ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ
Кіровоградський державний педагогічний університет
імені Володимира Винниченка
ГУРТОВИЙ Юрій Валерійович
УДК 532.59
ПОШИРЕННЯ СЛАБКОНЕЛІНІЙНИХ ХВИЛЬОВИХ ПАКЕТІВ У ДВОШАРОВІЙ РІДИНІ
01.02.05 – механіка рідини, газу та плазми
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Кіровоград - 2007
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Кіровоградському державному педагогічному університеті імені Володимира Винниченка.
Науковий керівник:
доктор фізико-математичних наук, професор
Авраменко Ольга Валентинівна,
Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка,
завідувач кафедри прикладної математики, статистики та економіки.
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук
Стеценко Олександр Григорович,
Інститут гідромеханіки НАН України,
завідувач відділу вихрових процесів,
кандидат фізико-математичних наук
Ярошенко Олександр Олександрович,
доцент кафедри вищої математики Севастопольського
національного технічного університету.
Захист відбудеться 28.02.2008 р. о 14_годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.196.01 Інституту гідромеханіки НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Желябова, 8/4.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту гідромеханіки НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Желябова, 8/4.
Автореферат розісланий 03.01.2008 р.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 26.196.01
доктор технічних наук, професор Кріль С.І.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Системи з стратифікованою структурою охоплюють широке коло об'єктів та процесів. Вивчення нелінійних хвильових процесів в таких системах має значний загальнофізичний і прикладний інтерес та є предметом багатьох досліджень. Внутрішні хвилі в системах, що складаються з рідин з різними властивостями відносяться до гідродинамічних задач вказаного класу.
Нелінійність і дисперсія – два фундаментальних механізми при розповсюдженні гравітаційних хвиль в рідинах. Добре відомо, що нелінійність має тенденцію до загострення форми хвилі, тоді як дисперсія – це протилежний ефект, що веде до згладжування форми хвилі, тобто зменшення градієнтів хвильової поверхні. Найбільш цікаве явище спостерігається при балансі цих ефектів, коли формується одинока хвиля (солітон), або у випадку слабонелінійного дисперсійного середовища солітон обвідної. Солітон характеризується інваріантністю по відношенню до співударів і значною стійкістю.
У випадку двошарової рідини, коли верхня і нижня рідини мають скінчену глибину, важливою характеристикою системи є відношення глибин рідких шарів. Цей параметр може істотно впливати на баланс нелінійних і дисперсійних ефектів і, отже, на стійкість та еволюцію хвильових пакетів при їх поширенні вздовж поверхні дотику шарів.
Великі труднощі математичного характеру, що зустрічаються при розв’язуванні задач точної хвильової теорії, приводять до необхідності розвитку різного роду наближених нелінійних теорій. В результаті інтенсивно розвивались асимптотичні підходи, і вони по суті домінують в проведенні кількісного і якісного аналізу явищ. Широке розповсюдження одержали різні варіанти асимптотичних підходів Буссінеска, Д.Кортевега і Г. де Вріза, К.Фрідріхса, В.Е.Захарова та ін.
Сучасна математична теорія поверхневих та внутрішніх хвиль у стратифікованих рідинах багата належно розробленими та такими, що добре себе зарекомендували на практиці, математичними методами та моделями, що відображено в роботах А.І.Некрасова, Дж.Стокера, Дж.Лайтхілла, Дж.Уізема, О.Філліпса, Ю.З.Міропольского, Л.В.Овсяннікова, Л.М.Сретенського, ,Л.В.Черкесова, Є.М.Пеліновського та ін.
Вивченню теорії внутрішніх хвиль та дослідженню їх в натурних умовах присвячені роботи А.Гілла, Е.Е.Госсарда, А.В.Кістовича, В.Краусса, В.С.Мадерича, Ю.З.Миропольского, А.Найфе, І.Т.Селезова, В.І.Нікішова, Є.І.Нікіфоровича, А.Ньюелла, О.Г.Стеценка, І.В.Стурової, У.Х.Хука, Ю.Д.Чашечкіна та ін.
Таким чином, аналіз нелінійного поширення хвиль в стратифікованих системах являє собою важливу проблему. Зазначимо також, що раніше були розв'язані у рамках різних моделей задачі про поширення хвиль, але задача поширення хвиль в системі “шар-шар” з скінченими товщинами розроблена не повністю і зараз.
