Национальная Академия наук Украины
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
ЛАСУРІЯ Роберт Андрійович
УДК 517.5
ДОСЛІДЖЕННЯ З ТЕОРІЇ СИЛЬНОГО ПІДСУМОВУВАННЯ РЯДІВ ФУР'Є ТА АПРОКСИМАЦІЇ ФУНКЦІЙ
01.01.01 – математичний аналіз
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук
Київ – 2007
Дисертацією є рукопис
Робота виконана в Абхазькому державному університеті.
Науковий консультант
доктор фізико-математичних наук, професор,
член-кореспондент НАН України
СТЕПАНЕЦЬ Олександр Іванович,
Інститут математики НАН України,
заступник директора з наукової роботи.
Офіційні опоненти:
доктор фізико–математичних наук, професор,
ГОЛУБОВ Борис Іванович,
Московський інженерно-фізичний інститут (державний університет), завідувач кафедри ;
доктор фізико–математичних наук, професор,
МИХАЙЛЕЦЬ Володимир Андрійович,
Інститут математики НАН України,
провідний науковий співробітник;
доктор фізико-математичних наук, професор
ТІМАН Майор Пилипович,
Дніпропетровський державний аграрний
університет, завідувач кафедри.
Захист вiбудеться "25" грудня 2007 р. о 15 годинi на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601 Київ 4, вул. Терещенківська, 3.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.
Автореферат розісланий "21" листопада 2007 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Традиційним предметом досліджень теорії сильнго підсумовування рядів Фур'є по тих чи інших ортонормованих системах функцій є: поточкове представлення функцій лебеговых просторів Lp, p?1, тими чи іншими видами сильних середніх їх рядів Фур'є, швидкість збіжності таких середніх у рівномірній та інтегральній метриках на різних класах функцій (задачі сильної апроксимації функцій), а також обернені теореми теорії сильної апроксимації. Дана тематика бере свій початок у відомих роботах Г. Харді та Дж. Літтлвуда. У 1913 році ними було поставлене питання: чи буде для довільної функції fєL при деякому q>0 майже скрізь виконуватись рівність
де Sn(f;x) - частинна сума порядку n тригонометричного ряду Фур'є S[f]. Якщо виконане співвідношення (1), то кажуть, що ряд Фур'є S[f] сильно підсумовується з показником q>0 у точці x до значення f(x).
У зв'язку з результатами А.М. Колмогорова про розбіжні майже скрізь ряди Фур'є сумовних функцій (fєL), поняття сильного підсумовування виявилося досить ефективним і послужило основою нового напрямку в теорії рядів Фур'є. У вирішенні згаданої задачі, а також у її розвитку брали участь Г. Харді і Дж. Літтлвуд, Й.Марцинкевич, А.Зигмунд, К. Тандорі, О.Д. Габісонія, І.Я. Новіков і В.А. Родін та ін. Аналогічна тематика у випадку кратних рядів Фур'є досліджувалася в роботах Й.Марцинкевича, Л.Д. Гоголадзе, О.Д. Габісонія, М.І. Дьяченко, С.В.Конягіна, В.А.Родіна та ін.
Згодом постановка задачі розширилася, зокрема, у тому напрямку, що замість величин сильних середніх, що містяться в (1), розглядалися функціонали виду
які характеризують ?-сильне підсумовування рядів Фур'є, де ?=?k(v) – довільна послідовність невід’ємних функцій, що залежать від якого-небудь параметра vєVR, ?=?(u) довільна невід’ємна функція, задана на множині R+=[0,?). Величини (2) при n=1 називаються ?-середніми послідовності ?-відхилень функції f(x) сумами Фур'є.
У 1984 році В. Тотіком була сформульована гіпотеза: якщо ? (u)=expu-1, то для довільної функції fєL майже скрізь
Позитивне рішення цього питання і його подальший розвиток знайшов відображення в роботах К.І. Осколкова, Л.Д. Гоголадзе, Г.А. Карагуляна, В.А. Родіна та ін. Подібній тематиці у випадку рядів Фур'є по системах відмінних від тригонометричної, зокрема, по системі Уолша, присвячені роботи Ф. Шиппа (?(u)=uq, q>0), В.А. Родіна (?(u)=exp u-1) та ін.
Величини (2), (3) можуть виступати в якості аппраксимаційних характеристик функції f(x) і бути у певному сенсі мірою швидкості збіжності її ряду Фур'є. На цьому шляху отримано багато цікавих результатів, що належать M. Kiнукаві, Г. Алексичу, Д. Кралику, Р. Taберському, Л. Лейндлеру, В. Тотіку, Л.Д. Гоголадзе, О.І. Степанцю і Н.Л. Пачуліа й ін. При цьому в роботах О.І. Степанця і Н.Л. Пачуліа було запропоновано розглядати задачі сильної апроксимації в екстремальній постановці, зокрема, на введених у 80-х роках ХХ сторіччя О.І. Степанцем класах функцій C??N, N і їх узагальненнях N, N, що включають у себе як окремі випадки відомі класи Вейля-Надя і Соболєва, а також класи функцій, що визначаються згортками з довільними сумовними ядрами.
Зв'язок між тими чи іншими структурними властивостями періодичних функцій і їх сильною апроксимацією встановлюють так звані обернені теореми сильної апроксимації функцій. Такі теореми містяться в роботах Г. Фройда, Л. Лейндлера, Е.М. Нікішина, В.Г. Кротова, К.І. Осколкова, Й. Сабадоша, В. Тотіка, Х.-Ю. Шмайсера і В. Зікеля та ін.
Питання, пов'язані з поточковим сильним підсумовуванням рядів Фур'є-Лапласа при критичному показнику, а також з сильною апроксимацією функцій на сфері вивчалися в роботах С.Б. Топурії, В.В. Хочолави, Фенг Дайя, і K.Ванга, П. Занга, Л. Лі та ін.
