ОДЕСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ ЗВ’ЯЗКУ ім. О.С. ПОПОВА

Тимощук Павло Володимирович

УДK 621.396.6

РОЗВИТОК ТЕОРІЇ ТА МЕТОДІВ МОДЕЛЮВАННЯ ФУНКЦІОНАЛЬНИХ БЛОКІВ РАДІОТЕХНІЧНИХ СИСТЕМ НА ОСНОВІ НЕЯВНИХ ІНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

05.12.17 - радіотехнічні та телевізійні системи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

доктора технiчних наук

Одеса - 2005

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Національному університеті “Львівська політехніка” Міністерства освіти і науки України

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор

Парасочкін Володимир Олександрович,

Одеський національний політехнічний університет,

м. Одеса, завідувач кафедри “Радіоелектронні технології

та бізнес”

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Плотников Валерій Михайлович,

Одеська національна академія зв’язку

ім. О.С.Попова, м. Одеса, завідувач кафедри

“Теорія електричного зв’язку” ім. А.Г.Зюко

доктор технічних наук, професор

Колпаков Федір Федорович,

Національний аерокосмічний університет

ім. М.Є.Жуковського “Харківський авіаційний

інститут”, професор кафедри “Прийом, передача

та обробка сигналів”

доктор технічних наук, професор

Хаханов Володимир Іванович,

Харківський національний університет

радіоелектроніки,

декан факультету комп’ютерної інженерії

Провідна установа: Український науково-дослідний інститут зв’язку,

м. Київ.

Захист відбудеться 15.09.2005 р. о _10_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 41.816.02 в Одеській національній академії зв’язку ім. О.С.Попова: вул. Кузнечна, 1, ОНАЗ ім. О.С. Попова, 65029, м. Одеса.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Одеської національної академії зв’язку ім. О.С.Попова.

Автореферат розісланий 12.08.2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради, д.т.н., проф. Князєва Н.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблема побудови моделей для подальшого розв’язання задач синтезу є однією з головних, вивченням якої займаються у радіоелектроніці, теорії автоматичного керування, інформатиці, інформаційно-вимірювальній техніці та інших галузях науки. Велика різноманітність вимог, які ставляться у даний час до параметрiв та характеристик пристроїв радіотехнічних систем рiзного функцiонального призначення, необхідність підвищення якісних та кількісних показників функціонування аналогових та цифрових схем, широке впровадження САПР на базі ПЕОМ потребують розширення можливостей iснуючих та створення нових методів моделювання. Це необхiдно для проектування пристроїв радіотехнічних систем та їх аналізу у сучасних системах автоматизованого проектування таких, як PSPICE, Micro-Сap, System View та інших.

Розробленню методів побудови математичних та схемних моделей нелінійних систем присвячені численні роботи. Свій внесок у розвиток сучасної теорiї моделювання зробили багато вiтчизняних та зарубiжних вчених, зокрема Бобін В.В., Букашкін С.А., Верлань А.Ф., Данілов Л.В., Денбновецький С.В., Захарченко М.В., Івахненко А.Г., Ільїн В.Н., Камінскас В., Капалін В.І., Ланне А.А., Лесечко В.А., Лобур М.В., Матвійчук Я.М., Мельник А.С., Москалюк С.С., Ніколаєнко В.М., Парасочкін В.О., Петренко А.І., Писаренко Л.Д., Пупков К.А., Пухов Г.Є., Резниченко В.К., Рибін О.І., Рибін Ю.К., Романов В.В., Синицький Л.А., Сігорський В.П., Стахів П.Г., Степашко В.С., Трохименко Я.К., Хаханов В.І., Ющенко А.С., а також Л.Заде, Л.О.Чуа, Н.Вінер, Н.Рорер, Р.Калман, С. Директор, Ф.Такенс, Ч.Дезоер та інші, внаслідок чого у цій області досягнуто значних успіхів. На сьогоднішній день розроблено низку методів моделювання, кожен з яких має свою область застосувань. Однак у зв’язку зі складністю проблеми залишається багато задач, актуальних як для аналогової техніки, так і для цифрової обробки сигналiв, ефективність розв'язання яких у межах iснуючих наукових напрямiв є недостатньою. Сюди, зокрема, можна вiднести задачі проектування пристроїв прецизійного формування, перетворення та вимірювання параметрів низькочастотних сигналів радіотехнічних систем зокрема таких, як помножувачі та подільники частоти, фазообертачi та генератори гармонічних коливань з стабільною амплітудою, демодулятори АМ- та ЧМ-гармонічних сигналiв, нейронні мережі. При проектуванні вказаних пристроїв актуальним залишається підвищення точності, лінійності та стабільності їх функціонування, розширення динамічного діапазону та смуги робочих частот, підвищення швидкості обробки сигналів, спрощення схемних рішень.

