КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНий УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

Слободян Ярослав Омелянович

УДК 004.896: 624.04

автоматизація нелінійного розрахунку

складних просторових систем споруд

методом скінченних елементів

05.13.12 – системи автоматизації проектувальних робіт

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті

будівництва і архітектури Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор

Баженов Віктор Андрійович,

Київський національний університет

будівництва і архітектури, перший проректор.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Синявський Олександр Леонідович,

Києво-Могилянська академія,

професор кафедри мережних технологій;

доктор технічних наук, професор

Лантух-Лященко Альберт Іванович,

Національний транспортний університет,

професор кафедри мостів і тунелів;

доктор технічних наук, професор

Киричевський Віктор Володимирович,

Запоріжський національний університет,

завідувач кафедри математичного аналізу.

Провідна установа: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, відділ математичних методів і програмних засобів прикладної математики.

Захист відбудеться “ 13 “ жовтня 2005 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.056.01 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою: 03680, Київ, Повітрофлотський проспект, 31.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою: 03680, Київ, Повітрофлотський проспект, 31.

Автореферат розісланий “ 12 “ вересня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

к.т.н, доцент С.В. Цюцюра

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Робота базується на новому методі дослідження складних технічних об’єктів, який знаходиться на стику теоретичних і експериментальних підходів, з використанням сучасних комп’ютерних технологій автоматизованого проектування. Новий підхід включає ряд послідовних взаємозалежних етапів дослідження: створення математичного забезпечення аналізу і синтезу проектних рішень та програмного забезпечення у системі автоматизованого проектування (САПР) об’єктів будівництва на основі адекватної і ефективної математичної моделі та чисельного методу нелінійного аналізу; проведення комплексу чисельних досліджень; узагальнення результатів досліджень; отримання оптимальних проектних рішень. У результаті розвитку комп’ютерних технологій цей стиль теоретичного чисельного аналізу трансформувався в нову інформаційну технологію дослідження у вигляді чисельного експерименту. Ідеологія автоматизованого проектування і чисельного експерименту є методологічним фундаментом даної роботи.

Одним із основних етапів роботи є розробка адекватної математичної моделі об'єкта дослідження. Математична модель є традиційним інструментом теоретичного дослідження. Проте застосування нової запропонованої в роботі комп’ютерної технології дослідження суттєво підвищує можливості цього інструмента і вимоги до нього. Адекватність моделі визначається тим, наскільки задовільно вона відображає якісні і кількісні характеристики об’єкта дослідження.

Просторові пластинчаті і стержневі системи та їхні комбінації є широко розповсюдженими несучими конструктивними системами сучасних складних будівельних об'єктів різного призначення в звичайних та складних (70% території України) грунтових умовах. Це пояснюється їхньою високою міцністю, значною жорсткістю і порівняно малою вагою. Розвиток сучасних будівельних об'єктів характеризується збільшенням інтенсивності силових та деформаційних навантажень. У сполученні з прагненням до зниження матеріалоємності це приводить до розгляду проектних рішень, які в процесі експлуатації допускають деформації і напруження у системах споруда-основа, що перевищують їх умовно пружні значення. У таких системах протікають процеси, характерні для нелінійних механічних систем, у яких в залежності від параметрів навантажень реалізуються принципово різні режими деформування. Процес деформування може супроводжуватися порушенням контакту споруди і основи, що приводить до різкої зміни просторової конфігурації статичного стану, що суттєво змінює традиційні уявлення про розподіл напружень і деформацій у системі.

Розглянутий клас об'єктів має суттєво просторовий характер роботи, особливо, при "екзотичних" режимах деформаційних навантажень у вигляді кривизни опуклості (увігнутості), ступінчатих деформацій земної поверхні. Тому дослідження виділеного класу об'єктів необхідно проводити в просторовій постановці.

Існуючі численні математичні моделі і методи аналізу споруд в складних ґрунтових умовах, як правило, реалізовані в рамках плоскої постановки. Ряд найважливіших для теорії і практики задач у просторовій постановці ще не вирішені, або отримані результати за спрощеними чисельними моделями, а також із застосуванням "домашинних" методів досліджень не можуть задовольняти сучасним вимогам точності результатів.

Створення сучасного математичного і програмного забезпечення автоматизованого проектування на основі універсальної, адекватної і ефективної математичної моделі, чисельного методу нелінійного аналізу складних просторових систем споруд на деформованій основі, що забезпечують суттєве уточнення існуючих моделей і методів аналізу, прийняття оптимальних проектних рішень, представляє серйозну і актуальну наукову проблему САПР об'єктів будівництва в складних ґрунтових умовах, що має важливе народногосподарське значення.

Зв'язок роботи з науковими програмами. Дослідження виконані відповідно до плану науково-дослідних робіт Київського національного університету будівництва і архітектури Міністерства освіти і науки України на 2002-2004 р., зокрема, по темі “Теорія і методи дослідження динамічних хвильових процесів деформування, механізмів руйнування та втрати стійкості просторових конструкцій” (номер державної реєстрації 0102U000928).

Мета і задачі досліджень. Мета роботи – створення, адекватної і ефективної математичної моделі, універсального методу нелінійного аналізу у складі сучасного програмного забезпечення САПР об'єктів будівництва в звичайних і складних ґрунтових умовах на основі методу скінченних елементів (МСЕ), суперелементів, шагового методу навантаження та методу оптимізації з єдиним законом деформування матеріалів конструкцій та ґрунтів; встановлення на основі чисельного аналізу у САПР загальних закономірностей деформування у всьому діапазоні силових і деформаційних навантажень у процесі зведення, експлуатації і реконструкції об'єктів для отримання оптимальних проектних рішень.

