НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ГІДРОМЕХАНИКИ

Чан Хиу Дат

(В’єтнам)

УДК 534.2

ДОСЛІДЖЕННЯ ІМОВІРНІСНИХ ХАРАКТЕРИСТИК АКУСТИЧНИХ ФЛУКТУАЦЇЙНИХ СИГНАЛІВ

01.04.06 –акустика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Киев –1999

Дисертація є рукописом

Робота виконана на кафедрі акустики та акустоелектроніки, Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут” (НТУУ “КПІ”)

Науковий керівник - доктор технічних наук, професор,

ДІДКОВСЬКИЙ Віталій Семенович,

НТУУ “КПІ”, завідувач кафедри

акустики і акустоелектроніки

Офіційні опоненти: -доктор фізико-математичних наук

КАЛЮЖНИЙ Олександр Якович,

Науково-виробниче підприємство ”Дельта”

міністерства промислової політики України,

головний науковій співробітник

- доктор фізико-математичних наук,

СЕНЧЕНКОВ Ігор Костянтинович,

Інститут механіки НАН України,

головний науковій співробітник

Провідна установа: Київський університет ім. Тараса Шевченка

Захист відбудеться “30” вересня 1999 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.196.01 в Інституті гідромеханіки НАН України за адресою: 252057 Київ, вул. Желябова, 8/4.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту гідромеханіки НАН України.

Авторефрат розісланий “28” серпня 1999 року.

Вчений секретар

Спеціалізованої вченої ради Криль С.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Однією з основних задач дослідження різноманітних фізичних і технічних об'єктів акустичними методами є задача вилучення корисної інформації з акустичних сигналів, що характеризують стан цих об'єктів і мають, як правило, випадковий характер. Успішне рішення зазначеної задачі в значній мірі залежить від обраної математичної моделі акустичного сигналу, що повинна відбивати найбільш характерні сторони досліджуваного фізичного явища.

В даний час для опису різноманітних акустичних сигналів у гідроакустиці, неруйнівному контролі і діагностиці в основному застосовуються корреляційно - спектральні моделі - гармонізовані, періодично - коррельовані, стаціонарні й ін., що дозволяють ефективно вирішувати задачу виявлення й оцінки параметрів луна - сигналів в активних акустичних системах.

У останні десятиліття широке застосування знаходять пасивні акустичні методи і системи дослідження, діагностики і контролю фізичних об'єктів, що використовують корисну інформацію, яка міститься в акустичних флуктуаційних сигналах, що генеруються самими об'єктами.

До таких сигналів відносяться, зокрема, сигнали акустичної емісії, шуми кавітації, шуми, що виникають при розсіюванні на неоднорідностях середовища, віброакустичні шуми підшипників та ін.

Аналіз відомих результатів досліджень акустичних флуктуаційних сигналів, проведених Д.Міддлтоном, В.А.Акулічевим, В.І.Іл'їчевим, Ю.А.Левковсьським, В.П.Морозовим, Ю.Б.Дроботом та ін., показує, що вони мають у загальному випадку негауссовий закон розподілу, достатньо рівномірну спектральну щільність у широкому діапазоні частот і в ряді випадків нестаціонарний характер.

У зв'язку з цим представляється актуальним обгрунтування математичної моделі акустичних флуктуаційних сигналів, що відбиває їх особливості і дозволяє крім корреляційно - спектральних характеристик знаходити більш повні імовіросні характеристики досліджуваних процесів, зокрема, їхній закон розподілу.

Вимогам простоти й універсальності задовольняє математична модель лінійних випадкових процесів, прийнята в дисертації для опису акустичних флуктуаційних сигналів. Ця модель є узагальненням канонічних моделей, розроблених В.С.Пугачовим, моделі дробового шуму, уперше дослідженої В.І.Бунімовичем і С.Райсом, і моделі пуассонових імпульсних процесів, що узагальнюють модель дробового шуму і досліджені А.М.Малаховим, Л.П.Зачепицькою,В.І.Тихоновим, М.А.Мироновим, Э.Гілбертом, Х.Полаком, С.Вольфом та інш.

