Національна академія наук України

Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова

Зуб Станіслав Сергійович

УДК 51-3:519.673:538.945

ПЛИВ ТОПОЛОГІЇ НАДПРОВІДНИХ ЕЛЕМЕНТІВ НА СТІЙКІСТЬ РІВНОВАГИ ВІЛЬНОГО ТІЛА

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі обчислювальної математики факультету кібернетики Київського національного університету ім. Тараса Шевченка,
Міністерство освіти і науки України, м. Київ

Науковий керівник:

кандидат фізико-математичних наук,

Номіровський Дмитро Анатолійович,
Київський національний університет ім. Тараса Шевченка,
докторант факультету кібернетики;

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, старший науковий співробітник

Губарєв В’ячеслав Федорович, Інститут космічних досліджень

Національної академії наук і Національного космічного агентства України,

заступник директора;

доктор фізико-математичних наук, професор

Хусаінов Денис Яхьєвич,

Київський національний університет ім. Тараса Шевченка,

професор кафедри моделювання складних систем;

Провідна установа

Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, фізико – технічний інститут, Міністерство освіти і науки України,
м. Київ.

Захист відбудеться 18.11.2005 р. о 13 годині на засіданні
спеціалізованої вченої ради Д26.194.02 в Інституті кібернетики
ім. В.М. Глушкова НАН України за адресою 03680, МСП, м. Київ-187, пр. Акад. Глушкова, 40

З дисертацією можна ознайомитись в архіві Інституту кібернетики
ім. В.М. Глушкова НАН України (03680, МСП, м. Київ-187, пр. Акад. Глушкова, 40)

Автореферат розісланий 17.10. 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради |

В.Ф. Синявський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Питання щодо безконтактної статичної рівноваги тіл, взаємодіючих за допомогою далекодіючих сил, ставилось неодноразово, але до цього часу залишається відкритим. Невідомо жодного загального підходу до знаходження стійкої рівноваги у таких системах. Навпаки, є декілька теорем, що заперечують можливість такої рівноваги. Перша та найвідоміша з них - це теорема Ірншоу, що відкидає можливість стійкої статичної рівноваги у системі точкових електричних зарядів. Інші теореми розповсюджують її на випадок заряджених тіл (Браунбек, Стреттон, Смайт, Тамм). На сьогодні залишаються невідомими теореми, що заперечують існування безконтактної статичної рівноваги у магнітних системах. У зв'язку з цим природнім є питання: чи можлива стійка статична рівновага тіл, що взаємодіють виключно магнітними силами?

Якщо існує конфігурація магнітних тіл, у якій здійснюється така статична рівновага, то її можна назвати магнітною потенційною ямою (МПЯ).

На відміну від МПЯ магнітна левітація являє собою рівновагу на підставі двох сил різної фізичної природи: магнітної і гравітаційної. В системах магнітної левітації вага левітуючого тіла урівноважується магнітною силою.

Відзначимо, що деякі види магнітної левітації не тільки досліджено теоретично і експериментально, але і в деяких випадках реалізовано як технології. Найбільше поширення у світі отримали дві основні концепції магнітної левітації. Перша – керовані системи, наприклад, із використанням зворотного зв’язку, який здатен зробити нестійку систему стійкою. Друга – левітація на основі діамагнетизму у випадку рівноваги та “динамічного діамагнетизму” внаслідок відносного руху джерел магнітного поля і електропровідних тіл. Внаслідок розвитку цих концепцій у Німеччині та Японії і продуманої кооперації академічних сил, приватного капіталу та державної підтримки технологія магнітної левітації на транспорті вже не утопія, а новий ринковий товар.

Відмінна від названих концепція магнітної левітації виникла та розвивалась з 1970-1990 рр. на основі досліджень, що проводились в Інституті кібернетики НАНУ, особливо після відкриття Козорізом В.В. у 1976 р. “феномену МПЯ ”. Феномен полягає у можливості існування локального мінімуму потенціальної енергії магнітної взаємодії як функції відстані між витком нульового електричного опору та магнітом.

Цей феномен є фізичною основою як теоретичного завбачення, так і експериментального підтвердження можливості статичної рівноваги у випадку магнітної левітації, що й було здійснено під керівництвом автора цього ефекту.

