Національна академія наук України

Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України

Рибнікова Ганна Михайлівна

УДК 681.3

Моделювання неперервних динамічних систем нецілого порядку на основі некласичного Операційного підходу

01.05.02 – Математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ – 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Відділенні гібридних моделюючих та керуючих систем в енергетиці Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України.

Науковий керівник доктор технічних наук, старший науковий співробітник

СІМАК Лілія Олексіївна,

Відділення гібридних моделюючих та керуючих систем в енергетиці Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України, провідний науковий співробітник.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор, головний науковий співробітник

САУХ Сергій Євгенович,

Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України, провідний науковий співробітник;

кандидат технічних наук, доцент

Вишневецький Володимир Іванович,

Національний транспортний університет, м. Київ, доцент кафедри електроніки та обчислювальної техніки.

Провідна установа: Національний технічний університет України

“Київський політехнічний інститут” Міністерства освіти і науки України, кафедра прикладної математики,

м. Київ

Захист відбудеться “ -28 ” вересня 2006 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.185.01 Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України за адресою:

м. Київ, вул. Генерала Наумова, 15

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України за адресою:

м. Київ, вул. Генерала Наумова, 15

Автореферат розісланий “ 23 ” серпня 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

кандидат технічних наук Семагіна Е.П.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Однією з важливих наукових проблем є розв’язок задачі аналізу та прогнозу поведінки об’єкта вивчення у часі та просторі на основі певних знань про його початковий стан. В якості об’єкта дослідження дисертаційної роботи розглянуто неперервні динамічні системи з зосередженими параметрами, поведінка яких підпорядковується деякому інтегро-диференціальному рівнянню зі сталими та змінними коефіцієнтами в звичайних похідних та похідних дробового порядку.

Дослідження динамічних систем дробового порядку стало особливо актуальним, оскільки з’явилась велика кількість публікацій, в яких описується апарат дробових похідних при математичному моделюванні широкого класу об’єктів та процесів із різноманітних галузей науки і техніки. Диференціальні рівняння нецілого порядку є незвичайними об’єктами, для яких методи аналізу тільки розробляються. Поряд з класичним підходом (перетворення Лапласа, z-перетворення) при моделюванні динамічних систем в останній час застосовуються некласичні операційні методи, де використовується представлення сигналів узагальненими поліномами на основі ортогональних локально-імпульсних базисних функцій. В основі операційних методів лежить ідея про взаємнооднозначну заміну функцій з первісного простору їх представленнями в деякому операційному просторі, що дозволяє алгебраїзувати інтегро-диференціальні рівняння, якими описуються динамічні процеси і системи. Особливо це актуально для систем нецілого порядку.

Розглянуті в роботі операційні методи вивчались раніше, та є напрямком досліджень Відділення моделюючих та керуючих систем в енергетиці ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України. Академіком Г.Є. Пуховим і його послідовниками (Саухом С.Є., Семагіной Е.П., та ін.) запропоновано метод диференціальних тейлоровських перетворень, в основі якого полягає представлення сигналів нескінченними степеневими рядами.

Блочно-імпульсна апроксимація, та розроблений на її основі інтерполяційно-екстраполяційний метод, розглядаються в роботі в якості операційного числення некласичного типу, що є розповсюдженим апаратом аналізу сигналів і систем. Методи представлення сигналів апроксимуючими імпульсними спектрами як узагальнення блочно-імпульсної апроксимації запропоновано і розвинуто в роботах Сімак Л.О. та учнів (Чьочь В.В., Пилипенко Н.М., Косової Г.М., Воронової О.С.).

Суттєву роль при побудові операційних моделей динамічних систем відіграє операційна алгебра спектрів: сукупність правил перетворення спектрів, що відповідають деяким діям над функціями-оригіналами. Для складного апарату дробового числення особливо важливі простота і красота деяких некласичних операційних методів.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню і розробці методів математичного моделювання динамічних систем, що описуються інтегро-диференціальними рівняннями дробового порядку, з елементами запізнювання, а також крайовими та варіаційними задачами для диференціальних рівнянь, на основі локально-імпульсної апроксимації; та призначена для використання при розв’язку широкого класу практичних задач. Відзначною особливістю роботи є застосування методів локально-імпульсної апроксимації в якості операційного методу, що зорієнтувало роботу на комп’ютерну реалізацію задач моделювання динамічних систем, а саме створення віртуальних прототипів моделей в пакеті візуального моделювання Simulink програмного комплексу MatLab®.

