НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МОДЕЛЮВАННЯ В ЕНЕРГЕТИЦІ ім. Г.Є. ПУХОВА

НАН УКРАЇНИ

ПОЛОЖАЄНКО Сергій Анатолійович

УДК 519.876.5:004.942.001.57

МЕТОДИ І ЗАСОБИ ПРИКЛАДНОГО МАТЕМАТИЧНОГО

МОДЕЛЮВАННЯ АНОМАЛЬНИХ ДИФУЗІЙНИХ ПРОЦЕСІВ

Спеціальність 01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

КИЇВ - 2006

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі “Комп’ютеризовані системи управління” Одеського національного політехнічного університету Міністерства освіти і науки України

Науковий консультант:

член-кореспондент АПН України, доктор технічних наук, професор

Верлань Анатолій Федорович

Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України

завідувач відділом моделювання динамічних систем

Офіційні опоненти:

член-кореспондент НАН України, доктор фіз.-мат. наук, професор

Стоян Юрій Григорович

Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України

завідувач відділом математичного моделювання і оптимального проектування

доктор технічних наук, професор

Златкін Артур Анатолійович

Черкаський державний технологічний університет

завідувач кафедри інформатики і інформаційної безпеки

доктор технічних наук, професор

Саух Сергій Євгенович

Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України

головний науковий співробітник

Провідна організація: Інститут проблем математичних машин і систем НАН України

Захист відбудеться “ 26 ” червня 2006 р. о 1400 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.185.01 Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України за адресою: 03164, м. Київ, вул. Генерала Наумова, 15.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України за адресою: 03164, м. Київ, вул. Генерала Наумова, 15.

Автореферат розісланий “ 24 ” травня 2006р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

кандидат технічних наук Семагіна Е.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність роботи. Відомі методи математичного моделювання, а також наявність значного класу засобів чисельної програмно-апаратної реалізації, дозволяють ефективно розв’язувати широке коло теоретичних і практичних задач дослідження поширених дифузійних процесів. Разом з цим існує клас дифузійних процесів, які характеризуються аномальністю перебігу фізичних явищ та відзначаються підвищеною складністю їх дослідження. Серед важливих практичних застосувань аномальних процесів дифузії слід вказати, зокрема, на такі, які розвиваються в пластових геологічних системах: фільтрація високопарафінистих нафт; водонапірний режим розробки нафтових родовищ, що характеризується утворенням “застійних зон”; просочування ґрунтових вод через складно структуровані пластові горизонти, тощо. При цьому аномальність проявляється, перш за все, в порушенні лінійного закону фільтрації - закону Дарсі. Інтерес до вказаної сукупності процесів полягає в тому, що вони носять не винятковий характер, а складають звичне явище для певних класів систем “рідина - пористе середовище”. Важливо наголосити на тому факті, що аномальний характер перебігу процесу дифузії може бути обумовлений не тільки власними властивостями компоненти, що дифундує (наприклад, в’язкопластичною поведінкою), а і набуттям цих властивостей від взаємодії з фізичним середовищем.

Розв’язання задач моделювання і ідентифікації аномальних процесів дифузії пов’язано з рядом принципових ускладнень як постановочного, так і обчислювального характеру. Причиною ускладнень є: нелінійний характер процесів, що досліджуються; складність геометрії просторової області моделювання і її границь; обмеженість вектора вимірювань простору стану процесу і числа точок прикладення управляючих впливів; високі розмірності результуючих кінцевомірних аналогів математичної моделі (ММ). Не набули достатнього розвитку математичні методи опису аномальних дифузійних процесів при мультиплікативному представленні функцій стану, а також для випадку багатокомпонентних систем, що дифундують. Вказані проблеми вимагають не тільки розвитку, але і розробки нових методів дослідження аномальних дифузійних процесів.

Різко виражена спрямованість розвитку аномальних дифузійних процесів, обумовлює адекватність їх математичної формалізації на основі апарату варіаційних нерівностей. Відома широка низка фундаментальних робіт, присвячених теорії і практиці використання варіаційних нерівностей для дослідження якісно складних фізичних явищ (роботи Ж.-Л. Ліонса, Р. Дюво, Р. Фікери, Ф. Киндерлерера, Р. Стампак’і, А.І. Єгорова, В.І. Максимова, М.З. Згуровського, О.М. Новікова, В.С. Мельника, В.В. Скопецького і ін.), а також ряд більш пізніх робіт в цьому напрямі (І.В. Жданова і ін.). Не дивлячись на це, визначальною залишається актуальність теоретичних досліджень і практичних застосувань даного математичного апарату як основи при розробці обчислювальних методів для моделювання, ідентифікації та управління фізичними процесами в прикладних задачах. Важливою є проблема розробки методів чисельної реалізації розв’язуваних задач математичного моделювання аномальних дифузійних процесів як самостійний аспект теорії і практики обчислювальної математики.

