Київський нацiональний унiверситет

iменi Тараса Шевченка

Номiровський Дмитро Анатолiйович

УДК 517.956: 517.977: 517.983

Чисельнi та аналiтичнi методи

оптимiзацiї сингулярних лiнiйних

систем

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальнi методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

доктора фiзико-математичних наук

Київ - 2005

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана на кафедрi обчислювальної математики Київського

нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка

Науковий консультант

Член-кореспондент НАН України, доктор фiзико-математичних наук,

професор ЛЯШКО Сергiй Iванович, Київський нацiональний унiверси-

тет iменi Тараса Шевченка, завiдувач кафедри.

Офiцiйнi опоненти:

Доктор фiзико-математичних наук, професор ЛАДIКОВ-РОЄВ Юрiй

Павлович, Iнститут космiчних дослiджень НАН та НКА України, про-

вiдний науковий спiвробiтник.

Доктор фiзико-математичних наук, професор ОСТАПЕНКО Валентин

Володимирович, Iнститут прикладного та системного аналiзу НАН та

МОН України, завiдувач вiддiлу.

Доктор фiзико-математичних наук, професор САМОЙЛЕНКО Валерiй

Григорович, Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевчен-

ка, завiдувач кафедри.

Провiдна установа

Iнститут кiбернетики iм. В.М. Глушкова НАН України, вiддiл оптимi-

зацiї керованих процесiв, м. Київ.

Захист вiдбудеться "9" червня 2005 року о 14 годинi на засi-

даннi спецiалiзованої вченої ради Д 26.001.35 Київського нацiонального

унiверситету iменi Тараса Шевченка, Київ, 03127, пр. акад. Глушкова,

2, корп. 6, факультет кiбернетики, ауд. 40.

З дисертацiєю можна ознайомитися у Науковiй бiблiотецi Київського

нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка, Київ, вул. Володи-

мирська, 58.

Автореферат розiсланий "4" травня 2005 року

Учений секретар спецiалiзованої вченої ради П.М. Зiнько

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Розв'язання проблем якiсного та кiлькiсногоаналiзу лiнiйних моделей є прiоритетним напрямком розвитку багатьохроздiлiв математики, кiбернетики, фiзики та iнших прикладних галузейзнань. В останнi часи особливе значення набувають дослiдження складних лiнiйних моделей, що безпосередньо пов'язанi з реальними фiзичними i технологiчними процесами та допускають сингулярнi впливи(застосування лазерної та iмпульсної технiки, корекцiя рухiв космiчнихапаратiв, проектування та використання систем мiкрозрошення грунту,розповсюдження забруднень з мiсця екологiчних катастроф, задачi стабiлiзацiї плазми, поверхневого загартування металу та багато iнших).Наявнiсть зосереджених особливостей у просторi та часi унеможливлюєзастосування до аналiзу таких моделей ефективних класичних методiвтеорiї оптимального керування лiнiйними системами, що були розробленi в класичних роботах Л.С. Понтрягiна, Р. Беллмана, Ж.-Л. Лiонсата iнших вчених. З iншого боку, при моделюваннi складних процесiввиникає необхiднiсть розглядати системи, що не описуються в межахтрадицiйних моделей математичної фiзики. Такi складнi рiвняння часто отримують на шляху узагальнення чи уточнення вiдомих моделейматематичної фiзики. Доцiльнiсть розгляду саме цих складних рiвняньобумовлюється, з одного боку, бажанням одержати бiльш точнi результати стосовно важливих прикладних фiзичних процесiв та явищ, а зiншого, можливiстю використовувати для цих дослiджень сучаснi ресурси обчислювальної технiки.

Значний внесок у розвиток методiв розв'язання задач оптимального керування зосередженими системами та системами, що описуютьсядиференцiальними рiвняннями з частинними похiдними, зробили дослiдження українських вчених, зокрема, Б.М. Бублика, Ю.М. Данiлiна, О.I. Єгорова, Ю.М. Єрмольєва, В.О. Капустяна, М.Ф. Кириченка,В.М. Кунцевича, Ю.П. Ладiкова-Роєва, С.I. Ляшка, В.С. Мельника,О.Г. Наконечного, В.В. Остапенка, Ю.I. Самойленка, Б.М. Пшеничного, А.О. Чикрiя, Н.З. Шора та багатьох iнших. Так, для якiсного аналiзу (проблеми iснування та єдиностi) багатьох лiнiйних моделей iз сингулярними впливами продуктивним виявився метод апрiорних нерiвностей (Ю.М. Березанський, А.В. Бiцадзе, В.П. Дiденко, С.I. Ляшко,С.Г. Крейн та iншi), який часто використовувався в межах теорiї оснащених гiльбертових просторiв. Цей метод було застосовано до кiлькiсного аналiзу (задачi оптимального керування, керованостi тощо) деякихлiнiйних розподiлених систем iз певними узагальненими впливами, щодало можливiсть розв'язати низку оптимiзацiйних задач. Проте багато задач й досi залишаються актуальними. Такi проблеми пов'язанi як iзпобудовою досить загальної та зручної технологiї чисельного та аналiтичного дослiдження лiнiйних моделей, що знаходяться пiд впливомзосередженого характеру, так i з проблемою застосувань таких методiвдо розв'язання важливих практичних задач моделювання та оптимiзацiїлiнiйних систем (зокрема, некласичних моделей математичної фiзики).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiйна робота виконувалась у вiдповiдностi до плану наукових дослiджень кафедри обчислювальної математики факультету кiбернетики Київського нацiонального унiверситету iменi ТарасаШевченка в межах наступних науково-дослiдних тем: "Узагальненеоптимальне керування лiнiйними системами в екологiї", НДР №97066;"Моделювання та оптимiзацiя iнформацiйних систем", НДР №01БФ015-06; "Неопукла оптимiзацiя некласичних систем iз сингулярним керуванням", НДР №01ДФ015-02; "Система пiдтримки прийняття оптимальних рiшень для захисту пiдземних вод вiд забруднень" та "Чисельнi методи оптимiзацiї та моделювання лiнiйних розподiлених систем",НДР №04ДФ015-07.

