НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова

Носов Костянтин Валентинович

УДК 517.956.223

Метод скінченних елементів з вибором координатних функцій при моделюванні фізичних процесів

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ 2006

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Українській інженерно-педагогічній академії, Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор,

Литвин Олег Миколайович,

Українська інженерно-педагогічна академія,

завідувач кафедри прикладної математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник,

Хіміч Олександр Миколайович,

Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова

НАН України,

завідувач відділом програмного

забезпечення і рішення задач,

кандидат фізико-математичних наук,

Семенов Володимир Вікторович,

Київський національний університет

ім. Т.Г. Шевченка,

асистент кафедри обчислювальної

математики.

Провідна установа: Інститут проблем машинобудування

ім. А.М. Підгорного НАН України,

відділ обчислювальних методів та прикладної

математики, м. Харків.

Захист відбудеться 14 квітня 2006 р. об 11 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України за адресою: Київ-187, пр. академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України за адресою: Київ-187, пр. академіка Глушкова, 40.

Автореферат розіслано 10 березня 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Синявський В.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При математичному моделюванні стаціонарних процесів різної фізичної природи приходять до крайових задач для еліптичних диференціальних рівнянь. Серед згаданих задач можна назвати задачі про стаціонарний розподіл тепла, задачі дифузії, задачі про електростатичні та електромагнітні поля, задачі про деформовані стани тіла тощо.

Зокрема, до задачі Діріхле для рівняння Пуассона приводять моделі наступних фізичних процесів. Рівняння теплопровідності є математичною моделлю розподілу температури у тілі або плоскій фігурі і встановлює залежність між температурою у кожній точці, теплоємністю, щільність речовини та коефіцієнтом теплопровідності. До рівняння електростатики зводиться математична модель розподілу потенціалу електричного поля, яке у діелектричному середовищі породжують стаціонарні заряди. Функція розподілу напруги у призматичному стрижні, бокова поверхня якого вільна від зусиль, а до торців прикладена сила, статично еквівалентна обертаючим моментам, зводиться до рівнянню Пуассона з константою у правій частині і граничною умовою Діріхле.

Бігармонічні рівняння є математичними моделями, які розглядає теорія пружності. Для дослідження міцності пластин, які застосовуються у багатьох технічних пристроях, потрібно визначити їх напружено-деформований стан, для чого використовуються відповідні математичні моделі опису деформування пластин. Крайова задача з граничними умовами ІІ роду для бігармонічного рівняння, розглянута у роботі, є математичним описом напруження у пластині з шарнірно опертим краєм.

Для дослідження вказаних математичних моделей, що зводяться до задачі Діріхле (рівняння Пуассона) та бігармонічної задачі з крайовими умовами ІІ роду застосовують ряд наближених методів, серед яких можна назвати метод скінченних різниць, варіаційні та проекційні методи (методи Релея-Рітця, Гальоркіна, Бубнова-Гальоркіна, Канторовича), метод інтегральних співвідношень Дородніцина тощо.

Метод скінченних елементів, який є частинним випадком варіаційних методів, посідає одне з найважливіших місць серед методів наближеного розв’язання крайових задач математичної фізики. У залежності від способів розбиття області на елементи різної геометричної форми, крайових умов та операторів задач в роботах різних авторів досліджена велика кількість системи координатних функцій з різними геометрично-апроксимативними властивостями. Коригування координатних функцій та/або згущення сітки розбиття в околі точок з особливостями точного розв’язку знайшло відображення в адаптивних схемах МСЕ. Цей підхід розроблявся такими авторами, як I. Babuљka, W.C. Reinboldt, M.R. Dorr, O.C. Zienkiewicz, J. Gago, B.Q. Guo, D.W. Kelly та іншими.

Визначний внесок у розвиток класичних підходів до побудови схем МСЕ при наближеному розв’язанні крайових задач з умовами спряженості внесено в роботах І.В. Сергієнко, В.С. Дейнеки, В.В. Скопецького. Оригінальний підхід до побудови наближених розв’язків крайових задач, що базується на врахуванні геометрії області та граничних умов задачі, реалізовано у методі R-функцій В.Л. Рвачова.

Деякі загальні підходи до конструювання скінченновимірного базису для побудови наближений розв’язків крайових задач (зокрема, для схем МСЕ) розглядалися у роботах J.J. Goel, G. Strang, Г.І. Марчука, В.І. Агошкова, С.Г. Міхліна, В.В. Смєлова та інших дослідників.