Досягнення мети здійснюється розв’язанням наступних основних задач:

- створення універсальної, ефективної і адекватної математичної моделі у вигляді математичного забезпечення САПР просторової системи споруда-основа з єдиним законом деформування матеріалів конструкцій і ґрунтової основи у всьому діапазоні силових і деформаційних навантажень;

- розробка загального методу автоматизації нелінійного аналізу просторових систем споруда-основа у всьому діапазоні силових і деформаційних навантажень на основі теорії МСЕ, суперелементів, методу оптимізації і шагового методу послідовного навантаження;

- реалізація у вигляді алгоритмів та програм загального методу нелінійного аналізу просторової системи споруда-основа у складі сучасного програмного забезпечення САПР для проведення чисельних досліджень і вирішення практичних задач оптимального проектування, безпеки зведення, експлуатації і реконструкції споруд у звичайних і складних ґрунтових умовах;

- обґрунтування достовірності запропонованої математичної моделі та загального методу автоматизації нелінійного розрахунку на основі розв’язання ряду тестових задач і проведення комплексу чисельних досліджень експериментальної споруди при нерівномірних деформаціях земної поверхні;

- встановлення на основі чисельних досліджень загальних закономірностей розподілу напружень і деформацій у системі споруда-основа при впливі нерівномірних деформацій земної поверхні в складних ґрунтових умовах у процесі зведення, експлуатації і реконструкції для отримання оптимальних проектних рішень;

- реалізація результатів досліджень у нормативних документах, навчальному процесі, при автоматизованому проектуванні об'єктів будівництва у звичайних і складних ґрунтових умовах.

Об'єктом дослідження є автоматизація проектування споруд складної просторової структури при взаємодії з нерівномірно-деформованою основою в звичайних та складних ґрунтових умовах у всьому діапазоні силових та деформаційних навантажень при їх зведенні, експлуатації та реконструкції.

Предмет дослідження: математичне моделювання, чисельний аналіз і синтез проектних рішень на основі математичного та програмного забезпечення САПР складних об’єктів будівництва у звичайних і складних ґрунтових умовах.

Методи дослідження. Створений і реалізований у складі програмного забезпечення САПР загальний метод автоматизації нелінійного розрахунку складної просторової системи об'єкта в складних режимах силових і деформаційних навантаженнях базується на застосуванні теорії МСЕ для визначення компонентів напружено-деформованого стану (НДС) системи на кожнім етапі навантажень, методу послідовного навантаження для розв’язання нелінійної задачі і методу оптимізації для отримання оптимальних проектних рішень.

Наукова новизна одержаних результатів:

- вперше запропонована і створена у рамках вирішення проблеми САПР нова універсальна, адекватна і ефективна математична модель нелінійного деформування складних просторових систем споруд на основі єдиного експонентного закону деформування матеріалів конструкцій і грунта;

- створено у складі сучасного програмного забезпечення САПР загальний метод автоматизації нелінійного розрахунку на основі методу скінченних елементів, суперелементів і методу послідовного навантаження складних просторових систем споруд із застосуванням критеріальних параметрів, що повною мірою характеризують особливий стан і еволюцію статичного процесу у всьому діапазоні силових і деформаційних навантажень;

- на основі отриманих нових результатів комплексу чисельних досліджень виявлено суттєві ефекти при врахуванні фактора нелінійності взаємодії споруди і основи на якісні і кількісні оцінки параметрів, що дозволяє багаторазово знижувати напруження в системі і давати вичерпний прогноз змін структури статичних станів у всьому діапазоні навантажень;

- встановлено загальні закономірності розподілу напружень і деформацій у просторовій системі споруда-основа при різних комбінаціях моделей і режимів навантажень, що дозволяє отримати оптимальні проектні рішення.

Практичне значення одержаних результатів. Практична цінність роботи полягає у використанні результатів виконаних досліджень:

- у проектних та науково-дослідних інститутах для автоматизованого проектування, чисельного аналізу та обґрунтування безпеки зведення, експлуатації і реконструкції споруд у звичайних і складних ґрунтових умовах України та зарубіжжя. Зокрема, при вирівнюванні автоматизованими домкратними системами житлових споруд: 14-ти поверхової у Москві, 9-ти поверхових у Тбілісі та Катовіце;

- у навчальному процесі для автоматизованого проектування будівельних об'єктів у складних ґрунтових умовах України та зарубіжжя із застосуванням створеного програмного забезпечення САПР на основі програмного комплексу (ПК) ЛІРА;

- при розробці програмного забезпечення САПР, зокрема, при реалізації загального методу нелінійного розрахунку у вигляді алгоритмів та програм ПК ЛІРА, що застосовується численними вітчизняними і зарубіжними організаціями;

- при розробці нормативних документів, зокрема, “СНиП 2.01.09-91. Здания и сооружения на подрабатываемых территориях и просадочных грунтах”, “Методические указания по расчету и проектированию комплекса защитных мероприятий каркасных зданий, строящихся на просадочных грунтах”.