Актуальність теми визначається необхідністю вивчення фізичних процесів у стратифікованих гідродинамічних структурах, а саме - дослідження слабконелінійних хвильових пакетів у двошаровій рідкій системі з дисперсією, та якісного і кількісного аналізу їх поширення, еволюції та стійкості в залежності від фізичних та геометричних параметрів рідин. Актуальність проблематики зумовлена також тим , що внутрішні хвильові рухи води пронизують весь світовий океан і відграють важливу роль у всіх океанічних динамічних явищах.
Задача фізико-математичного моделювання шаруватих рідких систем і чисельний та фізичний аналіз отриманих результатів зумовлені потребами як самої теорії, так і потребами практики. Розв'язання задач поширення хвиль у системах з стратифікованою структурою має застосування у океанології, біомеханіці, гідравліці, в інших галузях машино- та суднобудування. Ці дослідження не тільки дозволяють з деякою мірою точності моделювати реальні фізичні хвильові процеси, вони також є актуальними для розробки чисельних досліджень, для створення теоретичної бази для експериментів.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами
полягає у застосуванні їх при виконанні держбюджетної теми Інституту гідромеханіки НАН України "Дослідження гідродинамічних процесів та течій у шельфовій та береговій зонах з урахуванням взаємодії з берегами та гідротехнічними" (шифр 1.10.1.10.С07, 2004-2007).
Мета і задачі дослідження: аналіз слабконелінійних процесів у гідродинамічних двошарових системах , що передбачає:
- отримання нових аналітичних результатів, зокрема, виводу еволюційних рівнянь для обвідної хвильового пакету на поверхні контакту гідродинамічних середовищ з різними властивостями;
- аналіз нелінійної модуляційної стійкості в залежності від геометричних та фізичних параметрів рідкої системи “шар-шар”;
- дослідження форми хвильового пакету, резонансу другої гармоніки та інших властивостей, закономірностей та механічних ефектів, характерних для розглядуваних внутрішніх хвиль.
Об'єкт дослідження - хвильові процеси у стратифікованих середовищах.
Предмет дослідження - поширення хвильових пакетів у двошарових гідродинамічних системах.
Метод дослідження. Метод багатомасштабних розвинень для отримання вищих наближень нелінійних задач гідродинаміки поширення хвильових пакетів у двошаровому рідкому середовищі.
Наукова новизна одержаних результатів.
Автором виносяться на захист такі нові наукові результати:
1. Отримано третє наближення еволюційного рівняння та розв'язок у третьому наближенні слабконелінійної задачі про еволюцію хвильових пакетів вздовж поверхні контакту двох шарів з різними густинами методом багатомасштабних розвинень.
2. Виявлена та чисельно досліджена умова модуляційної нестійкості внутрішніх хвиль у вищезгаданих задачах поширення хвильових пакетів, враховано вплив поверхневого натягу. Знайдені області, де можливе утворення солітонів обвідної та проаналізовані кількісні та якісні відмінності відповідних діаграм стійкості в залежності від відношення товщин.
3. Проведено аналіз форми хвильових пакетів на основі отриманих значень амплітуд другої гармоніки.
4. Виявлені характерні особливості резонансної області другої гармоніки
5. Виведено рівняння Шредінгера для поширення хвильових пакетів при хвильових числах, близьких до критичного. Отримано співвідношення між хвильовим числом та малим параметром та відповідне розвинення хвильового числа за малим параметром.
Практичне значення одержаних результатів полягає в отриманні нових результатів значення в актуальних дослідженнях формування та поширення нелінійно-дисперсійних хвиль в шаруватих гідродинамічних системах. Дисертаційна робота в цілому має теоретичне значення, однак, у ній враховані сучасні потреби моделювання хвильових процесів, що виникають у практичній діяльність. Так, отримане еволюційне рівняння допомогло розв’язати питання модуляційної стійкості, форми пакетів внутрішніх хвиль на поверхні контакту двох рідких середовищ з різними властивостями при врахуванні поверхневого натягу. При цьому виявленні області модуляційної стійкості в залежності від значення відношення товщини двох рідких шарів, умови резонансу другої гармоніки та ін. Дослідження амплітуди другої гармонік та на їх основі структури хвильових пакетів призвело до висновку, що у випадку високих хвиль пакет має гострий гребінь та затуплену підошву, для пологих хвиль гребінь дещо затуплений, а підошва загострена.