Перелічені задачі можуть розв’язуватися на основі запропонованих у роботі теорії та методів побудови моделей аналогових і дискретних пристроїв радіотехнічних систем. В якості операторів для математичних моделей використовуються традиційні інтегро-диференційні рівняння, які представляються у загальному неявному вигляді та доповнюються додатковими логічними умовами. Для знаходження структури та параметрів таких рівнянь використовуються аналітичні, чисельно-аналітичні та чисельні методи. На основі інтегро-диференційних рівнянь шляхом дискретизації отримуються відповідні дискретні рівняння. За отриманими аналоговими та дискретними математичними моделями будуються відповідні структурно-функціональні схеми. Результати досліджень у цих напрямках можуть використовуватися при проектуванні елементів, вузлів та пристроїв радіотехнічних систем. Все це вказує на актуальність та доцільність виконання роботи, яка присвячена вдосконаленню теорії та методів моделювання пристроїв радіотехнічних систем на основі інтегро-диференційних рівнянь, для розвитку різних областей науки, а також відповідних галузей виробництва України.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася в 1992-2004 рр. у відповідності з госпдоговором між Національним університетом “Львівська політехніка” та ЗТТ АТ “Концерн-Електрон” (Засоби для оптимізації параметрів елементів систем супутникового телебачення) № 5836 від 1.06.1993р. (державний реєстраційний номер 0196U017796), госпдоговором між Національним університетом “Львівська політехніка” та ІТЦ АТ “Концерн-Електрон” (Засоби проектування та діагностики функціональних вузлів виробів телевізійної техніки) № 6092 від 18.01.1995р. (державний реєстраційний номер 0196U017831), а також згідно з грантом на виконання НДР Національної Ради з науково-технологічного розвитку Бразилії № 300.668/01-5 від 2001 року.

Мета й задачі дослідження. Метою роботи є вдосконалення теорії та методів побудови аналогових і дискретних структурно-функціональних схем блоків радіотехнічних систем, призначених для прецизійного формування, перетворення та вимірювання параметрів сигналів, які реалізуються в сучасній елементній базі, на основі побудови їх математичних моделей у вигляді неявних інтегро-диференційних та відповідних дискретних рівнянь. Для досягнення поставленої мети ставилися та розв’язувалися такі задачі:

Розроблення принципів побудови аналогових математичних моделей нелінійних електронних схем у вигляді неявних інтегро-диференційних рівнянь за заданими вхідними та вихідними часовими сигналами при наявності обмежень на значення похибок моделювання.

Отримання на основі побудованих аналогових математичних моделей відповідних дискретних моделей при заданих обмеженнях на значення похибок моделювання.

Створення на основі аналогових та дискретних математичних моделей відповідних структурно-функціональних схем, які реалізуються в сучасній елементній базі.

Розроблення аналогових та дискретних математичних моделей, а також відповідних структурно-функціональних схем прецизійних помножувачів і подільників частоти, фазообертачів та генераторів гармонічних коливань з стабілізованою амплітудою, демодуляторів АМ- та ЧМ- гармонічних сигналів.

Розроблення аналогової математичної моделі, а також відповідної нейронної структурно-функціональної схеми, призначеної для знаходження максимального за величиною з множини невідомих вхідних сигналів, яка є глобально стійкою і має вищу роздільну здатність, ніж існуючі аналоги.

Розроблення аналогових та дискретних математичних моделей, а також відповідних нейронних структурно-функціональних схем, призначених для ідентифікації найбільших за величиною з невідомих вхідних сигналів, де , які є глобально стійкими, простішими від існуючих аналогів і мають вищу швидкість обробки сигналів.

Об’єктом дослідження є процеси прецизійного формування, перетворення та вимірювання параметрів низькочастотних сигналів радіотехнічних систем.

Предметом дослідження є математичні моделі у вигляді неявних інтегро-диференційних і дискретних рівнянь, а також відповідні структурно-функціональні схеми прецизійних блоків радіотехнічних систем, зокрема, помножувачів та подільників частоти, фазообертачів і генераторів гармонічних коливань, демодуляторів АМ- та ЧМ- гармонічних сигналів, нейронних мереж.

Методи дослідження. При розв’язанні поставлених задач використовувалися чисельно-аналітичні методи побудови математичних моделей у вигляді інтегро-диференційних та відповідних дискретних рівнянь, застосовані для моделювання функціональних блоків радіотехнічних систем, чисельні методи розв’язування диференційних рівнянь, які дали можливість аналізувати побудовані моделі, методи дослідження стійкості диференційних рівнянь, що дали змогу стабілізувати вихідні сигнали отриманих моделей, методи синтезу нелінійних електронних схем, з допомогою яких побудовано на основі запропонованих моделей відповідні аналогові та дискретні структурно-функціональні схеми, які реалізуються в сучасній елементній базі, програма математичного моделювання Matlab, програма схемотехнічного моделювання електронних схем Micro-Cap та алгоритмічна мова програмування високого рівня Fortran, використані для дослідження отриманих математичних моделей та структурно-функціональних схем. Основні теоретичні розробки, рішення, висновки та рекомендації підтверджувалися теоретичним обгрунтуванням базових положень, аналітично, відповідністю теоретичних результатів і результатів чисельних експериментів, їх зв’язком з існуючими результатами, отриманими із застосуванням інших сучасних методів моделювання.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі отримані та сформульовані такі нові наукові результати:

- вперше запропоновано й обгрунтовано розв’язання проблем побудови аналогових та дискретних математичних моделей пристроїв радіотехнічних систем у виглядi неявних інтегро-диференцiйних та відповідних дискретних рiвнянь;

- побудовано нові аналогові та дискретні моделі помножувачів, подільників частоти та фазообертачів гармонічних коливань, які не потребують зміни параметрів при зміні амплітуди та частоти коливань;

- розроблено нові аналогові та дискретні моделі демодуляторів вузькосмугових АМ-гармонічних сигналів, які при зміні частоти вхідних сигналів для отримання огинаючої не потребують зміни параметрів;

- створено нові аналогові та дискретні моделі демодуляторів вузькосмугових ЧМ- гармонічних сигналів, які не потребують зміни параметрів для отримання повідомлення при зміні амплітуди вхідних сигналів;

- удосконалено аналогову та дискретну моделі стабілізації амплітуди генератора гармонічних коливань другого порядку, які є ефективнішими від аналогів при великих амплітудах та частотах коливань;