Окрім того, було продемонстровано ряд технічних переваг нового різновиду надпровідної левітації у порівнянні з відомою мейснерівською надпровідною левітацією для чутливих елементів інерціальних навігаційних систем, гравіметрії та інших сфер застосування. Відкриття феномену МПЯ і вирішення задачі про статичну рівновагу у випадку магнітної левітації вказує на перспективність пошуку МПЯ у системі тіл, які взаємодіють виключно магнітними силами. Саме доведення існування МПЯ є основною метою цієї роботи. Відзначимо, що саме феномен МПЯ вперше висунув питання щодо впливу топології надпровідного тіла на механізми досягнення стійкої рівноваги магнітних систем.

Актуальність теми. Відсутність конкретних конфігурацій, що реалізують МПЯ, мала кількість теоретичних результатів щодо пошуку таких конфігурацій і, навпаки, наявність відомих теорем в електростатиці роблять проблему існуванні МПЯ актуальною з фізичної та математичної точок зору. Близька до неї проблема магнітної левітації, що є важливою у науково-технічному значенні, також досі не має узагальнюючої теорії, яка б описувала механізми забезпечення стійкості магнітнолевітуючих систем. Це стосується, зокрема, впливу на стійкість систем таких параметрів як топологія надпровідних елементів (однозв’язна область, де проявляється лише діамагнетизм, та двозв’язна область, де проявляється лише нульовий електричний опір, як у випадку ідеального струмонесучого витку, або багатозв’язні конфігурації магнітних тіл), геометрія та конфігурація магнітних елементів, їх кількість та співвідношення вільних і нерухомих тіл, що є джерелами магнітних сил, та багато інших параметрів, що потребують теоретичних оцінок. З іншого боку, потреби в нових високих енерго- та ресурсо-заощаджуючих технологіях на транспорті, у точному приладобудуванні, навігації та моніторингу параметрів гравітаційного поля Землі, інших планет, передбачення землетрусів тощо настійно потребують нових результатів теорії, бо саме надпровідність створює базу таких технологій (відсутність тертя як основної причини обмеженої точності приладів, відсутність втрат енергії в обмотках надпровідних магнітів, що утримують транспортний засіб тощо). Впровадження таких безконтактних підсистем, у тому числі на основі високотемпературної надпровідності, до електротехнічних силових та керуючих систем вимагає теоретичної основи. Теоретичні роботи (Уайта-Вудсона, Козоріза та інших) не дають загального апарату для опису змішаних систем, що включають як постійні магніти, так і надпровідні котушки, тобто є необхідність у створенні нових математичних моделей, що адекватно описують розширений клас електромеханічних систем.

Мета та задачі дослідження. Метою роботи є створення нових математичних моделей для опису магнітно-взаємодіючих систем, доведення існування МПЯ і дослідження впливу топології надпровідних тіл на стійкість статичної рівноваги, а також виявлення і математичний аналіз фізичних механізмів забезпечення стійкості у системах з МПЯ та магнітною левітацією.

Для досягнення цієї мети вирішуємо наступні задачі:

-

-

-

-

-

-

-

Методи дослідження. Для виведення лагранжевого формалізму та знаходження функції Лагранжа, що описує взаємодію змішаного класу систем (надпровідні та постійні магніти), застосовано методи аналітичної механіки.

Для доведення теореми про неможливість стійкої рівноваги у системі магнітних диполів та при вирішенні задачі щодо левітації магнітного диполя всередині надпровідної сфери використовувались також методи математичної фізики та теореми теорії гармонічних функцій.

Наукова новизна отриманих результатів. Приведено низку конструктивних доведень існування МПЯ для істотно різних конфігурацій магнітних тіл. Показано, що механізм забезпечення стійкості рівноваги у досліджених системах має кооперативний характер, тобто є пов’язаним з взаємним впливом тіл системи за умови існування незгасаючих надпровідних струмів. Розроблено лагранжевий формалізм для опису взаємодії постійних магнітів та надпровідних котушок, який, зокрема, забезпечує універсальний спосіб знаходити вираз магнітної потенційної енергії у таких системах. Отримано нові формули для обчислення взаємної індуктивності лінійних провідників кільцевої форми. Проведено повне аналітичне дослідження стійкості нових математичних моделей МПЯ та магнітної левітації. Знайдено аналітичне розв'язання крайової задачі Неймана для магнітного диполя всередині надпровідної сфери. Доведено існування просторової МПЯ у центрі сфери та магнітної левітації у присутності однорідного поля сили тяжіння.

Достовірність результатів забезпечується збігом результатів та висновків дисертації, що базуються на запропонованій теорії, з відомими експериментальними та теоретичними даними, які були отримані іншими авторами; співпаданням рішень задач, отриманих незалежно аналітичними та чисельними методами, що базуються на різних підходах.

