На правах рукопису

УДК 621.317

ПЕТРОВСЬКА Ірина Романівна

ПІДВИЩЕННЯ ТОЧНОСТІ ТА ШВИДКОСТІ ВИМІРЮВАННЯ РОЗПОДІЛУ ЕЛЕКТРИЧНОЇ ПРОВІДНОСТІ ТОМОГРАФІЧНИМ МЕТОДОМ

05.11.05 – прилади і методи вимірювання

електричних та магнітних величин

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Львів -2006

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано на кафедрі “Інформаційно-вимірювальні технології” у Національному університеті “Львівська політехніка” Міністерства освіти України.

Науковий керівник – доктор технічних наук, професор

ДОРОЖОВЕЦЬ Михайло Миронович,

Національний університет “Львівська політехніка”,

професор кафедри “Інформаційно-вимірювальні технології”, м. Львів.

Офіційні опоненти:

Доктор технічних наук, професор

ПОДЖАРЕНКO Володимир Олександрович,

завідувач кафедри “Метрологія та промислова автоматика”

Державний технічний університет Міністерства освіти і науки України, м.Вінниця.

Доктор технічних наук, професор

СОПРУНЮК Петро Маркіянович,

завідувач відділу “Електричні вимірювання фізичних величин”

Фізико-механічний інститут ім.Г.В.Карпенка, м.Львів.

Провідна установа: Державний науково-дослідний інститут ДП НДІ “Система” науково-дослідний відділ розроблення наукових, методичних та технічних основ метрологічного забезпечення ВІС та АСКТП, м.Львів.

Захист відбудеться “26” січня 2007р. о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .052.08 у Національному університеті “Львівська політехніка” за адресою: 79013, м. Львів, вул. Ст. Бандери, 12, головний корпус, ауд. 226.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного університету “Львівська політехніка” (м. Львів, вул. Професорська 1)

Автореферат розісланий “8” грудня 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради, д.т.н., проф. Луцик Я.Т.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Актуальність теми підтверджується необхідністю та важливістю томографічних вимірювань, які забезпечують прогрес як наукових досліджень, так і розвиток провідних галузей народного господарства України, зокрема, добувної, хімічної, харчової промисловості, вирішення проблем екологічної безпеки, а також радіолокації і гідролокації. Перші томографічні дослідження стосувались медичної томографії і проводились на початку 80-тих років 20-го століття. Інтерес до розробки цього класу апаратури і на сьогодні не втратив своєї актуальності. Особливість реалізації промислових томографічних систем полягає, зокрема, в тому, що вимагає розроблення і впровадження таких методів та алгоритмів опрацювання результатів вимірювань, які би дозволили за обмеженою кількістю точно і швидко отримати якісні образи розподілу досліджуваної величини.

І все ж, незважаючи на сучасні досягнення в галузі медичної томографії, реальних томографічних систем для промислового застосування, які би випускалися серійно як в Україні, так і за кордоном, на жаль, є дуже мало, а наявні не повністю задовільняють комплекс вимог, які ставляться до таких наукових вимірювальних технологій. Пов’язано це з дедалі більшим ускладненням умов експлуатації об’єктів нової техніки, необхідністю точнішого контролювання параметрів нових технологічних процесів, підвищенням вимог, зокрема, до екологічної безпеки довкілля та безпечної експлуатації самих томографічних систем. Значна кількість як суто наукових, так і прикладних робіт націлена на пошук шляхів удосконалення існуючих та створення нових томографічних систем з покращеними метрологічними і експлуатаційними характеристиками.

Необхідність у підвищення точності томографічних вимірювань пов’язана з тим, що існуючі методи опрацювання результатів вимірювань суттєво підсилюють похибки вхідних результатів, особливо адитивного характеру. Необхідність у підвищенні ж швидкості реконструкції в промисловій томографії пов’язана з вимогами зменшення динамічної похибки реконструкції електричної провідності аж до отримання результатів реконструкції у режимі реального часу.

На сьогодні загального підходу до побудови точних та швидкодіючих методів вимірювань та алгоритмів реконструкції питомої провідності ще не вироблено. Тому створення вітчизняних засобів електричної томографії, що включає розроблення методів, алгоритмів, програм та обладнання для реконструкції питомої електричної провідності, для використання в промислових вимірювальних томографічних системах є важливим завданням.

Пріоритетний напрям у вирішенні цієї проблеми - підвищення точності і швидкості вимірювання просторового розподілу питомої електричної провідності середовища томографічним методом на засадах використання нових методів і алгоритмів, а пріоритетний шлях – зменшення адитивних похибок вимірювань завдяки використанню різницевого методу вимірювань; опрацювання нової методики розрахунку матриці чутливості без методичних похибок, притаманної скінчено-різницевим методам і на основі лише одноразового розв’язку прямої задачі; забезпечення стійкості і збіжності ітераційної процедури знаходження просторового розподілу питомої провідності через адаптацію параметра регуляризації при використанні відомих методів знаходження чергового приросту питомої провідності.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась в рамках пріоритетних напрямків розвитку науки і техніки в Україні, а саме: згідно з Державною науково-технічною програмою 6.4.4.”Відкриті інформаційно-вимірювальні системи й автоматизація вимірювань”, а також в рамках держбюджетних науково-дослідних робіт Міносвіти: “Томографічні системи вимірювання просторового розподілу діелектричної проникності та провідності” №ДР0196U000184 (1996-1997рр.), “Дослідження нетрадиційних методів вимірювання та створення засобів вимірювання фізичних величин” № ДР0196U0006 (1997р.), “Інтелектуалізовані системи обслуговування вимірювальних експериментів та для томографічного вимірювання просторового розподілу технологічних параметрів промислових об’єктів на основі акустичних, ультразвукових та електроімпедансних властивостей досліджуваного середовища” №-198U002401 (1998-1999рр.), “Інтелектуалізована вимірювальна система” №ДР0198U007858 (1999-2000рр.), “Томограф” № 0103U001363 ( 2003-2005 рр.) і ін.

