КАБАЛЯНЦ Петро Степанович

УДК 19. 868 + 519.173

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ МЕРЕЖЕВИХ СИСТЕМ ІЗ СИНГУЛЯРНИМИ РІВНЯННЯМИ СТАНІВ

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Харків – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті ім. В.Н. Каразіна, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник -– | доктор фізико-математичних наук, професор Руткас Анатолій Георгійович, Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна, завідувач кафедри моделювання та математичного забезпечення ЕОМ.

Офіційні опоненти: |

доктор технічних наук, професор Раскін Лев Григорович, Національний технічний університет „ХПІ”, професор кафедри економічної кібернетики та маркетингового менеджменту;

доктор технічних наук, професор Тевяшев Андрій Дмитрович, Харківський національний університет радіоелектроніки, завідувач кафедри прикладної математики.

Провідна установа – |

Національна металургійна академія України (м. Дніпропетровськ) Міністерства освіти і науки України.

Захист відбудеться "_20_" ___лютого___ 2007 р. о _1430_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .052.02 у Харківському національному університеті радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, просп. Леніна, .

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Харківського національного університету радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, просп. Леніна, .

Автореферат розісланий "_17_" ____січня____ 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Безкоровайний В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Робота присвячена розробці методів математичного моделювання мережевих систем, зокрема імпедансних, адмітансних, передаючих і гібридних інженерних мереж, передаючих нелінійних електричних багатополюсників, а також динамічних макроекономічних систем. Ці системи використовуються в таких галузях техніки та економіки: у гідравлічних, газових, шахтно-вентіляційних мережах; радіотехнічних фільтрах; макроекономіці. Вказані системи поєднує спільна математична особливість: при їх математичному моделюванні виникають сингулярні системи рівнянь, які описують стани об'єкта, що моделюється. Сингулярні рівняння відрізняються від звичайних рівнянь наявністю виродженої матриці при похідних за часом.

У класичних роботах Д. Фалкерсона, Л. Форда, Г. Френка, І. Фріша з мережевого аналізу розглядались переважно лінійні системи. Нелінійні системи вивчались у роботах Б.Л. Рождественського, Н.Н. Яненка, А.Г. Євдокимова, А.Д. Тевяшева. Але умови розв'язності задач для багатополюсних систем з апріорним розташуванням зовнішніх джерел, зокрема умови однозначної розв'язності, не розглядалися.

Задача передачі сигналів в електричних колах залежно від їх топології і параметрів та задача побудови передаточного відображення як функції параметрів та топологічних матриць вивчалась у роботах А.Г. Руткаса; аналогічна побудова імпедансного, адмітансного, а також гібридного відображення – у роботах В.Л. Далакяна. Однак, у цих роботах розглядався тільки випадок лінійної залежності між змінними кола і не розглядався випадок нелінійної залежності.

У роботах В.В. Леонтьєва та Р.М. Солоу надано опис лінійних динамічних систем, що містять сингулярні рівняння станів. Але ці моделі не враховують нелінійні залежності відповідних векторів зовнішнього попиту від векторів станів.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася на кафедрі моделювання та математичного забезпечення ЕОМ Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна відповідно до плану науково-дослідної роботи за темою № 5-11-00 "Спектральні властивості і розв’язність вироджених систем" (№ ДР 0100U003267), у якій автор брав участь як виконавець.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка та аналіз математичних моделей інженерних мереж, електричних багатополюсників та радіотехнічних фільтрів для підвищення ефективності проектування і надійності експлуатації інженерних мереж, електричних багатополюсників; модифікація моделей багатогалузевої економіки із сингулярними рівняннями для врахування та аналізу нелінійного впливу зовнішнього попиту. Для досягнення мети вирішуються такі задачі:

1.

2.

3.

4.

Об'єктом дослідження є мережеві системи (інженерні мережі, електричні багатополюсникі та радіотехнічні фільтри), моделі макроекономіки.

Предметом дослідження є надійність експлуатації інженерних мереж, властивості електричних багатополюсників та радіотехнічних фільтрів, динаміка та взаємодія показників багатогалузевої економіки.

