НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

КАПУСТЯН Олексій Володимирович

УДК 517.9

ГЛОБАЛЬНІ АТРАКТОРИ НЕАВТОНОМНИХ МНОГОЗНАЧНИХ

ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ

01.01.02 – диференціальні рівняння

А в т о р е ф е р а т

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ – 2007

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському національному університеті

імені Тараса Шевченка

Науковий консультант:

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

МЕЛЬНИК Валерій Сергійович

Навчально–науковий комплекс Інститут прикладного

системного аналізу НТУУ КПІ,

завідувач відділу прикладного нелінійного аналізу.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

ДОРОГОВЦЕВ Андрій Анатолійович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу теорії випадкових процесів;

доктор фізико-математичних наук, професор

СЛЮСАРЧУК Василь Юхимович,

Національний університет водного господарства та

природокористування МОН України,

професор кафедри вищої математики;

доктор фізико-математичних наук, професор

ГОРОДНІЙ Михайло Федорович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

декан механіко-математичного факультету.

Захист відбудеться 15 січня 2008 р. о 12 годині

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02

в Інституті математики НАН України за адресою:

01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3

З дисертацією можна ознайомитись

у бібліотеці Інституту математики НАН України

Автореферат розісланий 12 грудня 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Однією з основних задач при дослідженні еволюційних рівнянь є вивчення якісної поведінки розв'язків при . Останнім часом розв'язання цієї проблеми пов'язують зі знаходженням в фазовому просторі глобального атрактору – мінімальної множини, що притягує всі траєкторії системи. Теорія глобальних атракторів нескінченновимірних динамічних систем була започаткована в 70-их роках минулого сторіччя в роботах О.А. Ладиженської з вивчення динаміки двовимірної системи рівнянь Нав'є–Стокса та в роботах Д. Хейла, які стосувалися дослідження якісної поведінки розв'язків функціонально-диференціальних рівнянь. На сьогодні завдяки роботам М.І. Вишика, А.В. Бабіна, Р. Темама, Д. Робінсона, І. Чуєшова та багатьох інших математиків класична теорія глобальних атракторів є добре розвиненою і для широкого класу автономних коректно поставлених задач дає відповідь на питання про існування, топологічні та метричні властивості глобальних атракторів, їх структуру та оцінку розмірності. Узагальнення цієї теорії на випадок можливої неєдиності розв'язку задачі Коші в різний спосіб було проведено в роботах В.С. Мельника, Х. Валеро, Д. Бола, Д. Села, Д.Н. Чебана, Д.С. Факіх.

Систематичне вивчення неавтономних динамічних систем як дво-параметричної сім'ї відображень (процесів) в застосуванні до рівнянь з частинними похідними розпочалося в роботах А. Аро і знайшло подальший розвиток в роботах М.І. Вишика та В.В. Чепижова. Для однозначно розв'язних еволюційних задач з майже періодичною по часовій змінній та гладкою по фазовій змінній правою частиною і для деяких каскадних систем було доведено існування глобального атрактору у відповідної сім'ї процесів, досліджена його структура і в деяких часткових випадках оцінена розмірність. Принципову відмінність неавтономного випадку від автономного ілюстрував той факт, що в загальній ситуації розмірність отриманого атрактору є нескінченною.

Проте відкритими залишилися питання щодо якісного дослідження неавтономних еволюційних рівнянь, для яких невідомою або неприродною є теорема про єдиність розв'язку задачі Коші. Крім того, навіть в класі коректно поставлених задач не дослідженими залишилися такі істотно неавтономні об'єкти, як рівняння з імпульсними збуреннями в фіксовані моменти часу.

Паралельно з теорією динамічних процесів в роботах Г. Краула, Ф. Фландолі та Б. Шмальфуба було запропоновано концепцію випадкового атрактору як відповідного узагальнення глобального атрактору на випадок, коли початкова задача зазнає випадкових збурень. На сьогодні теорія випадкових атракторів активно розвивається і містить результати як ймовірнісного, так і топологічного характеру. В цьому контексті актуальною є розробка абстрактної теорії многозначних випадкових динамічних систем та дослідження за її допомогою випадково збурених еволюційних систем без єдиності, що є дисипативними (відносно "pullback" притягнення) за ймовірністю.

Таким чином, побудова загальної теорії глобальних атракторів многозначних неавтономних та випадкових динамічних систем, та отримання за її допомогою якісних результатів щодо поведінки "на нескінченності" істотно неавтономних еволюційних об'єктів без єдиності розв'язку початкової задачі Коші є важливою та актуальною проблемою, що пов'язана з розвитком сучасних напрямів в теорії динамічних систем та нелінійних еволюційних рівнянь.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана на кафедрі інтегральних і диференціальних рівнянь механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Дисертаційні дослідження проводилися в рамках держбюджетної науково-дослідної теми № 01БФ038-03 "Розробка якісних та аналітичних методів дослідження та асимптотичного інтегрування нелінійних систем" (керівник М.О. Перестюк, номер державної реєстрації 0104U003264). Частково дисертаційні дослідження виконувалися в рамках науково-дослідної теми "Дослідження проблем теорії некласичних диференціальних рівнянь" (грант Державного фонду фундаментальних досліджень № 01.07./00047, керівник М.О. Перестюк, номер державної реєстрації 0101U005771) та науково-дослідної теми "Топологічна динаміка і нескінченновимірні динамічні системи" (грант Державного фонду фундаментальних досліджень № 01.07./00081, керівники О.М. Шарковський, В.С. Мельник, номер державної реєстрації 0101U000644)

