Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет

імені Івана Франка

СИМОТЮК Михайло Михайлович

УДК 517.95

БАГАТОТОЧКОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ЛІНІЙНИХ

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ТА ПСЕВДОДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ

РІВНЯНЬ ІЗ ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ

01.01.02 – диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі математичної фізики Інституту прикладних проблем

механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України.

Науковий керівник – доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Пташник Богдан Йосипович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики

ім. Я. С. Підстригача НАН України,

завідувач відділу математичної фізики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

доктор фізико-математичних наук, професор

Іванчов Микола Іванович,

Львівський національний університет імені Івана Франка,

завідувач кафедри диференціальних рівнянь;

кандидат фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Нитребич Зіновій Миколайович,

Національний університет „Львівська політехніка“,

доцент кафедри обчислювальної математики та програмування.

Провідна установа – Інститут математики НАН України, відділ диференціальних рівнянь з частинними похідними, м.Київ.

Захист відбудеться _10 листопада 2005 р. о _15.30_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м.Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий __7 жовтня_ 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради _____________ Остудін Б.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В останні десятиріччя активно досліджуються задачі з багатоточковими умовами для диференціальних рівнянь та їх систем. Інтерес до їх вивчення зумовлений як потребою побудови загальної теорії багатоточкових задач, так і тим, що такі задачі є моделями багатьох фізичних процесів.

Для звичайних диференціальних рівнянь багатоточкові задачі розглядали Ш.Валле Пуссен, І.Т.Кігурадзе, А.Ю.Левін, А.Ю.Лучка, Г.Маммана, О.Ніколетті, Г.Пойя, Ю.В.Покорний, А.М.Самойленко, В.Я.Скоробогатько, Я.Д.Тамаркін, Ф.Хартман та інші автори. У їхніх роботах встановлено умови існування та єдиності розв'язку таких задач, побудовано функцію Гріна, вивчено її регуляризаційні властивості та умови знакосталості, описано методи наближеного розв'язування багатоточкових задач.

Коректність двоточкових та багатоточкових задач для окремих класів рівнянь із частинними похідними та диференціально-операторних рівнянь вивчалась у роботах Ю.М.Бере–занського, В.М.Борок, В.П.Бурського, Ю.М.Валіцького, М.Л.Горбачука, О.О.Дезіна, Ю.А.Дубінського, П.І.Каленюка, М.І.Іванчова, З.М.Нитребича, В.К.Романка, Е.М.Сайдаматова, М.Й.Юрчука та інших авторів, де переважно виділені випадки коректно поставлених задач.

Проте багатоточкові задачі для загальних рівнянь із частинними похідними в обмежених областях є, взагалі, некоректними, а питання про їх розв'язність у багатьох випадках пов'язане з проблемою малих знаменників.

У працях Б.Й.Пташника та його учнів І.О.Бобика, П.Б.Василишина, В.С.Ільківа, І.С.Клюс, Л.І.Комарницької, В.М.Поліщук, Б.О.Салиги, Л.П.Силюги, П.І.Штабалюка на основі метричного підходу досліджено задачі з багатоточковими умовами для окремих класів лінійних і слабконелінійних рівнянь із частинними похідними, а також для деяких диференціально-операторних рівнянь.

Поряд із цим, недостатньо вивченими залишались багатоточкові задачі (в тому числі з кратними вузлами інтерполяції) для загальних рівнянь із частинними похідними, псевдодиференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, систем лінійних рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами. Розробці цих питань присвячена дана дисертаційна робота.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати дисертацiї отриманi в рамках виконання бюджетних тем „Розробка методів дослідження та побудови розв'язків некласичних та умовно коректних задач для рівнянь із частинними похідними“ (номер держреєстрацiї: №0197U008960) та „Дослідження розв'язності та побудова розв'язків некласичних крайових задач для лінійних та квазілінійних рівнянь і систем рівнянь з частинними похідними“ (номер держреєстрацiї: №0102U000452) відділу математичної фізики Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України. Крім того, результати підрозділу 5.1 дисертації увійшли до звіту про науково-дослідну роботу „Розробка функціонально-алгебраїчних та диференціально-геометричних методів дослідження деяких прикладних задач механіки та математичної фізики“ (грант Президії НАН України для колективу молодих вчених, постанова Президії НАН України № 203 від 09.07.2003).