Таким чином, систематизація і аналіз даної області досліджень свідчать про те, що актуальною і не повною мірою розв’язаною є науково-технічна проблема створення методів і засобів математичного моделювання аномальних дифузійних процесів на основі апарату варіаційних нерівностей.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Цільова спрямованість досліджень, проведених в дисертаційній роботі, тісно пов’язана з планами наукових досліджень Одеського національного політехнічного університету (ОНПУ), а також в рамках Відділення “Електроніка і математичне моделювання” ІПМЕ НАН України при ОНПУ. Робота виконувалася в рамках держбюджетних і госпдоговірних науково-дослідних робіт: “Апаратні і програмні засоби автоматизованих систем управління і обробки інформації” № 281-63, 1997 - 2001 р.р.; “Розробити методи побудови оптимальних структур систем автоматизованого збору та обробки екологічних параметрів” № 377-63, 2000 - 2002 р.р. (№ 0100U001404); “Системи автоматики і контролю для управління технологічними процесами” № 405-63, 2001 - 2004 р.р., “Алгоритми, програми та пристрої систем контролю, діагностики і управління технологічними процесами” № 548-63, 2005 - 2008 р.р.

Мета і задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає в створенні методів математичного і чисельного моделювання аномальних дифузійних процесів на основі застосування і розвитку апарату варіаційних нерівностей, а також в розробці комп’ютерно-орієнтованих засобів аналізу, ідентифікації та управління, які забезпечують ефективне розв’язання прикладних задач при дослідженні і використанні широкого класу природних та технологічних процесів і об’єктів.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв’язати такі задачі:

- на основі аналізу поширених природних і промислово важливих явищ реології систематизувати і виділити особливості класу аномальних процесів дифузії;

- на прикладах типових практичних задач дослідження аномальних дифузійних процесів обґрунтувати підхід до їх математичного опису, заснованого на використанні варіаційних нерівностей у випадках мультиплікативного представлення функцій стану процесу, а також багатокомпонентних систем, що дифундують;

- розробити ММ типових аномальних процесів дифузії у вигляді варіаційних нерівностей в часткових похідних, виконати узагальнення і аналіз якісних характеристик одержаних моделей;

- для моделювання аномальних дифузійних процесів, функції стану яких зазнають розривів, розробити чисельний метод обчислювальної реалізації їх ММ;

- розробити дискретні ММ аномальних процесів дифузії, які враховують основні якісні властивості динаміки процесів, що досліджуються;

- виконати розв’язання задачі параметричної ідентифікації лінійних і нелінійних ММ аномальних процесів дифузії;

- розробити ММ аномальних процесів, орієнтовану на розв’язання задач управління вказаними процесами і яка враховує запізнювання по змінних стану і на управляючі впливи;

- створити алгоритми моделювання для дослідження аномальних процесів дифузії, які описуються ММ у вигляді варіаційних нерівностей;

- розробити інструментальні засоби, що реалізовують запропоновані методи дослідження аномальних процесів дифузії і оцінити прикладні можливості цих методів шляхом розв’язання практичних задач.

Об’єктом дослідження є аномальні процеси дифузії в природних і технічних системах.

Предметом дослідження є математичні моделі аномальних процесів дифузії і обчислювальні методи їх чисельної та комп’ютерної реалізації.

Методи дослідження. В роботі використовувалися положення теорій: варіаційних нерівностей і рівнянь математичної фізики (розробка безперервних ММ аномальних процесів дифузії); оптимального управління і оцінювання (стану і параметрів) просторово-розподілених фізичних процесів (розробка методів обчислювальної реалізації ММ у вигляді варіаційних нерівностей при розв’язанні задач моделювання і ідентифікації); методи чисельного аналізу (розробка алгоритмів реалізації дискретних ММ); методи організації комп’ютерних засобів моделювання (розробка програмного забезпечення); методи обчислювального експерименту (дослідження алгоритмів і програмних засобів при розв’язанні прикладних задач).

Наукова новизна одержаних результатів полягає в створенні методів математичного і чисельного моделювання аномальних дифузійних процесів на основі застосування і розвитку апарату варіаційних нерівностей, а також в розробці комп’ютерно-орієнтованих засобів аналізу, ідентифікації та управління, які забезпечують ефективне розв’язання прикладних задач при дослідженні і використанні широкого класу природних та технологічних процесів і об’єктів.

Новими науковими результатами дисертаційного дослідження є такі.

Набули подальший розвиток:

- систематизація аномальних дифузійних процесів, в основу якої покладені явища, які становлять фізичну суть даних процесів, що дозволило обґрунтувати вибір класифікаційних ознак для вказаних процесів з урахуванням подальшої формалізації задач їх дослідження;

- схема поетапного розв’язання рівнянь динаміки для окремих функцій простору стану, які визначають сукупний рух двокомпонентної системи, що не змішується, завдяки чому забезпечена ефективність запропонованому методу реалізації нелінійних ММ, які описують динаміку системи з двома компонентами, що не змішується, і одна з яких має аномальний характер, а також процес утворення “застійних зон”.

Досліджені:

- спостережуваність і керованість аномальних дифузійних процесів, внаслідок чого одержана матриця спостережуваності і доведені твердження про керованість даних процесів за наявності запізнювань по змінних простору стану і управлінню для розподіленого та граничного видів прикладення управляючих впливів.