Мета і завдання дослідження. Мета досліджень – розробка теорії многозначних неавтономних динамічних систем та застосування її до істотно неавтономних нескінченновимірних еволюційних об'єктів без єдиності розв'язку. Об'єкт досліджень – неавтономні еволюційні рівняння та включення з неліпшицевою правою частиною, еволюційні рівняння з імпульсними збуреннями в фіксовані моменти часу, випадково збурені диференціальні рівняння. Предмет досліджень – існування та властивості глобальних атракторів неавтономних еволюційних рівнянь та включень без єдиності розв'язку та випадкових атракторів стохастично збурених еволюційних рівнянь. Методи досліджень. Розробка абстрактної теорії неавтономних та випадкових многозначних динамічних систем базується на ідеях класичної теорії глобальних атракторів динамічних систем та випадкових динамічних систем (О.А. Ладиженська, Д. Хейл, М.І. Вишик, Г. Краул), при цьому використовувались методи нелінійного та многозначного аналізу (В.С. Мельник, Ж.-П. Обен). Результати щодо існування та властивостей розв'язків нелінійних неавтономних еволюційних систем спираються на методи дослідження нелінійних еволюційних рівнянь (Ж.-Л. Ліонс, О.А. Ладиженська, Р. Темам) та еволюційних включень (В.С. Мельник, В. Барбю, А.А. Толстоногов). Існування та властивості глобальних атракторів для неавтономних та випадково збурених еволюційних систем без єдиності встановлено на основі відповідних результатів для класичних неавтономних (О.А. Ладиженська, М.І. Вишик) та випадкових (Л. Арнольд, Г. Краул, Ф. Фландолі) динамічних систем.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації вперше одержано такі результати:

Розроблено загальну теорію глобальних атракторів многозначних неавтономних динамічних систем в топологічних просторах, отримано теореми про існування, компактність, інваріантність, зв'язність, стійкість та залежність від параметру глобальних атракторів таких систем.

Розроблено загальну теорію випадкових атракторів многозначних випадкових динамічних систем, що є дисипативними за ймовірністю відносно "pullback" притягнення та не є ліпшицевими по фазовій змінній. Отримано теореми про існування, єдиність та залежність від параметра випадкового аттрактору.

Для рівняння типу реакції-дифузії, системи фазово-польових рівнянь, гіперболічного рівняння з дисипацією за умов на нелінійний доданок, що не забезпечують єдиності розв'язку задачі Коші, досліджено такі топологічні властивості множини її розв'язків, як компактність і зв'язність в фазовому просторі.

Для кожного з зазначених вище рівнянь за умови трансляційної компактності доведено, що всі його розв'язки породжують многозначну неавтономну динамічну систему, для якої в фазовому просторі задачі існує компактний, інваріантний, зв'язний, стійкий глобальний атрактор та досліджена його залежність від параметру.

Для тривимірної системи рівнянь Нав'є-Стокса з трансляційно-компактною по часовій змінній правою частиною на слабких розв'язках побудовано параметризовану сім'ю многозначних процесів, для якої доведено існування в фазовому просторі зі слабкою топологією глобального атрактору, що не залежить від параметру.

Для тривимірної системи Бенара отримано теореми про розв'язність і неперервність, аналогічні тим, що є відомими для тривимірної системи рівнянь Нав'є-Стокса. За додаткової умови трансляційної компактності правої частини на слабких розв'язках побудовано параметризовану сім'ю многозначних процесів, для якої доведено існування в фазовому просторі зі слабкою топологією глобального атрактору, що не залежить від параметру.

Для каскадних систем еволюційних рівнянь ( рiвняння реакцiї -дифузiї, збурене системою звичайних диференцiальних рiвнянь, та система рiвнянь в'язкої нестислої рiдини з пасивними компонентами) доведено теореми щодо їх глобальної розв'язності, на їх розв'язках побудовано многозначні неавтономні динамічні системи, для яких доведено теореми про існування в фазовому просторі компактного, напівінваріантного, зв'язного глобального атрактору.

Розроблено загальний підхід щодо дослідження з точки зору глобальних атракторів неавтономних динамічних систем для еволюційних об'єктів, що зазнають імпульсних збурень в фіксовані моменти часу. Для рівняння типу реакції-дифузії та системи фазово-польових рівнянь побудовано неавтономну динамічну систему та доведено існування компактного глобального атрактору у випадку затухаючих збурень, періодичних збурень та збурень, що мають трансляційно-компактний характер. При цьому було введене поняття трансляційно-компактного розподілу та досліджено мінімальний потік, що породжується таким розподілом. Для гіперболічного рівняння з дисипацією та нескінченновимірного еволюційного включення відповідні результати одержано для затухаючих збурень.

Для неавтономних еволюційних включень з неліпшицевою по фазовій змінній та трансляційно-компактною по часовій змінній правою частиною отримано результати щодо регулярності та зв'язності множини інтегральних розв'язків. Для випадку, коли межі многозначної правої частини не мають розривів 2-го роду, на інтегральних розв'язках відповідного включення побудовано многозначну неавтономну динамічну систему, для якої доведено існування в фазовому просторі компактного, інваріантного, зв'язного, стійкого глобального атрактору.

