НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
ПЕЛАГЕНКО Олена Миколаївна
УДК 517.5
ОЦІНКИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РЯДІВ
ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ В ЗАДАЧАХ ТЕОРІЇ НАБЛИЖЕННЯ
01.01.01 – математичний аналіз
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ – 2008
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана у Київському національному університеті
технологій та дизайну Міністерства освіти і науки України.
Науковий керівник
доктор фізико-математичних наук, професор
ЗАДЕРЕЙ Петро Васильович,
Київський національний університет технологій та дизайну,
завідувач кафедри вищої математики.
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук, професор
ТІМАН Майор Пилипович,
Дніпропетровський державний аграрний університет,
завідувач кафедри вищої математики;
кандидат фізико-математичних наук
САВЧУК Віктор Васильович,
Інститут математики НАН України,
старший науковий співробітник
відділу теорії функцій.
Захист відбудеться “10” червня 2008 року о 15.00 год. на засіданні
спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН
України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики
НАН України.
Автореферат розісланий “5” травня 2008 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.
Загальна характеристика роботи
Дослідження, представлені в дисертації, присвячені знаходженню умов інтегровності кратних тригонометричних рядів, встановленню оцінок інтегралів від модулів функцій, заданих кратними тригонометричними рядами, знаходженню умов збіжності в середньому кратних тригонометричних рядів Фур’є, а також одержанню умов, при виконанні яких лінійні методи підсумовування рядів Фур’є будуть регулярними в просторі неперервних функцій.
Актуальність теми. Теорія тригонометричних рядів, зокрема теорія рядів Фур’є, відіграє важливу роль в розвитку теорії функцій і в одновимірному випадку являє собою достатньо добре розвинену галузь математичного аналізу.
Однією з важливих і разом з тим складних задач теорії тригонометричних рядів є задача про знаходження умов на коефіцієнти ряду, при виконанні яких даний тригонометричний ряд буде рядом Фур’є інтегровної за Лебегом (надалі інтегровної) функції. Перша робота, в якій знайдено умови на коефіцієнти тригонометричного ряду, при виконанні яких даний ряд збігається скрізь, за винятком, можливо, однієї точки, до інтегровної функції, належить В. Юнгу. Він довів, що одновимірний тригонометричний ряд з косинусів буде рядом Фур’є сумовної функції, якщо його коефіцієнти утворюють випуклу послідовність. Після роботи В. Юнга з’явились публікації, в яких на коефіцієнти тригонометричного ряду накладались більш загальні умови. В одновимірному випадку відомі роботи С. Сідона, Л. Тонеллі, А.М. Колмогорова, С.О. Теляковського, Ч. Мура,
Л. Чезарі, Р.П. Боаса, Ч.В. Станоєвича, Т. Кано, Г.О. Фоміна та інших.
Згідно з прийнятою термінологією під терміном «інтегровність ряду» будемо розуміти «інтегровність суми ряду», а під терміном «умови інтегровності ряду» – «умови, які забезпечують інтегровність суми ряду». Одними з найбільш загальних умов на коефіцієнти одновимірних тригонометричних рядів, при виконанні яких дані ряди будуть рядами Фур’є, є умови, знайдені С.О. Теляковським у 1964 році.
Теорія кратних тригонометричних рядів розвинена не так повно, як теорія одновимірних тригонометричних рядів. При дослідженні збіжності кратних тригонометричних рядів важливу роль відіграє вибір форми частинної суми кратного ряду. У задачах теорії функцій природним чином виникають прямокутні, трикутні, поліедральні, сферичні частинні суми, а також частинні суми у формі «гіперболічного хреста». Відрізняються не тільки методи, які використовуються для їх вивчення, а і результати. У роботах Я.С. Бугрова, С.О. Теляковського, Ю.Л. Носенка, П.В. Задерея, Ф. Моріца та інших знайдено умови інтегровності кратних тригонометричних рядів з прямокутними частинними сумами. Одержані умови є аналогами відповідних умов інтегровності одновимірних тригонометричних рядів.