Одним з найважливіших напрямів у теорії наближення функцій є прямі і обернені теореми типу Д. Джексона і С.Н. Бернштейна. У випадку наближення на сфері Sm-1 фундаментальні результати в цьому напрямку були отримані в роботах С.М. Нікольского і П.І. Лізоркіна в першій половині 80-х років ХХ сторіччя, у яких диференціальні властивості функцій виражені в термінах оператора Лапласа-Бельтрамі в просторах Lp(Sm-1), p?1, або градієнта на Sm-1. До даного кола питань відносяться роботи Р.Aскейя, С. Вейнжера, Г.Г. Кушніренка, Ар.С. Джафарова, С.Б. Топурії, С. Павелькі, Х.П.Рустамова, А.І. Камзолова, О.Г. Бабенка, В.Ф. Бабенка та ін.
У 2000 році О.І. Степанець запровадив простори Sp? елементів довільного лінійного простору X, що породжуються зліченними системами ? його елементів і поклав початок систематичному вивченню аппроксимационных властивостей таких просторів. За останні роки О.І. Степанецем і його учнями знайдені точні розвязки ряду класичних екстремальних задач, що раніше ставилися для функціональних класів лебегових просторів Lp.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Абхазького державного університету в рамках науково-дослідної теми “Теорія функцій та її застосування”.
Мета і завдання дослідження. Метою роботи є одержання нових результатів у напрямку поточкового представлення функцій на множинах повної міри на відрізку ?- середніми послідовностей ?-відхилень сумовних функцій частинними сумами їх рядів Фур'є по так званих системах функцій поліноміального виду; ?-середніми послідовностей ?- відхилень сумовних на сфері функцій сумами Чезаро критичного показника їх рядів Фур'є-Лапласа з указанням характеристик точок відповідних представлень; знаходження оцінок величин ?-середніх послідовності ?-відхилень індивідуальних функцій, та верхніх меж цих величин на тих чи інших класах функцій однієї і багатьох дійсних змінних у рівномірній і інтегральній метриках, на класах аналітичних функцій, на класах функцій, що задаються інтегралами типу Коші, а також на класах функцій, заданих на сфері в рівномірній та інтегральній метриках; встановлення обернених теорем сильної апроксимації функцій; встановлення властивостей деяких аппроксимационных характеристик просторів S(p,q), що є сферичними аналогами просторів Sp, а також прямих і обернених теорем наближення функцій у просторах S(p,q).
Об'єктом дослідження є аппроксимаційні властивості класів функцій однієї і багатьох дійсних змінних, класів аналітичних функцій, класів функцій, що задаються інтегралами типу Коші, а також класів функцій, заданих на багатовимірній сфері.
Предметом дослідження є поточкове представлення функцій лебеговых просторів L(?)(a,b), Lp(Sm-1), p?1, ?-середніми послідовності ?-відхилень, швидкість ?-сильної апроксимації, наближення функціональних класів у конкретних лінійних нормованих просторах. При цьому основна увага приділяється встановленню як загальних оцінок величин ?-середніх послідовностей ?-відхилень, так і точних порядкових оцінок точних верхніх меж цих величин на деяких класах функцій у тих чи інших функціональних просторах. У роботі також приділена увага дослідженню деяких аппроксимационных характеристик просторів S(p,q) функцій, заданих на сфері.
Сформулюємо основні задачі дослідження:
Охарактеризувати множину точок повної міри на відрізку, у яких має місце сильне підсумовування рядів Фур'є сумовних з вагою функцій по рівномірно обмежених системах функцій поліноміального вигляду.
Встановити багатовимірні аналоги нерівностей типу Лебега на класах ?-диференційовних (в сенсі О.І.Степанця) функцій багатьох змінних в рівномірній та інтегральних метриках.
Встановити оцінки величин ?-середніх послідовності відхилень частинними сумами рядів Фабера аналітичних функцій в областях з кусково-гладкою межею в термінах мажорант їх модулів неперервності. Одержати оцінки ?-середніх послідовності ?-відхилень інтегралів типу Коші Kf(z) частинними сумами їх рядів Фабера в термінах найкращих наближень узагальнених ?-похідних функцій f*(w)=f(?(w)), |w|=1, за допомогою тригонометричних поліномів.
Охарактеризувати множину точок повної міри на сфері, у яких має місце ?-сильне підсумовування методом ? рядів Фур'є-Лапласа при критичному показнику функцій класів Lp(Sm-1), p>1, і L(Sm-1) відповідно.
Установити загальні оцінки в метриках просторів C(Sm-1) і L(Sm-1) відповідно величин ?-середніх послідовності ?-відхилень функцій fєC(Sm-1) (L(Sm-1)) сумами Чезаро критичного показника і вказати точний порядок верхніх меж цих величин у метриці C(Sm-1) на функціональних класах С.Б.Стєчкіна, а також встановити деякі обернені теореми сильної апроксимації функцій на сфері.
Встановити оцінки наближення сумами Фур'є-Лапласа в просторах Lp(Sm-1), p?1, на класах функцій, що задаються на основі перетворень їх рядів Фур'є-Лапласа за допомогою мультиплікаторів у термінах найкращих наближень поліномами по сферичних гармоніках.
Встановити прямі і обернені теореми наближення функцій у просторах S(p,q) – сферичних аналогах просторів Sp.
Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими і полягають у наступному:
1. Охарактеризовано множину точок повної міри на відрізку, у яких має місце сильне підсумовування рядів Фур'є сумовних з вагою функцій по рівномірно обмежених системах функцій поліноміального вигляду.
2. Встановлено багатовимірні аналоги нерівностей типу Лебега а також нерівності для середніх Валле Пуссена послідовності ?-відхилень на класах ?-диференційовних (в сенсі О.І.Степанця) функцій багатьох змінних в рівномірній та інтегральних метриках.
