (7)

тут mZ, l – орбітальне квантове число, Ylm – сферичний поліном, – деяка початкова фаза, і спектр хвильових чисел і енергій

, , (8)

де me – маса електрона, n – головне квантове число, використовуються для обчислення оптичної провідності першим способом (з використанням (4)). (Показано, що для обчислення оптичної провідності другим способом, тобто з використанням (6), хвильові функції треба уточнити на границі ями). Подібний вигляд електронного спектру показує, що задачу в даній постановці (електрон у тонкій металевій оболонці) вдалося звести до квазіодновимірної (електрон у одновимірній потенційній ямі).

Далі у розділі обчислюються матричні елементи оптичних переходів, що входять у (4), з використанням хвильових функцій (7) і спектру хвильових чисел (8). Після взяття відповідних інтегралів і підстановки отриманих матричних елементів у (4) сума по електронних станах для скалярної оптичної провідності записується у вигляді

. (9)

Тут штриховані індекси відносяться до кінцевого стану електрона, нештриховані – до початкового, а величина

. (10)

Для запису аналогічної суми по електронних станах для оптичної провідності з використанням співвідношень (6) (другий спосіб) потрібне уточнення хвильової функції електрона на границі оболонки. (Показано, що матричні елементи, що входять у (6), виражаються через значення хвильової функції на краях потенційної ями. У наближенні безмежно глибокої ями, яке було використано у попередньому методі, хвильова функція електрона на краях ями обнуляється. Відповідно, матричні елементи оптичних переходів і власне оптична провідність, обчислена з використанням (6), також дорівнюють нулю в цьому наближенні.) Для цього використано метод, запропонований Кавабата та Кубо [9] – ввести мале збурення хвильової функції як малі поправки до k і , отриманих у наближенні безмежної ями. Глибина потенційної ями вважається великою, але обмеженою; поправки знаходяться з умови зшивання хвильової функції на границях ями. Для обчислення матричних елементів і оптичної провідності використовуються не власне значення поправок k та , а їх комбінації bk+ та ak+. Після знаходження матричних елементів, що входять у (6), оптична провідність записується у вигляді суми, тотожної до (9), що підтверджує вірність отриманих результатів та еквівалентність двох методів знаходження оптичної провідності.

Далі в сумі (9) проводиться сумування по l, l’, m та m’. Сума по n та n’ замінюється відповідним інтегралом; електронна функція розподілу апроксимується функцією Хевісайда, що виправдано для металів у кристалічному стані. Отриманий після взяття інтегралу вираз для оптичної провідності

, (11)

де величина

, (12)

EF – енергія Фермі металу оболонки, а функція

, (13)

є класичним (така класична провідність позначена 0) – заміна суми інтегралом означає нехтування квантовими ефектами, пов’язаними з дискретністю електронного спектра. Ним можна користуватися для не дуже тонких оболонок, але, як згадувалось вище, для малих металевих оболонок взагалі квантові ефекти є суттєвими, а отже, класичний вираз (11) потребує уточнення.

Класичний вираз (11) спочатку уточнюється для випадку нанооболонки у формі еліпсоїду обертання, близької до сферичної. Еліпсоїдальність враховується домноженням внутрішнього та зовнішнього радіусів нанооболонки на змінну величину 1+2cos, тут – малий параметр еліпсоїдальності (вигляд цього множника обосновується). Після введення цього множника обчислюються поправки до матричних елементів оптичних переходів, до суми (9) і далі власне до оптичної провідності. Обчислена відносна зміна оптичної провідності при слабкій деформації сферичної нанооболонки у еліпсоїд дорівнює -28/5, тобто класична провідність оболонки зі слабкою еліпсоїдальністю, що описується введеним вище параметром , дорівнює

. (14)

Далі у розділі проводиться уточнення виразу (11), що враховує дискретність електронного спектру, тобто квантові ефекти. До класичного виразу (11) шукається поправка, що враховує дискретність спектру. Для знаходження цієї поправки до суми по n та n’, яка при знаходженні класичного виразу оптичної провідності замінювалась відповідним інтегралом, застосовується точна формула сумування – формула Пуасона

, (15)

де y1 – довільна функція натурального аргументу n. Після застосування цієї формули двічі (до суми по n і n’) з необхідними обгрунтуваннями після нехтування доданками, що не дають суттєвого внеску у суму, оптичну провідність з урахуванням квантових ефектів зведено до вигляду

, (16)

де – температура у енергетичних одиницях, а функції

, (17)

. (18)

Числові розрахунки показують, що для типових значень товщини оболонки в сумі по s досить залишити п’ять доданків.