Практична цінність дисертаційної роботи полягає у відкритті принципово нових можливостей для вирішення ряду технічних проблем у:

-

-

-

-

-

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Отримані результати використовувались при виконанні робіт за держбюджетною темою Національного аерокосмічного університету України імені М.Є. Жуковського “Харківський авіаційний інститут” “Дослідження та створення надпровідних прискорювачів магнітних тіл та плазми нового покоління” (Г402-20/95), гранту Міністерства освіти і науки України, що був наданий Київській державній академії водного транспорту “Дослідження можливостей створення маховиків-двигунів транспортних засобів, заснованих на використанні нових силових магнітних явищ”, і виконувався в 2000-2003рр., гранту Українського науково – технологічного центру (УНТЦ) “Розробка надчутливого кріогенно – оптичного гравіметричного датчика” (головна організація – Інститут космічних досліджень НАНУ та НКАУ, проект U039k).

Апробація результатів дисертації. Основні наукові та прикладні результати дисертаційної роботи пройшли випробування на конференціях, симпозіумах та наукових семінарах: “40th Annual Conference Magnetism and Magnetic Materials” (Philadelphia, USA, 1995); “4th International Conference of New Leading edge technology” (Харків, Україна, 1996); “4th International Conference of Technologies in Machine Building” (Харків, Україна, 1996); “International Symposium on Non-Linear Electromagnetic Systems” (Braunschweig, Germany, 1997)”; “Моделювання і дослідження стійкості систем” (Київ, Україна, 1997), а також на семінарах у Державному аерокосмічному університеті ім. М.Є.Жуковського “ХАІ” (Харків, Україна, 1999); Інституті проблем машинобудування ім. А.М.Підгорного НАНУ (Харків, Україна, 1999); “The 17th International Conference on Magnetically Levitated Systems and Linear Drivers”. MAGLEV'2002 (Lausanne, Switzerland, 2002); Київському університеті ім. Тараса Шевченка (Київ, Україна, 2005), Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова НАНУ (Київ, Україна, 2005).

Публікації. Основні результати дисертації були опубліковані у 12 друкованих працях, із них 8 - статті у журналах та збірках наукових праць [1-8], 4 - труди наукових конференцій [9-12], перелік яких надається у кінці автореферату.

Особистий внесок дисертанта. У роботі [1] дисертанту належить ідея фізичної моделі та аналітичне доведення існування МПЯ, у [2]- варіант лагранжевого формалізму та аналіз стійкості рівноваги вільного тіла, у [3]- доведення існування магнітної левітації у системі з МПЯ, у [4] – аналіз стійкості рівноваги у системі з 4-надпровідних лінійних контурів та аналітичне доведення відсутності МПЯ у цій системі; формулювання математичної моделі задачі у дипольному наближенні та її аналіз, у [7]- конфігурація програмного забезпечення та підготовка для вирішення тестових задач, [8]- аналітичні оцінки жорсткості підвіски; Maple бібліотеки для обчислення взаємної індуктивності, силових та енергетичних характеристик систем, що складаються з надпровідних контурів кільцевої форми, у [9,10] - програмна реалізація математичної моделі, у [11]- аналітичні формули для обчислення взаємної індуктивності.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел, а також додатків, що являють собою повний набір працюючих документів системи комп'ютерної алгебри Maple. Повний об'єм дисертації становить 129 сторінок, у тому числі 14 рисунків та 51 найменування літератури; об'єм додатків становить 73 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі поставлено проблему безконтактної статичної рівноваги і на основі аналізу літературних джерел показано, що вона може бути вирішеною тільки в класі магнітних систем або систем, у яких поряд з магнітними силами діють сили іншої фізичної природи. Дано визначення магнітної потенційної ями та підкреслюється відмінність між магнітної левітацією та МПЯ.

Приведено основні теоретичні та експериментальні результати, що стосуються проблеми безконтактної рівноваги, і на основі критичного аналізу дана оцінка внеску дослідників у розв'язання проблеми.

Виділено основні фізичні ефекти, які можуть стати основою вирішення задач магнітної левітації та МПЯ, а саме, феномен МПЯ Козоріза та ефект діамагнітного відштовхування Браунбека.

Показано, що незважаючи на експериментальні та теоретичні результати, які є у цій області, жоден із них не є спростуванням сформульованої у літературі гіпотези про нестійкість магнітних систем, а тим більше не дає відповіді на питання про існування МПЯ.