Лінійні випадкові процеси є основою методу стохастичних інтегральних зображень, розробленого Б.Г.Марченко. Цей метод розвиває метод формуючого фільтра (Дж.Х. Леннінг і Р.Беттін), метод породного процесу (Т.Кайлатц), метод процесу, що обновляє, (Ю.А.Розанов). Клас лінійних випадкових процесів із дискретним часом досліджувався О.Я.Хінчиним, Г.Волдом, А.М.Колмогоровим, лінійні процеси з неперервним часом вивчали Р.Луганані, Д.Томас, П.Піэрра, Б.Г.Марченко, Л.М.Щербак.

Для класу лінійних випадкових процесів отримані загальні формули для знаходження їх одновимірної та багатовимірної характеристичних функцій, розглянуті задачі лінійних і нелінійних перетворень. Фундаментальною властивістю лінійних випадкових процесів є безмежна подільність їхньої характеристичної функції, що призводить до значних проблем при дослідженні законів розподілу лінійних випадкових процесів. Суть цієї проблеми відома в математичній літературі (О.Я.Хінчин, Б.В.Гнеденко, А.М.Колмогоров, П.Леви, В.М.Золота рьов, В.В.Петров та інш.) і полягає в тому, що для безмежно подільних розподілів знаходження функції розподілу є в загальному випадку нерозв'язною задачею.

У зв'язку з цим для дослідження законів розподілу акустичних флуктуаційних сигналів представляється доцільним використовувати метод пуассонових спектрів, запропонований і досліджений О.І. Красильніковим. У основі цього методу лежить канонічне представлення характеристичної функції лінійних випадкових процесів, спектральна функція стрибків яких цілком визначає закон розподілу досліджуваних процесів і їхніх лінійних перетворень. Слід зазначити, що в даний час найбільше повно дослідена спектральна функція стрибків стаціонарних лінійних процесів, причому більшість наявних результатів мають загальний характер, що ускладнює їхнє практичне використання.

Таким чином, актуальною є задача дослідження спектральної функції стрибків нестаціонарних лінійних процесів, використання якої дозволяє аналізувати закони розподілу акустичних флуктуаційних сигналів.

Зв'язок роботи з науковими програмами НТУУ “КПІ”. Дослідження, що складають основний напрямок дисертаційної роботи, здійснювалися відповідно до наукових напрямків і планів кафедри акустики та акустоелектроніки НТУУ “КПІ”.

Мета та задачі дослідження. Метою дослідження є розробка придатного для інженерного застосування математичного апарата аналізу законів розподілу негауссових нестаціонарних акустичних флуктуаційних сигналів.

Для досягнення поставленої мети в дисертації необхідно вирішити такі задачі:

1)

1)

1)

1)

1)

1)

1)

1)

Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному:

1)

1)

1)

1)

1)

1)

Практичне значення отриманих результатів роботи полягає в тому, що:

1)

1)

1)

1)

Окремі результати дисертаційної роботи використовуються в навчальному процесі на кафедрі акустики та акустоелектроніки НТУУ “КПІ” і рекомендовані для впровадження на промислових підприємствах, що займаються розробкою пасивних акустичних систем неруйнівного контролю і діагностики.

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати дисертаційної роботи подані і докладені на 3-х міжнародних науково - технічних конференціях: 134-ій конференції Акустичної асоціації Америки, Сан-Дієго, США, 1-5 грудня 1997; Міжнародній науково - технічній конференції “Проблеми фізичної та біомедичної електроніки”, 28-30 травня 1998 р., Київ, Україна; Міжнародній науково-практичній конференції “Сучасна інформатика та энергозберігаюча технологія життєзабезпечення людей (СІЕТ-98)”, 4-6 червня 1998 р., Карпати, Україна.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 7 наукових працях, у тому числі 4-х наукових статтях і 3-х тезах доповідей.

Особистий внесок автора. Подані в дисертації основні результати отримані автором самостійно. У спільних роботах автору належать рішення задач знаходження спектральної функції стрибків акустичних флуктуаційних сигналів, імовірносних характеристик сигналів акустичної емісії.