Мета i завдання дослiдження. Метою дисертацiйної роботи єрозробка чисельних та аналiтичних методiв для комплексного розв'язання задач оптимiзацiї лiнiйних розподiлених систем, що допускають узагальненi впливи. А саме, методiв:

аналiзу некласичних лiнiйних моделей математичної фiзики загального виду iз сингулярними впливами (побудова загальної теорiї узагальненої розв'язностi лiнiйних систем та її застосування доважливих прикладних моделей, що допускають зосередженi впливи, розробка та дослiдження необхiдних чисельних методiв);

2) розв'язання проблем оптимiзацiї таких моделей (траєкторна та фiнальна керованостi, якiсне дослiдження оптимальних керувань,побудова та вивчення чисельних методiв оптимiзацiї, застосування до прикладних задач iмпульсного, точкового узагальненогокерування тощо);

3) оптимiзацiї лiнiйних розподiлених систем в неоднорiдних областях(вивчення математичних моделей фiзичних процесiв в областяхiз включеннями, розв'язання проблем оптимiзацiї таких моделей,розробка необхiдних чисельних процедур).

Наукова новизна одержаних результатiв. Всi основнi результати дисертацiйної роботи є новими. Вперше знайдено загальний пiдхiд для встановлення узагальненої розв'язностi лiнiйних систем, що далозмогу вийти за межi класичної схеми В.П. Дiденка. Для багатьох лiнiйних моделей математичної фiзики в дисертацiйнiй роботi побудованошкалу теорем iснування та єдиностi, що узагальнює вiдомi результатияк з точки зору властивостей розв'язку, так i у сенсi загальностi дослiджуваних моделей. При цьому для доведення ключових апрiорнихнерiвностей було знайдено новi допомiжнi iнтегро-диференцiальнi оператори. Це дозволило надати подальшого розвитку вiдомим пiдходамдо вивчення траєкторної керованостi, iснування оптимального керування та побудови чисельних методiв оптимiзацiї, а також одержати новiзнання про оптимальнi властивостi систем у фiнальний момент часу.Крiм цього, побудовано чисельнi методи (типу методу Гальоркiна) длярозв'язання таких лiнiйних систем та одержано новi теореми збiжностi. Знайдено та вивчено постановку для дослiдження задач пошукукоректуючого оптимального керування лiнiйними розподiленими системами. Удосконалено методику побудови чисельних методiв оптимiзацiїшколи С.I. Ляшка (показано стiйкiсть градiєнтних методiв, обгрунтовано коректнiсть процедури параметризацiї, дослiджено задачу пошукупочаткового наближення тощо). Вперше знайдено коректнi формалiзацiї iдеї В.Ф. Демченка для дослiдження систем в неоднорiдних середовищах, що дало можливiсть довести iснування та єдинiсть узагальненого розв'язку, дослiдити питання оптимiзацiї, побудувати та встановитизбiжнiсть чисельних методiв.

Практичне значення одержаних результатiв. Запропонованоконструкцiю дослiдження узагальненої розв'язностi лiнiйних моделей,що дозволяє вивчати класичнi та некласичнi лiнiйнi розподiленi системи. Апаратом для такого дослiдження можуть виступати апрiорнiнерiвностi, ефективним методом доведення яких є знайденi у дисертацiйнiй роботi допомiжнi iнтегро-диференцiальнi оператори. Виконанiдослiдження моделей, що описують практичнi фiзичнi процеси, дозволяють безпосередньо застосовувати наявнi результати для проектування та оптимального використання цих складних систем разом з сучасними iмпульсними, лазерними та iншими сингулярними технологiями. Запропонованi чисельнi методи оптимiзацiї та розв'язання систем можутьвикористовуватися для побудови програмних комплексiв проектування, розрахунку та керування складними процесами. Деякi результатироботи знайшли вiдображення в курсах з оптимального керування, якiчитаються на факультетi кiбернетики Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Основнi положення та результати наукових дослiджень, що увiйшли до дисертацiї, доповiдали-ся на таких наукових конференцiях, симпозiумах та семiнарах: Мiж-народнiй конференцiї "Сучаснi проблеми теорiї фiльтрацiї" пам'ятiП.Ф. Фiльчакова (Рiвне, 1998); Мiжнароднiй конференцiї "Оптимiза-цiя обчислень" (Київ, 1999); Мiжнародних школах-семiнарах "Recentadvances in non-differentiable optimization" (Київ, 2000 та 2001); Мiж-народнiй конференцiї "Моделювання та оптимiзацiя складних систем"(Київ, 2001); Мiжнароднiй конференцiї "Dynamical systems modellingand stability investigation" (Київ, 2001); Мiжнародних конференцiях"Обчислювальна та прикладна математика" (Київ, 2002 та 2004);Мiжнароднiй конференцiї "Problems of decision making under uncer-tainties" (Алушта, 2003); X Мiжнароднiй науковiй конференцiї iменiакад. М. Кравчука (Київ, 2004); Мiжнароднiй конференцiї з 125-рiччяГ. Гана (Чернiвцi, 2004).