3. Встановлено оцінки величин ?-середніх послідовності відхилень частинними сумами рядів Фабера аналітичних функцій в областях з кусково-гладкою межею в термінах мажорант їх модулів неперервності. Одержано оцінки зверху ?-середніх послідовності ?-відхилень інтегралів типу Коші Kf(z) частинними сумами їх рядів Фабера в термінах найкращих наближень узагальнених ?-похідних функцій f*(w)=f(?(w)), |w|=1, за допомогою тригонометричних поліномів.
4. Охарактеризовано множину точок повної міри на сфері, у яких має місце ?-сильне підсумовування методом ? рядів Фур'є-Лапласа при критичному показнику функцій з просторів Lp(Sm-1), p>1, і L(Sm-1) відповідно.
5. Встановлено загальні оцінки в метриках просторів C(Sm-1) і L(Sm-1) відповідно величин ?-середніх послідовності ?-відхилень функцій fєC(Sm-1) (L(Sm-1) ) сумами Чезаро критичного показника і вказано точний порядок верхніх меж цих величин у метриці C(Sm-1) на функціональних класах С.Б.Стєчкіна, а також встановлено деякі обернені теореми сильної апроксимації функцій на сфері.
6. Встановлено оцінки наближення сумами Фур'є-Лапласа в просторах Lp(Sm-1), p?1, у термінах найкращих наближень поліномами по сферичних гармоніках на класах функцій, які задаються на основі перетворень їх рядів Фур'є-Лапласа за допомогою мультиплікаторів у термінах найкращих наближень поліномами по сферичних гармоніках.
7. Встановлено прямі і обернені теореми наближення функцій у просторах S(p,q) – сферичних аналогах просторів Sp.
Практичне значення отриманих результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати роботи і розвинені в ній методи можуть бути використані при вивченні деяких питань математичного аналізу, теорії наближення функцій, теорії рядів Фур'є, а також ряду інших питань математики.
Особистий внесок здобувача. Результати підрозділів 1.1–1.3, 2.3 та пункту 4 підрозділу 2.1 встановлені разом з науковим консультантом. Внесок обох авторів у результати, що містяться у зазначених підрозділах є рівноцінним. Всі інші результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно.
Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися на:
- Семінарах відділу теорії функцій (Інститут математики НАН України, керівник семінару: член-кореспондент НАН України О.І. Степанець).
- Семінарі по теорії функцій дійсної змінної (Московський державний університет ім.. М.В.Ломоносова, керівники семінару: академік РАН П.Л. Ульянов, член-кореспондент РАН Б.С. Кашин, професор Б.І. Голубов, професор М.І. Дьяченко, професор С.В. Конягін).
- Семінарах по теорії функцій (Абхазький державний університет, керівник семінару: професор Н.Л. Пачуліа).
- Міжнародній науковій конференції ”Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ” (Москва, Математичний Інститут ім. В.А. Стєклова РАН, 1995р.).
- II школi “Ряди Фур’є: теорiя i застосування” (Кам’янець-Подiльський, 30 червня – 5 липня 1997р.).
- Науковій сесії професорсько-викладацького складу Абхазького державного університету, присвяченій 20-річчю утворення АГУ, секції фізико-математичних наук (Сухум, 1-4 листопада 1999р.).
- Науковій конференції Абхазького державного університету, присвяченій 20-річчю утворення АГУ, секції фізико-математичних наук (Сухум, 24-27 травня 2000р.).
- Українському математичному конгресі – 2001, присвяченому 200-річчю з дня народження М.В. Остроградского, 10 секції "Теорія наближень і гармонійний аналіз" (Київ, 21-25 серпня 2001р.).
- Наукових конференціях професорсько-викладацького складу Абхазького державного університету, секції фізико-математичних наук (Сухум, 2002-2006р.).
- Міжнародній науковій конференції "Математичний аналіз і диференціальні рівняння і їх застосування" ( Ужгород, 18-23 вересня 2006р.).
- Третій міжнародній науковій конференції "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики " ( Нальчик, 4-9 грудня 2006р.).
- Семінарі по теорії функцій (Дніпропетровський національний університет керівники семінару: член-кореспондент НАН України В.П. Моторний, професор В.Ф.Бабенко, 2007р.).
- Семінарі кафедри математичного аналізу (Київський національний університет імені Тараса Шевченка, керівник семінару: професор І.О. Шевчук, 2007р.).
- Київському семiнарi з функцiонального аналiзу Iнституту математики НАН України (Київ, 2007).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1-30].
Структура й обсяг роботи. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаної літератури, що містить 229 найменувань. Повний обсяг роботи складає 354 сторінки машинописного тексту.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ
Нехай L(?)p(a,b) – множина вимірних функцій f(x), сумовних у p-му степені, p?1, на (a,b) з вагою ?(x).
Означення 1.1. Нехай fє L(?)(a,b)= L(?)1(a,b), xє(a,b) і u?(x) – окіл точки x, що цілком лежить на (a,b). При кожному натуральному n розіб'ємо u?(x) на 2n рівних частин ?(n)k= ?(n)k=?(n)k(?) точками xk=x+?k/n, |k|=0,1,…,n, і при деякому p>1 розглянемо величину
Точку x назвемо hp,? –точкою функції f(x), якщо
Означення 1.2. Нехай {?k(t)} – довільна послідовність функцій, обмежених на сегменті [a,b]. Будемо говорити, що дана послідовність має властивість B в точці xє(a,b), якщо існує ?>0 таке, що:
1) u?(x)(a,b) ;
2)
для будь-якого узагальненого полінома
коефіцієнти якого задовольняюють умову
справедлива нерівність
де ?(n)k єDn(?), |k|=1,2,…n, Dn(?) – множина усіх відрізків ?(n)k, K – додатна стала, рівномірно обмежена по n.
Твердження 1.1. Нехай xє(a,b), 0<?<?1, і околи u?(x) і u?1(x) лежать на (a,b). Тоді для будь-якої fє L(?)(a,b) співвідношення
і
можуть виконуватися тільки одночасно.
