КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
ПОТОРОЧА Володимир Володимирович
УДК 517.9
АСИМПТОТИЧНІ РОЗВ’ЯЗКИ ВИРОДЖЕНИХ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ІМПУЛЬСНОЮ ДІЄЮ
01.01.02 – диференціальні рівняння
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ – 2007
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі математичної фізики
Київського національного університету імені Тараса Шевченка
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор
САМОЙЛЕНКО Валерій Григорович,
Київський національний університет
імені Тараса Шевченка,
завідувач кафедри математичної фізики
механіко-математичного факультету
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
ЯКОВЕЦЬ Василь Павлович,
Ніжинський державний педагогічний університет
імені Миколи Гоголя,
завідувач кафедри вищої математики
кандидат фізико-математичних наук, доцент
САМУСЕНКО Петро Федорович,
Національний педагогічний університет
імені М.П. Драгоманова,
доцент кафедри математичного аналізу
Захист відбудеться 24 грудня 2007 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022 м. Київ–22, проспект Академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, вул. Володимирська, 58).
Автореферат розіслано "14__" ___11______________ 2007 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Одним з актуальних напрямків сучасної математики є теорія нелінійних диференціальних рівнянь. Це пов’язано, перш за все, з використанням частіше всього саме нелінійних диференціальних рівнянь для математичного моделювання найрізноманітніших явищ та процесів в природознавстві та техніці, біології, економіці, соціології та ін.
Добре відомо, що нелінійні диференціальні рівняння зазвичай є дуже складним об’єктом для дослідження. Тому, не дивлячись на те, що такі математичні об’єкти вивчались багатьма визначними математиками, на сьогодні ще залишається значна кількість відкритих проблем і питань, що стосуються, зокрема, побудови їх аналітичних та наближених розв’язків.
Як відомо, одним з найбільш ефективних методів побудови наближених розв’язків нелінійних диференціальних рівнянь, що містять малий (або великий) параметр, є асимптотичні методи, які дозволяють побудувати розв’язок відповідної задачі, який задовольняє вихідне рівняння з певною точністю.
Одним з перших асимптотичний метод для побудови наближених розв’язків застосував відомий французький математик Лагранж Ж. Згодом в працях різних математиків було запропоновано низку найрізноманітніших асимптотичних методів для побудови наближених розв’язків нелінійних диференціальних рівнянь, зокрема, метод Пуанкаре, метод Ван-дер-Поля, метод ВКБ, метод Крилова-Боголюбова-Митропольського, метод усереднення, метод різних масштабів та багато інших, теорія яких розвивалася в працях Фур’є Ж., Лiувiлля Ж., Штурма Ж., Лiндштедта А., Ван-дер-Поля Б., Стєклова В.А., Мандельштама Л.I., Папалексi М.Д., Крилова М.М., Боголюбова М.М., Митропольського Ю.О., Вазова В., Малкiна I.Г., Маслова В.П., Самойленка А.М., Гребенікова Е.А., Мартинюка Д.І., Перестюка М.О., Рубаника В.П., Рябова Ю.О., Фодчука В.І. та багатьох інших вчених.
При вивченні різноманітних явищ та процесів техніки, біології, хімії, медицини виникає необхідність дослідження нелінійних диференціальних рівнянь з малим параметром при старшій похідній – так званих сингулярно збурених диференціальних рівнянь. Такі диференціальні рівняння описують релаксаційні коливання і мають ряд особливостей, зокрема, в загальному випадку розв’язок породжуючої задачі не є границею (при прямуванні малого параметра до нуля) розв’язку сингулярно збуреної задачі.
Різні аспекти теорії сингулярно збурених диференціальних рівнянь досліджувались відомими російськими вченими Міщенком Є.Ф., Понтрягіним Л.С., Тихоновим А.М., Бутузовим В.Ф., Васільєвой А.Б., Ломовим С.О., Розовим М.Х., Колесовим А.Ю., Колєсовим Ю.С. та інш.
