Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет

імені Івана Франка

ГРИНЦІВ Надія Миколаївна

УДК 517.95

ОБЕРНЕНІ ЗАДАЧІ

ДЛЯ ПАРАБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ З ВИРОДЖЕННЯМ

В ОБЛАСТЯХ З ВІЛЬНИМИ МЕЖАМИ

01.01.02 – диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Львівського

національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти

і науки України.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор

Іванчов Микола Іванович,

Львівський національний університет

імені Івана Франка,

завідувач кафедри диференціальних рівнянь.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Городецький Василь Васильович,

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича,

завідувач кафедри алгебри та інформатики;

доктор фізико-математичних наук, професор

Каленюк Петро Іванович,

Національний університет “Львівська політехніка”,

директор Інституту прикладної

математики та фундаментальних наук,

завідувач кафедри вищої математики.

Захист відбудеться 8 травня 2008 р. о 1530 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському нацiональному унiверситетi iмені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м.Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий “ 02 ” квітня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Остудін Б.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія обернених задач почала інтенсивно розвиватись відносно недавно – починаючи з 70-х років минулого століття, але, завдяки широкому застосуванню в економіці, медицині, металургії та інших галузях, привернула до себе увагу багатьох авторів. Вагоме місце в цій теорії займають коефіцієнтні обернені задачі, де серед невідомих є коефіцієнт рівняння або його вільний член. Дослідженню коефіцієнтних обернених задач присвячено ряд робіт М.І. Іванчова, А.Д. Іскендерова, М.В. Клібанова, О.І. Прилєпка, В.В. Соловйова, B.F. Jones, J.R. Cannon, A. Lorenzi, W. Rundell та інших.

Поряд з оберненими важливе місце в теорії диференціальних рівнянь займають задачі з вільною межею. Вони виникають уже в таких простих фізичних процесах як плавлення твердих тіл або кристалізація рідин. Математичні моделі цих задач розглядались в роботах С.Н. Антонцева, Б.В. Базалія, І.І. Данилюка, А.М. Мейерманова та інших.

Задачі з вільною межею для параболічних рівнянь можна трактувати як обернені завдяки появі у формулюванні задачі функції, яка задає невідому частину межі. Заміною змінних ці функції переводяться в коефіцієнти рівняння і отримується обернена коефіцієнтна задача в області з відомими межами. Такий підхід дає можливість об'єднати два типи задач – обернені задачі і задачі з вільною межею. Вивченням коефіцієнтних обернених задач для параболічних рівнянь в областях з вільними межами займались І.Є. Баранська, М.І. Іванчов, І.Г. Малишев, Г.А. Снітко, L. Lorenzi та інші.

При описі таких фізичних процесів як рух рідин та газів у пористому середовищі, опріснення морських вод, явища в плазмі виникають задачі для параболічних рівнянь з виродженням в областях як з відомими, так і з вільними межами. Дослідженню прямих задач з виродженням в областях з відомими межами присвячені роботи А.В. Глушака, В.П. Глушко, Т.Д. Джураєва, С.Д. Івасишена, О.С. Калашнікова, М.І. Матійчука, І.П. Мединського, І.Д. Пукальського, П.Я. Пукача, С.Д. Шмулевича, W.T. Word, M.C. Waid та інших. Прямі задачі з виродженням в областях з вільними межами вивчались у працях E. DiBenedetto, S. De Lillo, Li Huilai, M.C. Salvatori, R.E. Showalter та інших.

Хоча прямі задачі з виродженням в областях як з відомими, так і з вільними межами досліджені достатньо повно, обернені задачі з виродженням практично не розглядались. Лише праці М.М. Гаджієва, Т. Єлдесбаєва, Н.В. Салдіної присвячені коефіцієнтним оберненим задачам для рівнянь з виродженням в областях з відомими межами. Роботи, які б поєднували обернені задачі з виродженням та задачі з вільними межами, не розглядались. Тому дослідження обернених задач для параболічних рівнянь з сильним та слабким степеневим виродженням в областях з вільними межами є актуальним.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями кафедри диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка. Дисертація виконана в рамках науково-дослідної державної теми "Розробка методів дослідження якісних характеристик математичних моделей, які описуються рівняннями у частинних похідних" (номер держреєстрації 0106U001284).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є встановлення умов однозначної розв'язності обернених задач для параболічних рівнянь з виродженням в областях з вільними межами.