Твердження 1.1 вказує на локальний характер поведінки величини h(?)m,p(f;x;?) в точці x.
Лема 1.2. Для будь-якої функції fє L(?)(a,b), при довільних p>1 і ?>0 майже скрізь на [a,b] справедлива рівність
У роботі приведені достатні умови того, що ортонормована система {?k(t)}? має B-властивість у точці x. Доводиться, що тригонометрична система на R, система ортонормованих алгебраїчних поліномів на відрізку її рівномірної обмеженості володіють В-властивістю.
У підрозділі 1.3 приводиться характеристика точок сильного підсумовування рядів Фур'є сумовних з вагою функцій по обмежених всередині відрізка ортогональності систем функцій поліноміального виду, що володіють В-властивістю. Покладемо
де Sn(f;x) – частинні суми порядку n ряду Фур'є fє L(?)(a,b), по ортонормованих з вагою ?(x) на [a,b] системах функцій {?k(x)}?,
?=||?(n)k|| , k,n=0,1,…, – нескінченна прямокутна матриця дійсних чисел.
Теорема 1.1. Нехай {?k(t)}?, –
ортонормована з вагою ?(t) на відрізку [a,b] система функцій поліноміального виду, що на множині рівномірно обмежена:
Нехай, далі, x – довільна точка інтервалу (c,d), у якій дана система має властивість B. Тоді, якщо fєL(?)(a,b), на множині E=[a,b]\[c,d] сумовний її квадрат з вагою ?(t) (fєL2(?)(E)) і в даній точці x має скінченне значення, то для будь-якого ?>0, що входить в означення B-властивості точки x, при будь-якому q?2 справедлива нерівність
де H(q)n(f;?;x) і h(?)n,p(f;x;?) – величини, що визначаються відповідно рівностями (8) і (4); p=q/(q-1), K – величина, рівномірно обмежена по n.
Наслідок 1.2. Нехай система {?k(t)}?, точка xє(c,d) і функція f(t) задовольняють усім вимогам теореми 1.1 і, крім того, дана точка х є hp,? – точкою функції f(t). Тоді для кожного q1є(0,q], q?2, 1/p+1/q=1,
Подібні результати мають місце для величини, що означається рівністю (9), у якій матриці чисел ?=||?(n)k||, k,n=0,1,… визначають широкий спектр класичних методів підсумовування рядів.
Добре відомо, що тригонометричний ряд Фур'є довільної сумовної функції є (C,?>0)-сумовним майже скрізь (А.Лебег, Г.Харді, М.Рісс). В свій час Г.Алексичем було відмічено, що аналогічне твердження для рівномірно обмежених систем ортогональних алгебраїчних поліномів невідоме навіть у випадку підсумовування методом Абеля-Пуассона. Наступне твердження дає відповідь на зазначену проблему Г.Алексича.
Наслідок 1.10. Нехай {Pk(t)}? – ортонормована на [a,b] з вагою ?(t) система алгебраїчних поліномів рівномірно обмежених на і для кожного tє[c,d] ?(t)??o>0. Нехай, далі, fєL(?)(a,b) і fєL2(?)(E), де E=[a,b]\[c,d]. Тоді для довільного xєH(?)2?(c,d), тобто майже скрізь на (c,d), при кожному ?>0 виконується рівність
у якій ::
Нехай H?*=H?*(0,2?) позначає простір функцій, що задовольняють умову
з узагальненою гьольдеровою нормою
де ?*(t) деяка неспадна невідємна при t?0 функція. У підрозділі 1.4 досліджуються апроксимаційні властивості величин ?- середніх послідовності відхилень (9) у метриці простору H?*, коли fєH?H?*, а також приводиться уточнений варіант однієї теореми про порядок наближення функцій із класу H?H?* лінійними середніми частинних сум їхніх рядів Фур'є в метриці простору H?*.
У 80-роки ХХ століття О.І. Степанець розглянув класи N, а дещо пізніше – їх узагальнення N.
Означення С. Нехай fєL, S[f] – її ряд Фур'є і пара =(?1,?2) систем чисел ?1(k), ?2(k) задовольняє умову
Якщо ряд
є рядом Фур'є деякої функції ?єL, то ? називають -похідної функції f і записують ?(·)=. Підмножину функцій fєL, у яких існують -похідні, позначають через . Якщо і при цьому N, де N , то пишуть N.
Не зменшуючи загальності, можна вважати, що послідовності ?(k) є звуженнями на множину N натуральних чисел деяких додатних неперервних опуклих донизу функцій неперервного аргументу t?1, що прямують до нуля при t>?. Множина усіх таких функцій позначається через M.
Наслідуючи О.І.Степанця, кожній функції ?єM поставимо у відповідність характеристики
де ?-1(·) – функція, обернена до ?(·). В залежності від поводження величини ?(?;t) з множини M прийнято виділяти деякі підмножини. Для наших найближчих цілей розглядаються підмножини M0 – усіх функцій ?є M, для яких 0<?(?;t)?K, K=K(?), M‘ – множина усіх функцій ?є M, для яких
У підрозділі 1.5 встановлюються апроксимаційні властивості величин - середніх послідовності ?-відхилень, означених рівністю (2), на класах функцій
Характеристиками поведінки середніх Валле-Пуссена послідовності ?- відхилень Hn,?(f;x), означених у (3), є групи відхилень
для яких справедливе наступне допоміжне твердження.
Лема 1.11. Нехай n?k1<k2<…<kr?2n, , , . Тоді , , і має місце нерівність
де
Kq=K(q) – величина, що залежить від q і рівномірно обмежена по r,nєN, xєR і .
В лемі 1.11 і в наступному позначення означає, що або ?єA, або -?єA.
Наслідуючи В. Тотіка позначимо через Ф множину неспадних і неперервних на [0,+?) функцій ?=?(u), підпорядкованих умовам: ?(u)?Aebu b=b(?), ?(2u)?a?(u) для будь-якого uє[0,1], a=a(?).