Аналіз згаданих та інших досліджень показує, що побудова систем координатних функцій враховує лише деякі властивості досліджуємої крайової задачі (як правило, належність узагальненого розв’язку до певного класу гладкості, задовільнення головним крайовим умовам тощо) і не завжди пов’язана з властивостями диференціального оператора задачі. Для досягнення потрібної точності це приводить інколи до необхідності розв’язувати системи лінійних рівнянь високого порядку, що вимагає великих витрат обчислювальних ресурсів.

Таким чином, є актуальною проблема побудови схем методу скінченних елементів, які при заданій кількості вузлів давали б найкраще у деякому розумінні наближення до точного розв’язку. Один з таких методів був запропонований в роботах О.М. Литвина і отримав назву оптимального методу скінченних елементів (ОМСЕ). ОМСЕ (при певній структурі наближеного розв’язку) полягає в оптимальному виборі скінченноелементного базису, координат вузлів розбиття області на елементи і вузлових параметрів. Цільовою функцією оптимізації є функціонал енергії, що відповідає досліджуваній крайовій задачі. Застосування методу, як показали числові експерименти, дозволяє значно знизити кількість степенів свободи (тобто порядок системи Рітця) для досягнення необхідної точності у порівнянні із звичайним МСЕ, що використовує кусково-поліноміальні елементи.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана на кафедрі прикладної математики Української інженерно-педагогічної академії.

Мета і задачі дослідження. Мета дослідження полягає у встановленні властивостей запропонованих схем МСЕ з вибором координатних функцій для обраних крайових задач (задача Діріхле для рівняння Пуассона, бігармонічна задача з крайовими умовами ІІ роду). Зокрема, особлива увага приділена наступним питанням: умовам існуванням розв’язків рівнянь, що виникають в запропонованих схемах МСЕ; оцінкам, пов’язаним з ітераційними методами; отриманню аналітичних виразів для координатних функцій; порівнянню отриманих за допомогою пропонованих схем МСЕ розв’язків з іншими, отриманими у рамках традиційного МСЕ.

Методи дослідження. До основних методів дослідження в роботі відносяться: теорія диференціальних рівнянь та їх систем, варіаційне числення та варіаційні методи нелінійних операторів, елементи диференціального числення в нормованих просторах. Числові експерименти проводилися з використанням пакетів програм на алгоритмічній мові Turbo Pascal та за допомогою систем комп’ютерної математики.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, отримані в роботі, є новими.

В даній роботі вперше отримані результати по застосуванню схем МСЕ з вибором координатних функцій до вибраних модельних задач (задача Діріхле для рівняння Пуассона, бігармонічна задача з крайовими умовами ІІ роду) для областей спеціального класу (які є об’єднанням прямокутників в зі сторонами, паралельними координатним осям).

Основою ітераційних алгоритмів знаходження скінченноелементних базисів є метод “фліп-флоп” (FF) побудови послідовності наближених розв’язків, який полягає у знаходженні на кожному кроці вузлових параметрів або координатних функцій (по черзі), що утворюють наближений розв’язок, з умови мінімума функціонала енергії поставленої задачі. В роботі досліджені деякі властивості наближених розв’язків, отриманих методом FF.

Для методу FF отримано апостеріорні оцінки (знизу) величини

(1)

де через позначений наближений розв’язок, отриманий на кроці під номером , — точний розв’язок відповідної задачі, — енергетична норма, пов’язана з оператором задачі.

Отримано деякі апріорні властивості вузлових параметрів, які обчислюються методом “фліп-флоп”, для двох видів розбиття прямокутної області.

Для бігармонічної задачі з крайовими умовами ІІ роду запропонова схема, яка дозволяє знаходити координатні функції за допомогою розв’язання звичайних (не симетрично-граничних, як у стандартному варіанті) крайових задач для диференціальних рівнянь.

Для обох розглянутих задач встановлені теореми існування та єдиності розв’язків симетрично-граничних крайових задач, які виникають при знаходженні чергових наближень координатних функцій згідно методу FF.

Практичне значення одержаних результатів. Практична значимість роботи пов’язана з можливістю застосування високоефективних досліджених схем МСЕ з вибором координатних функцій до реальних крайових задач математичної фізики розглянутих у роботі типів.