- розроблено нову аналогову модель нейронної схеми, що визначає максимальний з невідомих вхідних сигналів, яка, порівняно з аналогами, є глобально стійкою, надійною і має високу роздільну здатність відносно вхідних сигналів;

- створено нові аналогові та дискретні моделі нейронних схем, що визначають максимальних з невідомих вхідних сигналів, які є глобально стійкими, простішими від існуючих і мають вищу швидкодію.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблено алгоритми та відповідні структурно-функціональні схеми пристроїв радіотехнічних систем, зокрема, аналогових та дискретних помножувачів і подільників частоти, фазообертачів та генераторів гармонічних коливань з стабілізованою амплітудою, демодуляторів АМ- та ЧМ- гармонічних сигналів. Такі пристрої можуть використовуватися для прецизійного формування, перетворення та вимірювання параметрів низькочастотних сигналів, як основи радіотехнічних систем. Зокрема, це стосується радіотехнічних систем визначення координат, частотного вимірювання відстані, висоти та швидкості руху об’єктів, радіовимірювальних фазових систем та глобальних систем радіовизначення, синхронізації цифрових систем зв’язку, систем, пов’язаних з використанням фазованих антенних решіток, систем ущільнення та канальної модуляції, контролю параметрів ЧМ-сигналів, вимірювання фізико-хімічних параметрів речовин за їх частотними характеристиками. Запропоновані алгоритми та структурно-функціональні схеми нейронних мереж можуть застосовуватися у системах обробки сигналів, розпізнавання та класифікації зображень, у телекомунікаційних системах, при конструюванні мікросхем великої інтеграції. Отримані засоби дозволяють створювати за заданими множинами вхідних та вихідних часових сигналів нові аналогові та дискретні пристрої радіотехнічних систем. Порівняння теоретичних результатів та результатів експериментальних досліджень підтверджує можливість і доцільність ефективного використання запропонованих підходів при проектуванні пристроїв радіотехнічних систем. Отримані результати дозволяють здійснювати реалізацію розроблених структурно-функціональних схем у сучасній інтегральній елементній базі. Результати досліджень захищені патентами на винаходи.

Ocобистий внесок здобувача полягає у розробці теорії та методів побудови математичних моделей і структурно-функціональних схем пристроїв радіотехнічних систем, постановці завдань досліджень та виборі засобів їх розв’язання, а також у інтерпретації та узагальненні отриманих результатів; основні наукові положення та результати оригінальні, надруковані провідними науковими журналами і доповідалися особисто автором на Українських та міжнародних науково-технічних конференціях; у працях, виконаних разом із співавторами, частка участі автора рівноцінна частці співавторів; у роботі узагальнено авторські результати досліджень, які проводилися в НДЛ-72 та НДЛ-23 Національного університету “Львівська політехніка” у рамках госпдоговірних тем, а також на електроінженерному факультеті та в обчислювальному центрі NACAD/COPPE Федерального університету Ріо де Жанейро у рамках міжнародної співпраці.

Із основних публікацій, написаних у співавторстві, здобувачу належать: розроблення методики моделювання електронних схем з гістерезисними елементами [2]; розв’язання задачі визначення порядку математичних моделей нелінійних схем [3]; розробка методики верифікації математичних моделей статистичними методами [8]; розроблення методу побудови математичних моделей нелінійних схем у вигляді алгебро-диференційних рівнянь [9]; розроблення методу моделювання електронних схем інтегро-диференційними рівняннями [11]; побудова аналогової та дискретної математичних моделей автогенератора гармонічних коливань [12]; розробка алгоритмів функціонування аналогового та дискретного помножувачів частоти гармонічних коливань [17]; побудова аналогової та дискретної математичних моделей помножувача частоти гармонічних коливань в інтегральній базі [18]; розв’язання задачі моделювання електронних схем з резистивними нелінійностями [19]; розроблення та дослідження загальних принципів побудови математичних моделей нелінійних систем у вигляді неявних інтегро-диференційних та відповідних дискретних рівнянь [30]; розв’язання проблеми створення глобально стійкої аналогової нейронної функціональної схеми [31 - 33].

Апробація результатів роботи. Основні результати дослідження доповідалися, обговорювалися й одержали схвалення на Республiканській НТК "Проблемы автоматизированного моделирования в электронике" (Київ,1993), Мiжнародній НТК "Проблемы автоматизированного моделирования в электронике" (Київ, 1994), Мiжнародній НТК "Сучасні проблеми автоматизованої розробки і виробництва радіоелектронних засобів та підготовки інженерних кадрів" (Львів, 1994), Мiжнародних НТК "Проблемы физической и биомедицинской электроники" (Київ, 1995, 1996, 1997), Другій Українській конференції з автоматичного управління (Львів, 1995), П'ятій Міжнародній НПК "Україномовне програмне забезпечення Укрсофт-95" (Львів, 1995), Мiжнародній НТК "Сучасні проблеми автоматизованої розробки і виробництва радіоелектронних засобів, застосування засобів зв'язку та підготовки інженерних кадрів" (Львів, 1996), Четвертій НТК "Досвід розробки та застосування приладо-технологічних САПР мікроелектроніки" (Львів, 1997), Третій Мiжнародній НТК "Математичне моделювання в електротехнiцi, електронiцi та електроенергетицi" (Львiв, 1999), Міжнародній спільній конференції з нейронних мереж (Портленд, США, 2003), Міжнародній конференції “Сучасні проблеми радіоелектроніки, телекомунікацій, комп’ютерної інженерії TCSET’2004” (Львів-Славсько 2004).

