ОДЕСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ ЗВ'ЯЗКУ ім. О.С. ПОПОВА

МАЗУРКОВ МИХАЙЛО ІВАНОВИЧ

УДК 621.39: 621.391.14

ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ І МЕТОДИ СИНТЕЗУ ПОВНИХ КЛАСІВ

ШУМОПОДІБНИХ СИГНАЛІВ НА БАЗІ АЛГЕБРАЇЧНИХ КОНСТРУКЦІЙ ДЛЯ ПІДВИЩЕННЯ ЗАВАДОЗАХИЩЕНОСТІ РАДІОСИСТЕМ

05.12.13 – радіотехнічні пристрої та засоби телекомунікацій

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Одеса – 2008

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Одеському національному політехнічному університеті

Міністерства освіти і науки України

Науковий консультант – доктор технічних наук, професор

Воробієнко Петро Петрович,

Одеська національна академія зв’язку, ректор

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Лега Юрій Григорович,

Черкаський державний технологічний

університет, ректор

доктор технічних наук, професор

Кошевой Віталій Михайлович,

Одеська національна морська академія,
завідувач кафедри морського радіозв’язку

доктор фізико-математичних наук, професор

Калюжний Олександр Якович

Національний технічний університет України
“Київський політехнічний інститут”, професор

кафедри радіотехнічних пристроїв та систем

Захист дисертації відбудеться 03 квітня 2008 р. об 11.00 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 41.816.01 в Одеській національній академії зв’язку ім. О.С. Попова за адресою: 65029, м. Одеса, вул. Ковальська, 1, головний корпус, ауд. 222.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Одеської національної академії зв’язку ім. О.С. Попова за адресою: 65029, м. Одеса, вул. Ковальська, 1.

Автореферат розісланий 21 лютого 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої

вченої ради

к.ф-м.н., доцент Васіліу Є.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Головною проблемою сучасної теорії і техніки зв'язку і радіоуправління є підвищення завадозахищеності систем телекомунікацій і, особливо, командних радіоліній управління, в умовах впливу як природних завад, так і створюваних супротивником штучних завад. Одна з основних концепцій підвищення завадозахищеності, що розробляється в даній роботі, полягає в тому, щоб оперативно проводити зміну робочих ансамблів сигналів, збільшуючи тим самим завадостійкість, енергетичну і параметричну скритність роботи системи зв'язку, а також захист інформації від несанкціонованого доступу.

Виходячи з обраної проблеми і концепції підвищення завадозахищеності сучасних систем телекомунікацій випливає, що задача синтезу повних класів лінійних і нелінійних систем шумоподібних сигналів є досить актуальною. Відзначимо також, що ефективне вирішення проблеми завадозахищеності можна здійснити шляхом розробки нових інформаційних технологій розширеного спектра сигналів ? Spread Spectrum, заснованих на спільному застосуванні технології шумоподібних сигналів (ШПС) і технології швидких стрибків робочої частоти ? fast-frequency hopping (FFH). Ці системи також покликані збільшити ступінь захисту інформації від несанкціонованого доступу.

Завдяки інтенсивним дослідженням цілої плеяди закордонних і вітчизняних учених, таких як С. Голомб, І.А. Глобус, Р. Турін, Д. Хаффмен, І.М. Аміантов, Л.Е. Варакін, М.Б. Свердлік, Г.І. Тузов, Я.Д. Ширман, А.Г. Зюко, В.Л. Банкет, В.М. Кошевий , Ю.Г. Лега , В.П. Іпатов та ін., склався визначений класичний багаж теорії дискретних шумоподібних сигналів. У зазначених роботах більшою мірою розглянуті “сигнальні” аспекти ШПС, зв'язані з оцінкою їхніх кореляційних властивостей, і значно меншою – розглянуті перспективи розробки алгоритмів синтезу повних класів лінійних та нелінійних систем шумоподібних сигналів і питання побудови економічних схем та пристроїв їхнього формування й оптимальної обробки.

Даним часом добре відомі переваги технології ШПС, такі як можливості боротьби з багатопроміневістю в каналі зв'язку на основі приймачів типу Rake, можливості побудови систем з кодовим розділенням каналів ? CDMA та багато інші. Однак помітимо, що питання синтезу повних класів лінійних і нелінійних оптимальних і композиційних систем дискретних частотних (ДЧ) сигналів нині не вирішені. Особливо відзначимо, що основна проблема теорії сигналів ? пошук великих систем ДЧ-сигналів об'єму , де ? база сигналу, дотепер не вирішена, хоча відомо, що великі системи сигналів повинні володіти доброю завадостійкістю щодо комплексу завад.

У даній роботі, з метою підвищення завадозахищеності сучасних систем телекомунікацій, розроблена низка регулярних і конструктивних методів синтезу повних класів лінійних і нелінійних систем шумоподібних ДЧ-сигналів, бінарних фазоманіпульованих (БФМ) сигналів та кодованих частотно-часовими матрицями (ЧЧМ) сигналів, що дозволило істотно підвищити параметричну скритність і захист інформації від несанкціонованого доступу. Вперше розроблені базові положення алгебраїчної теорії досконалих двійкових решіток, що використовують для синтезу повних класів мінімаксних та ортогональних систем БФМ-сигналів для сучасних CDMA-технологій.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дослідження дисертаційної роботи сформульована в рамках комплексної Державної науково-технічної програми Міністерства освіти і науки України "Телекомунікаційні системи й інформаційні ресурси", Київ, 2002 (підрозділ 4.3), відповідає науковому напряму і планам кафедри "Радіотехнічні системи" Одеського національного політехнічного університету. Дисертаційна робота є частиною науково-дослідних робіт, виконаних в ОНПУ на кафедрі "Радіотехнічні системи": НДР № 1272-57, № 437-57, № 616-57.