Безпосередніми задачами дослідження є:

1) встановити умови існування та єдиності класичного розв'язку обернених

задач визначення залежного від часу старшого коефіцієнта у слабко виродженому параболічному рівнянні в області з вільною межею при наявності інтегральної умови перевизначення та умови Стефана;

2) знайти умови ідентифікації залежного від часу невідомого коефіцієнта

при старшій похідній у сильно виродженому параболічному рівнянні в області з вільною межею;

3) встановити умови коректної розв'язності обернених задач для парабо-

лічного рівняння в області, межа якої задається двома невідомими функціями, у випадках сильного та слабкого степеневого виродження.

Об'єкт дослідження: обернені задачі для параболічних рівнянь з

виродженням в областях з вільними межами.

Предмет дослідження: умови існування та єдиності розв’язків обернених

задач визначення старшого коефіцієнта у параболічному рівнянні з виродженням в областях з вільними межами.

Методи дослідження: метод функцій Гріна (при зведенні оберненої задачі

до еквівалентної системи рівнянь); метод нерухомої точки (при знаходженні розв’язків операторних рівнянь); метод інтегральних рівнянь (при знаходженні розв’язків інтегральних рівнянь, еквівалентних оберненим задачам, та при доведенні єдиності розв’язків обернених задач); метод інтегральних нерівностей (при встановленні апріорних оцінок розв’язків систем рівнянь, що еквівалентні оберненим задачам).

Наукова новизна отриманих результатів. Для коефіцієнтних обернених параболічних задач з виродженням в областях з вільними межами у дисертації вперше отримані наступні результати:

1) в області з вільною межею встановлено умови однозначного визначення

залежного від часу старшого коефіцієнта в параболічному рівнянні зі слабким степеневим виродженням та інтегральною умовою перевизначення;

2) в області з вільною межею знайдено умови існування та єдиності

розв'язку оберненої задачі визначення залежного від часу коефіцієнта при старшій похідній у параболічному рівнянні зі слабким степеневим виродженням та умовою Стефана;

3) встановлено умови ідентифікації невідомого залежного від часу стар-

шого коефіцієнта у сильно виродженому параболічному рівнянні в області з вільною межею;

4) знайдено умови однозначного визначення залежного від часу старшого

коефіцієнта в параболічному рівнянні зі слабким та сильним степеневим виродженням в області з двома невідомими ділянками межі.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані в дисертації ре-

зультати мають теоретичне значення. Їх можна використати при подальших дослідженнях обернених задач з виродженням в областях з вільними межами та практичному розв’язанні таких задач.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані автором самостійно. У спільній з науковим керівником роботі [9] М.І. Іванчову належить формулювання задачі, методика досліджень і аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались і обговорювались на засіданнях Львівського міського семінару з диференціальних рівнянь (керівники: член-кор. НАН України, проф. Б.Й. Пташник, проф. М.І. Іванчов, проф. П.І. Каленюк, 2006-2008), засіданнях наукового семінару з обернених задач у Львівському національному університеті імені Івана Франка (керівник проф. М.І. Іванчов, 2006-2008), Одинадцятій міжнародній конференції імені академіка М. Кравчука (18-20 травня 2006 р., Київ, Україна), Міжнародній конференції з диференціальних рівнянь, присвяченій 100-річчю Я.Б. Лопатинського (12-17 вересня 2006 р., Львів, Україна), Міжнародній конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування" (11-14 жовтня 2006 р., Чернівці, Україна), Міжнародній математичній конференції імені В.Я. Скоробогатька (24-28 вересня 2007 р., Дрогобич, Україна).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 10 працях, серед яких 6 – у наукових журналах та збірниках наукових праць, 4 – у матеріалах конференцій. Серед публікацій 5 праць опубліковано у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура і об’єм роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел і викладена на 136 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 138 найменувань і займає 12 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику М.І. Іванчову за наукове керівництво та постійну увагу при виконанні даної дисертаційної роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дисертації обґрунтовано актуальність теми, висвітлено сучасний стан наукової проблеми, показано зв'язок з науковими темами, сформульовано мету та задачі дослідження, вказано наукову новизну, практичне значення, апробацію одержаних результатів та структуру роботи.

У першому розділі дисертації подано огляд праць, які стосуються теорії коефіцієнтних обернених задач та задач з вільними межами.

У другому розділі дисертації досліджено обернені задачі для параболічного рівняння зі слабким степеневим виродженням в області з вільною межею при наявності інтегральної умови перевизначення та умови Стефана.

У першому підрозділі цього розділу в області де - невідома функція, розглядається обернена задача визначення коефіцієнта в рівнянні

(1)

з початковою умовою

(2)

крайовими умовами

(3)

та додатковими умовами вигляду

(4)

де - задане число.