Публікації. Основні результати дисертації відображені у 29 статтях у наукових фахових журналах та збірниках наукових праць, 2 патентах на винаходи. Загальний обсяг публікацій становить приблизно 3.4 друкованих аркушів, особисто автору належить приблизно 2.8 друкованих аркушів.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів, висновків, списку літератури із 219 найменувань та трьох додатків. Загальний обсяг роботи становить 348 сторінок, у тому числі 280 сторінок основного тексту, 99 рисунків та 1 таблиця.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі відображено актуальність проблеми, обгрунтувано мету та основні задачі дослідження. Показано зв’язок роботи з науковими планами, темами. Сформульовано наукову новизну роботи. Розглядаються практична цінність та впровадження результатів роботи. Наводяться дані про особистий внесок здобувача, апробацію роботи та публікації.

У першому розділі розглянуто основні сучасні методи моделювання нелінійних динамічних електронних схем, їх переваги та область застосувань. Зокрема, розглянуто метод моделювання на основі функціональних рядів Вольтерра та поліномів Вольтерра-Пікара. Відмічено, що методи дають можливість ефективно моделювати багатополюсні нелінійні схеми з незначними нелінійностями. При застосуванні методів на практиці виникають проблеми, пов’язані з тим, що функціональні вирази для ядер ряду значно ускладнюються при збільшенні порядку ядер, ряди збігаються лише для лінійних схем, cуттєвою є проблема факторизації ядер, підхід має обмеження на вибір частот вхідних сигналів, не існує регулярних методів реалізації схем при представленні їх моделей багатовимірними передавальними функціями.

Досліджено методи моделювання нелінійних схем на основі просторово-керованих функціональних генераторів та термофункціональних гіпермоделей. Відзначено, що просторово-керовані функціональні генератори застосовуються для аналізу та синтезу слабо інерційних схем. Метод термофункціонального гіпермоделювання використовуються для проектування безгістерезисних аналогових та цифрових схем з врахуванням впливу конструктивно-технологічних та експлуатаційних параметрів.

Розглянуто побудову стійких математичних моделей нелінійних динамічних схем у формі диференційних та різницевих рівнянь на основі теорії розщеплення сигналів, що передбачає визначення розмірності схем. Відмічено, що реалізація методів пов'язана з необхідністю проведення громіздких процедур розщеплення та індексації множин вхідних сигналів, які не завжди приводять до додатніх результатів.

Проаналізовано методи моделювання нелінійних динамічних схем на основі рівнянь змінних станів у неперервній та дискретній формах. Відзначено, що підходи дають можливість будувати математичні моделі у вигляді диференційних та різницевих рівнянь в явній формі з однозначними нелінійностями.

Розглянуто деякі існуючі методи моделювання та синтезу генераторів періодичних, квазіперіодичних та хаотичних коливань. Відмічено, що існуючі підходи призначені, як правило, для створення генераторів, які потребують перелагоджування параметрів при зміні амплітуди коливань, сигнали багатьох генераторів потребують фільтрування.

Досліджено існуючі методи побудови математичних та схемних моделей аналогових нейронних мереж ідентифікації максимального з невідомих вхідних сигналів. Відмічено, що сучасні методи дозволяють проектувати мережі скінченної роздільної здатності, з неоднозначними вихідними сигналами. Розглянуто сучасні методи побудови математичних та схемних моделей аналогових та дискретних нейронних мереж, призначених для знаходження максимальних з невідомих вхідних сигналів. Відзначено, що існуючі методи дають можливість конструювати недостатньо швидкісні мережі вказаного типу, структура яких відзначається надлишковістю.

На основі проведеного аналізу основних сучасних методів моделювання електронних схем у першому розділі визначені мета та задачі досліджень.

У другому розділі дисертаційної роботи описано методи побудови математичних моделей нелінійних динамічних схем у вигляді неявних алгебро-диференційних, а також відповідних дискретних рівнянь за їх відомими зовнішніми часовими сигналами при обмеженій апріорній інформації. Розглядаються математичні моделі, які можуть описуватися загальними неявними алгебро-диференційними рівняннями виду:

,

де , - дійсна нелінійна вектор-функція, диференційовна за часом , яка явно не залежить від часу. Задача формулюється, як задача знаходження структури або (та) параметрів такої функції F[...], яка задовольняє умові

,

де , при існуванні однозначного розв'язку та обмеженні

,

де y(t) - розв'язок рівняння при заданих значеннях x(t) ; .

Показано, що коли оператор математичної моделі схеми є неперервним у замкненій області зміни аргументів F[...] і відомі аналітичні вирази для сигналів x(t)X(t), y(t)Y(t), де X(t), Y(t) - компактні множини вхідних та вихідних сигналів, тоді для сигналів x(t),y(t) та значення >0 існує такий багатовимірний поліном L[...] скінченного степеня (k+...+ +k+k+...+k)<, що виконується нерівність

при вищенаведеному обмеженні для будь-яких агументів F[...] з області їх зміни , де

,

s=m+n+2, - дійсні постійні коефіцієнти поліному, і хоча б один з коефіцієнтів .

Описано визначення структури та параметрів моделі за допомогою аналітичних, чисельно-аналітичних та чисельних методів у поліноміальній та інших базах. За допомогою чисельних методів це здійснюється у декілька етапів. На першому етапі знаходиться порядок (розмірність) диференційного рівняння, що здійснюється на основі його лінеаризації у часовій області. В якості порядку моделі приймається порядок лінеаризованого рівняння.