Матерiали дисертацiйного дослiдження доповiдалися та обговорю-валися на наукових семiнарах Київського нацiонального унiверсите-ту iменi Тараса Шевченка (керiвники С.I. Ляшко, Ф.Г. Гаращенко,О.Г. Наконечний), Iнституту прикладного i системного аналiзу (ке-рiвник В.В. Остапенко), Iнституту кiбернетики iменi В.М. Глушковата iнституту космiчних дослiджень НАН та НКА України (керiвникВ.M. Кунцевич) та iнших установ.

Публiкацiї. Основнi результати дисертацiйної роботи викладено в 24 роботах, що надрукованi у наукових провiдних фахових виданняхУкраїни (якi входять до перелiку ВАК) та iнших країн.

Структура та обсяг роботи. Дисертацiйна робота складається iзвступу, шести роздiлiв, висновкiв та списку використаних джерел, щомiстить 276 посилань. Кожний роздiл розбито на параграфи, якi, в своючергу, подiляються на пункти. Кожний роздiл має власну нумерацiюформул. Нумерацiя ж теорем, лем, зауважень тощо загальна для всiєїроботи. Загальний обсяг дисертацiї становить 302 сторiнки, основнийтекст роботи викладено на 276 сторiнках.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ

У вступi обгрунтовано актуальнiсть роботи, сформульовано тему, задачi та об'єкт дослiдження, вiдзначається наукова новизна. Першийроздiл присвячено огляду лiтератури за темою роботи та вибору на-прямкiв дослiджень.У другому роздiлi дослiджуються задачi узагальненої розв'язно-

стi лiнiйних систем та розглядаються найважливiшi застосування. При-

кладом необхiдностi введення узагальнених розв'язкiв може бути зада-

ча керування системою iз зосередженими впливами. Нехай стан деякої

системи визначається з рiвняння

Lu = f(h), u E, f(h) F, (1)

де L: E F - оператор системи, f: C F - керуюче вiдображення,

h - керування з допустимої множини U простору керувань C. Задача

керування полягає в мiнiмiзацiї функцiоналу

(u(h), h) - h

min, h U, (2)

де - функцiонал якостi, що залежить вiд розв'язкiв u(h) рiвняння

Lu = f(h).

Для коректного визначення оптимiзацiйної задачi (2) необхiдно за-

безпечити включення f(U) R(L), де R(L) - область значень оператора

L. Але опис множин R(L), f(U) у багатьох випадках є дуже складною

задачею, тому перевiрити умову f(U) R(L) буває вкрай важко. Крiм

цього, часто це включення взагалi не має мiсця, хоча фiзична iнтер-

претацiя рiвняння Lu = f(h) з такою правої частиною є природною i

важливою для застосувань. Наприклад, коли система попадає пiд зовнi-

шнi керуючi впливи зосередженого характеру, вiдображення f приймає

значення iз простору узагальнених функцiй, але "природна" множина

значень оператора L не мiстить узагальнених функцiй.

Отже, виникає проблема побудови зручної теорiї узагальненої роз-

в'язностi рiвняння Lu = f(h) для довiльного f F (зокрема, i у ви-

падку f R(L)). Слiд зауважити, що вимога введення "природних"

означень узагальнених розв'язкiв означає збереження основних вла-

стивостей оператора L (лiнiйнiсть, неперервнiсть, iн'єктивнiсть тощо)

при його розширеннi на клас узагальнених розв'язкiв, що суттєво вiдрi-

зняє запропоновану проблему вiд рiзноманiтних означень наближених

розв'язкiв, псевдорозв'язкiв, квазiрозв'язкiв тощо.

Розглянемо схему побудови узагальненого розв'язку Lu = f. Нехай

E, F, E, F - такi лiнiйнi простори, що (E, E ), (F, F ) утворюють ду-

альнi пари. Припустимо, що лiнiйний iн'єктивний оператор L: E F

є слабко неперервним (тобто неперервним у просторах E, F iз тополо-

гiями (E, E ), (F, F ) вiдповiдно) i R(L) F є тотальною множиною

у двоїстостi (F, F ).

Нехай U = {} - сукупнiсть непорожнiх центрально-симетричних

пiдмножин простору F, що задовольняють умови:

1) об'єднання 1, 2 U мiститься у деякiй 3 U ;

2) добуток U на довiльне дiйсне > 0 є множиною з U ;

3) кожна з U обмежена в F в топологiї (F, F );

4) множина N = U є тотальною у двоїстостi (F, F ).

Введемо на E топологiю TE рiвномiрної збiжностi, що задається си-

стемою напiвнорм:

p (u) = sup |(L )(u)|, u E, U,

де L - спряжений до L оператор.

Аналогiчно на F розглянемо топологiю TF:

P (f) = sup |(f)|, f F, U.

Тодi E T = (E, TE ), F T = (F, TF ) - вiддiльнi локально-опуклi лiнiйнi

топологiчнi простори. Нехай E T, F T - поповнення E T та F T, а R T - замикання R(L) в F T.