У другому розділі проведено порівняльний аналіз загального підходу, що базується на застосуванні апарату диференціальних рівнянь в частинних похідних для електромагнітного поля, та квазістаціонарного наближення, що зводить опис електромагнітної взаємодії між лінійними провідниками до апарату звичайних диференціальних рівнянь.

Зроблено висновок про те, що теоретико-польовий підхід вимагає вирішення крайової задачі Неймана для декількох, у загальному випадку многозв'язних магнітних тіл. Такий підхід практично виключає отримання точних аналітичних рішень. Однак для однозв'язного надпровідного тіла максимально симетричної простої форми (сфера), як відомо, можливо отримати вирішення у вигляді рядів за сферичними функціями, які сходяться , що і використано у третьому розділі для вирішення задачі про магнітний диполь всередині надпровідної сфери.

Показано, що для дослідження стійкості у багатоелементних системах многозв’язних тіл більш ефективним є квазістаціонарне наближення для електромагнітного поля, яке дозволяє звести задачу про систему з нескінченним числом ступенів свободи до задачі про систему з кінцевим числом ступенів свободи.

Важливою перевагою квазістаціонарного наближення (у межах його застосування) є можливість лагранжевого опису динаміки лінійних провідників. Зокрема, у рамках лагранжевого підходу є можливість увести потенційну енергію та обчислювати на її основі сили і моменти сил, що значно спрощує дослідження стійкості.

Однією з основних характеристик магнітної взаємодії у квазістаціонарному наближенні є взаємна індуктивність тіл системи, через яку виражається потенційна енергія системи, а отже, і силові характеристики. Однак, для тіл довільної форми обчислення взаємної індуктивності становить складну задачу, тому запропоновано вибирати модельні тіла максимально простої симетричної форми, а саме, надпровідні кільця та магнітні диполі.

Викладена технологія прикладних математичних досліджень на основі використання системи комп'ютерної алгебри Maple. Ця технологія дозволяє у процесі вирішення поставленої задачі отримати сукупність працюючих документів Maple, які містять всі проміжні результати та взаємоперевірки, а набір розроблених інструментів дає основу для вирішення аналогічних задач.

У третьому розділі здійснено модифікацію стандартного лагранжевого формалізму, викладеного в першому розділі, для опису розширеного класу модельних тіл, що включає до себе як магнітні диполі, так і ідеально провідні контури. Ці об'єкти мають особливості, які погано враховуються існуючим варіантом лагранжевого формалізму.

Показано, що постійність магнітного моменту диполя у разі моделювання петлею зі струмом може трактуватися як голономно - реономний зв'язок. Для використання лагранжевого підходу при описі такої системи необхідно врахувати зв'язки цього типу, тобто виключити пов'язані з ними залежні змінні.

Крім того, присутність у системі ідеальних провідних контурів призводить до циклічності відповідних електричних координат. Проте відповідні циклічним координатам швидкості (струми) залежать від часу та входять явним чином до базових співвідношень стандартного лагранжевого формалізму. Для виключення циклічних координат використовуємо метод Рауса.

Наведена система, яку ми отримуємо внаслідок урахування зв'язків та виключення циклічних координат, має функцію Лагранжа, що залежить тільки від механічних позиційних координат та швидкостей. Таким чином, даний варіант лагранжевого формалізму дає універсальний спосіб отримання магнітної потенційної енергії систем цього класу:

, (1)

де - симетрична квадратна матриця індуктивностей надпровідних

контурів;

- симетрична квадратна матриця індуктивностей контурів із заданим струмом, що є моделлю постійного магніту;

- прямокутна матриця індуктивностей, що описує взаємодію контурів різного типу та відповідає правому верхньому блоку вихідної матриці індуктивностей, де у системі контурів, з котрих контурів надпровідні, а контури із заданими струмами;

- постійні струми, що відповідають постійним магнітним моментам;

- інтеграли руху, що відповідають замороженим у надпровідних контурах потокам;

- потенційна енергія немагнітного походження.

Стисло викладено концепцію Герца про кінетичне походження потенційної енергії. Не удаючись у філософські аспекти цієї концепції, зазначимо, що формально математично магнітна взаємодія у нашій системі повністю відповідає принципу Герца.

На основі формули (1) виведено магнітну потенційну енергію ряду конфігурацій магнітних тіл, які досліджено на стійкість.

Доведено теорему про неможливість стійкої рівноваги у системі магнітних диполів, що взаємодіють виключно магнітними силами.