Мета і задачі дослідження. Основна мета дисертаційної роботи полягає в розробці комплексу прикладних обчислювальних методів і методів математичного моделювання динамічних систем нецілого порядку, орієнтованих на комп’ютерну реалізацію.

Вказана мета зумовила необхідність розв’язання таких задач:

– розвинення апроксимаційних методів аналізу стосовно класів динамічних систем, що розглядаються;

– дослідження ефективності застосування некласичних операційних й апроксимаційних методів для задач нецілого числення;

– розробка підходів до операційних методів моделювання динамічних систем з елементами запізнювання, в варіаційній постановці та з крайовими умовами;

– розробка апроксимаційно-операційних моделей динамічних систем нецілого порядку, систем з елементами запізнювання, крайових та варіаційних задач;

– розробка функціональних блоків і модульних структур систем, що моделюються, з використанням принципів аналогового моделювання, орієнтованих на програмні середовища типу Simulink.

Методи дослідження. При проведенні досліджень та розробок по дисертаційній роботі використовувались методи математичного моделювання, прикладної та обчислювальної математики, теорії диференціальних рівнянь, операційного числення, цифрової обробки сигналів та апроксимації. Отримані результати перевірялись шляхом проведення обчислювальних експериментів.

Наукова новизна дисертації полягає в наступному:

– розвинено операційний метод моделювання неперервних динамічних систем цілого, дробового та змішаного порядків на основі апроксимації сигналів узагальненими поліномами в локальних базисах;

– запропоновано інтерполяційно-екстраполяційний метод відтворення сигналів на основі блочно-імпульсної апроксимації;

– розвинено операційний метод моделювання крайових задач для диференціальних рівнянь;

– запропоновано операційний метод моделювання одномірних варіаційних задач;

– розроблено підхід до моделювання динамічних систем із запізнюванням на основі локально-імпульсних базисів;

– розроблено віртуальні прототипи операційного методу моделювання динамічних систем в середовищі MatLab/Simulink.

Практична цінність. Запропоновані в роботі методи були реалізовані в програмних середовищах Mathematica® та MatLab/Simulink. А саме розроблено:

– програми в системі Mathematica®, що реалізують операційні методи дослідження динамічних систем та інтерполяційно-екстраполяційний метод відновлення сигналів;

– Simulink-структури аналізаторів та синтезаторів сигналів методом найменших квадратів і методом рівних площ для різних базисних систем;

– Simulink-структури, що реалізують операційні матриці запізнювання та інтегрування цілого та дробового порядків;

– Simulink-структури операційних моделей динамічних систем зі сталими та змінними коефіцієнтами, з елементами запізнювання та систем нецілого порядку;

– Simulink-структура синтезатора сигналів з застосуванням інтерполяційно-екстраполяційного методу.

Запропоновані в роботі методи використовувались в процесі виконання робіт за проектами №1615 Науково-технологічного центру в Україні “Інтегрований комплекс моніторингу і тренінгу дугового зварювання”, №062-ДБ02 Національного авіаційного університету “Розвиток нових операційних методів аналізу та математичного моделювання динамічних систем на базі апроксимуючих поліноміальних спектрів”, науково-дослідницькою темою “Спіраль” Відділення гібридних моделюючих та керуючих систем в енергетиці Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України “Дослідження чисельно-аналітичних операційних методів моделювання динамічних систем і розвиток некласичних операційних числень”.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювались на ІІІ міжнародній науково-технічній конференції “АВІА-2001”, м. Київ, НАУ, 24-26 квітня 2001 р.; ІV міжнародній науково-технічній конференції “АВІА-2002”, м. Київ, НАУ, 23-25 квітня 2002 р.; Всеросійській науковій конференції “Проектирование научных и инженерных приложений в среде MatLab”, м. Москва, 25-26 травня 2002 р.; V міжнародній науково-технічній конференції “АВІА-2003”, м. Київ, НАУ, 23-25 квітня 2003 р.; VI міжнародній науково-технічній конференції “АВІА-2004”, м. Київ, НАУ, 26-28 квітня 2004 р.; Другій всеросійській науковій конференції “Проектирование научных и инженерных приложений в среде MatLab”, м. Москва, 25-26 травня 2004 р.; I міжнародній науковій конференції “Теорія та методи обробки сигналів”, м. Київ, НАУ, 25-27 травня 2005 р.; Міжнародній науково-технічній конференції “Моделювання в електротехніці, електроніці та світлотехніці, МЕЕС-05”, м. Київ, НАУ, 14-16 вересня 2005 р.; на XI Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука, м. Київ, КПІ, 18-20 травня 2006 р.; на наукових семінарах ВГМКСЕ ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України.