Вперше запропоновані:

- узагальнена математична модель систематизованої сукупності аномальних дифузійних процесів (модель представлено у вигляді варіаційної нерівності), що дозволило поставити і розв’язати задачу відшукання достатньо загального методу реалізації математичних моделей процесів, що досліджуються;

- метод розв’язання варіаційних нерівностей, які утворюють ММ аномальних дифузійних процесів, заснований на оптимізаційній процедурі принципу максимуму функції Гамільтона, що дозволило розширити клас вирішуваних задач для випадків, якщо накладено обмеження на управління або, якщо шукані екстремалі включають в себе кусково-неперервні функції;

- нелінійні ММ аномальних дифузійних процесів, які визначають: динаміку системи з двома компонентами, що не змішуються, і одна з яких має аномальний характер; а також порядок утворення “застійних зон” (що містять аномальну компоненту), завдяки чому описано якісно нову сукупність фізичних процесів;

- метод реалізації нелінійних ММ аномальних дифузійних процесів, які визначають: динаміку системи з двома компонентами, що не змішуються, і одна з яких має аномальний характер; а також порядок утворення “застійних зон” (що містять аномальну компоненту), завдяки чому було розв’язано якісно новий клас задач. Метод заснований на ітераційній процедурі уточнення розв’язку;

- метод параметричної ідентифікації ММ аномальних дифузійних процесів, які визначають динаміку системи з двома компонентами, що не змішуються, і одна з яких має аномальний характер. Метод заснований на процедурі методу проекції градієнта і дозволяє визначити параметри ММ, що обумовлюють аномальність процесу дифузії;

- математична модель динаміки аномальних дифузійних процесів, яка враховує запізнювання по змінних простору стану і на управління, що дозволило виконати якісно нову формалізацію задачі управління досліджуваним класом процесів.

Практична цінність роботи полягає в тому, що запропоновані методи та засоби моделювання дозволяють розширити клас важливих для практики досліджуваних об’єктів, а також створено комплекс програм комп’ютерного моделювання для розв’язання задач аналізу, ідентифікації та управління аномальними дифузійними процесами.

Результати, одержані в дисертаційній роботі, впроваджені: в ВАТ “Елемент” (Головна організація Міністерства промислової політики України “Електронні системи вимірювання, контролю параметрів та управління авіаційними двигунами”) – при створенні систем управління, контролю і діагностики об’єктів енергетики; в АТВТ “Гілея” та ВАТ “Югцемент” - при проведенні геологорозвідувальних і ремонтних робіт на технологічних об’єктах.

Матеріали дисертаційної роботи використані при розробці лекційних курсів “Автоматизація типових виробничих процесів” та “Автоматизація проектування систем управління”, які поставлені і читаються на кафедрі “Комп’ютеризовані системи управління” ОНПУ.

Особистий внесок пошукувача в працях, опублікованих із співавторами. Наукові положення, висновки і рекомендації, які викладено в дисертаційній роботі і виносяться на захист, одержані особисто пошукувачем і узагальнені під час оформлення дисертаційної роботи. В роботах, виконаних в співавторстві з аспірантами і співробітниками колективів, якими керує пошукувач [10 - 13, 28 -31], особистий науковий внесок автора складає:

- в [10, 12] - ММ вимірників акустичних сигналів, представлених у вигляді стаціонарних або еволюційних варіаційних нерівностей;

- в [11] - експериментальне дослідження адаптивного алгоритму виявлення сигналів;

- в [13] - ММ формування акустичного сигналу, який породжено витоком газу в рідині, що представлена у вигляді еволюційної варіаційної нерівності;

- в [29] - експериментальне дослідження некласифікованої навчальної вибірки;

- в [30, 31] - отримання виразів для функцій профілю швидкостей вітрового потоку;

- в [32] - ММ приймачів акустичних сигналів, які представлені у вигляді варіаційних нерівностей і їх узагальнена форма.

Апробація результатів дисертаційної роботи. Основні положення дисертаційної роботи обговорювалися на наукових семінарах кафедри “Комп’ютеризовані системи управління” ОНПУ, Одеса, 1998 - 2005 р.р.; на наукових семінарах відділу моделювання динамічних систем ІПМЕ НАН України, Київ, 2003 - 2005 р.р.; на щорічній Науковій конференції ІПМЕ НАН України, Київ, 2001 р. Матеріали дисертаційної роботи докладалися і обговорювалися на: 1-й Українській конференції з автоматичного управління “Автоматика - 94”, Київ, 1994 р., 4-й міжнародній науковій конференції “Автоматика - 1997”, Черкаси, 1997 р., 8-й міжнародній науковій конференції “Автоматика - 2001”, Одеса, 2001 р., 10-й міжнародній науковій конференції “Автоматика - 2003”, Севастополь, 2003 р., II-й міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні інформаційні і електронні технології”, Одеса, 2001 р., IV-й міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні інформаційні і електронні технології”, Одеса, 2003 р., V-й міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні інформаційні і електронні технології”, Одеса, 2004 р., IX-й міжнародній науково-практичній конференції “Системи і засоби передачі і обробки інформації”, Черкаси, 2005 р.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 32 наукових працях: у тому числі - 22 статтях в спеціалізованих виданнях згідно до списку ВАК України і 10 публікацій в матеріалах конференцій.

