Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова

ПЕПЕЛЯЄВ Володимир Анатолійович

УДК 519.87: 519.242: 004.94

МЕТОДИ ТА ЗАСОБИ КОМП’ЮТЕРНОГО МОДЕЛЮВАННЯ

СТОХАСТИЧНИХ ПРОЦЕСІВ І СИСТЕМ

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ–2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Мар’янович Тадеуш Павлович,

Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова

НАН України, головний науковий співробітник.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

член-кореспондент НАН України

Великий Анатолій Павлович,

Житомирський інститут підприємництва
та сучасних технологій, професор,

доктор фізико-математичних наук, професор

Бєлов Юрій Анатолійович,

Київський національний університет імені

Тараса Шевченка, завідувач кафедри,

доктор фізико-математичних наук

Андрєєв Микола Варфоломійович,

Інститут прикладного системного аналізу

НАН України та Міністерства освіти України,

провідний науковий співробітник.

Захист відбудеться “ 28 ” березня 2008 р. о (об) 11 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики

ім. В.М. Глушкова НАН України за адресою:

03680, МСП, Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві інституту.

Автореферат розісланий “ 25 ” лютого 2008 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради СИНЯВСЬКИЙ В.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Комп'ютерне моделювання, як один з напрямків системного аналізу та комп'ютерної математики, за свою більш ніж сорокарічну історію пройшло довгий шлях розвитку: змінювалися концепції, покоління мов моделювання і засобів обчислювальної техніки, технології і стандарти, розширювалися галузі застосовувань. І весь цей час комп'ютерне моделювання залишалось ефективним інструментарієм вирішення багатьох фундаментальних та прикладних проблем.

Питанням розробки методів та засобів, що складають сутність системного підходу до комп'ютерного моделювання, приділяли велику увагу фахівці різних країн.

У країнах СНД проблемами комп'ютерного моделювання займалися представники чотирьох найбільш відомих шкіл: Московської на чолі з С.В. Ємельяновим,
М.М. Мойсеєвим, А.О. Дородніциним, О.А. Самарським, М.П. БусленкоЛенінградської очолюваної О.О. Вавіловим, Новосибірської під керівництвом Г.І. Марчука та Київської на чолі з В.М. Глушковим. Гідне місце тут належить роботам групи вчених НАН України: Г.Є. Пухова, В.С. Михалевича, Б.Н. Пшеничного, Н.З. Шора, Ю.М. Єрмольєва,
І.В. Сергієнка, І.М. Коваленка, О.О. Бакаєва, Т.П. Мар'яновича, О.А. Летичевського,
В.В. Литвинова.

Представниками цих шкіл виконано значний обсяг досліджень з розробки, реалізації та практичного впровадження методів та засобів комп'ютерного моделювання в різних прикладних галузях: у вивченні космосу, в медицині, на транспорті, в економіці, в галузі створення різних поколінь обчислювальної техніки та ін.

Значний внесок у розвиток методів комп'ютерного імітаційного моделювання зробили закордонні вчені Ф. Мартін, Т. Нейлор, Дж. Форрестер, Р. Шеннон, Т. Шрайбер,
А. Прицкер, К. Ньюгорд, О. Балчі, Т. Йорен, Б. Зейглер, Р. Фуджимото. Їх праці в значній мірі сприяли створенню методологічних і технологічних стандартів щодо методів та засобів реалізації процесів комп'ютерного моделювання. Американський вчений О. Балчі узагальнив результати цих досліджень, розробивши типову схему реалізації процесів комп'ютерного моделювання, що базується на основних концепціях та принципах системного аналізу.

В Україні продовжуються дослідження з розвитку методів і засобів комп'ютерного моделювання. Насамперед, слід відзначити роботи І.В. Сергієнка, І.М. Коваленка,
В.С. Дейнеки, Т.П. Мар'яновича, В.В. Скопецького, А.О. Чикрія, Ю.М. Онопчука,
М.З. Згуровського, В.Ф. Євдокімова, В.В. Литвинова, А.Ф. Верланя, А.І. Шевченка,
В.М. Томашевського.

Основою комп'ютерного моделювання є математичні методи та програмні засоби імітації, що дозволяють відображати реальні проблеми у формалізми моделей (процес абстракції), здійснювати аналіз і оптимізацію параметрів моделей, знаходити ефективні рішення і застосовувати їх на практиці.

Математичні методи успішно застосовуються при розв’язанні задач, що допускають високий рівень формалізації.

Широке впровадження засобів автоматизації та обчислювальної техніки у різних сферах науки, виробництва, економіки та процесах керування зробило актуальними проблеми дослідження та проектування нового типу складних систем, для опису окремих компонент яких або самих систем у цілому відсутні відповідні математичні формалізми, а процеси функціонування носять імовірнісний характер. Більшість реальних систем є стохастичними за своєю природою, оскільки піддаються випадковим впливам ззовні, включають в свої конфігурації операторів і, як правило, містять елементи невизначеності при взаємодії між окремими компонентами.

У зв'язку з тим, що понятійний апарат багатьох класичних математичних дисциплін виявився недостатнім для визначення та формалізації такого роду систем, виникла потреба в розробці нових методів, мова формалізації яких грунтується на ідеях системного підходу і концептуальному базисі, що включає поняття більш високого рівня узагальненості в порівнянні з класичними методами. Саме такий підхід став базовим для розробки високорозвинених мов імітаційного моделювання, зокрема, SIMSCRIPT, GPSS, GASP-IV, SIMULA-67, SLAM-II, НЕДИС, АЛСИМ. Реалізовані на різних платформах обчислювальної техніки системи імітації на основі зазначених мов моделювання одержали широке визнання та впровадження в практику дослідження і проектування складних стохастичних процесів та систем.