Мета i задачi дослiдження. Дослідити коректність задач з багатоточковими умовами за виділеною змінною та умовами періодичності за для лінійних рівнянь і систем рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами та псевдодиференціальних рівнянь зі змінними за коефіцієнтами. Для досягнення цієї мети:

1) встановити умови існування, єдиності та неперервної залежності від вихідних даних розв'язків двоточкових задач з кратними вузлами для лінійних диференціальних та псевдодиференціальних рівнянь із частинними похідними довільного порядку зі сталими та змінними коефіцієнтами;

2) знайти умови коректної розв'язності задач з багатоточковими умовами (з простими та кратними вузлами інтерполяції) для лінійних диференціальних та псевдодиференціальних рівнянь із частинними похідними;

3) встановити умови коректності багатоточкових задач для систем лінійних диференціальних рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами;

4) довести метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, що виникають при побудові розв'язків розглядуваних задач.

Об'єкт дослідження: двоточкові (з кратними вузлами) та багатоточкові задачі для лінійних диференціальних і псевдодиференціальних рівнянь із частинними похідними та систем лінійних рівнянь із частинними похідними.

Предмет дослідження: умови коректності розглядуваних задач та аналіз метричних оцінок малих знаменників, пов'язаних із цими задачами.

Методи дослідження: методи теорії диференціальних рівнянь, метричної теорії чисел, функціонального аналізу, алгебри.

Наукова новизна одержаних результатiв. У дисертацiйній роботі отримано такі нові результати:

1) встановлено умови коректної розв'язності -точкової задачі та задачі з двома кратними вузлами інтерполяції для лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами та псевдодиференціальних рівнянь зі змінними за коефіцієнтами; доведено, що ці умови виконуються для довільного наперед заданого рівняння і для майже всіх (стосовно міри Лебега) значень вузлів інтерполяції;

2) у випадку багатьох просторових змінних для диференціальних рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами, які володіють певними діофантовими властивостями, встановлено однозначну розв'язність багатоточкової задачі з кратними вузлами інтерполяції для майже всіх (стосовно міри Лебега) векторів, компонентами яких є вузли інтерполяції;

3) встановлено умови коректної розв'язності багатоточкової задачі з простими вузлами інтерполяції для лінійних систем рівнянь зі сталими коефіцієнтами довільного порядку та довільного розміру; доведено метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, що виникають при побудові розв'язку задачі.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Їх можна використати у подальших теоретичних дослідженнях крайових задач для рівнянь із частинними похідними, а також при дослідженні задач практики, які моделюються такими задачами.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертації отримані автором самостійно. У спiльних з науковим керiвником працях [1–2], [12–14] Б.Й.Пташнику належить постановка задач, передбачення та аналіз отриманих результатiв.

Апробацiя роботи. Результати дисертацiї доповiдались і обговорювались на: Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 2000, 2002 рр.); Міжнародній науковій конференції „Nonlinear partial differential equations“ (Київ, 2001 р.); Міжнародній науковій конференції „Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь“ (Дрогобич, 2001 р.); науково-технічній конференції молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В.Карпенка НАН України (Львів, 2002 р.); наукових читаннях, присвячених пам'яті академіка Я.С.Підстригача, проведених в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Під-стригача НАН України (Львів, 2001, 2002 рр.); Міжнародній науковій конференції „Diophantine analysis, uniform distributions and applications“ (Мінськ, 2003 р.); засіданнях семінару ім. В.Я.Скоробогатька Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України (Львів, 1998–2005 рр.); засіданні загальноінститутського математичного семінару Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України (Львів, 2002 р.); засіданнях Львівського міського семінару з диференціальних рівнянь (Львів, 1999–2003 рр.); засіданнях кафедри математичного моделювання Львівського національного університету імені Івана Франка (Львів, 1999, 2001, 2005 рр.); засіданні кафедри диференціальних рівнянь Уж-городського національного університету (Ужгород, 2001 р.); конференції Наукового Товариства ім. Шевченка (Львів, 2003, 2004 рр.); першій літній школі з топології та функціонального аналізу (с. Козьова Сколівського р-ну Львівської обл., 2003 р.), а також були оприлюднені на Міжнародній науковій конференції „6-і Боголюбівські читання“ (Чернівці, 2003 р.).