Особистий внесок здобувача полягає в створенні у складі математичного та програмного забезпечення САПР на основі ПК ЛІРА об’єктів будівництва у звичайних і складних ґрунтових умовах універсальних, адекватних і ефективних скінченноелементних та суперелементних моделей споруда-основа, як єдиних просторових систем, загального методу нелінійного аналізу і синтезу проектних рішень складних просторових систем споруд з єдиним експонентним законом деформування матеріалів конструкцій і ґрунтів на основі теорії МСЕ, суперелементів, методу оптимізації та шагового методу навантаження; проведенні комплексу чисельних досліджень і встановленні загальних закономірностей деформування систем у всьому діапазоні силових та деформаційних навантажень у процесі зведення, експлуатації та реконструкції.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися і схвалені на науково-технічному семінарі в Челябінському політехнічному інституті (Челябінськ, 1988); на міжнародних конференціях в університетах Польщі (Криніца, 1994; Щецін, 1996); на міжнародних семінарах в Науково-дослідному інституті механіки і прикладної математики Ростовського державного університету (Ростов-на-Дону, 1989, 1998); на міжнародному симпозіумі в Грузинському технічному університеті (Тбілісі, 2001); на міжнародній науково-технічній конференції Національного авіаційного університету (Київ, 2002); на науково-практичних конференціях Київського національного університету будівництва і архітектури (Київ, 2002,2003, 2004).

Публікації. Основні положення дисертації опубліковані в 28 статтях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, п'яти розділів, основних висновків, списку використаних джерел та додатка. Обсяг дисертації – 323 стор., у тому числі ілюстрації – 82 стор., таблиці – 2 стор., список використаних джерел з 295 найменувань – 29 стор.

Основний зміст роботи

У вступі обгрунтована актуальність, наукова новизна та практичне значення роботи, дана її загальна характеристика.

РОЗДІЛ 1 присвячений огляду робіт по темі дисертаційної роботи і аналізу стану проблеми математичного моделювання, чисельного аналізу у САПР об’єктів будівництва в звичайних і складних грунтових умовах.

В теорії математичного моделювання основ споруд існують три основні напрямки.

Перший напрямок характеризується застосуванням методів аналізу несучих систем споруд, що базуються на моделі Фусса-Вінклера. Спосіб коефіцієнта постелі був детально розроблений у роботах С.П. Тимошенко, П.Л. Пастернака, Н.Л. Пузиревського, А.Н. Крилова, А.А. Уманського, В.А. Кисильова та ін. Завдяки відносній простоті розв’язань задач, основаних на гіпотезі Вінклера, вона знайшла особливо широке застосування в світовій практиці, а також у нашій країні в розрахунках конструкцій споруд на деформованій основі.

Другий напрямок характеризується застосуванням методів аналізу несучих систем споруд, що базуються на моделях пружного півпростору і комбінованих моделей поверхні основи. Спостереження за деформаціями ґрунтової основи показали, що осідання відбувається не тільки в навантаженому місці, але і поруч з ним. З цією метою була запропонована Г.Е. Проктором гіпотеза пружної напівплощини і пружного півпростору, яка одержала широке поширення тому, що математичний апарат для неї був добре розроблений раніше в теорії пружності. Н.М. Герсеванов, В.А. Флорин, Б.Н. Жемочкін, В.І. Кузнецов, М.І. Горбунов-Посадов і ін. внесли суттєвий вклад у розробку нової теорії розрахунку конструкцій на пружній основі. М.І. Горбуновим-Посадовим, О.Я Шехтером, К.Е. Єгоровим та ін. розвинута модель пружного шару. Ця модель, як правило, дає кращий збіг чисельних і експериментальних даних у порівнянні з моделлю півпростору, в тому випадку, коли найбільш деформованим є тонкий поверхневий шар ґрунту. Однак, через те, що модель пружного півпростору суттєво перебільшує розподільну здатність ґрунту і експериментами не підтверджується П.Л.Пастернаком, М.М.Філоненко-Бородичем та ін. запропоновані комбіновані моделі ґрунтової основи, що дають проміжний результат між розрахунками за гіпотезами Вінклера і пружного півпростору.

Третій напрямок характеризується застосуванням методів аналізу несучих систем споруд, що базуються на уточнених моделях поверхні основи з урахуванням нелінійних деформацій грунтів, які виникають при значних вертикальних і горизонтальних переміщення земної поверхні, характерних для складних ґрунтових умов. В результаті теоретичних та унікальних експериментальних досліджень споруд у складних грунтових умовах С.М. Клєпіковим суттєво розвинута модель Вінклера, на основі якої запропонована модель перемінного коефіцієнта жорсткості з застосуванням гіперболічного закону деформування поверхні основи, методу скінченних різниць і методу послідовних наближень для розв’язання контактних задач взаємодії конструкцій споруд з основою.

Математичні моделі деформування матеріалів конструкцій, зокрема, бетону і залізобетону почали активно розроблятися стосовно до скінченноелементного підходу для аналізу сучасних об'єктів різного призначення. Способи моделювання утворення тріщин при скінченноелементному аналізі, запропоновані різними авторами, можна розділити на дві групи. До першої групи відносяться дискретні моделі, в яких утворення тріщин фіксується на границях між скінченними елементами. Цей спосіб зв'язаний з необхідністю перенумерації вузлів після утворення тріщин і пошуку на кожнім кроці розрахунку відповідної схеми розчленовування конструкцій на скінченні елементи. До другої групи відносяться більш ефективні інтегральні моделі, у яких тріщина розглядається в тілі скінченного елемента. Аналіз розвитку теорій бетону і залізобетону показує, що завдяки ефективності, найбільше застосування мають інтегральні моделі, в тому числі моделі Карпенко Н.І. для просторових стержневих, пластинчастих і масивних конструкцій і моделі Генієва Г.А., що описують поводження матеріалів конструкцій з позицій теорії пластичності для загального випадку трьохосьового напруженого стану. В роботах Баженова В.А., Гуляра А.И., Козака А.Л., Сахарова А.С. на основі узагальнення теорії Н.І. Карпенко запропоновано моментну теорію деформування бетону і залізобетону з тріщинами з хорошим узгодженням отриманих результатів з експериментальними даними у всьому діапазоні трьохосьового напруженого стану.

