НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ ім. А.М. ПІДГОРНОГО

СЕМЕРІЧ Юрій Станіславович

УДК 517.518 : 517.958 : 519.632.4 : 517.972.5

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ

ПРОЦЕСІВ В ОБЛАСТЯХ З ЦИКЛІЧНОЮ СИМЕТРІЄЮ ТА

ГЕОМЕТРИЧНИМИ СИНГУЛЯРНОСТЯМИ МЕТОДОМ R-ФУНКЦІЙ

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2006

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного
НАН України

Науковий керівник – | доктор технічних наук, професор

Шейко Тетяна Іванівна,

Інститут проблем машинобудування

ім. А.М. Підгорного НАН України,

провідний науковий співробітник

відділу прикладної математики

та обчислювальних методів

Офіційні опоненти – | доктор фізико-математичних наук, професор

Ляшенко Борис Миколайович,

Житомирський державний університет ім. І. Франка,

завідувач кафедри прикладної математики

та інформатики

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Тоніца Олег Володимирович

Національний технічний університет “ХПІ”

доцент кафедри комп'ютерної математики

та математичного моделювання

Провідна установа – | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, відділ математичних систем моделювання проблем екології та енергетики

Захист відбудеться “22” червня  р. о 14.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.180.01 в Інституті проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою:

61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою:

61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий 6 травня  р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук О.О. Стрельнікова

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Багато конструктивних елементів сучасних приладів та пристроїв, що використовуються у різних областях фізики і техніки, зокрема, в радіофізиці та радіотехніці, мають симетрію трансляційного або циклічного типу, складаються з тонких пластин, містять плоскі вставки і таке інше. Математичне моделювання процесів в таких елементах має певні труднощі, пов’язані зі складністю форми відповідних областей, що є у багатьох випадках багатозв’язними. Моделювання можна значно спростити, якщо дослідити й урахувати властивість геометричної симетрії. Існуючі підходи, у яких виділяється трансляційний елемент, мають недоліки, тому що їх можна застосовувати тільки у тих випадках, коли у постановці задачі, крім геометричної симетрії, присутня ще й симетрія фізичного поля. В іншому випадку треба проводити обчислювання у всій розрахунковій області, що відбивається на часі та точності результатів розрахунків.

Нормалізовані рівняння границь геометричних об’єктів некласичної форми можуть бути побудовані за допомогою методу R-функцій. Проте він виявляється не досить ефективним, коли необхідно побудувати рівняння границь геометричних об’єктів із симетрією трансляційного або циклічного типу, тому що збільшується число R-операцій та опорних функцій. Крім цього, для задач в областях з геометричними сингулярностями має місце проблема порушення властивості повноти структур розв’язку в методі R-функцій. Спроби розв’язання цих проблем були в роботах В.Л. Рвачова, А.П. Слесаренка, О.Ю. Калєкіна, Л.В. Курпи, В. Шапіра, Т.І. Шейко та інших. Таким чином, подальший розвиток конструктивних засобів методу R-функцій для моделювання фізико-механічних полів в областях, що мають симетрію циклічного типу та містять геометричні сингулярності, є актуальною науковою задачею.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота відповідає основним напрямам наукових досліджень відділу прикладної математики та обчислювальних методів ІПМаш ім. А.М. Підгорного НАН України й виконана в період з 2000 по 2005 рр. в рамках науково-дослідних робіт за темами: № “Розвиток теорії R-функцій (RFM), поширення її предметної області, удосконалення конструктивних програмних засобів” (ДР № U004125); № “Розвиток чисельних методів теорії R-функцій та їх застосування” (ДР № 0102U001479).

Мета і задачі дослідження. Метою досліджень дисертаційної роботи є створення, обґрунтування та програмна реалізація нових і ефективних методів чисельного аналізу електромагнітних полів в областях, що мають симетрію циклічного типу та містять геометричні сингулярності.

Для досягнення поставленої мети в дисертаційній роботі необхідно розв’язати такі задачі:

1. Розробити й обґрунтувати метод побудови нормалізованих рівнянь границь геометричних об’єктів, що мають трансляційний та циклічний тип симетрії.

2. Розробити алгоритм автоматизації процесу побудови рівнянь границь вказаних геометричних об’єктів.

3. Розробити та обґрунтувати метод чисельного аналізу електромагнітних полів в областях, що мають симетрію циклічного типу.

4. Розв’язати з використанням засобів, що розроблені, скалярні задачі електростатики й магнітостатики у випадках, коли геометрична симетрія області співпадає з симетрією фізичного поля, а також за наявності лише геометричної симетрії.