Результати роботи було використано при виконанні господарчого договору 24943 між ДП “Завод Малишева” та Національним технічним університетом “Харківський політехнічний інститут” (2005 р.).

Особистий внесок здобувача. Всі результати, які виносяться на захист, належать особисто дисертантові. Науковому керівникові належать загальна постановка задачі знаходження координатних функцій, а також схема методу “фліп-флоп” побудови ітераційної послідовності наближених розв’язків. Дисертантом також був застосований до систем диференціальних рівнянь відомий метод розв’язання симетрично-граничних задач для диференціальних рівнянь.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на Міжнародній конференції “Питання оптимізації обчислень” (Київ, 1997), Міжнародній науковій конференції “Современные проблемы концентрации напряжений” (Донецьк, 1998), Міжнародному симпозіумі “Питання оптимізації обчислень” (Кацивелі, Крим, 2001), на семінарах з обчислювальної математики кафедри прикладної математики Української інженерно-педагогічної академії, Х Міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (Київ, 2004).

Публікація результатів дослідження. По темі дисертації опубліковано 8 робіт, серед яких 4 статті у фахових журналах, затвердженим ВАК України, одна робота у матеріалах конференції, 3 роботи у збірниках наукових праць.

Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, одного додатку. Загальний обсяг роботи 144 сторінки, бібліографія налічує 93 джерела.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

У Вступі наведено обґрунтування актуальності вибраної теми дослідження, сформовано задачі роботи та викладено головні отримані результати.

Перший розділ містить аналітичний огляд літератури за темою дисертації та обгрунтовує вибір напрямку дослідження.

Другий розділ має назву “Метод скінченних елементів з вибором координатних функцій для рівняння Пуассона (задача Діріхле)”. Розглядається задача

(2)

для області, яка складається з об’єднання прямокутників ( — сітка розбиття, , ), () — крок сітки.

Наближений розв’язок задачі (2) на прямокутнику знаходиться у формі

(3)

де — сталі, (). Додатково вимагається, щоб для . При цьому виконується Позначимо множину вузлових параметрів через і будемо називати сукупність , , утворюючим набором, а кожен з цих елементів (, , ) — компонентами утворюючого набору.

Задачі (2) ставиться у відповідність еквівалентна задачі мінімізації функціоналу

(4)

Розглянемо наступну задачу

(5)

мінімізації функціонала (4) по утворюючому набору, який формує наближений розв’язок (3).

Теорема 1. Необхідними умовами екстремуму функціоналу на наборі є умови

(6)

(7)

де через позначені варіації функціонала по функціям , .

Перше з рівнянь (7) можна записати як

(8)

де залежать від

Для побудови наближеного розв’язку задачі (2) у формі (3) будемо використовувати наступний ітераційний процес, відомий під назвою “фліп-флоп” (FF). Через будемо позначати ітерацію номер функції . На першому кроці ітераційного процесу зафіксуємо функції з утворюючого набору, наприклад покладемо

З функціоналу енергії (4) задачі, знайдемо компонент , яка доставляє мінімум цьому функціоналу. Знайдену множину параметрів вважаємо початковим наближенням вузлових параметрів і позначимо через . Позначення “” вказує на те, що знайдені з використанням початкових наближень координатних функцій .

Очевидно, знаходятся з системи Рітця, яка записується у формі (6). При побудові наступних наближень для вузлових параметрів буде використовуватися той же принцип нумерації. На наступному кроці зафіксуємо компоненти та , а функцію знайдемо з умови мінімума функціонала енергії (4). Ця умова буде мати форму першого рівняння з (7). Користуючися засобами варіаційного числення, його можна записати як

(9)

з постійними коефіцієнтами . Диференціальні рівняння такого виду (з входженням функції з аргументом і ) у роботах О.М. Литвина отримали назву симетрично-граничних. Для однозначного знаходження його розв’язку треба враховувати граничні умови на

що випливає з належності до .

Таким чином, отримуємо граничну задачу, загальний вигляд якої можна записати як

(10)

Теорема 2. Cиметрично-гранична задача (10) еквівалентна двом граничним задачам

(11)

та

(12)

причому між , та існує зв’язок

Знайшовши з рівняння (9) функцію , знову звертаємося до системи Рітця (6), в яку підставляємо функції , . Знайдені з (6) параметри позначимо . Тепер, використовуючи , і друге рівняння (7), зрозумілим чином знаходимо функцію . Після цього переходимо до системи Рітця (6), знаходимо і т.д. Таким чином, кожен крок ітераційного процесу алгоритм FF полягає у знаходженні однієї з компонент утворюючого набору при фіксованиї двох інших компонентах.