Мета і задачі дослідження

Метою дисертаційної роботи є побудова теоретичних основ і методів синтезу повних класів лінійних і нелінійних шумоподібних сигналів на базі нових алгебраїчних конструкцій для підвищення завадозахищеності радіосистем.

Досягнення поставленої мети потребує розв'язання таких задач.

1. Розробити регулярні правила синтезу повних класів лінійних і нелінійних оптимальних систем ДЧ-сигналів на основі матричних алгебраїчних конструкцій і методу децимації.

2. Розробити конструктивні методи синтезу повних класів лінійних і нелінійних зондувальних радіолокаційних ДЧ-сигналів (сигналів Костаса) з оптимальною функцією невизначеності в координатах “дальність-доплерівська частота”.

3. Розробити регулярні методи синтезу повних класів мінімаксних композиційних систем ДЧ-сигналів над простими і розширеними полями Галуа.

4. Одержати конструктивне вирішення проблеми синтезу великих систем ДЧ-сигналів на основі алгебраїчних конструкцій над простими і розширеними полями Галуа.

5. Створити базові елементи алгебраїчної теорії досконалих двійкових решіток і розробити на цій основі конструктивні методи синтезу повних класів досконалих двійкових решіток.

6. Дослідити можливість побудови і структурні властивості мінімаксних і ортогональних систем БФМ-сигналів на основі досконалих двійкових решіток.

7. Розробити конструктивні методи синтезу компактних і гранично-компактних систем ЧЧМ-сигналів з пасивними паузами і властивістю щільного упакування для удосконалення асинхронних технологій телекомунікацій.

8. Побудувати економічні схеми пристроїв формування і узгодженої обробки на основі урахування структурних властивостей розроблених класів сигналів.

9. Дати рекомендації з практичного застосування побудованих класів шумоподібних сигналів у сучасних синхронних і асинхронних технологіях телекомунікацій на основі методів розширеного спектра та радіосистемах добування інформації.

Об'єкт дослідження. Процеси підвищення завадозахищеності радіосистем з шумоподібними сигналами в умовах впливу природних і штучно створюваних завад.

Предмет дослідження. Методи синтезу повних класів лінійних і нелінійних систем шумоподібних сигналів на основі матричних алгебраїчних конструкцій для підвищення завадозахищеності радіосистем.

Методи дослідження. Методи теорії алгебраїчних полів Галуа і теорії чисел дозволили розробити регулярні алгоритми синтезу повних класів оптимальних, композиційних і великих систем ДЧ-сигналів, розкрити алгебраїчну структуру частотно-часової циклічності ДЧ-сигналів і розробити на цій основі економічні схеми пристроїв їхнього формування і узгодженої обробки. При розробці методів синтезу повних класів досконалих двійкових решіток для побудови ансамблів мінімаксних БФМ-сигналів широко використовувався апарат алгебри, блок-конструкцій, досконалих різницевих множин і спектрально-кореляційної теорії сигналів. Метод математичного моделювання дозволив розкрити і вивчити структурні властивості розроблених класів сигналів, а також підтвердити результати теоретичних досліджень. При розробці економічних схем демодуляторів (декодерів), при оптимальному прийомі ШПС у цілому широко використані методи й алгоритми цифрової обробки сигналів.

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертації розроблено теоретичні основи і методи синтезу різноманітних повних класів лінійних і нелінійних дискретних шумоподібних сигналів на базі нових алгебраїчних конструкцій, що в сукупності вирішують важливу науково-технічну проблему підвищення завадозахищеності радіосистем шляхом реалізації концепції оперативної зміни робочих ансамблів сигналів.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному: –

вперше запропоновано конструктивне рішення проблеми синтезу великих систем дискретних частотних сигналів (ДЧ-сигналів), для яких об’єм системи набагато більший ніж база сигналів; –

вперше отримано регулярні правила синтезу повних класів лінійних і нелінійних оптимальних і композиційних систем ДЧ-сигналів, як на основі повних форм арифметичних таблиць множення в простих і розширених полях Галуа, так і на основі методу власної децимації; –

одержала подальший розвиток теорія радіолокаційних ДЧ-сигналів Костаса з оптимальними функціями невизначеності в координатах “дальність – доплерівська частота”, розроблена низка нових конструктивних правил побудови повних класів радіолокаційних ДЧ-сигналів Костаса; –

вперше створено базові елементи алгебраїчної теорії досконалих двійкових решіток (ДДР) на підставі докладного дослідження їхніх структурних та алгебраїчних властивостей і розробки конструктивних правил синтезу повних класів ДДР; –

набула подальший розвиток теорія бінарних фазоманіпульованих сигналів (БФМ-сигналів) на базі ДДР, побудовано ансамблі мінімаксних та системи ортогональних БФМ-сигналів на базі повних класів ДДР, що для CDMA технологій; –

вперше розроблено конструктивний метод синтезу компактних і гранично-компактних ЧЧМ-сигналів, що кодовані частотно-часовими матрицями з пасивними паузами, на підставі запропонованого принципу максимально-правдоподібного шляху пошуку множини раціональних числових трикутників; –

запропоновано новий конструктивний метод синтезу ЧЧМ-сигналів з властивістю щільної упаковки як рівноважних, так і нерівноважних парціальних сигналів, що забезпечують можливість нерівного захисту інформаційних символів і вести боротьби з корельованими завадами; –

вперше створена методологія побудови швидких алгоритмів та економічних схем обчислення у часовій площині кругових згорток (кореляцій) на основі урахування структурних властивостей часової і частотної циклічності та інформаційної надлишковості дискретних шумоподібних сигналів.