При виконанні досліджень автор була виконавцем робіт і безпосередньо приймала участь в наукових дослідженнях, що стосувались резистивних томографічних вимірювань.

Мета і задачі досліджень. Метою дослідження є пошук шляхів підвищення точності і швидкості вимірювання просторового розподілу питомої електричної провідності середовища томографічним методом.

Для досягення цієї мети розв’язувалися наступні задачі:

- теоретичний аналіз проблем існуючих електричних томографічних вимірювальних систем і виявлення шляхів покращення їх метрологічних характеристик - точності та швидкості реконструкції образу розподілу питомої електричної провідності;

- розроблення методів швидкого знаходження матриці чутливості без методичних похибок, притаманних скінчено-різницевим методам, на основі застосування властивостей електричних схем заміщення, які відповідають дискретній апроксимації досліджуваного середовища трикутними та чотирикутними елементами;

- опрацювання способу адаптації параметра регуляризації для знаходження просторового розподілу питомої провідності з метою покращення швидкості збіжності ітераційного процесу реконструкції та дослідження характеристик методичних похибок реконструкції питомої електричної провідності на різних ітераціях;

- опрацювання структурної схеми збирання вимірювальних даних, формування математичних моделей результатів вимірювань первинних величин (струмів та міжелектродних напруг) та моделей інструментальних похибок вимірювань усього вимірювального каналу загалом;

- опрацювання способу зменшення впливу систематичних адитивних похибок на точність результатів вимірювання первинних величин;

- макетування електричної вимірювальної томографічної системи та експериментальне дослідження макету системи.

Об’єкт наукових досліджень - томографічна реконструкція просторового розподілу питомої електричної провідності.

Предмет досліджень метод реконструкції питомої електричної провідності, вимірювальні засоби, методичні та інструментальні похибки.

Методи досліджень. В дисертаційній роботі використовуються математичні методи розв’язування електричних польових задач на основі дискретизації середовища (метод дискретних і скінчених елементів), ітераційні та прямі методи розв’язку системи лінійних та нелінійних алгебраїчних рівнянь, методи теорії електричних кіл, застосування теорії томографічної реконструкції образів, теорії похибок та обробки результатів вимірювань. Основні результати перевірялись експериментальними дослідженнями.

Наукова новизна одержаних результатів. В роботі отримані наступні наукові результати:

1) На основі теоретичного аналізу систематизовано основні чинники, які обмежують точність та швидкість реконструкції образу просторового розподілу провідності, на основі чого сформульовано можливі шляхи підвищення точності і швидкості – як інструментальним шляхом, так і завдяки опрацювання нових більш ефективних методів розв’язку основних етапів томографічних задач.

2) Розвинуто метод точного і швидкого розрахунку матриці чутливості, що здійснюється завдяки лише одноразового розв’язування прямої задачі електричної томографії і забезпечує розрахунок матриці чутливості без методичної похибки, притаманної відомим скінчено-різницевим методам.

3) Розроблено засади розрахунку параметрів математичної та експериментальної моделі розподілу питомої електричної провідності, що базуються на використанні схем заміщення дискретизованим розподілом з апроксимацією методом скінчених елементів, завдяки чому для розв’язування томографічних задач можна використовувати добре опрацьовані методи теоретичної електротехніки.

4) Вперше отримано вирази для безпосереднього розрахунку коефіцієнтів матриці чутливості без методичної похибки для провідного середовища, апроксимованого трикутними і чотирикутними скінченими елементами.

5) За результатами досліджень методичних похибок реконструкції питомої електричної провідності обґрунтовано вибір значення адаптивного коефіцієнта регуляризації в залежності від ступеня неоднорідності відношень результатів вимірювань вхідних величин і результатів, отриманих розрахунковим шляхом, що забезпечило стійкість і добру збіжність ітераційної процедури (3-4 ітерації) порівняно з відомими методами (кілька десятків ітерацій).

6) Розроблено математичні моделі інструментальних похибок вимірювальних каналів, на основі яких за метрологічними характеристиками використаних засобів вимірювань на етапі проектування томографічної системи можна оцінити характеристики її відносної похибки вимірювань.

7) Запропоновано і опрацьовано новий метод підвищення точності вимірювань міжелектродних різниць потенціалів, значення яких у томографічній системі може змінюватись у десятки-сотні разів, на основі адитивно-мультиплікативного допасування вимірюваних значень до оптимального за точністю діапазону вимірювань системи збирання вимірювальних даних. Таке допасування забезпечило зменшення впливу адитивних складових інструментальної похибки до мінімально можливого рівня, який визначається цим діапазоном.

Вірогідність результатів. Вірогідність отриманих результатів підтверджується доброю збіжністю між результатами теоретичних досліджень та результатами великої кількості (понад 30) виконаних експериментальних досліджень роботи макету системи збирання вимірювальних даних для реконструкції просторового розподілу питомої електричної провідності.