Методи дослідження. При вирішенні поставлених задач у роботі застосовуються теоретико-графові методи при побудові та аналізі математичних моделей інженерних мереж, електричних багатополюсників та радіотехнічних фільтрів; методи теорії операторів та методи нелінійного аналізу для отримання умов однозначної розв'язності побудованих моделей; ітераційні наближені методи та різницеві схеми для розробки модифікації чисельних методів розв'язку сингулярних диференціальних рівнянь стосовно до моделей, що розглядаються.

Наукова новизна отриманих результатів полягає у такому:

1.

2.

3.

Практичне значення отриманих результатів. Робота містить застосування запропонованих методів математичного моделювання до еволюційного аналізу інженерних мереж (гідродинамічних, газових, шахтно-вентиляційних та ін.), електричних кіл та радіотехнічних фільтрів, економічних систем (моделей Леонтьєва та Солоу). Результати роботи можуть бути також використані при математичному моделюванні та аналізі інформаційних систем в САПР, комп'ютерних мереж, електромеханічних кіл, транспортних мереж, при побудові різницевих апроксимацій рівнянь у частинних похідних та скінченновимірних апроксимацій еволюційних моделей у нескінченновимірних просторах.

Результати дисертації впроваджені в СПКБ АСУ водопостачанням ТВО "Харківкомунпромвод " (м. Харків) (акт впровадження від 02.11.2004 р.), у наукові розробки Інституту систем машин і систем НАН України (акт впровадження від 04.04.2006 р.) та у навчальний процес на механіко-математичному факультеті Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна (акт впровадження від 16.03.2006 р.).

Апробація результатів дисертації. Щодо результатів дисертаційної роботи зроблено доповіді і вони обговорювалися: на 9-ій та 10-ій міжнародних конференціях імені академіка М. Кравчука (Київ, 2002 р. та 2004 р.), на 9-ій міжнародній конференції “Математика, компьютер, образование” (Дубна, 2002 р.), на міжнародній конференції "Математическое моделирование" (Херсон, 2003 р.), на міжнародній конференції “Нелінійна динаміка" (Харків, 2004 р.).

Публікації. Результати дисертації опубліковано у 10 роботах, з яких 5 статей – у виданнях, що входять до переліків, затверджених ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів і висновків, має загальний обсяг 196 стор: 150 стор. основного тексту, містить 7 рисунків на 4 стор., список використаних джерел зі 105 найменуваннями на 8 стор. і 5 додатків на 38 стор.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету та задачі дослідження, наведено відомості щодо зв’язку дослідження з планами наукової роботи організації, де виконана робота, щодо наукового і практичного значення та апробації отриманих результатів дисертації.

У першому розділі надано огляд предметної галузі та основних математичних моделей об'єктів, у яких виникають системи диференціально-алгебраїчних рівнянь (DAEs) або сингулярних диференціальних рівнянь.

У другому розділі побудовано нелінійні імпедансну, адмітансну, передаючу та гібридну моделі інженерних мереж, нелінійну передаючу модель електричного багатополюсника та нелінійні моделі макроекономіки.

Для побудови та аналізу імпедансної та адмітансної математичних моделей розглянемо пасивну інженерну мережу, що зображена на рис. 1.

Рис. 1. Схема багатополюсної інженерної мережі

Мережа має місць підключення зовнішніх гілок із 2 зовнішніми змінними і проміжних (внутрішніх) гілок із 2 внутрішніми змінними. Зовнішні змінні – різниці тисків та витрати . Внутрішніми елементами пасивної мережі є гілок трубопроводів або вентиляційних каналів. Кожній з цих внутрішніх гілок відповідають дві невідомі величини: – різниця тиску на цій гілці та – величина потоку на цій гілці. Введемо вектори стану: зовнішніх тисків , зовнішніх потоків , внутрішніх тисків , внутрішніх потоків . Усі тиски та потоки пов'язані лінійними законами зберігання Кірхгофа. Тиски та потоки на внутрішніх гілках трубопроводу пов'язані лінійними або нелінійними залежностями

, ~ , (1)

математична форма та параметри яких уточнюються подальше.