Оператор L здiйснює iзоморфiзм мiж E T i R T i допускає розширен-

ня за неперервнiстю до L: E T F T.

Означення 1. Узагальненим розв'язком рiвняння Lu = f будемо на-

зивати такий елемент u E T, що Lu = f.

Теорема 1. Для довiльного f F R T iснує єдиний узагальнений

розв'язок рiвняння Lu = f.

Розширення функцiоналу N на F T будемо позначати, а мно-

жину всiх таких - [N]. Аналогiчно розширенi на E T функцiонали

l M = L (N) позначимо l, а множину - [M].

Означення 2. Узагальненим розв'язком Lu = f називається такий

елемент u E T, що для всiх l M виконується рiвнiсть

l(u) = (f), L = l.

Можна показати, що таке означення природно узагальнює класичне

поняття слабкого розв'язку диференцiального рiвняння.

Теорема 2. Для довiльного f F R T iснує узагальнений розв'язок

u E T рiвняння Lu = f у сенсi означення 2.

Для доведення єдиностi узагальненого розв'язку важливе значення

має умова ). Нагадаємо вiдповiдне твердження.

Твердження. Нехай L - лiнiйна множина на якiй задано такi двi нор-

ми 1, 2, що для всiх u L має мiсце u 1 cu 2, де c - додатна

стала. Позначимо E 1, E 2 - поповнення множини L за нормами 1,

2 вiдповiдно. Тодi простiр E 2 щiльно та неперервно вкладається в

простiр E 1 тодi i лише тодi, коли виконується умова

) довiльна фундаментальна за нормою 2 послiдовнiсть u n L,

що збiгається до нуля в E 1, збiгається до нуля i за нормою 2.

Iснують аналоги цiєї умови для метричних та локально-опуклих лi-

нiйних топологiчних просторiв (якi теж називають умовами )).

Лема 1. Узагальнений розв'язок за означенням 2 єдиний тодi i лише

тодi, коли [M] тотальна у двоїстостi (( E T ), E T ).

Зауваження 1. Якщо L () - компактнi множини в M у топологiї

(M,E), то узагальнений розв'язок у сенсi означення 2 єдиний.

Теорема 3. Нехай для множини E i топологiй TE та (E, M)

виконується умова ). Тодi узагальнений розв'язок єдиний.

Зауваження 2. Замiсть (E, M) можна брати довiльну топологiю, що

узгоджується iз двоїстiстю (E, M) та зв'язана умовою ) з TE.

У роботi наведено ще декiлька можливих означень узагальнених

розв'язкiв та встановлено зв'язки мiж ними.

Далi припускаємо, що E, F - банаховi простори, L: E F - iн'є-

ктивний лiнiйний неперервний оператор, D(L) = E, R(L) - щiльна в F

множина, E та F - спряженi простори.

Наведемо приклади конкретних структур U, що задають вiдомi

визначення розв'язностi лiнiйних систем.

1 (класична розв'язнiсть). Нехай R(L ) має ненульову характеристи-

ку. 1 Покладемо

U = { | = (L ) -1 (S (E ) R(L )), R+ },

де S (E ) - замкнена куля радiуса простору E.

1 R(L ) має ненульову характеристику, наприклад, коли E - рефлексивний або

квазiрефлексивний простiр.

2 (узагальнена сильна розв'язнiсть). Нехай U = { = S (F )}. Тополо-

гiя TE задається нормою

u 1 = sup lL (S1 (F )) |l(u)| = sup F |(Lu)| F = LuF,

а топологiя TF - нормою fF. Отже, E T - поповнення E за нормою

LuF. Простiр F = F T є повним та R T = F.

3 (узагальнена слабка розв'язнiсть). Нехай U = {}, де - скiнченнi

пiдмножини F. Топологiя TE спiвпадає з (E, R(L )).

4 (апрiорнi нерiвностi). Нехай M - довiльна врiвноважена опукла

обмежена в F (за нормою) множина, яка є тотальною у двоїсто-

стi (F, F ) i U = {M | R+ }. Топологiя TE задається нормою

uM = sup

lL (M)

|l(u)|, для якої має мiсце оцiнка

uM = sup M |(L )(u)| sup S c (F ) |(Lu)| = cLuF, c > 0.

Має мiсце i зворотне твердження. Для даної апрiорної оцiнки iснує вiд-

повiдна множина M.

Як приклад застосування розробленої теорiї розглянемо рiвняння

Гiльберта-Шмiдта.

Нехай L 2 (-, ) - гiльбертiв простiр вимiрних iнтегровних з квадра-

том комплекснозначних функцiй зi стандартним скалярним добутком

(, ), {e k } - ортонормований базис (k Z), що складається з власних

векторiв самоспряженого оператора Гiльберта-Шмiдта

Lu k=- k (u, e k )e k = f, k=- 2 k < +, L: L 2 L 2. (3)

Нехай E - простiр нескiнченну кiлькiсть разiв диференцiйовних на

(-, ) функцiй iз топологiєю, що задається системою напiвнорм

pm (f) = sup t[-,] |f (m) (t)|, де m 0 - цiле число, f (m) - похiдна порядку m.

Позначимо E= - пiдпростiр функцiй f E:

f (m) (-) = f (m) (), m Z +.

Пiд E = будемо розумiти простiр спряжений до E= з топологiєю

(E =, E= ).