5. Побудувати повні структури розв’язку крайових задач Діріхле та Неймана для рівняння Гельмгольца, що враховують характер поведінки розв’язку в околі особливих точок границі області.

6. Розв’язати задачу на власні значення для рівняння Гельмгольца в областях з виродженими клиноподібними й Т-подібним включеннями.

7. Розробити алгоритми для чисельної реалізації розроблених методів з використанням програмуючої системи “ПОЛЕ-RL”.

Об’єкт дослідження. Об’єктом дослідження є електромагнітні процеси, що описуються системою рівнянь Максвелла в диференціальній формі.

Предмет дослідження. Предметом дослідження є математичні моделі скалярних задач електростатики й магнітостатики в областях, що мають симетрію циклічного типу, а також математичні моделі скалярних задач електродинаміки в областях з геометричними сингулярностями й методи їх математичного моделювання.

Методи дослідження. В роботі використовувався математичний апарат теорії R-функцій для побудови нормалізованих рівнянь границь геометричних об’єктів некласичної форми; метод R-функцій для побудови повних структур розв’язку крайових задач; методи поліноміальної і сплайн-апроксимації для наближеного подання невизначених компонент структур розв’язку; варіаційні методи Рітца й найменших квадратів для мінімізації функціоналів і визначення невідомих коефіцієнтів структур розв’язку; методи алгебри диференційних кортежів для операцій диференціювання; квадратурні формули Гаусса для чисельного інтегрування; методи лінійної алгебри для розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. Проведені в дисертаційній роботі дослідження дозволили отримати нові наукові результати:

1. Набув подальшого розвитку метод побудови нормалізованих рівнянь границь геометричних об’єктів, що мають симетрію трансляційного типу, який ґрунтується на використанні конструктивного апарату теорії R-функцій. Це спрощує розв’язання оберненої задачі аналітичної геометрії для геометричних об’єктів цього класу.

2. Вперше сформульовані та доведені теореми про побудову нормалізованих рівнянь границь геометричних об’єктів некласичної форми, що мають симетрію трансляційного типу на нескінченному інтервалі; на скінченному інтервалі, якщо задана кількість об’єктів, що тиражуються, а також таких, що мають симетрію циклічного типу, зокрема, якщо зберігається орієнтація геометричного об’єкта, що транслюється, відносно декартової системи координат. Це дозволяє скоротити кількість опорних функцій та R-операцій, а також автоматизувати процес побудови рівнянь границь таких геометричних об’єктів методом R-функцій.

3. Вперше розроблені конструктивні засоби методу R-функцій для моделювання електростатичних і магнітостатичних полів в областях, що мають симетрію циклічного типу. Це дозволяє проводити багатоваріантний обчислювальний експеримент за допомогою однієї логічної формули для рівнянь границь областей.

4. Набув подальшого розвитку метод коректування структур розв’язку для крайових задач в областях з геометричними сингулярностями, що дозволяє розв’язувати широкий клас крайових задач розрахунку електромагнітних полів.

5. Вперше побудовані структури розв’язку крайових задач Діріхле та Неймана для рівняння Гельмгольца, що мають необхідну властивість повноти та враховують характер поведінки розв’язку в околі особливих точок границі області. Це дозволило розв’язати задачу розповсюдження електромагнітних хвиль у хвильоводах з виродженими клиноподібними й Т-подібним включеннями.

6. Вперше з використанням розроблених засобів побудовані структури розв’язку задач знаходження розподілу електростатичного потенціалу в циліндричних магнетронах прямої та оберненої конструкції, в мультипольних системах з плоскими пластинчастими електродами, задачі дослідження рівноваги в замкнених осесиметричних плазмових конфігураціях.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблені в дисертаційній роботі методи побудови нормалізованих рівнянь границь геометричних об’єктів, що мають трансляційний та циклічний тип симетрії, дозволяють автоматизувати процес побудови рівнянь границь зазначених геометричних об’єктів, тому що потребують задання лише інформації про геометричний об’єкт, що підлягає трансляції, та про кількість об’єктів, що транслюються. Розроблені конструктивні засоби моделювання електромагнітних полів в областях, що мають симетрію циклічного типу, дозволяють проводити багатоваріантний обчислювальний експеримент при математичному моделюванні різних фізико-механічних полів. Результати чисельних розрахунків циліндричних магнетронів, іонно-оптичних систем, тороїдальних плазмових конфігурацій та хвильоводів мають практичний інтерес при інженерних розрахунках. Розроблені засоби математичного моделювання впроваджені у навчальний процес в Харківському національному університеті ім. В.Н. Каразіна в курсах: “Конструктивні засоби математичного моделювання та їх застосування” та “Спеціальні розділи математичного моделювання”. Акт про застосування результатів досліджень дисертаційної роботи міститься у Додатку А.