Аналіз розвитку чисельних методів розрахунку просторових несучих систем споруд на деформованій основі дозволяє виділити два основних напрямки: чисельне моделювання несучих конструктивних систем споруд без врахування та з врахуванням деформованої основи з використанням відповідно роздільного і спільного методів розрахунку. У випадках, коли величини нерівномірності деформацій основи не перевищують граничних нормативних значень, у практиці проектування застосовується роздільний метод розрахунку. Однак, встановлені нормами граничні величини деформацій основи є не досить обґрунтованими і тому мають обмежену область застосування. Для виконання роздільних і спільних розрахунків споруд на деформованій основі широке застосування одержав метод скінченних елементів і суперелементів. МСЕ сполучає у собі переваги варіаційних і різницевих методів із гнучкістю одержання дискретних моделей інваріантних стосовно будь-якої системи координат і ефективно реалізується на сучасних персональних комп'ютерах. Ідея апроксимації континуальної області дискретними елементами належить Л. Ейлеру і М. Пуасону, яка одержала розвиток в основних роботах Р. Куранта, В. Прагера, Д. Аргіріса, О. Зенкевича, Р. Клафа та ін. У розвиток МСЕ вагомий вклад внесли роботи: А.В. Александрова, В.А. Баженова, П.М. Варвака, О.С. Городецького, Є.О. Гоцуляка, О.І. Гуляра, Є.С Дєхтярюка, В.С. Дейнека, І.Д. Євзєрова, В.В. Киричевського, В.Н. Кислоокого, В.Г. Корнєєва, А.І. Лантух-Лященко, Ю.І. Немчинова, В.Г. Піскунова, В.А. Постнова, О.О. Расказова, Л.А. Розіна, О.С. Сахарова, І.В. Сергієнко, О.Л. Синявського, І.Я. Хархуріма, Н.Н. Шапошнікова та інших.

Становленню та розвитку САПР об’єктів будівництва присвячені наукові праці В.А. Баженова, Д.В. Вайнберга, О.С. Городецького, Є.О. Гоцуляка, В.М. Глушкова, Л.Г. Дмітрієва, В.С. Дейнека, В.В. Киричевського, В.Н. Кислоокого, В.Г. Кобієва, А.І. Козачевського, А.І. Лантух-Лященко, П.П. Лізунова, Ю.І. Немчинова, В.І. Скуріхіна, І.В. Сергієнко, П.М. Сосіса, О.Л. Синявського, В.С. Шмуклера та інших.

Узагальнюючи огляд фундаментальних робіт, присвячених створенню комп’ютерних технологій розрахунку і проектування об’єктів будівництва, слід зазначити суттєвий вклад відомих Київських шкіл:

- Д.В. Вайнберга (В.А. Баженов, Є.О. Гоцуляк, О.І. Гуляр, Є.С Дєхтярюк, О.Л. Синявський, О.С. Сахаров, В.Н. Кислоокий, В.В. Киричевський, В.Г. Кобієв та інші), де створена автоматизована система ПРОЧНОСТЬ для дослідження і проектування будівельних та машинобудівельних конструкцій;

- П.М. Сосіса (О.С. Городецький, Г.Б. Гільман, І.Д. Глікін, Л.Г.Дмітрієв та інші). Сучасна школа САПР заснована О.С. Городецьким, у якій створені інтелектуальні програмні комплекси МОНОМАХ, ЛІРА для розрахунку та проектування будівельних об’єктів широкого призначення;

- І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека (Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова), де за участю їх учнів створені математичне забезпечення та програмні комплекси NDS, НАДРА, ПЕОМ-Кластер для дослідження НДС ґрунтового масиву, просторового руху рідини в ґрунтовому середовищі на суперкоп’ютері із тридцяти двома 32-х розрядними процесорами для реалізації інформаційних технологій (СКІТ). Створено комплекс програм для розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь великих порядків (більше 0,5 мільйона невідомих) із симетричними матрицями у послідовно-паралельному режимі.

Розгляд загального стану зазначеної проблеми створення сучасних інформаційних технологій розрахунку і проектування об’єктів будівництва показує, що у переважній більшості опублікованих робіт комп’ютерний аналіз просторових систем споруд у складних грунтових умовах здійснюється, як правило, в спрощеній пружній постановці, або в плоскій нелінійно-пружній постановці. Практично відсутні публікації, зв'язані із створенням комп’ютерних технологій нелінійного аналізу та проектування просторових систем споруд у складних ґрунтових умовах з урахуванням всього комплексу найважливіших факторів: фізичної нелінійності матеріалів конструкцій та ґрунтового масиву, порушення контакту споруди і основи у процесі зведення, експлуатації та реконструкції аварійних споруд.

На основі аналізу стану проблеми визначені мета і задачі досліджень.

РОЗДІЛ 2 присвячений створенню універсальної математичної моделі системи споруда-основа (рис.2.1) на основі теорії МСЕ та суперелементів для чисельного аналізу у САПР статичних процесів фізично-нелінійного деформування складних просторових систем споруд при силових та деформаційних навантаженнях із застосуванням запропонованого і обґрунтованого єдиного експонентного закону деформування конструкційних матеріалів і ґрунту, який використовується при лінеаризації фізично нелінійної задачі.

Рис. 2.1. Схема об’єкта дослідження:

1 – просторова система споруди; 2 – закони деформування земної поверхні; 3 – вертикалі геологічного розрізу; 4 – пласт на глибині ~1000 м; 5 – виробка; 6,7,…,n – шари ґрунтової основи

Побудова вирішального рівняння МСЕ (рис.2.2) для системи споруда-основа із застосуванням класичного варіаційного принципу Лагранжа.