Цю послідовність ітерацій умовно можна передати наступною схемою

Отримана умова існування і єдиності розв’язку симетрично-граничної задачі, яка виникає при знаходженні чергового наближення однієї з координатних функцій. Припустимо, що черговий крок ітераційного процесу полягає в знаходженні чергового наближення для . Для знайдених на попередніх кроках вузлових параметрів і збережемо ці позначення (без використання позначок для номерів ітерації).

Теорема 3. Розв’язок симетрично-граничного рівняння (8) існує і є єдиним при довільних компонентах утворюючого набору (вважається, що серед набору є ненульові параметри).

Аналогічний результат має місце також для кроку метода FF при знаходженні чергового наближення для .

Встановлені апостеріорні оцінки наближення за методом FF. Через позначимо точний розв’язок задачі (2).

Teорема 4. Якщо на попередньому кроці наближений розв’язок утворюється набором , а на наступному — , то має місце оцінка:

де , — енергетична норма, породжувана оператором задачі (2).

Teорема 5. Якщо на попередньому кроці наближений розв’язок утворюється набором , а на наступному — , то має місце оцінка:

(де , — представлені у вигляді векторів у дійсному евклідовому просторі набори та відповідно), є мінімальним власним значенням матриці Рітця, що утворюється функціями , .

Для двох типів розбиття області встановлена апріорна оцінка сталої з теореми 5. Саме, (і) при розбитті прямокутної області з одним вузловим параметром (4 елементи) та (іі) при розбитті прямокутної області з двома вузловими параметрами (6 елементів), коли сітка по змінній з більшою кількістю точок рівномірна (наприклад, , ) встановлена відділеність від 0. Це дозволяє встановити наступну властивість послідовності вузлових параметрів (наприклад, для розбиття типу (і)), отриманих за методом FF

Дані співвідношення встановлені на основі наступного результату.

Теорема 6. Якщо , то

Третій розділ має назву “Метод скінченних елементів з вибором координатних функцій для бігармонічної задачі з крайовими умовами ІІ роду”.

Шукаємо функцію задану в однозв’язній області яка задовольняє диференціальне рівняння

(13)

Як і для попередньої задачі, вважаємо, що границі області є відрізками, паралельними координатним осям. У цьому випадку крайові умови другого роду можна записати як

(14)

де — похідна по нормалі до границі області .

Розіб’ємо область на прямокутні елементи (як і у другому розділі) та покладемо

Наближений (узагальнений) розв’язок задачі (13)-(14) будемо шукати на прямокутнику у вигляді

(15)

де — сталі, — функції, що задовольняють умови

(16)

де .

Очевидно, що при такій формі представлення з умов (16) витікають рівності

(17)

Функціонал, що відповідає задачі (13)-(14), має вигляд

(18)

Як і для задачі Діріхле (рівняння Пуассона) поставимо задачі знаходження мінімума по утворюючому набору , , , , .

Теорема 7. Необхідною умовою екстремуму функціоналу (18) на наборі є умови

(19)

(20)

Варіації функціоналу по функціям (рівняння (20)) представляють собою систему нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь, яка допускає запис у матричному виді

(21)

де , — матриці 22 з елементами

де , під розуміється (при ) та (при ).

Вибірково наведемо вирази, що входять до (21)

Розглянемо наступну симетрично-граничну задачу для систем диференціальних рівнянь

(22)

(23)

де — сталі вектори, — сталі матриці .

Теорема 8. Загальний дійсний розв’язок системи симетрично-граничних рівнянь (22)–(23) у випадку, коли корені рівнянь

та

прості, представляється у вигляді

(24)

де — частинний дійсний розв’язок системи (22), — довільні дійсні числа, , залежать від вигляду коренів відповідних рівнянь.

Загальний підхід до розв’язання системи (22)–(23) дає наступна теорема.

Теорема 9. Крайова симетрично-гранична задача (22)-(23) еквівалентна наступним крайовим задачам

та

і її розв’язок пов’язаний з і співвідношенням

З теореми 9 витікає, що розв’язання симетрично-граничної задачі (22)–(23) зводиться до інтегрування двох крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь виду

(25)

(26)

Теорема 10. Розв’язок задачі (25)-(26) при умові представляється у вигляді

(27)

де — -й вектор-рядок , матриці фундаментальної системи розв’язків однорідної нормальної системи диференціальних рівнянь

(28)

з сталою матрицею

де , ,

де  — вектори-стовпці матриці , . Компоненти вектора знаходяться з умов (26).