Особистий внесок здобувача. Основний зміст дисертаційної роботи опубліковано в роботах [1– 19], а всі її основні результати отримані особисто автором. В роботах, що опубліковані у співавторстві, автору належать наступні результати: в роботі [1] автором побудовано нормалізоване рівняння границі тривимірного геометричного об’єкта, що має симетрію циклічного типу, його комп’ютерну реалізацію виконано за допомогою системи візуалізації “Ранок”; в роботі [3] автором сформульовано та доведено теореми про побудову нормалізованих рівнянь границь геометричних об’єктів, що мають симетрію трансляційного й циклічного типу, їх комп’ютерну реалізацію виконано за допомогою програмуючої системи “ПОЛЕ-RL”; в роботі [4] автором побудовано нормалізовані рівняння границь областей з виродженими клиноподібними й Т-подібним включеннями і виконано дослідження крайових задач Діріхле та Неймана для рівняння Гельмгольца; в роботах [5, 8] автором побудовано нормалізоване рівняння границі геометричного об’єкта на площині, що має симетрію циклічного типу, і розв’язано задачу електростатики для циліндричного магнетрона оберненої конструкції.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися й обговорювалися на: Международной молодежной научной конференции “XXVII Гагаринские чтения” (Россия, Москва, 3-7 апреля 2001 г.); International conference TCSET 2002 (Ukraine, Lviv–Slavsk, February 18-23, 2002); Seventh international conference “Mathematical modelling and analysis” (Estonia, Kддriku, May 31-June 2, 2002); Conference on scientific computation celebrating Gerhard Wanner's 60th birthday (Switzerland, Geneva, June 26-29, 2002); Postgraduate power conference (Hungary, Budapest, August 12-13, 2002); Международной молодежной научной конференции “XXIX Гагаринские чтения” (Россия, Москва, 8-11 апреля 2003 г.); Eighth international conference “Mathematical modelling and analysis” (Lithuania, Trakai, May 28-31, 2003); International conference “Computational methods in applied mathematics” (Belarus, Minsk, July 20-24, 2003); конференції молодих вчених і спеціалістів “Сучасні проблеми машинобудування” (Україна, Харків, 3-5 грудня 2003 р.); Международной молодежной научной конференции “XXX Гагаринские чтения” (Россия, Москва, 6-10 апреля 2004 г.); Ninth international conference “Mathematical modelling and analysis” (Latvia, Jurmala, May 27-29, 2004); наукових семінарах відділу прикладної математики та обчислювальних методів ІПМаш ім. А.М. Підгорного НАН України (Україна, Харків, жовтень 2003 р., вересень 2005 р.).

Публікації. Основні результати за темою дисертаційної роботи опубліковано в 19 друкованих працях, з яких: 4 статті – у вітчизняних фахових наукових виданнях, 1 стаття – у вітчизняному збірнику наукових праць, 2 статті – в закордонних наукових періодичних журналах, 2 статті – в працях наукових міжнародних конференцій, 10 тез доповідей на наукових конференціях, у тому числі міжнародних.

Структура та обсяг дисертаційної роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п’яти розділів, висновків, переліку використаної літератури зі 178 найменувань на 16 сторінках і двох додатків на 4 сторінках. Загальний обсяг дисертації складає 181 сторінку, у тому числі 149 сторінок основного тексту, містить 53 рисунки та 3 таблиці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність досліджень за темою дисертаційної роботи, формулюються мета і задачі досліджень, вказується об’єкт, предмет та методи досліджень, відзначається наукова новизна й практичне значення отриманих результатів, особистий внесок автора в роботах, що виконано у співавторстві, а також апробація результатів дисертації та кількість публікацій, виконаних за темою дисертаційної роботи.