Структура і обсяг дисертаційної роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, 6 розділів, висновків, списку використаних джерел з 164 найменувань і 6 додатків. Містить 38 рисунків та 21 таблицю. Загальний обсяг дисертаційної роботи складає 392 сторінки, включаючи 287 сторінок основного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми дисертаційної роботи, викладені мета і задачі досліджень. Сформульовані основні теоретичні положення і практичні результати, досягнуті в роботі, їх наукова новизна.

У першому розділі “Стан проблеми математичного опису та розвитку чисельних методів дослідження аномальних дифузійних процесів” розглянуті причини виникнення і особливості прояву аномальності дифузійних процесів. Так, наприклад, явища, які відбуваються при фільтраційному русі ряду природних і промислово важливих рідин, призводять до порушення лінійного закону Дарсі, що змушує розглядати ці рідини як аномальні, а відповідні їх динаміці закони фільтрації - як випадок опису аномальних процесів дифузії. Аналіз показав, що в основі аномальності процесів фільтрації лежить сукупність фізичних ефектів природного або штучного походження, наприклад, насичення скелета порової структури рідиною з високою в’язкістю, що фільтрується, в умовах критичних значень полів пористості і провідності середовища; утворення зон з нульовими швидкостями фільтрації для ненульових градієнтів поля тиску (“застійних зон”); порушення умов фільтрації в пластовій системі внаслідок розкриття її мережею експлуатаційних свердловин, тощо.

При розгляді прикладів розповсюдження аномальних процесів дифузії показано, що одним з характерних проявів аномалій є наявність граничного градієнта функції стану. Наприклад, для випадку фільтрації рідини в пористому середовищі ця аномальність має вигляд (рис. 1)

(1)

де - градієнт внутрішньопластового тиску; - в’язкість рідини; - швидкість фільтрації; - проникність середовища; - відповідно, поточна і гранична дотичні напруги зсуву; - граничний градієнт тиску.

Рис. 1. Закон фільтрації з граничним градієнтом

Розглянуто типові приклади аномальних дифузійних процесів, на підставі яких сформульовані класифікаційні ознаки і запропонована систематизація процесів, що досліджуються. Відповідно до неї, аномальні дифузійні процеси поділяться на: процеси з переважною провідністю границі, процеси з еволюційним обмеженням на функцію стану і процеси з аномальною граничністю значень функції стану.

Встановлено, що незалежно від фізичної природи, яка породжує дифузійні аномалії, останні супроводжуються нерівноважними явищами (наприклад, наявністю граничного градієнта) і призводять до нелінійних ММ.

Аналіз поставлених і розв’язаних до теперішнього часу задач дослідження фізичних процесів з аномальним характером протікання показав, що адекватним способом формалізації аномальних процесів дифузії слід розглядати представлення їх ММ у вигляді варіаційних нерівностей. Перспективним при цьому для розв’язання сформульованих задач на варіаційні нерівності є використання методів оптимізації.

На закінчення першого розділу зроблено висновок про те, що не вивченими залишилися питання формалізації ряду важливих аномальних процесів дифузії (мультиплікативне представлення функцій простору станів, багатокомпонентні системи, які дифундують), а також розробки методів їх дослідження (моделювання, ідентифікації і управління).

У другому розділі “Математичні моделі аномальних дифузійних процесів і їх обчислювальна реалізація” запропоновано ММ окремих випадків аномальних процесів дифузії і виконано їх узагальнення; запропоновано метод обчислювальної реалізації ММ аномальних процесів дифузії, заснований на методах оптимізації і такий, що забезпечує розв’язання задачі моделювання, якщо шукані функції стану зазнають розриви або є обмеження (у тому числі і на управління); також розроблено дискретні ММ даного класу процесів і проведено їх чисельне дослідження.

У дисертаційній роботі запропоновано ММ аномальних процесів дифузії відповідно до виконаної в розділі 1 систематизації. При цьому ММ розроблені на основі строгої математичної формалізації фізичних явищ, які визначають суть конкретного типу процесу аномальної дифузії, і представлені у вигляді варіаційних нерівностей в часткових похідних.

Даний підхід до формування ММ на прикладі процесів з еволюційним обмеженням на функцію стану, зокрема, для задачі відшукання функції водонасиченості заводненого нафтового пласта, полягає в наступному. Процес заводнювання нафтового пласта, що розробляється при водонапірному режимі, розвивається від нагнітальної (НС) до добувної (ДС) свердловини (рис 2). Необхідно відшукати функцію водонасиченості , що визначає простір стану заводненої частини пласта, і яка в ході еволюції фізичного процесу не може перевищити обмеження,.

Рис. 2. Просування фронту заводнення

Нехай - відкрита плоска обмежена область в з границею, є заводненою частиною пласта. Характеристики пористого середовища задаються проникністю і пористістю, а пластовий і капілярний тиск - відповідно функціями і. Функції, і зв’язані диференціальним рівнянням (- вимушуюча функція, яка задана в)

(2)

з початковими умовами (ПУ)

(3)

і граничними умовами (ГУ) у вигляді нерівностей (внаслідок еволюційної обмеженості )

(4) або (5)

де -- нормаль до границі .