Практичне значення одержаних результатів полягає у наступному:

- результати досліджень можуть знайти застосування для вимірювання просторового розподілу тих фізичних величин (температури, тиску, деформацій, напружень, концентрації електролітів та інших), з якими пов’язані зміни електричної провідності, при цьому чутливим елементом може бути як саме середовище, так і спеціально введені резистивні перетворювачі;

- розроблені алгоритми і програми на основі запропонованого методу розрахунку матриці чутливості створюють передумови для переходу від експериментальних лабораторних томографічних вимірювань до промислових;

- запропонована схема корекції адитивних систематичних похибок системи збирання вимірювальних даних забезпечує мінімальний рівень інструментальних похибок вимірювань для певного діапазону використовуваних засобів вимірювань і може знайти застосування в інших вимірюваннях;

- створений лабораторний макет електричної томографічної системи збирання і керування вимірювальними даними для томографічної реконструкції питомої електричної провідності в циліндричному об’єкті підтверджує можливість практичного втілення запропонованих способів покращення метрологічних характеристик томографічних вимірювань, а також виконати експериментальні дослідження з реальними томографічними об’єктами;

- результати дисертаційних досліджень томографічного розподілу питомої електричної провідності використовувались в НДЛ-11 Національного університету “Львівська політехніка” при проведенні держбюджетних робіт, перелічених вище;

- розроблені алгоритми реконструкції образів розподілу питомої електричної провідності, результати дослідження методичних та інструментальних похибок використовуються в навчальному процесі кафедри “Iнформаційно-вимірювальні технології” Національного університету “Львівська політехніка”, зокрема в курсах “Методи та техніка обробки результатів вимірювань”, “Оцінювання похибок результатів вимірювань”, магістерських роботах та дипломному проектуванні.

Апробація результатів роботи. Викладені в дисертаційній роботі наукові положення та результати виголошувались на 4 науково-технічних конференціях, симпозіумах та семінарах, в тому числі на 4 міжнародних.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 12 наукових статей, з них 8 у фахових виданнях, з яких 1 одноосібна.

Особистий внесок здобувача Всі наукові результати отримані автором самостійно. В друкованих працях, опублікованих у співавторстві, автору належить: [1] - аналіз існуючих алгоритмів, які забезпечують розрахунок оберненої задачі ємнісної томографії; [2] - реалізація методу скінчених елементів для томографії провідності; [3] - розробка методики розв’язку прямої і оберненої задач електричної томографії при використанні методу вузлових напруг [4] - аналіз ефективності запропонованого алгоритму розрахунку матриці чутливостей; [5] - аналіз досліджень щодо підвищення точності вимірювань при апроксимації об’єкту чотирикутними скінченими елементами; [6] - розробка методики застосування різницевого методу вимірювань для вирішення проблем електричної томографії; [7] - розробка практичних моделей для експериментальних досліджень.

Обсяг і структура дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, п’яти розділів, висновків, переліку цитованої літератури з 121 джерела та 6 додатків, викладена на 155 сторінках друкованого тексту, містить 75 рисунків, 8 таблиць, з них 17 рисунків та 5 таблиць займають 20 окремих сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі висвітлені актуальність проблеми, сформульована мета та задачі досліджень, наукова новизна отриманих результатів і їх практична цінність.

У першому розділі на підставі огляду видів електричної томографії та виділенню області її застосування, сформовано схему томографічного вимірювання простового розподілу питомої електричної провідності, описано принципи її роботи та методи отримання результатів, вказано на специфіку томографічних вимірювань. Важливою особливістю електричної томографії є широкий діапазон зміни значень вимірюваних міжелектродних різниць потенціалів (від десятків до сотень разів), тому під час реальних вимірювань міжелекродних різниць потенціалів необхідно змінювати діапазон вимірювань використовуваних засобів, що спричиняє зміну інструментальної складової похибки вимірювань, головним чином адитивної, яка є найнебезпечнішою. Проаналізовано основні проблеми томографічного вимірювання просторового розподілу провідності: точність і швидкість отримання образу. Проблема точності вимірювань має декілька складових, серед них методична і інструментальна. Методичну похибку можна зменшити збільшенням кількості елементів апроксимації досліджуваного середовища. Однак це спричиняє зменшення значень вимірювальних міжелектродних різниць потенціалів, що у свою чергу веде до збільшення впливу інструментальних адитивних (систематичних і випадкових) похибок вимірювальних засобів. Крім того, збільшенням кількості елементів апроксимації практично у квадраті збільшує кількість обчислювальних затрат на реконструкцію, отже зменшує швидкість отримання результатів, що особливо для промислового застосування є недопустиме. Інструментальна похибка має декілька аспектів: точність вимірювання первинних величин (міжелектродних різниць потенціалів); точність розрахунку самого алгоритму, головним чином матриці чутливості; ступінь підсилення систематичних інструментальних похибок. Проблема швидкості пов’язана із: швидкістю вимірювання вхідних величин (швидкість збирання вимірювальних даних), швидкістю розрахунку на кожній ітерації матриці чутливості і швидкістю збіжності алгоритму реконструкції питомої провідності. Відомо, що розв’язок оберненої задачі електричної томографії пов’язаний із проблемами забезпечення стійкості і збіжності результатів. Показано, що використання для забезпечення належної стійкості алгоритму добре відомих методів регуляризації, наприклад, Левенберга-Марквардта є вкрай неефективне, оскільки спричиняє погану збіжність ітераційної процедури (до кількох десятків ітерацій). Вказано на можливий шлях покращення збіжності, який ґрунтується на використанні доступної інформації про неоднорідність результатів виміряних міжелектродних різниць потенціалів відносно порахованих на кожній ітерації при прийнятому розподілі питомої провідності і її використання для адаптації параметру регуляризації. При цьому, з кожною наступною ітерацією значення розрахованих міжелектродних різниць потенціалів наближаються до виміряних, а тому значення параметру регуляризації можна зменшувати.