Практичне значення отриманих результатів. На підставі проведених досліджень і запропонованих основ теорії, методів і моделей одержано такі практичні результати: –

рекурентний алгоритм ковзного обчислення кругових згорток (кореляцій) і економічні схеми ковзного кореляційного декодування (ККД) довільних класів циклічних кодів, показано, що апаратурна складність ККД-декодера біциклічних кодів БЧХ максимальної довжини досягає мінімально можливих значень питомих (відносних) коефіцієнтів апаратурної складності; –

рекурентний алгоритм ковзного обчислення кругових згорток (кореляцій) і економічні схеми ККД-декодерів запропонованих ортогональних -кодів на основі ДДР, що мають властивість двопетельного циклічного зсуву;–

регулярні правила побудови повних класів лінійних і нелінійних оптимальних -кодів великого об'єму на основі методу децимації, що є практично досить привабливими, оскільки для формування -кодів не потрібно здійснювати арифметичні операції додавання і множення за або за над елементами відповідно простих і розширених полів Галуа; –

цифрова технологія завадозахищених телекомунікацій з підвищеним рівнем захисту інформації від несанкціонованого доступу на основі щільно упакованих сигналів у вигляді багатопараметричних функцій, що практично дозволяє здійснити нерівний захист інформаційних символів від впливу завад та весту боротьбу з корельованими завадами.

Одержані в роботі наукові результати знайшли практичне впровадження в КП СКБ "МОЛНІЯ" при реалізації поекту "Положення-2" (акт впровадження № 1, від 23.11.07), в СПКБ "Дискрет" при розробці і виготовленні вимірювальної апаратури для космічного наукового експерименту "Обстановка-1" (акт впровадження № 2, від 27.11.07), на підприємстві ТОВ "Південна енергетична компанія" при розробці апаратури каналів зв'язку і телемеханіки АКСТ "Лінія –М-ПУ-ПК" (акт впровадження № 3, від 18.12.07), а також у навчальному процесі кафедри "Радіотехнічні системи" Одеського національного політехнічного університету при викладанні дисциплін: "Основи теорії передачі інформації", "Системи радіозв'язку" і "Системи телекомунікацій", та при виконанні курсового та дипломного проектування (акт впровадження № 4, від 07.12.07). До того ж, розроблені в дисертації методи синтезу та ефективні алгоритми декодування повних класів дискретних шумоподібних сигналів використані при написанні окремих розділів двох навчальних посібників і одного підручника, що видані з грифом МОН України для підготовки бакалаврів і магістрів за напрямом "Радіотехніка".

Особистий внесок здобувача. Усі наукові результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. Роботи [1, 11, 12, 15, 18-20, 24, 25, 32, 33, 37-40, 58] написані особисто автором. В опублікованих роботах у співавторстві зі студентами та аспірантами здобувачеві, зокрема, належать наступні результати: у [2, 5, 8, 16, 17, 21, 22, 27, 34, 48-51] розроблено ідеї, концепції та запропоновано нові правила побудови повних класів оптимальних, композиційних та великих систем ДЧ-сигналів; у [3, 10, 13, 31, 41, 42, 52] розроблено загальна методологія побудови швидких прямих методів обчислення кругових згорток -кових сигналів; у [4,7,9] запропоновано правила побудови ансамблів мінімаксних та ортогональних систем бінарних сигналів на основі досконалих двійкових решіток, досліджено їхні функції невизначеності у координатах “дальність - доплерівська частота ”; у [6, 26] розроблено економічний алгоритм побудови первісних незвідних поліномів над довільними полями Галуа; у [14, 29, 54,] ґрунтуючись на властивостях числових трикутників, запропоновано принцип максимально-правдоподібного шляху для ефективного пошуку раціональних кодів; у [23, 28] запропоновано новий клас ортогональних систем бінарних сигналів з властивістю двопетельного циклічного зсуву; у [35, 36, 43, 59] запропоновано методи синтезу частотно-часових сигналів та принципи побудови нових завадозахищених технологій телекомунікацій.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідалися й обговорювалися:

1. На 2-й Всесоюзній НТК “Розвиток теорії і техніки складних сигналів”. Москва: Радіо і зв'язок, 1983.

2. На 47-й НТК професорсько-викладацького складу і наукових співробітників інституту( Міністерство зв'язку України, ОЕІЗ. Одеса. 04.11.1992).

3. На 1-й міжнародній конференції “Супутникові системи зв'язку і мовлення. Перспективи розвитку в Україні”. Одеса, 20-24 вересня,1993 ОЕІЗ.

4. На 2-й міжнародній конференції по радіозв'язку, звуковому і телевізійному мовленню, “Укртелеконф-95”.19-22 вересня. 1995, Одеса, Україна, ОЕІЗ.

5. На 3-й міжнародній конференції.Укртелеконф-97,Одеса-97, УНДІРТ.

6. На 4-й НТК-телеком-99, Одеса, УНДІРТ, 1999.

7. На 35-й НТК професорсько-викладацького складу і наукових співробітників інституту, ОПУ, Одеса, 2000.