Далі пропонуються і досліджуються ітераційні методи, які дозволяють послідовно знаходити розв’язки виду (15) з умови мінімізації функціоналу (18) по сталим та координатним функціям .

Метод FF послідовних наближень. На першому кроці за перше наближення шуканих координатних функцій приймемо довільні функції з (для ) та (для ). Для визначеності візьмемо поліноми Ерміта степені 3

(29)

Позначення “” будемо використовувати для номеру ітерації координатних функцій .

Підставивши замість в (15) і розв’язуючи систему Рітця (19), отримаємо вузлові параметри, які позначимо через . Після цього переходимо до системи (21) і функції та параметри використовуєм для знаходження компонент матриць та векторів . Як випливає з виразів для та , при такій заміні система (21) при кожному перетвориться на систему типу (22), тобто на систему симетрично-граничних звичайних диференціальних рівнянь відносно функцій зі сталими матрицями .

При кожному необхідно розв’язувати 2 крайові задачі для системи диференціальних рівнянь типу (25)–(26). Для використання теореми 10 необхідна невиродженність 22 матриць . Отримано наступний результат.

Теорема 11. Вважаємо що серед набору параметрів є такі, що не дорівнюють нулю. Тоді матриці та з системи (21) є невиродженими при довільних функціях , .

Метод FF послідовних наближень умовно можна передати наступною схемою

Узагальнений метод FF представляє собою модифіковану процедуру методу FF послідовних наближень. Її особливістю є те, що в ітераційній процедурі на кроці, який відповідає знаходженню функцій, знаходиться тільки дві функції від однієї змінної (тобто пари , та , .

Узагальнений метод FF умовно можно передати наступною схемою

Схема методу FF, згідно якої знаходження шуканих координатних функцій зводиться до розв’язання симетрично-граничної задачі для диференціального рівняння 4-го порядку. Згідно цієї схеми, яка зберігає основний принцип згаданих вище, на кожному кроці ітераційного процесу знаходиться набір вузлових параметрів або одна з координатних функцій .

Схему цього метода опускаємо у зв’язку з її громіздкістю.

Для усіх трьох методів має місце оцінка, аналогічна до викладеної в теоремі 5 (з урахуванням того, що в оцінці присутня енергетична норма оператора задачі(13)-(14)). Для двох останніх методів встановлені аналоги теореми 4.

Теорема 12. (Узагальнений метод FF) Для кроку ітераційного процесу

має місце оцінка

де .

У схемі метода FF, згідно якої знаходження координатних функцій зводиться до розв’язання симетрично-граничної задачі диференціального рівняння 4-го порядку, важливим є питання існування та єдиності розв’язків варіаційних задач . В наступній теоремі цей факт доводиться.

Теорема 13. Вважаємо що серед набору параметрів є такі, що не дорівнюють нулю. Розв’язок варіаційної задачі існує і є єдиним.

Теорема 14. (Схема методу FF, згідно якої знаходження шуканих координатних функцій зводиться до розв’язання симетрично-граничної задачі для диференціального рівняння 4-го порядку) Для кроку ітераційного процесу, переданого схемою

має місце оцінка

де .

Четвертий розділ має назву “Результати числових експериментів” і містить результати обчислення модельних прикладів, на яких продемонстрована більш висока точність методу скінченних елементів з вибором координатних функцій порівняно з класичними схемами, побудованими на кусково-поліноміальній інтерполяцій (білінійна інтерполяція для задачі Діріхле (рівняння Пуассона), бікубічна інтерполяція для бігармонічної задача з крайовими умовами ІІ роду).

ВИСНОВКИ

1. Для розглянутих у роботі задач (задача Діріхле для рівняння Пуассона, бігармонічна задача з крайовими умовами ІІ роду, область в представляється у вигляді об’єднання прямокутників) з використанням нових підходів отримано необхідні умови, яким повинні задовольняти координатні функції та вузлові параметри для забезпечення мінімуму відповідного функціоналу енергії.

2. Доведено теореми існування і єдиності розв’язків симетрично-граничних крайових задач, які виникають при знаходженні чергових наближень координатних функцій згідно методу FF.