У першому розділі виконано огляд літератури й аналіз стану проблеми наукових досліджень за темою дисертаційної роботи. Значний вклад в розробку методів математичного моделювання фізико-механічних полів в областях, що мають певний тип симетрії та містять геометричні сингулярності, внесли такі відомі вчені, як С.М. Білоцерківський, М.С. Бахвалов, О.М. Гузь, Ю.В. Гандель, Л.А. Дорфман, М.І. Жуковський, Г.В. Колосов, В.А. Кондратьєв, О.С. Космодаміанський, Л.Г. Лойцянський, Р. Міттра, М.І. Мусхелішвілі, Е.І. Нефьодов, Г.М. Савін, В.П. Сазонов, Г.С. Самойлович, Р.А. Сілін, В.М. Сєдих, Г.Ю. Степанов, О.Т. Фіалковський, Л.А. Фильштинський, І.Ю. Харрик, Ю. Швінгер, Д.І. Шерман, В.П. Шестопалов та інші. З використанням математичного апарату теорії R_функцій ці питання розглядалися у роботах В.Л. Рвачова, А.П. Слесаренка, Л.В. Курпи, В.С. Проценка, І.Г. Суворової, Т.І. Шейко, В. Шапіра та інших. У результаті зробленого аналізу відзначаються недоліки й проблеми існуючих методів, обґрунтовується необхідність розробки нових ефективних засобів математичного апарату теорії R_функцій для розв’язання задач, що розглядаються в дисертаційній роботі.

У другому розділі наведено основні положення математичного апарату теорії R-функцій і методів апроксимації, що необхідні для розв’язання задач. Розглянуто нові конструктивні підходи для побудови нормалізованих рівнянь границь й відрізків границь геометричних об’єктів некласичної форми. Зокрема, формула

(1)

являє собою нормалізоване в узагальненому значенні рівняння границі , що є елементом дуги кривої , яка належить області , причому в точках елемента виконується умова .

Для основних типів крайових умов наведено структури розв’язку, у тому числі ті, що враховують геометричні особливості, які одержано за допомогою методу R-функцій. Зокрема, для розв’язання рівняння Гельмгольца в околі кожної кутової точки (xi, yi) має місце подання для будь-якого розв’язку задачі Діріхле, і для будь-якого розв’язку задачі Неймана. Тут через иi позначено кут між дотичними до і в кутовій точці , що відраховується усередині області проти годинної стрілки, , цi =arctg(yi/xi) – змінні локальної полярної системи координат з центром у точки (xi, yi) і полярною віссю, що спрямована по дотичній до , а g(ri, цi) – деяка функція, достатньо гладкі усередині Щ і на гладких відрізках , і такі, що . Крім цього, у розділі розглянуто методи знаходження невизначених компонент структур розв’язку – методи Рітца й найменших квадратів. Виконано аналіз апроксимаційних засобів теорії наближення, що дозволяє віддати перевагу застосуванню сплайн-апроксимації для чисельної реалізації методу R-функцій з використанням програмуючої системі “ПОЛЕ-RL”.

У третьому розділі виконано аналіз основних типів симетрії геометричних об’єктів і узагальнено існуючий досвід побудови нормалізованих рівнянь їх границь за допомогою методу R_функцій. Сформульовано і доведено теореми, що дозволяють будувати нормалізовані рівняння границь геометричних об’єктів некласичної форми зі симетрією трансляційного і циклічного типу.

Визначення 1. Геометричний об’єкт Щ називається симетричним, якщо існує таке, відмінне від тотожного, перетворення відображення A, яке зберігає довжину усякого вектора, що має місце AЩ=Щ.

Визначення . Геометричний об’єкт Щ має симетрію трансляційного типу у напрямі деякого вектора h=(h1, h2, h3), якщо після перетворення переносу на вектор h об’єкт Щ сполучається сам із собою.

Визначення . Геометричний об’єкт Щ має симетрію циклічного типу порядку N відносно осі CN, якщо після перетворення повороту на кут бN=2р/N об’єкт Щ займає початкову область простору.

Визначення . Область , що отримана у результаті перетворення переносу на відстань r0 вздовж осі абсцис деякої області з центром у початку координат, називається трансляційною.

Рівняння границь геометричних об’єктів, що мають симетрію циклічного типу, будуються за допомогою таких теорем.

Теорема . Якщо трансляційна область , має симетрію відносно осі Ox і може бути розміщена усередині сектора , 0<б<р/m, а області (i=0, 1, …, m-1) отримані у результаті перетворення повороту на кути 2рi/m (i=0, 1, …, m-1) області У0 навколо початку координат, то рівняння границі області (рис. 1, а)) має вигляд

, (2)

Теорема . Якщо трансляційна область , не має симетрії відносно осі Ox і може бути розміщена усередині сектора 0<б<р/m, а області (i=0, 1, …, m-1) отримані у результаті перетворення повороту на кути 2рi/m (i=0, 1, …, m-1) області У0 навколо початку координат, то рівняння границі області (рис. 1, б)) зображається у вигляді

(3)

.