Публiкацiї. Основні результати дисертацiї опублiковано в 11 статтях, з них 8 у фахових періодичних виданнях, що входять до перелiку ВАК України, а також додатково висвітлено в 7 тезах доповідей наукових конференцiй.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, 5 розділів, висновків, списку використаних джерел, додатку і має обсяг 193 сторінки. Список використаних джерел налічує 180 найменувань і займає 18 сторінок, додаток складається з 25 сторінок.

Автор висловлює вдячність професору В.І.Берніку за обговорення результатів роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Надалі використовуватимемо такі позначення: – -вимірний дійсний простір, –множина точок з , які мають цілі координати, – -вимірний тор , , , , , , , – символ Кронекера; , , – кількість комбінацій з елементів по ; , , – множина всіх наборів , складених з натуральних чисел таких, що ; – простір всіх тригонометричних поліномів, зі збіжністю: якщо степені всіх поліномів не перевищують деякого фіксованого числа і для кожного ; – простір всіх антилінійних неперервних функціоналів на зі слабкою збіжністю, який співпадає з простором формальних тригонометричних рядів; – простір, отриманий поповненням простору скінченних тригонометричних поліномів за нормою

де – така функція, що для всіх; – простір функцій u(t,x) таких, що при фіксованому похідні, належать до простору і як елементи цього простору є неперервними за t на [0,T]; при цьому норму в задамо формулою; – простір, який співпадає з простором, якщо; – простiр вектор-функцiй таких, що з нормою; –простір вектор-функцій таких, що з нормою; – множина псевдодиференціальних операцій , дія яких на функцію задається формулою, де для кожного , причому.

У вступі дисертації обгрунтовано актуальність теми, показано зв'язок роботи з науковими темами, сформульовано мету та задачі дослідження, вказано наукову новизну, практичне значення, апробацію одержаних результатів та кількість публікацій.

У першому розділі дисертації подано огляд праць, які стосуються теорії задач з багатоточковими умовами для рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними.

У другому розділі дисертації наведено допоміжні відомості з теорії звичайних диференціальних рівнянь та теорії чисел, а також встановлено нові результати (теореми 2.5.1–2.5.11) про оцінки зверху для мір Лебега множин вигляду (, – гладка на функція), які використовуються у наступних розділах дисертації.

У третьому розділі дисертації досліджено задачі з багатоточковими умовами для лінійних рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами.

У підрозділі 3.1 досліджено таку двоточкову задачу з кратними вузлами:

(1)

(2)

де

(3)

Позначимо: , – розв'язок задачі Коші

(4)

.

Теорема 3.1.1. Для єдиності розв'язку задачі (1), (2) у просторі необхідно і досить, щоб виконувалась умова

(5)

У теоремах 3.1.2–3.1.4 встановлено достатні умови нетривіальної розв'язності однорідної двоточкової задачі, яка відповідає задачі (1), (2); наведено приклади задач, для яких виконується або порушується умова (5).