Заміною змінних

задача (1) – (5) зводиться до коефіцієнтної оберненої задачі в області з відомими межами

де

Під розв'язком задачі (7) – (11) розуміється трійка функцій що задовольняє рівняння (7) та умови (8) – (11).

За допомогою функції Гріна першої крайової задачі для рівняння пряма задача (7) – (9) зводиться до еквівалентної системи рівнянь відносно невідомих де . З рівностей (10), (11) отримуються рівняння відносно Для доведення існування розв'язку отриманої системи рівнянь відносно невідомихвується теорема Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора.

Теорема 2.1. Нехай виконуються умови:

1) та за-

довольняють умову Гельдера за змінною з показником рівномірно відносно

2)

3)

Тоді можна вказати таке число яке визначається вихід- ними даними, що розв'язок задачі (7) – (11) існує при

При доведенні єдиності розв'язку задачі (7) – (11) виникає однорідна система інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду з ядрами, що мають інтегровані особливості. З єдиності розв'язків таких систем випливає єдиність розв'язку задачі (7) – (11).

Теорема 2.2. Припустимо, що виконуються умови:

1)

2)

3)

Тоді розв'язок задачі (7) – (11) єдиний.

У підрозділі 2.2 досліджується задача (1) – (4) з умовою Стефана

Припускається, що значення відоме.

Після заміни змінних (6) умова (12) переходить в умову

Досліджуючи задачу (7) – (10), (13) за такою ж схемою, що й у підрозділі 2.1, встановлено умови існування та єдиності розв?язку цієї задачі.

Теорема 2.3. Припустимо, що виконуються умови:

1)

та задовольняють умову Гельдера за змінною рівномірно відносно

з показником

2)

3)

Тоді можна вказати таке число яке визначається

вихідними даними, що існує розв'язок задачі (7) – (10), (13), такий, що

Теорема 2.4. Припустимо, що виконуються умови:

1)

2)

Тоді класичний розв'язок задачі (7) – (10), (13), такий, що , єдиний.

У третьому розділі дисертаційної роботи в області розглядається задача (1) – (5) у випадку сильного ( степеневого виродження. Заміною змінних (6) задача (1) – (5) зводиться до задачі (7) – (11), в якій

Під розв’язком задачі (7) – (11) розуміється трійка функцій з класу де , яка задовольняє рівняння (7) та умови (8) – (11).

Як і у випадку слабкого виродження задача (7) – (11) зводиться до еквівалентної системи рівнянь відносно невідомих (Проте встановлення апріорних оцінок розв'язків цієї системи суттєво відрізняється від випадку слабкого виродження. Це викликано тим, що містить доданок, який має особливість при повз вико- нанням крайової умови. Потрібні оцінки розв'язків системи отримуються за допомогою функції

Для доведення єдиності розв'язку застосовується метод нерівностей.

Теорема 3.1. Припустимо, що виконуються умови:

1)

2)

3)

де – деякі додатні

сталі, довільне фіксоване число;

4)

Тоді можна вказати таке число яке визначається вихід- ними даними, що існує єдиний розв'язок задачі (6) – (10) при

У четвертому розділі дисертації в області з невідомими межами, які задаються функціями та , розглядається обернена задача визначення коефіцієнта

в рівнянні

з початковою умовою

крайовими умовами

та умовами перевизначення

де - задане число. У підрозділі 4.1 досліджується випадок слабкого (0 < ?? < 1), а в підрозділі 4.2 - сильного (?? ? 1) степеневого вироджен-ня. На відміну від двох попередніх розділів у формулюванні задачі з'являється ще одна невідома функція і відповідно ще одна додаткова умова. Заміною змінних задача (14) – (19) зводиться до коефіцієнтної оберненої задачі відносно невідомих в області з відомими межами

в якій 0 < ?? < 1 у випадку слабкого та ?? ? 1 у випадку сильного степеневого виродження.

Задача (20) – (25) зводиться до еквівалентної системи рівнянь відносно невідомих (, існування розв'язку якої доводиться за допомогою теореми Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора. При цьому у випадку сильного степеневого виродження для встановлення апріорних оцінок розв'язків цієї системи використовується функція

яка на відміну від подібної функції, що використовується у розділі 3, залежить від невідомої величини

Умови існування розв'язку для випадку слабкого степеневого виродження сформульовані у теоремі 4.1, умови єдиності розв'язку містить теорема 4.2.