У другому розділі обґрунтовано вибір реконструйованої величини питомого опору з точки зору отримання найбільш близької до лінійності системи рівнянь електричної томографії. Показано, що при зондуванні об’єкту струмом виміряні міжелектродні різниці потенціалів є пропорційними (з точністю до сталого коефіцієнта) до питомого опору (принаймі у приелектродній частині), а не до питомої провідності. На основі цього було доведено, що система рівнянь, що описує результати вимірювань дискретизованого середовища і залежить від параметрів елементів дискретизації, має меншу нелінійність при реконструкції питомого опору. Тому запропоновано модифікований алгоритм реконструкції питомої провідності, який містить додаткові процедури: 1) апріорі заданий (на 1-ій ітерації) розподіл провідності перетворюється на значення питомого опору; 2) реконструюється питомий опір дискретніх елементів; 3) виконується зворотнє перетворення питомого опору в питому провідність.

Обґрунтовано застосування нового прямого методу обчислення матриці чутливості (Якобіана) для дискретизації об’єкту трикутними та чотирикутними скінченими елементами. Для цього використані схеми заміщення трикутних скінчених елементів (рис.1,а) із зосереджених елементів (резисторів (рис.1,б) або провідностей (рис.1,в)) і чотирикутних скінчених елементів, які замінювалися еквівалентною схемою із шести зосереджених елементів, наприклад резисторів, як показано на рис.2,а. Показано, що завдяки цьому задачу знаходження реакції об‘єкта на його зовнішнє електричне збудження зводиться до лінійної задачі теоретичної електротехніки. Отримано вираз для прямого розрахунку коефіцієнтів Якобіана:

(1)

де Cj1 , Cj2 , Cj3 – коефіцієнти, що пов’язують електричні провідності заступних елементів з провідністю та формою скінченого елемента; i- номер позиції збудження; k- номер ітерації. Оскільки значення приросту питомого опору ?j j–го елемента апроксимаційної схеми не входить у вираз для розрахунку значень елементів Sij Якобіана, то використовуючи запропонований спосіб, Якобіан можна обчислити точно і без методичної похибки. При сталому значенні струму збудження І0 коефіцієнти Якобіана визначаються виключно значеннями параметрів (провідностей та опорів) апроксимаційної схеми, а отже, лише просторовим розподілом шуканої провідності, що цілком відповідає фізичній суті електричної томографії. Тому всі вказані напруги можна знайти лише при одному розв‘язуванні прямої задачі електричної томографії, враховуючи всі положення джерела струму зондування на зовнішньому контурі апроксимаційної схеми, чим підвищуємо швидкість розв’язку прямої задачі.

Один елемент Якобіана при апроксимації чотирикутними скінченими елементами знаходять, збуджуючи в i-тій позиції об’єкт (рис.2,б) зовнішнім джерелом струму І0 і знаходячи приріст напруги на і-тій вітці, викликаний приростом струму Іі, і зміною всіх шести опорів заступної схеми цього елемента Rі, які у свою чергу зумовлені зміною провідності цього j-го елемента:

(2)

Отже, для розрахунку Якобіана необхідно знати лише різниці міжвузлових потенціалів зовнішніх віток при всіх можливих ракурсах збудження об‘єкта зовнішнім струмом І0 і знати значення питомого опору j–го елемента апроксимаційної схеми. Оскільки кількість зовнішніх віток апроксимаційної сітки є значно меншою за загальну кількість віток (приблизно пропорційно до кількості апроксимаційних шарів елементів), а обчислювальні затрати пропорційні до кубу кількості віток, то маємо значне зменшення тривалості обчислень .

На кожному етапі здійснювався поточний контроль точності розрахунку матриці Якобі, яка впливає на подальшу точність реконструкції розподілу питомої провідності. З цією метою було використано властивості нелінійних функцій, що описують обернену задачу електричної томографії, і як посередню міру точності розрахунку матриці Якобі використано вектор похибок (рис.3), обчислений як різниці між розрахованими прямим методом міжелектродними напругами (методом вузлових напруг) і порахованими через матрицю чутливості (Якобіан) за формулою:

(3)

де S – знайдений Якобіан, ?зад – заданий вектор розподілу питомого опору, Uрозр – вектор розрахованих значень міжвузлових напруг.

Рис.3. Вектор похибок знаходження матриці чутливості (Якобіана).

На рис.3 показано вектор похибок знаходження Якобіана запропонованим методом на першій ітерації при 100% зростанню питомої провідності трьох елементів апроксимаційної схеми. Як видно з рис.3 методична похибка розрахунку Якобіана є 10-12%, тобто нехтовно мала.

Досліджено ефективність запропонованого методу розрахунку Якобіана, як відношення кількості операцій множення (ділення), які необхідно виконати для розрахунку прямої задачі традиційним методом до кількості операцій запропонованим. При використанні традиційного методу кількість операцій рівна:

(4)

де n-кількість шарів, на які розбито досліджуваний об’єкт.