Наступне твердження містить оцінку норми в C величини, означеної рівністю (2).
Теорема 1.9. Нехай M0, M?0 і ?єФ. Нехай, далі, послідовність , , така, що при кожному фіксованому числа не зростають по k. Тоді
де K=K(?) – величина, рівномірно обмежена по nєN, vєV, і не залежить від послідовності ?.
У підрозділі 1.6 встановлюються деякі обернені теореми сильної апроксимації функцій на класах C??C. Під оберненими теоремами сильної апроксимації тут розуміються такі теореми, у яких ті чи інші структурні властивості функцій встановлюються на основі поводження норми в C ряду ?-відхилень сум Фур'є. Розглядаються умови належності функцій f до класів C??C і приводяться оцінки модулів неперервності k-го порядку їх (?,?)-похідних, а також їх найкращих наближень у термінах параметрів, що визначають класи C??.
Нехай, далі, Lp(Tm), p?1, – простір вимірних 2?-періодичних по кожній змінній функцій f(x), сумовних у p-му степені на кубі періодів Tm={xєRm:- ? ?xk?? , k=1,…m} з нормою
C(Tm) – простір неперервних функцій із L(Tm) з нормою
Нехай i=1,…m. Припустимо, що для даної функції fє L(Tm) і набору ? ряд
є рядом Фур'є деякої функції ?є L(Tm) по змінних xi, iє?. Цю функцію позначимо через і назвемо - похідної функції f(x). Множину функцій fєL(Tm) таких, що існують похідні позначимо через .
Далі, нехай Sn-1(f;x) – кратна прямокутна частинна сума порядку ряду Фур'є S[f], ?n(f;x)=f(x)-Sn-1(f;x) і - множина функцій t?,nєL(Tm), що є тригонометричними поліномами порядку ni-1, iє?, , , |?| – кількість елементів множини ?.
Наслідуючи О.І. Степанця, покладемо , і до " віднесемо усі функції , що володіють властивостями: а) , б) , K1,K2=const>0. Нехай 1<p,s<? і ?=(1/p-1/s)+=1/p-1/s, p<s, ?=0, p?s.
Теорема 2.4. Нехай , i=1,…m, 1<p,s<?, ?=(1/p-1/s)+. Тоді, якщо виконані умови , то , має місце нерівність
де величина ?i(ni) є або ?i(?(1)i;ni) або ?i(?(2)i;ni) або , Cp,s,m – величина, що може залежати лише від p,s і m, – найкраще наближення в Lp(Tm) за допомогою функцій .
У підрозділі 2.2 приводиться твердження, що містить асимптотичну рівність для відхилень тригонометричними поліномами, що породжуються деякими лінійними методами підсумовування рядів Фур'є на класах ?-диференційовних функцій багатьох змінних, а також обернене до нього твердження, що доповнюють результати Є.В.Вороновської, С.Н. Бернштейна, П.П. Коровкіна, М.А. Скопіної, Б.І. Голубова, О.І.Кузнєцової.
У підрозділі 2.3 встановлюються оцінки середніх Валле-Пуссена послідовності ?- відхилень прямокутних сум Фур'є на класах функцій у термінах найкращих наближень їх - похідних.
Нехай Фm – множина неспадних і неперервних на R+ функцій ?=?(u) таких, що ?(u)>0 , ?(0)=0, ?(2u)?a?(u) , a=a(?), , b=b(?). Нехай, далі, ??,n(f;x)=f(x)-S?,n(f;x), , , , v0(n;?)={k?:kiє[ni;2ni], iє?}, . У прийнятих позначеннях справедливе наступне твердження.
Теорема 2.9. Нехай ?єФm 0, ? , , ?2=?1\? і
Тоді і
де
– величина, рівномірно обмежена по nєNm і , K1,K2>0.
Третій розділ присвячений питанням швидкості сильної апроксимації аналітичних функцій і інтегралів типу Коші частинними сумами їх рядів Фабера в деяких областях комплексної площини.
У підрозділі 3.1 встановлюються оцінки величин ?-середніх послідовності відхилень |f(z)-Sk(f;z)|q, q>0, частинних сум рядів Фабера аналітичних функцій в областях ? з кусково-гладкою межею в термінах мажорант їх модулів неперервності в замкнутих областях , а також доводиться непокращуваність цих оцінок на множині всіх областей такого виду на деяких класах функцій.
Нехай - розширена комплексна площина, ? - обмежена область з жордановою межею Г, D? – зовнішність в одиничного круга; , - замикання , , z=?(w) – функція Рімана, Г1+1/n={z:|Ф(z)|=1+1/n} – n-та лінія рівня області ?, , zєГ, - множина функцій f(z), аналітичних в ? і неперервних в.
Означення F. Обмежена жорданова область ? називається областю типу (C), якщо для функції z=?(w) виконуються умови: існують rєN, і , j=1,2,…r такі, що має місце рівність
де ?(w) – неперервна і відмінна від нуля на функція, модуль неперервності якої задовольняє умову ?(?;t)?Kt, де K – деяка додатна стала.
Відомо, що області типу (C) містять у собі крім многокутників і області з жордановыми межами, що складаються зі скінченного числа кіл або аналітичних дуг.
Будемо говорити, що ? область типу (C’), якщо вона є областю типу (C), а числа ?v, v=1,2,…r, з означення області типу (C) задовольняють умовам , v=1,2,…r. Геометричні властивості ліній рівня ГR таких областей вивчалися В.К. Дзядиком, М.О. Лєбедєвим, М.А. Широковим, Г.А. Алібековим, В.І. Трофименком та ін.
Нехай, далі, ?(t) – неспадна мажоранта модуля неперервності ?(f;t) функції f(z) в області : ?(f;t)??(t).
Величина
характеризує функціонал сильного підсумовування ряду Фабера
функції f(z), де Sn(f;z) частинні суми Фабера порядку n ряду (24), Fk(z) – многочлени Фабера, fk – коефіцієнти Фабера функції f(z). Оцінка величини (23) у точках межі Г області ? міститься в наступному твердженні.