Основна частина дисертаційної роботи присвячена знаходженню умов інтегровності кратних тригонометричних рядів, а також збіжності в середньому кратних рядів Фур’є з поліедральними і трикутними частинними сумами. Під терміном «поліедральна (трикутна) частинна сума» будемо розуміти суму тих гармонік ряду, що містяться в множині, яка є гомотетом деякого фіксованого поліедра (трикутника), а під словами «кратний тригонометричний ряд з поліедральними (трикутними) частинними сумами» – кратний тригонометричний ряд, сума якого, якщо вона існує, є границею поліедральних (трикутних) частинних сум. Умови інтегровності кратних тригонометричних рядів з поліедральними частинними сумами, у випадку, коли фіксований поліедр задовольняє певні властивості, одержала О.І. Кузнєцова.
Починаючи з роботи А.М. Колмогорова (1923 рік), поряд із задачею про інтегровність тригонометричних рядів розв’язують задачу про збіжність в середньому (іншими словами, про збіжність в метриці простору або про збіжність в ) рядів Фур’є. Приклад функції , ряд Фур’є якої не збігається в , побудував Ф. Рісс. Таким чином, виникла задача про встановлення умов на коефіцієнти ряду Фур’є, при виконанні яких цей ряд збігається в . Умови збіжності в середньому кратних тригонометричних рядів Фур’є знайдено в роботах О.І. Кузнєцової, П.В. Задерея та інших.
Відомо, що існують неперервні функції, ряди Фур’є яких розбігаються або в окремих точках, або збігаються нерівномірно в околі деяких точок, тому важливо знайти такі методи підсумовування, які б ряд Фур’є довільної неперервної функції підсумовували майже скрізь до .
При дослідженні загальних лінійних методів підсумовування рядів Фур’є першим постає запитання: чи буде цей метод регулярним у просторі неперервних функцій?
С.М. Нікольський на основі теореми Ф. Рісса про збіжність послідовності лінійних операторів одержав необхідні і достатні умови регулярності лінійних методів підсумовування рядів Фур’є в просторі неперервних функцій. Обмеженість констант Лебега лінійних методів – одна з умов, отриманих С.М. Нікольським, перевірка якої для більшості методів підсумовування досить складна. Отже, виникла потреба в знаходженні зручних і ефективних достатніх умов, виражених безпосередньо через при виконанні яких константи Лебега обмежені. У такому вигляді для трикутних матриць задача була поставлена С.М. Нікольським і розв’язана у випадку випуклості послідовності . Після роботи С.М. Нікольського з’явились публікації відомих математиків: Б. Надя, І. Карамати і
М. Томіча, А.В. Єфімова, С.О. Теляковського, Г.А. Фоміна, Р.М. Тригуба та інших, в яких умова випуклості послідовності послаблювалась.
Регулярність лінійних методів підсумовування для нескінченних прямокутних матриць досліджували, зокрема, І. Карамата і М. Томіч, Л.І. Баусов, С.О. Теляковський.
Таким чином, актуальними є задачі:
- про знаходження умов інтегровності кратних тригонометричних рядів як найбільш загальних, так і найбільш простих для перевірки;
- про збіжність в середньому кратних рядів Фур’є;
- про регулярність лінійних методів підсумовування рядів Фур’є в просторі неперервних функцій.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилася згідно з загальним планом досліджень кафедри вищої математики Київського національного університету технологій та дизайну.
Мета і завдання дослідження.
Метою дослідження є:
- знаходження умов на коефіцієнти кратних тригонометричних рядів, при виконанні яких ці ряди будуть рядами Фур’є інтегровних функцій;
- встановлення оцінок інтегралів від модулів функцій, заданих кратними тригонометричними рядами;
- знаходження умов збіжності в середньому кратних рядів Фур’є;
- одержання умов, при виконанні яких лінійні методи підсумовування рядів Фур’є будуть регулярними в просторі неперервних функцій.
Об’єктом дослідження є одновимірні і кратні ряди Фур’є, кратні тригонометричні ряди.