Структура роботи й обсяг. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, висновків і списку літератури. Загальний обсяг дисертації складає 176 стр. і включає 148 стр. основного машинописного тексту, 14 рисунків на 16 стор., 12 стор. списку літератури (136 найменувань).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ.

У вступі обгрунтовується актуальність тими, вказана її практична цінність і наукова новизна.

У першому розділі обгрунтовані математична модель і метод дослідження імовірнісних характеристик акустичних флуктуаційних сигналів. У ньому розглянуті особливості деяких акустичних флуктуаційних сигналів - сигналів акустичної емісії, кавітаційного шуму, шумів розсіювання на неоднорідностях середовища, віброакустичних шумів підшипників, шумового фона моря, шумів електроакустичного тракту.

Аналіз показав, що акустичні флуктуаційні сигнали являють собою результат накладення великого числа елементарних імпульсів із випадковими параметрами, що виникають у випадкові моменти часу. У ряді випадків акустичні флуктуаційні сигнали мають нестаціонарний характер, обумовлений різноманітною формою елементарних імпульсів і флуктуацією у часі їх кількості. Спектральна щільність акустичних флуктуаційних сигналів практично рівномірна в достатньо широкому діапазоні частот (до декількох мегагерц) і в більшості випадків їхній закон розподілу відрізняється від гауссового.

Далі в роботі проаналізовані різноманітні моделі акустичних флуктуаційних сигналів, серед яких основна увага виділена конструктивним моделям, що базуються на деяких фізичних передумовах і дозволяють зв'язати параметри фізичних явищ із імовірнісними характеристиками відповідних їм випадкових сигналів.

В даний час основними конструктивними моделями флуктуаційних сигналів є канонічні моделі, модель дробового шуму, пуассонові імпульсні процеси та лінійні випадкові процеси.

Канонічні моделі флуктуаційних сигналів засновані на методі канонічних розкладань випадкових функцій, розробленому В.С.Пугачовим. Дискретна форма канонічних розкладань випадкового процесу має такий вигляд

, | (1)

де , - некорельовані випадкові величини, що називаються коефіцієнтами канонічного розкладання, - детерміновані функції, що називаються координатними функціями.

Інтегральна форма канонічного розкладання процесу визначається формулою

, | (2)

де - білий шум у широкому значенні, - координатна функція, що є детермінованою функцією двох аргументів.

Канонічні моделі, незважаючи на їхню відносну простоту, мають обмежене застосування, оскільки дозволяють вирішувати задачу дослідження флуктуаційних сигналів лише в рамках кореляційно - спектральної теорії, а координатні функції не завжди відбивають фізику виникнення флуктуаційних сигналів.

Модель дробового шуму описується формулою

. | (3)

де - однорідний процес Пуассона з параметром , - детермінована функція, що описує форму елементарного імпульсу, , - його випадкова амплітуда, , - час виникнення.

Ця модель уперше систематично вивчена В.І.Бунімовичем і С.Райсом при дослідженні ними імовірносних характеристик дробового ефекту в електронних лампах. Ними отримані одновимірна і багатовимірна характеристичні функції дробового шуму (3), його одновимірні кумулянти, кореляційно - спектральні характеристики, вирішені задачі аналізу лінійних і деяких нелінійних перетворень дробового шуму і задача перетинань їм заданого рівня. З отриманих результатів випливає, що дробовий шум є стаціонарним у вузькому значенні випадковим процесом,

Щільність імовірностей дробового шуму приблизно вважається гауссовою. Таке наближення обгрунтоване на основі припущення про достатньо велике середнє число перекривних імпульсів, зокрема при виконанні умови , де - тривалість (ефективна тривалість) елементарного імпульсу .

Модель дробового шуму, незважаючи на широке застосування в радіофізиці, статистичній радіотехніці, електроніці, у дослідженнях феромагнетизму та в акустиці, має обмежену придатність, оскільки дозволяє описувати тільки стаціонарні сигнали. Це явилося причиною різноманітних узагальнень моделі дробового шуму і досліджень їх імовірнісних характеристик. В даний час є два основних напрямки узагальнення моделі дробового шуму, одне з яких призводить до моделі пуассонових імпульсних процесів, а інше - до моделі лінійних випадкових процесів.