При використанні запропонованого методу кількість операцій становить:

(5)

Враховуючи, що кількість апроксимаційних елементів є пропорційною до квадрату кількості шарів (n2), ефективність запропонованого алгоритму пропорційна до кількості апроксимаційних елементів ne є досить високою ( с та С – константи):

, (6)

Наприклад, при розбитті досліджуваного об’єкту на 4 шари (96 елементів), запропонований алгоритм забезпечує розрахунок матриці Якобі в процесі одноразового розв‘язування прямої задачі електричної томографії в 23 рази швидше, ніж при використанні звичайних алгоритмів.

У третьому розділі проаналізовано причини, які впливають на методичні похибки, розроблено практичну модель апроксимації і обґрунтовано вибір її параметрів, виходячи з параметрів апроксимації: кількості шарів елементів n, кількості трикутніх елементів nе, кількості зовнішніх електродів nел, кількості внутрішніх вузлів nвн_вуз, кількості віток (опорів) nвіт, для регулярної структури апроксимації із 6-ма секторами трикутних елементів встановлені співвідношення між параметрами: кількість зовнішніх електродів neл=6.n, кількість трикутніх елементів, ne=6.n2, кількість внутрішніх вузлів nвн_вуз=3.n(n+1)+1, кількість віток nвіт=3.n(3.n+1).

Для отримання роздільної здатності на рівні ?(1±2)% необхідно близько 100 апроксимаційних елементів, для цього необхідно мати 4 шари апроксимаційних елементів (96 трикутних елементів), 24 зовнішніх електродів, 65 внутрішніх вузлів, 156 віток (опорів).

Опрацьовано методику адаптації параметра регуляризації з метою забезпечення стійкості і швидкості збіжності ітераційної процедури. Показано, що відомий метод регуляризації Левенберга-Марквардта, де параметр регуляризації mreg на k- тій ітерації розраховується як (де meps- машинний нуль), не забезпечує належної швидкості збіжності результатів реконструкції питомої провідності. Швидкість збіжності цим методом становить 30-40 ітерацій. Для її покращення запропоновано методику адаптації параметра регуляризації:

, (7)

де І1 – одинична діагональна матриця, apreg- адаптивний параметр регуляризації. Вибір його значення пов’язаний із розрахованим ступенем неоднорідності виміряних та розрахованих значень міжелектродних напруг:

, (8)

Чим більше це відношення відхиляється від 1, тим більше відхилення, знайдені на даній ітерації розподілу питомої провідності від шуканого і тим більший має бути адаптивний коефіцієнт регуляризації. На основі експериментальних досліджень, при зміні питомої провідності 100% було встановлено, що першій ітерації його значення становило 1000, другій 100, третій 10, четвертій 1. Завдяки такій адаптації параметра регуляризації методичну похибку реконструкції на рівні ?1-3% отримано вже на 3-4-ій ітераціях (в залежності від моделі).

Описано 32 моделі, для яких проводились дослідження. Зокрема, на рис.4 представлено вісім з них: при 100% зміні одного 0-го (а) і 63-го (б) елемента (розміщених у внутрішньому і зовнішньому шарах відповідно); 100% зміні груп елементів по 3 елементи з номерами 0, 2, 4 (в) - внутрішній шар і номерами 63, 72, 86 (г) - зовнішній шар; груп елементів по 4 елементи з номерами 0, 7, 26, 57 (д) і 0, 9, 30, 63 (е); 100% зміні шарів елементів 0-5 (є) – внутрішнього і 54-95 (ж) – зовнішнього шару.

Для кожної з 32-ох моделей проводилось оцінювання харак-теристик відносної похибки реконструкції провідності на кожній k-тій ітерації: (9)

середнє значення: (10)

оцінка стандартного відхилення: (11)

оцінка середньоквадратичного значення:

(12)

максимальне за модулем значення відносної похибки: (13).

На рис.5 показані характеристики відносної похибки реконструкції при 100% зміні 0-го елемента (чотири графіки справа) і елементів 63, 72, 86 (чотири графіки зліва). За результатами досліджень всіх 32 моделей на 3-ій ітерації найменші значення отримано при реконструкції 0-го елемента внутрішнього шару: середнє значення ?10-3%, стандартне відхилення і середньоквадратичне значення відносної похибки ?0,01%; максимальне значення за модулем похибки ?0,13%. Найбільші значення отримано при реконструкції груп елементів 63, 72, 86 зовнішнього шару: середнє значення ?1,04%, стандартне відхилення і середньоквадратичне значення відносної похибки ?6,3%; максимальне значення за модулем похибки ?28%. При моделюванні 100% зміни питомої провідності шару елементів характеристики відносної похибки реконструкції найбільші значення для елементів внутрішнього шару 0-5: середнє значення ?, стандартне відхилення і середньоквадратичне значення відносної похибки ?0,01%, максимальне за модулем значення ?2,7%.

Рис.5.Характеристики відносної похибки реконструкції елементів 63, 72, 86 і 0-го елемента

Як видно з отриманих результатів значення всіх характеристик з наступною ітерацією зменшуються: максимальні вони на першій і мінімальні на третій ітерації, що свідчить про добру збіжність ітераційної процедури.

У четвертому розділі проводилось дослідження впливу інструментальних похибок при реконструкції розподілу питомої провідності. На рис.6 приведена блок-схема запропонованої системи формування та опрацювання збуджуючих і вимірювальних сигналів.