8. На 2-й міжнародної НТК “СІЕТ”, Одеса, 28-31 травня, 2001.

9. На 36-й НТК професорсько-викладацького складу і наукових співробітників інституту, ОПУ, Одеса, 2001.

10. На 5-й міжнародній НТК “Телеконф-2001”, 2001.

11. На 37-й НТК професорсько-викладацького складу і наукових співробітників інституту, ОПУ, Одеса, 2002.

12. На 38-й НТК професорсько-викладацького складу і наукових співробітників інституту, ОПУ, Одеса, 2003.

13. На 4-й міжнародній МНПК “СІЕТ-2003”, ОНПУ, Одеса, 2003.

14. На 5-й міжнародній МНПК “СІЕТ-2004”, ОНПУ, Одеса, 2004.

15. На 6-й міжнародній МНПК “СІЕТ-2005”, ОНПУ, Одеса, 2005.

16. На 7-й міжнародній МНПК “СІЕТ-2006”, ОНПУ, Одеса, 2006.

17. На 8-й міжнародній МНПК “СІЕТ-2007”, ОНПУ, Одеса, 2007.

Публікації. За результатами досліджень, що викладені в даній дисертаційній роботі, опубліковано 60 наукових праць, з них 43 статті опубліковані в спеціалізованих виданнях, рекомендованих ВАК України, у тому числі 16 робіт у спеціалізованих виданнях опубліковані без співавторів, 17 публікацій у збірниках праць міжнародних і республіканських конференцій, а також підготовлені і видані з грифом МОН України два навчальних посібники й один підручник для студентів радіотехнічних спеціальностей.

Структура й об'єм роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, 6 розділів, висновків й додатків. Загальний об'єм роботи 329 сторінок, з них 289 сторінок основного тексту, 7 сторінок таблиць й 4 сторінки рисунків, список використаних джерел викладений на 18 сторінках і містить 204 найменування.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкриті стан і зміст проблеми, обґрунтована актуальність теми дослідження, визначена мета роботи й сформульовані задачі дослідження, визначені об'єкт, предмет і методи дослідження, формулюється наукова новизна й практичне значення отриманих результатів.

У розділі 1 показано, що проблема завадозахищеності радіотехнічних систем передачі і здобуття інформації нерозривно зв'язана з проблемами синтезу повних класів лінійних і нелінійних систем шумоподібних сигналів. Завадозахищеність ? це здатність радіосистеми протистояти впливу могутніх завад як природного, так і штучного походження. Завадозахищеність ? це головний комплексний показник якості роботи систем радіозв’язку та добування інформації.

Відзначені вимоги скритності роботи систем зв'язку зі ШПС досягаються достатньою складністю процедур кодування ансамблів мінімаксних та систем ортогональних сигналів і порівняльною простотою зміни правил їхнього формування. Велика увага у вітчизняній і зарубіжній літературі приділяється питанням конструктивної побудови багаторівневих числових послідовностей (БЧП) для формування шумоподібних сигналів із псевдовипадковою перебудовою робочої частоти (ППРЧ) у системах передачі інформації і радіолокації. Задача полягає в тому, щоб знайти регулярні методи синтезу повних класів лінійних та нелінійних оптимальних БЧП довільних довжин. На рис.1 розроблена повна класифікація методів синтезу БЧП для кодування різних систем ДЧ-сигналів: малих, нормальних, композиційних і великих. При цьому ряд методів синтезу БЧП відображають або недостатньо досліджені в літературі, або вперше розглянуті в даній роботі (пунктирні прямокутники).

Методи синтезу нелінійних рекурентних послідовностей (МНРП) над простими і розширеними полями Галуа вимагають свого подальшого розвитку. Це ж відноситься і до методів синтезу на основі повних систем ненульових лишків (ПСНЛ) як у простих полях Галуа , так і в розширених ? . Можливості використання матричних БЧП над розширеними полями для побудови оптимальних і квазіоптимальних систем ДЧ-сигналів досліджуються вперше в даній роботі. Нарешті, питання синтезу кодів степеневих лишків (ДЧ-сигналів), їхні можливості і питання побудови поповнених кодів великого об'єму також вимагають для свого вирішення проведення подальших досліджень.

Відзначимо, що досить важливими для практики є питання дослідження структурних властивостей як відомих, так і вперше побудованих кодів степеневих лишків, а також розробка на основі врахування цих властивостей економічних схем пристроїв їхнього кодування і кореляційного декодування, що є, по суті, відомою проблемою декодера (демодулятора).

Рис. 1. Основні задачі синтезу систем дискретних частотних сигналів (ДЧ-сигналів)

Останнім часом у вітчизняній і зарубіжній літературі посилена увага приділяється питанням застосування досконалих двійкових решіток – ДДР (Perfect Binary Arrays – PBA) у різних радіотехнічних задачах, наприклад: для синтезу апертури антени; для побудови досконалих частотно-часових кодів; для побудови нових класів блокових коректувальних кодів; для побудови нових класів ортогональних, біортогональних і мінімаксних сигналів із властивістю багатопетельного циклічного зсуву та ін. Природно, що для систем CDMA-технологій третього покоління значущість вибору структури ШПС і методів модуляції і демодуляції буде зростати. Отже, питання розробки нових інформаційних технологій на основі ДДР є актуальними. ДДР — це двовимірна послідовність-матриця

,

що має ідеальну двовимірну періодичну автокореляційну функцію – ДПАКФ (Periodic autocorrelation function – PACF), елементи якої

,

де .