Для системи звичайних диференціальних рівнянь, збуреної стаціонарним випадковим процесом, в термінах функції Ляпунова незбуреної системи отримано результати щодо існування атрактору відповідної многозначної випадкової динамічної системи. Для випадково збуреного рівняння реакції-дифузії з неліпшицевою правою частиною доведено, що його розв'язки породжують випадкову многозначну динамічну систему, для якої в фазовому просторі існує випадковий атрактор.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Її результати та розроблені методи можуть бути застосовані як для подальшого розвитку абстрактної теорії неавтономних і випадкових динамічних систем, так і для отримання результатів щодо якісної поведінки розв'язків для широкого класу дисипативних неавтономних нескінченновимірних систем.

Особистий внесок здобувача. Загальний напрямок досліджень здобувач вибрав під впливом свого наукового консультанта В.С. Мельника. Всі результати, що виносяться на захист, одержано автором самостійно. Із статей, написаних в співавторстві, в дисертаційну роботу включено лише результати здобувача. В роботах [3, 5-8, 15, 16, 19] співавторам належать корисні дискусії та обговорення отриманих результатів. Хосе Валеро в роботі [9] належить параграф 5, в роботі [18] – аналіз деяких фізичних моделей, в роботі [21] – ідея дослідження неперервності розв'язків системи Бенара, в роботі [22] – пункт 3.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на Українському математичному конгресі (Київ, 2001), на Міжнародній конференції "Моделювання та дослідження стійкості динамічних систем" (Київ, 2003), на Міжнародній конференції "Шості Боголюбовські читання" (Чернівці, 2004), на Міжнародній конференції "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Москва, 2004), на Міжнародній конференції пам'яті В.Я. Буняковського (Київ, 2004), на Міжнародній конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування" (Київ, 2005), на Міжнародній конференції з диференціальних рівнянь, присвяченій століттю Я.Б. Лопатинського (Львів, 2006), на Міжнародній конференції " Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування" (Ужгород, 2006).

Результати дисертації доповідалися на науковому семінарі кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2007), на науковому семінарі з нелінійного аналізу Інституту математики НАН України (2003), на науковому семінарі відділу теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України (2005,2007), на науковому семінарі Інституту прикладного системного аналізу НТУУ "КПІ" (2002, 2007), на науковому семінарі з теорії випадкових процесів кафедри математичного аналізу та теорії ймовірності НТУУ "КПІ" (2005), на науковому семінарі кафедри диференціальних рівнянь Дніпропетровського національного університету (2006), на спільному науковому семінарі відділів обчислювальної математики і динаміки та стійкості багатовимірних систем Інституту математики НАН України (2007), на науковому семінарі з функціонального аналізу Інституту математики НАН України (2007), на науковому семінарі відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України (2007), на спільному науковому семінарі відділів нелінійного аналізу і рівнянь в частинних похідних Інституту прикладної математики і механіки НАН України (2007).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 22 наукових працях та 8 тезах міжнародних конференцій.

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, шести розділів, висновків та списку використаних літературних джерел, що містить 215 найменувань. Повний обсяг дисертації складає 291 сторінку.

Основний зміст

У вступі обгрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та окреслено методи дослідження. В першому розділі проведено огляд літератури за тематикою дисертаційної роботи.

В другому розділі розроблена абстрактна теорія глобальних атракторів многозначних процесів та напівпроцесів в хаусдорфових топологічних просторах. Нехай – метричний простiр, – сукупнiсть всiх непорожнiх пiдмножин, – сукупнiсть всiх непорожнiх обмежених пiдмножин, – сукупнiсть всiх непорожнiх замкнених пiдмножин, – сукупнiсть всiх непорожнiх компактних пiдмножин, , – хаусдорфiв топологiчний простiр, – деяка множина, – нетривiальна пiдгрупа адитивної групи дiйсних чисел, , , , ,.

Означення 2.1. Вiдобpаження будемо називати многозначним пpоцесом (МП) на, якщо

1) ,;

2), ,

де для

МП стpогий, якщо ,.

Якщо в означеннi 2.1 замінити на, то вiдобpаження будемо називати многозначним напiвпpоцесом (МНП) на. Всі подальші твердження і результати з заміною на автоматично залишаються справедливими і для МНП, якщо не зауважене інше.

Для сiм'ї МП означимо МП

Означення 2.2. Множина називається piвномipно–пpитягуючою для сiм'ї МП, якщо для довiльних, i довiльного околу множини в iснує таке, що i

Цю властивiсть будемо позначати наступним чином:

(2.)

Для i означимо множини

Теоpема 2.1. Нехай сiм'я МП задовольняє умову:

для i існує множина така, що

(.3)

Тодi, (а отже,),

(2.4)

i якщо топологiчний пpостip є pегуляpним, то є мiнiмальною замкненою в множиною, що задовольняє (2.4).

Означення 2.3. Сiм'я МП називається piвномipно асимптотично–напiвкомпактною звеpху, якщо, така, що

Лема 2.1. Якщо сiм'я МП є piвномipно асимптотично–напiвкомпактною звеpху, то будь-яка направленість, , , є передкомпактною в. Якщо ж простір є регулярним і для довільних, існує таке, що і, то справедливе і обернене твердження.

Означення 2.4. Множина називається piвномipним глобальним– атpактоpом сiм'ї МП, якщо:

1) є piвномipно -пpитягуючою множиною;

2) для довiльної piвномipно -пpитягуючої множини .