Теорема 4. Нехай e k = e ikt, k Z i власнi числа k задовольняють

умову | k | > c/k s при фiксованому c > 0, s 1. Тодi f L 2 (-, )

iснує та єдиний узагальнений розв'язок u E = рiвняння (3) в одному

з наступних еквiвалентних сенсах.

1. L, u = (, f) для всiх L 2 (-, ): L E=,

2. u n L 2 (-, ), що u n u в E = та Lu n f в L 2 (-, ),

де , - розширення за неперервнiстю (, ) на E= Ч E =.

Також розглянуто застосування одержаних результатiв до узагаль-

неної розв'язностi iнтегральних рiвнянь Вольтерра першого роду.

У третьому та четвертому роздiлах розглядаються проблеми

повної траєкторної та фiнальної керованостi некласичних лiнiйних мо-

делей математичної фiзики, зокрема:

u tt +A(u t ) +B(u) = f - псевдогiперболiчнi,

Au t +Bu = f, Au tt +Bu t + Cu = f,... - моделi Соболєва,

Au tt +B 2 u t +DCu = f - загальнi хвильовi моделi,

що розглядаються в цилiндричнiй областi (t, ) Q = (0, T ) Ч, де R n - обмежена однозв'язна область iз регулярною межею, A, B, C, D - диференцiальнi оператори за просторовими змiнними (дру-

гого порядку).

Для кожної iз систем наведеного вигляду встановлено шкалу апрiор-

них нерiвностей, доведено теореми iснування та єдиностi узагальненого

розв'язку, а також одержано умови траєкторної та фiнальної керовано-

стi. Як приклад, наведемо деякi результати, отриманi для псевдопара-

болiчної системи Lu = f.

Нехай u(t, ) - функцiя стану, що визначається з псевдопараболiчно-

го рiвняння

Au t +Bu = f

та задовольняє крайовi умови

u| = 0, u| t=0 = u t | t=0 =... = 0. (4)

Оператор A не залежить вiд змiнної t i задається диференцiальним ви-

разом другого порядку

A(u) = - n i,j=1 a ij ()u j i + n i=1 a i ()u i + a()u, (5)

B - аналогiчний оператор.

Нехай L 0 - множина нескiнченно диференцiйовних в областi Q фун-

кцiй, якi задовольняють умови (4), L T - аналогiчна множина, але фун-

кцiї задовольняють спряженi умови

v| = 0, v| t=T = v t | t=T =... = 0. (6)

Нехай W k 0 (W k T ) - поповнення множини L 0 (L T вiдповiдно) за

нормами

u 2 W k 0 = n i=1 Q (u (k) ) 2 + (u (k) i ) 2 dQ, k N {0}. (7)

Розглядаючи похiднi вiд'ємного порядку як iнтеграл, означення про-

сторiв W k 0, W k T природно поширити для всiх k Z. Наприклад, для

просторiв W -k 0, k N пiд u (-1) слiд розумiти u (-1) = t 0 u() d, а для

W -k T - u (-1) = t T u() d.

Через (W k 0 ), (W k T ) позначимо спряженi простори.

На коефiцiєнти операторiв A, B накладемо умови: a ij = a ji, b ij = b ji,

a i, b i, a, b - функцiї класу L (. Нехай коефiцiєнти задоволь-

няють умову:

n i,j=1 a ij () i j n i=1 2 i, > 0, (8)

де стала не залежить вiд = ( 1,..., n ) R n i вiд.

Крiм цього, будемо припускати, що в областi виконуються нерiв-

ностi

inf a() > n i=1 1 c f,i sup |a i ()| - c f,i, 2 > c f, |a i ()|, (9)

для кожного i 1, n, де c f,i - сталi Фрiдрiхса.

Зауваження 3. Якщо a i = 0 i a 0, то (9) виконується.

Доведено, що оператор L можна неперервно розширити з множини

L 0 до оператора L: W k 0 (W 1-k T ).

Лема 2. Для всiх u W k 0 мають мiсце нерiвностi

c -1 u W k 0 Lu (W 1-k T ) cu W k 0, c > 0. (10)

Аналогiчнi нерiвностi доводяться i для спряженого оператора L.

Теорема 5. Для довiльної функцiї f (W 1-k T ) iснує єдиний розв'язок

u W k 0 рiвняння Lu = f.

Означення 3. Систему Lu = f(h) називають керованою в банаховому

просторi E множиною U (h U ), коли для довiльного u E iснує таке

h U, що u - розв'язок Lu = f(h ).

Означення 4. Систему Lu = f(h) називають -керованою в банахово-

му просторi E множиною U (h U ), коли для довiльного u E iснує

така послiдовнiсть h i U, що u(h i ) - u E 0 при i 0, де u(h i ) -

розв'язок Lu = f(h i ).

Теорема 6. Система Lu = f керована в просторi W k 0 множиною U тодi i лише

тодi, коли f(U) = (W 1-k T ). Система Lu = f -керована в W k 0 множиною U

тодi i лише тодi, коли множина f(U) щiльна в (W 1-k T ).