Теорема 3.1. Нехай ? – область типу , функція і її модуль неперервності на має неспадну мажоранту ?(t), для якої при 1<p?2 і деякому ?>2/p-1
монотонно зростаючи. Тоді і , q=p/(p-1), у точці zєГ
K=K(q,?) – величина, рівномірно обмежена по nєN, .
Покладемо
Наступна теорема містить оцінку швидкості збіжності величини (26).
Теорема 3.2. Нехай виконуються всі умови теореми 3.1 і ?=(?k(v)) – послідовність невід’ємних функцій така, що при кожному фіксованому vєV послідовність чисел ?k(v) не зростає по індексу kєN. Тоді в точці zєГ, означеній рівністю (25), має місце нерівність
q=p/(p-1), , K=K(q,?).
Для класу функцій встановлюється таке твердження.
Наслідок 3.1. Нехай модуль неперервності ?(t) задовольняє умови:
1) при деякому ?>2/p-1, 1<p?2,
монотонно зростаючи;
2)
така, що
Якщо послідовність невід’ємних функцій ?=(?k(v)) така, що при кожному фіксованому vєV числа ?k(v) не зростають по індексу kєN, то
де q=p/(p-1), K=K(q,?) – величина, рівномірно обмежена по nєN, vєV і не залежить від послідовності ?.
Нехай, далі,
–
інтеграл типу Коші з обмеженою щільністю. Функція f*(w)=f(?(w)), як функція змінної w (|w|=1), враховує як властивості самої функції f(·) так і особливості побудови границі . Тому апроксимаційні властивості інтегралів типу Коші Kf(z) також залежать від f*(·). Цей факт відзначався і неодноразово використовувався у багатьох роботах, зокрема, у монографіях В.К. Дзядика, В.І. Смірнова і М.О. Лєбедєва, П.К.Суетіна, О.І. Степанця.
Нехай - простір сумовних функцій , визначених на кривій , з нормою , , - простір функцій, суттєво обмежених на з нормою ,
Нехай ?={?(k)}, ?(0)=1, – довільна послідовність комплексних чисел. Якщо ряд є рядом Фур'є деякої функції
то згідно з О.І. Степанцем, назвемо її ?-інтегралом функції f і позначимо , L?(T)+ – множина ?-інтегралів усіх функцій fєL1(T), . Нехай, далі,
?k – довільні числа,
Область називається областю Фабера, якщо оператор Фабера
визначений у просторі обмежених аналітичних у крузі Dфункцій, є обмеженим.
У підрозділі 3.3 розглядаються величини
?
(t)=?-1(1/2?(t)) , ?n=[?(n)]-n+1, [a] – ціла частина числа a,
що характеризують у відомому сенсі швидкість збіжності рядів Фабера. В підрозділі 3.3 для величин ?-середніх послідовності відхилень інтегралів типу Коші встановлені оцінки зверху через накращі наближення узагальнених ?-похідних функцій f* тригонометричними поліномами.
Теорема 3.7. Нехай ?=?1+i?2, ?1,?2єF, і виконується умова
Тоді, якщо - область Фабера, то для будь-якої fєK??(?)+ (f=K?*) і довільного nєN
K=K(?) – величина, рівномірно обмежена по nєN і fєK??(?)+, ?єФ.
Теорема 3.8. Нехай ?=?1+i?2, ?1,?2єF, і виконується умова (32). Тоді, якщо ?єФ, а послідовність ?=(?k(v)?0), vєV така, що числа ?k(v)|?(k)| не зростають, – область Фабера, то для будь-якої fєK??(?)+ (f=K?*) і довільного nєN
?(t)=?(|?|,t), K=K(?) – величина, рівномірно обмежена по nєN, vєV, fєK??(?)+ і не залежить від ?.
Нехай, далі, fєL(Sm-1)=L1(Sm-1), , ?=(m-2)/2, m?3, – її ряд
Фур'є-Лапласа, де Y(?)n(f;x) – проекція f на підпростір Hn сферичних гармонік степеня n, – середні Чезаро (C,?), ?>-1 ряду , S(?)n(f;x) – частинні суми порядку n ряду S(?)[f].
Означення H. Точка xєSm-1 називається Dp- точкою функції fєLp(Sm-1), p?1, якщо
Точка xєSm-1 називається D*p-точкою функції f, якщо x й x* одночасно є Dp- точками функції f, де x* – точка, діаметрально протилежна точці x.
Розділ 4 присвячений вивченню поточкового ?-сильного підсумовування майже скрізь рядів Фур'є-Лапласа при критичному показнику функцій з просторів Lp(Sm-1), p>1 і L(Sm-1) відповідно, а також ?-сильної апроксимації функцій, заданих на сфері Sm-1.
Сферичними аналогами величин (2) і (3) є величини, означені рівностями , відповідно, де ?(?)k(f;x)=?(?)k –f(x), ?(?,?)k(f;x)= ?(?)k(f;x).
Покладемо n?k1<k2<…<kr?2n-1, kjєN.
В підрозділі 4.1 доведено наступні твердження про характеристики точок сильного підсумовування рядів Фурє-Лапласа.
Теорема 4.1. Нехай fєLp(Sm-1), m?3, 1<p?2 і ?єФ. Тоді в кожній її D*p-точці xєSm-1, тобто майжескрізь на Sm-1,
K?=K(?,?) – величина, рівномірно обмежена по nєN;
Теорема 4.2. Нехай fєLp(Sm-1), m?3, 1<p?2, ?єФ і послідовність ?=(?k(v)?0) не зростає відносно kєN при кожному фіксованому vєV. Тоді в кожній D*p- точці xєSm-1 функції f(·), тобто майже скрізь на Sm-1,
де K=K(?) – величина, рівномірно обмежена по nєN, vєV і не залежить від ?=(?k(v)).