Теорема. Не існує такої конфігурації нерухомих магнітних диполів, що була б стійкою, якщо в системі немає інших сил, крім сил магнітної взаємодії між диполями системи.

Аналіз виду потенційної енергії системи диполів

, , (2)

де ,

показує, що величина у термінах теорії сферичних функцій є квадруполем (мультиполем другого порядку).

Звідси випливає, що являє собою гармонічну функцію, якщо її розглядати як функцію положення будь-якого з диполів у разі фіксованої орієнтації цих диполів. Як і в теоремі Ірншоу, доведення будуємо від супротивного, тобто припускається, що у такій системі можлива стійка статична рівновага, а потім використовуючи лише вищеперераховані особливості функції потенційної енергії взаємодії диполів, отримуємо нерівність

, (3)

де , - положення та орієнтація магнітного диполя до відхилення;

, - положення та орієнтація магнітного диполя після відхилення.

Тобто доведено, що у будь-якій як завгодно малій околиці вихідної точки існує деяка точка , для якої потенціальна енергія системи менша за вихідну. Отже, у початковій точці система не досягає мінімуму потенційної енергії, тобто, не може знаходитися у стійкій рівновазі всупереч зробленому припущенню.

Виведено нові вирази та розроблено алгоритми обчислення взаємної індуктивності модельних тіл та її похідних до другого порядку включно для випадку довільно розташованих кілець. Важливість цих результатів для опису класу моделей була обґрунтована у першому розділі.

За цієї мети було виведено зручну розрахункову формулу для взаємної індуктивності у вигляді розкладання у подвійний ряд за ступенями відношення радіусів кілець до відстані між їх центрами:

, (4)

де , - відношення радіусів кілець до відстані між їх

центрами;

- біноміальний коефіцієнт.

Розкладення (4) справедливе за умови, коли

При цьому коефіцієнти розкладання є сферичними функціями у формі мультиполів:

, (5)

де - радіус-вектор в околиці;

- вектор, з'єднуючий центри кілець;

і - вектори нормалі першого та другого кільця.

Засобами комп'ютерної алгебри, що реалізовані у системі комп'ютерної алгебри Maple, були отримані ефективні процедури знаходження цих поліномів (5) як у символьному вигляді, так і для чисельного розрахунку.

Отримано вираз взаємної індуктивності через однократний інтеграл, котрий дозволяє ефективно обчислювати взаємну індуктивність та її похідні і дає достовірні результати для будь-яких .

Приведено символьну процедуру Maple для обчислення підінтегральної функції взаємної індуктивності, яка призначена для автоматичного диференціювання і дозволяє ефективно обчислювати взаємну індуктивність та її похідні з будь-якою заданою точністю. Таким чином, отримано достатній набір інструментів для дослідження стійкості вибраного класу моделей.

Проведено дослідження низки конкретних конфігурацій магнітних тіл, у яких реалізується МПЯ або стійка магнітна левітація.

У випадках, коли МПЯ принципово є недосяжною, система досліджувалася на можливість магнітної левітації. Показано, що у системах із МПЯ завжди є досяжною магнітна левітація, хоч зворотне - невірно.

Передумовою для пошуку МПЯ або магнітної левітації у всіх задачах цього розділу був феномен МПЯ.

Вперше проведено вичерпне аналітичне дослідження стійкості рівноваги у системі, яка складається з надпровідного кільця та магнітного диполя, що знаходиться в однорідному полі сили тяжіння. Доведено, що у такій системі магнітна левітація існує виключно у вигляді магнітного підвісу. Є три незалежні умови:

;;, (6)

де ;

;

;

;

;

- радіус надпровідного кільця;

- магнітний потік, заморожений в надпровідному кільці;

- величина магнітного моменту диполя.

Отримано також вираз для магнітної сили на осі :

. (7)

Область стійкості у такій системі має вигляд (див. рис.1):

Рис.1. Область стійкості магнітного підвісу у положенні
під надпровідним кільцем.

Проведено числове моделювання магнітної левітації у системі, що складається з двох надпровідних кілець.

Характерні результати числових експериментів по знаходженню областей стійкості представлено на рис.2-3 для різних значень параметрів та ,

де ;

(,);

- радіуси кілець;

- власні та взаємні індуктивності кілець;

- “заморожені” в кільцях магнітні потоки.

Отримані результати підтверджують висновок (Козоріза та Чеборіна) про можливість магнітного підвісу у такій системі.