Публікації. За матеріалами дисертаційної роботи опубліковано 22 друковані роботи (з них 4 у фахових виданнях), з яких 1 виконана самостійно, 21 у співавторстві.

Структура і об’єм роботи. Дисертаційна робота обсягом 142 машинописних сторінки складається зі вступу, п’ятьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 131 найменування, та 2 додатків. Основний текст містить 133 сторінки машинописного тексту, ілюстрований 61 рисунком.

Зміст роботи

В першому розділі розглядаються основні поняття дробового числення, класи розв’язаних в роботі задач, області застосування дробового інтегро-диференціювання в науці і техніці та особливості моделювання динамічних систем нецілого порядку. При цьому некласичний операційний підхід до математичного моделювання динамічних систем нецілого порядку має ряд переваг, оскільки: аналітичні методи розв’язку таких задач слабо розвинені; чисельний розв’язок потребує великих затрат часу та застосовується до деяких випадків; класичні операційні методи застосовуються тільки до лінійних систем. Некласичний операційний підхід, заснований на блочно-імпульсному представленні сигналів, надає можливість спростити або уникнути певних проблем.

Одне з найпоширеніших означень інтегралу дробового порядку в – Рімана-Ліувілля є:

де через позначена Гамма-функція.

В параграфі 1.2 приведено перелік розповсюджених областей застосування дробового числення в науці і техніці. А в параграфі 1.3 виявлено особливості моделювання динамічних систем нецілого порядку.

З точки зору вимог до моделювання динамічних систем нецілого порядку в другому розділі виконано огляд апроксимаційних методів в локальних базисах та проведений порівняльний аналіз методу найменших квадратів та методу рівних площ в глобальних базисах.

Нехай сигнал заданий на інтервалі зміни аргументу . Кожний апроксимаційний підхід спирається на систему базисних функцій , на основі якого будується апроксимуючий поліном

.

Метод найменших квадратів визначає апроксимуючий спектр з умови мінімізації середньоквадратичної норми:

,

де – лінійно-незалежні, – вагова функція.

Апроксимуючий поліноміальний спектр (АПС) знаходиться з наступних формул:

,

Метод рівних площ заснований на визначенні елементів вектора апроксимуючого поліноміального спектру з умови рівності нулю інтеграла функції помилки на системі незалежних підінтервалів зміни аргументу:

.

Тоді при виборі системи підінтервалів

Особливе місце серед АПС займають апроксимуючі імпульсні спектри, засновані на ортогональних базисних системах локально-імпульсного типу (ЛІФ – локально-імпульсні функції). Найпростішим різновидом таких функцій є блочно-імпульсні функції (БІФ) нульового порядку.

Нехай відрізок розбитий на m рівних частин. На решітці аргументу задається система базисних функцій

Тут – кусково-постійні функції, – кусково-лінійні функції, – кусково-параболічні функції, а – функція одиничного стрибка:

Апроксимація сигналу по системі БІФ чи ЛІФ нульового порядку визначається як

Апроксимація по системі ЛІФ першого порядку:

а по системі ЛІФ другого порядку:

де

Останні два методи використовують локальні ортогональні системи базисних функцій на основі зміщених поліномів Лежандра. Перевагою таких методів апроксимації є досить велика швидкодія і простота реалізацій у програмному середовищі й в апаратному вигляді. Істотним недоліком цих методів є те, що апроксимації сигналів, отримані на основі методу найменших квадратів, перетерплюють розриви на межах підінтервалів розбиття аргументу сигналу. Тим часом, використання методів інтерполяції й екстраполяції дозволяє усунути цей недолік, зберігаючи переваги, властиві локальним базисним системам. В третьому розділі розглядається інтреполяційно-екстраполяційний метод апроксимації, який дозволяє усунути ці недоліки.