Нехай – різні -корені рівняння

(6)

з кратностями відповідно, . Позначимо:

(7)

(8)

Теорема 3.1.5. Нехай справджується умова (5) та існують сталі такі, що для всіх (крім скінченної кількості) векторів виконується нерівність

(9)

Якщо , де сталі, визначені формулами (8), то в просторі існує єдиний розв'язок задачі (1), (2), який зображається рядом Фур'є і неперервно залежить від та .

Доведено, що оцінка (9) виконується для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) чисел та для всіх (крім скінченної кількості) векторів при , де , – сталі з формул (7), а також показано, що отримана нижня оцінка для показника , взагалі, є непокращуваною (теореми 3.1.8, 3.1.12).

Для часткових випадків задачі (1), (2) (r=1 або r=n-1; ; диференціальний вираз допускає факторизацію) отримано точніші результати стосовно розв'язності (теорема 3.1.6) та виконання оцінки (9) (теореми 3.1.9 – 3.1.11).

У підрозділі 3.2 для рівняння (1) вивчено багатоточкову задачу з умовами

(10)

Встановлено, що для єдиності розв'язку задачі (1), (10) у просторі необхідно і досить, щоб виконувалась умова

(11)

де , а – розв'язок задачі (4) (теорема 3.2.1); наведено приклади багатоточкових задач, для яких виконується або порушується умова (11).

Теорема 3.2.3. Нехай справджується умова (11) та існують сталі такі, що для всіх (крім скінченної кількості) векторів виконується нерівність

(12)

Якщо , а сталі визначені формулами (7), то в просторі існує єдиний розв'язок задачі (1), (10), який неперервно залежить від .

Доведено, що оцінка (12) виконується для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) векторів для всіх (крім скінченної кількості) векторів при , де – сталі з формули (5) (теорема 3.2.6).

У випадках, коли: 1) диференціальний вираз допускає факторизацію; 2) корені рівняння (6) є дійсними; 3) виконуються співвідношення

(13)

результати теорем 3.2.3 та 3.2.6 уточнено (теореми 3.2.4, 3.2.7, 3.2.8).

У підрозділі 3.3 для рівняння (1) досліджено багатоточкову задачу

(14)

де . Якщо для кожного всі корені рівняння (6) є простими, то для єдиності розв'язку задачі (1), (14) у просторі необхідно і досить, щоб виконувалась умова

(15)

де (теорема 3.3.1).

Теорема 3.3.2. Нехай для всіх всі корені рівняння (6) є простими, виконується умова (15) та існують сталі такі, що для всіх (крім скінченної кількості) векторів виконується нерівність

(16)

Якщо , де , а сталі визначені формулами (7), то в просторі існує єдиний розв'язок задачі (1), (14), який неперервно залежить від функцій та .

Якщо рівняння (1) справджує певні діофантові властивості, то оцінка (16) виконується для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) векторів для всіх (крім скінченної кількості) векторів при , , де – стала з формули (7), – стала, яка конструктивно визначається через вихідні дані задачі (теорема 3.3.3).

У четвертому розділі досліджено задачі з локальними двоточковими та багатоточковими умовами за змінною t для рівнянь із псевдодиференціальними за x операторами, символи яких залежать від t. Тут виникли нові труднощі, пов'язані з оцінками знизу малих знаменників, які мають складнішу, ніж у розділі 3, структуру.

У підрозділі 4.1 досліджено таку задачу:

(17)

(18)

де . Нехай , --- нормальна фундаментальна система розв'язків диференціального рівняння , .

Означення 4.1.1. Задачу (17), (18) називаємо ()-коректною (()-коректною), якщо для довільних у просторі існує єдиний розв'язок цієї задачі, який неперервно залежить від .

Означення 4.1.2. Задачу (17), (18) називаємо ()-коректною, де , , якщо для довільних , в просторі існує єдина функція така, що

а стала не залежить від вибору .