Предметом дослідження є інтегровність кратних тригонометричних рядів і збіжність в середньому кратних рядів Фур’є, регулярні лінійні методи підсумовування рядів Фур’є в просторі неперервних функцій.
Задачі дослідження:
1. Одержати умови інтегровності кратних тригонометричних рядів, зручні в застосуваннях (умови типу Сідона–Теляковського), а також досить загальні умови (умови Боаса–Теляковського), встановити оцінки від модулів сум кратних тригонометричних рядів, коефіцієнти яких задовольняють згадані умови.
2. Знайти умови збіжності в середньому кратних рядів Фур’є.
3. Одержати умови, при яких лінійні методи підсумовування рядів Фур’є є регулярними в просторі неперервних функцій.
При розв’язанні поставлених задач в дисертаційній роботі використовуються загальні методи математичного аналізу в поєднанні зі спеціальними методами теорії наближення функцій. Зокрема, основна ідея при дослідженні інтегровності кратних тригонометричних рядів, частинні суми яких визначаються деяким класом поліедрів, а саме трикутників, полягає у використанні властивостей однорідних поліномів.
Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими і полягають у наступному:
1. Знайдено умови типу Сідона–Теляковського інтегровності кратних тригонометричних рядів, встановлені оцінки від модулів сум кратних тригонометричних рядів, коефіцієнти яких задовольняють умови типу Сідона–Теляковського, і, як наслідок, доведено, що для довільної з рядом Фур’є, сума якого є границею поліедральних частинних сум, ядра Валле Пуссена порядку з індексом обмежені, якщо і .
2. Одержано умови Боаса–Теляковського інтегровності кратних тригонометричних рядів, встановлені оцінки від модулів функцій, заданих кратними тригонометричними рядами, коефіцієнти яких задовольняють умови Боаса–Теляковського, і як наслідок, умови Фоміна і Сідона–Теляковського.
3. Отримано необхідні умови збіжності в середньому кратних рядів Фур’є і кратних рядів Тейлора функцій з простору Харді.
4. Одержано необхідні умови збіжності в середньому інтегралів Фур’є, які є інтегральним аналогом відповідних необхідних умов збіжності в середньому одновимірних тригонометричних рядів Фур’є.
5. Знайдено необхідні і достатні умови збіжності в середньому кратних рядів Фур’є.
6. Одержано досить загальні і зручні у застосуваннях необхідні і достатні умови, при виконанні яких лінійні методи підсумовування рядів Фур’є є регулярними в просторі неперервних функцій.
Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати роботи і методики їх отримання можуть бути використані при розв’язанні ряду задач теорії апроксимації функцій. Так, встановлені оцінки для інтегралів від модулів сум кратних тригонометричних рядів можуть бути застосовані для розв’язання задач теорії наближення класів функцій, а також для знаходження асимптотики поперечників деяких класів функцій.
Особистий внесок здобувача. Визначення напряму дослідження, а також постановка задач та критичний аналіз отриманих результатів належать науковому керівникові – професору П.В. Задерею. Результати розділу 3.2 отримані спільно з Р.В. Товкачем. Внесок обох авторів у ці результати є рівносильним. Усі інші результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно.
Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались і обговорювались на:
- семінарах відділу теорії функцій (Інститут математики НАН України, керівник семінару – доктор фіз.-мат. наук, член-кореспондент НАН України О.І. Степанець);
- семінарі «теорія функцій» (механіко-математичний факультет Київського національного університету імені Тараса Шевченка, керівник семінару – доктор фіз.-мат. наук, професор І.О. Шевчук);
- семінарах кафедри вищої математики (Київський національний університет технологій та дизайну, керівник семінару – доктор фіз.-мат. наук, професор П.В. Задерей);
- конференції «Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці ІІ», присвяченій пам’яті А.Я. Дороговцева (1935–2004), Київ, 1 – 5 жовтня 2004 року;
- міжнародній науковій конференції «Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування», Ужгород, 18 – 23 вересня 2006 року;
- міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробагатька, Дрогобич, 24 – 28 вересня 2007 року;
- ХІV Всеукраїнській науковій конференції «Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики», Львів, 2 – 4 жовтня 2007 року.