Наявність виродженої матриці при похідних значно ускладнює дослідження розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь, оскільки в загальному випадку такi системи не можна звести до нормальних сингулярно збурених систем, теорія яких добре розроблена. Активне вивчення систем такого типу, а також вироджених систем без параметра розпочалося порівняно недавно, з початку 80-х років минулого століття. У працях Самойленка А.М., Шкіля М.І., Яковця В.П., Бояринцева Ю.Є., Кемпбела С.Л., О’Малi Р.Е., Петзольда Л.Р., Самусенка П.Ф., Чистякова В.Ф. та інш., опублікованих протягом останніх трьох десятиліть, вивчено різні аспекти теорії вироджених сингулярно збурених систем, зокрема, знайдено необхідні та достатні умови існування загального розв’язку задачі типу Коші для різних класів систем диференціальних рівнянь, встановлено його структуру, досліджено питання про існування та єдиність періодичного розв’язку.
У працях Самойленка А.М., Шкіля М.І., Яковця В.П., Жукової Г.С., Чернишова К.І. та їх учнів, на основі застосування теорії матричних в’язок та методу діаграм Ньютона, розроблено теорію асимптотичного інтегрування сингулярно збурених лінійних систем з матрицею при старшій похідній, що залежить від малого параметра і яка вироджується при , що є узагальненням і розвитком результатів Біркгофа Дж.Д., Тамаркіна Я.Д., Территина Х.Л., Фещенка С.Ф., Шкіля М.І., Сотниченка М.А., Старуна I.I. та інш., щодо побудови асимптотичних розв’язків сингулярно збурених лінійних диференціальних рівнянь.
З іншого боку, багатьом фізичним процесам властива миттєва зміна деяких їх характеристик, яка може бути описана за допомогою так званих умов імпульсної дії, що викликає потребу вивчення систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією.
Безумовний пріоритет дослідження систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією належить представникам Київської школи з нелінійної механіки. Різні аспекти поведінки розв’язків таких систем детально досліджувались в працях Митропольського Ю.О., Самойленка А.М., Ахметова М.У., Бойчука О.А., Лучки А.Ю., Мартинюка Д.І., Ронто А.М., Ронто М.Й., Самойленка В.Г., Теплінського Ю.В., Ткача Б.П., Ткаченка В.І., Трофимчука С.І., Чернікової О.С. та багатьох інших. Зокрема, в працях Самойленка А.М., Перестюка М.О., Самойленка В.Г., Лісовської В.П., Самойленко Ю.І., Хомченко Л.В. вивчались питання про побудову асимптотичних розв’язків сингулярно збурених диференціальних рівнянь з імпульсною дією у фіксовані моменти часу та обгрунтування асимптотики для них.
В той же самий час залишилось не розглянутим питання про побудову асимптотичних розв’язків вироджених сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією та встановлення асимптотичних оцінок для них.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках бюджетної науково-дослідної теми № 01 БФ 038-03 "Розробка методів асимптотичного інтегрування нелінійних систем теорії керування в біології та медицині і моделювання процесів взаємодії та деформування суцільних середовищ" (номер державної реєстрації 0104U003264). Особистий внесок дисертанта в рамках даної теми полягає в проведенні досліджень з побудови асимптотичних розв’язків для вироджених сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією та встановленню асимптотичних оцінок для них.
Мета і задачі дослідження. Метою даної дисертаційної роботи є розробка алгоритму побудови асимптотичних розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженням і імпульсною дією та його обгрунтування.
Об’єктом дослідження є лінійні та нелінійні вироджені сингулярно збурені системи звичайних диференціальних рівнянь з імпульсною дією у фіксовані моменти часу.
Предметом дослідження є вироджені сингулярно збурені системи диференціальних рівнянь з імпульсною дією.