Теорема 4.1.1. Нехай . Для ()-коректності задачі (17), (18) необхідно, а для ()-коректності та ()-коректності задачі (17), (18) необхідно й досить, щоб виконувалась умова

(19)

Теорема 4.1.2. Нехай , виконується умова (19) та існують такі сталі , що для всіх (крім скінченної кількості) справджується нерівність

(20)

Тоді задача (17), (18) є ()-коректною, де ,

(21)

Якщо , а функція справджує умову

(22)

то нерівність (20) виконується для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) чисел і довільного фіксованого при , або для майже всіх (стосовно міри Лебега в) чисел і довільного фіксованого при для всіх (крім скінченної кількості) векторів , де стала визначена формулою (21), (теореми 4.1.3, 4.1.4). У випадку, коли є дійснозначними функціями, отримано точніші оцінки для нижніх меж показника в нерівності (20).

У підрозділах 4.2 та 4.3, де вивчаються задачі з умовами (2), (10) для рівняння

(23)

в якому , запроваджені означення коректності, аналогічні означенням 4.1.1, 4.1.2, в яких , та отримані наступні результати. Позначимо:

– нормальна фундаментальна система розв'язків рівняння ;

Теорема 4.2.1. Нехай . Для ()-коректності задачі (2), (23) необхідно, а для ()-коректності та ()-коректності задачі (2), (23) необхідно й досить, щоб виконувалась умова

(24)

Теорема 4.2.2. Нехай , справджується умова (24) та існують сталі такі, що для всіх (крім скінченної кількості) векторів виконується нерівність

(25)

Якщо , де

(26)

то задача (2), (23) є ()-коректною.

Теорема 4.2.3. Нехай , а для функції виконується умова (22). Для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) чисел нерівність (25) виконується для всіх (крім скінченної кількості) векторів при довільному і , де стала визначається з деякої системи рекурентних співвідношень.

Для часткових випадків задачі (2), (23), коли r=1 або r=n-1, отримано уточнення теореми 4.2.3 стосовно показників в нерівності (25) (теореми 4.2.4, 4.2.5).

Теорема 4.3.1. Нехай . Тоді для ()-коректності та для ()-коректності задачі (10), (23) необхідно й досить, щоб виконувалась умова

(27)

Теорема 4.3.2. Нехай , справджується умова (27) та існують сталі такі, що для всіх (крім скінченної кількості) векторів виконується нерівність

(28)

Якщо , де стала визначена формулою (26), то задача (10), (23) є ()-коректною.

Якщо , а для функції виконується умова, то нерівність (28) виконується для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) векторів та для всіх (крім скінченної кількості) векторів при , де стала визначена формулою (26) (теорема 4.3.3). Отримані результати уточнено (теореми 4.3.4–4.3.7) для випадку, коли .

У п'ятому розділі дисертації досліджено задачі з багатоточковими умовами для лінійних систем рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами. У підрозділі 5.1 розглядається задача з багатоточковими умовами

(29)

для системи рівнянь, однорідних за порядком диференціювання

(30)

де – квадратні матриці розміру з комплексними елементами, – одинична матриця. Припустимо, що всі корені характеристичного рівняння

(31)

є простими. Позначимо: – кількість коренів з додатною (від'ємною) дійсною частиною; ; – деякий ненульовий стовпець матриці, приєднаної до матриці , .

Теорема 5.1.1. Якщо корені рівняння (31) є простими, то для єдиності розв'язку задачі (29), (30) у просторі необхідно й досить, щоб виконувалась умова

(32)

Наведено приклади задач, для яких виконується або порушується умова (32).

У теоремі 5.1.4 встановлено існування єдиного розв'язку задачі (29), (30) у просторі , якщо виконується умова (32) та існують такі дійсні сталі, що для всіх (крім скінченної кількості) цілих чисел k справджуються нерівності

(33)

Теорема 5.1.5. Нехай система (30) є такою, що для всіх , , де символ позначає суму . Тоді для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) векторів нерівності (33) виконуються для всіх (крім скінченної кількості) чисел , якщо , де .

У теоремах 5.1.7–5.1.9 отримано результати, які стосуються задачі (13), (29), (30).