Подiбнi результати щодо траєкторної керованостi отримано i для iн-

ших некласичних лiнiйних моделей математичної фiзики. Зазначимо,

що пiд керованiстю розумiлася можливiсть досягнення потрiбного ре-

жиму функцiонування системи на всьому часовому промiжку t [0, T ]

(траєкторна керованiсть). З iншого боку, часто потрiбно досягти потрi-

бного режиму лише в точцi t = T (фiнальна керованiсть), а поведiнка

системи при t < T може не мати iстотного значення. Можлива наявнiсть

зосереджених впливiв у правiй частинi рiвняння стану системи робить

розгляд цього питання доволi важким, бо розв'язок такого рiвняння

часто не є функцiєю точки (наприклад, належить простору L 2 (Q) або

взагалi є узагальненою функцiєю). У четвертому роздiлi цю задачу

розв'язано для гiперболiчної, псевдогiперболiчної та загальної хвильо-

вої моделi. Далi на прикладi гiперболiчної системи наведемо вiдповiднi

результати.

Розглянемо гiперболiчну систему

Lu 2 u t 2 +A(u) = f, (11)

де оператор A задається виразом (5), u(t, ) - функцiя стану, що задо-

вольняє початковi та крайовi умови

u| t=0 = u t | t=0 = u| 1 = u µ 2 = a 0 ()u + u µ A | 3 = 0, (12)

де i = (0, T ) Ч i, межа складається iз регулярних частин 1, 2, 3,

µA = An - вектор конормалi, A = {a ij } - матриця коефiцiєнтiв опера-

тора A, n - вектор зовнiшньої нормалi до.

Позначимо L 0 - множина функцiй u(t, ) C (Q), що задовольня-

ють крайовi умови (12) i u| t=0 = u t | t=0 =... = 0, L T - множина функцiй

v(t, ) C (Q), що задовольняють умови

v| 1 = 0, v| t=T = v t | t=T =... = 0.

Нехай H k 0, V k 0, S k

0, k Z - поповнення множини L 0 за нормами

u 2 H k 0 = Q u (k) 2 + n T, V k

T - аналогiчнi простори, що вiдповiдають спряже-

нiй задачi.

Незважаючи на наявнiсть нерiвностей u V k 0 u S k 0

для довiльного u L 0, вкладення S k 0 V k 0 вiдсутнє, бо для цiєї пари не виконується умова ).

Лема 3. Простiр S 0 0 є iзометрично iзоморфним V 0 0 Ч L 2 (. Опе-

ратор iзометрiї O: S 0 0 V 0 0 Ч L 2 ( є неперервним розширенням

O(u(t, )) = {u(t, ), u(T, )}, що дiє на пiдмножинi L 0.

Зауваження 4. Елементи простору S 0 0 слiд розглядати як функцiї класу

V 0 0, у яких має сенс значення u(T, ) L 2(. Аналогiчно описуються i решта просторiв S k 0, S k T, k Z.

Позначимо (H k 0 ), (V k 0 ), (S k 0 ), (H k T ), (V k T ), (S k T ) - вiдповiднi спряженi простори.

Будемо вважати, що a ij, a i, a L (, а a 0 0 належить простору

L ( 3 ). Припускаємо також, що a ij = a ji i оператор A задовольняє (8).

Доведено, що оператор L можна неперервно розширити з множини

L 0 до оператора L: H k 0 (H 2-k T ).

Теорема 7. Для всiх u H k 0, v H k T мають мiсце нерiвностi

u S k-1 0 c 1 Lu (V 2-k T ) c 2 Lu (H 2-k T ) u H k 0, (13)

c 1 L v (V 2-k 0 ) c 2 L v (H 2-k 0 ) H k T. (14)

Теорема 8. Для довiльних f (V 2-k T ) (H 3-k T ) iснує єдиний розв'я-

зок u V k-1 0 рiвняння Lu = f.

Означення 5. Узагальненим розв'язком рiвняння Lu = f будемо на-

зивати елемент u S k-1 0, для якого iснує така послiдовнiсть u i L 0,

що u i - u S k-1 0 0, Lu i - f (V 2-k T ) 0, i.

Теорема 9. Для всiх f (V 2-k T ) iснує єдиний узагальнений розв'язок

u S k-1 0 рiвняння Lu = f у сенсi означення 5.

Теорема 10. Якщо f(U) = (H 2-k T ), то система Lu = f керована в

H k 0 множиною керуючих впливiв U.

Теорема 11. Нехай множина f(U) (V 2-k T ) щiльна у просторi

(V 2-k T ). Тодi система (11) -керована в S k-1 0 множиною керуючих

впливiв U.

Зауваження 5. Множина функцiй

s i=1 (t - t i ) i (), t i [0, T ], i L 2 (

є щiльною в просторах узагальнених функцiй скiнченного порядку. Ана-

логiчне твердження має мiсце i для точкових, iмпульсно-точкових, ру-

хомих та iнших зосереджених впливiв.

П'ятий роздiл присвячено комплексному аналiзу чисельних мето-

дiв оптимiзацiї лiнiйних систем iз зосередженими впливами.

У параграфi 5.1 на прикладi псевдогiперболiчної системи вивчено за-

дачу iснування оптимального керування лiнiйними моделями iз сингу-

лярними впливами. Для лiнiйного оператора псевдогiперболiчного типу

розглянемо задачу оптимiзацiї:

Lu u tt +A(u t ) +B(u) = f(t, ; h), (t, ) (0, T ) Ч, (15)

u| t=0 = u t | t=0 = 0, (16)

u| 1 = µ B | 2 = a 0 ()u + u t µ A + u µ B | 3 = 0, (17)

J(h) = (u(h), h) --- hU min, (18)

де L: H 1 0 (W 1 T ), u(t, ; h) - розв'язок рiвняння (15), h - керування

системою iз допустимої множини U, µA, µB - вектори конормалi, що

визначаються аналогiчно (12),

= i, i = (0, T ) Ч i, i = 1; 3, J -

функцiонал якостi, що залежить вiд розв'язку u(h) рiвняння Lu = f(h).