Уводячи в розгляд пробну функцію, м. с. в, скалярно помножуючи (2) на і, застосувавши формулу Гріна, одержимо

Заміна змінної на призводить до результату

(6)

Визначивши білінійну форму

(7)

і функціонали

(8) (9)

остаточно можна формалізувати поставлену задачу у вигляді варіаційної нерівності

(10)

У дисертаційній роботі коректно доведено єдиність розв’язку задачі (10), використовуючи властивість коерцитивності білінійної форми. З визначення функцій випливає. Показано, що якщо і - розв’язки задачі (10), відповідно для, то внаслідок коерцитивності білінійної форми існує таке при якому виконується нерівність

і випливає справедливість умови

.

Аналогічним чином одержано ММ процесів з переважною провідністю границі і процесів з аномальною граничністю значень функції стану у вигляді відповідних варіаційних нерівностей, для яких також доведена єдиність розв’язку.

Тотожність структур варіаційних нерівностей, які представляють ММ досліджуваних аномальних процесів дифузії, дозволила виконати узагальнення їх математичного опису. Таке узагальнення дозволяє, з одного боку - описати будь-який конкретний процес аномальної дифузії, що має місце в прикладних задачах (в рамках узагальненої ММ); а з другого боку - розробити достатньо загальний метод обчислювальної реалізації одержуваних варіаційних нерівностей.

Узагальнена ММ аномальних процесів дифузії записана відносно функції, яка є фізичною величиною, що визначає простір стану досліджуваного процесу в конкретній задачі, наприклад, тиск, насиченість, тощо. Функція задана на обмеженій відкритій множині простору з гладкою границею і є розв’язком варіаційної нерівності

(11)

з ПУ і ГУ вигляду

(12)

(у разі стаціонарної задачі перший доданок в (11) і перша умова в (12) - відсутні). В (11) оператор задає лінійне перетворення і визначається білінійною формою

(13)

де - коефіцієнти диференціальних операторів відображають фізичні параметри процесу (наприклад, пористість і проникність середовища - в задачах внутрішньопластової фільтрації); (якщо немає додаткових умов на протікання фізичного процесу), (якщо є додаткові умови, що визначають фізику процесу, наприклад, наявність капілярного тиску); - вимушуюча функція процесу, для якої операція співпадає з скалярним добутком в; - невід’ємна функція на границі просторової області, що визначає напрям і якісну картину перебігу фізичного процесу в області.

Функціонали, що входять в (11), задають вид аномального процесу дифузії, представляються в мультиплікативній формі і визначені або на границі просторової області, або всередині неї (наприклад, для )

(14) (15)

де - деяка неперервна функція, в якості аргументу якої, окрім просторової координати, може бути шукана змінна; - неперервна функція, що диференціюється (або не володіє властивістю диференційованості), від шуканої змінної або змінної іншої фізичної природи .

Нетривіальний розв’язок задачі (11), (12) визначається виглядом функціоналів (зокрема, виглядом функцій і). Очевидно також, що функціонали зводять (11), (12) до нелінійних задач з невідомими границями (14) або з невідомою областю (15).

Аналіз фундаментальних законів збереження показав, що задача моделювання динаміки аномальних дифузійних процесів зводиться до оптимізаційної задачі мінімізації наступного функціонала (зокрема, на прикладі процесів фільтрації внутрішньопластових рідин)

(16)

де і - відповідно, об’єм і густина рідини, що фільтрується; - внутрішньопластовий тиск; - швидкість фільтрації, виражена через просторову координату.

Підінтегральна функція в (16) має фізичний смисл повної енергії механічної системи “рідина, яка фільтрується, - пористе середовище” і є функцією Гамільтона. Окрім цього показано, що задача переходу рідини, яка фільтрується, з однієї точки фазового простору в іншу під дією змінної вимушуючої функції (тобто суть задача управління), математично також може бути формалізована як оптимальна процедура знаходження екстремуму функції Гамільтона. Таким чином, в дисертаційній роботі зроблено висновок про те, що фізично обґрунтованою може бути розробка методу реалізації ММ динаміки аномальних дифузійних процесів, який орієнтовано на пошук максимуму функції Гамільтона (МФГ).

Метод, що використовує пошук МФГ, полягає в наступному. Початкова задача в постановці (11), (12) приводиться до еквівалентної форми

(17)

де по структурі відповідає алгебраїчній сумі функціоналів (співвідношення (14) або (15)), а для і, відповідно, справедливо,.

Вводиться критерій якості розв’язку оптимізаційної задачі

або (18)

При цьому інтегральна різниця між пробною і шуканою функціями розглядається як кількісна міра відхилення перебігу процесу від його реального значення.

У основу методу покладено принцип максимуму, відповідно до якого відшукуються умови оптимальності. Розширення розмірності простору стану і введення голчатої варіації тривалістю дозволяє визначити приріст функціонала (18) (рис. 3).

Для виконання умови вводиться спряжена функція відповідно до виразу (знак тильда позначає розширений вектор простору станів)

,

причому функція виражена через шукану функцію стану.