Методи дослідження. В даній дисертації використано методи аналітичної і якісної теорії диференціальних рівнянь, асимптотичні методи, метод примежевих функцій.
Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати дисертації є новими. У ній вперше: –
запропоновано алгоритм побудови асимптотичних розв’язків вироджених сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією; –
доведено теореми про асимптотичні оцінки для побудованих асимптотичнх розв’язків вироджених сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією у фіксовані моменти часу; –
доведено теореми про неперервно-диференційовну залежність від параметру розв’язків виродженої нелінійної системи диференціальних рівнянь, як у випадку виконання умови "ранг-степінь" стосовно виродженої матриці та її характеристичного рівняння, так і у випадку невиконання цієї умови.
Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають перш за все теоретичний характер. Вони доповнюють і розширюють існуючі результати з теорії асимптотичного інтегрування сингулярно збурених звичайних диференціальних рівнянь з імпульсною дією і можуть бути використані як в подальшому розвитку загальної теорії сингулярно збурених рівнянь, так і при дослідженні тих явищ і процесів, які описуються математичними моделями на основі диференціальних рівнянь і систем такого типу за умов миттєвої зміни деяких їх характеристик.
Особистий внесок здобувача. Усі наукові результати дисертаційної роботи отримані дисертантом особисто. У спільних роботах з науковим керівником [1–3,6,7], доктору фізико-математичних наук, професору Самойленку В.Г. належить постановка задач та обговорення можливих шляхів їх розв’язання. В статтях [4,5] кандидату фізико-математичних наук Самойленко Ю.І. належить ідея про застосування теореми про неявну функцію при доведенні теореми про неперервно-диференційовну залежність від параметру розв’язку вироджених систем диференціальних рівнянь.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на Міжнародній науковій конференції "Шевченківська весна" (Київ, 2005 р.), Міжнародній науковій конференції "Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры" (Брест, 2005 р.), Міжнародній науковій конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування" (Київ, 2005 р.), XII-й Міжнародній науковій конференції студентів, аспірантів та молодих вчених "Ломоносов-2005" (Москва, 2005 р.), Міжнародній науковій конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування" (Чернівці, 2006 р.), науковому семінарі кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь (наукові керівники – академік НАН України А.М. Самойленко, член-кореспондент НАН України М.О. Перестюк), засіданнях наукового семінару кафедри математичної фізики (науковий керівник – професор В.Г. Самойленко) механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, науковому семінарі кафедри математичного аналізу (науковий керівник – академік АПН України М.І. Шкіль) Національного педагогічного університету імені М.П. Драгоманова.
Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 10 наукових працях, з яких – 7 статей у фахових наукових виданнях та 3 – у збірниках тез конференцій.
Структура та об’єм дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 131 сторінку, основний зміст роботи викладено на 113 сторінках. Список використаних джерел містить 143 найменування.
Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику професору Самойленку Валерію Григоровичу за постановку розглянутих в дисертаційній роботі задач та постійну увагу до роботи.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, проаналізовано сучасний стан проблеми, описано мету, задачі дослідження, подано основні результати дисертації, визначено їх новизну і практичне значення, зазначено особистий внесок здобувача, апробацію роботи та публікації здобувача за темою дисертації.
У першому розділі подано огляд праць, які стосуються теорії асимптотичних методів сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з умовою імпульсної дії, проаналізовано етапи розвитку теорії асимптотичного інтегрування систем диференціальних рівнянь, розглянуто методи побудови загального розв’язку вироджених лінійних систем, проаналізовано останні дослідження щодо розв’язання задачі Коші для систем даного типу.
У другому розділі розглянуто питання про залежність від параметра розв’язку вироджених систем диференціальних рівнянь вигляду
(1)
з початковою умовою
(2)
Тут – -вимірна вектор-функція;, , – деяке фіксоване число, – особлива - матриця.