Модель пуассонових імпульсних процесів загального виду описується формулою

, | (4)

де - неоднорідний процес Пуассона; - моменти виникнення імпульсів; - послідовність незалежних - вимірних однаково розподілених випадкових величин, що не залежать від ; - незалежні між собою і з однаково розподіленої випадкової величини; - детермінована функція, що залежить від випадкових величин і .

Модель (4) вивчалася різноманітними авторами. У роботах В.І.Тихонова та М.А.Миронова приведені формули, що дозволяють знаходити моменти другого порядку й одновимірні і двувимірні характеристичні функції, проте їхнє практичне застосування наштовхується на непереборні обчислювальні труднощі. У більшості робіт вважається, що закон розподілу моделі (4) є приблизно гауссовсим.

Модель лінійних випадкових процесів описується формулою

, | (5)

де - стохастично неперервний неоднорідний процес із незалежними приростами, називаний породним процесом; - невипадкова функція, називана ядром випадкового процесу.

У дисертаційній роботі показано, що лінійні випадкові процеси містять у собі канонічні моделі, модель дробового шуму, пуассонові імпульсні процеси при вироджених випадкових величинах , а також усе флуктуаційні сигнали виду

, | (6)

де - неоднорідний процес Пуассона.

Лінійні випадкові процеси можна розглядати, як результат фільтрації білого у вузькому значенні нестаціонарного шуму непараметричною лінійною системою з імпульсною характеристикою .

Клас лінійних випадкових процесів найбільше докладно досліджений у роботах Б.Г.Марченко, у яких отримані загальні формули для знаходження їх одновимірної та багатовимірної характеристичних функцій, одновимірних і багатовимірних кумулянтних функцій; розроблений метод кореляційного аналізу нелінійних перетворень лінійних випадкових процесів. Крім того, у роботах різноманітних авторів розглянуті задачі лінійних і нелінійних перетворень лінійних випадкових процесів, досліджені властивості їх одновимірної характеристичної функції.

Таким чином, лінійні процеси є найбільше загальною і добре вивченою моделлю, тому вони прийняті в дисертаційній роботі в якості моделі акустичних флуктуаційних сигналів.

Важливою властивістю лінійних випадкових процесів є безмежна подільність їхньої характеристичної функції, унаслідок чого знаходження їхньої функції розподілу є в загальному випадку нерозв'язною задачею.

У зв'язку з цим для дослідження законів розподілу лінійних випадкових процесів вважається доцільним використовувати метод пуассонових спектрів, запропонований і досліджений О.І.Красильніковим.

Цей метод заснований на представленні характеристичної функції лінійних випадкових процесів у канонічній формі Колмогорова

, | (7)

де функція є математичним сподіванням процесу , а функція характеризує його пуассоновий спектр і називається спектральною функцією стрибків Колмогорова.

Параметри канонічного представлення взаємно однозначно пов'язані з характеристичною функцією , що дозволяє зводити задачу дослідження законів розподілу лінійних процесів і їхніх лінійних перетворень до досліджень спектральних функцій стрибків.

У роботах О.І.Красильнікова отримана спектральна функція стрибків лінійних процесів із неоднорідним породним процесом

. | (8)

яка досліджувалась ним для випадку однорідного породного процесу і кусково-монотонного ядра.

До невирішених питань, що обмежують практичне застосування методу пуассонових спектрів і потребують спеціального дослідження можна віднести дослідження спектральної функції стрибків лінійних випадкових процесів із неоднорідним породним процесом; знаходження спектральних функцій стрибків типових моделей акустичних флуктуаційних сигналів; розробка засобів експериментального знаходження спектральної функції стрибків.

У другому розділі досліджена спектральна функція стрибків акустичних флуктуаційних сигналів.

На основі аналізу властивостей спектральної функції стрибків породного процесу виділений клас процесів із незалежними приростами з мультиплікативною спектральною функцією стрибків і введене поняття спектральної щільності стрибків; показано, що узагальнений процес Пуассона, стрибки якого є дискретними випадковими величинами, може бути поданий у виді суми простих процесів Пуассона; отримані в явному виді спектральні функції стрибків узагальненого процесу Пуассона з рівномірним, гауссовим, показовим, гама і лапласовським розподілом стрибків.