Теорема . Нехай трансляційна область , не має симетрії відносно осі Ox і може бути розміщена усередині сектора , а області (i=0, 1, …, m-1) отримані у результаті перетворення повороту на кути 2рi/m (i=0, 1, …, m-1) області У0 навколо початку координат і такі, що суміжні області Уi, Уi+1 не можуть бути відділені одна від другої секторами , 0<б<р/m, але області Уi, Уi+2 (i=0, 1, …, m-1) можуть бути відділені такими секторами. Тоді рівняння границі області (рис. 1, в)) має вигляд

(4)

.

Теорема . Якщо трансляційна область , не має симетрії відносно осі Ox і може бути розміщена усередині сектора , 0<б<р/m, а області (i=0, 1, …, m-1) отримані у результаті перетворення повороту на кути 2рi/m (i=0, 1, …, m-1) області У0 навколо початку координат зі збереженням орієнтації відносно декартової системи координат xOy, то рівняння границі області (рис. 1 г)) має вигляд

. (5)

Розроблені методи дозволяють автоматизувати процес побудови рівнянь границь, тому що потребують задання лише інформації про геометричний об’єкт, що підлягає трансляції, та про кількість об’єктів, що транслюються.

Четвертий розділ присвячено розробці методу чисельного аналізу електромагнітних полів в областях, що мають симетрію циклічного типу.

Розглянуто задачу розрахунку електростатичних полів в циліндричних магнетронах прямої та оберненої конструкції. Поле потенціалу в області Щ описується рівнянням Лапласа, а на границях і задовольняє крайові умови Діріхле. Рівняння границі області Щ, що має симетрію циклічного типу, побудовано з використанням буквенних параметрів за методом, що розроблено у третьому розділі. Структура розв’язку задачі вибиралася у вигляді u=щФ+ц, де функція ц(r, z) продовжує граничні значення усередину області Щ за допомогою оператора Рвачова–Слесаренка. Для апроксимації невизначеної компоненти Ф(x, y) використовувалися фінітні кубічні сплайни Шенберга, а невідомі коефіцієнти визначалися за методом Рітца із умови мінімуму відповідного функціонала енергії. Чисельна реалізація методу виконувалася за допомогою програмуючої системи “ПОЛЕ-RL”. У результаті розв’язання отримано розподіл потенціалу у вигляді картин ліній рівня (рис. 2, 3) для різних варіантів числа m резонаторів анодного блока магнетрона.

Розглянуті задачі мають таку особливість, що в їх постановці є присутніми одночасно геометрична симетрія та симетрія фізичного поля.

Крім цього, розглянуто задачу розрахунку електростатичних полів в мультипольних системах з плоскими пластинчастими електродами (рис. 4). У постановці задачі присутня тільки геометрична симетрія, а симетрія фізичного поля може бути забезпечена відповідним вибором значень потенціалів у системі.

У розділі також розглянуто задачу визначення рівноваги тороїдальних плазмових конфігурацій. Визначення рівноваги зводиться до однорідної задачі Діріхле для рівняння Греда-Шафранова відносно скалярної функції ш(r, z) у циліндричній системі координат і у припущенні квазіоднорідного струму

, в , (6)

. (7)

Для розв’язання задачі (6), (7) було обрано структуру Л.В. Канторовича, а для апроксимації невизначеної компоненти використовувалися фінітні кубічні сплайни Шенберга. При цьому невідомі коефіцієнти знаходилися за методом найменших квадратів із умови мінімуму відповідного функціонала, тому що оператор крайової задачі (6), (7) не є симетричним. Для чисельної реалізації задачі використовувалася програмуюча система “ПОЛЕ-RL”. У результаті розрахунків отримано картини ліній рівня розподілу функції ш(r, z) (рис. 5).

Аналіз отриманих результатів дозволяє судити про вплив величини радіуса тороїда й форми його поперечного перерізу на магнітну вісь, де тиск плазми набуває максимального значення. Крім цього, отримані розв’язки дозволяють виявити основні ефекти, що пов’язані зі взаємодією плазми із зовнішніми утримуючими полями.

П’ятий розділ присвячено математичному моделюванню електромагнітних полів в областях з геометричними сингулярностями. Розглянуто задачі розповсюдження E- і H-хвиль у хвильоводах з виродженими клиноподібними й Т_подібним включеннями. За допомогою методу коректування структур розв’язку побудовано структури розв’язку для відповідних задач Діріхле та Неймана на власні значення, що мають властивість повноти. Крім цього, в структурах розв’язку задач враховується характер поведінки розв’язку в околі особливої точки Р границі області, який має асимптотичне зображення для Е-хвиль і для Н-хвиль. Таким чином, структура розв’язку має вигляд

u=з(с)uP+uq, (6)

де функція uq вибиралась як u=щ[q1Ф1+ q2Ф2] для задачі Діріхле, а при розв’язанні задачі Неймана – як u=q1Ф1+ q2Ф2. Функції qi(x, y) (i=1, 2) – “функції стрибка”, які при наближенні до включення по нормалі з однієї його сторони прямують до нуля, а при підході з іншої сторони – до одиниці, а з(с) – нескінченно дифференційовна функція, що дорівнює одиниці у деякому околі особливої точки Р і нулю поза більшого околу. Як функція з(с), що має зазначені властивості, використовується функція

що належить класу Ck[0, ?).