Задачі про поширення хвильових пакетів на поверхні контакту двох рідких середовищ можуть моделювати сильно стратифіковані за глибиною області термоклину в Світовому океані. Вивчення впливу поверхневого натягу може бути також застосовано у розробках принципово нових технологій з використанням двох рідких середовищ, що не перемішуються.
Особистий внесок здобувача. В дисертаційній роботі теоретичні результати та розробка комп'ютерних програм належать автору. Із спільних публікацій [1 – 6] у дисертаційну роботу включені результати теоретичного характеру, отримані автором: аналітичні та чисельні методи їх розв'язання, результати їх реалізації на комп'ютері, аналіз закономірностей і нових механічних ефектів. Науковому керівникові д.ф.-м.н., професору О.В. Авраменко належать загальний задум проведення досліджень і постановка проблеми.
Апробація результатів дисертації. Викладені в роботі результати були обговорені в різний час на таких наукових конференціях і семінарах: міжнародній науковій конференції “Каразінські природознавчі студії” (Харків, 14-16 червня 2004 р.); конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача (Львів, 24-25 травня 2005 р.); Всеукраїнській науково-практичній конференції “Математика, економіка, інформатика: актуальні проблеми та методика викладання” (Кіровоград, 19-21 квітня 2007 р.), окремі положення дисертації, а також дисертаційна робота в цілому доповідались і обговорювались на семінарах відділу гідродинаміки хвильових процесів Інституту гідромеханіки НАН України (Київ, 2006 -2007); на Республіканському семінарі з гідромеханіки Інституту гідромеханіки НАН України (Київ, 2007).
Публікації. По результатах дисертації опубліковано 7 робіт, з них 6 робіт написано у співавторстві, 3 роботи [1 – 3] опубліковано у фахових виданнях, затверджених ВАК України.
Структура роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновку і списку літератури із 102 найменувань. Загальний об'єм дисертації містить 111 сторінок, 18 рисунків.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі сформульована мета роботи, відзначено актуальність, новизну, теоретичне значення та практичну цінність роботи. Сформульовані положення, що виносяться на захист. Коротко подається зміст роботи за розділами.
В першому розділі розглянуто основні етапи розвитку та сучасний стан проблеми поширення хвиль у гідродинамічних системах з шаруватою структурою, як у теоретичному плані, так і у плані застосування результатів до практичних цілей. Показано роль різних рівнянь для опису слабконелінійних хвильових пакетів кінцевої амплітуди та вказано межі їх застосування.
В наступному підрозділі висвітлено історію використання нелінійного рівняння Шредінгера для опису нелінійних процесів в дисперсійних фізичних системах та проблема модуляційної нестійкості. Показане значення методу багатомасштабних розвинень для аналізу нелінійних хвильових процесів у дисперсійному середовищі.
Також подано обґрунтування напрямку дослідження, яке базується на наведених фізико-математичних моделях та математичних методах розв'язання задач поширення хвиль у стратифікованих гідродинамічних системах.
У другому розділі висвітлюються основні відомості про хвилі та дисперсію. Також представлено класичний підхід до вивчення хвильових рухів у рідкому середовищі, виведене рівняння стану рідини, що рухається, та основні рівняння гідромеханіки у формі Ейлера. У рамках загального підходу до вивчення впливу неоднорідностей на хвильові рухи подано основні відомості про потенціальний рух рідини з найбільшими відхиленнями на поверхні, а також про причини їх утворення; представлені дві нелінійні моделі двошарової рідини, в яких можуть утворюватись внутрішні хвилі.
Методику застосування методу багатомасштабних розвинень представлено у 2.5 на прикладі задачі про поширення хвильових пакетів вздовж поверхні контакту двох напівобмежених рідин з різними густинами. У підрозділі 2.6 дано стислий огляд оберненого методу розсіювання для нелінійного рівняння Шредінгера.