Множина називається напівінваріантною (інваріантною) відносно сім'ї МП, якщо

Нехай – деякий топологiчний пpостip i – деякий топологiчний пpостip функцiй, заданих на зi значеннями в. Pозглянемо пpипущення:

Z1);

Z2) на означена сім'я многозначних відображень, що утворюють м-потік, тобто, i;

Z3) для довiльних, , i

Теорема 2.3. Нехай – метричний простір, – регулярний топологічний простір, сiм'я МП є рівномірно асимптотично –напівкомпактною зверху і задовольняє Z1)-Z3). Тоді існує рівномірний глобальний–атрактор, причому він є локально компактним і ліндельофовим в топології суми. Якщо ж – повний метричний простір, в якому будь-який компакт є ніде не щільною множиною, то.

Подальші теореми послідовно уточнюють властивості глобального атрактору, одержаного в теоремі 2.3.

Теорема 2.4. 1) Нехай – метричний простір, – регулярний топологічний простір, сім'я МП задовольняє умови теореми 2.3 і умову дисипативності:

(2.7)

Тоді глобальний атрактор.

2) Якщо, сім'я МП задовольняє умови теореми 2.3 і умову дисипативності:

, (2.8)

то – компакт в.

Теорема 2.5. Нехай – метричний простір, – регулярний топологічний простір, сім'я МП задовольняє умови теореми 2.3 і наступні:

1) ;

2) м-потік такий, що довільна направленість, , є передкомпактною в;

3) відображення має замкнений графік.

Тоді глобальний атрактор є напівінваріантним.

Теорема 2.6. Нехай виконані умови теореми 2.5 і, крім того, сім'я МП є строгою. Тоді глобальний атрактор – інваріантний.

Теорема 2.7. Нехай сім'я МНП є строгою, виконуються умови теореми 2.5, крім умови 3), і існує таке, що для довільного виконується умова:

(2.9)

Тоді.

Якщо ж існує таке, що властивість (2.9) виконується для довільного, то множина є напівінваріантною.

Теорема 2.8. Нехай – зв'язний метричний простір, сім'я МП задовольняє умови теореми 2.3, – зв'язний топологічний простір і виконуються такі умови:

1) м-потік є асимптотично напівкомпактним зверху;

2) відображення є напівнеперервним зверху і зв'язнозначним.

Тоді атрактор – зв'язна множина.

Теорема 2.9. Нехай – метричний простір, – деякий топологічний простір, сім'я МП задовольняє умови теорем 2.4, 2.5 з, і в околі неізольованої точки

1) ;

2) .

Тоді .

Означення 2.6. Нехай i – компактний, інваріантний глобальний атрактор сім'ї МП. Будемо казати, що є стійким, якщо .

Теорема 2.10. Нехай i – компактний, інваріантний глобальний атрактор сім'ї МП, що задовольняє умови Z1)-Z3), і має місце умова:

Тоді глобальний атрактор є стійким.

В третьому розділі розглядаються нелінійні дисипативні еволюційні задачі з трансляційно-компактними по часовій змінній правими частинами та каскадні системи. В підрозділі 3.1 розглядається рівняння реакції-дифузії

(3.1)

де константа, – початковий момент часу, – обмежена область і виконуються такі умови:

(3.2)

За умов (3.2), що забезпечують існування розв'язку задачі Коші для (3.1) з початковими даними в функціональному класі ,

отримано результати щодо компактності та зв'язності множини розв'язків цієї задачі в фазовому просторі. Для побудови сім'ї МП розглянемо простір з топологією рівномірної збіжності на компактах і для фіксованого покладемо

Означення 3.2. Функція називається трансляційно-компактною (тр.-к.) в, якщо - компакт в.

Розглянемо простір – це простір з топологією локальної слабкої збіжності. Для функції розглядаємо множину

.

Означення 3.3. Функція називається трансляційно-компактною (тр.-к.) в, якщо - компакт в.

Будемо вважати виконаними умови:

(3.25)

Тоді множина є компактом і , де. Крім того, функції, задовольняють умови (3.2) з тими самими константами.

Тепер для довільного розглядаємо задачу

яка внаслідок виконання умов (3.2) для довільних, має принаймні один розв'язок в класі такий, що. Отже, можемо коректно означити сім'ю відображень,

. (3.26)

Теорема 3.3. Нехай для задачі (3.1) виконуються умови (3.2), (3.25). Тоді сім'я відображень, означена формулою (3.26), утворює сім'ю МП, для якої в фазовому просторі існує компактний, інваріантний, зв'язний стійкий глобальний атрактор.

Нехай – метричний простір, – неізольована точка і розглядається сім'я задач (3.1) з функціями, , що задовольняють:

1) умови (3.2) з константами, що не залежать від і умову ;

2) функції, задовольняють умови (3.25);

3)

Якщо виконуються умови, то компакт і сім'я відображень, побудованих за формулою (3.26), для кожного задовольняє умови теореми 3.3 і отже, є сім'єю МП, для якої існує компактний, інваріантний, зв'язний атрактор.

Теорема 3.4. Нехай функції, задовольняють умови. Тоді .

В підрозділі 3.2 розглядається хвильове рівняння з дисипацією

(3.33)

де константа, – початковий момент часу, – обмежена область, і виконуються умови:

(3.34)

де , ,.

Тут і надалі – це перше власне значення в.