Вимірювальна система складається із: групи комутаторів струму КІ для підведення струмів збудження І0 від джерела струму І0; групи комутаторів напруг КU для підключення вимірювального каналу до відповідних електродів об’єкту; зразкового резистора R0 для опосередкованого вимірювання дійсного значення збуджуючого струму I0 за спадком напруги UR0 на зразковому резисторі; інструментального підсилювача ІП з керованим коефіцієнтом підсилення KІП та напругою зміщенням U0ІП для забезпечення рівня вихідної напруги, допасованої до найкращої границі перетворення ЦАП вимірювальної плати; вимірювальної плати, яка забезпечує аналогово-цифрове перетворення вхідних сигналів, їх нагромадження і наступне пересилання до комп’ютера (ПК).

На підставі цієї блок-схеми виведені математичні моделі номінальних функцій перетворення, встановлені джерела похибок, розроблено математичні моделі параметрів, які будуть їх мірою, запропоновані способи підвищення точності вимірювань. Враховуючи дуже малу чутливість результатів вимірювань міжелектродних різниць потенціалів на зміну провідності елементів, для реконструкції образу провідності із похибкою в межах 1% необхідно забезпечити рівень адитивних похибок на рівні 10-3%.

В практичному алгоритмі реконструкції питомої провідності вхідними даними є результати опосередкованих вимірювань так званих взаємних опорів:

, (14)

де Ui – виміряні значення міжелектродних напруг між і-тою парою електродів, І0,k –значення струму збудження між k-тою парою електродів.

Для підвищення точності значення струму збудження також виміряні опосередковано за результатами вимірювань спадку напруги на зразковому резисторі R0:

(15)

Для зменшення впливу випадкових похибок значення міжелектродних різниць потенціалів Ui та спаду напруг на зразковому резисторі вимірювались багаторазово (практично N=400 з цензурованим відкиданням 10 найменших і 10 найбільших результатів). Тобто вплив взаємно не корельованих випадкових складових похибок зменшувався приблизно в разів. Для зменшення впливу адитивних складових інструментальної похибки нами запропонований різницевий метод вимірювання з адитивно-мультиплікативним допасуванням виміряних міжелектродних різниць потенціалів до такого діапазону вимірювання системи формування та опрацювання вимірювальних даних, у якому забезпечується найменший рівень адитивних систематичних складових похибок, що призводить до підвищення точності реконструйованого розподілу електричної провідності.

На рис.7 показано схему різницевого вимірювання з допасуванням вимірюваних значень до найкращого діапазону вимірювань вимірювальної плати, де ОД - об’єкт досліджень, до якого підведений струм зондування І0, виміряні напруги Uвим,і подаються на ІП – інструментальний підсилювач з коефіцієнтом підсилення , ЦАП – цифро-аналоговий перетворювач, АЦП – аналого-цифровий перетворювач, який є вмонтований у вимірювальну плату.

Рис.7.Струмове зондування об‘єкта досліджень разом зі схемою різницевого вимірювання.

На кожній ітерації здійснюється двокрокове вимірювання. На першому кроці вимірюємо всі різниці потенціалів безпосередньо між зовнішніми електродами об’єкта досліджень, а на другому встановлюємо необхідні коефіцієнти підсилення KІП інструментального підсилювача та напруги зміщення на виході ЦАП.

Виведена модель результату вимірювань взаємного опору:

, (16)

де NUвим(і) – номінальна функція перетворення 2-го каналу вимірювання вимірювальної плати, за допомогою якого вимірювались значення різниці міжелектродних потенціалів, U0ІП(і) – номінальне значення зразкової напруги інструментального підсилювача, R0 – зразковий опір, NU0 – результат вимірювання спадку напруги на зразковому резисторі R0.

Доведено, що ефективність використання різницевого методу (рис.8) зростає зі збільшенням (у порівнянні з похибками інструментального підсилювача) адитивних похибок вимірювальної плати. Інакше кажучи, при заданій допустимій похибці вимірювання напруг при застосуванні різницевого методу вимоги щодо точності вимірювальної плати значно нижчі, ніж при застосуванні прямого методу вимірювання, а це призводить до здешевлення вимірювальної частини томографічної системи.

Для знаходження математичної моделі похибки результату вимірювання значення сили струму збудження I0 були виведені математичні моделі її складових:

-квадрату стандартного відхилення відносної похибки зразкового резистора R0:

, (17)

і квадрату стандартного відхилення відносної похибки вимірювання спаду напруги U0 на ньому першим каналом вимірювальної плати:

(18)

де - стандартне відхилення відповідних величин, у (17): ?R0(гр) - відносна похибка підгонки зразкового резистора, ??(R0) - коефіцієнт температурної стабільності (зміна величини опору), ?t(R0) - коефіцієнт часової стабільності за певний час t, ?? - максимальне відхилення температури оточуючого середовища від нормального значення 23?C, UN(R0) – шуми резистора. У (18) UД(1) – діапазон вимірювань вимірювальної плати, на якому здійснювалось вимірювання струму, ?1ВП - адитивна і ?P(1ВП) мультиплікативна складові, які охоплюють похибки: нелінійності, зміщення нуля, температурний і часовий дрейф, q(1ВП)=UД(1)/2n – значення кванту, UN(1ВП).- міжамплітудна (міжпікова) шумова напруга (рівноважного джерела шумової напруги), ??(1ВП)a - температурна нестабільність адитивного характеру і ??(1ВП)m мультиплікативного характеру, ?t(1ВП)a - часова нестабільність адитивного характеру і ?t(1ВП)m мультиплікативного характеру.