У даній роботі поставлена задача синтезу ансамблів мінімаксних і повного класу ортогональних систем БФМ-сигналів на основі ДДР. Для розв'язання поставленої задачі необхідно в першу чергу розробити конструктивні методи синтезу повних класів ДДР. Зазначена задача також не знайшла належного розв'язання в літературі.

У розділі 2 запропоновані нові регулярні правила побудови повних класів оптимальних систем ДЧ-сигналів як на основі повних форм арифметичних таблиць множення у простих і розширених полях Галуа, так і на основі методу децимації. Розроблено конструктивні правила побудови повних класів радіолокаційних ДЧ-сигналів Костаса з оптимальними функціями невизначеності у координатах “дальність – доплерівська частота”.

Традиційно оптимальні системи ДЧ-сигналів будують на основі лінійних рекурентних послідовностей максимального періоду (МЛРП)

,

де ? первісний елемент поля .

У даній роботі вперше запропоновано правило побудови оптимальних систем ДЧ-сигналів на основі повних форм таблиць множення в полях Галуа, що мають таку аналітичну форму:

. (1)

З визначення арифметичної таблиці множення (1) безпосередньо встановлюємо справедливість таких тверджень:

Твердження 2.1. Арифметична таблиця множення порядку у полі являє собою матрицу-циркулянт, якщо і тільки якщо на гранях цієї таблиці розташована та сама МЛРП.

Твердження 2.2. Матриця є симетричною, оскільки

.

Твердження 2.3. Матриця є циркулянтом, оскільки множення у полі рядка з на елемент еквівалентно циклічному зсуву цього рядка.

Твердження 2.4. Довільна пара рядків (стовпців) матриці не має збігів, оскільки МЛРП є окремим випадком повної системи ненульових лишків (ПСНЛ).

Твердження 2.5. Арифметична таблиця множення довільного поля є в цьому полі ортогональним циркулянтом.

Твердження 2.6. Арифметична таблиця множення у полі із гранями на основі довільної ПСНЛ завжди є ортогональною в цьому полі, оскільки скалярний добуток довільних двох рядків вигляду , при цьому якщо (або її циклічному зрушенню), то – матриця циркулянт, і якщо ПСНЛ = МНРП, то – не є циркулянтом.

Твердження 2.7. Об'єм повної множини попарно різних ортогональних матриць у полі визначається факторіальним співвідношенням

Твердження 2.8. Кожна пара кодових слів-коду над полем має властивість не більш одного збігу ( ) при всіх їхніх аперіодичних зсувах .

Доведені твердження повністю обґрунтовують правило побудови повних класів лінійних і нелінійних оптимальних систем ДЧ-сигналів за правилом усіх перестановок

Означення 2.1. Частотно-часовим кодом, циклічним за частотою, або скорочено -код над розширеним полем , , назвемо множину таких кодових слів, кожне з яких визначається за правилом

, , (2)

для кожного .

З правила (2) випливає, що -код над полем , має довжину і потужність та є оптимальним кодом. Далі, оскільки нумератор визначається двома співвідношеннями (молодші розряди зліва, молодші розряди справа) то -код має дві різні форми представлення: -код і -код відповідно, як це видно з табл.1, де при побудові кодів обраний первісний поліном , незвідний над полем .

Таблиця 1

Приклади -кодів довжини над полем

У загальному випадку об'єм оптимальних систем ДЧ-сигналів над розширеним полем Галуа визначається співвідношенням

.

Розроблений алгоритм побудови повних класів оптимальних систем, циклічних за частотою ДЧ-сигналів над розширеними полями Галуа, дає можливість істотно розширити набір припустимих довжин сигналів, а також знайти відносно прості шляхи вирішення питань формування і зміни таких систем, що є однією з основних задач при проектуванні завадозахищених радіотехнічних систем.

Представимо алгоритм побудови повних класів оптимальних ДЧ-сигналів на основі методу власної децимації.

Означення 2.2. Частотно-часовим кодом на основі методу власної децимації довільної -послідовності простої довжини , або скорочено -код, назвемо множину кодових слів, обумовлених правилом

, , (3)

де параметр ? параметр власної децимації, такий, що н.с.д. .

З аналізу співвідношення (3) випливає, що довжина -коду , об'єм -коду , число різних стрибків частоти . Найважливіша властивість -коду полягає в такому твердженні.

Твердження 2.9. Довільний -код (8) має властивість не більш одного збігу ( ) і, отже, породжує оптимальну систему ДЧ-сигналів.

Якщо опустити перший стовпець у побудованих -кодів, то отримуємо ортогональні -коди для побудови повних класів оптимальних систем ДЧ-сигналів, як це, наприклад, показано у табл. 2, коли характеристика .

Таблиця 2

Повний клас -кодів децимації довжини і об'єму

Порівняльний аналіз параметрів побудованих оптимальних ( ) систем ДЧ-сигналів на основі -кодів, -кодів і -кодів представлений за допомогою даних табл. 3.

Таблиця 3

Зведена таблиця параметрів побудованих оптимальних систем ДЧ-сигналів

Оптимальні системи

ДЧ-сигналів

на основі | Довжина

сигналів | Число

стрибків

частоти | Об’єм

оптимальної

системи | Об’єм

повного

класу | -кодів | -кодів | -кодів |

Таким чином, параметрична скритність систем телекомунікацій при переході на повні класи оптимальних систем ДЧ-сигналів довжини зростає пропорційно величині , де ? функція Ейлера. Наприклад, для коефіцієнт .