Чисельна реалізація та обчислювальний експеримент задач проводилися за допомогою пакета прикладних програм Mathematica 4.2 і програмуючої системи “ПОЛЕ-RL”. Апроксимація невизначених компонент Ф1 і Ф2 структури розв’язку (6) здійснювалася з використанням поліномів Чебишева і сплайнів Шенберга.

Для прямокутного хвильовода з виродженим клиноподібним включенням, що розташовано на бічній стінці хвильовода, отримано розподіл полів E- і H-хвиль і відповідні ним власні значення гE, гH (рис. 6, 7).

Аналіз результатів розв’язку показує, що для E-хвиль вироджене клиноподібне включення не чинить впливу на значення критичних довжин лc. Однак зміна значень лc відбувається на H_хвилях вищих типів, що пов’язано з істотним перерозподілом характеру силових ліній поля. Причому встановлено, що на основній хвилі H10 має місце режим відсічення, а передача енергії здійснюється хвилею вищого типу, тобто відбувається перерозподіл мод і зміна електродинамічних характеристик такого хвильовода.

Отримано розподіл полів E- і H-хвиль та відповідні ним власні значення гE, гH для прямокутного хвильовода з Т-подібним включенням, що розташовано на бічній стінці хвильовода (рис. 8, 9).

У роботі також розглянуто прямокутний хвильовод з двома виродженими клиноподібними включеннями, що розташовані на бічних стінках, і еліпсоїдоподібний хвильовод з двома симетрично розташованими відносно один одного виродженими клиноподібними включеннями.

Аналіз отриманих результатів показав, що наявність у хвильоводах геометричних сингулярностей приводить до значних змін електродинамічних характеристик, відбувається перерозподіл мод, а смуга робочих частот у таких хвильоводах вище, ніж у звичайних прямокутних хвильоводах.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розроблено й обґрунтовано нові результати, які використовувалися для моделювання електромагнітних процесів в областях, що мають симетрію циклічного типу та містять геометричні сингулярності.

Основними результатами дисертаційної роботи є такі:

1. Вперше сформульовано і доведено теореми про побудову нормалізованих рівнянь границь геометричних об’єктів некласичної форми, що мають симетрію трансляційного типу на нескінченному інтервалі; на скінченному інтервалі, якщо задана кількість об’єктів, що тиражуються, а також таких, що мають симетрію циклічного типу, зокрема, якщо зберігається орієнтація геометричного об’єкта, що транслюється, відносно декартової системи координат.

2. Розроблено конструктивні засоби методу R-функцій, які було використано для дослідження:

розподілу електростатичного потенціалу в циліндричних магнетронах прямої та оберненої конструкції, що мають одночасно властивості геометричної симетрії та симетрії фізичного поля;–

розподілу електростатичного потенціалу в мультипольних системах з плоскими пластинчастими електродами, що мають властивості геометричної симетрії та симетрії фізичного поля тільки при відповідному виборі значень потенціалів;–

рівноваги тороїдальної плазми у магнітному полі, а також впливу форми поперечного перерізу і величини радіуса тороїда на форму магнітних поверхонь і величину максимального тиску плазми.

3. Вперше побудовано нові структури розв’язку крайових задач Діріхле та Неймана для рівняння Гельмгольца, що мають необхідну властивість повноти та враховують характер поведінки розв’язку в околі особливих точок границі області. Повнота структур розв’язку забезпечена у результаті використання методу коректування структур розв’язку.

4. Вперше за допомогою методу R-функцій і з використанням нових структур розв’язку, що побудовано, проведено дослідження розповсюдження електромагнітних хвиль у хвильоводах з виродженими клиноподібними й Т-подібним включеннями.

5. Результати, що отримано, є теоретичною і практичною основою для розв’язання інженерних задач, які зводяться до моделювання фізико-механічних полів в областях з симетрією трансляційного або циклічного типу та геометричними сингулярностями.

6. Вірогідність результатів, що отримано, забезпечується строгістю математичних постановок задач з використанням основних положень математичної фізики. Коректність чисельних результатів підтверджується їх збіжністю при збільшенні порядку наближення, а також порівнянням з відомими в літературі чисельними й аналітичними розв’язками.