Для лінійних випадкових процесів, у яких спектральна функція стрибків породного процесу є мультиплікативною, тобто задовольняє умові

, | (9)

спектральна функція стрибків має вид

, | (10)

де ядро перетворення дорівнює

, | (11)

а , оскільки - неперервна функція, що не убуває.

У дисертаційній роботі розглянуті окремі випадки формули (10), коли породний процес є процесом броунового руху, простий процес Пуассона, у якого стрибки рівні сталій , узагальнений процес Пуассона, у якого стрибки -дискретні випадкової величини та неперервні випадкової величини.

Розглянуті окремі випадки показують, що основна проблема при знаходженні спектральної функції стрибків лінійних випадкових процесів повязана з обчисленням ядра перетворення і полягає в знаходженні явного виду області інтегрування |

(12)

Для ядра , що задовольняє умовам: ; ; - монотонна, неперервна функція, у дисертаційній роботі отримана формула для знаходження спектральної функції стрибків лінійних випадкових процесів із неоднорідним породним процесом |

(13)

де

, | (14)

, | (15)

де - функція, обернена , , .

Проаналізуємо отриманий результат, з огляду на трактування лінійних випадкових процесів як відгуку лінійної системи з імпульсною характеристикою на вплив білого шуму з параметрами характеристичної функції . При рівності нулю другого доданку у формулі (13) спектральна функція стрибків лінійних випадкових процесів збігається зі спектральною функцією стрибків породного процесу із точністю до масштабного множника . У цьому випадку лінійна система зберігає закон розподілу білого шуму і лише змінює його часовий характер. Таким чином, функція , визначена формулою (14), показує ступінь зміни закону розподілу лінійного процесу стосовно породного процесу.

Далі в роботі розглянутий важливий окремий випадок, коли породним є однорідний процес із незалежними приростами, а ядро задовольняє сформульованим вище умовам і є кусково-монотонною функцією, тобто може бути подана у виді |

(16)

де - монотонні функції на ділянках монотонності .

У цьому випадку спектральна функція стрибків виражається формулою |

(17)

Зупинимося на задачі дослідження закону розподілу відгуку лінійною системою з імпульсною характеристикою на вплив лінійного процесу з ядром . У цьому випадку процес на виході системи буде також лінійним процесом із ядром |

(18)

Якщо ядро задовольняє сформульованим раніше умовам, то всі отримані результати застосовні і для дослідження трансформації законів розподілу лінійних випадкових процесів при їхніх лінійних перетвореннях.

Таким чином, отримані результати дозволяють аналізувати закони розподілу акустичних флуктуаційних сигналів і їхніх лінійних перетворень, при цьому функція є кількісною характеристикою розходження законів розподілу впливу і відгуку.

На основі отриманих результатів у дисертаційній роботі досліджені закони розподілу деяких стаціонарних моделей акустичних флуктуаційних сигналів із конкретними ядрами .

Зокрема, для експоненціального ядра

, | (19)

спектральна функція стрибків дорівнює

, | (20)

де - спектральна функція стрибків Леві породного процесу.

Для степеневого ядра

, | (21)

формула для обчислення спектральної функції стрибків має вигляд

, | (22)

де

, | (23)

Для ядра, що має релаксаційний вигляд

, | (24)

де

, | (25)

, | (26)

- деякі константи, формула для знаходження спектральної функції стрибків має вигляд

, | (27 )

де

,

-функція Леві породного процесу

.

Для розглянутих ядер отримані спектральні функції стрибків при різноманітних породних узагальнених процесах Пуассона, на основі яких проаналізовані закони розподілу розглянутих типових моделей.

Далі в дисертаційній роботі розглянута задача оцінювання характеристичної функції і спектральної функції стрибків акустичних флуктуаційних сигналів.