а) б)

Рис.2. Залежність області стійкості від .

На рис.2 (а та б) побудовано криві 1-3 при значеннях , та , відповідно.

а) б)

Рис.3. Залежність області стійкості від .

На рис.3 (а та б) побудовано криві 1-3 при значеннях, та, , відповідно.

Доведено існування МПЯ у системі двох многозв’язних тіл у зовнішньому однорідному магнітному полі. Перше складається з трьох механічно зв'язаних, але гальванічно - розв'язаних, взаємно перпендикулярних та концентричних надпровідних кілець, а друге являє собою надпровідне кільце, див. рис.4.

Аналітично отримано необхідні та достатні умови існування МПЯ, причому необхідні умови рівноваги визначаються умовою реалізації феномену МПЯ, а достатні мають вигляд:

, (8)

де ;

- власна індуктивність одного з кілець, що входить до многозв’язного тіла та співвісне до вільного кільця у положенні рівноваги;

- взаємна індуктивність вищезгаданих кілець.

Умову (8) виведено у припущенні малості зовнішнього магнітного поля.

Рис.4. Восьмизв’язна магнітна конфігурація з МПЯ.

Доведення існування МПЯ істотно спрощується у системі, що конструктивно повторює описану вище систему, але з постійним магнітом замість надпровідного кільця. Необхідні умови рівноваги, як і раніше, визначаються умовами реалізації феномену МПЯ. Достатні умови полягають у тому, що вектор магнітного моменту співпадає за напрямом із вектором зовнішнього магнітного поля.

На відміну від попереднього випадку виведення достатніх умов не пов'язане із обмеженнями на величину зовнішнього магнітного поля.

Чисельно доведено можливість існування МПЯ у системі, що складається із трьох тіл за відсутності зовнішнього магнітного поля. Перше з них повторює конструкцію нерухомого тіла у двох попередніх систем, а друге нерухоме тіло є надпровідним кільцем, яке співвісне відносно кільця першого нерухомого тіла, що несе ненульовий магнітний потік. Третє - вільне - є надпровідним кільцем. Отримано конкретні значення параметрів, при яких є МПЯ. У всіх описаних системах пошук МПЯ здійснювався шляхом перевірки гіпотези існування МПЯ у точці рівноваги. За цієї мети обчислювався гессіан потенційної енергії системи у точці рівноваги. Проводилося дослідження матриці гессіана на позитивну визначеність. Як незалежною перевіркою МПЯ проводилося пряме порівняння значення енергії у точці МПЯ з точками у її околиці. Вибір точок здійснювався випадковим чином (від ~1000 до ~10000).

У четвертому розділі поставлено задачу дослідження стійкості рівноваги магнітного диполя, що взаємодіє з внутрішньою поверхнею надпровідної сфери, і отримано її вичерпне аналітичне розв'язання.

Для знаходження магнітної потенційної енергії взаємодії диполя з надпровідною сферою була вирішена крайова задача Неймана для скалярного магнітного потенціалу диполя всередині надпровідної сфери.

Вирішення даної задачі було зведене до розв'язання допоміжної про два заряди всередині надпровідної сфери, що значно спростило аналітичний розгляд. Одне джерело (“рухливе”) у точці з радіусом-вектором , а друге (“компенсуюче”) у центрі і має протилежний знак (див. рис.5).

Рис.5. Надпровідна сфера та два джерела. Вектори:
;;.

Цей другий заряд створює через поверхню сфери той самий потік, що й перший заряд, але іншого знаку, тому сумарний потік через сферу дорівнює нулю, що є умовою несперечливості для крайової задачі Неймана. Вирішення допоміжної задачі шукалося у вигляді розкладання у ряди за сферичними функціями відповідно до викладеної у першому розділі математичної теорії. Використання паралелей із задачею Діріхле про електричний заряд всередині провідної сфери та з методом дзеркальних зображень дозволило записати отримані ряди у кінцевому вигляді через елементарні функції:

, (9)

де

- радіус сфери;

, - радіус-вектори точки спостереження поля та положення

“рухливого заряду” відповідно;
вектори:,.

Формула (9) дає остаточне вирішення нашої допоміжної задачі. Безпосередня перевірка показує, що це рішення задовольняє як рівнянню Пуассона, так і граничним умовам.

Отже вирішення основної крайової задачі (знаходження скалярного магнітного потенціалу диполя) отримуємо у результаті диференціювання знайденого потенціалу за радіусом-вектором рухливого” заряду у напрямку магнітного моменту диполя:, де - магнітний момент диполя.