Припускається, що виконуються умови:
. при всіх, , де – деякий інтервал, що містить точку .
. При кожному та всіх характеристичне рівняння має один кратний скінченний та один кратний нескінченний елементарний дільник, кратностей та відповідно, кратність яких не залежить від , .
. Степінь рівняння дорівнює рангу матриці при кожному та всіх .
. Вектор-функція є раз неперервно диференційовною стосовно змінних в області.
. Матриця є раз неперервно диференційовна стосовно змінних та не змінює свого рангу в області .
. Задача Коші (1), (2) має єдиний розв’язок, який при кожному визначено на інтервалі .
. Вектор початкових умов (2) неперервно диференційовно залежить від .
Теорема 2.1. Нехай виконуються умови – . Тоді розв’язок задачі (1), (2) як функція параметра , є неперервно диференційовною функцією стосовно в точці при кожному з деякого околу точки . Більш того, якщо функція є раз неперервно диференційовною стосовно в області , то як функція параметра , є раз неперервно диференційовною функцією стосовно в точці при кожному з деякого околу точки .
Розглянуто також випадок невиконання умови (умова "ранг-степінь"), при цьому замість умов , розглядаються такі умови:
. Вектор-функція є раз неперервно диференційовною стосовно змінних в області.
. Матриця є раз неперервно диференційовна стосовно змінних та не змінює свого рангу в області .
Теорема 2.2. Нехай виконуються умови , , – . Тоді розв’язок задачі (1), (2) як функція параметра , є неперервно диференційовною функцією стосовно в точці при кожному з деякого околу точки . Більш того, якщо функція є раз неперервно диференційовною стосовно в області , то як функція параметра , є раз неперервно диференційовною функцією стосовно в точці при кожному з деякого околу точки .
Результати другого розділу опубліковано в [4,5].
У третьому розділі розглянуто питання про побудову асимптотичних розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією у фіксовані моменти часу. Спочатку, у підрозділі .1 розглянуто лінійні системи диференціальних рівнянь цілого рангу вигляду
(3)
з умовою імпульсного впливу у фіксовані моменти часу
(4)
де, , , – деяке число, та початковою умовою
(5)
Тут – -вимірний вектор, – скалярна нескінченно диференційовна на функція; – натуральне число; – -вимірний вектор та , – - матриці, які зображуються у вигляді формальних рядів
де вектори та матриці , , , – нескінченно диференційовні на , а матриця така, що для всіх . Розв’язок задачі (3) – (5) вважається неперервним зліва в точках імпульсної дії , .
Розглянуто випадки, коли гранична в’язка матриць на кожному скінченому відрізку , має простих скiнченних елементарних дільників та один нескінченний елементарний дільник та випадок, коли гранична в’язка матриць на кожному скінченному відрізку, , має скінченних кратних елементарних дільників,, ..., кратності відповідно, та один нескінченний елементарний дільник кратності , де.
Побудовано наближені (асимптотичні) розв’язки задачі (3) – (5) (у випадку, коли неоднорідність в рівнянні (3) не обов’язково є малою) та отримано асимптотичну оцінку для них.
Результати підрозділу 3.1 опубліковано в [1,2].
У підрозділі 3.2 розглянуто питання про побудову асимптотичного розв’язку вироджених нелінійних сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь вигляду
(6)
з умовою імпульсної дії у фіксовані моменти часу
(7)
де , , , – деяке число.
Тут і – -вимірні вектори; – вироджена - матриця. Під розв’язком задачі (6), (7) розуміється вектор-функція нескінченно диференційовна при , , що має розриви першого роду в точках імпульсної дії , , і неперервна зліва в них.
Припускається, що виконуються умови:
Елементи матриці нескінченно диференційовні на .
Вектор-функція має неперервні частинні похідні по всіх аргументах будь-якого порядку на кожному з інтервалів , .
Визначник для всіх .