Теорема 4.1. При виконанні умов

1)

2)

3)

можна вказати таке число яке визначається вихідними даними, що існує розв'язок задачі (20)–(25), такий, що

Теорема 4.2. Припустимо, що виконуються умови:

1)

2)

3)

Тоді розв'язок задачі (20)–(25), такий, що єдиний.

У випадку сильного степеневого виродження отримано умови локального існування та єдиності розв'язку задачі (20) – (25), що наведені у наступній теоремі.

Теорема 4.3. Припустимо, що виконуються умови:

1)

2) де – деякі додатні сталі, довільне фіксоване число;

3)

Тоді можна вказати таке число яке визначається вихідни-

ми даними, що існує єдиний розв'язок задачі (21) – (26), такий, що

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню обернених задач визначення залежного від часу коефіцієнта при старшій похідній у параболічному рівнянні з виродженням в областях з вільними межами. На основі теореми Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора встановлено умови існування розв'язку таких задач:

1) оберненої задачі визначення старшого коефіцієнта у слабко виродженому па-

раболічному рівнянні в області з вільною межею у випадку інтегральної умови перевизначення;

2) оберненої задачі визначення старшого коефіцієнта у слабко виродженому па-

раболічному рівнянні в області з вільною межею у випадку умови Стефана;

3) оберненої задачі визначення коефіцієнта при старшій похідній у сильно ви-

родженому параболічному рівнянні в області з вільною межею;

4) оберненої задачі визначення старшого коефіцієнта у слабко виродженому

параболічному рівнянні в області з двома невідомими ділянками межі;

5) оберненої задачі визначення старшого коефіцієнта у сильно виродженому

параболічному рівнянні в області з двома невідомими ділянками межі.

Єдиність розв’язків розглядуваних задач встановлено шляхом дослідження систем однорідних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду у випадку слабкого степеневого виродження та встановлення оцінок деякого рівняння, що містить невідомі функції, у випадку сильного степеневого виродження. Крім того, в області з вільною межею та в області з двома невідомими ділянками межі знайдено припущення щодо молодших членів параболічного рівняння, при яких однозначно визначається невідомий залежний від часу старший коефіцієнт параболічного рівняння у випадках сильного та слабкого степеневого виродження.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Гринців Н.М. Обернена задача для рівняння теплопровідності з вироджен-

ням в області з вільною межею // Мат. методи та фіз.- мех. поля. – 2006. – Т. 49, №4. – С. 28-40.

2. Гринців Н.М. Обернена задача для параболічного рівняння з виродженням в

області з вільною межею // Вісн. Львів. ун-ту. Серія мех.-мат. – 2006. – Вип. 66. – С. 45-59.

3. Гринців Н.М. Розв'язність оберненої задачі для виродженого параболічного

рівняння в області з вільною межею // Науковий вісник Чернівецького університету. – 2006. – Вип. 314-315. Математика. – С. 40-49.

4. Гринців Н.М. Про єдиність розв'язку оберненої задачі для виродженого па-

раболічного рівняння в області з вільною межею // Вісник Одеськ. нац. ун-ту. – 2007. – Т. 12, вип. 7 . Матем. і мех. – С. 19-35.

5. Гринців Н.М. Обернена задача для слабко виродженого параболічного рів-

няння в області з вільними межами // Математичний вісник НТШ. – 2007. – Т. 4. – С. 49-65.

6. Гринців Н.М. Обернена задача для сильно виродженого параболічного рів-

няння в області з вільними межами // Вісн. Львів. ун-ту. Серія мех.-мат . – 2007. – Вип. 67. – С. 84-97.

7. Гринців Н.М. Обернена задача для рівняння теплопровідності з вироджен-

ням в області з вільною межею // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені акад. М. Кравчука (18-20 травня 2006). Тези доповідей. – К.: НТУУ "КПІ". – 2006. – С. 74.

8. Гринців Н.М. Розв'язність оберненої задачі для виродженого параболіч-

ного рівняння в області з вільною межею // Диференціальні рівняння та їх застосування. Міжнародна конференція (11-14 жовтня 2006). Тези доповідей. – Чернівці: Рута. – 2006. – С. 31.

9. Гринців Н.М., Іванчов М.І. Обернена задача для сильно виродженого рів-

няння теплопровідності в області з вільною межею // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька (24-28 вересня 2007). Тези доповідей. – Дрогобич: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім.. Я.С. Підстригача НАН України. – 2007. – С. 78.

10. Hryntsiv N. Inverse problem for the degenerate parabolic equation in a free

boundary domain // International Conference on Differential Equations Dedicated to the 100th Anniversary of Ya.B. Lopatynsky. (September 12-17, 2006). Books of abstracts. – Lviv: Видавничий центр Львів. нац. ун-ту ім. Івана Франка. – 2006. – P. 101-102.