За умов (3.34) одержано результати щодо розв'язності і регулярності розв'язків задачі Коші для (3.33) з початковими даними в функціональному класі . Для побудови сім'ї МП розглянемо простір і будемо вважати, що функція задовольняє умову:

(3.57)

Щодо функції будемо вважати, що

(3.58)

За умов (3.57), (3.58) множина є компактом і , де. Крім того, функції, , задовольняють умови (3.34) з тими самими константами. Для довільного розглянемо задачу

яка внаслідок виконання умов (3.34) для довільних, має принаймні один розв'язок в класі такий, що. Отже, можемо коректно означити сім'ю відображень ,

(3.59)

Теорема 3.8. Нехай для задачі (3.33) виконуються умови (3.34), (3.57), (3.58). Тоді сім'я відображень, означена формулою (3.59), утворює сім'ю МП, для якої в фазовому просторі існує компактний, інваріантний, зв'язний, стійкий глобаЬльний атрактор.

В підрозділі 3.3 розглядається система фазово-польових рівнянь

(3.65)

де – додатні константи, – початковий момент часу, – обмежена область, і виконані умови:

(3.66)

За умов (3.66) одержано результати щодо розв'язності і регулярності розв'язків задачі Коші для (3.65) з початковими даними в класі . Для побудови сім’ї МП розглянемо простір . Будемо вважати, що функція задовольняє умову:

(3.90)

Щодо функцій будемо вважати, що

(3.91)

Якщо мають місце умови (3.90), (3.91), то множина є компактом і , де. Крім того, функції, , задовольняють умови (3.66) з тими самими константами. Тепер для довільного розглянемо задачу яка внаслідок виконання умов (3.66) для довільних, має принаймні один розв'язок в класі такий, що. Отже, можемо коректно означити сім'ю відображень,

(3.92)

Теорема 3.11. Нехай для задачі (3.65) виконуються умови (3.66), (3.90), (3.91). Тоді сім'я відображень, означена формулою (3.92), породжує сім'ю МП, для якої в фазовому просторі існує компактний, інваріантний, зв'язний, стійкий глобальний атрактор.

За певних додаткових умов одержано також аналог теореми 3.4 щодо залежності отриманого атрактору від параметру.

В підрозділі 3.4 розглянуто тривимірну систему рівнянь Нав'є-Стокса

(3.94)

де – обмежена область з гладкою границею, – константа, – початковий момент часу, – задана функція,.

Для слабкої постановки задачі розглянемо простір і гільбертові простори Для покладемо . Тоді (слабким) розв’язком (3.94) на називається функція така, що

(3.95)

Відомо, що при для довільних задача (3.94) має принаймні один розв'язок на такий, що, і для нього для всіх, для м.в. і для виконується нерівність

(3.96)

Якщо ж

(3.97)

то

(3.98)

де,.

Нехай виконується умова (3.97). Тоді функція є трансляційно-компактною в, тобто множина

є компактною в, i група зсувів, є неперервною на. Позначимо (відповідно,) задачу (3.94) (відповідно рівняння (3.95), умову (3.96)) з,.

Лема 3.21. Для довільних, задача має принаймні один розв'язок, означений на, для якого і який для всіх, для м.в. і для задовольняє, (3.98).

Для побудови многозначного процесу, що відповідає задачі (3.94), введемо додатковий параметр, а саме, для довільних, , , , , введемо множину

(3.99)

Многозначне відображення коректно означене формулою (3.99), тому що згідно з лемою 3.21 існують розв'язки, для яких має місце оцінка для всіх, для м.в. і для. Отже, для для всіх .

Теорема 3.13. Для довільних сім'я відображень, означена формулою (3.99), є сім'єю МП, що має глобальний компактний атрактор в слабкій топології фазового простору, який не залежить від , тобто існує слабо компактна множина така, що:

1) ;

2) , (тобто множини з часом поглинаються будь-яким слабким околом множини);

3) для довільної множини, що задовольняє 2),.

В підрозділі 3.5 розглядається тривимірна система Бенара

(3.105)

(3.106)

де – обмежена область з гладкою границею, , – константи, – початковий момент часу, – задані функції.

Для (3.105), (3.106) доведено результати щодо існування і регулярності розв'язків задачі Коші з початковими даними з фазового простору, за допомогою яких доводиться аналог теореми 3.13, а також доведена така теорема.

Теорема 3.15. Нехай,. Тоді для довільних існує слабкий розв'язок задачі (3.105), (3.106) з класу.

В підрозділі 3.6 розглянуто каскадні системи, тобто еволюційні задачі типу

(3.169)

права частина яких в кожен момент часу залежить від розв'язку іншої (автономної) еволюційної задачі, тобто

(3.170)

де – многозначна напiвгрупа (м-напiвпотiк), що дiє на деякому повному метричному просторi.

Будемо вважати, що еволюцiйна задача (3.169) для довiльних, , , є глобально розв'язною в деякому класi, і .

Тоді динаміку каскадної системи (3.169), (3.170) описує многозначна неавтономна динамічна система, що будується за таким правилом: для довiльних

(3.171)

Лема 3.29. При сформульованих вище загальних умовах щодо системи (3.169), (3.170) формула (3.171) визначає сім'ю МНП, причому виконуються умови Z1)-Z3).

Розглядається каскадна система

(3.172)

(3.173)

Тут, – обмежена область і виконуються умови:

(3.174)

де – норма і скалярний добуток в.