Представимо результати розробки конструктивних методів побудови повних класів радіолокаційних ДЧ-сигналів Костаса з оптимальними функціями невизначеності у координатах “дальність – доплерівська частота”.

Характер впливу структури кодувальних послідовностей безпосередньо видний з якісного аналізу поверхонь невизначеності рис. 2 (неоптимальної) і рис. 3 (оптимальної).

Уведемо ряд перетворень ? правил рекурентного розмноження ОКП, за допомогою яких можна на основі заданої ОКП одержати інші структури ОКП і тим самим побудувати повний клас ОКП. Під структурою ОКП будемо розуміти кількість різних елементів, з яких складається ОКП, і їхнє розташування на частотно-часовій площині. Наприклад, для значень і знаходимо, що ОКП . Позначимо через енергетичну діаграму (квадратну матрицю) порядку , що характеризує розподіл енергії ДЧ-сигналу на частотно-часовій площині. Приклад такої діаграми для випадку, коли ОКП ДЧ-сигналу має вигляд , представлений на рис. 4.

Рис. 4. Множина перетворень, що переводять

даний квадрат (матрицю ) у себе

Всі уведені перетворення мають відповідні аналітичні вирази, що дозволило розробити конструктивні правила побудови повних класів ДЧ-сигналів Костаса. У роботі також проведено дослідження структурних властивостей трикутних різницевих матриць. З цією метою для довільної ОКП розрахуємо матрицю поелементних різниць за правилом

та побудуємо числовий трикутник, наприклад, для довжини

.

Твердження 2.10. Необхідна і достатня умова існування ОКП складається у виконанні двох вимог: по-перше, кожен рядок відповідного числового трикутника не повинен містити однакових різниць, по-друге, у рамках кожної сторони рівностороннього числового трикутника також не повинні утримуватися однакові різниці. На основі цього твердження в роботі розроблено конструктивний метод побудови повних класів ОКП. Параметри повних класів ОКП наведено у табл. 4.

Таблиця 4

Залежність об'єму ОКП від їхньої довжини |

3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13

4 | 12 | 40 | 116 | 200 | 444 | 760 | 2160 | 4368 | 7852 | 12828

Параметрична скритність систем добування інформації при переході на повні класи оптимальних зондувальних сигналів довжини зростає пропорційно величині . Наприклад, для коефіцієнт .

У розділі 3 розроблені регулярні правила побудови повних класів композиційних систем ДЧ-сигналів над простими і розширеними полями Галуа, досліджені їхні структурні і кореляційні властивості і на цій основі вперше запропоновано конструктивне правило побудови великих систем ДЧ-сигналів.

Композиційний частотно-часовий -код над простим полем це-ковий код, кожне кодове слово якого визначається за правилом

, . (4)

де , для кожного .

У роботі доведено існування мінімаксних однорідних композиційних систем ДЧ-сигналів над довільним простим полем Галуа.

Теорема 3.1. Над довільним полем простої характеристики завжди існує мінімаксна композиційна система ДЧ-сигналів без повторення частот з параметрами: – довжина сигналу; – об’єм системи; ? параметр взаємної кореляції, якщо -код (4) побудований на основі степеневих лишків ступеня .

Теорема 3.2. Параметр взаємної кореляції між сигналами довільних двох композиційних систем на основі степеневих лишків, відповідно, ступенів і , залежить від обраних значень , а також параметра взаємної кореляції сигналів у рамках однієї композиційної системи на основі степеневих лишків ступеня , що скорочено представляється співвідношенням

, . (5)

Співвідношення (5) дозволяє знайти оцінки параметрів взаємної кореляції довільних двокомпозиційних систем і, отже, довільної великої системи однорідних ДЧ-сигналів, якщо відомі параметри , всіх однокомпозиційних систем, як це також видно з експериментальних даних табл. 5.

Співвідношення (5) і дані табл. 5 (та їм подібні) становлять сутність конструктивного методу побудови великих систем ДЧ-сигналів.

Таблиця 5

Взаємокореляційні властивості – композиційних систем

ДЧ-сигналів об’єму кожна над простим полем ,

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 30 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 4 | 4 | 4 | 10 | 7 | 6 | 4 | 4 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 8 | 4 | 6 | 5 | 10 | 5 | 8 | 4 | 6 | 5 | 4 | 5 | 4 | 3 | 30 | Множина однорідних систем , таких, що . |

Представимо принципи побудови економічних схем кодеків композиційних -кодів. У табл. 6 побудований композиційний -код і представлений у вигляді об'єднання парціальних квазіоптимальних циклічних за частотою підкодів. Кодові слова, що породжують -код, виділені в табл. 6 жирним шрифтом. Помітимо, що кожен рядок у табл. 6 являє собою оптимальний -код.

Таблиця 6

Структура мінімаксного композиційного -коду: ,

0145236

1256340

2360451

3401562

4512603

5623014

6034125 | 0213465

1324506

2435610

3546021

4650132

5061243

6102354 | 0351624

1462035

2503146

3614250

4025361

5136402

6240513 | 0426153

1530264

2641305

3052416

4163520

5204631

6315042 | 0564312

1605423

2016534

3120645

4231056

5342160

6453201 | 0632541

1043652

2154063

3265104

4306215

5410326

6521430 |

З огляду на структурні властивості композиційного -коду (табл. 6) побудуємо узагальнену схему декодера (рис. 5).