На другому етапі визначається член поліному з ненульовим значенням коефіцієнта. Для визначення індекса такого члена поліному почергово виконується нормування коефіцієнтів Ck...kk...k і розв’язується задача апроксимації поліному при , де - апріорі вибраний максимальний порядок поліному, для заданих значень та .

На третьому етапі при великій розмірності поліному виконується редукція його зайвих членів. Це здійснюється шляхом почергового зменшення значень , де та розв’язання задачі апроксимації при . Якщо отримана модель не задовольняє необхідній точності, приймається значення , інакше – значення . Редукція виконується для всіх і зупиняється, якщо зменшення значення будь-якого з приводить до порушення обмеження на точність моделі.

На четвертому етапі, якщо розмірність поліному є все ще занадто великою, здійснюється послідовне вилучення решти його “зайвих” членів. Для цього спочатку вилучається член, що містить найменший за модулем коефіцієнт і розв’язується задача апроксимації при . При незадовільній точності апроксимації вилучений член повертається до апроксимаційного поліному. Потім вилучається член, що містить наступний найменший за модулем коефіцієнт і т.д. до закінчення перевірки всіх членів поліному, що містять коефіцієнти, значення яких за модулем є значно меншим від максимального, тобто або до досягнення похибкою моделі нульового значення.

Проблема побудови математичної моделі у загальному випадку належить до класу некоректно поставлених за Адамаром задач, оскільки на практиці при малі зміни аргументів моделі можуть викликати значні порушення значень коефіцієнтів . Для більшості моделей, які розглядаються у роботі, , тому у деяких випадках використовуються існуючі засоби регуляризації. Якщо визначення математичної моделі зводиться до задачі лінійного програмування і базується на розв’язанні у загальному випадку погано обумовленої системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) де - матриця з елементами - шуканий вектор параметрів з координатами - відомий вектор з координатами , тоді для визначення регуляризованого розв’язку при наближено заданих та застосовується регуляризуючий алгоритм, що базується на мінімізації функціоналу Тихонова. В результаті погано обумовлена або навіть вироджена (у тому числі перевизначена) СЛАР розв’язується стійкими методами, які приводять до розв’язку, що збігається до нормального розв’язку точної алгебраїчної системи. Якщо розв’язання задачі моделювання зводиться до нелінійного програмування, що базується на мінімізації функціоналів, тоді нестійка задача мінімізації функціоналу розв’язується методом регуляризації мінімізуючих послідовностей. Оскільки причиною некоректності може бути надлишкова розмірність вектора шуканих коефіцієнтів моделі, послідовне вилучення надлишкових членів апроксимуючого поліному також регуляризує її.

В результаті розв’язання задачі апроксимації отримується рівняння аналогової моделі виду:

,

де значення y(t) у загальному випадку визначаються в результаті розв'язання рівняння чисельними методами. Неявне рівняння моделі може бути зведене до часткових незалежних рівнянь у явній формі:

,

де - алгебраїчна або трансцендентна функція своїх аргументів, причому є розв’язками рівняння . Таке зведення можливе в околі деякої точки , якщо та .

Опис нелінійної динамічної схеми узагальнюється на випадок інтегро-диференційного рівняння

,

.

Нехай Тоді інтегро-диференційне рівняння можна представити у вигляді еквівалентного диференційного рівняння виду:

,

де p=m+r+1; q=s+n+1, , . Оскільки останнє представлення при перепозначеннях збігається з початковим загальним неявним алгебро-диференційним рівнянням, принципи побудови математичних моделей у вигляді алгебро-диференційних рівнянь можна застосовувати і у цьому випадку. В результаті здійснення поліноміальної апроксимації

,

де

,

отримується аналогова мате-ма-тична модель схеми у вигляді:

.

Шляхом дискретизації від аналогового опису з певною точністю здійснюється перехід до відповідного різницевого рівняння

де x(k) та y(k) - дискретні відліки вхідних та вихідних сигналів схеми x(t), y(t) у часових точках t=kh, де k – номер дискрети, =0,1,2,..., h- крок дискретизації по часу, - скінченні різниці відповідного порядку. Дискретний аналог багатовимірного поліному представляється у вигляді:

де принаймні один з коефіцієнтів , а y(k) у загальному випадку отримуються в результаті застосування неявної різницевої схеми.

Виконано кількісне порівняння методу побудови математичних моделей у формі алгебро-диференційних рівнянь з методом ідентифікації багатовимірних поліномів розщеплених сигналів та методом моделювання функціональними рядами Вольтерра на прикладі ідентифікації моделі квадратичної системи. В якості дій використано сукупність 1000 реалізацій, що містять 64 дискретних відліки випадкових процесів з гаусівським та експоненціальним законами розподілу густини імовірності. В результаті виявлено, що у випадку алгебро-диференційного рівняння у дискретній формі кількість коефіцієнтів моделі зменшується у 50 разів, а середньоквадратична похибка апроксимації - на 2 порядки. Виявлено, що на відміну від математичних моделей в явній формі, для яких при відхиленнях параметрів вхідних сигналів від заданих значень у межах 30% похибка вихідних сигналів може перевищувати 100%, похибка вихідних сигналів запропонованих моделей при зміні параметрів вхідних сигналів у заданих межах практично не змінюється.

Показано, що моделі у вигляді алгебро-диференційних рівнянь порівняно з аналогами дозволяють підвищувати точність моделювання, розширювати діапазони зміни вхідних сигналів, зменшувати обчислювальні затрати, дають можливість будувати структурно-функціональні схеми. Однак, визначення структури чисельними методами та зведення неявних алгебро-диференційних рівнянь до явної форми відзначається громіздкістю, а структурно-функціональні схеми - складністю.