Публікації. Основні результати, які висвітлені в дисертації, опубліковано в роботах [1 – 11].
Структура дисертації. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 108 найменувань. Повний обсяг роботи – 130 сторінок машинописного тексту.
Основний зміст дисертації
Перший розділ дисертаційної роботи присвячений умовам інтегровності тригонометричних рядів. У першому підрозділі наведено широкий огляд літератури, який стосується інтегровності як одновимірних, так і кратних тригонометричних рядів, а також сформульовані необхідні означення і допоміжні твердження, які застосовуються при доведенні основних результатів.
В подальшому будемо використовувати такі позначення:
1) – множина нуль-послідовностей;
2) через позначимо числа такі, що і , ;
3) – множина послідовностей , які задовольняють умови Сідона–Теляковського: існують такі числа , що
,
де ;
4) – множина послідовностей, для яких
;
5) – множина послідовностей, які задовольняють умови Боаса–Теляковського:
.
Множини послідовностей і були визначені С.О. Теляковським, а множина – Г.О. Фоміним. У прийнятих позначеннях мають місце такі співвідношення , причому обернені включення не мають місця.
Позначимо через простір визначених на -періодичних по кожній змінній інтегровних функцій з нормою
, де ; .
У 1964 році С.О. Теляковський для нуль-послідовностей , які належать множині , довів, що ряд є рядом Фур’є функції , а ряд є рядом Фур’є функції тоді і тільки тоді, коли
.
Крім того, справедливі оцінки
, ,
де визначено формулою .
У попередніх нерівностях і надалі через будемо позначати абсолютні додатні сталі, можливо різні в різних формулах.
Зауважимо, що умови є одними з найзагальніших, але в застосуваннях, як правило, потрібні умови більш зручні для перевірки. Так, аналізуючи одну роботу С. Сідона,
С.О. Теляковський (1973 рік) визначив множину послідовностей і довів, що у випадку, коли коефіцієнти рядів і належать множині , ряд є рядом Фур’є функції , а ряд є рядом Фур’є функції тоді і тільки тоді, коли має місце , і справедливі оцінки
, .
Г.О. Фомін (1978 рік) розширив множину до множини і показав, що при ряд є рядом Фур’є, а умови і є достатніми для того, щоб ряд був рядом Фур’є інтегровної функції.
Умови і інтегровності одновимірних рядів були перенесені на кратні тригонометричні ряди Ю.Л. Носенком. П.В. Задерей одержав умови на коефіцієнти кратних тригонометричних рядів, які є одними з можливих багатовимірних аналогів умов Боаса–Теляковського . У згаданих роботах під сумою кратного тригонометричного ряду розуміють суму за Принсгеймом.
Нехай , , де – -вимірний евклідів простір; .
Позначимо через множину замкнених обмежених поліедрів в з вершинами в точках з раціональними координатами, зіркових відносно початку координат, і таких, що продовження будь-якої їх грані не проходить через початок координат. Для довільних і покладемо
– гомотет , – початок координат.
О.І. Кузнєцова довела, що при ряд
,
де , , , збігається майже скрізь на до деякої функції , є її рядом Фур’є, і має місце нерівність
,
а також довела аналог одновимірних теорем Г.О. Фоміна для рядів вигляду .
У підрозділі 1.2 одержано умови інтегровності кратних тригонометричних рядів вигляду . Під сумою ряду будемо розуміти границю , де – -та частинна сума ряду .
Будемо казати, що послідовність дійсних чисел задовольняє умови типу Сідона–Теляковського, якщо існують числа такі, що
.
Множину послідовностей, для яких виконуються умови типу Сідона–Теляковського , позначимо через .
Теорема 1.2.2. Нехай і послідовність коефіцієнтів ряду належить множині . Тоді ряд збігається майже скрізь на до деякої функції є рядом Фур’є функції і справедлива оцінка
.
Зауваження 1. З теореми 1.2.2 випливає теорема О.І. Кузнєцової.
Зауваження 2. Умови теореми 1.2.2 в деяких випадках зручніші в застосуваннях (див. розділ 3.3).