Рис. 3. Визначення приросту функціонала

Для оптимального розв’язку варіація функціонала (18) у момент часу повинна дорівнювати нулю

що в запису через вираз динаміки дає результат

(19)

З (19) випливає, що другий доданок в ньому відповідає оптимальному розв’язку рівняння динаміки (17). У разі, коли оптимальний розв’язок знайдено, варіація функціонала буде дорівнювати нулю, тобто. Враховуючи це, перший доданок в (21), що визначається функцією Гамільтона

повинен приймати максимальне значення. Забезпечення максимуму функції Гамільтона визначається умовами

(20)

У дисертаційній роботі розроблено алгоритм, що реалізовує запропонований метод розв’язку варіаційних нерівностей виду (11). Щодо запропонованого методу,

який використовує пошук МФГ, сформульовано і доведено наступну теорему про існування і єдиність одержуваних розв’язків.

Теорема 2.1. Нехай початкові умови в (12), що визначають задачу Коші для рівняння (17), є аналітичними функціями незалежних змінних в околі точки . Тоді, якщо праві частини системи (17) є аналітичними (або кусково-гладкими) функціями всіх своїх аргументів в околі точки їх числових значень, що відповідають точці внаслідок початкових умов, то в околі цієї точки існує розв’язок сформульованої задачі Коші і цей розв’язок буде єдиним.

З метою машинної реалізації ММ аномальних процесів дифузії в дисертаційній роботі розроблені їх дискретні аналоги, які враховують найважливіші якісні характеристики безперервних ММ: нестаціонарність і розривність функцій, які їх утворюють. Апроксимація безперервних ММ була виконана на основі методу кінцевих різниць. Розробка дискретних ММ проводилася з використанням економічних різницевих схем. З іншого боку, при апроксимації безперервних ММ використовувалися консервативні (дивергентні) сітки, для яких закони збереження є алгебраїчним наслідком різницевих рівнянь. Для забезпечення можливості ефективного розв’язання конкретних практичних задач, були розглянуті випадки побудови явної і неявної дискретних ММ. Дискретні ММ представлені в стандартній векторно-матричній формі і для них одержані відповідні умови стійкості.

Проведене чисельне дослідження дискретних ММ аномальних процесів дифузії підтвердило їх слушність і ефективність при розв’язанні прикладних задач.

У третьому розділі “Математичні моделі динаміки багатокомпонентних дифундуючих систем з аномальним характером однієї з компонент та обчислювальна реалізація цих моделей” виконано формалізовану постановку і наведено розв’язання задачі про просування фронту витіснення в двокомпонентному потоці при заміні в області сумісної динаміки компоненти з аномальними властивостями компонентою з “ідеальними” властивостями. Такого роду задачі виникають, наприклад, в нафтовидобутку в умовах водонапірного режиму розробки нафтового пласта при витісненні нафти водою. Багатофракційний склад нафти (особливо високопарафінистої) спричиняє її в’язкопластичність, що призводить до аномалій у вигляді порушення лінійного закону фільтрації - закону Дарсі. На відміну від цього вода, що є “ідеальною” рідиною, - підкорюється закону Дарсі.

При розв’язанні задачі про просування фронту витіснення в двокомпонентному потоці (в наведених застосуваннях - нафти водою) прийнято припущення про те, що область сумісного руху обох рідин розглядається як сукупність двох підобластей. В першій з них -, де відбувається рух нафти, виконується закон фільтрації з граничним градієнтом, внаслідок її аномальної поведінки. В другій підобласті -, зайнятою водою, фільтрація підпорядковується лінійному закону Дарсі. При просуванні фронту витіснення, через можливість досягнення на границі “нафта - вода” граничного для нафти значення градієнта тиску, можуть утворюватися граничні нафтові целіки (“застійні зони”).

ММ динаміки системи з двома компонентами (нафта і вода), що не змішується, сформульована щодо двох розподілених функцій: внутрішньопластового тиску та водонасиченості і заснована на запропонованій ММ з еволюційним обмеженням на функцію стану

(21)

(22)

(23)

або (24)

де - пробна функція, яка за значенням співпадає з функцією водонасиченості у варіаційній постановці задачі; - капілярний тиск; - густина, в’язкість і проникність середовища для рідин, що фільтруються, відповідно (індекс 1 позначає в’язкопластичну тобто аномальну рідину, індекс 2 - в’язку тобто “ідеальну” рідину); - пористість середовища; - потужність пласта; - відповідно, число добувних і нагнітальних свердловин, якими розкрито пластову систему; - відповідно дебіти добувних і нагнітальних свердловин; - функція Дірака в точках розташування добувних (або нагнітальних) свердловин; - нормаль до границі області.

Варіаційна нерівність (21) визначає динаміку фільтрації в’язкопластичної рідини, а рівняння (22) - динаміку фільтрації в’язкої рідини. Як показано в дисертаційній роботі, розв’язок системи (21) - (24) дає можливість одержати поля (тобто підобласті і ), зайняті в’язкопластичною і в’язкою рідинами в області

сумісної фільтрації, а просторова орієнтація цих полів дозволяє визначити фронт витіснення в двокомпонентному потоці.