Покладемо P k 0 - поповнення множини L 0 (гладкi функцiї, що задо-

вольняють однорiднi початковi та крайовi умови) за нормою

u 2 P k 0 = u 2 W k 0 + u (k) 2 | t=T d,

де простiр W k 0 визначається в (7).

Нехай в задачi (15)-(18) керування h U обирається з топологiчно-

го простору C. Функцiонал (u(h), h) визначений у просторi P 0

0 Ч C.

Пiд u(h) P 0 0 розумiємо узагальнений розв'язок рiвняння (15) у сенсi

аналога означення 5 (його iснування та єдинiсть доведено в четвертому

роздiлi).

Теорема 12. Нехай стан системи визначається з рiвняння (15) i в

просторi C iснує така топологiя T C, що

1) секвенцiально напiвнеперервний знизу в P 0 0 Ч C з топологiєю,

що породжується слабкою топологiєю P 0 0 i T C,

2) множина U секвенцiально компактна в (C, T C ),

3) f: C (W 1 T ) секвенцiально слабко неперервне (h k h в (C, T C )

f(h k ) f(h) в слабкiй топологiї (W 1 T ) ).

Тодi оптимальне керування системою (15)-(18) iснує.

Зауваження 6. Припустимо, що C - лiнiйний нормований простiр, C -

спряжений простiр. Топологiю T C обирають настiльки слабкою, щоб

множина U виявилася секвенцiально компактною, але вiдображення

, f зберiгали необхiднi властивостi гладкостi.

Наприклад, якщо топологiя T C узгоджується з двоїстiстю (C, C ), то

функцiонал

(u, h) = w u W 0 0, u| t=T L2(, h C

задовольняє умови теореми, де w: R 3 + R - неперервна, зростаюча за

кожною змiнною функцiя. Наприклад,

(u, h) = 3u W 0 0 + 2u| t=T 2 L2( + h 3 C.

Вiдображення f: C (W 1 T ), що задають iмпульснi (t - t i ) i (),

точковi ( 1 - i 1 ) i (t, 2,...), рухомi ( 1 - s i (t)) i (t, 2,...) та iн-

шi подiбнi сингулярнi впливи, задовольняють вимоги слабкої неперерв-

ностi.

Якщо T C = (C, C ), то за допустиму множину U C можна брати

довiльнi опуклi замкненi (за нормою) обмеженi множини.

Зауваження 7. Оскiльки вiдображення f, можуть бути нелiнiйни-

ми, то функцiонал якостi J може виявитися неопуклим, а оптимальне

керування - не єдиним.

У параграфi 5.2 на прикладi псевдопараболiчної системи дослiдже-

но диференцiальнi властивостi функцiоналу J (за умови наявностi вiд-

повiдних властивостей гладкостi функцiоналу i вiдображення f ), що

дозволяє побудувати чисельнi методи оптимiзацiї градiєнтного типу. От-

же, нехай L: W k 0 (W 1-k T ) - псевдопараболiчний оператор.

Теорема 13. Нехай: W k 0 Ч C - диференцiйовний за Фреше фун-

кцiонал ( u (u(h), h), h (u(h), h) - частиннi похiднi), вiдображення

f: C (W 1-k T ) має похiдну Фреше f (h). Тодi iснує похiдна Фреше

J (h) функцiоналу J, яка обчислюється за формулою

J (h)(h) = f (h)(h), v(h) W 1-k T + h (u(h), h)(h), (19)

де функцiї u(h) W k 0, v(h) W 1-k T - розв'язки операторних рiвнянь

Lu = f(h), L v = G(u(h), h), функцiя G(u(h), h) (W k 0 ) задається

похiдною u (u(h), h) за формулою (теорема Рiсса) u (u(h), h)(u) = G(u(h), h), u W k 0.

На основi спiввiдношень (19) i апрiорних нерiвностей можна дослi-

дити рiзнi властивостi гладкостi функцiоналу якостi J в залежностi вiд

вiдповiдних властивостей керуючого вiдображення f i функцiоналiв u,

h, а також побудувати чисельнi методи оптимiзацiї градiєнтного типу.

Як приклад, наведемо лише одну з таких теорем.

Теорема 14. Якщо в обмеженому околi U точки h похiднi Фреше

f (h), u (u(h), h), h (u(h), h) задовольняють умову Гельдера з показни-

ком (0, 1] рiвномiрно в U, то i похiдна J (h) задовольняє умову

Гельдера з показником рiвномiрно в U.

Встановлено, що умови цих теорем задовольняють iмпульснi, точко-

вi, iмпульсно-точковi, рухомi та iншi керуючi функцiї f(h) сингулярного

типу.