Показано, що залежність отриманої квантової поправки до оптичної провідності від частоти хвилі, що падає на оболонку, носить осцилюючий характер, причому характер осциляцій суттєво залежить від товщини оболонки. Типовий вигляд таких осциляцій представлено на мал. 1; тут – квантова поправка до класичного виразу (11), другий доданок у (16) після розкриття дужок.

Мал.1. Залежність відносної поправки до оптичної провідності, пов’язаної з квантуванням електронного спектру (для 5 доданків у (17)) від відношення енергії падаючого фотону до енергії Фермі для значення енергії Фермі металу оболонки EF=5,53 еВ (енергія Фермі золота), внутрішнього радіуса нанооболонки a=40 нм, товщини оболонки b-a=50 нм. Інтервал для обрано таким чином, що величина є малою порівняно з 0 та .

Після об’єднання (14) і (16), що виражають незалежні поправки до оптичної провідності, для випадку поглинання у тонкій слабко еліпсоїдальній нанооболонці оптична провідність записується

. (19)

Достовірність отриманих результатів підтверджено граничними переходами до відомого виразу оптичної провідності суцільного сферичного металевого кластера (класична провідність). Правильність отриманої квантової поправки підтверджується її осцилюючим характером.

У третьому розділі досліджується поглинання світла у металевій нанотрубці – фулереновій нанотрубці з металевим покриттям. Розглядається тільки металева оболонка, оскільки фулеренова нанотрубка не дає суттєвого внеску у оптичні властивості системи. Знайдено оптичну провідність металевої нанотрубки у поперечному (до осі обертання) напрямку (поздовжня оптична провідність визначається відомим друдівським поглинанням). Вводиться скалярна (строго кажучи, поперечна скалярна) оптична провідність, оскільки обидві поперечні компоненти провідності рівні між собою.

Обчислення проводяться у циліндричній системі координат (,,z), вісь Oz спрямована уздовж осі обертання системи; металева нанотрубка розглядається як прямокутна потенційна яма для електрона по координаті . Внутрішній радіус нанотрубки позначено – a, зовнішній – b. Для обчислень вводиться поперечна (пов’язана з поперечним рухом) E і поздовжня енергія електрона, а також поперечне k і поздовжнє kz хвильове число:

. (20)

Для обчислення оптичної провідності використовується другий спосіб – через матричні елементи оператора імпульса, базові співвідношення (6). Хвильова функція електрона, як і у попередньому розділі, знаходиться після розділення змінних у рівнянні Шредінгера у робочій системі координат. При записі поздовжньої компоненти хвильової функції нанотрубка вважається довгою, але обмеженою (циліндр довжиною L). Радіальна частина хвильової функції записується як лінійна комбінація функцій Бесселя та Неймана. Вводиться аналогічне до попереднього розділу наближення ka>>1; можливість його використання обгрунтовується також аналогічно до попереднього розділу, наближення ka>>1 дозволяє використати асимптотику радіальних хвильових функцій. З умови безмежно глибокої ями (незбурена хвильова функція) знаходиться електронний спектр енергій і хвильових чисел, а також константа нормування отриманої після застосування такої асимптотики хвильової функції. Знайдена хвильова функція має вигляд

, (21)

тут mZ, – деяка початкова фаза; спектр поперечних хвильових чисел

. (22)

З вигляду k можна бачити, що, як і у попередньому розділі, задача звелася до квазіодновимірної.