Для знаходження математичної моделі похибки результату вимірювання значення міжелектродних напруг були виведені математичні моделі квадрату стандартного відхилення відносної похибки зумовлені:

інструментальним підсилювачем:

, (19)

комутатором напруг:

(20)

і другим каналом вимірювальної плати:

(21)

де в (19) стандартні відхилення: ?O(IП) - напруги незрівноваження (адитивного характеру) ІП; ?K(IП) - похибки коефіцієнта підсилення (мультиплікативного характеру) ІП; коефіцієнтів температурної і часової нестабільності: ??(IП,O) i ?t(IП,O), - напруги незрівноваження (адитивного характеру) і ??(IП,K) i ?t(IП,K) - підсилення (мультиплікативного характеру); UN(IП) - значення діючої або міжамплітудної (міжпікової) напруги шумів зрівноваженого джерела напруги шумів; похибка ?Uref, температурна ??(IП,Uref) і часова ?t(IП,Uref) коефіцієнта нестабільності зразкової напруги Uref . В (20) ?(U?(KU)) – стандартне відхилення різниці потенціалів термоелектричних контактів. В (21) всі ті ж величини,що і в (18), тільки для UД(2) – другого діапазону вимірювань вимірювальної плати, на якому здійснювалось вимірювання напруги.

П’ятий розділ присвячений експериментальному дослідженню моделей розподілу питомої провідності за допомогою макету електричної томографічної системи збирання і опрацювання вимірювальних даних, представленого на рис.9. В склад системи входить керований комутатор на герконах, виконаний у формі друкованих плат, джерело збуджуючого струму 3 mA, комп’ютерна вимірювальна плата PCI NI-6251 та допоміжні прилади: цифровий мультиметр і осцилоскоп для контролю параметрів сигналів та термогігрометр для контролю параметрів навколишнього середовища.

Виходячи з вхідного діапазону напруг ±10V вимірювальної плати NI-DAQ 6125 та струму збудження І0=3мА, номінальне значення опору резисторів прийнято R=3,3 кОм (похибка ?R підгонки ±0,1%, температурна нестабільність ??гр=±15ррm/К).

Для проведення досліджень виконано дослідний зразок у вигляді регулярної сітки з 156 впаяними резисторами. Перед монтажем були виміряні дійсні значення опорів резисторів. Така сітка була прийнята як об’єкт досліджень з рівномірним розподілом провідності, без збурень. Збурення провідності робились вручну і реалізовувались через зміну опору на 100% вибраних дискретніх трикутних елементів (як і у разі моделювання).

Рис.9. Вигляд фізичної установки томографічної системи збирання і опрацювання вимірювальних даних з приладами, за допомогою яких здійснювались вимірювання.

Здійснено оцінювання характеристик якості розробленого макету системи збирання і опрацювання вимірювальних даних. Для оцінювання відносної похибки результату вимірювання значення сили збуджуючого струму I0 знаходились cтандартні відхилення відносних похибок, зумовлених: зразковим резистором (17), використавши його характеристики: , вимірюванням спаду напруги на зразковому резисторі першим каналом вимірювальної плати (18), використавши характеристики 1-го каналу вимірювальної плати: . На основі розрахунку складових, отримано значення стандартного відхилення результату вимірювання сили збуджуючого струму: . Для оцінювання відносної похибки результату вимірювання напруг знаходились cтандартні відхилення відносних похибок, зумовлених: інструментальним підсилювачем (19), використавши його характеристики: , комутатором напруг (20), використавши його характеристики: , В2, вхідною напругою 2-го каналу вимірювальної плати (21), використавши характеристики 2-го каналу вимірювальної плати: . Отже, отримано вираз для розрахунку стандартного відхилення відносної похибки результату вимірювання значення напруги Ux складає : .

Проведене оцінювання значень характеристик абсолютної і відносної похибок визначення взаємного опору, а саме: розраховувалось їх середнє, максимальне за модулем, середньоквадратичне значення і стандартне відхилення для всіх 32 досліджених експериментальних моделей. На рис.10 представлено графік відносної похибки взаємного опору при 100% зміні питомої провідності елемента з номером 0.

Рис.10. Відносна похибка взаємного опору для експериментальної моделі

зміни питомої провідності 0 елемента.

Як видно з представленого графіку і за результатами досліджень решти моделей рівень максимальної за модулем відносної похибки 0,09%, середнє значення 0,002 %, середньоквадратичне значення і стандартне відхилення 0,022%.

Досліджено характеристики похибок реконструкції питомої провідності 32-ох фізичних моделей, використовуючи розроблений алгоритм реконструкції з урахуванням адаптивного параметра регуляризації, а також контролем значення ступеня неоднорідності результатів експериментальних вимірювань.

Алгоритм реконструкції для кожної із фізичних моделей включав наступні операції: для рівномірного розподілу провідності обчислювалися значення міжелектродних напруг Uрозр, знаходилась реконструктивна матриця REC, використовувалися результати експериментальних вимірювань міжелектродних напруг для певної моделі Uфіз і виміряного розподілу опорів віток rв, опори віток перераховувались в провідності віток, а потім в провідності трикутних елементів geл, отримувались задані провідності gзад,фіз_eл, елементів перераховувались в задані опори rзад, фіз.ел, розраховувались реконструйовані значення опору rrec як добуток реконструктивної матриці REC (з урахуванням регуляризації і адаптацією параметра регуляризації) на отримані експериментальним шляхом значення міжелектродних напруг.