У підрозділі 5.2 досліджено багатоточкову задачу для неізотропних систем рівнянь:

(34)

(35)

де – квадратні матриці розміру , – одинична матриця,

(36)

Позначимо: – корені рівняння

де --- многочлен від степеня ;

(37)

– перший стовпець матриці, приєднаної до матриці ;

(38)

Для системи (34) означимо функції , такими рівностями:

де визначені формулами (38), а .

Теорема 5.2.1. Якщо для всіх , то для єдиності розв'язку задачі (34), (35) у просторі необхідно й досить, щоб виконувалась умова

(39)

Теорема 5.2.4. Нехай для всіх , виконується умова та існує стала така, що для всіх (крім скінченної кількості) векторів справджується нерівність

(40)

Якщо , де – сталі з формул (36), (37), то в просторі існує єдиний розв'язок задачі (34), (35), який неперервно залежить від .

Якщо при деяких для всіх (крім скінченної кількості) виконуються нерівності , то нерівність (40) справджується для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) векторів для всіх (крім скінченної кількості) векторів при (теорема 5.2.5).

У теоремах 5.2.7–5.2.11 встановлено умови розв'язності задачі (13), (34), (35) та та досліджено питання про оцінки знизу малих знаменників, які виникають при побудові розв'язку задачі.

У додатку А досліджено диференціальні рівняння (системи рівнянь) із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами, які володіють певними діофантовими властивостями. Доведено, що такі властивості притаманні майже всім (стосовно міри Лебега) рівнянням (системам рівнянь) зі сталими коефіцієнтами.

В кінці кожного підрозділу дисертації наведено коротку порівняльнухарактеристику отриманих результатів із результатами інших авторів.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню в області, яка є декартовим добутком відрізка на -вимірний тор, задач з багатоточковими умовами за виділеною змінною та умовами періодичності за координатами для лінійних диференціальних і псевдодиференціальних рівнянь із частинними похідними та систем рівнянь із частинними похідними. У дисертаційній роботі одержано такі нові результати:

1) встановлено умови коректної розв'язності двоточкової задачі з кратними вузлами і для лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами та псевдодиференціальних рівнянь зі змінними за коефіцієнтами; доведено, що для довільного наперед заданого рівняння такі умови виконуються для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) чисел ;

2) встановлено умови коректності -точкової задачі з простими вузлами інтерполяції для лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами та псевдодиференціаль-них рівнянь зі змінними за коефіцієнтами; доведено, що такі умови виконуються для довільного фіксованого рівняння для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) векторів ;

3) для диференціальних рівнянь із частинними похідними -го порядку за змінною зі сталими коефіцієнтами, які володіють певними діофантовими властивостями, доведено, що задача з кратними вузлами інтерполяції () є однозначно розв'язною для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) векторів ;

4) для лінійних систем рівнянь зі сталими коефіцієнтами високого порядку та довільного розміру встановлено умови коректної розв'язності багатоточкової задачі з простими вузлами інтерполяції і доведено, що такі умови справджуються для майже всіх (стосовно міри Лебега) параметрів задачі;

5) побудовано явні формули у вигляді рядів для розв'язків розглянутих задач;

6) доведено теореми про оцінки мір Лебега певних „виняткових“ множин гладких функцій, на яких базується методика оцінок знизу малих знаменників, що виникли при побудові розв'язків, розглянутих у дисертації задач.

Робота має теоретичний характер. Її результати можна використати у подальших теоретичних дослідженнях умовно коректних крайових задач для рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними, а також у конкретних прикладних задачах, моделями яких є багатоточкові задачі. Результати роботи стали також джерелом нових задач метричної теорії діофантових наближень і можуть бути використані у подальшому розвитку цієї теорії та її застосувань.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

АНОТАЦІЯ

Симотюк М.М. Багатоточкові задачі для лінійних диференціальних та псевдо-диференціальних рівнянь із частинними похідними.– Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2005.