На підставі проведеного статистичного аналізу різноманітних датчиків рівномірно розподілених чисел, описаних у літературі і використовуваних у деяких прикладних пакетах, у дисертаційній роботі обраний датчик рівномірних чисел, що показав кращі результати. На базі цього датчика по стандартних алгоритмах проведене моделювання тестових сигналів, використовуваних для перевірки алгоритмів оцінювання характеристичної функції і спектральної функції стрибків.

Для оцінки характеристичної функції використовувалася формула

, | (28)

де - вибірка обсягу , - незалежні відліки ергодичного акустичного флуктуаційного сигналу .

У дисертаційній роботі показано, що ця оцінка є незсуненою і слушною, її дисперсія дорівнює

. | (29)

і не перевищує значення . Це дозволяє вибирати число відліків процесу для забезпечення необхідної точності оцінки .

Далі в дисертаційній роботі отримана формула для оцінки спектральної щільності стрибків акустичних флуктуаційних сигналів

, | (30)

де і - оцінки модуля й аргументу характеристичної функції.

За результатами виконаної експериментальної перевірки запропонованих

оцінок на тестових моделях можна зробити висновки.

1.

1.

1.

1.

У третьому розділі досліджені імовірнісні характеристики сигналів акустичної емісії.

Проведений аналіз фізики виникнення і характеристик сигналів акустичної емісії дозволив обгрунтувати єдину модель неперервної й імпульсної емісії при розвитку поодинокої тріщини

, | (31)

де - неоднорідний процес Пуассона з математичним сподіванням , - амплітуди імпульсів, - ефективна тривалість імпульсу, яка при неперервній емісії лежить у діапазоні мкс, а при імпульсній емісії, що викликана виникненням мікротріщин в металі, дорівнює мкс.

При лінійному навантаженні функція може бути подана у виді степеневої залежності від часу

, | (32)

де стала характеризує швидкість зростання інтенсивності потоку акустичної емісії, а враховує властивості матеріалу і швидкість лінійної зміни зовнішнього навантаження .

Випадкові величини , що входять у модель сигналу акустичної емісії, визначаються своїм законом розподілу, що може бути різним для неперервної та імпульсної емісії. Крім того, при імпульсній емісії спостерігається збільшення амплітуд , унаслідок чого їхня функція розподілу може залежати від часу. Передбачається, що моменти розподілу амплітуд імпульсів акустичної емісії можуть бути представлені такою залежністю від часу.

, | (33)

де стала характеризує швидкість зростання амплітуд імпульсів акустичної емісії в часі, -початкові моменти амплітуд .

У дисертаційній роботі для прийнятої моделі отримана формула для знаходження одновимірних кумулянтних функцій і кореляційної функції сигналів акустичної емісії

. | (34)

. | (35)

де , .

. | (36)

З отриманих формул очевидно, що при =1 сигнал акустичної емісії є стаціонарним випадковим процесом, принаймні, у широкому значенні, і являє собою неперервну емісію.

При акустична емісія є імпульсною і являє собою нестаціонарний випадковий процес, причому ця нестаціонарність однаково виявляється як в одновимірних кумулянтних функціях, так і в кореляційній функції наявністю - го ступеня часового аргументу.

Виходячи з цього, можна стверджувати, що сигнал акустичної емісії має тренд виду

, | (37)

який не можна віднести ні до адитивного, ні до мультиплікативного. Цей тренд можна оцінювати традиційними методами, використовуючи в якості елементів вибірки не значення сигналу акустичної емісії, а оцінки однієї з його одновимірних кумулянтних функцій, наприклад, математичного сподівання, отримані на відносно коротких інтервалах часу. На підставі цих вимірів можна класифікувати джерела акустичної емісії по їхній активності відомими методами.

Далі в дисертаційній роботі отримана спектральна функція стрибків сигналів акустичної емісії

, | (38)

де - спектральні функції Колмогорова і Леві процесу .

Показано, що при експоненціальному розподілі амплітуд імпульсів сигнали акустичної емісії мають гама - розподіл.

Проведено експериментальне дослідження закону розподілу сигналів акустичної емісії методом імітаційного моделювання, результати якого дозволяють зробити висновки.

1.

1.

ВИСНОВКИ

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

По темі дисертації опубліковані такі праці:

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

Здобувач