Уточнення хвильової функції проведено, як і у попередньому розділі, згідно з методом Кавабата та Кубо (з тією різницею, що тут ми шукаємо поправку до поперечного хвильового числа). Знайдено лінійні комбінації bk+ та ak+, що входять у подальші розрахунки. Після обчислення матричних елементів оптичних переходів і підстановки їх у (6) (ізотропний варіант) оптична провідність записується у вигляді наступної суми по електронних станах:

. (23)

Тут штриховані індекси відносяться до кінцевого стану електрона, нештриховані – до початкового, а запис підкреслює той факт, що енергія залежить тільки від головного квантового числа n та поздовжнього хвильового числа kz.

Далі, аналогічно до попереднього розділу, обчислення оптичної провідності проводиться у два етапи. Спочатку проводиться сумування по m, m’ та kz’. Сума по n, n’ та kz замінюється відповідним інтегралом. Отримане таким чином значення провідності – класична провідність 0

, (24)

де функція

,(25)

не враховує квантових ефектів (дискретний електронний спектр хвильових чисел замінюється неперервним) і може використовуватися наближено для не дуже тонких металевих оболонок. Оскільки у тонких металевих оболонках квантові ефекти стають суттєвими, вираз (24) потребує уточнення, яке проводиться, як і у попередньому розділі, за допомогою формули Пуасона (15). Після проведення необхідних обгрунтувань ця формула застосовується двічі до суми по n та n’ (відповідні індекси сумування після застосування формули Пуасона – s та s’). Показано, що досить залишити діагональні доданки (s=s’), оскільки недіагональні не дають суттєвого внеску в суму. Отримане значення оптичної провідності з урахуванням квантових ефектів дорівнює:

, (26)

тут функція

(27)

вводиться аналогічно до попереднього розділу. Як показують числові розрахунки, для типових значень товщини оболонки досить взяти п’ять доданків у сумі по s.

Залежність отриманої квантової поправки (другий доданок у (26) після розкриття дужок) до оптичної провідності металевої нанотрубки від частоти хвилі, що падає на металеву нанотрубку, носить осцилюючий характер, причому характер осциляцій суттєво залежить від товщини оболонки. Типовий вигляд таких осциляцій представлено на мал. 2 (залежність відносної поправки від величини ).

Мал. 2. Залежність для циліндричної нанотрубки при EF=5,53 еВ, T=300 K, b-a=10 нм, п’ять доданків у сумі по s.

Граничний перехід до відомого випадку (суцільний металевий циліндр) підтверджує вірність отриманого класичного виразу, осцилюючий характер квантової поправки – вірність отриманої поправки.

У четвертому розділі досліджується поглинання світла нанооболонкою у формі витягнутого еліпсоїда обертання, а також обчислюється відповідна оптична провідність. Через анізотропність задачі тільки дві з трьох компонент тензора провідності рівні між собою, тому шукаються окремо поздовжня || та поперечна оптична провідність (компонента тензора провідності, що відповідає осі Oz, спрямованій уздовж осі обертання еліпсоїду, та дві рівні між собою компоненти, що відповідають ортогональним осям, відповідно). Обчислення проводяться у так званих сфероїдальних координатах (,,) з формулами переходу до декартових

, (28)

де a – константа, що має розмірність довжини [16] (в нашому випадку – характерний розмір системи). При цьому напіввісі внутрішнього еліпсоїду обертання (внутрішньої границі металевої оболонки)

, (29)

а зовнішнього

. (30)

Нанооболонка моделюється прямокутною ямою для електрона по координаті . Для обчислення оптичної провідності використовується перший підхід – з використанням базових співвідношень (4).

Як і у попередніх розділах, хвильова функція електрона знаходиться шляхом розділення змінних у рівнянні Шредінгера в робочій системі координат. Хвильову функцію, константу нормування і спектр хвильових чисел електрона вдається знайти у явному вигляді у квазікласичному наближенні після використання аналогічного до попередніх розділів припущення ka>>1, що є вірним для типових оболонок (обгрунтовується також аналогічно до попередніх розділів). Знайдена таким чином хвильова функція має вигляд

, (31)

тут mZ, – деяка початкова фаза, 0 – напвірозмір ефективної потенційної ями для електрона по – дається виразом

, (32)

де l – орбітальне квантове число. Спектр хвильових чисел електрона

, (33)

де n – головне квантове число. З вигляду k можна бачити, що, як і у попередніх розділах, задачу для еліпсоїдальної нанооболонки вдалося звести до квазіодновимірної.