Теорема 3.18. Каскадна система (3.172), (3.173) за умов (3.174) породжує сiм'ю МНП, для якої в фазовому просторi iснує компактний, напівінваріантний, зв'язний глобальний атрактор.

Розглядається каскадна система

(3.180)

(3.181)

Тут, – обмежена область з гладкою границею, (3.181) – тривимiрна система рiвнянь Нав'є-Стокса в операторній постановці. Умови на такі:

(3.182)

Теорема 3.19. Якщо виконуються умови (3.182), то каскадна система (3.180), (3.181) породжує сiм'ю МНП, для якої в фазовому просторi iснує компактний, напівінваріантний, зв'язний глобальний атрактор.

В розділі 4 розглядаються еволюційні рівняння з розділу 3, розв'язки яких зазнають імпульсних збурень в фіксовані моменти часу. В підрозділі 4.1 розглядаються автономні рівняння, що зазнають імпульсних збурень затухаючого характеру. Розглядаємо автономний варіант задачі (3.1)

(4.1)

де константа, – початковий момент часу,– обмежена область, функції, не залежать від змінної і задовольняють умови (3.2). Нехай в фіксовані моменти часу кожен розв'язок (4.1) в фазовому просторі зазнає імпульсних збурень в формі:

(4.2)

де, , , і виконана умова затухання:

(4.3)

Для довільного позначимо через задачу (4.1), розв'язки якої зазнають імпульсного збурення вигляду:

Через позначимо задачу (4.1), (4.2), а через позначатимемо задачу (4.1) без імпульсних збурень. На множині означимо функцію , , і означимо відображення Тоді є компактним метричним простором і є неперервною півгрупою на.

Для довільних покладемо

. (4.4)

Формула (4.4) для довільних коректно визначає многозначне відображення . Щодо задачі (4.1), (4.2) будемо вважати виконаною умову дисипативності:

(4.5)

Слід зауважити, що для всіх імпульсних задач, розглянутих в данному розділі, наведено достатні умови для виконання умови дисипативності в термінах констант початкової задачі.

Теорема 4.1. Нехай для задачі (4.1), (4.2) виконуються умови (3.2), (4.3), (4.5). Тоді для сім'ї МНП, означених формулою (4.4), в фазовому просторі існує компактний, напівінваріантний глобальний атрактор.

Розглядаємо автономний варіант задачі (3.65)

(4.11)

де – додатні константи, – початковий момент часу, – обмежена область, і функції, не залежать від змінної і задовольняють умови (3.66). Нехай в фіксовані моменти часу кожен розв'язок (4.11) в фазовому просторі зазнає імпульсних збурень в формі:

(4.12)

де, , і виконана умова затухання:

(4.13)

Аналогічно попередньому на основі задач зі зсувом конструюється відображення , де для довільних

(4.14)

Щодо задачі (4.11), (4.12) будемо вважати виконаною умову дисипативності:

(4.15)

Теорема 4.2. Нехай для задачі (4.11), (4.12) виконуються умови (3.66), (4.13), (4.15). Тоді для сім'ї МНП, означених формулою (4.14), в фазовому просторі існує компактний, напівінваріантний глобальний атрактор.

Розглядаємо автономний варіант задачі (3.33)

(4.17)

де константа, – початковий момент часу, – обмежена область, , функції, не залежать від змінної і задовольняють умови (3.34). Нехай в фіксовані моменти часу кожен розв'язок (4.17) в фазовому просторі зазнає імпульсних збурень в формі:

(4.18)

де, , і виконується умова затухання:

(4.19)

Основним об'єктом дослідження є відображення , яке побудоване на множині задач зі зсувом за правилом:

. (4.20)

Щодо задачі (4.17), (4.18), то для неї будемо вважати виконаною умову дисипативності:

(4.21)

Теорема 4.3. Нехай для задачі (4.17), (4.18) виконуються умови (3.34), (4.19), (4.21). Тоді для сім'ї МНП, означених формулою (4.20), в фазовому просторі існує компактний, напівінваріантний глобальний атрактор.

В підрозділі 4.2 розглядається періодичне рівняння реакції-дифузії з імпульсними збуреннями періодичного характеру. Принципова відмінність від попереднього підрозділу полягає в тому, що граничною точкою задач зі зсувом теж є імпульсна задача. Розглядаємо періодичний варіант задачі (3.1)

(4.28)

де, – початковий момент часу, – обмежена область, виконуються умови (3.2), і крім того, функції i є–періодичними по змінній .

Для задачі (4.28) ставиться наступна імпульсна задача: в фіксовані моменти часу кожен розв'язок (4.28) в фазовому просторі зазнає збурень:

(4.29)

де, , причому існує таке, що

(4.30)

Переходимо до побудови сім'ї МП, що відповідає задачі (4.28), (4.29). З періодичності функцій, одразу випливає, що

тобто множина є компактом, причому , де. Крім того, функції, задовольняють умови (3.2) з тими самими константами. Для довільного позначимо через імпульсну задачу:

При маємо імпульсну задачу (4.29). На множині розглянемо функцію, . Тоді – компактний метричний простір, на якому діє неперервна група зсувів, , причому для всіх і. Тепер розглядаємо простір, і для довільного, , розглядаємо задачу

Розглянемо многозначне відображення

(4.31)

Будемо вважати виконаною умову дисипативності:

(4.32)

Теорема 4.4. Нехай для задачі (4.28), (4.29) виконуються умови (3.2), (4.30), (4.32) і для всіх відображення задовольняє умови:

1) ;

2) будь-яка послідовність є предкомпактною в .