Рис. 5. Узагальнена схема декодера композиційних -кодів

Еквівалентна імовірність помилки на біт при оптимальному розрізненні ДЧ-сигналів об'єму представляється так:

,

де – максимальний відносний пелюсток АВКФ між усіма парами ДЧ-сигналів розглянутої системи ДЧ-сигналів, ? табульована функція (інтеграл) Лапласа. Кожну систему ДЧ-сигналів довжини й об’єму будемо характеризувати коефіцієнтом завадостійкості

. (6)

З аналізу виразу (6) випливає, що чим більше значення коефіцієнта завадостійкості , тим менша імовірність помилки в прийомі одного біта інформації, тобто тим вища завадостійкість системи ДЧ-сигналів (рис. 6).

Рис. 6. Криві імовірності помилки

на біт для оптимальної – 1;

композиційної – 2; і великої – 3

систем ДЧ-сигналів довжини

Отже, параметр завжди бажано збільшувати. Порівняльний аналіз параметрів оптимальних, композиційних та великих систем однорідних ДЧ-сигналів однакової довжини над полями і наведено у табл. 7.

Таблиця 7

Коефіцієнти завадостійкості для різних систем ДЧ-сигналів

Таким чином, коефіцієнт завадостійкості великих систем однорідних ДЧ-сигналів перевищує в середньому в 1,5 рази аналогічний показник оптимальних систем ДЧ-сигналів, це приводить до енергетичного виграшу великих систем, що складає 3 дБ, при цьому швидкість передачі інформації збільшується у 3 рази.

У розділі 4 вперше створені базові елементи алгебраїчної теорії досконалих двійкових решіток (ДДР), що дало змогу розробити методи синтезу повних класів ДДР та побудувати ансамблі мінімаксних і системи ортогональних БФМ-сигналів для CDMA-технологій.

Представимо решітку порядку у вигляді своїх рядків , тоді

,

де ? знак транспонування, і виразимо коефіцієнти двовимірної періодичної автокореляційної функції ДПАКФ ? через коефіцієнти одновимірних періодичних взаємокореляційних функцій ПВКФ між кожними двома рядками решітки

, (7)

де ? коефіцієнт взаємної кореляції між рядками і , ? величина циклічного зсуву рядка .

Пари коефіцієнтів двовимірної кореляції з (7) зі зворотними аргументами і пари коефіцієнтів одновимірної кореляції зі зворотними індексами назвемо спряженими елементами, що характеризують алгебраїчну структуру ДДР.

Властивість 4.1. Спряжені парціальні коефіцієнти одновимірної кореляції строго зв'язані між собою конструктивним правилом

,

де запис означає циклічний зсув вліво послідовності на один елемент, а оператор є оператором дзеркального відображення.

Властивість 4.2. Кожна пара коефіцієнтів двовимірної кореляції вигляду

є спряженою ( ), оскільки в точності складається зі спряжених коефіцієнтів одновимірної кореляції.

Властивість 4.3. Коефіцієнти двовимірної кореляції виду є самоспряженими, оскільки друга половина парціальних коефіцієнтів одновимірної кореляції складається зі спряжених коефіцієнтів одновимірної кореляції першої її половини.

Властивість 4.4. Для кожної заданої пари аргументів , де і , кожна сума парних і кожна сума непарних парціальних коефіцієнтів кореляції дорівнює нулеві у силу симетрії спряженості, тобто

,

,

де нижня границя в сумах означає, що щораз змінна підсумовування пробігає усі свої значення при заданій величині .

Особливо зазначимо, що властивість 4.4 являє собою, по-суті, потужне правило регулярного розмноження ДДР.

Кожну ДДР представимо у вигляді її 4-блокової структури .

Властивість 4.5. Усі блоки у 4-х блоковій структурі матриці зв'язані між собою строгим функціональним зв'язком

або ; або ; ; (8)

де ? оператор (матриця) інверсії непарних стовпців блока , ? оператор інверсії непарних рядків блока або блока , нумерація рядків і стовпців починається з “0”, символ крапка у виразах (8) означає поелементне множення двох матриць при їхньому накладанні.

Властивість 4.6. Повний клас ДДР порядку розбивається на три види умовної симетрії ДДР: горизонтальної, вертикальної і діагональної симетрії у залежності від місця положення блока щодо блока .

ДДР горизонтальної симетрії визначають 2 правила місця розташування складових блоків

, (9)

ДДР вертикальної симетрії визначають 2 правила місця розташування складових блоків

, (10)

ДДР діагональної симетрії визначають 2 правила місця розташування складових блоків

, (11)

Усі шість правил, що представлені в (21)-(23), назвемо опорними. Кожне з цих правил працює при кожнім з чотирьох правил бінарного кодування рядків і стовпців блоків

. (12)

На основі встановлених (12) структурних властивостей ДДР порядку розроблена повна група з регулярних правил синтезу повного класу ДДР . Установлено, що в цьому випадку кожна з структур блока є підходящою структурою і, отже, число підходящих структур . Тому об'єм повного класу ДДР порядку

.

Для побудови повного класу ДДР порядку необхідно побудувати нові, додаткові правила синтезу. Уведемо визначення бінарних кодувальних матриць блоків , довільних ДДР. Очевидно, що для кожних конкретних ДДР блоки однозначно зв'язані з блоком за правилами

, (13)

де ? матриця, що складається з одиниць; символ крапка означає поелементний добуток матриць.

З аналізу (13) запишемо визначення бінарних кодувальних матриць для блоків

. (14)

Проведені дослідження дозволили знайти ряд властивостей бінарних кодувальних матриць. Ці властивості сформулюємо у вигляді таких тверджень.