Породжуюча задача для (6), (7) (при )
(8)
має єдиний розв’язок який є неперервно диференційовною функцією для всіх за виключенням точок імпульсної дії , .
Визначник матриці відмінний від нуля.
Вектор-функції , , нескінченно диференційовні для всіх .
Для матриці, , виконується умова:, , для всіх .
В’язка матриць має на відрізку один кратний скінченний елементарний дільник кратності і один кратний нескінченний елементарний дільник кратності , .
Степінь рівняння дорівнює рангу матриці , для всіх .
Розв’язок задачі (6), (7) шукається у вигляді суми векторів:
(9)
де – регулярна частина асимптотики, яка записується у вигляді
(10)
а – сингулярна частина асимптотики (примежевий шар), яка записується у вигляді
(11)
(12)
Члени регулярної частини асимптотики визначаються з рекурентних рівностей
(13)
(14)
а члени сингулярної частини асимптотики – з системи звичайних диференціальних рівнянь
(15)
(16)
При цьому використано такі формули:
(17)
(18)
Тут за допомогою позначено матрицю Якобі , обчислену в точці , а за допомогою – матрицю Якобі , обчислену в точці; вектор-функції , в (17), (18) є нескінченно диференційовними функціями й рекурентно визначаються через , ,.
Рівняння (15) має тривіальний розв’язок . Система (16) заміною
(19)
зводиться до алгебро-диференціальної (гібридної) системи вигляду
(20)
(21)
де – деяка –матриця, яку можна записати в явному вигляді,
вектори і мають розмірності та відповідно.
Система (21) має розв’язок
(22)
а розв’язок системи (20) визначається як розв’язок задачі Коші для системи диференціальних рівнянь (20) з початковою умовою
(23)
Для функцій , , примежевого шару, встановлено оцінку.
Лема 3.2.1. Якщо власні значення , , матриці задовольняють умову
(24)
то існують такі сталі, , що при функції задовольняють нерівності
(25)
Доведено теорему про асимптотичну властивість побудованого розв’язку (9) – (12).
Теорема 3.2.1. Якщо виконуються умови – та умови леми 3.2.1, то ряд (9) – (12) є асимптотичним рядом для розв’язку задачі (6), (7) на відрізку , тобто, для кожного існує така стала , що
(26)
Аналогічно розглянуто випадок, коли умова (умова "ранг-степінь") не виконується. При цьому розв’язок задачі (6), (7) шукається також у вигляді (9) – (12). У цьому випадку члени регулярної частини асимптотики будуються аналогічно розглянутому вище випадку і записуються за допомогою формул (13), (14), а члени сингулярної частини асимптотики (на відміну від формул (20), (21) попереднього випадку) визначається із систем звичайних диференціальних рівнянь вигляду
(27)
(28)
де
Вектори і мають розмірності та відповідно, – нільпотентна Жорданова клітина розмірності .
Розв’язок системи (28) визначається рекурентним чином із співвідношень:
(29)
(30)
де, ,
Доведено лему про примежеві функції та теорему про асимптотичну оцінку, аналогічні лемі 3.2.1 та теоремі 3.2.1
Розглянуто приклад, який ілюструє теоретичні викладки підрозділу.
Результати підрозділу 3.2 опубліковано в [6].
У підрозділі 3.3 розглянуто систему вироджених сингулярно збурених нелінійних диференціальних рівнянь цілого рангу
(31)
(32)
де , – фіксовані моменти часу;, , , – деяке число, – натуральне число.
Припускається, що виконуються умови:
Елементи матриці , , нескінченно диференційовні на .
Вектор-функція нескінченно диференційовна стосовно всіх аргументів на
кожному з інтервалів , .
Визначник для всіх .
Породжуюча задача для (31) – (32) ()
(33)
має єдиний розв’язок який є неперервно диференційовною функцією для всіх за виключенням точок імпульсної дії , .
Визначник матриці відмінний від нуля.