Далі у розділі обчислюються матричні елементи оптичних переходів <i|x|f> <i|z|f> на цих хвильових функціях (при обчисленні другого з них інтеграл береться методом стаціонарної фази). Вірність знайдених виразів для матричних елементів перевірено граничним переходом до випадку сферичної нанооболонки. З використанням цих матричних елементів компоненти тензора оптичної провідності записано у вигляді суми по електронних станах:

, (34)

. (35)

Сумування по l, l’, m та m’ труднощів не викликає. Обчислення суми по n та n’ проводиться аналогічно до попередніх розділів: спочатку після заміни суми по n та n’ відповідним інтегралом знаходяться компоненти класичної (не враховує дискретність електронного спектру) провідності ,

(36)

(отримана залежність компонент провідності від та ж, що і для сферичної нанооболонки). Потім отримані класичні вирази уточнюються з використанням формули Пуасона (15). В результаті знаходяться квантові поправки та до обох компонент провідності. Отримана в результаті оптична провідність має вигляд

, (37)

, (38)

тобто відносні поправки до обох компонент провідності співпадають між собою і дорівнюють відповідній відносній поправці для сферичної нанооболонки після заміни поперечної товщини еліпсоїдальної нанооболонки товщиною сферичної нанооболонки. (Цей ефект пояснюється тим, що через тонкість оболонки задача як для сферичної, так і для еліпсоїдальної нанооболонки зводиться до квазіодновимірної – електрон у одновимірній потенційній ямі. Тому залежність компонент провідності від однакова для обох випадків, а форма та розміри оболонки враховуються множником перед цією залежністю.) Відповідно, залежність обох квантових поправок від частоти світла, що падає на оболонку, носить осцилюючий характер; залежність відносної поправки від величини , наведена на мал.1, залишається вірною в даному випадку (після описаної вище заміни).

У п’ятому розділі проводиться формалізація підходу до обчислення оптичної провідності малої металевої оболонки, геометрія якої дозволяє розділення змінних у відповідних координатах. Обчислення у трьох попередніх розділах проводяться по схожій схемі (розділення змінних у рівнянні Шреднігера, знаходження хвильових функцій, спектру хвильових чисел і енергій, обчислення матричних елементів оптичних переходів, знаходження класичної провідності після заміни суми по n та n’ інтегралом, знаходження квантових поправок із застосуванням формули Пуасона), яку має сенс записати в загальному вигляді. Більш того, такий підхід можна, крім трьох досліджених у роботі геометрій оболонки, застосувати ще принаймні для двох геометрій (еліптичний циліндр та сплюснутий еліпсоїд).

У розділі викладено узагальнення схем обчислення оптичної провідності, застосованих у розділах 2-4, і наведені загальні формули для проміжних етапів знаходження провідності. Так, якщо у системі координат (x1,x2,x3), що відповідає геометрії оболонки, з формулами переходу до декартових

, (39)

застосовується розділення змінних, так що хвильова функція електрона записується

, (40)

то умова нормування, застосована до знайденої після розділення змінних у рівнянні Шредінгера хвильової функції, має вигляд

, (41)

де I(x1,x2,x3) – якобіан переходу. Оптична провідність в загальному випадку запишеться

, (42)

2 та 3 аналогічно. Ці та інші наведені у розділі формули є вірними для кожної з трьох геометрій, що розглядаються у роботі, і, крім того, ще для двох, згаданих вище.

У висновках сформульовано основні результати дисертаційної роботи.

ВИСНОВКИ

1.

2.

3.

4.

5.

СПИСОК ЦИТОВАНИХ ДЖЕРЕЛ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1*. Томчук П.М., Куліш Вол. В. – Укр. Фіз. Журн. – 2003 – 48, №.6 – с.587.

2*. Tomchuk P.M., Kulish Vol.V. – Журнал фізичних досліджень – 2004 – 8, №.2 – с.127.