Підрозділ 1.3 присвячений знаходженню умов інтегровності кратних тригонометричних рядів вигляду
де коефіцієнти яких прямують до нуля. Під сумою ряду будемо розуміти границю де .
Теорема 1.3.1. Нехай послідовність коефіцієнтів ряду належить множині . Тоді ряд збігається майже скрізь на до деякої функції є її рядом Фур’є тоді і тільки тоді, коли виконується умова . Якщо ряд збігається, то справедлива оцінка
.
Наслідок 1.3.1. Нехай коефіцієнти ряду при . Тоді ряд збігається майже скрізь до деякої функції і є її рядом Фур’є тоді і тільки тоді, коли справедлива умова (4). У випадку збіжності ряду (4) має місце нерівність
.
Наслідок 1.3.2. Нехай коефіцієнти ряду . Тоді ряд збігається майже скрізь до деякої функції і є її рядом Фур’є тоді і тільки тоді, коли справедлива умова (4). У випадку збіжності ряду (4) має місце нерівність
.
У другому розділі розв’язується задача про збіжність в середньому кратних рядів Фур’є. У підрозділі 2.1 наведено умови збіжності в середньому одновимірних і кратних рядів Фур’є.
Будемо казати, що ряд Фур’є функції збігається в середньому, якщо
,
де – -та частинна сума ряду Фур’є функції . Співвідношення рівносильне знаходженню умов одночасної збіжності в середньому рядів Фур’є
,
,
відповідно парної і непарної складових функції . Існує багато різних умов на коефіцієнти Фур’є або на інтеграл від модуля відповідної функції, які гарантують збіжність ряду Фур’є в метриці простору . Зокрема, С.О. Теляковський довів, що ряд з коефіцієнтами з множини збігається в тоді і тільки тоді, коли
,
а для того, щоб ряд з коефіцієнтами з множини збігався в середньому, необхідно і достатньо, щоб виконувались умови і . Результати С.О. Теляковського узагальнив Г.О. Фомін. Зазначимо, що у згаданих публікаціях, а також у роботах В. Юнга,
А.М. Колмогорова, Ч.В. Станоєвича, В.О. Брая, С.Фрідлі необхідною і достатньою умовою збіжності в рядів Фур’є є умова .
С.О. Теляковський встановив, що у випадку, коли для збіжності в середньому ряду достатньо виконання умови , однак показав, що умова не є необхідною для збіжності в середньому рядів Фур’є і , і висунув гіпотезу, що рівність
є необхідною і достатньою умовою збіжності в середньому ряду . Справедливість гіпотези С.О. Теляковського доведена П.В. Задереєм і Б.А. Смалем.
У підрозділі 2.2 результат П.В. Задерея і Б.А. Смаля про необхідні умови збіжності в середньому одновимірних рядів Фур’є і переноситься на кратні тригонометричні ряди Фур’є і Тейлора.
Нехай і її ряд Фур’є має вигляд
а – -та трикутна частинна сума ряду , .
Кажуть, що ряд збігається в середньому до функції , якщо
при .
Теорема 2.2.1. Нехай , і її ряд Фур’є має вигляд . Тоді для збіжності в середньому ряду Фур’є необхідно, щоб мала місце рівність
.
Нехай – множина упорядкованих наборів комплексних чисел, , . Через позначимо простір Харді. Для нормою функції є величина . Розглянемо функції з рядами Тейлора вигляду
,
де . Позначимо через -ту частинну суму ряду .
Ряд збігається в середньому до якщо
при .
Теорема 2.2.5. Нехай , і її ряд Тейлора має вигляд . Тоді для збіжності в середньому ряду необхідно, щоб виконувалась умова , а для обмеженості частинних сум ряду в просторі необхідно, щоб мала місце нерівність
.
У підрозділі 2.3 знайдено необхідні умови збіжності в середньому інтегралів Фур’є, які є інтегральним аналогом відповідних необхідних умов збіжності в середньому одновимірних тригонометричних рядів Фур’є.