АНОТАЦІЯ

Гринців Н.М. Обернені задачі для параболічних рівнянь з виродженням в областях з вільними межами. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2008.

У дисертаційній роботі встановлено умови існування та єдиності розв'язку обернених задач визначення залежного від часу старшого коефіцієнта в параболічному рівнянні зі слабким та сильним степеневим виродженням в області з вільною межею У випадку слабкого степеневого виродження розглядаються випадки інтегральної умови перевизначення та умови Стефана.

В області з двома невідомими ділянками межі знайдено умови ідентифікації залежного від часу старшого коефіцієнта у параболічному рівняння у випадках сильного та слабкого степеневого виродження. Шляхом зведення цих задач до еквівалентних систем рівнянь та застосуванням до них теореми Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора встановлено умови існування розв’язків вказаних задач. При доведенні єдиності розв'язку використовуються властивості розв’язків однорідних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду у випадку слабкого степеневого виродження та метод нерівностей у випадку сильного степеневого виродження.

Ключові слова: обернені задачі, параболічні рівняння з виродженням, області з вільними межами, умова Стефана, інтегральні нерівності, теорема Шаудера про нерухому точку, інтегральні рівняння Вольтерра другого роду.

АННОТАЦИЯ

Грынцив Н.Н. Обратные задачи для вырождающихся параболических уравнений в областях со свободными границами. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кадидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравне-ния. – Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2008.

В диссертационной работе установлены условия существования и единственности решения обратных задач определения зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении со слабым и сильным степенным вырождением в области со свободной границей В случае слабого степенного вырождения рассматриваются случаи интегрального условия переопределения и условия Стефана.

В области с двумя неизвестными участками границы найдены условия идентификации зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении в случаях сильного и слабого степенного вырождения. Путлм сведения этих задач к эквивалентным системам уравнений и применения к ним теоремы Шаудера о неподвижной точке вполне непрерывного оператора установлены условия существования решений указанных задач. При исследовании единственности решения используются свойства решений однородных интегральных уравнений Вольтерра второго рода в случае слабого степенного вырождения и метод неравенств у случае сильного степенного вырожднения.

Ключевые слова: обратные задачи, вырождающиеся параболические уравнения, области со свободными границами, условие Стефана, интегральные неравенства, теорема Шаудера о неподвижной точке, интегральные уравнения Вольтерра второго рода.

ABSTRACT

Hryntsiv N.M. Inverse problems for the degenerate parabolic equations in the free boundary domains. – Manuscript.

Dissertation for the Candidate degree of Physico-Mathematical Sciences on the speciality 01.01.02 – differential equations. – Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, 2008.

The dissertation deals with investigating the inverse problems of the identification the major coefficients in the one-dimensional degenerate parabolic equations in the free boundary domains.

We establish the conditions of existence and uniqueness of the classical solutions to the inverse problems of the determination of the time-dependent coefficient at the higher-order derivative in weakly degenerate parabolic equations in the free boundary domain. In order to define the unknown coefficient and function which describes the unknown boundary we set the additional conditions. There were investigated the cases with Stefan’s and integral conditions as overdetermination conditions. The inverse problem for the strongly degenerate parabolic equation is also studied. Changing the variables we reduce this problem to the coefficient inverse problem for some parabolic equation in the domain with fixed boundary. Using the Green function for the heat equation we obtain the system of equations which is equivalent to the investigated problem. Applying the Schauder fixed-point theorem we prove the existence of the solution to the named problem. In order to prove the uniqueness of the solution we use the properties of the Volterra integral equations of the second kind in the case of weak degeneration and the methods of inequalities in the case of strong degeneration.

By the means of the mentioned methods, in domain with two unknown parts of the boundary we investigate the inverse problems of determination of the time-dependent coefficient in a parabolic equation in the cases of weak and strong power degeneration. There were obtained the conditions of the uniqueness and local with respect to time existence of the solution in the case of weak degeneration and local uniqueness and existence in the case of strong degeneration.

Key words: inverse problems, degenerate parabolic equations, free boundary domains, Stefan’s condition, integral inequalities, the Schauder fixed point theorem, Volterra integral equations of second kind.

Підписано до друку 06.03.2008р.

Формат 60Ч90 1/16. Папір офсетний.

Друк на різографі. Умовн. друк. арк. 1,0. Обл.-видав. арк. 0,89.

Тираж 100 прим. Зам. № 3/19

ТзОВ ВС „Червона калина”

79016, м. Львів, вул. Шведська, 3