У третьому розділі досліджується нова задача про поширення двовимірних хвильових пакетів кінцевої амплітуди на поверхні контакту рідкого шару з густиною та верхнього рідкого шару з густиною . Швидкості в виражені через градієнт потенціалу . Шари розділені поверхнею контакту . Введено безрозмірні змінні, що дозволило в якості малого параметру асимптотичного аналізу використовуюти параметр нелінійності . Математична постановка задачі у безрозмірному вигляді має вигляд
, (1)
при (2)
при (3)
при , (4)
при (5)
Для визначення наближеного розв'язку задачі (1) - (5) для малих, але кінцевих амплітуд, застосуємо метод багатомасштабних розвинень
, (6)
, (7)
де, як було зазначено вище, - коефіцієнт нелінійності, , - масштабні змінні.
В ході розв'язання отримано наближення першого
, (8)
,
,
та другого порядку,
(9)
дисперсійне співвідношення
та умови розв'язуваності лінійних задач перших трьох наближень.
Виведено еволюційне рівняння у третьому наближенні для обвідної хвильового пакету
, (10)
де
Здійснений граничний перехід, при якому товщина шару спрямовується до нескінченності, в результаті чого всі вирази вироджуються в отримані раніше для двох напівпросторів. Досліджено граничний випадок поширення хвильових пакетів при хвильових числах, близьких до критичного і виведене рівняння Шредінгера, що містить першу похідну по просторовій координаті та дві похідні по часовій координаті, яке може бути поширеним на всі хвильові числа.
де
У четвертому розділі проведено повний аналіз модуляційної стійкості хвильових рухів для фіксованих товщин верхнього шару в залежності від товщини нижнього шару. Він був проведений як на основі збурення розв’язку еволюційного рівняння (10), так і на основі оберненої задачі розсіювання для нелінійного рівняння Шредінгера незалежно від вигляду розв’язку. Обидва зазначені методи приводять до однакового результату. При цьому умова модуляційної стійкості має вигляд
, (11)
де , .
Рівняння (11) дає можливість побудувати дисперсійні діаграми, де виявлені області нелінійної модуляційної стійкості обвідної хвильових пакетів.
На рис.1 побудовані криві, що визначаються рівняннями
(криві з індексами ”2”-”4”) та
(криві з індексами ”1”,“5”,”6”).
Графіки цих кривих були побудовані в системі координат на основі чисельного розв’язку приведених вище рівностей. Дані криві визначають межі областей нелінійної модуляційної стійкості та нестійкості при різних значеннях параметру {10; 2.23; 1,73;1,1; 1 } та фіксованому значенні . Область лінійної нестійкості відділена кривою з індексом „0”. Області модуляційної стійкості (МС) і модуляційної нестійкості (МН) чергуються.
При виявлено шість кривих, що розділяють область нелінійної стійкості та нестійкості. В даному випадку при маємо дві області стійкості як для гравітаційних так і для капілярних хвиль (рис.1а).
При зменшенні до значення 2.23 криві „5” і „6” майже співпадають, а гострий кінець кривої „4” знижується на вісь (рис.1б). При число кривих, що потрапляють у перший квадрант площини , зменшується(криві „5” і „6” зміщуються вліво), а гострий кінець кривої „4” поступово рухається вправо по вісі (рис.1в). Це, в свою чергу, приводить до збільшення області модуляційної стійкості, що обмежена координатними вісями.
Процес звуження областей нестійкості добре видно при (рис. 1г). В граничному випадку, коли товщини шарів рівні, тобто при , нижня дуга кривої “4” вироджується в точку (1,0). Вертикальна пряма в граничному випадку відсутня, оскільки на неї накладається нижня частина кривої “2” і верхня частина кривої “4”, при цьому ті частини цих кривих, що залишились, утворюють нову межу розділу областей модуляційної стійкості і модуляційної нестійкості (рис. 1д). Слід відмітити значне спрощення дисперсійної діаграми при однаковій товщині шарів. Крім того, розгляд фізично важливої вузької ділянки біля прямої вказує на те, що модуляційна нестійкість майже повністю покриває її. Таким чином, хвильові пакети внутрішніх хвиль є нестійкими для широкого спектру хвильових чисел в умовах, коли відношення густин двох шарів є близьким до одиниці.