З теореми 13 випливає, що для обчислення градiєнту функцiоналу

якостi необхiдно розв'язувати пряму та спряжену крайовi задачi. Май-

же завжди це можна зробити лише наближено. Для розв'язання цих рiв-

нянь в дисертацiйнiй роботi розроблено чисельний метод типу Гальоркi-

на i доведено його збiжнiсть (параграф 5.3). Крiм цього, оскiльки правi

частини рiвнянь можуть бути елементами негативних просторiв, то при

моделюваннi на ЕОМ вони замiнюються на деяке наближення з класу

кусково-постiйних функцiй. Отже, виникає необхiднiсть дослiджувати

збiжнiсть та стiйкiсть збурених градiєнтних процедур при чисельному

розв'язаннi задач оптимального керування системами iз сингулярних

впливами (параграфи 5.5 та 5.6).

Розглянемо задачу оптимiзацiї лiнiйної системи

Lu = f(h), J(h) = (u(h)) ----- hUC min, (20)

де L: W 0 W T - лiнiйний оператор, f: C W T, W 0 L 2 (Q),

W T L 2 (Q), C - гiльбертiв простiр. Оператори L та його спряжений

L задовольняють апрiорнi нерiвностi

c -1 u L2 (Q) LuW T cu W0, u W 0, (21)

c -1 v L2 (Q) L vW 0 cv WT, v W T. (22)

Розглянемо параметризовану задачу оптимального керування

Lu = f(t, ; h ), J(h ) = (u(h )) ------ hUC min, > 0, (23)

де h - параметризоване керування iз допустимої множини U.

Теорема 15. Нехай

1) U, U - слабко компактнi в C множини,

2) 1 > 2 > 0 U 1 U 2, U = >0 U,

3) f(h): C W T - неперервне та слабко неперервне вiдображення,

4) - напiвнеперервний зверху i слабко напiвнеперервний знизу фун-

кцiонал.

Тодi довiльна слабко збiжна при lim i i = 0 послiдовнiсть розв'язкiв h i

задачi (23), що обов'язково iснує, збiгається слабко в C до h - розв'язку

вихiдної оптимiзацiйної задачi (20).

Наведемо приклад збуреного градiєнтного методу оптимiзацiї лiнiй-

ної системи Lu = f(h) та встановимо його збiжнiсть. Нехай C R n, U -

компактна множина. Необхiдно мiнiмiзувати критерiй якостi

J(h) = Q (u(h) - u z ) 2 dQ,

де u z (t, ) L 2 (Q) - бажаний режим функцiонування системи.

Розглянемо систему зi збуреннями у правiй частинi

Lu = f (h), f: C L 2 (Q), ( > 0),

де L: W 0 W

T - лiнiйний оператор, для якого мають мiсце нерiвно-

стi (21), (22).

Замiсть точного значення градiєнта маємо його оцiнку

J (h ) = f (h ), v WT, v W T,

де v - розв'язок спряженого рiвняння L v = 2(u(h) - u z ).

Вивчимо питання збiжностi наступної градiєнтної процедури

h s+1 = h s + s h s - h s, J s (h s ), h s - h s = inf hU J

s (h s ), h - h s,

де h 0 - початкове наближення.

Параметр s обирається з умов

f s (h s ) - f (h s ) W T < s, f s (h s ) - f (h s ) < s, (24)

s, s - довiльнi додатнi нескiнченно малi послiдовностi, s - кроковий

множник, що задовольняє умови:

lim s s = 0, 0 < s < 1, s=0 s = +.

Теорема 16. Нехай f: C W T - диференцiйовне за Фреше вi-

дображення, похiдна якого задовольняє умову Гельдера з показником

(0, 1]. Тодi, якщо функцiонал J(h) приймає на множинi

C = {h U C: inf hU (J (h ), h - h ) 0}

не бiльш нiж злiчену множину значень, то границя довiльної збiжної

пiдпослiдовностi h sk належить C.

Зауваження 8. Аналогiчно можна довести збiжнiсть багатокрокових

градiєнтних процедур

h s+1 = h s s 0 J s (h s ) + s 1 J s-1 (h s-1 ) + s-p (h s-p ),

де h -p = h -p+1 =... = h 0 - початковi наближення, s s p -

ваговi коефiцiєнти такi, що s 0 + s 1 +... + s p = 1.

Проблема пошуку початкового наближення при розв'язаннi задач

оптимального керування вирiшується в параграфi 5.8. Показано, що

за наявностi для лiнiйної системи апрiорних нерiвностей iснує проста

оптимiзацiйна процедура для знаходження початкового наближення.

Початкове наближення слiд шукати як оптимальний (чи наближений)

розв'язок задачi знаходження вiдстанi мiж множинами в гiльбертовому

просторi.

У параграфi 5.4 дослiджується задача пошуку коректуючого опти-

мального керування лiнiйними системами iз сингулярними вплива-

ми. Нехай W 0 L 2 (Q) W 0 - гiльбертове оснащення. Покладе-

мо 0 < < T, Q 1 = (0, ) Ч i Q 2 = (, T ) Ч. Нехай W 0 (Q i ) -

такi гiльбертовi простори, що W 0 - замкнена лiнiйна пiдмножина

W 0 12 = W 0 (Q 1 L 2 (Q) i uW0 = (u 1, u 2 ) W 0 12, W T 12 - аналогi-

чний простiр для спряженого рiвняння. Аналогiчнi простори визначено

i для спряженої задачi. Кожний функцiонал f (W T 12 ) можна звузити

i розглядати як f W T.

Вивчається задача оптимiзацiї

Lu = f(h), L: W 0 W T, f: C (W T 12 ), (25)

J(h; U) = (u(h), h) ----- hUC