Під імпедансною задачею розумітимемо задачу побудови відображення . Імпедансну задачу називатимемо коректною, якщо будь-яке значення потоку дозволяє однозначно знайти різницю тисків та тиски і потоки на внутрішніх гілках – вектори та . Аналогічно під адмітансною задачею розумітимемо задачу побудови відображення . Адмітансну задачу називатимемо коректною, якщо будь-яке значення різниці тисків дозволяє однозначно знайти потік та тиски і потоки на внутрішніх гілках – вектори та .

Встановлено, що топологічні умови В.Л. Далакяна коректності лінійних імпедансної та адмітансної задач для електричного кола, є необхідними також для коректності нелінійних імпедансної та адмітансної задач в інженерній мережі (нумерація тверджень та теорем збігається з нумерацією у дисертаційній роботі).

Твердження 2.1. Нехай імпедансна задача є коректною, тоді модельний граф містить каркас з внутрішніх дуг.

Твердження 2.2. Нехай адмітансна задача є коректною, тоді у модельному графі існує каркас, що містить всю множину зовнішніх дуг.

Нехай – фіксований каркас графа з множиною дуг такою, що . Позначимо через множину внутрішніх дуг, що не входять до каркасу. Утворюється таке розбиття вектора всіх потоків , вектора всіх тисків та системи нелінійних рівнянь (1):

, , . (2)

Тоді топологічні матриці – фундаментальні матриці розрізів та фундаментальна матриця циклів графа за каркасом – мають таку блочну структуру:

,

.

Наступне твердження дає вигляд системи нелінійних алгебраїчних рівнянь, що описує імпедансну задачу для пасивної інженерної мережі. Для коефіцієнтів рівнянь отримано явний вираз через блоки топологічних матриць і нелінійні функції – параметри внутрішніх гілок мережі.

Твердження 2.3. Нехай модельний граф G, що відповідає пасивній інженерній мережі (див. рис. 1), містить каркас із внутрішніх дуг, а імпедансна залежність між змінними ,  внутрішніх гілок мережі описується нелінійними співвідношеннями (2). Тоді модель мережі описується рівнянням

(3)

з матрицею та функцією вигляду

, , . (4)

Припустимо, що залежність (1) вектора від вектора є лінійною та описується за допомогою діагональної матриці вимірності

; . (5)

Наступне твердження уточнює умови існування імпедансного відображення у випадку лінійної залежності (5), (2) та вказує матричний вигляд імпедансного відображення.

Твердження 2.5. Нехай модельний граф G, що відповідає пасивній інженерній мережі (див. рис. 1), містить каркас із внутрішніх дуг, імпедансна залежність між змінними ,  внутрішніх гілок мережі описується лінійними співвідношеннями (5), та виконується така умова на топологію і параметри

. (6)

Тоді в мережі існує імпедансне відображення і воно обчислюється за явною формулою

, (7)

що визначає вектор тисків по довільному заданому вектору потоку .

Аналогічні твердження доведено для адмітансної нелінійної та лінійної мереж. Модель адмітансної мережі також описується рівнянням виду (3), (4) але з іншою структурою вектор-функції . Умова коректності для лінійної задачі має вигляд (6), але з іншими топологічними матрицями . Аналогічно (7) побудовано явну формулу обчислення адмітансної матриці Учерез топологічні матриці та параметри.

У підрозділі 2.1 доведено, що у випадку, коли змінні внутрішніх елементів – діагональні елементи матриці (5) – є додатними, то алгебраїчні умови вигляду (6) автоматично виконуються для імпедансної задачі (відповідно – для адмітансної задачі).

У підрозділі 2.2 побудовано нелінійну модель передаючої інженерної мережі, загальна схема якої зображена на рис. 2. Передаюча мережа має місць підключення вхідних гілок із 2 вхідними змінними , , також місць підключення вихідних гілок із 2 вихідними змінними , і, нарешті, проміжних (внутрішніх) гілок із 2 внутрішніми змінними , .