При виконанні умови модуляційної стійкості еволюційне рівняння (10) має розв'язок, який залежить лише від часу (тобто він реалізується тоді, коли вже встановиться баланс між дисперсією та нелінійністю)
, (12)
де а - стала. Якщо підставити (12) у вираз для двох доданків (8) та (9) відхилення поверхні контакту рідких середовищ. Враховуючи (6), розвинення за малим параметром має такий вигляд
(13)
Якщо ж умова модуляційної стійкості не виконується, то початковий хвильовий пакет розпадається на сукупність солітонів обвідної вигляду
(14)
Солітони обвідної (14) є кінцевим утворенням еволюції при умові, що на початку був скінчений хвильовий пакет. Солітони обвідної є стійкими відносно взаємодій з іншими хвильовими пакетами. Якщо ж на початку маємо неперервний хвильовий пакет, то процес утворення солітонів не є остаточним, і форма хвильового пакету періодично еволюціонує до початкової форми (повернення ФПУ).
Параметри солітона визначаються початковими умовами . Швидкість розповсюдження солітона обвідної не залежить від амплітуди. Якщо підставити (14) у вираз для двох доданків (8) та (9) відхилення поверхні контакту рідких середовищ і врахувати (6), то розвинення в другому наближенні має вигляд
(15)
З виразів (13) і (15) видно, що для визначення форми поверхні контакту важливий знак величини , який змінюється за умови переходу через криву , вздовж якої =0, або при переході через криву вздовж якої . Рівняння цих кривих у неявній формі мають вигляд
Графіки та зображені на рис.2. для фіксованого значення товщини При великих значеннях (наприклад )(рис.2а) криві перетинаються і поділяють площину на чотири області . Якщо виконується умова модуляційної стійкості, в областях мають місце хвилі з загостреними гребнями і затупленими підошвами, а в областях - хвилі з затупленими гребнями і загостреними підошвами (рис.2). При зменшенні товщини нижнього шару точка перетину кривих та опускається нижче і приблизно при значенні точка перетину знаходиться на горизонтальній координатній вісі. Таким чином, областей з характерною формою залишається три: (рис.2.б,в). При малій товщині нижнього шару залишається лише дві області (рис. 2.г). Це означає, що при значеннях товщини нижнього шару і верхнього шару хвильові пакети приймають -образну форму для широкої області , і тільки в вузькій області мають -образну форму.
Досліджуючи формулу (14) приходимо до висновку, що у випадку модуляційної нестійкості існують такі параметри двошарової гідродинамічної системи, що влив амплітуди другої гармоніки приводить до загострення чи затуплення форм солітонів обвідної.
На рис. 3 зображені два варіанти форми солітонів обвідної з урахуванням другої гармоніки для таких значень товщини і відношення густин двох рідких шарів, що відношення амплітуд першої і другої гармоніки дорівнює 5. Коли , то верхня обвідна загострюється, а нижня навпаки затуплюється (рис. 3а). На рис.3б показаний аналогічний ефект впливу другої гармоніки на форму солітонів обвідної при умові . В цьому випадку вже верхня обвідна затуплюється, а нижня стає загостреною.
Розглянуто питання умов резонансу другої гармоніки. Нижче представлені графіки кривих і при фіксованому значенні товщини нижнього шару і двох значеннях товщини нижнього шару . Показані також околи кривої , де значення величини більше заданої величини ( і ). Можливі декілька видів резонансних областей. На рис. 3(а) представлені області резонансу другої гармоніки при значеннях товщини шарів і . На рис. 4(б) представлені області резонансу другої гармоніки при значеннях товщини шарів і . Точка перетину () кривих та в цьому випадку знаходиться на прямій . В цій точці значення також невизначено, а значення границі . В будь-якому околі () є точки, що належать всім трьом областям . Резонансною областю є окіл кривої , яка обмежена кривими, що відповідають рівностям і осями координат.
У висновках сформульовані основні результати теоретичного і прикладного характеру.