Магнітне поле диполя знаходимо за допомогою взяття градієнта зі знаком мінус від отриманого скалярного потенціалу за координатами точки спостереження:.

Енергію взаємодії диполя з індукованим ним магнітним полем обчислюємо за формулою та приводимо до простого аналітичного виду:

, (10)

де , ,.

Із формули (10) отримаємо вираз для радіальної та перпендикулярної до радіуса-вектора складової сили:

; (11)

. (12)

Формула (11) показує, що максимальне та мінімальне значення радіальна сила досягає при та. Із формули (11) також видно, що радіальна сила всюди спрямована до центру сфери незалежно від орієнтації, а у центрі сфери перетворюється на нуль також незалежно від . Перпендикулярна складова сили (12) всюди дорівнює нулю при, а у центрі перетворюється на нуль незалежно від . Отже, центр сфери є положенням рівноваги диполя. Різниця між енергією у деякій довільній точці та енергією у центрі сфери має вигляд:

(13)

та задовольняє нерівностям :

. (14)

Таким чином, будь-яка зміна просторової координати диполя обов’язково призводить до збільшення магнітної потенційної енергії у співвідношенні із вихідною, а при енергія прямує до рівномірно по . Таку поведінку потенційної енергії можна назвати просторовою МПЯ, оскільки диполь утримується поблизу центра сфери незалежно від його орієнтації. Вирішення цієї задачі дозволило вирішити основну задачу щодо левітації магніту над увігнутою поверхнею надпровідної чаші. Експериментально така конфігурація магнітних тіл була здійснена в досліді Аркадьєва - Капіци.

Поверхня чаші моделювалася сегментом сфери. Оскільки при наявності сили тяжіння магніт наближається до поверхні сфери, а магнітна сила швидко зменшується, то взаємодія відбувається в основному із ділянкою сфери, розмір якої є порядку відстані від магніту до поверхні сфери. Таким чином, крайовими ефектами можна знехтувати, а ідеалізована задача про взаємодію магнітного диполя із внутрішньою поверхнею надпровідної сфери описує істотні особливості даного досліду у випадку, коли відстань від магніту до поверхні значно менше відстані до центра сфери. Вище показано, що для чисто магнітної взаємодії рівновага досягається у центрі сфери. У присутності однорідного гравітаційного поля магнітна сила може бути урівноваженою силою тяжіння, направленою проти осі . У цьому разі, варіюючи співвідношенням магнітної та гравітаційної сили, рівноваги вздовж осі можна досягти у будь-якій точці осі , що проходить через центр сфери та лежить нижче центра. Як видно із формули (12), перпендикулярна до осі складова сили обертається в нуль при, тобто необхідні умови рівноваги виконуються для приведених значень кута .

Розкладаючи повну енергію взаємодії у точці рівноваги в ряд Тейлора за змінними та до другого порядку включно, маємо:

. (15)

Завдяки лінійній залежності потенційної енергії сили тяжіння від координати вона не дає вкладу у другий порядок цього розкладання, тому достатньо врахувати розкладання магнітної енергії до другого порядку включно.

Аналіз показує, що тільки для кута потенціальна енергія має мінімум, так як коефіцієнти квадратичної форми мають вигляд:

;;, (16)

тому форма є позитивно визначеною, що відповідає стійкій магнітній левітації диполя з магнітним моментом, орієнтованим паралельно до поверхні надпровідної чаші.

У п’ятому розділі виявлено можливість значного збільшення жорсткості МПЯ підвіски за рахунок збільшення кількості надпровідних струмонесучих витків (n), що утворюють магнітні утримуючі сили підвіски. Вирішено задачу оптимізації щодо збільшення кількості кілець. Математично задача зводиться до розв’язання лінійної алгебраїчної системи виду:

, (17)

де, ,;;, ,; – струм і-кільця, – власна індуктивність і-кільця, , , – взаємні індуктивності.