На виході мережі "споживачі" одержують потоки при різницях тиску . Введемо вектори

, , ,

.

Тиски та потоки на внутрішніх гілках трубопроводу пов'язані лінійними або нелінійними залежностями (1), (2).

Рис. 2. Схема передаючої інженерної мережі

Під задачею передачі розумітимемо задачу побудови відображення . Задачу передачі називатимемо коректною, якщо будь-яке значення вхідних даних – вектору – дозволяє однозначно знайти компоненти векторів , тобто тиски та потоки на внутрішніх гілках та на виході мережі.

Топологічна умова коректності лінійної задачі передачі для електричного кола, яка належить А.Г. Руткасу – існування в модельному графі кола симетричної пари каркасів – є необхідною також для коректності нелінійної задачі передачі в інженерній мережі.

Нехай – множина всіх вхідних дуг, – множина всіх вихідних дуг, – підмножина внутрішніх дуг, така, що – множина дуг "вхідного" каркасу , – множина дуг "вихідного" каркасу . Пара каркасів , зветься симетричною парою каркасів графа .

Введемо множину внутрішніх дуг кокаркасів та одержимо таке розбиття множини всіх дуг та відповідне розбиття вектора всіх потоків в мережі

, .

Фундаментальна матриця розрізів графа за каркасом та фундаментальна матриця циклів графа за каркасом мають таку блочну структуру:

,

,

Наступне твердження дає вигляд нелінійної системи рівнянь, що описує задачу передачі для пасивної інженерної мережі.

Твердження 2.8. Нехай модельний граф G, що відповідає пасивній інженерній мережі (див. рис. 2), містить симетричну пару каркасів, а імпедансна залежність між змінними ,  внутрішніх гілок мережі описується нелінійними співвідношеннями (1). Тоді модель мережі описується рівнянням вигляду (3) з матрицею та функцією

, , .

Наступне твердження уточнює умови існування передаючого відображення у випадку лінійної залежності (5) та вказує його матричний вигляд, де блоки матриць мають явний вираз через блоки топологічних матриць і лінійні функції – параметри внутрішніх гілок мережі.

Твердження 2.9. Нехай модельний граф G, що відповідає пасивній інженерній мережі (див. рис. 2), має симетричну пару каркасів, імпедансна залежність між змінними , внутрішніх гілок мережі описується лінійними співвідношеннями (5) та виконується умова (6) на топологію і параметри мережі.

Тоді в мережі існує передаюче відображення вигляду

,

що визначає вихідний вектор за довільно заданим вхідним вектором .

У підрозділі 2.3 описано різні гібридні задачі для нелінійної інженерної мережі. А саме: гібридна задача пошуку частини зовнішніх змінних (потоків та тисків) за рештою заданих зовнішніх змінних, задача передачі для мережі з гібридними залежностями між внутрішніми змінними, гібридна задача для адмітансно-передаючої мережі. Рівняння мережі для цих задач також мають вигляд (3). Зазначимо, що у випадку задачі передачі для мережі з гібридними залежностями між внутрішніми змінними матриця у рівнянні (3) є одинична.

У підрозділі 2.4 описано модель передаючого нелінійного електричного багатополюсника та розроблено нелінійні модифікації моделей економічних систем з сингулярними рівняннями.

Передбачається, що напруга та струм на кожній внутрішній гілці електричного багатополюсного кола задовольняє одне з таких рівнянь

,

де – числові параметри лінійних частин ємності, індуктивності чи опору відповідно;

– відомі нелінійні функції.

Гібридним вектором внутрішніх станів зветься вектор з компонентами – по одній для кожної внутрішньої гілки багатополюсного кола.

Під час розробки математичної моделі передаючого електричного багатополюсного кола, доведено, що гібридний вектор внутрішніх станів задовольняє диференціальне рівняння

. (8)

Як і для системи алгебраїчних рівнянь (3), квадратна матриця у загальному випадку є виродженою. Для матриці і векторної функції отримано явні формули їх обчислення через параметри та топологічні матриці кола.