3*. Tomchuk P.M., Kulish Vol.V. – Укр. Фіз. Журн. – 2004 – 49, №.6 – с.598.

4*. Куліш Вол. В., Томчук П.М. – Металлофизика и новейшие технологии – 2004 – 24, №10 – с.1289.

5*. Куліш Вол. В., Томчук П.М. – Металлофизика и новейшие технологии – 2004 – 26, №12 – с.1591.

6*. Tomchuk P.M., Kulish V.V., “Optical conductivity of metal nanotubes”, IV International Young Scientists Conference “Problems of Optics and High Technology Material Science” – SPO 2003, Kyiv, October 23-26, 2003, Scientific works, p.19.

7*. Tomchuk P.M., Kulish V.V., “Optical conductivity of metal nanoshells”, IV International Young Scientists Conference “Problems of Optics and High Technology Material Science” – SPO 2003, Kyiv, October 23-26, 2003, Scientific works, p.20.

8*. Томчук П.М., Куліш В.В., “Оптичні властивості еліптичних металевих нанооболонок”, Нанорозмірні Системи: Електронна, Атомна Будова і Властивості - НАНСИС-2004, Київ, 12-14 жовтня, 2004р., Тези конференції, с.96.

9*. Tomchuk P.M., Kulish V.V., “Optical properties of shell-type metal nanoparticles of different shapes”, V International Young Scientists Conference “Problems of Optics and High Technology Material Science” – SPO2004, Kyiv, October 28-31, 2004, Scientific works, p. 15.

АНОТАЦІЯ

Куліш Вол.В. Оптичні властивості малих металевих оболонок різної форми. - Рукопис. - Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.07 - фізика твердого тіла. Інститут фізики НАН України, Київ, 2005.

Дисертацію присвячено дослідженню отриманих у одноелектронному наближенні оптичних властивостей малих неоднорідних кластерів з металевою оболонкою (вклад оболонки у оптичні властивості кластера є домінуючим) – нанооболонок та металевих нанотрубок.

Для тонкої металевої оболонки у формі сфери, циліндру та витягнутого еліпсоїда обертання вперше знайдено хвильову функцію електрона, спектр його енергій і хвильових чисел, а також матричні елементи відповідних оптичних переходів.

Вперше знайдено класичну (без урахування квантових ефектів) оптичну провідність металевих оболонок трьох вищезгаданих геометрій. Встановлено суттєву залежність оптичних властивостей від поляризації світла, що падає на оболонку (для несиметричних оболонок) та від форми оболонки.

Вперше знайдено поправки до оптичної провідності, що враховують квантові ефекти (дискретність електронного спектру) для трьох вищеназваних геометрій оболонки. Встановлено осцилюючий характер залежності цих поправок від частоти світла, що падає на оболонку.

Проведено узагальнення використаних для трьох геометрій малої оболонки схем обчислення провідності у єдину схему. Ця схема може бути також застосована для оболонки у формі еліптичного циліндра та сплюснутого еліпсоїда обертання.

Ключові слова: малі кластери, нанооболонки, металеві нанотрубки, оптична провідність, квантування спектру.

ABSTRACT

Kulish Vol.V. Optical properties of small metal shells of different shapes. - Manuscript. - Thesis for Candidate degree in Physics and Mathematics Science by speciality 01.04.07 - solid state physics. Institute of Physics of NAS of the Ukraine, Kyiv, 2005.

The thesis is dedicated to investigating one-electron optical properties of small metal clusters with metal shell (contribution of the shell dominates in the whole cluster optical properties) – nanoshells and metal nanotubes.

For thin metal shell in the shape of sphere, cylinder and prolonged rotation ellipsoid were first found electron wavefunction, its energy and wavenumber spectrum and matrix elements of corresponding optical transitions.

Classical (quantum effects were not considered) optical conductivity of metal shells of three above-mentioned geometries was first found. Essential dependence of optical properties from incident light polarization (for non-symmetric shells) and shell shape was established.

Addends for classical optical conductivity that considers quantum effects (electron spectrum discreteness) for three above-mentioned shell geometries were first found. Oscillating nature of dependence of these addends