Повна потенціальна енергія просторової системи споруда-основа:

, (2.1)

де - потенціал деформації; - потенціал зовнішніх сил.

З умови мінімуму функціонала повної потенціальної енергії системи визначаються невідомі ступені свободи:

; . (2.2)

Після диференціювання функції багатьох змінних система алгебраїчних рівнянь у матричних символах має вигляд:

, (2.3)

де - матриця жорсткості системи споруда-основа; - вектор ступенів свободи системи; - вектор зовнішніх сил системи (вага споруди, вплив від нерівномірних деформацій земної поверхні).

Дискретизація скінченними елементами (СЕ) системи споруда-основа приводить до наступного виразу:

. (2.4)

Вирішальне рівняння рівноваги системи споруда-основа:

, (2.5)

з якого випливає:

, . (2.6)

З принципу можливих переміщень елемент матриці жорсткості r-го СЕ: . Форма переміщень по області r-го СЕ: . Апроксимуючий поліном розподілу переміщень відповідає -й ступені свободи. Компоненти НДС -го СЕ: ; ; ,

де - матриця апроксимуючих функцій переміщень -го СЕ.

Дискретизація суперелементами (ССЕ) системи споруда-основа дозволяє представити схему побудови вирішального рівняння аналогічно СЕ за виключенням побудови матриці жорсткості і вектора вузлових навантажень ССЕ, які визначаються не в явному вигляді як для СЕ, а в результаті чисельного розрахунку і побудови апроксимуючих функцій ССЕ .

Розглядаючи ССЕ як СЕ, для яких матриця жорсткості будується не аналітично, а за допомогою чисельного розрахунку, можна застосувати дві схеми побудови матриці жорсткості.

Схема 1 побудови матриці жорсткості ССЕ полягає в тім, що на супервузли розглянутої підсистеми накладаються в’язі, а елементи матриці жорсткості визначаються як реакції в цих в’язях від послідовних одиничних переміщень. Для ССЕ побудова матриці жорсткості і вектора вузлових навантажень виконується як для звичайного СЕ з підстановкою замість .

Схема 2 побудови матриці жорсткості ССЕ, яка реалізована в ПК ЛІРА, базується на виключенні по Гаусу невідомих внутрішніх вузлів ССЕ. Частина, що залишилася, не виключених невідомих відповідних супервузлів, буде матрицею жорсткості ССЕ.

Вирішальне рівняння рівноваги для ССЕ описується по аналогії з СЕ в звичайній компактній формі:

, (2.7)

де - матриця жорсткості ССЕ; - вектор невідомих зовнішніх вузлів ССЕ; - вектор зовнішніх навантажень ССЕ.

Рис. 2.2. Загальна схема автоматизації розрахунку системи споруда-основа

методом скінченних елементів та суперелементів

Апроксимація багатошарового ґрунтового масиву моделлю поверхні основи споруди в умовах просторового навантаження. У загальному випадку (рис.2.1, 2.3) при дії вертикальних і горизонтальних навантажень , реакції основи в кожній точці (x, y) контакту основи з спорудою представимо у вигляді контактних нормальних і дотичних напружень , :

;;; (2.8)

де w, u, v - спільні деформації основи і споруди у вигляді переміщень: вертикального - по осі z, горизонтальних - по осях x, y ; ,, - відповідно коефіцієнти жорсткості поверхні основи при стиску по напрямку осі z і зсуві по напрямках осей x, y, які визначаються на основі очікуваних осадок w (s) і горизонтальних переміщень u і v поверхні багатошарового ґрунтового масиву на контакті з спорудою для кожної вертикалі геологічного розрізу.

Рис. 2.3. Модель поверхні основи

Для отримання законів розподілу зазначених контактних напружень по підошві споруди запропонована просторова скінченноелементна модель поверхні основи (рис.2.3), що дозволяє замінити багатошаровий ґрунтовий масив. Для визначення вищезазначених вертикальних (w) і горизонтальних (u, v) переміщень існують наступні методи.

1. Теоретичний метод, заснований на розрахунку для кожної вертикалі геологічного розрізу осадок одним зі способів механіки ґрунтів, методом пошарового підсумовування, результати яких збігаються з даними натурних спостережень за осадками споруд.

2. Експериментальний метод випробовувань ґрунту штампами в умовах природного залягання застосовується для одержання фізико-механічних властивостей ґрунтів і визначення осадки штампа при дії рівномірно розподіленого навантаження.

3. Метод натурних випробовувань ґрунтів, заснований на експериментальному вдавленні фундаментів споруд у ґрунт в умовах природного залягання, площі і розміри яких практично збігаються з розмірами запроектованих фундаментів споруд.

В рамках дослідження для побудови фізично-нелінійної просторової моделі поверхні основи вперше запропоновані і обгрунтовані дотичні коефіцієнти жорсткості основи ,, при дії вертикальних і горизонтальних , навантажень на основі експонентних діаграм деформування поверхні грунту.

Фізично нелінійний СЕ поверхні основи споруди в умовах просторового навантаження із запропонованим експонентним законом деформування грунту.

Для побудови вирішального рівняння фізично нелінійного СЕ поверхні основи споруди в умовах просторового навантаження (рис.2.4) при дії вертикальних та горизонтальних навантажень ,, (силових), ,, (деформаційних) з урахуванням запропонованих експонентних діаграм деформування ґрунту при стиску в напрямку Z і зсуві в напрямках X, Y (рис.2.5) розглянемо статичну, геометричну і фізичну сторони задачі та їхній синтез:

Статичні рівняння: ; ; .