У додатку Б досліджується гібридна зовнішня задача для передаючого чотириполюсника з чотирма внутрішніми елементами, що зображений на рис. .

Для модельного графа , що зображений на рис. 4, виконується відповідна топологічна умова коректності гібридної задачі – множина дуг утворює каркас, що не містить дугу (п. 2.3).

Рис. 3. Схема електричного чотириполюсника

Рис. 4. Модельний граф електричного чотириполюсника

Гібридна задача описується рівнянням вигляду (8) з конкретними матрицею , відображенням та вектором стану

, , .

Матриця вироджена: .

Економічні моделі В.В. Леонтьєва та Р.М. Солоу теж описуються рівнянням виду (8). У роботі вказані умови, за яких матриця є необерненою для передаючого електричного кола та для моделей макроекономіки.

У третьому розділі одержано достатні умови розв'язності початкової задачі для матричного рівняння (8), в якому матриця не обов'язково є квадратною та має розміри .

Позначимо підпростір векторів у , що анулюють матрицю , через , а підпростір векторів у , що анулюють спряжену матрицю , відповідно через : . Простори , розкладаються в ортогональні суми підпросторів: , , де ; . Введемо ортопроектор в на підпростір паралельно підпростору та ортопроектор в на підпростір паралельно підпростору

, , ,

, .

Тут – одиничні матриці відповідних розмірностей. Введемо матрицю Якобі розмірності . Наступна теорема містить достатні умови розв'язності задачі Коші для сингулярної нелінійної системи диференціальних рівнянь (8) у випадку, коли кількість рівнянь не більше, ніж кількість змінних.

Далі через позначається куля у просторі :

(9)

Теорема 3.1. Нехай кількість диференціальних рівнянь у системі (8) не більш, ніж кількість змінних та виконано умови

1.

2.

3.

Тоді при всіх з деякого нетривіального інтервалу існує розв'язок векторного диференціального рівняння (8) з початковою умовою .

Аналогічна теорема доведена у випадку, коли кількість рівнянь у системі (8) не менша ніж кількість змінних (). У цьому випадку до умов 1 і 2 теореми 3.1 додається така умова: у просторі лінійна оболонка векторів має вимірність , а умова 3 має такий вигляд:

Далі ці умови розв'язності уточнюються з урахуванням спеціальних властивостей рівнянь (8), що відповідають електричному колу та макроекономічним моделям відповідно. Так для чотириполюсника, що зображений на рис. 3, умови теореми 3.1 мають наступний вид:

1.

2.

3.

У підрозділі 3.4 одержано достатні умови розв'язності рівняння (3) , що відрізняються від класичних теорем про неявну функцію та враховують специфіку нелінійних алгебраїчних рівнянь імпедансної, адмітансної, передаючої та гібридної моделей. Для кожної з вказаних моделей інженерних мереж у підрозділі 3.5 уточнюються достатні умови розв'язності з урахуванням спеціального виду рівняння (3) для конкретної моделі.

Наступна теорема містить достатні умови розв'язності рівняння (3) зручніші (в порівнянні з класичними теоремами) для формулювання достатніх умов коректності імпедансної, адмітансної, передаючої та гібридної задач.

Теорема 3.6. Нехай виконуються такі умови:

1.

2.

3.

4.

Тоді при всіх з деякого нетривіального інтервалу існує єдиний розв'язок рівняння (3).

З теореми 3.6 випливає наступне твердження щодо існування імпедансного відображення .

Твердження 3.1 Нехай модельний граф G, що відповідає інженерній мережі (див. рис. ), містить каркас із внутрішніх дуг, імпедансна залежність між змінними ,  внутрішніх гілок мережі описується нелінійними співвідношеннями (2), та виконуються такі умови:

1.

2.

.

3.

Тоді в мережі існує імпедансне відображення , що визначене в деякому околі початкового значення вектора .

Аналогічні твердження випливають з теореми 3.6 для адмітансної, передаючої та гібридних мереж.