7. Результати досліджень дисертаційної роботи впроваджено в учбовому процесі Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна.

СПИСОК ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1. Толок А.В., Семерич Ю.С., Шейко Т.И. Построение симметричных функций для симметричных чертежей // Вісник Запорізького держ. ун-ту: Зб. наук. ст. – Запоріжжя: ЗДУ. – 2001, № . – С. 83 – 98.

2. Семерич Ю.С. Моделирование равновесия тороидальной плазмы с помощью метода R-функций // Проблемы машиностроения. – 2003. – Т. , № . – С. 75 – 81.

3. Семерич Ю.С., Шейко Т.И. Методы математического моделирования нормализованных уравнений симметричных локусов // Вісник Запорізького держ. ун_ту: Зб. наук. ст. – Запоріжжя: ЗДУ. – 2003, № . – С. 71 – 84.

4. Рвачев В.Л., Семерич Ю.С., Шейко Т.И. Метод R-функций в задаче исследования волноводов с геометрическими сингулярностями // Мат. методи та фіз._мех. поля. – 2004. – Т. , № . – С. 73 – 79.

5. Семеріч Ю., Шейко Т. Урахування симетрії у методі R-функцій під час розрахунку електростатичного поля // Теоретична електротехнiка: Зб. наук. пр. – Львів: ЛНУ ім. І. Франка. – 2002, Вип. . С. 40 – 46.

6.The R-functions method in the boundary value problem for a complex domain possessing the symmetry // Math. model. and analysis. – 2003. – Vol. , № . – P. 77 – 86.

7.The construction of loci with a cyclical symmetry by the R// Math. model. and analysis. – 2005. – Vol. , № . – P. 73 – 82.

8.SheikoSolving Laplace equation with Dirichlet boundary value condition by R-functions method taking into account symmetry // Proc. of the International conf. TCSET. – Lviv (Ukraine). – 2002. – P. 47 – 50.

9.The toroidal plasma equilibrium modeling by the R-functions method // Proc. of the postgr. power conf. – Budapest (Hungary). – 2002. – P. 99 – 102.

10. Семерич Ю.С. Метод R-функций в задаче распределения электростатического потенциала в цилиндрическом магнетроне обратной конструкции // Тез. докл. Междунар. молод. науч. конф. “XXVII Гагаринские чтения”. – Том 2. – Москва (Россия). – 2001. – С. 50 – 51.

11.The R-functions method in boundary value problem for complex domain possessing symmetry // Abstr. of the Seventh International conf. Math. model. and anlysis. – Kддriku (Estonia). – 2002. – P. 54.

12.Solving Laplace equation with Dirichlet boundary value condition by R-functions method taking into account symmetry // Abstr. of the conf. on sci. comp. celebrating G. Wanner's 60th birthday. – Geneva (Switzerland). – 2002. – P. 51 – 52.

13. Семерич Ю.С. Метод R-функций в задаче расчета волновода с геометрическими сингулярностями // Тез. докл. Междунар. молод. науч. конф. “XXIX Гагаринские чтения”. – Том 2. – Москва (Россия). – 2003. – С. 97 – 98.

14.Computation of TE mode in waveguides of arbitrary cross section with geometric singularities using the R-functions method // Abstr. of the Eighth International conf. Math. model. and anlysis. – Trakai (Lithuania). – 2003. – P. 64.

15.R-functions method for waveguide problem with geometric singularities // Abstr. of International conf. Comp. meth. in appl. math. – Minsk (Belarus). – 2003. – P. 49 – 50.

16. Семерич Ю.С. Математическое моделирование локусов с циклической и трансляционной типами симметрии методом R-функций // Тез. докл. конф. мол. уч. и спец. “Современные проблемы машиностроения”. – Харьков (Украина). – 2003. – С. 16.

17.Computation of electromagnetic problems by the R-functions method // Abstr. of the Second M.I.T. conf. on comp. fluid and solid mech. – Cambridge (USA). – 2003. – P. 195.

18. Семерич Ю.С. Учет симметрии циклического типа при аналитическом описании локусов с помощью метода R-функций // Тез. докл. Междунар. молод. науч. конф. “XXX Гагаринские чтения”. – Том 2. – Москва (Россия). – 2004. – С. 96 – 97.

19.Taking cyclical symmetry into account in analytical description of loci by the R-functions method // Abstr. of the Ninth International conf. Math. model. and anlysis. – Jurmala (Latvia). – 2004. – P. 55.