Сутність методу полягає в наступному. При досить великому числі інтервалів розбиття осі абсцис m точки перетину кривої з її апроксимацією знаходяться приблизно посередині відрізків і , тобто мають абсциси . Це є наслідком методу найменших квадратів, а саме рівність площ, обмежених даною кривою і її апроксимацією. Знаючи елементи блочно-імпульсного спектру, можна побудувати апроксимацію сигналу на основі лінійної інтерполяції між серединами підінтервалів розбивки вісі аргументу.

Рівняння апроксимуючої кривої визначається за формулою:

В параграфі 3.2 наведено матрицю інтегрування дробового порядку для апроксимуючих імпульсних спектрів (обмежимося двома базисними функціями).

Позначимо через номер діагоналі матриці інтегрування P. Тоді після перетворень отримаємо трикутну матрицю виду:

де спектр функцій , 1?i?m буде мати наступний вигляд

Спектр функцій , 1?i?m має вигляд

Для блочно-імпульсних функцій матриця інтегрування порядку представляє собою першу клітину матриці Р, оскільки інтегруванню підлягають тільки функції .

Отримані результати використовуються в параграфах 3.3 і 3.4 для розроблення та модифікації алгоритмів моделювання (чисельного розв’язання) диференціальних рівнянь нецілого порядку та диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами. Роз-роб-лена програмна реалізація цих методів в системі Mathematica®.

В параграфі 3.5 за допомогою запропонованого методу розв’язуються крайові задачі для звичайного диференціального рівняння першого порядку

на інтервалі з загальними умовами

.

А в параграфі 3.6 тим же методом розв’язуються варіаційні задачі, що полягають у визначенні функції , яка доставляє екстремум функціоналу

,

при заданих граничних умовах.

В четвертому розділі досліджуються та розробляються методи моделювання динамічних систем із запізнюванням.

Нехай необхідно знайти апроксимуючий поліноміальний спектр сигналу з аргументом запізнювання . Припустимо, що аналогічний спектр сигналу відомий і дорівнює . Таким чином, необхідно визначити оператор, що зв'язує два вектори

.

З огляду на структуру апроксимуючих імпульсних спектрів , можна знайти матрицю порядку

Вирази для елементів матриць мають вид

де – номер діагоналі (для головної діагоналі r = 0),

– ціла частина ,

– дробова частина .

Моделювання динамічних систем проводилось у пакеті візуального програмування Simulink системи інженерних та наукових обчислень MatLab, що описується в п’ятому розділі. Пакет Simulink орієнтовано в першу чергу на імітаційне моделювання та аналіз різних динамічних систем.

Розглянемо реалізацію методу апроксимуючих імпульсних спектрів (АІС) і модифікованого методу блочно-імпульсних функцій (БІФ) у середовищі MatLab/ Simulink. Для прикладу аналізується сигнал на інтервалі [0;1], m=10. У наявності є аналізатор сигналів для апроксимуючих імпульсних спектрів. Оскільки перша частина АІС являє собою блочно-імпульсний спектр, то їм можна скористатися при побудові синтезатора сигналів по модифікованому методі БІФ. Блок-схема аналізу сигналу по методу АІС представлена на рисунку 1.

Рисунок 1 – Блок-схема аналізу сигналу по методу АІС

Блоки, представлені на рисунках. 2 і 3, відновлюють сигнал. На входи блоків подаються базисні функції і спектр аналізованого сигналу, на вихід – апроксимація сигналу по відповідному методу і вихідний сигнал. Необхідно враховувати, що для інтерполяційно-екстраполяційного методу на вхід подаються зміщені на півінтервалу блочно-імпульсні базисні функції.

Рисунок 2 – Блок-схема синтезу сигналу по методу БІФ

Рисунок 3 – Блок-схема синтезу сигналу по інтерполяційно-екстраполяційному методу

Блок-схема Modified coefficients, що розраховує коефіцієнти інтерполяції, зображена на рисунку 4.

Рисунок 4 – Розрахунок коефіцієнтів кривої, що інтерполює

На віртуальні осцилографи подаються вихідний і відновлений сигнали. Вони представлені на рисунку 5 для обох методів відповідно. З графіків видно, що навіть при невеликому m виходить досить точна апроксимація сигналу. Таким чином, точність можна підвищувати, розбиваючи інтервал визначення сигналу на більшу кількість підінтервалів.