У четвертому розділі дисертації здійснено чисельний експеримент у рамках побудованих математичних моделей. Отримано модифікацію обчислювальної схеми В.Ф. Чистякова розв'язку сингулярних систем для випадку вироджених рівнянь із сингулярністю нульового типу та модифікацію чисельного методу Г.Ю. Кулікова для знаходження чисельного розв'язку сингулярного диференціального рівняння (8). Доведено збіжність побудованих чисельних методів.

Розроблені чисельні методи застосовано до параметричного аналізу електричних багатополюсників. Проілюструємо це на прикладі електричного чотириполюсника з чотирма внутрішніми елементами (див. рис.3). Зовнішні джерела функціонують за законами . Змінні на внутрішніх гілках пов'язані рівняннями

; ; ; .

Якщо параметри моделі дорівнюють одиниці , а початковим є вектор , то графіки залежностей компонент чисельного розв'язку від часу мають такий вигляд, як зображено на рис. 5, .

Рис. 5. Графіки залежностей компонент розв'язку від часу
t при

Розглянемо залежність струму на індуктивності від параметру . При збільшенні параметру струм зростає повільніше за часом, що ілюструє рис. 6.

Рис. 6. Графіки залежностей струму на індуктивності від часу при різних значеннях параметру

Також встановлено, що при збільшенні параметру струм другої котушки спадає повільніше за часом, а при збільшенні параметру струм спочатку спадає за часом, а потім, починаючи все з більш раннього моменту часу (зі збільшенням ) – зростає. При збільшенні обох параметрів залежність струму другої котушки від часу стає близькою до одиниці, рис. 7.

Рис. 7. Графіки залежностей струму індуктивності

від часу при зміні параметрів та

Зауважимо, що різниця напруги ємності є більш чутливою до параметру , ніж до параметру .

У висновках надано основні положення, які виносяться на захист.

У додатках містяться модельні приклади інженерних мереж, їх аналіз; відомості щодо збіжності чисельних методів розв'язку сингулярних систем, які використовуються у четвертому розділі роботи при доведенні збіжності запропонованих обчислювальних схем; акти впровадження результатів дисертації.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі наведені результати, які відповідно до мети дослідження у сукупності є розв'язанням задач моделювання та аналізу для підвищення надійності експлуатації і ефективності проектування інженерних мереж, електричних багатополюсників та радіотехнічних фільтрів; модифікування моделей багатогалузевої економіки із сингулярними рівняннями для врахування та аналізу нелінійного впливу зовнішнього попиту.

У роботі побудовано математичні моделі імпедансних, адмітансних, передаючих та гібридних інженерних мереж, нелінійного електричного передаючого багатополюсника та нелінійні динамічні моделі макроекономіки. Досліджено класи сингулярних диференціальних рівнянь, що виникають у побудованих математичних моделях, зокрема диференціально-алгебраїчні рівняння з сингулярністю нульового типу, нелінійні алгебраїчні рівняння. Встановлено умови розв'язності та умови однозначної розв'язності початкових задач для відповідних рівнянь.

Одержані теоретичні результати застосовано до аналізу побудованих математичних моделей. Зокрема, одержано умови існування зовнішнього тиску, що відповідає довільно заданому зовнішньому потоку в інженерній мережі; умови існування зовнішнього потоку, що відповідає довільно заданому зовнішньому тиску в інженерній мережі. Ці результати, на відміну від відомих з аналізу та синтезу гібридних мереж, дозволяють аналізувати інженерні мережі із фіксованим апріорним набором заданих (зовнішніх) змінних. Моделі, що пропонуються, дозволяють підвищити надійність експлуатації інженерних мереж, оптимізувати процес проектування коректних інженерних мереж.

Одержано умови існування вихідних напруг та струмів для довільно заданих вхідних напруг та струмів передаючого нелінійного електричного багатополюсника, що дозволяють, на відміну від відомих результатів для лінійного передаючого кола, врахувати суттєво нелінійні доданки у рівняннях стану внутрішніх елементів. Побудована математична база для розв'язання задач оптимізації проектування та експлуатації передаючих нелінійних електричних багатополюсників.