Вектор-функції , , нескінченно диференційовні для всіх .
Для матриці, , виконується умова:, , для всіх .
В’язка матриць має на відрізку один кратний скінченний елементарний дільник кратності і один кратний нескінченний елементарний дільник кратності , .
Матриця має на відрізку повний жорданів набір векторів відносно оператора, який складається з одного ланцюжка векторів завдовжки .
Асимптотичний розв’язок задачі e3.1.1, e3.2.1 шукається у вигляді
(34)
де
(35)
(36)
(37)
Регулярна частина розв’язку визначається згідно формул
(38)
(39)
де
а сингулярна частина асимптотики – з системи диференціальних рівнянь
(40)
з початковими умовами
(41)
де
Вектори та , , в (39), (40) визначаються з формул, які аналогічні (17), (18).
Лема 3.3.1. Якщо власні значення , , матриці задовольняють умову
(42)
то існують такі сталі , , що при функції задовольняють нерівності
(43)
Теорема 3.3.1. Якщо виконуються умови – та умови леми 3.3.1, то ряд (34) – (37) є асимптотичним рядом для розв’язку задачі (31), (32) на відрізку , тобто, для кожного існує така стала , що
(44)
Результати підрозділу 3.3 опубліковано в [7].
У підрозділі 3.4 розглянуто задачу про розщеплення вироджених лінійних однорідних та лінійних неоднорідних систем диференціальних рівнянь вигляду
(45)
(46)
Тут – натуральне число; вектор-функція та -матриці , зображуються у вигляді асимптотичних рядів
(47)
Припускається, що виконуються умови:
Елементи матриці є дійсними функціями.
, , , – нескінченно диференційовні -матриці на відрізку .
для всіх .
В’язка матриць регулярна і на відрізку має кратних скінченних елементарних дільників і кратних нескінченних елементарних дільників, кратностей і відповідно.
Степінь характеристичного рівняння менше рангу матриці .
Показано, що при виконанні умов систему диференціальних рівнянь e1.2 можна звести до вигляду
(2)
або
де, матриці, зображуються у вигляді асимптотичних рядів:
де , , – нільпотентні блоки Жордана;
матриці , мають розмірності , , відповідно, , , , , – блочні матриці, що мають ту ж розмірність, що й матриця , причому кожний -й блок матриці , , має вигляд:
Встановлено структуру матриць , :
Результати цього підрозділу опубліковано в [3].
ВИСНОВКИ
Дисертаційна робота присвячена побудові асимптотичних розв’язків для вироджених сингулярно збурених нелінійних систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією.
Запропоновано алгоритм побудови асимптотичних розв’язків вироджених сингулярно збурених нелінійних систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією у фіксовані моменти часу та дано його обгрунтування – доведено теореми про асимптотичні оцінки для побудованих асимптотичнх розв’язків вироджених сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією у фіксовані моменти часу. Доведено також теореми про неперервно-диференційовну залежність від параметру розв’язків вироджених нелінійних систем диференціальних рівнянь, як у випадку виконання умови "ранг-степінь" стосовно виродженої матриці та її характеристичного рівняння, так і у випадку невиконання цієї умови.
Доведені в дисертації твердження доповнюють і розширюють існуючі результати з теорії асимптотичного аналізу вироджених сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь і можуть бути використані для подальшого її розвитку.
Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Отримані результати можуть знайти застосування при дослідженні тих явищ та процесів, які описуються математичними моделями на основі вироджених сингулярно збурених нелінійних диференціальних рівнянь при наявності умов імпульсної дії.
СПИСОК ПРАЦЬ, ОПУБЛІКОВАНИХ ЗА ТЕМОЮ
ДИСЕРТАЦІІ
Потороча В.В. Асимптотична оцінка для наближеного розв’язку задачі Коші для сингулярно збурених лінійних систем диференціальних рівнянь з виродженнями та імпульсною дією // Вісник Київ. нац. ун-ту. Математика. Механіка. – 2005. – Вип. 14. – С. 73 – 75.