Рисунок 5 – Результати апроксимації сигналу а) за методом БІФ; б) інтерполяційно-екстраполяційним методом

Особливості візуально-орієнтованого програмування пакету MatLab/Simulink, які полягають в імітації аналогового моделювання, дозволяють наочно зображати моделі динамічних систем різних класів (цілого, дробового порядків, із запізнюванням). Пакет Simulink достатньо повно відтворює “класичну” технологію імітаційного експерименту, включаючи його планування й обробку результатів, й забезпечує створення завершених реалізацій.

Операційні методи моделювання динамічних систем, які основані на поліноміальних апроксимаціях, а зокрема на блочно-імпульсних та апроксимуючих імпульсних спектрах, дозволяють отримати ефективні реалізації цих методів в інтегрованому середовищі MatLab/Simulink. Використання методу рівних площ замість класичного методу найменших квадратів дозволяє значно спростити структурні схеми S-моделей. Інтерполяційно-екстраполяційний метод на основі зміщених блочно-імпульсних функцій дозволяє отримувати результати, точність яких на порядок вище, застосовуючи при цьому властивості розповсюджених блочно-імпульсних функцій. При цьому S-моделі динамічних систем мають нескладну і зрозумілу структуру.

В додатках до роботи наведено ілюстративні, довідкові матеріали та лістинги створених функціональних програмних модулів та підсистем.

Основні результати та висновки

Основним результатом дисертаційної роботи є розробка ефективних підходів моделювання динамічних систем нецілого порядку, заснованих на інтерполяційно-екстраполяційному методі представлення сигналів. Зокрема отримані наступні наукові та практичні результати:

1) Проведено огляд та порівняльний аналіз методів апроксимації в локальних базисах, в результаті чого виявлено переваги локально-імпульсних, а саме блочно-імпульсних функцій.

2) Запропоновано інтерполяційно-екстраполяційний метод апроксимації сигналів, розроблений на основі блочно-імпульсної апроксимації. Метод дозволяє отримати більш високу точність, при цьому зберігає простоту та зручність обчислень, у порівнянні з блочно-імпульсною апроксимацією.

3) Запропоновано операційний підхід до моделювання динамічних систем з використанням інтерполяційно-екстраполяційного методу, за допомогою якого розв’язуються наступні задачі:

- моделюються динамічні системи, поведінка яких описується звичайними диференціальними рівняннями зі сталими та змінними коефіцієнтами, диференціальними рівняннями нецілого порядку, а також змішаних порядків;

- моделюються динамічні системи із запізнюванням;

- вирішуються крайові задачі та варіаційні задачі.

4) На основі запропонованого підходу розроблено структури в системі Simulink/MatLab, які реалізують указані вище задачі.

5) Доповнено бібліотеку функцій користувача в системі Mathematica, які реалізують запропоновані методи.

Запропоновані та розвинуті в роботі методи моделювання на основі апроксимуючих імпульсних спектрів можна застосовувати для дослідження динамічних систем, обробки сигналів, автоматизації експериментів в таких галузях науки і техніки як обчислювальна техніка, приладобудування, робототехніка тощо.

Публікації по темі дисертації

1. Васильєв В.В., Сімак Л.О., Тодорова (Рибнікова) Г.М. Апроксимація неперервних сигналів в середовищах інтегрованих систем “Mathematica” та “MatLab/Simulink” //Вісник НАУ. – 2002. - №2. – С. 68-74.

2. Васильев В.В., Симак Л.А., Тодорова (Рыбникова) А.М. Применение вейвлет-преобразования в анализе сигналов и систем// Вісник Східноукраїнського національного університету ім. В. Даля. – 2002. – №8 (54). – С. 8-24.

3. Васильев В.В., Симак Л.А., Тодорова (Рыбникова) А.М. Интерполяционно-экст-раполяционный метод цифровой обработки сигналов на основе смещенных систем базисных функций // Збірник наукових праць ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова. – 2003, вип. 22. – С. 3-13.

4. Сімак Л.О., Тодорова (Рибнікова) Г.М. Апроксимаційні мо-делі динамічних сис-тем нецілого порядку з застосуванням інтерполя-ційно-екстраполяційного методу // Вісник НАУ. – 2004. – №1 (19). – С. 18-22.