Геометричні рівняння: ; ; .

Фізичні рівняння: ; ; .

Нелінійні функції, , запропоновані у вигляді (рис.2.5).

Рис. 2.4. Схема СЕ поверхні основи

Лінеаризація нелінійних рівнянь виконується шаговим методом навантаження. У випадку приростів навантажень на нескінченно малі величини , , , розкладаючи в ряд Тейлора функції ,, , виключаючи члени вищих порядків малості, отримаємо лінеаризовані рівняння:

(2.9)

де

а) б)

Рис. 2.5. Експонентні діаграми при стиску (а) і зсуві (б) поверхні основи

З огляду на те, що , , , дотичні коефіцієнти жорсткості поверхні основи дорівнюють:

- при стиску в діапазоні , :

; (2.10)

- при зсуві в діапазоні , :

; (2.11)

- при зсуві в діапазоні ,:

. (2.12)

Тоді вираз для обчислення дотичних жорсткістних характеристик поверхні основи можна записати, як

(2.13)

де – площа СЕ поверхні основи на контакті з фундаментом (рис. 2.4).

Дотичні жорсткістні характеристики , , обчислюються на кожнім m кроці послідовного навантаження за значеннями дотичних коефіцієнтів жорсткості, що визначаються по отриманих з попереднього m-1 кроку розрахунку сумарних деформаціях , , .

Напружено-деформований стан СЕ поверхні основи споруди на m етапі навантаження визначається МСЕ у переміщеннях.

Повна потенціальна енергія поверхні основи споруди:

, (2.14)

де n – число СЕ, на які розчленована область поверхні основи споруди.

Повна потенціальна енергія r-го СЕ поверхні основи на m етапі навантаження:

(2.15)

Вирішальне рівняння у приростах r-го СЕ поверхні основи споруди в матричному вигляді:

, (2.16)

де - матриця жорсткості r-го СЕ поверхні основи споруди;

= ( ) - вектор приростів вузлових переміщень;

= ( ) -вектор приростів вузлових реакцій.

Фізично нелінійний СЕ стержневих систем в умовах просторового навантаження із запропонованим експонентним законом деформування матеріалів конструкцій. Вирішальне рівняння фізично нелінійного СЕ стержня (рис.2.6) в умовах просторового навантаження з урахуванням запропонованих і обгрунтованих експонентних діаграм (рис.2.7) для матеріалів стержневих конструкцій отримаємо на основі наступної схеми, вперше використовуваної в дослідженнях О.С. Городецького.

Рис. 2.6. Схема СЕ стержня

Статичні рівняння:;

;.(2.17)

Геометричні:;.

Фізичні рівняння:;.

Нелінійні функції у вигляді експонентних діаграм :

- при стиску і розтягуванні бетону :

(2.18)

в діапазоні напружень і деформацій:; ;

- при стиску і розтягуванні арматури:

; (2.19)

в діапазоні напружень і деформацій: ; .

Рис. 2.7. Експонентні діаграми бетону й арматури

Лінеаризація нелінійних рівнянь виконується шаговим методом навантаження. У випадку приросту навантажень на нескінченно малі величини , , функції , розкладаються в ряд Тейлора. Виключаючи вищі степені приросту деформацій, як чисел вищого порядку малості, лінеаризовані рівняння мають вигляд:

; (2.20)

; (2.21)

(2.22)

Вирази для обчислення інтегральних жорсткістних характеристик:

; (2.23)

; (2.24)

.(2.25)

У рівняннях (2.23-2.25) дотичні модулі деформацій:

- бетону при одноосьовому стиску і розтягуванні :

; (2.26)

; (2.27)

- арматури при стиску і розтягуванні :

; (2.28)

. (2.29)

Дотичні жорсткістні характеристики , , , , , обчислюються на кожному m кроці навантаження для перерізів, розташованих у точках інтегрування по довжині стержня, за значеннями дотичних модулів деформації , у дискретних точках поперечного перерізу відповідно до заданої сітки дискретизації перерізів. Поточні значення дотичних модулів деформації , у точці визначаються на основі гіпотези плоских перерізів по отриманій з попереднього m-1 кроку розрахунку сумарній деформації в точці по експонентних діаграмах для бетону й арматури (рис.2.7).

Напружено-деформований стан СЕ стержня на m етапі навантаження визначається МСЕ у переміщеннях.

Повна потенціальна енергія стержневої системи споруди:

, (2.30)

де n – число СЕ, на які розчленована область стержневої системи споруди.

Повна потенціальна енергія r-го СЕ стержня на m етапі навантаження:

(2.31)

.

Апроксимуючі функції переміщень , , визначаються в результаті розв’язанням системи лінеаризованих рівнянь (2.20-2.22) відносно .

Вирішальне рівняння у приростах r-го СЕ стержня в умовах просторового навантаження у матричному вигляді можна записати як

, (2.32)

де - матриця жорсткості r - го СЕ стержня;

= ( ) - вектор приростів вузлових лінійних і кутових переміщень r-го СЕ стержня;

= () – вектор приростів вузлових реакцій r-го СЕ стержня.

Фізично нелінійний СЕ пластинчатих систем в умовах плоского напруженого стану і згину із запропонованим експонентним законом деформування матеріалів конструкцій. Вирішальне рівняння фізично нелінійного СЕ тонкої пластини (рис.2.8) в умовах плоского напруженого стану і згину з урахуванням запропонованих експонентних діаграм для матеріалів пластинчатих конструкцій (рис.2.7) отримаємо на основі схеми, використовуваної у дослідженнях О.С. Городецького, В.С. Здоренко.