Потороча В.В., Самойленко В.Г. Асимптотична оцінка для наближеного розв’язку задачі Коші для сингулярно збурених лінійних систем диференціальних рівнянь з виродженням та імпульсною дією у випадку кратних коренів // Доповіді НАН України. – 2005. – №12. – С. 45 – 50.
Потороча В.В., Самойленко В.Г. О расщеплении вырожденной сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений // Нелінійні коливання. – 2006. – Т.9. – № . – С. 401 – 415.
Потороча В.В., Самойленко В.Г., Самойленко Ю.І. Неперервно диференційовна залежність розв’язку виродженої системи диференціальних рівнянь від параметра // Доповіді НАН України. – 2006. – №12. – С. 19 – 24.
Потороча В.В., Самойленко В.Г., Самойленко Ю.І. Про залежність розв’язку виродженої системи диференціальних рівнянь від параметра // Доповіді НАН України. – 2007. – №1. – С. 33 – 37.
Potorocha V.V., Samoilenko V.Hr. Аsymptotical solutions to singularly perturbed systems of differential equations with degenerations and impulses // Математичний вісник НТШ. – 2006. – Т. . – С. – .
Потороча В.В., Самойленко В.Г. Асимптотические решения сингулярно возмущенных нелинейных систем дифференциальных уравнений с вырождением и импульсным воздействием // Дифференциальные уравнения. – 2007. – Т.43, № . – С. 356 – 367.
Samoilenko V.Gr., Potorocha V.V. Asymptotical solutions to singulary perturbed system of differential equations with degenerating and impulsive influence // Міжнар. наук. конф. Диференціальні рівняння та їх застосування. Тези доповідей. 6 – 9 червня 2005 р. Київ. – 2005. – С. 126.
Потороча В.В. Асимптотические решения сингулярно возмущенных нелинейных систем дифференциальных уравнений с вырождением и импульсным воздействием // Междунар. научн. конф. "Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры". Материалы конференции 5 – 8 октября 2005 г. Брест. – 2005. – С. 188 – 189.
Потороча В.В. Неперервна залежність розв’язку виродженої системи диференціальних рівнянь від параметру // Міжнар. наук. конф. Диференціальні та інтегральні рівняння. Матеріали конференції 11 – 14 жовтня 2006 р. Чернівці. – 2006. – С. 141.
АНОТАЦІЯ
Потороча В.В. Асимптотичні розв’язки вироджених сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2007.
Дисертаційна робота присвячена побудові асимптотичних розв’язків для вироджених сингулярно збурених нелінійних систем диференціальних рівнянь з умовою імпульсної дії.
В дисертації на основі методу примежевих функцій розроблено алгоритм побудови асимптотичних розв’язків вироджених сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь вигляду
з умовою імпульсної дії у фіксовані моменти часу
Асимптотичний розв’язок шукається у вигляді суми регулярної і сингулярної частин, члени асимптотичного розкладу для регулярної частини визначаються з рекурентних алгебраїчних співвідношень, а члени асимптотичних розкладів для сингулярної частини – з нелінійного диференціального рівняння та системи лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь з початковими умовами, які враховують умови імпульсної дії. Розглянуто декілька різних випадків, що визначаються структурою матриці .
Для визначення в явному вигляді членів асимптотичних розкладів для наближених розв’язків розглядуваної задачі записано відповідні задачі Коші, доведено леми про властивості примежевих функцій.
Дано обгрунтування запропонованого алгоритму побудови асимптотичних розв’язків – доведено теореми про порядок, з яким побудовані асимптотичні розв’язки задовольняють вихідні задачі.
Встановлено умови неперервно-диференційовної залежності від параметра розв’язку вироджених систем диференціальних рівнянь вигляду
розглянуто випадки виконання та невиконання умови "ранг-степінь" стосовно граничної в’язки матриць .