Якщо матриця ?=||?(n)k||, k,nєN задає деякий регулярний (у сенсі Тьоплиця) метод підсумовування рядів, то з теореми 4.2 випливає, що в кожній D*p-точці x функції fєLp(Sm-1), p>1, тобто майже скрізь на Sm-1,
Покладаючи у (61), ?(n)k=1/n, 1?k?n, ?(n)k=0, k>n, ?(u)=uq, q>0, одержуємо результат В.В. Хочолави.
У підрозділі 4.2 для кожної функції fєL(Sm-1) вказується характеристика множини точок повної міри, у яких виконується рівність
при кожному q>0.
Нехай Покладемо
і для кожної функції fєL(Sm-1) при n=0,1,… означимо величину
p>1, ?=(m-2)/2, xєSm-1, а також множину
.
У підрозділі 4.2 встановлено ряд локальних метричних властивостей величини (41). Зокрема.
Твердження 4.2. Нехай fєLp(Sm-1), p>1. Тоді в кожної її Dp- точці x для довільного ?>0
Лема 4.3. Для кожної функції fєL(Sm-1) при будь-яких p>1 і ?>0 майже скрізь на Sm-1
Нехай Основний результат підрозділу 4.2 міститься у теоремі 4.3.
Теорема 4.3. Нехай fєL(Sm-1), m?3, q=p/(p-1), q?2. Тоді в кожній точці xєG*p,?(f)
де величина ?n (x)=?n(x;f;?) така, що
K=K(q,?) – величина, рівномірно обмежена по n.
Теорема 4.4. Якщо fєL(Sm-1), то , q?2, q=p/(p-1), у кожній точці xєG*p,?, тобто майже скрізь на Sm-1,
Апроксимаційні властивості величин H(?)n,?(f;x), H(n,?)n,?(f;x;?) встановлені в підрозділі 4.3. Основними в цьому підрозділі є наступні твердження.
Теорема 4.5. Нехай fєC(Sm-1), m?3, ?єФ. Тоді для будь-яких xєSm-1 і nєN
K=K(?,?) – величина, рівномірно обмежена по nєN, xєSm-1 і fє C(Sm-1).
Теорема 4.6. Нехай fєC(Sm-1), m?3, ?єФ і послідовність ?=(?k(v)?0) не зростає відносно kєN при кожному фіксованому vєV. Тоді для довільних nєN i vєV
K=K(?,?) – величина, рівномірно обмежена по nєN, fє C(Sm-1), vєV і не залежить від послідовності ?.
Зауваження. Покладемо ?={?n}, n=0,1,…, де ?n – монотонно спадна послідовність додатних чисел така, що і C(?)={fєC(Sm-1): En(f)? ?n,n=0,1,…}, де En(f) –найкраще наближення функції fєC(Sm-1) за допомогою сферичних гармонік Yn(x) степеня n. На даному класі функцій справедливі наступні оцінки:
зокрема
У підрозділі 4.4 вводяться аналоги сильних середніх рядів Фур'є-Лапласа в інтегральній метриці, що визначаються рівностями
і встановлюються оцінки швидкості збіжності величин (49), (50) через найкращі наближення функцій fє L(Sm-1) сферичними гармоніками Yn(x) в метриці простору L(Sm-1).
У підрозділі 4.5 на топологічному добутку сфер Sk-1?Sl-1 означаються ?-середні типу Марцинкевича послідовності ?-відхилень сум Чезаро критичного показника, для яких установлюються рівномірні оцінки швидкості збіжності в термінах найкращих наближень функцій f поліномами виду Ym,n(x)= Ym(x(k)) Yn(x(l)), x(k)єSk-1, x(l)єSl-1.
У підрозділі 4.6 на основі поняття сферичного модуля неперервності , де , 0<?<? і сферичного модуля неперервності k-го порядку
?(f;x)=?1(f;?), де ?k?f(x)= ??(?k-1?f(x)), ?1?f(x)= ??f(x)=S?(f;x)-f(x), доведені обернені теореми сильної апроксимації на сфері S2. Основним у цьому напрямку є наступне твердження.
Теорема 4.13. Нехай функція ?(u) є неперервною, строго зростаючою й опуклою вгору на [0,+?), ?(0)=0, – обернена до неї функція, причому
Нехай, далі, при якомусь ?є(0,1) існує інтеграл
Якщо для функції f(x), x=(?,?)єS2,
то
де Dr-1f – результат (r-1)- разового застосування оператора Лапласа-Бельтрамі D, r?2.
У підрозділі 5.1 встановлюються оцінки наближення функцій частинними сумами S(?)n(f;x) їхн рядів Фур'є-Лапласа в просторах Lp(Sm-1), p?1 на класах функцій, що задаються на основі перетворень їх рядів Фур'є-Лапласа за допомогою мультиплікаторів.
У підрозділі 5.2 означаються простори S(p,q)= S(p,q)(?m-1) сферичні аналоги просторів Sp,. Відмінною рисою розглянутого випадку є те, що означення норми (квазінорми при qє(0,1)) елемента f в просторі S(p,q)(?m-1) вводиться за допомогою норми в Lp(?m-1), pє[1,?] проекції Y(?)k(f;x) функції f на підпростір Hk сферичних гармонік степеня k. При pє(0,?], qє(0,?) розглянемо простір
а також, заданий на ньому функціонал
Функціонал при qє[1,?) і при pє[1,?] задовольняє всім аксіомам норми, а при qє(0,1) аксіомам квазінормы. При qє(0,?) простори S(p,q) успадковують найважливіші властивості сепарабельності гільбертовых просторів – рівність Парсеваля у вигляді співвідношення (55) і мінімальну властивість частинних сум ряду Фур'є-Лапласа S(?)[f].
У просторах S(p,q)(?m-1) встановлюються властивості точних верхніх меж на даному класі відхилень сум Фур'є-Лапласа, точних верхніх меж найкращих наближень, поперечників по Колмогорову і точних верхніх меж найкращих n-членних наближень по Стєчкину.