У третьому розділі наведено методи побудови функціональних схем аналогових та дискретних блоків радіотехнічних систем на основі їх математичних моделей у формі інтегро-диференційних рівнянь. Показано, що для довільних скінченних множин детермінованих вхідних та вихідних сигналів та функціональні схеми блоків радіотехнічних систем можуть будуватися на базі диференціаторів, інтеграторів, суматорів, перемножувачів, подільників, функціональних перетворювачів та керованих перемикачів. Схемна реалізація функціональних блоків може здійснюватися у сучасній інтегральній елементній базі, зокрема, на основі мікросхем AD201A, AD308, AD426L, AD427, AD427J, AD429, AD432, AD433, AD434, AD434B, AD436, AD530, AD531, AD531K, AD532, AD532J, AD532K, AD532S, AD533, ADG704, ADD732, 525ПС1, 525ПС2 та 526ПС1. Перелічені мікросхеми можуть функціонувати з похибками, що не перевищують 1% у динамічному діапазоні зміни вхідних сигналів та смузі робочих частот до 1 МГц та вище. Логарифмічні схеми виконання операцій перемноження, ділення сигналів, добування квадратного кореня та піднесення до степеня, реалізовані на базі комутованих конденсаторів, дозволяють досягати точності виконання таких операцій 0.01% і часу - 10-20 нс.

Описано метод побудови функціональних схем дискретних блоків радіотехнічних систем на основі дискретизації їх математичних моделей у формі інтегро-диференційних рівнянь як аналогового прототипу та створення на основі отриманих алгоритмів дискретних схем, що виконують необхідне перетворення вхід-вихід. Відмічено, що сучасні технології дозволяють отримувати тривалості середніх затримок цифрових інтегральних схем, які не перевищують 5 нс. Існуючі засоби дозволяють моделювати, створювати нейронні схеми та програмувати цифрові нейрочіпи на базі нейропроцесорів таких, як Nuralogix NLX-420, Hecht-Nielson 100 NAP, Hitachi WSI, Inova N64000, IBM ZISCO36, MCE MT19003, Micro Devices MD-1220, Nestor/Intel Ni1000, Philips Lneuro-1, Siemens MA-16 та RC Module NM6403. Тактова частота нейропроцесорів досягає одиниць мегагерців та вище.

Побудовано математичні моделі та функціональні схеми прецизійних помножувачів частоти гармонічних коливань, структура та параметри яких не залежать від амплітуди та частоти вхідних сигналів і які не потребують фільтрування вихідних сигналів. Зокрема, отримано математичні моделі та функціональні схеми прецизійних помножувачів частоти гармонічних коливань на три. Для множини вхідних сигналів x(t)=Asint та множини вихідних сигналів y(t)=KAsin3t, де K=1.2, математичні моделі отримано з максимальною похибкою =1.88110-3 та середньоквадратичною похибкою =2.37810-4. Аналогова модель помножувача

,

отримана для Aє[0.5;12], є[10;80], tє[0;2/], є точною для , де при , . Відповідна дискретна модель:

,

де - крок дискретизації по часу. Похибки дискретної моделі не перевищують заданих значень та при =0.002/. Функціональні схеми аналогового та дискретного помножувачів частоти на три наведені на рис. 1 та рис. 2 відповідно, де ЦІ – цифровий інтегратор.

Рис. 1. Функціональна схема аналогового помножувача частоти гармонічних коливань на три.

Досліджено чутливість вихідних сигналів отриманих моделей помножувача до похибок операцій перемноження та ділення сигналів у межах 1% для вхідних сигналів , де , вибрані з кроками 1В та 100 кГц на інтервалі часу , заданому з кроком . Виявлено, що відхилення вихідних сигналів моделі від точних значень є незначними, тобто отримані моделі є стійкими до зміни параметрів у заданих межах.

Досліджено стійкість отриманих дискретних моделей помножувачів. Показано, в алгоритмах, побудованих на основі числового диференціювання, накопичення похибок не відбувається, тоді як алгоритми, які містять числове інтегрування, можуть породжувати накопичення похибок результатів виконання арифметичних операцій. Відмічено, що сумарна похибка алгоритму може бути зменшена до прий-

нятного рівня шляхом зменшення кроку інтегрування, підвищення порядку квадратурних формул та зменшення періоду інтегрування. Для обмеження динаміч-

них діапазонів зміни вихідних сигналів інтеграторів та диференціаторів може застосовуватись масштабування амплітуди їх вихідних сигналів у необхідних межах. Підвищення стійкості функціонування отриманих схем досягається шляхом отримання подвійного та потрійного інтегралів за допомогою існуючих схем, побудованих на одному інтеграторі.

Рис. 2. Функціональна схема дискретного помножувача частоти гармонічних коливань на три.

На відміну від аналогів отримані помножувачі є лінійними, амплітудо- та частотонезалежними у широких діапазонах зміни амплітуди та частоти вхідних сигналів і не передбачають здійснення додаткового фільтрування вихідних сигналів. Схеми помножувачів частоти гармонічних коливань у 3n разів можуть будуватись на основі послідовного з’єднання помножувачів частоти на три.

Побудовано математичні моделі та функціональні схеми подільників частоти гармонічних коливань. Зокрема, отримано математичні моделі подільника частоти на два для вхідних сигналів x(t)=Asint та вихідних сигналів y(t)=Asin/2t з похибками, що не перевищують =5.59810-3, =5.40410-4. Аналогова модель

;

, ,

де ; - керований перемикач полярності сигналу при ; ; або , отримана для Aє[0.1;100], є[0.1;100], tє[0;2/], є точною для . Відповідна дискретна модель:

;

де , , , або .Похибки дискретної моделі не перевищують заданих та при =0.004/(3). Наведено відповідні функціональні схеми аналогового та дискретного подільників частоти гармонічних коливань на два.