Нехай простір інтегровних на дійсній осі функцій з нормою
.
Через будемо позначати комплексне перетворення Фур’є функції . Покладемо .
Будемо казати, що інтеграл збігається в середньому до функції якщо
при .
Теорема 2.3.1. Нехай . Тоді для виконання необхідно, щоб
при .
У підрозділі 2.4 одержано необхідні і достатні умови збіжності в середньому кратних рядів Фур’є.
Теорема 2.4.1. Нехай ряд Фур’є функції має вигляд
де і коефіцієнти . Тоді ряд збігається в середньому тоді і тільки тоді, коли має місце рівність
.
Наслідок 2.4.1 (О.І. Кузнєцова). Нехай і її ряд Фур’є має вигляд . Якщо коефіцієнти ряду належать множині , то необхідною і достатньою умовою збіжності в середньому ряду є умова .
Теорема 2.4.3. Нехай і її ряд Фур’є має вигляд . Якщо коефіцієнти ряду належать множині і має місце , то для збіжності в середньому ряду достатньо виконання умови .
Теорема 2.4.3 є -вимірним аналогом теореми П.В. Задерея і Б.А. Смаля про необхідні і достатні умови збіжності в середньому одновимірних рядів Фур’є і . Наступна теорема 2.4.4 є наслідком теорем 1.3.1, 2.2.1 і 2.4.3.
Теорема 2.4.4. Нехай коефіцієнти ряду належать множині , і збігається ряд . Тоді ряд збігається майже скрізь на до деякої функції , є її рядом Фур’є, і для збіжності в середньому ряду необхідно і достатньо, щоб мала місце рівність .
Третій розділ дисертаційної роботи присвячений дослідженню лінійних методів підсумовування рядів Фур’є. У першому підрозділі сформульовано задачу про регулярність лінійного методу підсумовування рядів Фур’є в просторі неперервних функцій і наведено огляд відомих результатів.
У підрозділі 3.2 знайдено необхідні і достатні умови для того, щоб лінійні методи підсумовування рядів Фур’є були регулярними в просторі неперервних функцій.
Розглянемо прямокутні матриці . Довільній функції з рядом Фур’є поставимо у відповідність послідовність рядів
.
Метод підсумовування, який визначається матрицею , називається регулярним в просторі неперервних функцій, якщо для ряди рівномірно збігаються, і при цьому для довільної неперервної функції
.
Теорема 3.2.2. Нехай послідовність чисел задовольняє умови:
1) ;
2) для довільного існує число таке, що справедлива нерівність
,
де .
Тоді для того щоб метод підсумовування був регулярним в просторі неперервних функцій необхідно і достатньо, щоб виконувались умови:
1) для довільного ;
2) для довільного існує число (яке залежить лише від ) таке, що
для всіх ;
3) для довільного .
Використовуючи теорему 1.2.2, у третьому підрозділі доведено, що для довільної функції з рядом Фур’є вигляду ядра Валле Пуссена порядку з індексом , де , і , обмежені в нормі простору .
Висновки
1. Знайдено умови типу Сідона-Теляковського інтегровності кратних тригонометричних рядів, встановлені оцінки від модулів сум кратних тригонометричних рядів, коефіцієнти яких задовольняють умови типу Сідона–Теляковського, і, як наслідок, доведено, що для довільної з рядом Фур’є, сума якого є границею поліедральних частинних сум, ядра Валле Пуссена порядку з індексом , де , і , обмежені.
2. Одержано умови Боаса–Теляковського інтегровності кратних тригонометричних рядів з трикутними частинними сумами, а також оцінки від модулів сум кратних тригонометричних рядів, коефіцієнти яких задовольняють умови Боаса-Теляковського, Фоміна, Сідона–Теляковського.
3. Отримано необхідні умови збіжності в середньому кратних рядів Фур’є і кратних рядів Тейлора функцій з простору Харді.
4. Одержано необхідні умови збіжності в середньому інтегралів Фур’є.
5. Знайдено умови збіжності в середньому кратних рядів Фур’є.