У підрозділі 5.3 доведено деякі прямі і обернені теореми наближення функцій у просторах S(p,q)(?m-1). Одержані результати є сферичними аналогами відповідних результатів О.І. Степанця й А.С. Сердюка в просторах Sp 2?-періодичних функцій. З цією метою розглядається модуль неперервності в просторах S(p,q)(?m-1):
, де
uє(0,?], P(?)n(·) – многочлени Гегенбауера. Функція має основні властивості, що характеризують звичайні модулі неперервності. Нехай, далі, - поліном по сферичних гармоніках, У підрозділі 5.3, зокрема, доводиться таке твердження.
Теорема 5.8. Для будь-якої функції fєS(p,q)(?m-1), qє[1,?), pє(0,?], має місце нерівність
де
При цьому
і нерівність
непокращувана за порядком на множині S(p,q)(?m-1), Ci(?), i=1,2,3 – додатні константи, що залежать тільки від ?.
Теорема 5.10. Для будь-якої функції fєS(p,q)(?m-1), qє[1,?), pє(0,?], nєN справедлива нерівність
де C?=C(?). При цьому нерівність (59) на множині S(p,q)(?m-1) за порядком покращена бути не може.
У підрозділі 5.3.3 встановлюється необхідна і достатня умова, при якій має місце співвідношення
.
ВИСНОВКИ
1. Охарактеризовано множину точок повної міри на відрізку, у яких має місце сильне підсумовування рядів Фур'є сумовних з вагою функцій по рівномірно обмежених системах функцій поліноміального вигляду.
2. Встановлено багатовимірні аналоги нерівностей типу Лебега а також нерівності для середніх Валле-Пуссена послідовності ?-відхилень на класах ?-диференційовних (в сенсі О.І.Степанця) функцій багатьох змінних в рівномірній та інтегральних метриках.
3. Встановлено оцінки величин ?-середніх послідовності відхилень частинними сумами рядів Фабера аналітичних функцій в областях з кусково-гладкою межею в термінах мажорант їх модулів неперервності. Одержано оцінки зверху ?-середніх послідовності ?-відхилень інтегралів типу Коші Kf(z) частинними сумами їх рядів Фабера в термінах найкращих наближень узагальнених ?-похідних функцій f*(w)=f(?(w)), |w|=1, за допомогою тригонометричних поліномів.
4. Охарактеризовано множину точок повної міри на сфері, у яких має місце ?-сильне підсумовування методом ? рядів Фур'є-Лапласа при критичному показнику функцій з просторів Lp(Sm-1), p>1 і L(Sm-1) відповідно.
5. Встановлено загальні оцінки в метриках просторів C(Sm-1) і L(Sm-1) відповідно величин ?-середніх послідовності ?-відхилень функцій fєC(Sm-1) (L(Sm-1)) сумами Чезаро критичного показника і вказано точний порядок верхніх меж цих величин у метриці C(Sm-1) на функціональних класах С.Б.Стєчкіна, а також встановлено деякі обернені теореми сильної апроксимації функцій на сфері.
6. Встановлено оцінки наближення сумами Фур'є-Лапласа в просторах Lp(Sm-1), p?1, у термінах найкращих наближень поліномами по сферичних гармоніках на класах функцій, які задаються на основі перетворень їх рядів Фур'є-Лапласа за допомогою.
7. Встановлено прямі і обернені теореми наближення функцій у просторах S(p,q) – сферичних аналогах просторів Sp.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Ласурия Р.А. О приближении периодических функций линейными средними сумм Фурье в обобщенной гёльдеровой метрике // Докл. АМАН. – 2000. – 5. - № 1. – С. 24 – 39.
2. Ласурия Р.А. Оценки группы уклонений в обобщённой гёльдеровой метрике // Укр. мат. журн. – 2001. – 53. - № 9. – С. 1210 – 1212.
3. Ласурия Р.А. Приближение функций в обобщенной гёльдеровой метрике. – Сухум: Изд-во АГУ, 2001. – 65 с.
4. Ласурия Р.А. Равномерные оценки группы отклонений - интегралов суммами Фурье и сильная суммируемость рядов Фурье // Теория приближений и гармонич. анализ: Труды Укр. мат. конгр. – 2001. - Киев: Ин-т математики НАН Украины , 2002. - С. 114 – 122.
5. Ласурия Р.А. Некоторые вопросы сильной суммируемости рядов Фурье- Лапласа на сфере // Сб. науч. трудов Абх. гос. ун-та, ч. I., Сухум: АГУ, 2002. – С. 17 – 27.
6. Ласурия Р.А. Об одной обратной задаче теории сильной аппроксимации // Докл. АМАН. – 2002. – 6. - № 1. – С. 14 – 17.
7. Ласурия Р.А (?,?)-сильная суммируемость рядов Фурье-Лапласа функций, непрерывных на сфере // Укр. мат. журн. - 2002. – 54. - № 5. – С. 656 – 665.
8. Ласурия Р.А. (?,?)-сильная суммируемость рядов Фабера внутри комплексной области // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання – Киiв.: Iн-т математики НАН України, 2002. – С. 96 – 106.
9. Ласурия Р.А. Характеристика точек сильной суммируемости рядов Фурье-Лапласа функций класса L(Sm) при критическом показателе // Укр. мат. журн. – 2002. – 54. - №10. – С. 1437 – 1439.
10. Ласурия Р.А. Скорость сходимости в среднем рядов Фурье-Лапласа на классах L?L2(Sm) // Сб. тр. проф.-преп. сост. АГУ, Сухум. – 2003. – С. 26 – 32.
11. Ласурия Р.А. Характеристика точек ?-сильной суммируемости рядов Фурье-Лапласа функций класса Lp(Sm), p>1 // Укр. мат. журн. – 2003. - № 5. – С. 45 – 54.
12. Ласурия Р.А.