Досліджено чутливість вихідних сигналів отриманих моделей подільників при наявності похибок операцій перемноження, ділення сигналів та добування квадратного кореня у межах 1% для вхідних сигналів з параметрами , , , вибраних з кроками 1В та 100 кГц на інтервалі часу для кроку . Виявлено, що відхилення амплітуди вихідних сигналів подільників від точних значень у деяких випадках може досягати 100%, тому при реалізації аналогових подільників елементна база повинна мати точність функціонування, вищу від 1%. Відзначено, що на основі розроблених схем можна конструювати подільники частоти гармонічних коливань у 2n разів шляхом послідовного з’єднання n подільників частоти на два.

Отримані схеми подільників частоти на відміну від існуючих аналогів є лінійними, вони призначені для функціонування у широких межах зміни амплітуди та частоти вхідних сигналів без зміни параметрів подільників і не потребують фільтрування вихідних сигналів.

Побудовано математичні моделі та функціональні схеми фазообертачів гармонічних коливань. Зокрема, отримано моделі фазообертача, що трансформує вхідні сигнали x(t)=Asint у вихідні сигнали y(t) =KAsin(t+/2)=KAcost, де K=1.7 з похибками, які не перевищують =7.89610-3, =1.61210-3. Аналогова модель фазообертача

,

отримана для Aє[0.5;6], є[1.6;3.2], tє[0;2/], є точною для . Відповідна дискретна модель:

,

де - скінченна різниця третього порядку. Похибки дискретної моделі при =0.02/ не перевищують заданих та .

Наведено функціональні схеми аналогового та дискретного фазообертачів гармонічних коливань. Досліджено чутливість вихідних сигналів отриманих аналогової та дискретної моделей фазообертача при наявності похибок виконання операцій перемноження, ділення сигналів та добування квадратного кореня у межах 1% для вхідних сигналів , де , вибраних з кроками 1В та 100 кГц, на інтервалі часу для кроку . Виявлено, що амплітуда вихідних сигналів фазообертача може відхилятися від точних значень більше, ніж на 100%, тому при реалізації аналогових фазообертачів елементна база повинна мати точність, не нижчу 1%.

Амплітуда вихідних сигналів та фазовий зсув між вхідними та вихідними сигналами отриманих фазообертачів, на відміну від аналогів, не залежать від частоти, вихідні сигнали формуються лінійно, без спотворень амплітуди та частоти. Схеми фазообертачів гармонічних коливань на 900n можна будувати на основі послідовного сполучення фазообертачів гармонічних коливань на 900.

Показано, що на основі отриманих схем можна конструювати функціональні схеми фазообертачів, які дозволяють довільно змінювати величину фазового зсуву між вхідними та вихідними сигналами. При цьому фазовий зсув не залежить ні від модуля коефіцієнта передачі, ні від частоти. Це здійснюється на основі наступного співвідношення:

,

де функції та реалізуються за допомогою існуючих схем.

Відповідні дискретні моделі фазообертачів представляються у наступній формі:

.

Наведено узагальнені функціональні схеми аналогового та дискретного фазообертачів гармонічних коливань на довільний кут. Досліджено стійкість вихідних сигналів аналогового та дискретного фазообертачів гармонічних коливань на при наявності похибок параметрів функціональних блоків у межах 1%. Виявлено, що амплітуда вихідних сигналів фазообертачів при заданих похибках може відхилятися від точної більше, ніж на 100%, тому при реалізації аналогових фазообертачів елементна база повинна мати точність, не нижчу 1%.

У четвертому розділі отримано нові математичні моделі та функціональні схеми АМ- та ЧМ- демодуляторів гармонічних сигналів та стабілізації амплітуди генераторів гармонічних коливань. Для сигналів виду

,

де і – часові залежності амплітуди, фази та частоти, для випадку вузькосмугових сигналів отримано математичні моделі демодуляторів АМ- та ЧМ-сигналів, зокрема аналогові моделі

;

,

де , , з початковими умовами при : Відповідні дискретні моделі демодуляторів мають вигляд:

;

,

де , . Наведено аналогові та дискретні функціональні схеми демодуляторiв. Показано, що спряжені сигнали, отримані за допомогою запропонованих моделей, для вузькосмугових сигналів задовольняють необхідним фізичним умовам неперервності і диференційовності, незалежності від масштабування та однорідності, сталості амплітуди та частоти у випадку , локальності та збереження фінітності. При цьому для монохроматичних сигналів аналогові моделі є точними для .

Досліджено чутливість вихідних сигналів АМ-демодуляторів до похибок виконання операцій перемноження, ділення сигналів та добування квадратного кореня у межах 1%. Виявлено, що для вхідних сигналів x(t) = (1+McosЩt)cosщ0t та вихідних сигналів z(t) = 1+McosЩt, де , при M=1 (амплітуда немодульованого коливання), Щ=1 МГц (частота модуляції), =10 МГц, дискретних часових точок tє [0;2р/Щ], відхилення огинаючої отриманих аналогових та дискретних моделей демодулятора АМ-сигналів від точних значень – незначні.