ВИСНОВКИ
У дисертації наведене теоретичне узагальнення і нове вирішення наукової проблеми поширення слабконелінійних хвильових пакетів вздовж межі контакту двох рідких шарів скінченої глибини. В рамках застосування асимптотичного методу багатомасштабних розвинень включно до третього наближення для даної нелінійної задачі отримано такі результати:
-
для лінеаризованої задачі виведене дисперсійне рівняння в безрозмірному вигляді, виведені умови розв'язуваності для задач другого та третього наближення та частинні розв'язки для задач першого та другого наближення; у граничному випадку, за умови прямування товщини шару до нескінченності, результати асимптотично переходять у раніше отримані для гідродинамічної системи "півпростір - півпростір" та “шар-півпростір”;
-
для хвильових чисел, далеких від критичного, методом багатомасштабних розвинень отримане еволюційне рівняння обвідної хвильового пакету у вигляді нелінійного рівняння Шредінгера, яке було застосоване для дослідження еволюції хвильових пакетів скінченої амплітуди,
-
при переході до безрозмірних величин виявлений фізичний зміст малого параметру, що дозволяє інтерпретувати нелінійне рівняння Шредінгера, як модель, яка описує слабконелінійні хвильові пакети у дисперсійному середовищі;
-
випадок поширення хвильових пакетів при хвильових числах, близьких до критичного описується нелінійним рівнянням Шредінгера, що містить першу похідну по просторовій координаті та дві похідні по часовій координаті, і яке може бути поширеним на всі хвильові числа. Отримано співвідношення між хвильовим числом та малим параметром та відповідне розвинення хвильового числа за малим параметром ;
-
виявлена та чисельно досліджена умова модуляційної стійкості внутрішніх хвиль у вищезгаданих задачах поширення хвильових пакетів, в яких враховано вплив поверхневого натягу. Побудовано діаграми модуляційної стійкості для систем "шар - шар", знайдено кількісні та якісні відмінності указаних діаграм, в залежності від відношення товщин двох рідких шарів. У загальному випадку площина (
поділяється на область лінійної нестійкості та область лінійної стійкості, яка, у свою чергу, поділяється на такі області: три області модуляційної нестійкості та п'ять областей модуляційної стійкості; зменшення товщини нижнього шару суттєво змінює області модуляційної нестійкості. При однакових товщинах шарів кількість областей модуляційної стійкості і нестійкості зменшується на дві за рахунок накладання двох кривих, що їх обмежують ;
-
у випадку модуляційної нестійкості дослідження еволюції форми слабконелінійного хвильового пакету внутрішніх хвиль у дисперсійному середовищі приводить до утворення солітонів обвідної, розміри і число яких залежать від початкових параметрів хвильового пакету. Солітони обвідної є кінцевим утворенням еволюції скінченого хвильового пакету і є стійкими відносно взаємодій з іншими хвильовими пакетами. Якщо ж на початку маємо неперервний хвильовий пакет, то процес утворення солітонів не є остаточним, і форма хвильового пакету періодично еволюціонує до початкової форми (повернення ФПУ).
-
врахування другого наближення для відхилення межі розділу двох рідких шарів приводить до виникнення асиметрії гребенів і підошв модуляційно стійкого хвильового пакету, а також до незначного підйому чи опускання рівня хвильового пакету. У випадку високих хвиль пакет має гострий гребінь та затуплену підошву, для пологих хвиль гребінь дещо затуплений, а підошва загострена. У випадку модуляційної нестійкості при утворенні солітонів обвідної відповідно затуплюється чи загострюється форма обвідної хвильового пакету. Для фіксованої товщини шарів, в залежності від відношення густин середовищ та хвильового числа, існують декілька областей, де можлива загострена чи затуплена форма хвиль. Якщо нижній шар значно більший за верхній, то маємо чотири таких області. Дві з указаних областей вироджуються за умови зменшення товщини нижнього шару;
-
вивчені характерні особливості резонансної області другої гармоніки. Резонансна область вказує також на ті параметри двошарової системи, при яких друга гармоніка набуває як завгодно великих значень. Це обумовлено нехтуванням в математичній моделі задачі явищами в’язкості та дисипації енергії, а також не врахуванням частинних розв’язків третього наближення.
Дисертаційна робота в цілому має теоретичне значення, однак, в ній враховані сучасні потреби моделювання хвильових процесів, що виникають у практичній діяльності. Внаслідок цього одержана інформація кількісного та якісного характеру, що дозволяє визначати умови утворення, стійкості та форми солітонів обвідної хвиль в умовах, коли є наявність двох рідких середовищ, що не перемішуються. Задачі про поширення хвильових пакетів на поверхні контакту двох рідких середовищ можуть моделювати сильно стратифіковані за глибиною області термоклину в Світовому океані. Вивчення впливу поверхневого натягу може бути також застосовано у розробках нових технологій з використанням двошарових рідких систем.