Твердження 4.1. Кожна кодувальна матриця є строго збалансованою, тобто містить однакове число символів і , або . Це необхідно для того, щоб не порушити умову розбалансу самої ДДР, для якої справедливе співвідношення

, (15)

де ? порядок ДДР.

Твердження 4.2. Кожна кодувальна матриця дорівнює поелементному добутку двох інших кодувальних матриць у рамках кожної ДДР

. (16)

Твердження 4.3. Поелементний добуток усіх кодувальних матриць заданої ДДР дорівнює матриці, що складається з одиниць, тобто

, (17)

Твердження 4.4. Якщо кодувальні матриці та породжують ДДР, то всі однакові циклічні зсуви цих матриць по рядках і стовпцях також породжують ДДР.

Твердження 4.5. Кожна кодувальна матриця має період циклічності по стовпцях і по рядках і, отже, породжує усього не більше як різних між собою кодувальних матриць.

Відмітимо, що кодувальні матриці , що мають властивості (13)-(17), являють собою підклас блокових кодів постійної ваги (КПВ), або, по-іншому, кодів на одне сполучення.

Ґрунтуючись на змісті тверджень 4.1–4.5 побудовано повну множину кодувальних матриць, яку скорочено позначимо як , , де ? об'єм множини кодувальних матриць. Базисні кодувальні матриці порядку побудовано на основі повного набору збалансованих кодувальних матриць порядку

.

Повний набір кодувальних матриць порядку одержимо шляхом операцій циклічних зсувів по рядках і стовпцях базисних матриць та представимо у явному вигляді (табл. 8).

Таблиця 8

Бінарні базисні кодувальні матриці порядку, , об'єму

Складемо загальне рівняння синтезу ДДР на основі знайдених кодувальних матриць у такому вигляді

(18)

і знайдемо (табл. 9) усі сполучення номерів і кодувальних матриць і , які забезпечують побудову ДДР за основним правилом конкатенації блоків , що має вигляд

.

Таблиця 9

Повна система зі 168 правил синтезу ДДР порядку

У табл. 9 зверху кожної ДДР проставлені максимальні періоди циклічності кодувальних матриць згідно з твердженням 4.5. Таким чином, для побудови повного класу ДДР порядку знайдено усього правил синтезу ДДР. При цьому встановлено, що кожне правило дозволяє синтезувати точно ДДР. Ясно, що загальне число блоків дорівнює . Важливо відзначити, що запропонований комбінований метод синтезу ДДР, заснований на урахуванні властивостей симетрії й обмеженого перебору, завжди гарантує одержання точних оцінок об'єму повних -класів ДДР. Так об'єм повного -класу ДДР порядку становить

. (19)

Оцінка (19) отримана на основі регулярних правил синтезу (табл. 9). Раніше ця оцінка була отримана в літературі методом повного перебору. Також відзначимо, що розроблену методологію синтезу ДДР на основі кодувальних матриць зі застосуванням методу обмеженого перебору тільки в рамках блоків можна поширити на інші випадки синтезу ДДР більших порядків.

У розділі 5 побудовані ансамблі мінімаксних та системи ортогональних БФМ-сигналів на основі ДДР шляхом конкатенації послідовних строк ДДР, а також розроблені економічні схеми декодерів побудованих класів сигналів.

Результати дослідження кореляційних властивостей (ПАКФ і ААКФ) бінарних послідовностей довжини представлені у табл. 10.

Таблиця 10

Ефективність методу синтезу мінімаксних БФМ-сигналів на основі ДДР

1 | 2 | 3 | 4 | Об'єм

вибірки

Число сигналів з мінімаксною ПАКФ | Число сигналів з мінімаксною ААКФ | Число сигналів з мінімаксною ПАКФ і

мінімаксною ААКФ | 688128 | 216064 | 664 | 344 | Встановлено, що послідовності , мінімаксні за властивостями ПАКФ, мають мінімальне значення максимального бічного пелюстка , відповідно послідовності , мінімаксні за властивостями ААКФ, мають значення параметра .

Розроблено методи синтезу ортогональних систем БФМ-сигналів на основі ДДР і показано, що основні параметри цих систем ? дисперсія й ексцес мають завжди не гірші, а в ряді випадків кращі значення порівняно з похідними системами ортогональних сигналів Уолша-Адамара, табл. 11.

Таблиця 11

Таблиця параметрів різних класів систем БФМ-сигналів порядку ()

№

пп | Системи

БФМ-сигналів

базисного розміру : | П а р а м е т р и с и с т е м с и г н а л і в | 1 | Неортогональні,

на основі повного

-класу ДДР | 13 | 24 | 16,64 | 32,15 | 16465024 | 2,8618 | 2 | Похідні ортого-нальні, на основі

циклічного

-класу ДДР | 20 | 29 | 30,61 | 31,76 | 16515072 | 2,7556 | 3 | Похідні ортого-нальні, на основі функцій

Уолша-Адамара | 17 | 26 | 28,47 | 31,80 | 16515072 | 2,6521 |

Задачу обчислення вектора цифрової згортки представимо в термінах добутку вектора рядка на матрицю .

Твердження 5.1. Для перемноження довільного вектора розміром на -кову матрицю розмірністю потрібно операцій множення (ом) і операцій додавання (од) не більш ніж

,

де оптимальні параметри обчислювальних процедур , , , вибираються відповідно з умови оптимізації