Як і при моделюванні, знаходили результат реконструкції питомої провідності всіх 32 досліджених експериментальних моделей: при 100% зміні як окремого елемента, так і груп елементів. На рис.11 представлено характеристики відносної похибки реконструкції питомої провідності при зміні провідності 0-го елемента (найменші характеристики відносної похибки реконструкції зі всіх досліджених фізичних моделей, отримані на 3-ій ітерації) і груп елементів 63, 72, 86 (найбільші характеристики відносної похибки реконструкції зі всіх досліджених фізичних моделей, отримані на 3-ій ітерації).

Рис.11.Характеристики відносної похибки реконструкції фізичних елементів 63, 72, 86 і 0-го фізичного елемента

За результатами досліджень всіх 32 експериментальних моделей на 3-ій ітерації отримано значення всіх характеристик відносної похибки реконструкції: найменші значення при реконструкції 0-го фізичного елемента внутрішнього шару: середнє значення 8,1.10-3%, стандартне відхилення і середньоквадратичне значення відносної похибки 0,44%; максимальне значення за модулем похибки 1,8%; найбільші значення отримано при реконструкції груп елементів 63, 72, 86 зовнішнього шару: середнє значення 0,3%, стандартне відхилення і середньоквадратичне значення відносної похибки 8%; максимальне значення за модулем 18%.

Як бачимо, як і при моделюванні найбільші значення відносної похибки реконструкції є при 100% зміні провідності елементів зовнішнього шару, а найменші – елементів внутрішнього шару.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ

Результати виконаних досліджень є теоретичною та експериментальною базою для проектування електричних томографічних вимірювальних систем з покращеними метрологічними і експлуатаційними характеристиками.у промислових умовах.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

· при теоретичних дослідженнях найменші значення всіх характеристик відносної похибки реконструкції при 100% зміні провідності 0-го елемента внутрішнього шару: 10-3% середнє значення, 0,01% стандартне відхилення і середньоквадратичне значення, 0,13% максимальне за модулем; найбільші значення всіх характеристик відносної похибки реконструкції при 100% зміні провідності груп елементів 63, 72, 86 зовнішнього шару: 0,28 % середнє значення, 1,9% стандартне відхилення і середньоквадратичне значення, 9,1% максимальне за модулем;

· при експериментальних дослідженнях найменші значення всіх характеристик відносної похибки реконструкції при 100% зміні провідності 0-го елемента внутрішнього шару: 8,1.10-3% середнє значення, 0,44% стандартне відхилення і середньоквадратичне значення, 1,8% максимальне за модулем; найбільші значення всіх характеристик відносної похибки реконструкції при 100% зміні провідності груп елементів 63, 72, 86 зовнішнього шару: 0,54% середнє значення, 7,9% стандартне відхилення і середньоквадратичне значення, 17% максимальне за модулем.

9.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Дорожовець М.М., Петровська І.Р. Аналіз методів реконструктивної ємнісної томографії. //Вісник ДУ “Львівська політехніка”, “Автоматика вимірювання та керування”.-1997. - N314.-C.3-8.

2. Дорожовець М.М, Федорчук А.А., Петровська І.Р. Методика розв’зку прямої задачі томографії провідності. //Вісник ДУ “Львівська політехніка”, “Автоматика, вимірювання та керування”. -1998. -N324. -C.43-51.

3. Дорожовець М.M., Петровська І.Р. Використання методу вузлових напруг в томографії електричної провідності. //Вісник ДУ “Львівська політехніка”, “Автоматика вимірювання та керування”. -1999. -N366. C.62-67.

4. Дорожовець М.М., Ковальчик А., Петровська І.Р. Алгоритм швидкого розрахунку якобіана для оберненої задачі електричної томографії. //Збірник наукових праць “Комп’ютерна інженерія та інформаційні технології”, -2002. -N468. C.139-145.

5. Дорожовець М.М., Петровська І.Р.. Розрахунок матриці Якобі при застосуванні апроксимації чотирикутними скінченними елементами в електричній томографії. //Вісник НУ “Львівська політехніка” “Автоматика, вимірювання та керування”. -2003. -№475. -C.99-104.

6. Михайло Дорожовець, Казимир Бридак, Ірина Петровська, Павло Потиранський. Різницевий метод вимірювання в електричній томографічній системі. //Міжвідомчий науково-технічний збірник “Вимірювальна техніка та метрологія”. -2005. -№ 65. -C.24-28.

7. Ірина Петровська, Михайло Дорожовець. Дослідження похибок реконструкції провідності об’єкту у 24-електродній томографічній системі. //Міжвідомчий науково-технічний збірник “Вимірювальна техніка та метрологія”. -2006. -№ 66. -C. 27-31.

8. Петровська І.Р.. Дослідження розв’язку задач електричної томографії методом контурних струмів. //Міжвідомчий науково-технічний збірник “Вимірювальна техніка та метрологія”. -2002. -№ 60. -C.23-29.

9. Дорожовець М.M., Петровська І.P. Дослідження похибок багатоелементного резистивного перетворювача. //Контроль і управління в технічних системах (КУТС-97). Книга за матеріалами четвертої міжнародної науково-технічної конференції. Вінниця, 21-23 жовтня 1997 р. "Універсум-Вінниця". -1997. -C.126-130.

10. Dorozowiec M., Pietrowska I. Analiza bledow okreslania wartosci rezystancyi wieloelementowego przetwornika rezystancyjnego. //. Materialy V miedzynarodowego seminarium metrologow. Rzeszow ,