6. Одержано досить загальні і зручні для перевірки умови, при яких лінійні методи підсумовування рядів Фур’є є регулярними в просторі неперервних функцій.
Список опублікованих праць за темою дисертації
1. Задерей П.В., Пелагенко Е.Н., Иващук О.В. Об условиях типа Сидона–Теляковского интегрируемости кратных тригонометрических рядов // Укр. мат. журн. – 2008. – Т. 60, № 5. – С. 604 – 610.
2. Задерей П.В., Іващук О.В., Пелагенко О.М. Про необхідні умови збіжності в середньому кратних рядів Фур’є // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Збірник праць Ін-ту математики НАН України. – К.: Ін-т математики НАН України, 2007. – Т 4, № 1. – С. 128 – 133.
3. Задерей П.В., Пелагенко О.М. Необхідні умови збіжності в середньому інтегралів Фур’є сумовних функцій // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Збірник праць Ін-ту математики НАН України. – К.: Ін-т математики НАН України, 2007. – Т 4, № 1. – С. 134 – 142.
4. Пелагенко О.М. Про збіжність в середньому кратних рядів Фур’є // Вісник КНУТД. – 2007. – Т. 5. – С. 44 – 47.
5. Задерей П.В., Капітоненко О.М. Необхідні умови збіжності в середньому кратних рядів Фур’є і Тейлора // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Збірник праць Ін-ту математики НАН України. – К.: Ін-т математики НАН України, 2005. – Т 2, № 2. – С. 117 – 124.
6. Задерей П.В., Капітоненко О.М., Товкач Р.В. Про регулярність лінійних методів підсумовування рядів Фур’є в просторі неперервних функцій // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Збірник праць Ін-ту математики НАН України. – К.: Ін-т математики НАН України, 2005. – Т 2, № 2. – С. 125 – 134.
7. Задерей П.В., Капитоненко Е.Н., Нестеренко О.Б. Необходимые условия сходимости в среднем кратных рядов Тейлора из классов Харди //
Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Збірник праць Ін-ту математики НАН України. – К.: Ін-т математики НАН України, 2004. – Т 1, № 1. – С. 171 – 177.
8. Задерей П.В., Пелагенко О.М. Умови Боаса-Теляковського інтегровності кратних тригонометричних рядів // XIV Всеукраїнська наукова конференція «Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики», присвячена 90-річчю з дня народження проф. О.М. Костовського: Матеріали конференції. – Львів, 2007. – С. 64 – 65.
9. Пелагенко О.М. Умови типу Сідона-Теляковського // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробагатька: Тези доповідей. – Дрогобич, 2007. – С. 218.
10. Задерей П.В., Капітоненко О.М. Необхідні умови збіжності в середньому інтегралів Фур’є // Міжнародна наукова конференція «Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування»: Тези доповідей. – Ужгород, 2006. – С. 37 – 38.
11. Задерей П.В., Капитоненко Е.Н., Нестеренко О.Б. Необходимые условия сходимости в среднем кратных рядов Тейлора из классов Харди // Конференція «Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці ІІ», присвячена пам’яті А.Я. Дороговцева (1935 – 2004): Тези доповідей. – Київ, 2004. – С. 46.
Анотації
Пелагенко О.М. Оцінки тригонометричних рядів та їх застосування в задачах теорії наближення. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Інститут математики НАН України, Київ, 2008.
В дисертаційній роботі знайдено умови типу Сідона–Теляковського і умови Боаса–Теляковського інтегровності кратних тригонометричних рядів, встановлено оцінки інтегралів від модулів функцій, заданих кратними тригонометричними рядами, коефіцієнти яких задовольняють зазначені умови. Отримано необхідні умови збіжності в середньому кратних рядів Фур’є і Тейлора, а також одержано необхідні умови збіжності в середньому інтегралів Фур’є. Знайдено необхідні і достатні умови збіжності в середньому кратних рядів Фур’є, коефіцієнти яких задовольняють умови типу Сідона–Теляковського і умови Боаса–Теляковського. Одержано умови, при виконанні яких лінійні методи підсумовування рядів Фур’є є регулярними в просторі неперервних функцій. Доведено, що для довільної функції з рядом Фур’є, сума якого є границею поліедральних частинних сум, ядра Валле Пуссена обмежені в нормі простору , якщо і .