3. Запропонований метод зведення симетрично-граничної крайової задачі виду

4. (де — матриці 22, , , ) до двох крайових задач для нормальних систем диференціальних рівнянь.

5. Для методу FF встановлено апостеріорні оцінки величин, які характеризують наближення розв’язку, отриманого на черговому кроці ітерації, до точного розв’язку задачі. Оцінена (знизу) величина

6. де — норма в енергетичному просторі, породженому оператором відповідної задачі, — точний розв’язок задачі, — наближений розв’язок, отриманий на кроці методу FF. Дана оцінка характеризує зменшення похибки при переході від ітерації з номером до наступної ітерації з номером .

7. Для задачі Діріхле (рівняння Пуассона) для двох частинних випадків розбиття прямокутної області встановлено апріорні оцінки, яким дозволяють послідовності вузлових параметров наближених розв’язків, отриманих методом FF.

8. Для розв’язання бігармонічної задачі з крайовими умовами ІІ роду запропонована схема, яка дозволяє зводити систему інтегро-диференціальних рівнянь (на відповідних кроках методів FF) до крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь. Запропонований підхід є досить загальним і може використовуватися при побудові наближених розв’язків за методом FF для інших типів рівнянь.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Литвин О.М., Носов К.В. Деякі оцінки ітераційного процесу в методі оптимальних скінченних елементів // Матеріали Х міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. - К.: Задруга, 2004. - С. 436.

[2] Литвин О.М., Носов К.В. Загальний розв’язок симетрично-граничної системи диференціального рівнянь, що виникає в оптимальному методі скінченних елементів // Доповіді НАН України. - 1998. № . - С. 25–31.

[3] Литвин О.М., Носов К.В. Застосування оптимального методу скінченних елементів (ОМСЕ) для розв’язання бігармонічного рівняння з крайовими умовами другого роду // Волинский математичний вісник. - 1997. - Вип. 4. - С. 91–94.

[4] Литвин О.М., Носов К.В. Існування та єдиність розв’язків симетрично-граничних задач, що виникають в оптимальному методі скінченних елементів // Комп’ютерна математика. Оптимізація обчислень. Зб. наук. праць. НАН України. Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова; Редкол.: І.В. Сергієнко (відп. ред.) та ін. - Т. 1. - Київ, 2001. - С. 242-248.

[5] Литвин О.Н., Носов К.В. Некоторые аспекты численой реализации оптимального метода конечных элементов на примере бигармонической задачи с краевыми условияи второго рода // Кибернетика и системный анализ. - 1999. № 1. - С. 178–187.

[6] Литвин О.М., Носов К.В. Про вибір оптимальних базисних функцій в методі скінченних елементів (бігармонійна задача другого роду, прямокутні елементи) // Праці міжнародної конференції “Питання оптимізації обчислень”. - Київ: Інститут кібернетики НАН України. - 1997. - С. –164.

[7] Литвин О.М., Носов К.В. Чисельна реалізація методу скінченних елементів (прямокутні елементи) для бігармонійного рівняння 2-го роду // Доповіді НАН України. - 1997. № 12. - С. 29–35.

[8] Литвин О.Н., Носов К.В. Чисельная реализация оптимального метода конечных елементов для бигармонической задачи с краевыми условиями второго рода // Соврем. проблемы конц. напр.: Тр. междунар. науч. конф. - Донецк: Донец. гос. ун-т, “Кассиопея”, 1998. - С. 151 – 157.

АНОТАЦІЇ

Носов К.В. Метод скінченних елементів з вибором координатних функцій при моделюванні фізичних процесів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового степеня кандидата фізико-математичних наук 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2006.

У дисертації досліджуються ітераційні алгоритми побудови скінченноелементного базису при наближеному розв’язанні рівняння Пуассона (задача Діріхле) та бігармонічного рівняння (крайові умови II роду) методом скінченних елементів для полігональних областей з прямими вхідними та вихідними кутами. З використанням нових підходів отримано необхідні умови екстремуму функціоналу енергії відповідних задач. Досліджено властивості ітераційних алгоритмів побудови наближених розв’язок під загальною назвою “фліп-флоп”. Отримано апостеріорні оцінки величин, що відбивать зменшення квадрату похибки у енергетичній нормі на кожному кроці ітераційного процесі. Для окремих випадків розбиття прямокутної області отримані деякі апріорні властивості наближених розв’язків, що будуються у відповідності з цими алгоритмами. Проведені числові експерименти на тестових прикладах демонструють високу точність запропонованих алгоритмів.