Тоді для сім'ї МП, означених формулою (4.31), в фазовому просторі існує компактний глобальний атрактор.

В підрозділі 4.3 розглядається рівняння реакції-дифузії з трансляційно-компактною правою частиною. З метою охопити якомога ширший клас імпульсних збурень, до якого можна застосовувати теорію глобальних атракторів, вводиться поняття трансляційно-компактного розподілу. Розглянемо , що є сепарабельним банаховим простором з нормою і деякий сепарабельний банахів простір. Для фіксованого розглянемо множину, де – це простір лінійних неперервних операторів з в. Для довільного розглянемо відображення, що діє за правилом: . Тоді і – неперервна група на.

Означення 4.1. Елемент будемо називати трансляційно-компактним розподілом, якщо функція є трансляційно-компактною в. При цьому множину будемо називати мінімальним потоком, що породжується.

Лема 4.7. Якщо – трансляційно-компактний розподіл, то є компактом в і для всіх. Якщо для відображення є рівномірно неперервним на і є компактом в, то є трансляційно-компактним розподілом.

Нехай задані послідовності, , що задовольняють умови:

(4.37)

Тоді формула, визначає елемент і. Покладемо.

Теорема 4.5. Нехай виконуються умови (4.37). Тоді є трансляційно-компактним розподілом і для довільного, де послідовності, задовольняють (4.37). Якщо, крім того, в, то в, в.

Тепер розглянемо задачу (3.1) в трансляційно-компактному випадку

(4.39)

де, – початковий момент часу, – обмежена область, виконані умови (3.2), і крім того, функції i є трансляційно-компактними, тобто задовольняють умови (3.25). Для задачі (4.39) ставиться імпульсна задача: в фіксовані моменти часу кожен розв'язок (4.39) в фазовому просторі зазнає імпульсних збурень в формі:

(4.40)

де а послідовності, , такі, що виконуються умови:

(4.41)

Побудуємо неавтономну многозначну динамічну систему, що відповідає задачі (4.39), (4.40). Множина є компактом, на ній діє неперервна група зсувів, причому і для довільного функції задовольняють умови (3.2) з тими самими константами. Згідно з теоремою 4.5 відображення і є трансляційно-компактними розподілами. Крім того, для лінійного неперервного відображення, множина має наступні властивості: - компакт в, , і кожний елемент має вигляд, де, i, , задовольняють (4.37). Тепер для довільного, де, , розглянемо наступну імпульсну задачу:

Тоді можемо побудувати многозначне відображення

(4.42)

Теорема 4.6. Нехай для задачі (4.39), (4.40) виконуються умови (3.2), (3.25), (4.41). Тоді формула (4.42) визначає сім'ю МП, для якої в фазовому просторі існує компактний глобальний атрактор.

В розділі 5 розглядається неавтономне еволюційне включення

(5.12)

де – обмежена область, – початковий момент часу, , і виконуються умови:

- напівнеперервне зверху,

,

, де функція

.

За цих умов доведено результати щодо існування і регулярності розв'язків задачі Коші для (5.12) при довільних і з фазового простору.

Для побудови сім'ї МП розглянемо повний, сепарабельний метричний простір функцій без розривів 2-го роду на прямій, тобто , з топологією збіжності Скорохода. Позначимо і розглянемо простір . Для довільних, покладемо. Тоді – повний метричний простір. Розглядаємо задачу (5.12), де, , виконані умови , і, крім того,

(5.17)

Лема 5.7. За виконання умов відображення є тр.-к. в, якщо такі, що - точки неперервності , і існують неперервні, монотонні функції, такі, що

Лема 5.8. Нехай функція задовольняє умови i (5.17). Тоді функції задовольняють умови з тими самими константами.

Для довільного розглянемо задачу

На розв'язках розглянемо сiм'ю вiдображень

(5.19)

Теорема 5.1. Нехай в задачі (5.12) функції, задовольняють умови , (5.17) і умову дисипативності

(5.20) Тоді сім'я многозначних відображень, означених формулою (5.19), утворює сім'ю МП, що має в фазовому просторі компактний, інваріантний, зв'язний, стійкий глобальний атрактор.

Нехай– метричний простір,– неізольована точка. Розглядається сім'я задач (5.12) з функціями, , що задовольняють:

1) умови , (5.17), (5.20) з константами, що не залежать від;

2) ;

3)

такі, що – точки неперервності , ,

Якщо виконуються умови, то множина – компакт в і сім'я відображень, побудованих за формулою (5.19), для кожного задовольняє умови теореми 5.1, отже, є сім'єю МП, для якої існує компактний, інваріантний, зв'язний атрактор.

Теорема 5.2. Нехай функції, задовольняють умови. Тоді .

В розділі 6 розглядаються многозначні випадкові динамічні системи. В підрозділі 6.1 розвивається абстрактна теорія випадкових атракторів для таких систем. Нехай – сепарабельний банахів простір з борелівською -алгеброю, – ймовірнісний простір, – метрична динамічна система,.

Означення 6.1. Многозначне відображення називається многозначною випадковою динамічною системою (МВДС), якщо

1) для довільних відображення є вимірним;

2) , , , ,.

Означення 6.2. Вимірна множина називається випадковим атрактором для МВДС, якщо для -м.в.:

1) (напівінваріантність);

2) , (притягнення);

3) є компактом в.