Основні положення дисертації викладено в публікаціях:
1. Селезов И.Т., Авраменко О.В., Гуртовый Ю.В. Особенности распостранения волновых пакетов в двухслойной жидкости конечной глубины // Прикладна гідромеханіка. – 2005. – Том 7(79), № 1. _С. 80-89.
2. Селезов И.Т., Авраменко О.В., Гуртовый Ю.В. Устойчивость волновых пакетов в двухслойной гидродинамической системе //Прикладна гідромеханіка. - 2006, - 8(90), №4. - С.60-65
3. Селезов И.Т., Авраменко О.В., Гуртовый Ю.В. Распостранение нелинейных волновых пакетов при околокритических волновых числах в двухслойной жидкой системе// Математичні методи та фізико-механічні поля. – 2007. - 50, №1. – С.91-97.
4. Авраменко О.В., Гуртовий Ю.В. Особливості хвильових пакетів у двошаровій рідині // Каразінські природознавчі студії. Матеріали міжнародної наукової конференції 14-16 червня 2004 р. – Харків: Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, 2004. – С.168.
5. Авраменко О.В., Гуртовий Ю.В. Стійкість хвильових пакетів у системі “шар-шар” // Конференція молодих учених із сучасніх проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача. – Львів, 2005. – Випуск 42. – С.15_.
6. Авраменко О.В., Гуртовий Ю.В. Фізичний зміст параметру багатомасштабного розвинення //Наукові записки.- Випуск 66. – Серія: Математичні науки: РВВ КДПУ ім. В. Винниченка, 2007. - С. 3-5.
7. Гуртовий Ю.В. Модуляційна нестійкість хвильових пакетів у шаруватій рідкій системі //Матеріали III Всеукраїнської науково-практичної конференціїї “Математика, економіка, інформатика: актуальні проблеми та методики викладання”. – Кіровоград: КДПУ ім В. Винниченка, 2007.- С. 12-14.
Гуртовий Ю.В. Поширення слабконелінійних хвильових пакетів у двошаровій рідині.- Рукопис. Дисертація на здобуття ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальністі 01.02.05 - механіка рідини, газу та плазми.- КДПУ ім. В.Винниченка, Кіровоград, 2007.
Дисертаційна робота присвячена поширенню слабконелінійних хвильових пакетів на межі розділу двох рідких шарів з різними густинами. На основі методу багатомасштабних розвинень отримано розв’язки та нелінійне рівняння Шредінгера, яке описує еволюцію хвильового пакету внутрішніх хвиль. Виявлено та чисельно досліджено умову модуляційної стійкості внутрішніх хвиль, де враховано вплив поверхневого натягу. Досліджені геометричні та фізичні параметри двошарової системи при яких модуляційно нестійкі розв’язки приводять до утворення солітонів обвідної. Знайдені області, де виникає резонанс другої гармоніки хвильового пакету внутрішніх хвиль, що приводить до асиметрії гребінів і підошв. Розглянуто граничний випадок поширення хвильових пакетів при хвильових числах близьких до критичного, що приводить до еволюційного рівняння, яке може бути поширеним на всі хвильові числа.
Результати дозволяють визначати умови поширення та еволюції слабконелінійних хвильових пакетів внутрішніх хвиль в сильнодиспесійних стратифікованих середовищах, що може бути використано в океанології та у розробках принципово нових технологій з використанням двох рідких середовищ, що не перемішуються.
Ключові слова: внутрішні хвилі, метод багатомасштабних розвинень, еволюційне рівняння, нелінійне рівняння Шредінгера, модуляційна нестійкість, солітон обвідної.
Гуртовий Ю.В. Распространение слабонелинейных волновых пакетов в двухслойной жидкости.- Рукопись. Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы. - Кировоградский государственный педагогический университет имени Владимира Винниченко, Кировоград, 2007.