Рис. 2.8. Схема СЕ пластини

Статичні рівняння:

- плоский напружений стан (балка-стінка)

(2.33)

- згин (плита)

(2.34)

Геометричні рівняння:

(2.35)

Фізичні рівняння:

(2.36)

де - нелінійні функції деформування матеріалів СЕ пластини.

Лінеаризація нелінійних рівнянь виконується шаговим методом навантаження.

У випадку приросту навантажень на нескінченно малі величини фізичні рівняння мають вигляд

(2.37)

Розкладаючи функції в ряд Тейлора, на основі найпростіших перетворень, виключаючи члени вищих порядків малості, отримуємо вирази для лінеаризованих рівнянь:

(2.38)

,

де ,…,-дотичні жорсткістні характеристики СЕ пластини на m ступіні навантаження, що обчислюються по отриманих деформаціях після m-1 ступеня навантаження з урахуванням наступних умов: СЕ пластини розділяється по товщині на n шарів, що знаходяться в плосконапруженому стані; величини відносних деформацій і напружень постійні по висоті шару; значення коефіцієнтів ,…, приймаються постійними по висоті шару і визначаються на основі інваріантості виразу потенціальної енергії; значення коефіцієнтів ,…, визначаються в залежності від НДС на головних площадках.

Напружено-деформований стан СЕ пластини на m ступіні навантаження визначається МСЕ у переміщеннях. Потенціальна енергія пластинчастої системи в умовах плоского напруженого стану і згину:

, (2.39)

де n – число СЕ, на які розчленована область пластинчастої системи споруди.

Потенціальна енергія r-го СЕ пластини відносно головних площадок:

. (2.40)

Зв'язок між деформаціями і напруженнями матеріалу в осях локальної ортотропії, що співпадають з напрямком головних площадок:

(2.41)

де , - напруження на головних площадках; , - деформації на площадках, уздовж яких діють головні нормальні напруження;

;(2.42)

; (2.43)

; (2.44)

, - площа арматури на погонну одиницю уздовж осей ;

- дотичні модулі деформації бетону й арматури, відповідно на першій і другій головних площадках, що визначаються на основі діаграм для бетону й арматури (рис.2.7) у припущенні як для одноосьового напруженого стану.

Апроксимуючі функції переміщень по області прямокутного 4-х вузлового СЕ

- для плоского напруженого стану – у вигляді полілінійних законів, що еквівалентно гіпотезі про лінійний розподіл переміщень уздовж координатних осей

; ; (2.45)

- для згину - у вигляді неповного полінома 4-й степені від двох змінних (аналогічно СЕ Клафа)

. (2.46)

Вирішальне рівняння у приростах r-го СЕ пластини в умовах плоского напруженого стану і згину має вигляд:

, (2.47)

де - матриця жорсткості r-го СЕ пластини;

, - вектор приростів

вузлових лінійних і кутових переміщень r - го СЕ пластини;

,-

вектор приростів вузлових реакцій r-го СЕ пластини.

РОЗДІЛ 3 присвячений створенню загального методу нелінійного аналізу у САПР просторових систем споруд в складних грунтових умовах (рис. 3.1).

Запропонований загальний метод нелінійного аналізу дозволяє простежити дійсне поводження системи у всьому діапазоні навантаження, починаючи з ненавантаженого стану, включаючи стан нелінійного деформування матеріалів конструкцій і ґрунту і завершуючи процес навантаження руйнуванням системи. При цьому величина руйнівного навантаження визначається в процесі нелінійного розрахунку на основі прийнятих критеріїв руйнування по досягненню граничних деформацій або граничних напружень в елементах системи.

Універсальний алгоритм розв’язання фізично нелінійної задачі. Розв’язання нелінійної задачі виконується шаговим методом навантаження. Для визначення компонентів НДС системи на кожному ступіні навантаження використовується МСЕ у переміщеннях.

Схема методу послідовного навантаження. Призначається число видів навантажень і число ступенів навантаження для кожного -го виду навантаження.

Установлюються закони навантаження і визначаються прирости вузлових навантажень для кожного -го виду навантаження . При рівномірному навантаженні коефіцієнт навантаження .

Обчислюються дотичні жорсткістні характеристики і на їхній основі коефіцієнти матриці жорсткості r-го СЕ , що відповідають .

Підсумовуючи відповідні коефіцієнти, будується .

Визначаються прирости ступенів свободи з вирішального рівняння МСЕ системи споруда-основа на ступіні m-го виду навантаження:

. (3.1)

По отриманим визначаються прирости компонентів НДС СЕ: , .

Визначаються сумарні значення компонентів НДС системи після ступеня навантаження:

. (3.2)

Оптимізація просторових систем споруд при багатьох навантаженнях.

Задача оптимального армування перетинів стержневих систем споруд від дії багатьох навантажень у загальному випадку розрахунку по міцності у термінах математичного програмування формулюється в такий спосіб:

Мінімізувати лінійну форму об'єму (вартості) арматури

, (3.3)

при нелінійних обмеженнях умов міцності від навантаження S:

; (3.4)

конструктивних обмеженнях площ i-тої ділянки армування .

, (3.5)

Лінеаризовані умови міцності можна записати у вигляді:

; (3.6)

Формування виразів (3.6) дозволяє сформулювати задачу лінійного програмування, як кроку оптимізації армування від дії декількох розрахункових комбінацій зусиль. Задача оптимального армування на кожнім кроці оптимізації зводиться до розв’язання наступної задачі лінійного програмування.