Важливу роль при побудові абстрактної теорії випадкових атракторів будуть відігравати такі обмеження на МВДС :

(G1) відображення є вимірним;

(G2) таке, що для якого

Для довільної розглянемо множину .

Теорема 6.1. Нехай для всіх, відображення є напівнеперервним зверху і компактнозначним, МВДС задовольняє умови (G1), (G2) і для довільних, , множина є передкомпактною в . Тоді множина

(6.4)

є випадковим атрактором для МВДС , причому він єдиний, є мінімальною множиною серед замкнених, притягуючих множин і максимальною множиною серед компактних, вимірних, напівінваріантних множин.

В підрозділі 6.2 розглядається система звичайних диференціальних рiвнянь, збурена стаціонарним випадковим процесом

(6.15)

де, , , ,– вимірна,. Тоді, принаймні локально по , можемо означити множину

(6.16)

Будемо казати, що гладка функцiя належить класу, якщо.

Теорема 6.3. Нехай iснує невiд'ємна функцiя така, що

1) при,

2) iснують константи такi, що ,

i виконується одна з таких умов:

3) ,

4), , задовольняє посилений закон великих чисел,

5) виконуються умови пункту 4) з, і крім того,

.

Тодi формула (6.16) визначає вiдображення, і якщо виконується умова (G1), то є МВДС, для якої iснує випадковий атрактор.

В підрозділі 6.3 розглядається рівняння реакції-дифузії, збурене випадковим процесом

(6.24)

де констата, – обмежена область, і мають місце умови:

(6.25)

Будемо вважати, що є випадковим процесом, вибіркові функції якого належать простору, означеному в розділі 5. Згідно канонічного представлення таких процесів будемо вважати, що – метричний простір Скорохода з борелівською -алгеброю, зсувом і ймовірнісною -інваріантною мірою. При цьому є метричною динамічною системою.

Для фіксованого за умов (6.25) одержані результати щодо існування і регулярності розв'язків задачі Коші для (6.24) при довільному, що дозволяє розглядати відображення

(6.35)

Теорема 6.4. Нехай виконані умови (6.25) і процес задовольняє для деяких, такі умови:

Тоді сім'я відображень (6.35) утворює МВДС, для якої в фазовому просторі існує випадковий атрактор.

Висновки

Дисертаційна робота присвячена розробці теорії глобальних атракторів многозначних неавтономних та многозначних випадкових динамічних систем та застосуванню цих методів до дослідження якісної поведінки розв'язків неавтономних, випадково збурених та імпульсно збурених еволюційних рівнянь та включень без єдиності розв'язку задачі Коші. Основні результати полягають в наступному:

Розроблено загальну теорію глобальних атракторів многозначних неавтономних динамічних систем в топологічних просторах, отримано теореми про існування, компактність, інваріантність, зв'язність, стійкість та залежність від параметру глобальних атракторів таких систем.

Розроблено загальну теорію випадкових атракторів многозначних випадкових динамічних систем, що є дисипативними за ймовірністю відносно "pullback" притягнення та не є ліпшицевими по фазовій змінній. Отримано теореми про існування, єдиність та залежність від параметра випадкового аттрактору.

Для рівняння типу реакції-дифузії, системи фазово-польових рівнянь, гіперболічного рівняння з дисипацією за умов на нелінійний доданок, що не забезпечують єдиності розв'язку задачі Коші, досліджено такі топологічні властивості множини її розв'язків, як компактність і зв'язність в фазовому просторі.

Для кожного з зазначених вище рівнянь за умови трансляційної компактності доведено, що всі його розв'язки породжують многозначну неавтономну динамічну систему, для якої в фазовому просторі задачі існує компактний, інваріантний, зв'язний, стійкий глобальний атрактор та досліджена його залежність від параметру.

Для тривимірної системи рівнянь Нав'є-Стокса з трансляційно-компактною по часовій змінній правою частиною на слабких розв'язках побудовано параметризовану сім'ю многозначних процесів, для якої доведено існування в фазовому просторі зі слабкою топологією глобального атрактору, що не залежить від параметру.

Для тривимірної системи Бенара отримано теореми про розв'язність і неперервність, аналогічні тим, що є відомими для тривимірної системи рівнянь Нав'є-Стокса. За додаткової умови трансляційної компактності правої частини на слабких розв'язках побудовано параметризовану сім'ю многозначних процесів, для якої доведено існування в фазовому просторі зі слабкою топологією глобального атрактору, що не залежить від параметру.

Для каскадних систем еволюційних рівнянь ( рiвняння реакцiї -дифузiї, збурене системою звичайних диференцiальних рiвнянь, та система рiвнянь в'язкої нестислої рiдини з пасивними компонентами) доведено теореми щодо їх глобальної розв'язності, на їх розв'язках побудовано многозначні неавтономні динамічні системи, для яких доведено теореми про існування в фазовому просторі компактного, напівінваріантного, зв'язного глобального атрактору.

Розроблено загальний підхід щодо дослідження з точки зору глобальних атракторів неавтономних динамічних систем для еволюційних об'єктів, що зазнають імпульсних збурень в фіксовані моменти часу. Для рівняння типу реакції-дифузії та системи фазово-польових рівнянь побудовано неавтономну динамічну систему та доведено існування компактного глобального атрактору у випадку затухаючих збурень, періодичних збурень та збурень, що мають трансляційно-компактний характер. При цьому було введене поняття трансляційно-компактного