Для нелінійних динамічних моделей макроекономіки отримано умови існування коректного плану виробництва галузей, що задовольняє заданий попит з нелінійним впливом. Одержані результати враховують нелінійну залежність валового суспільного продукту від фондів та числа зайнятих у моделі Р.М. Солоу, "обернену" нелінійну залежність попиту від випуску продукції у моделі В.В. Леонтьєва, що дозволяє планувати коректну роботу багатогалузевої економічної системи.

Модифіковано відомі чисельні методи знаходження розв'язків вироджених рівнянь для конкретних класів сингулярних рівнянь, що використовуються для аналізу побудованих моделей. Доведено збіжність модифікованих чисельних методів. Розроблені чисельні схеми застосовано до пошуку вихідних напруг та струмів і розрахунку напруг та струмів внутрішніх елементів за заданими вхідними напругами та струмами нелінійних електричних багатополюсників.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

АНОТАЦІЯ

Кабалянц П.С. Математичне моделювання мережевих систем із сингулярними рівняннями станів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Харківський національний університет радіоелектроніки, Харків, 2007.

У дисертаційній роботі побудовано математичні моделі імпедансної, адмітансної, передаючої та гібридних інженерних мереж, нелінійних електричних кіл та багатогалузевої економіки. Моделі містять сингулярні рівняння. Одержано теореми існування та єдиності для різних класів сингулярних рівнянь. Теоретичні результати застосовано до аналізу інженерних мереж, електричних кіл та багатогалузевої економіки. Зокрема, одержано умови існування зовнішніх тисків, що відповідають заданим зовнішнім потокам в інженерних мережах та умови існування вихідних напруг та струмів при заданих вхідних напругах та струмах передаючих нелінійних електричних багатополюсників. Для нелінійних динамічних моделей макроекономіки отримано умови існування планів виробництва для галузей, що задовольняють задані попити. Здійснено чисельний експеримент у рамках побудованих математичних моделей. Розроблені чисельні методи застосовано до пошуку внутрішніх та вихідних напруг та струмів нелінійних електричних багатополюсників.

Ключові слова: інженерна мережа, нелінійне електричне коло, динамічні моделі макроекономіки, сингулярні рівняння, задача передачі, збіжність комбінованого методу.

АННОТАЦИЯ

Кабалянц П.С. Математическое моделирование сетевых систем с сингулярными уравнениями состояний. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Харьковский национальный университет радиоэлектроники, Харьков, 2007.

В диссертационной работе построены математические модели импедансной, адмиттансной, передающей и гибридных инженерных сетей, нелинейных электрических цепей, радиотехнических фильтров и многоотраслевой экономики. Модели содержат сингулярные уравнения. В уравнениях и , которые описывают передающий электрический многополюсник и нелинейные динамические модели макроэкономики, матрица при производной по времени необратима, а импедансная, адмиттансная, передающая и гибридные инженерные сети описываются неявными полулинейными алгебраическими уравнениями вида .

Для импедансной, адмиттансной, передающей и гибридных инженерных сетей указаны явные выражения матричного коэффициента и нелинейной вектор-функции через блоки топологических матриц и через нелинейные сопротивления внутренних ветвей сети.

Для электрической многополюсной нелинейной передающей цепи с помощью топологических матриц графов (фундаментальных матриц сечений и циклов) дана характеристика степени вырождения матрицы при векторе производных и указана структура матричных коэффициентов дифференциально–алгебраических уравнений, которые получаются при построении математической модели цепи.

Для классических линейных моделей В.В. Леонтьева и Р.М. Солоу построены нелинейные модификации, которые учитывают нелинейную зависимость валового общественного продукта от фондов и числа "занятых" в модели Р.М. Солоу, обратную зависимость спроса от выпуска продукции в модели В.В. Леонтьева.

Получены теоремы существования и теоремы существования и единственности для различных классов сингулярных уравнений. Для уравнения изучен случай, когда система недоопределена (число уравнений меньше числа переменных), и случай, когда система переопределена (число уравнений больше числа переменных).