5. Васильев В.В., Симак Л.А., Тодорова (Рыбникова) А.М. Аппроксимация непрерывных сигналов по методу равных площадей в среде “Mathematica” // Матеріали ІІІ Міжнародної науково-технічної конференції “АВІА-2001”, 24-26 квiтня 2001 р. – К.: НАУ, 2001.

6. Васильев В.В., Симак Л.А., Тодорова (Рыбникова) А.М. Методы мультиразрешающего анализа сигналов. – Киев, 2002. – 36 с. – (Препринт/ НАН Украины. Отделение гибридных моделирующих и управляющих систем в энергетике ИПМЭ им. Г.Е. Пухова). – ISBN 966-02-0956-8.

7. Васильев В.В., Симак Л.А., Тодорова (Рыбникова) А.М. Мультиразрешающий анализ сигналов и систем// Матеріали ІV Міжнародної науково-технічної конференції “АВІА-2002”, 23-25 квiтня 2002 р. – Т. 2. – К.: НАУ, 2002. – С. 39-42.

8. Васильев В.В., Симак Л.А., Тодорова (Рыбникова) А.М. Аппроксимация непрерывных сигналов с применением пакета “Simulink”// Всероссийская научная конференция “Проектирование научных и инженерных приложений в среде MatLab”, 25-26 мая 2002 г. – Москва, 2002.

9. Васильев В.В., Грездов Г.И., Симак Л.А. и др. Моделирование динамических систем: Аспекты мониторинга и обработки сигналов. – К.: НАН Украины, 2002. – 344 с.

10. Васильев В.В., Симак Л.А., Тодорова (Рыбникова) А.М. Аппроксимационно-спектральное моделирование динамических систем с элементами запаздывания// Працi Луганського вiддiлення Мiжнародної Академiї iнформатизацiї. – 2003. – № 2 (7). – С. 37-45.

11. Тодорова (Рыбникова) А.М. Спектральные модели динамических систем с запаздыванием в среде MATLAB/SIMULINK// Матеріали V Міжнародної науково-технічної конференції “АВІА-2003” , 23-25 квiтня 2003 р. – Т.2. – К.: НАУ, 2003. – C. 86-89.

12. Васильєв В.В., Сімак Л.О., Зеленков О.А. та ін. Розвиток нових операційних методів аналізу та математичного моделювання динамічних систем на базі апроксимуючих поліноміальних спектрів// Звіт за темою НДР №062-ДБ02. – К.: НАУ. – 2002-2003. – 111 с.

13. Симак Л.А., Тодорова (Рыбникова) А.М. Интерполяционно-экстраполяционный метод анализа динамических систем нецелого порядка в среде системы “Mathematica” // Матеріали VI Міжнародної науково-технічної конференції “АВІА-2004” , 26-28 квiтня 2004 р. – К.: НАУ, 2004 – Т. 2 – С. 9-12.

14. Васильев В.В., Симак Л.А., Тодорова (Рыбникова) А.М. Модели динамических систем нецелого порядка в среде MatLab/Simulink // Вторая всероссийская научная конференция “Проектирование научных и инженерных приложений в среде MatLab”, 25-26 мая 2004 г. – Москва, 2004.

15. Васильев В.В., Симак Л.А., Рыбникова А.М. Аппроксимационное моделирование систем с переменными параметрами и элементами запаздывания в программных средах Mathematica и Simulink // Електроніка та системи управління. – 2005. – № 1. – С. 97-105.

16. Васильев В.В., Симак Л.А., Воронова О.С., Кирьева Е.А., Рыбникова А.М. Операционный метод моделирования динамических систем на основе полиномиальных аппроксимаций // Перша МНК “Теорія та методи обробки сигналів”, 25-27 травня 2005 р. – К., 2005. – С. 13-14.

17. Воронова О.С., Кирьева Е.А., Рыбникова А.М. Программные библиотеки математического моделирования динамических систем в среде Mathematica // Перша МНК “Теорія та методи обробки сигналів”, 25-27 травня 2005 р. – К., 2005. – С. 15-16.

18. Симак Л.А., Рыбникова А.М. Спектральные модели краевых и вариационных задач в среде Mathematica // Перша МНК “Теорія та методи обробки сигналів”, 25-27 травня 2005 р. – К., 2005. – С. 18-19.