При умові Щm/щ0<1, де Щm - найвища частота спектру огинаючої, досліджено функціонування демодулятора АМ-сигналів при випадкових вхідних сигналах
y(t)=x(t)+м(t), де x(t) = (1+McosЩt)cosщ0t при Mє[0.1;0.5], Щє[0.08; 0.12], щ0є[7.5;8.5], tє [0;2р/Щ], а м(t) - стаціонарний шум, статистично незалежний від x(t). В якості м(t) використано випадковий процес з рівномірним законом розподілу густини імовірності на інтервалі [_.0012;0.0012] та дисперсією 4.8.10—7. Виявлено, що отримані дискретні моделі демодуляторів при M, Щ, щ0  та t, заданих з кроками 0.1, 0.01, 0.2 та 0.2р/Щ відповідно, формують вихідні сигнали з похибкою , тоді як похибка перетворення вхід-вихід вiдповiдних аналогів приблизно такої ж складності досягає значення .

Досліджено функціонування отриманих моделей демодуляторів ЧМ-сигналів при наявності похибок виконання операцій перемноження, ділення сигналів та добування квадратного кореня у межах 1%. Зокрема виявлено, що для вхідних сигналів , де A -амплітуда несучого високочастотного коливання, та вихідних сигналів , де ,, відхилення повідомлення аналогової та дискретної моделей ЧМ-демодуляторів від точних значень, знайдені для дискретних часових точок, є незначними.

Досліджено функціонування демодулятора ЧМ-сигналів для x(t)=AcosШ(t)=Acos[щ0t+О(t)], де Ш(t) -фаза, та повідомлення y(t)=dШ(t)/dt=щ0+dО/dt. для вищезаданих випадкових вхідних сигналів y(t) , де Aє[46.0;50.0], Mє[6;70], Щє[0.004;0.012], щ0є[0.92;1.0], tє[0;2р/Щ]. Виявлено, що отримані дискретні моделі демодуляторів для A,M, Щ, щ0 та t, заданих дискретно з кроками 1,10, 0.002, 0.2 та 0.2р/Щ відповідно, здійснюють детектування з похибкою

. Похибка перетворення вхід-вихід існуючих аналогів такої ж складності досягає значення . Отримані демодулятори АМ- та ЧМ-сигналів є лінійними і не потребують додаткового фільтрування вихідних сигналів. Наведено структурно-функціональні схеми демодуляторів.

Побудовано математичні моделі схем стабілізації амплітуди генератора гармонічних коливань, коливальний контур якого описується лінійним диференційним рівнянням другого порядку де x(t)=Asinщt. Зокрема, при Aє[0.1;1.0], є[0.1;1.0], tє[0;2/] для кроків =0.1, =0.1 та =0.2р/ отримано стійку до зміни амплітуди аналогову модель у вигляді системи рівнянь

Відповідна дискретна модель при x(1)=0, x(1)=A має форму системи різницевих рівнянь виду:

Досліджено функціонування отриманих моделей у перехідних та встановлених режимах. Виявлено, що такі моделі порівняно з аналогами формують коливання точніше при . Побудовано функціональні схеми стабілізації амплітуди генератора гармонічних коливань. Перевагою отриманих схем є відсутність елементів, які необхідно перелагоджувати при зміні амплітуди коливань.

У п’ятому розділі побудовано математичну модель та відповідну нейронну функціональну схему, призначену для ідентифікації максимального з множини невідомих вхідних сигналів від до , N>1, заданих у діапазоні [, ]. Вхідні сигнали впорядковані у зростаючому порядку за величиною

=>>…>=,

де різних індексів належать до множини . Схема обробляє вектор вхідних сигналів таким чином, щоб отримати після певного скінченного часу збіжності вектор вихідних сигналів такий, що

>0;<0,

для всіх та .

В якості будівельного вузла схеми використано аналогову нейронну мережу типу Хопфілда другого порядку, яка описується диференційним рівнянням виду:

=

де ,),,) - вхідні сигнали та стани мережі; - скаляр, що відповідає вхідній провідності нейрона ; - скаляр, який відповідає вхідній ємності нейрона ; - коефіцієнт підсилення активаційної функції; матри-ця взаємозв’язків

вибирається діагонально-стабільною симетричною з .

Зроблено наступні додаткові припущення:

),g());?,

де - локально неперервна за Ліпшицем та нелінійно діагональна функція, , для кожного , .

Функціональна схема аналогової нейронної мережі типу Хопфілда другого поряду, представлена на рис. 3, містить блоки ваг зв’язків ; коефіцієнтів підсиле-

ння (реалізують коефіцієнти ); та (реалізує коефіцієнт підсилення ); сумування ?; сигмоїдних (або кусково-лінійних) активаційних функцій ), ); інтегрування ; вхідних сигналів ,; станів ,; початкових умов .

Доведено необхідну умову коректного функціонування мережі другого порядку при будь-яких вхідних сигналах b, що знаходяться в діапазоні , у вигляді

де - роздільна здатність вхідних сигналів мережі. Вищенаведена умова задає мінімальну та максимальну дозволені різниці між значеннями вхідних сигналів та , як функції від параметрів та . Показано, що аналогова нейронна мережа другого поряду з діагонально-стабільною симетричною матрицею

Рис. 3. Функціональна схема нейронної мережі другого порядку.

зв’язків T та активаційною функцією G(•), що задовольняє таку умову, має єдину точку рівноваги, яка є глобально асимптотично стійкою.

Для знаходження параметрів, які гарантують коректне функціонування мережі для будь-яких вхідних сигналів з інтервалу , сформульовано наступну задачу параметричного синтезу: знайти такі значення параметрів a, p, l та , які задовольняють умови a>p>0; 2(a-p)<r; l>0, >0, що для всіх пар у діапазоні [-1,+1] мережа формує лише один позитивний вихідний сигнал у встановленому режимі. Запропоновано наступну процедуру отримання параметрів мережі:

крок 1: задання початкових значень та ,