У дисертаційній роботі запропоновано метод розв’язання нелінійної дискретної задачі моделювання динаміки системи з двома компонентами, що не змішуються, і одна з яких має аномальний характер. Даний метод є подальшим розвитком методу поетапного розв’язання рівнянь динаміки для окремих функцій простору стану, які визначають процес дифузії. Для задачі (21) - (24) запропонований метод полягає в наступному. На першому етапі розраховується поле внутрішньопластового тиску на підставі наступного рівняння динаміки, одержаного шляхом еквівалентних перетворень з дискретних аналогів співвідношень (21), (22) і сформульованого щодо функції

(25)

де, , - узагальнені провідності середовища для відповідних рідин; - кроки сітки дискретизації по просторових координатах; - крок сітки дискретизації по часовій координаті;, - у верхніх індексах, відповідно, поточний і подальший часові шари сітки дискретизації; - різницеві оператори по просторових і часовій координаті.

На другому етапі розраховується поле водонасиченості з використанням рівняння динаміки, записаного відносно функції та значень поля внутрішньопластового тиску, що входять до цього рівняння, і які визначено раніше на першому етапі

(26)

Рівняння (25), (26) задають алгоритм процедури поетапного розв’язання рівнянь, записаних відносно функцій простору станів системи (21) - (24).

Для розв’язання параметрично нелінійних рівнянь (25), (26) в дисертаційній роботі запропоновано метод, що зводиться до наступних ітераційних процесів

(27)

(28)

де - номер ітерації, - часткові похідні нелінійних функцій коефіцієнтів диференціальних операторів по шуканих функціях стану.

Ітераційні процеси (27) і (28) здійснюються до виконання наступних критеріїв в кожному вузлі сітки дискретизації

(29)

де і - задана точність розв’язку на етапах розрахунку відповідних функцій простору станів.

У дисертаційній роботі виконано чисельне дослідження дискретної ММ динаміки системи з двома компонентами, що не змішуються, і одна з яких має аномальний характер. Дослідження показало ефективність і слушність ММ при розв’язанні прикладних задач.

Близькою до розглянутої є задача утворення в результаті витіснення “ідеальною” компонентою “застійних зон”, що містять невитиснену аномальну компоненту. Єдина фізична картина явищ, що відбуваються, дозволила використати в якості основи при побудові ММ процесу утворення “застійних зон” (які містять невитиснену аномальну компоненту), систему виду (21), (22), прийнявши при цьому такі припущення.

“Застійні зони” утворюються в “язиці” компоненти, яка витискає, в замкнутих просторових областях єдиного фізичного середовища в межах, і на границі яких виконується умова . В просторовій області, що містить “застійну зону” і її границю, рух компоненти, яка витискається, відсутній (нульова витрата). Основні якісні відмінності задачі моделювання “застійних зон” від задачі про просування фронту витіснення в двокомпонентному потоці полягають у формуванні початкових і граничних умов. Початкові умови для задачі моделювання “застійних зон” задаються для всієї області сумісної динаміки аномальної і “ідеальної” компонент і визначають початковий стан для моделювання динаміки системи в цілому. Граничні ж умови визначені тільки для передбачуваних “застійних зон”. Проте, границі “застійних зон” (область може містити більш ніж одну “застійну зону”) наперед не відомі і їх відшукання складає суть постановки задачі.

Крім того, необхідно задати обмеження зверху на функцію водонасиченості , оскільки в даному випадку має місце задача з еволюційним обмеженням на функцію стану. Таким чином, ММ задачі моделювання “застійних зон”, що містять невитиснену аномальну компоненту, запропонована у такому вигляді

(30)

(31)

(32)

(33) (34)

Відшукання сукупності підобластей, що задовольняють системі виразів (30) - (34), і буде розв’язком задачі моделювання “застійних зон”, що містять невитиснену аномальну компоненту.

Зважаючи на структурну ідентичність задачу моделювання процесу утворення “застійних зон” розв’язано з використанням тих самих підходів, що і задачу про просування фронту витіснення в двокомпонентному потоці. Для апробації дискретної ММ “застійних зон” виконано її чисельне дослідження на прикладі розв’язання прикладної задачі.

У четвертому розділі “Ідентифікація математичних моделей багатокомпонентних дифундуючих систем з аномальним характером однієї з компонент” виконано розв’язання задачі параметричної ідентифікації ММ сумісної динаміки системи з двома компонентами, що не змішуються, і одна з яких має аномальний характер. При цьому під задачею ідентифікації малося на увазі визначення полів коефіцієнтів диференціальних операторів відповідних ММ по часовій і просторовій незалежним змінним. Не порушуючи загальності викладу, поставлену задачу розв’язано на прикладі ММ процесу водонапірного режиму розробки нафтового родовища. Ідентифікувалися поля параметрів пористості і проникності (- індекси рідин, що фільтруються) середовища на основі використання результатів вимірювань внутрішньопластового тиску і дебетів, в системі свердловин, якими здійснено розкриття продуктивного пласта.

Для випадку фільтрації аномальної рідини було виділено ряд важливих аспектів, що якісно змінюють постановку задачі ідентифікації:

1. Від взаємодії з пористим середовищем, яке має конкретні фізико-хімічні параметри, рідина, що фільтрується, може набувати аномального характеру, що при розв’язанні практичних задач вимагає застосування адекватних ММ.