Щодо компонент матриці можна зауважити наступне. За порядком величини взаємні індуктивності нерухомого та малих надпровідних кілець, власні індуктивності однакових малих кілець та їх взаємні індуктивності будуть

, , , , (18)

причому, де - радіуси малих кілець, а - відповідно, товщина кільця (). Враховуючи ці оцінки, застосуємо методи теорії збурень для отримання розв’язку системи (17). Оцінки (18) дозволяють отримати співвідношення:

, ,;,. (19)

Отже, остаточно для жорсткості можна записати:

. (20)

Маючи формулу (20) та враховуючи (19), отримали додаткові оцінки:

, а. (21)

Оскільки малі надпровідні кільця розташовані в одній площині всередині кільця 2, між їх кількістю та їх площею існує співвідношення:

. (22)

Суму у формулі (20) можна оцінити таким чином:

. (23)

Це означає, що збільшення кількості елементів в одній площині призводить до збільшення жорсткості, але починаючи з деякої кількості, навпаки, жорсткість не збільшується, а зменшується. Детальне числове моделювання цієї системи підтвердило отриманий результат. Найбільш цікавим є той факт, що для 2n- зв’язної системи абсолютне значення радіальної жорсткості з уведенням малих кілець по відношенню до випадку, коли малі кільця відсутні, зросло на декілька порядків.

Метою теоретичних оцінок п.5.3 цього розділу дисертації було дослідження можливості пониження жорсткості підвісу (чутливої маси гравіметра) при збереженні стійкості вільного стану підвішеної проби. Була побудована одномірна модель взаємодії трьох надпровідних кілець, два з яких знаходяться у паралельних горизонтальних площинах і мають спільну вісь симетрії, а третє вільне (підвіс) знаходиться між ними (див. рис.6).

Рис.6. Схема магнітної підвіски гравіметра та “прямокутна” МПЯ.

Ідея такої підвіски є очевидною з рис.6. Крива 1-2 (магнітна сила між кільцями 1 і 2, що взаємодіють у мінімумі магнітної енергії), крива 2-3 (магнітна сила між кільцями 2 і 3). Такий вигляд кривої можна забезпечити в окремому випадку нульового замороженого потоку в кільці 3. Сума ординат кривих 1-2 та 2-3 дає криву “А”, що має дуже пологий проміжок зростання між точками та . Отже продемонстровано принципову можливість керування формою силової взаємодії та можливість створення силової взаємодії типу “прямокутна” МПЯ.

ВИСНОВКИ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ ПРАЦЬ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

АНОТАЦІЯ

Зуб С.С. Вплив топології надпровідних елементів на стійкість рівноваги вільного тіла. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, Україна, 2005 р.

Дисертацію присвячено розробці нових математичних моделей електромеханіки та розв'язанню проблеми щодо можливості існування стійкої безконтактної статичної рівноваги тіл, які взаємодіють виключно магнітними силами, а також вивченню фізичних механізмів здійснення такої рівноваги.
У дисертації розглядаються два можливі класи безконтактної статичної рівноваги, а саме: рівновага, зумовлена мінімумом магнітної потенційної енергії, так звана магнітна потенційна яма (МПЯ), та рівновага, відома як магнітна левітація. Отримано конструктивні доведення існування МПЯ, тобто наведено декілька конкретних конфігурацій магнітних тіл, у яких доводимо (як правило, аналітично) наявність дійсного мінімуму магнітної потенційної енергії. Встановлено вплив топології тіл як на фізичні механізми досягнення статичної магнітної рівноваги, так і на деякі його характеристики. Показано, що як МПЯ, так і магнітна левітація можливі, як мінімум, на основі двох принципово різних магнітних явищ, а саме: ефекту діамагнітного відштовхування та феномену МПЯ. У першому випадку магнітна левітація можлива виключно у вигляді магнітної подушки, а в другому - у вигляді магнітного підвісу.

Ключові слова: математичне моделювання, стійкість, теорема Ірншоу, ефект діамагнітного відштовхування, феномен МПЯ, конфігурації магнітних тіл, магнітна левітація, МПЯ, задача Неймана, топологія надпровідних елементів.

Zub S.S. Influence of superconductive elements topology on the stability of the free body equilibrium. - Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree in technical sciences by speciality 01.05.02 - mathematical modeling and numerical methods. - Institute of Cybernetics named by V.M. Glushkov of NASU, Kyiv, Ukraine, 2005.

Dissertation is devoted to the elaboration of new electromechanics mathematical models and to the solving of the possibility of steady contact free static equilibrium bodies (interacting only by magnetic forces) question, and also to the studding of the physical mechanisms of such equilibrium realization. In dissertation two possible types of the free contact static equilibrium are considered, namely, the equilibrium, conditioned by the minimum of the magnetic potential energy, so called: Magnetic Potential Well (MPW), and the equilibrium, reputed as the MagLev. The constructive proofs of the MPW existence are got, a few concrete configurations of the magnetic bodies are designed, in latter the presence of strict