АНОТАЦІЯ

Семеріч Ю.С. Математичне моделювання електромагнітних процесів в областях з циклічною симетрією та геометричними сингулярностями методом R-функцій. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, Харків, 2006.

У дисертаційній роботі розроблено конструктивні засоби методу R-функцій для математичного моделювання електромагнітних процесів в областях, що мають симетрію циклічного типу та містять геометричні сингулярності. Моделювання процесів відбувається у всій розглянутій області для випадків, коли геометрична симетрія області збігається із симетрією фізичного поля, а також за наявності лише геометричної симетрії.

Сформульовано і доведено теореми про побудову нормалізованих рівнянь границь геометричних об’єктів із симетрією трансляційного та циклічного типу. Це дозволяє скоротити число R-операцій і опорних функцій, а також автоматизувати процес побудови таких рівнянь у результаті зведення всієї інформації про геометричний об’єкт лише до задання рівняння границі геометричного об’єкта, що підлягає трансляції, та задання числа елементів трансляції.

Побудовано нові повні структури розв’язку задач Діріхле та Неймана для рівняння Гельмгольца в областях з виродженими клиноподібними й Т-подібним включеннями, що враховують характер поведінки розв’язку в околі особливих точок границі області.

Ключові слова: метод R-функцій, циклічна симетрія, геометричні сингулярності, структура розв'язку, математичне моделювання, електромагнітні поля.

АННОТАЦИЯ

Семерич Ю.С. Математическое моделирование электромагнитных процессов в областях с циклической симметрией и геометрическими сингулярностями методом R-функций. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, 2006.

В диссертационной работе разработаны конструктивные средства метода R_функций для математического моделирования электромагнитных процессов в областях, обладающих симметрией циклического типа и содержащих геометрические сингулряности. Моделирование процессов происходит во всей рассматриваемой области для случаев, когда геометрическая симметрия области совпадает с симметрией физического поля, а также при наличии лишь геометрической симметрии.

Впервые сформулированы и доказаны теоремы для построения нормализованных уравнений границ геометрических объектов неклассической формы, обладающих симметрией трансляционного типа на бесконечном интервале; на конечном интервале при заданном количестве тиражируемых объектов, а также обладающих симметрией циклического типа, в том числе при сохранении ориентации транслируемого геометрического объекта относительно декартовой системы координат. Это позволяет сократить число R-операций и опорных функций, а также автоматизировать процесс построения таких уравнений в результате сведения всей информации о геометрическом объекте лишь к заданию уравнения границы геометрического объекта, подлежащего трансляции, и к заданию числа элементов трансляции.

Получил дальнейшее развитие метод корректировки структур решений, обеспечивающий их полноту в задачах для областей с геометрическими сингулярностями. Благодаря этому впервые построены новые структуры решений задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца в областях с вырожденными клинообразными и Т-образным включениями, обладающие необходимым свойством полноты и учитывающие характер поведения решения в окрестности особых точек границы области.

Численная реализация разработанных методов и структур решений выполнена в условиях эксплуатации программирующей системы “ПОЛЕ-RL” с использованием полиномиальной и сплайн-аппроксимации, а достоверность полученных результатов подтверждается численным экспериментом и сравнением с известными решениями других авторов.

Ключевые слова: метод R-функций, циклическая симметрия, геометрические сингулярности, структура решения, математическое моделирование, электромагнитные поля.

SUMMARY

Semerich Yu.S. Mathematical modeling of electromagnetic processes for domains with a cyclical symmetry and geometric singularities by the R-functions method. – Manuscript.

A thesis for the scientific degree of candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.05.02 – mathematical modeling and computational methods. – A.M.orny Institute for mechanical engineering problems of the NAS of Ukraine, Kharkiv, 2006.

In the thesis constructive tools of the R-functions method for mathematical modeling of electromagnetic processes for domains possessing a cyclical symmetry and containing geometric singularities are developed. Modeling of processes for full domains in the cases when geometric symmetry is coincided with a physical field one and when only geometric symmetry is presented.

The theorems for building of normalized boundary equations for geometric objects with translation symmetry and cyclical one are formulated and proved. This allows decreasing the number of R-operations and base functions, and, moreover, to automatize such equations building, due to assign only boundary equation of geometric domain subjected to translation and the number of translation elements.

The new complete structure of solutions for the Dirichlet and the Neumann problems for Helmholtz equation in domains with a vaned and T-shaped insertions, which takes into account the behavior of solution at the neighborhood of boundary edges are developed.

Key words: the R-functions method, cyclical symmetry, geometric singularities, structure of solution, mathematical modeling, electromagnetic fields.