2. Результатом розв’язання задачі моделювання пласта може бути досягнення граничного градієнта тиску, що призводить до подальшої постановки і розв’язання задачі про визначення “застійних зон”, а також їх фізичних параметрів.

3. У разі багатофазної фільтрації, відмінної тим, що двокомпонентна система, яка фільтрується, лише частково підпорядковується закону Дарсі, загальна задача ідентифікації розпадається на окремі задачі визначення полів параметрів для зон переважної фільтрації аномальної і “ідеальної” компонент. Ці задачі, в загальному випадку, можуть мати різну постановку.

4. Водонапірний режим розробки продуктивного пласта, при представленні його у вигляді ММ, носить виражено нелінійний характер, що, у свою чергу, зумовлює нетривіальну постановку задачі ідентифікації, коли шукані поля параметрів відшукуються в класі нелінійних функцій.

Задачу ідентифікації аномального дифузійного процесу сформульовано і розв’язано як задачу оптимального управління. Нехай і є точними значеннями пористості і проникності середовища відповідно. Тоді для -ої свердловини (тобто джерела) на відрізку часу можна представити тиск , що вимірюється, як

(35)

де - точне значення внутрішньопластового тиску, яке визначається відповідно до задачі виду (21) - (24), - похибка вимірювання внутрішньопластового тиску, в точці розташування -ої свердловини (інакше).

Вводиться до розгляду функціонал

(36)

де визначається із співвідношення (35), а - є розв’язком задачі (21) - (24) для заданих значень і; - період часу, протягом якого вимірюється тиск.

Виконання умови , (37)

де - множина допустимих функцій, а - множина допустимих функцій, відповідає розв’язанню задачі параметричної ідентифікації. Іншими словами, необхідно визначити такі, для яких

(38)

Для коректності розв’язання поставленої задачі параметричної ідентифікації виконано якісне дослідження оптимізаційної задачі (36) - (38), внаслідок чого сформульовано і доведено наступні теореми.

Теорема 4.1. Для множини функцій, визначених співвідношенням і допустимих областей параметрів та задача (38) має єдиний розв’язок.

Доведення існування розв’язку за умовою теореми 4.1 засновано на отриманні оцінок збіжності розв’язку системи (21) - (24) для параметрів і, а доведення єдиності випливає з тотожності розв’язків, що визначаються набутими значеннями диференціальних операторів.

Теорема 4.2. Для і функціонал (36) має слабку похідну по і в області.

Доведення теореми 4.2 засновано на представленні похідної функціонала (36) через розв’язок спряженої задачі.

У дисертаційній роботі запропоновано метод розв’язання оптимізаційної задачі виду (36), який засновано на методі проекції градієнта.

Було показано, що приріст функціонала (36)

може бути представлено у вигляді

, де - деяка функція з, і - залишкові члени такі, що, , а градієнт цього функціонала має вид

(39)

де - розв’язок спряженої до (21) - (24) системи

(40)

(41)

(42)

Таким чином, для отримання градієнта функціонала (36) необхідно розв’язати дві краєві задачі: спочатку визначити розв’язок системи (21) - (24); потім, в (42) підставити знайдений розв’язок задачі (21) - (24) і з системи (40) - (42) знайти спряжені функції і, нарешті, одержаний розв’язок спряженої задачі підставити в (39). Далі, маючи градієнт (39), для розв’язання задачі (21) - (24), (37) використовується процедура методу проекції градієнта, яка полягає в тому, що ітераційні процеси щодо функцій і, які ідентифікуються, матимуть вигляд

(43)

(44)

У (43) і (44) . Величини і визначаються з умов

де і - параметри методу.

У дисертаційній роботі виконана кінцево-різницева апроксимація прямої (21) - (24) і спряженої (40) - (42) задач з представленням відповідних дискретних аналогів в стандартній векторно-матричній формі. Дискретизація критерію якості виконана на підставі квадратурної формули Сімпсона. Розроблено також алгоритм розв’язання поставленої задачі по запропонованому методу, що використовує процедуру проекції градієнта. Алгоритм засновано на ітераційному уточненні розв’язку до досягнення заданої точності. Досліджено питання знаходження глобального екстремуму одержуваного розв’язку. Слушність запропонованого методу розв’язання задачі параметричної ідентифікації ММ сумісної динаміки системи з двома компонентами, що не змішуються, та реалізуючого його алгоритму перевірена шляхом розв’язання прикладної задачі.

У п'ятому розділі “Управління аномальними дифузійними процесами” виконано дослідження властивостей аномальних процесів дифузії як об’єктів управління. Також проведено синтез законів управління вказаними процесами з урахуванням їх якісних особливостей. Показано можливість реалізації ММ динаміки аномальних дифузійних процесів з урахуванням запізнювань по змінних простору стану і на управління.

В ході аналізу особливостей просторово розподілених аномальних процесів дифузії серед інших було вказано на необхідність характеризувати ці процеси як об’єкти управління із запізнюваннями. Тоді, в рамках запропонованої в дисертаційній роботі узагальненої ММ, аномальні дифузійні процеси представляються таким чином