Максимізувати функцію зменшення об'єму (вартості) арматури

(3.7)

при лінійних обмеженнях умов міцності

; (3.8)

і конструктивними обмеженнях . (3.9)

Нерівності (3.8) - (3.9) у матричному вигляді:

, (3.10)

де А - матриця, що складається з коефіцієнтів при приростах .

B - вектор елементів ; С - вектор обмежень, що включає елементи:

, , .

За допомогою симплекс-методу на к кроці оптимізації розв’язується нерівність (3.10) і визначаються приріст площі . У результаті оптимізації визначаються нові значення площі арматури по формулі. .

Значення є вихідними для наступного к+1 кроку оптимізації.

Процес оптимізації закінчується за умови .

Рис. 3.1. САПР об’єктів будівництва на основі ПК ЛІРА

РОЗДІЛ 4 присвячений обгрунтуванню адекватності математичної моделі та загального методу автоматизації нелінійного розрахунку систем споруда-основа на основі зіставлення даних чисельних досліджень з результатами відомих вітчизняних і зарубіжних експериментальних досліджень нелінійного деформування стержнів, пластин, ґрунтів і натурних випробовувань споруд.

Стержневі системи. Розрахункові моделі експериментальних зразків побудовані на основі фізично нелінійних 2-х вузлових СЕ стержня із застосуванням експонентних діаграм деформування бетону й арматури при стиску і розтягуванні і рівномірних законів навантаження. В якості параметрів діаграм прийняті нижчеподані експериментальні дані.

Балки. Серія 2. Зразки Б2, Б2P (експерименти Зайцева). Вихідні експериментальні дані (рис.4.1.): L = 3м; b = 0.15м; h = 0.4м Кубікова міцність бетону R=44.5 МПа. Eb = 26600 МПа. As = 7.9см2; As = 3.28см2. Rs = 750 МПа; Rsc=402 МПа; Es = 210000 МПа. Навантаження зосереджене. Граничні умови: опори защемлені (для зразка Б2 на одній опорі дозволене лінійне переміщення уздовж осі Х).

а) б)

Рис. 4.1.Схема (а), прогини (б) балки:

В2 Л - лінійний розрахунок; В2 Н – нелінійний; B2 O, B2P O - експеримент

Пластинчаті системи. Розрахункові моделі експериментальних зразків побудовані на основі фізично нелінійних прямокутних 4-х вузлових СЕ тонкої пластини із застосуванням експонентних діаграм деформування бетону й арматури при стиску і розтягуванні. За параметри діаграм прийняті нижченаведені експериментальні дані. Закони навантаження: рівномірні.

Балка-стінка. Зразок 103 (експерименти Нільсона). Вихідні експериментальні дані (рис.4.2): L = 2м; H = 1м; h = 0.08м. Кубікова міцність бетону R=44.5 МПа. Крок арматурних стержнів sx = sz = 10см, fax = faz = 0.0282см. Rs = 680 МПа, Rsc = 410 МПа. Es = 210000 МПа, навантаження зосереджене. Граничні умови: шарнірні опори.

Плити. Зразки 825-827 (експерименти Баха і Графа). Вихідні експериментальні дані (рис.4.3): a = b = 2м; h = 0.122м. Кубікова міцність бетону R=26.5 МПа, крок арматурних стержнів на нижній поверхні плити sx = sy = 10см, fax = fay = 0.0407см, Rs = 592.9 МПа, Rsc = 408 МПа. Навантаження у вигляді 16 вантажів рівномірно розподілених по полю плити. Граничні умови: шарнірні опори на контурі плити.

Деформування основних видів грунтів (рис.4.4. ) в умовах штампових випробовувань при вертикальних навантаженнях (експерименти Клєпікова).

а) б) в)

Рис. 4.2. Схеми розвитку розрахунокових (а), експериментальних (б)

тріщин та прогини (в) балки-стінки 103:

Л - лінійний розрахунок; Н – нелінійний; О - експеримент

а) б)

Рис. 4.3. Схема (а), прогини (б) плит 825-827:

Л - лінійний розрахунок; Н – нелінійний; О - експеримент

а) б)

Рис. 4.4. Діаграми деформування пісків (а), супісі (б):

експонентна (…), гіперболічна (---), експериментальна (-)

РОЗДІЛ 5 . Можливості запропонованого загального методу чисельного аналізу у САПР розглянутих класів об'єктів ілюструються шляхом розв’язання ряду складних практично важливих задач автоматизованого проектування. До їхнього числа відносяться чисельні дослідження 9-ти поверхової експериментальної споруди на підроблюваних територіях Донбасу та 14-ти поверхового аварійного жилого будинку, зведеного на слабих ґрунтах у Москві.

Загальна характеристика експериментальної 9-ти поверхової споруди серії 179, запроектованої КиївЗНДІЕП за участю Донецького ПромбудНДІпроекта. Несуча просторова система споруди (рис.5.1, 5.2) довжиною 26.4 м утворена із системи подовжніх і поперечних несучих стін, об'єднаних дисками перекриттів. Висота поверху – 2.8 м, проліт перекриттів в осях – 5.7 м. По периметрі всіх стін споруди запроектовані поверхові залізобетонні пояси.

Для проведення комплексу чисельних досліджень побудовані наступні три комбінації чисельних просторових моделей експериментальної споруди при ступінчатих деформаціях земної поверхні (рис.5.1, 5.2): модель 1 лінійна споруда - лінійна основа; модель 2 лінійна споруда - нелінійна основа; модель 3 нелінійна споруда - нелінійна основа.

Лінійна просторова модель 1 побудована на основі наступних типів суперелементів з використанням пластинчатих СЕ в умовах плоского напруженого стану і вигину: суперелемент 1 підвалу; суперелемент