Диссертация посвящена проблеме распространения слабонелинейных волновых на границе раздела двух жидких слоев с разной плотностью. Для линейной задачи получено дисперсионное уравнение в безразмерном виде, выведены условия разрешимости для задач второго и третьего приближения и решения для задач первого и второго приближения. В предельном случае, при условии следования толщины слоя к бесконечности, результаты асимптотически переходят в ранее полученные для гидродинамической системы "полупространство - полупространство" и “слой-полупространство”. Для волновых чисел, далеких от критического, методом многомасштабных разложений полученное эволюционное уравнение огибающей волнового пакета в виде нелинейного уравнения Шредингера, которое было применено для исследования эволюции волновых пакетов конечной амплитуды. Случай распространения волновых пакетов при волновых числах, близких к критическому описывается также нелинейным уравнением Шредингера, содержащим первую производную по пространственной координате и две производные по времени, и которое может быть распространенным на все волновые числа. Получено соотношение между волновым числом и малым параметром и соответствуещее разложение волнового числа по малому параметру.
Обнаружено и численно исследовано условие модуляционной устойчивости слабонелинейного волнового пакета, где учтено влияние поверхностного натяжения. Построены диаграммы модуляционной устойчивости для системы “слой”-“слой”, найдены количественные и качественные различия указанных диаграмм в зависимости от отношения толщин двух жидких слоев. В общем случае диаграмма устойчивости на плоскости "отношение плотностей - волновое число" разделяется на области линейной неустойчивости и область линейной устойчивости, которая, в свою очередь, разделяется на три области нелинейной устойчивости и пять областей неустойчивости. Уменшение толщины нижнего слоя существенно изменяет области модуляционной устойчивости и неустойчивости. При одинаковых глубинах слоев количество областей модуляционной устойчивости и неустойчивости уменшается на две за счет наложения двух кривых, ограничивающих их.
В случае модуляционной неустойчивости слабонелинейный волновой пакет эволюцинирует в последовательность солитонов огибающей, размеры и число которых зависят от начальных условий. Если волновой пакет не ограничен в пространстве, то солитоны огибающей не являются конечным результатом эволюции и форма волнового пакета возвращается к начальной форме (явление возвращение ФПУ).
Учет второго приближения для отклонения границы раздела двух жидких слоев приводит к возникновению асимметрии гребней и подошв модуляционно устойчивого волнового пакета, а также к незначительному подъему или опусканию уровня волнового пакета. В случае высоких волн пакет имеет острый гребень и затупленную подошву, для пологих волн гребень несколько затуплен, а подошва заострена. В случае модуляционной неустойчивости при образовании солитонов огибающей соответственно затупляется или заостряется форма огибающей волнового пакета. Найдены области, где возникает резонанс второй гармоники внутренних волн, вследствие чего возникает асимметрия гребней и подошв.
Результаты позволяют определять условия распространения и эволюции слабонелинейных волновых пакетов внутренних волн в сильно дисперсионных стратифицированных средах и могут быть использованы в океанологии и в разработке новых технологий с использованием двух несмешивающихся жидких сред.
Ключевые слова: внутренние волны, эволюционное уравнение, метод многомасштабных разложений, нелинейное уравнение Шредингера, модуляционная неустойчивость, солитон огибающей.
Hurtovyy Y.V. Propagation of weakly nonlinear wave packets in a two-fluid system. - Manuscript. Thesis for a candidates’ degree of physical and mathematical sciences on speciality 01.03.05- Mechanics of fluid, gas and plasma.- Kirovograd State Pedagogical University named by V.Vynychenco, Kirovograd, 2007.
The Thesis is devoted to the problem of propagation of weakly nonlinear wave packets at the interface of two layers with different density. The solution and nonlinear evolutional Schrodinger equation are obtained using the method of multiple scales. Condition of modulational instability is found and numerically investigated taking into account influence of surface tension. Geometrical and physical parameters of two fluid systems in which unstable solution leads to creation of envelope solitons are investigated. Areas where the second-harmonic resonance of internal wave packets appears that leads to the asymmetry of crest and bottom are found. The case of wave-packets propagation at wave number near cut-off leads to another equation which contains first as well as second derivatives in time. This equation is valid for all wave numbers. Results allow to define conditions of propagation and evolution of weak nonlinear internal wave packets in the dispersive stratified fluids and they can be used in oceanology and in the new technologies with the usage of two immiscible fluid systems.
Key words: wave propagation, evolution equation, the method of multiple scales expansions, modulational instability, envelope soliton.