Для уравнения качественное поведение главной линейной части характеризуется пучком матриц , где обе матрицы могут быть необратимыми. С помощью приведения матричного пучка к канонической блочно–диагональной форме Л. Кронекера с последующим применением теоремы о неявных функциях и принципа сжимающих отображений были получены условия локальной разрешимости системы дифференциальных полулинейных уравнений вида . Условия разрешимости нелинейного алгебраического уравнения отличаются от условий классических теорем о неявной функции и учитывают специфику нелинейных уравнений, описывающих импедансную, адмиттансную, передающую и гибридные инженерные сети.

Теоретические результаты применяются к анализу инженерных сетей, электрических цепей и многоотраслевой экономики. Получены условия существования внешнего давления, которое создает произвольный заданный внешний поток в импедансной инженерной сети; условия существования внешнего потока, который создает произвольное заданное внешнее давление в адмиттансной инженерной сети; условия существования выходных напряжений и токов для произвольных заданных входных напряжений и токов передающего нелинейного электрического многополюсника; условия существования плана производства отраслей, который удовлетворяет заданный спрос, для нелинейных динамических моделей макроэкономики.

Для линейных моделей импедансной, адмиттансной, передающей и гибридных инженерных сетей в работе указаны условия на геометрию сети и параметры внутренних ветвей, необходимые и достаточные для существования однозначных импедансного, адмиттансного, передающего и гибридных отображений. Показано, что в случае положительных параметров зависимости на внутренних ветвях для разрешимости моделей достаточно выполнения легко проверяемых геометрических условий. В случае линейных моделей найден явный вид импедансного, адмиттансного, передающего и гибридных отображений.

Изучены модели гибридных инженерных сетей трех типов: случай, когда на части внешних ветвей сети задан поток, а на остальных внешних ветвях – давление; случай адмиттансно-передающей сети; случай передающей сети с гибридными зависимостями между переменными на внутренних ветвях сети.

Осуществлен численный эксперимент в рамках построенных математических моделей. Разработанные численные методы применены к поиску выходных напряжений и токов и расчету напряжений и токов внутренних элементов по заданным входным напряжениям и токам нелинейных электрических многополюсников.

Ключевые слова: инженерная сеть, нелинейная электрическая цепь, динамические модели макроэкономики, сингулярные уравнения, задача передачи, сходимость комбинированного метода.

ABSTRACT

КаbalyantsMathematical modelling of network systems with singular equations of conditions. – Manuscript.

The thesis for a candidate of technical science degree on specialty 01.05.02 – mathematical modelling and computing methods. – The Kharkiv National University of Radioelectronics, Kharkiv, 2007.

Mathematical models of impedance, admittance, transfer and hybrid engineering network, non-linear electrical networks and diversified economics are built in the dissertation. The models contain singular equations. Existence and uniqueness theorems for different classes of singular equations are obtained. The theoretical results are applied to the analysis of engineering networks, non-linear electrical networks and diversified economics. In particular, conditions of the existence of external pressures, which correspondents to a given external flows in engineering network, and conditions of the existence of output tensions and currents for given input tensions and currents of transfer non-linear electrical multipoles are received. For non-linear dynamical macroeconomics models conditions of the existence of production plans for fields, which satisfy given demands. A numerical experiment is realised for some constructed mathematical models. The constructed numerical methods are applied to find internal and output tensions and currents of non-linear electrical multipoles.

Key words: engineering network, non-linear electrical network, dynamical macroeconomics models, network models, singular equations, transfer problem, convergence of combined method.

Підп. до друку 15.01.07. Формат 60841/16. Спосіб друку – ризографія.

Умов. друк. арк. 1,2. Тираж 100 прим. Ціна договірна. Зам. № 2-38

Україна, 61166 Харків, просп. Леніна, 14

Віддруковано в учбово-виробничому

видавничо-поліграфічному центрі ХНУРЕ

Україна, 61166 Харків, просп. Леніна, 14