Ключові слова: рівняння Пуассона, бігармонічне рівняння, метод скінченних елементів, симетрично-гранична задача, координатні функції, апостеріорні оцінки.

Носов К.В. Метод конечных элементов с выбором координатних функций при моделировании физических процессов. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук 01.05.02 – математическое моделирование и численные методы. Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2006.

В диссертации исследуются свойства итерационных алгоритмов построения конечноэлементного базиса при приближенном решении уравнения Пуассона (задача Дирихле) и бигармонического уравнения с краевыми условиями II рода для областей, составленных из объединения прямоугольников.

Приведено обоснование актуальности темы диссертации, сформулированы цели исследования, указано на ее теоретическую и практическую значимость.

Изложена схема построения конечноэлементного базиса для задачи Дирихле (уравнение Пуассона). С использованием новых подходов установлены известные необходимые условия экстремума функционала энергии задачи на множестве функций, применяемых при построениии приближенных решений. Исследованы некоторые свойства итерационного алгоритма “флип-флоп” (FF) построения приближенного решения исследуемой задачи с выбором конечноэлементного базиса. Установлены условия существования и единственности решения симетрично-граничных задач, возникающих при реализации алгоритма FF. Получены апостериорные оценки для решений, построенных с помощью алгоритма FF. Данные оценки выражают уменьшение квадрата погрешности в энергетической норме, порожденной оператором задачи, на каждом шаге итерационного алгоритма FF.

Для двух типов разбиения прямоугольной области получены некоторые априорные свойства приближенных решений, построенных в соотвествии с алгоритмом FF.

Рассмотрены вопросы применения МКЭ к краевой задаче II рода для бигармонического уравнения. С использованием новых подходов выведены известные необходимые условия минимума функционала энергии задачи на множестве функций, среди которых ищется решение. Разработаны методы решения симетрично-граничных задач, которые возникают при реализации итерационных алгоритмов с выбором конечноэлементного базиса. Выявлены особенности приближенного решения минимально возможного разбиения прямоугольной области (1 элемент). Предложена схема МКЭ с выбором координатних функций, приводящая к краевой задаче для обыкновенной системы дифференциальных уравнений (на соответствующих шагах итерационного процесса).

Предложены три итерационных алгоритма, являющиеся модификациями метода FF для построения приближенного решения краевой задачи II рода для бигармонического уравнения. Для двух из предложенных алгоритмов получены априорные оценки, характеризующие уменьшение квадрата погрешности в энергетической норме. Установлены условия существования и единственности решения симетрично-граничных задач, возникающих при реализации алгоритмов FF.

В работе приведены результаты численных экспериментов, проведенных на модельных задачах обоих типов, исследуемых в работе. Результаты численного моделирования демонстрируют более высокую точность схем МКЭ с выбором координатних функций по сравнению с классическими схемами, основанными на кусочно-полиномиальной интерполяции.

Приведен акт о техническом внедрении результатов диссертационной работы.

Ключевые слова: уравнение Пуассона, бигармоническое уравнение, метод конечных элементов, симетрично-граничная задача, координатные функции, апостериорные оценки.

Nosov K.V. Finite Element Method with coordinate functions selection under modelling of physics processes. - Manuscript.

Thesis for the Candidate degree by speciality 01.05.02 - Mathematical modeling and computational methods. - Institute of Cybernetics of National Academy of sciences of Ukraine, Kyiv, 2006.

The iterative algorithms of schemas of Finite Element Method with basis’ selection for Poisson’s equation (Dirichlet boundary conditions) and biharmonic equation (boundary conditions of 2nd kind) for domains composed from rectangles are studied. Known sufficient conditions of energy functional’s extrema of reciprocal problems was found from new approach. The iterative algorithms for building of approximate solution were suggested. These algorithms have general name "flip-flop". The properties of such algorithms were investigated. A posteriori error estimates of approximate solutions that express decrease of square of distance from approximate solution to precise one on each step of iterative algorithm were obtained. For some cases were obtained some a priori properties of approximate solutions build according to these algorithms. Carried out numerical experiments on test examples demonstrate high accuracy of suggested algorithms.

Key words: Poisson’s equation, biharmonic equation, Finite Element Method, symmetric-boundary problem, coordinate functions, a posteriori estimates.