19. Симак Л.А., Рыбникова А.М. Решение дифференциальных уравнений дробного порядка с переменными коэффициентами с применением интерполяционно-экстраполяционного метода // Международная научно-техническая конференция “Моделирование в электротехнике, электронике и светотехнике”, 14-16 сентября 2005 г. – К., 2005.

20. Васильєв В.В., Симак Л.О., Воронова О.С. та ін. Дослідження чисельно-аналітичних операційних методів моделювання динамічних систем і розвиток некласичних операційних числень („Спіраль”) // Звіт про науково-дослідну роботу ВГМКСЕ ІПМЕ НАНУ. – К., 2005. – 88 с.

21. Симак Л.А., Рыбникова А.М. Моделирование динамических систем нецелого порядка с переменными параметрами интерполяционно-экстраполяционным методом // Електроніка та системи управління. – 2006. – №1. – С. 38-43.

22. Васильев В.В., Симак Л.А., Рыбникова А.М. Операционные методы моделирования динамических систем нецелого порядка // Матеріали XI МНК імені М.Кравчука, 18-20 травня 2006 р. – К., 2006. – С. 359.

Особистий внесок автора. У роботах, написаних у співавторстві, авторові належать: [, 5, 8, 9] – дослідження методу рівних площ, проведення порівняльного аналізу з методом найменших квадратів, постановка обчислювальних експериментів в системі Mathematica, розробка структурних схем методів в пакеті Simulink/MatLab; [2, 6, 7] – огляд методів класичного операційного аналізу поряд з вейвлет-аналізом, порівняльна характеристика вейвлетів і їх застосування в науці і техніці; [3, 12] – розробка інтерполяційно-екстраполяційного методу дослідження динамічних систем, проведення чисельних експериментів, реалізація методу в пакеті Simulink; [4, , , , 19, 21] – розробка некласичного операційного підходу до моделювання динамічних систем нецілого порядку зі сталими і змінними параметрами на основі інтерполяційно-екстраполяційного методу, створення функцій користувача, що реалізують метод; створення структурних схем в Simulink; [, 20, 22] – розв’язок крайових і варіаційних задач із застосуванням інтерполяційно-екстраполяційного методу, розробка реалізацій в системі Mathematica; [10, 11, ] – програмна реалізація методів аналізу динамічних систем із запізнюванням на основі блочно-імпульсних спектрів, апроксимаційно-імпульсних спектрів, інтерполяційно-екстраполяційного методу в системі Mathematica, розробка відповідних структурних схем в Simulink; [] – часткова розробка функцій програмної бібліотеки по реалізації методів некласичного операційного підходу до моделювання динамічних систем.

Рибнікова Г.М. Моделювання неперервних динамічних систем нецілого порядку на основі некласичного операційного підходу. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України, Київ, 2006.

Дисертацію присвячено питанням моделювання та обробки сигналів динамічних систем операційними методами. Розвинуті апроксимаційні методи дослідження систем, а саме – запропоновано інтерполяційно-екстраполя-ційний метод, що дозволяє підвищити точність блочно-імпульсної апроксимації, при цьому зберігаючи переваги. На основі методу запропоновано операційний підхід до аналізу динамічних систем, що описуються звичайними диференціальними рівняннями цілого, дробового та змішаного порядків з постійними та змінними коефіцієнтами. Розвинуто апроксимаційний метод моделювання систем із запізнюванням. Виведено операційні матриці запiзнювання для різних базисних систем. Розроблено алгоритми розв’язку крайових та варіаційних задач. Створено програмні реалізації всіх запропонованих методів та алгоритмів в системах Mathematica® та MatLab/Simulink.

Основні результати роботи використовувались в процесі виконання робіт за проектами №1615 Науково-технологічного центру в Україні “Інтегрований комплекс моніторингу і тренінгу дугового зварювання”, №062-ДБ02 Національного авіаційного університету “Розвиток нових операційних методів аналізу та математичного моделювання динамічних систем на базі апроксимуючих поліноміальних спектрів”, науково-дослідницькою темою “Спіраль” ВГМКСЕ ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України “Дослідження чисельно-аналітичних операційних методів моделювання динамічних систем і розвиток некласичних операційних числень”.

Ключові слова: математичне моделювання, операційні методи, дробове числення, апроксимація.