В залежності від структури граничної в’язки матриць сформульовані достатні умови неперервно-диференційовної залежності від параметра розв’язку даної початкової задачі.
При доведенні тверджень про неперервно-диференційовну залежність від параметра розв’язку вироджених систем диференціальних рівнянь використано метод розщеплення вироджених систем диференціальних рівнянь та теорему про неявну функцію.
Результати дисертації мають теоретичний характер. В той же час вони можуть бути застосовані при дослідженні тих явищ та процесів в фізиці, хімії, біології, медицині, економіці, яким властива миттєва змінна деяких їх характеристик, математичні моделі яких описуються за допомогою вироджених сингулярно збурених нелінійних систем диференціальних рівнянь з імпульсним впливом.
Ключові слова: асимптотичні розв’язки, вироджені сингулярно збурені системи диференціальних рівнянь, асимптотичні оцінки, імпульсна дія, примежеві функції, залежність розв’язку від параметра, в’язка матриць.
АННОТАЦИЯ
Потороча В.В. Асимптотические решения вырожденных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. – Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2007.
Диссертационная работа посвящена построению асимптотических решений для вырожденных сингулярно возмущенных нелинейных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием.
На основе метода пограничных функций (метода погранслоя) разработан алгоритм построения асимптотических решений указанных выше задач, для определения в явном виде асимптотических решений указаны соответствующие задачи Коши, дано обоснование предложенного алгоритма – доказаны теоремы о порядке, с которым построенные асимптотические решения удовлетворяют исходные задачи, доказаны леммы о свойствах пограничных функций.
Доказаны теоремы о зависимости от параметра решений систем дифференциальных уравнений при наличии вырожденной матрицы при старшей производной.
Результаты диссертации имеют теоретический характер. В то же время они могут быть использованы при исследовании тех явлений и процессов в физике, химии, биологии, медицине, экономике, которым свойственно мгновенное изменения некоторых их характеристик, математические модели которых описываются с помощью вырожденных сингулярно возмущенных нелинейных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием.
Ключевые слова: асимптотические решения, вырожденные сингулярно возмущенные системы дифференциальных уравнений, асимптотические оценки, импульсное воздействие, пограничные функции, зависимость решений от параметра, пучок матриц.
ABSTRACT
Potorocha V.V. The asymptotic solutions for degenerated singulary perturbed systems of the differential equations with pulses. – Manuscript.
Thesis for obtaining the scientific degree of candidate of physics and mathematical sciences in the speciality 01.01.02 – differential equations. Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2007.
Thesis is devoted to solving the problem on constructing asymptotic solutions for the degenerated singulary perturbed non-linear systems of differential equations with pulses at the fixed time moments.
Algorithm of constructing asymptotic solutions of the problem mentioned above is developed on the base of boundary function technique. To construct asymptotic solution in exact form we formulate the corresponding Cauchy problems, its solvability and lemmas on properties of boundary functions which the asymptotic solutions consist of are proved. The justification of the proposed algorithm is given and the corresponding theorems on estimation of difference between exact and approximated solutions are proved.
The results of the thesis have first of all theoretical meaning. At the same time, they can be applied within the research of different phenomenon and processes in physics, chemistry, biology, medicine, economics, etc, that can be characterized by instantaneous change of some characteristics and mathematical models of which are given with degenerated singular perturbed differential equations with pulses at the fixed time moments.
Keywords: asymptotic solution, degenerated singular perturbed differential equation, asymptotic estimation, pulse, boundary function, dependence of solution on parameter, bundle of matrices.
Підписано до друку 9.11.2007. Формат 60х81/16
Папір офсетний. Друк офсетний. Гарнітура Times
Наклад 100прим. Замовлення 101
ум. друк. арк. 1,3
ТзОВ “Наука-Сервіс”,
Ніжин, Комунарів, 7.