Ключові слова: ряд Фур’є, кратний тригонометричний ряд, збіжність в середньому, інтеграл Фур’є, лінійні методи підсумовування.
Пелагенко Е.Н. Оценки тригонометрических рядов и их применение в задачах теории приближения. – Рукопись.
Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Институт математики НАН Украины, Киев, 2008.
В диссертационной работе найдены условия типа Сидона–Теляковского и условия Боаса–Теляковского интегрируемости кратных тригонометрических рядов, получены оценки интегралов от модулей функций, заданных кратными тригонометрическими рядами, коэффициенты которых удовлетворяют условиям типа Сидона–Теляковского и условиям Боаса–Теляковского. Получены необходимые условия сходимости в среднем кратных рядов Фурье и Тейлора, а также необходимые условия сходимости в среднем интегралов Фурье. Найдены необходимые и достаточные условия сходимости в среднем кратных рядов Фурье, коэффициенты которых удовлетворяют условиям типа Сидона–Теляковского и условиям Боаса–Теляковского. Получены условия, при которых линейные методы суммирования рядов Фурье будут регулярными в пространстве непрерывных функций. Доказано, что для любой функции ядра Валле Пуссена порядка с индексом ограничены в норме пространства , если и .
Приведем некоторые из результатов работы.
Пусть – пространство, определенных на -периодических интегрируемых функций с нормой , где .
Теорема 1.3.1. Пусть коэффициенты ряда стремятся к нулю и удовлетворяют условиям Боаса–Теляковского :
.
Тогда этот ряд сходится почти всюду на к и является ее рядом Фурье в том и только том случае, когда . При этом, если ряд сходится, то справедлива оценка .
Теорема 2.4.1. Пусть и ее ряд Фурье, где и коэффициенты удовлетворяют условиям типа Сидона–Теляковского: существуют числа такие, что
, .
Тогда для сходимости в среднем этого ряда необходимо и достаточно, чтобы
.
Теорема 2.4.4. Пусть коэффициенты ряда стремятся к нулю, удовлетворяют условиям и . Тогда этот ряд сходится почти всюду на к и является ее рядом Фурье, а для сходимости в среднем этого ряда необходимо и достаточно, чтобы
.
Ключевые слова: ряд Фурье, кратный тригонометрический ряд, сходимость в среднем, интеграл Фурье, линейные методы суммирования.
Pelagenko O.M. Estimates of trigonometric series and their application to the problems of approximation theory. – Manuscript.
Dissertation for a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01.01.01 – mathematical analysis. – Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2008.
Sidon–Telyakovskii and Boas–Telyakovskii integrability conditions of the multiple trigonometric series are found. Integral estimates of modulus of the functions adjusted with the multiple trigonometric series whose coefficients satisfy Sidon–Telyakovskii and Boas–Telyakovskii conditions are established. Necessary conditions of the mean convergence of multiple Fourier and Taylor series as well as necessary conditions of the mean convergence of Fourier integrals are obtained. Necessary and sufficient conditions of the mean convergence of multiple Fourier series whose coefficients satisfy Sidon–Telyakovskii and Boas–Telyakovskii conditions are found. General and simple conditions of the regularity of linear methods summation of Fourier series are established. It is proved, that for some with special Fourier series Valle Poussin kernels are limited in -norm, if и .
Key words: Fourier series, multiple trigonometric series, mean convergence, Fourier integral, linear methods of summation.
Підп. до друку 21.04.08р. Формат 60х84 1/16. Папір офісний.
Друк цифровий. Умовн. др. арк. 1,16. Умовн. фарбо-відб. 1,27.
Облік.-вид.арк. 0,91. Тираж 112. Зам. 242.
Дільниця оперативної поліграфії при КНУТД.
01601, ДСП, Київ-11, вул. Немировича-Данченка, 2.
Свідоцтво про внесення до Державного реєстру ДК № 993 від 24.07.2002р.