Rybnikova A.M. Modeling of continuous fractional-order dynamical systems based on non-classical operational approach. – Manuscript.

Dissertation for candidate of technical science degree in speciality 01.05.02 – mathematical modeling and computing methods. – G.E. Pukhov’s Institute of Simulation Problems in Power Engineering of National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 2006.

The dissertation covers dynamical systems modeling and signal processing by operational methods. Approximation methods for system analysis are developed, in particular interpolation-extrapolation method is proposed. The method allows to raise accuracy of block-pulse approximation without loss of advantages. Based on this method operational approach to analysis of dynamical systems described by ordinary and fractional differential equations with constant and variable coefficients is proposed. An approximation method for delay-system modeling is developed. Operational delay-matrices for different basis systems are obtained. An algorithm for solving of boundary-value and variational problems is developed. All methods and algorithms proposed were implemented as software modules in Mathematica® and MatLab/Simulink.

Basic results of the dissertation were used in project №1615 of Science and Technology Center in Ukraine “Integrated system for monitoring of the welding process and associated staff training”, project №062-ДБ02 of National Aviation University “Development of new operational methods for dynamical system analysis and mathematical modeling based on approximation polynomial spectra”, in research work “Spiral” of Department of Hybrid Modeling and Control Systems in Power Engineering of G.E. Pukhov’s ISPP of NAS of Ukraine “Research of numeric-analytical operational methods for dynamical system modeling and development of non-classical operational calculus”.

Keywords: mathematical modeling, operational methods, fractional calculus, approximation.

Рыбникова А.М. Моделирование непрерывных динамических систем нецелого порядка на основе неклассического операционного подхода. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02. – математическое моделирование и вычислительные методы. – Институт проблем моделирования в энергетике им. Г.Е. Пухова НАН Украины, Киев, 2006.

Диссертация посвящена вопросам моделирования и обработки сигналов динамических систем операционными методами. Развиты аппроксимационные методы исследования систем, в частности, предложен интерполяционно-экстраполяционный метод, который позволяет повысить точность блочно-импульсной аппроксимации, сохраняя при этом ее преимущества. На основе метода предложен операционный подход к анализу динамических систем, что описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями целого, дробного и смешанного порядков с постоянными и переменными коэффициентами. Дифференциальные уравнения нецелого порядка являются необычными объектами, для которых в настоящее время методы анализа только разрабатываются. Наряду с классическим подходом (преобразование Лапласа, z-преобразование) к моделированию динамических систем в последнее время применяются неклассические операционные методы, использующие представление сигналов обобщенными полиномами на основе ортогональных локально-импульсных базисных функций. В основе операционных методов лежит идея о взаимнооднозначной замене функций из исходного пространства их представлениями в некотором операционном пространстве, что позволяет алгебраизировать интегро-дифференциальные уравнения, которыми описываются динамические процессы и системы. Это особенно актуально для систем нецелого порядка.

Существенную роль при построении операционных моделей динамических систем играет операционная алгебра спектров: совокупность правил преобразования спектров, соответствующих некоторым действиям над функциями-оригиналами. Для сложного аппарата дробного исчисления особенно важны простота и красота рассматриваемого неклассического операционного подхода.

Развит аппроксимационный метод моделирования систем с запаздыванием. Выведены операционные матрицы сдвига для разных базисных систем.

На основе предложенного подхода разработаны алгоритмы решения краевых и вариационных задач.

Созданы программные реализации всех предложенных методов и алгоритмов в системах Mathematica® и MatLab/Simulink. В частности, в пакете Simulink реализованы идеи и методы аналогового моделирования, что позволило создать виртуальные прототипы исследуемых систем.

Основные результаты работы использовались в процессе выполнения работ по проектам №1615 Научно-технологического центра в Украине “Интегрированный комплекс мониторинга и тренажа при дуговой сварке”, №062-ДБ02 Национального авиационного университета “Развитие новых операционных методов анализа и математического моделирования динамических систем на базе аппроксимирующих полиномиальных спектров”, научно-исследовательской теме “Спираль” ОГМУСЭ ИПМЭ им. Г.Е. Пухова НАН Украины “Исследование численно-аналитических операционных методов моделирования динамических систем и развитие неклассических операционных исчислений”.

Ключевые слова: математическое моделирование, операционные методы, дробное исчисление, аппроксимация.