У дисертації розглянуто задачі з двоточковими та багатоточковими умовами за виділеною змінною та умовами періодичності за рештою координат для лінійних диференціальних та псевдодиференціальних рівнянь із частинними похідними зі сталими та змінними за коефіцієнтами, а також для лінійних систем рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами. Встановлено умови коректності та побудовано розв'язки таких задач у вигляді рядів. Доведено нові метричні твердження про оцінки знизу малих знаменників, які виникають при дослідженні та побудові розв'язків розглядуваних задач.

Ключові слова: рівняння із частинними похідними, псевдодиференціальні рівняння, багатоточкові умови, малі знаменники, діофантові наближення, міра Лебега.

АННОТАЦИЯ

Сымотюк М.М. Многоточечные задачи для линейных дифференциальных и псевдо-дифференциальных уравнений с частными производными. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Львовский национальный университет имени Ивана Франко. Львов, 2005.

В диссертации рассмотрены задачи с двухточечными и многоточечными условиями по выделенной переменной и условиями периодичности по остальным координатам для линейных дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений с частными производными с постоянными и переменными по коэффициентами, а также для линейных систем уравнений с частными производными с постоянными коэффициентами.

В работе получены следующие новые результаты: –

установлены условия корректной разрешимости -точечной задачи и задачи с двумя кратными узлами интерполирования для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и псевдодифференциальных уравнений с переменными по коэффициентами; доказано, что эти условия выполняются для произвольного наперед заданного уравнения и для почти всех (в смысле меры Лебега) значений узлов интерполирования;–

в случае многих пространственных переменных для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, владеющих некоторыми диофантовыми свойствами, установлено однозначную разрешимость многоточечной задачи с кратными узлами интерполирования для почти всех (в смысле меры Лебега) векторов, компонентами которых являются узлы интерполирования; –

установлены условия корректной разрешимости многоточечной задачи с простыми узлами интерполирования для линейных систем уравнений с постоянными коэффициентами произвольного порядка и произвольного размера; доказаны метрические теоремы об оценках снизу малых знаменателей, возникающих при построении решения задачи;–

получены формулы в виде рядов для решений рассмотренных задач.

Результаты диссертации имеют теоретическое значение. Их можно использовать в дальнейших исследованиях условно корректных краевых задач для уравнений и систем уравнений с частными производными, а также при решении конкретных прикладных задач, которые моделируются с помощью рассмотренных в диссертации задач. Результаты работы стали источником новых задач метрической теории диофантовых приближений и могут быть использованы в дальнейшем развитии этой теории и ее приложений.

Ключевые слова: уравнения с частными производными, псевдодифференциальные уравнения, многоточечные условия, малые знаменатели, диофантовы приближения, мера Лебега.

АBSTRACT

Symotyuk M.M. Multipoint problems for linear partial differential and pseudodifferential equations. – Manuscript.

Dissertation for obtaining the Candidate degree of physics and mathematics sciences on the speciality 01.01.02 – differential equations. – Ivan Franko Lviv National University. Lviv, 2005.

In the dissertation the problems with twopoint and with multipoint conditions on marked variable and periodicity conditions on the rest coordinates for linear partial differential and pseudodifferential equations and systems and for linear partial systems with constant coefficients are considered. The conditions of existence of the unique solution of these problems are established. The solutions of these problems are constructed in the form of Fourier series. The new metric theorems about estimates from below of small denominators, that appear in construction of solutions of the problems, are proved.

Keywords: partial differential equations, pseudodifferential equations, multipoint conditions, small denominators, Diophantine approximations, Lebesgue measure.

Підписано до друку 27.09.2005 р.

Формат 60x90/16. Папір друк. № 1.

Умовн. друк. аркушів 0,9

Наклад 100 прим.

Замовл. 29–09/1

Друк ВКП фірма „ВМС”

м. Львів, вул. Вузька, 3

тел./факс (032) 297–05–67

e-mail: vms@utel.net.ua