Сьогодні в галузі комп'ютерного моделювання виникають нові класи задач, обумовлені проблемами глобалізації, що вирішуються в рамках різного роду міжнародних та національних програм, інтеграційними тенденціями в галузі економіки, сфері виробництва і науки, а також розширенням галузі застосувань за рахунок нетрадиційних напрямків, таких як бізнес-процеси, маркетинг, логістика, керування фінансами, соціологія, техногенні проблеми та ін. Такі класи задач, з одного боку, характеризуються складністю, великою розмірністю, міждисциплінарністю (в їх вирішенні мають приймати участь різнопрофільні фахівці) а, з іншого боку, як правило, критичними значеннями часу формування та прийняття відповідальних проектних або управлінських рішень. Відповідні дослідження являють собою багатоетапні процеси, на різних етапах яких розв’язують хоча і взаємозв’язані, але різні задачі із застосуванням різних методів. Отже актуальними тут стають проблеми отримання оптимальних або близьких до оптимальних рішень за умов значного скорочення зусиль, мінімізації часових і, як наслідок, фінансових ресурсів. Все це висуває на передній план нові вимоги до ефективності та якості методів комп'ютерного моделювання.

Нові тенденції в галузі комп’ютерного моделювання, що розвиваються у відповідності з зазначеними вимогами, насамперед пов’язані із розширенням функціональних можливостей імітаційного інструментарію на основі інтеграції засобів високорозвинених мов моделювання з класичними моделями системного аналізу та обчислювальної математики, використанням методів оптимізації для отримання оптимальних характеристик відповідних систем та технологій розподілених обчислень. Така інтеграція забезпечує можливість використання різних моделей (аналітичних, інформаційних, імітаційних) при формалізації досліджуваних систем і створює передумови для розробки багатофункціональних середовищ комп'ютерного моделювання, які підтримують ефективне розв’язання комплексних проблем, що виникають сьогодні в різноманітних прикладних галузях.

Виконані в дисертаційній роботі дослідження пов’язані із розробкою комплексного підходу до підвищення ефективності комп’ютерного моделювання, що інтегрує можливості функціонально розширеного імітаційного інструментарію, оптимальних стратегій проведення експериментів та технології розподілених обчислень.

Таким чином, дослідження дисертаційної роботи відносяться до актуальних напрямків розробки нових методів, методологій і програмних засобів комп'ютерного моделювання з метою прискореного та ефективного розв’язання існуючих проблем у широкому колі застосувань.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася відповідно до планів досліджень відділу методів системного моделювання Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України в рамках наукових тем і програм, в яких автор був відповідальним виконавцем:–

проект “Наукові засади системного аналізу державного управління”, на замовлення Кабінету міністрів України (1997 р., № держреєстрації 0197U002312);–

ВФ.160.01 “Розробка методів та засобів розподіленого і паралельного імітаційного моделювання в середовищі програмного забезпечення мереж ЕОМ” (1995–1998 рр.,
№ держреєстрації 0195U011924);–

МН.160.05 “Створення системи технологічної підтримки розподіленого моделювання неперервно-дискретних процесів на мережах ПЕОМ із використанням серверів об'єктно-орієнтованих баз даних та графічного інтерфейсу керування експериментами” за державною науково-технічною програмою (1997–2000 рр.,
№ держреєстрації 0197U505626);–

проект 06.03/01695 “Розробка та впровадження математичних моделей, алгоритмів та програмного забезпечення для моделювання ризику екологічно небезпечних виробництв” за державною науково-технічною програмою (1997–2000 рр., № держреєстрації 0197U005675);–

ВФ.160.07 “Дослідження та розробка змішаних стратегій керування процесами розподіленого імітаційного моделювання” (1999–2001 рр., № держреєстрації 0199U001035);–

проект GR N33(J) “Інформаційна технологія аналізу екологічно небезпечних об'єктів на базі сучасних методів математичного моделювання й оптимізації” на замовлення Українського науково-технологічного центру (2002–2004 рр.);–

ВФ.160.10 “Розробити та реалізувати уніфіковані схеми проектування програм розподілених імітаційних експериментів” (2002–2005 рр., № держреєстрації 0102U000501);–

ВФК 160.12 “Дослідження методів емпіричного оцінювання в теорії ризику та стохастичної оптимізації” (2002–2006 рр., № держреєстрації 0102U003215);–

Проект 4.2.6.Б “Розробка моделей, методів та програмно-алгоритмічних засобів оцінки ризику аварійних станів високотехнологічних складаних виробництв” за державною науково-технічною програмою, (2003–2006 рр., № держреєстрації 0103U007843).

Мета та задачі дослідження. Метою дослідження є розробка нових математичних методів, інструментальних засобів та методологій підвищення ефективності процесів комп'ютерного моделювання стохастичних систем на основі високорозвинених мов моделювання для прискореного та оптимального вирішення практичних проблем у широкому колі застосувань.

Для досягнення мети в роботі поставлені і вирішені такі задачі:–

розроблено методології моделювання зазначених класів стохастичних процесів і систем та побудови на їх основі відповідних математичних моделей;–

розвинуто процедури валідації даних моделювання на основі статистичних методів параметричного та непараметричного оцінювання;–

розроблені та програмно реалізовані засоби підтримки оптимального планування і проведення імітаційних експериментів.

Об’єкт дослідження – складні стохастичні системи та процедури розробки і реалізації імітаційних застосувань.

Предмет дослідження – оптимальні властивості математичних моделей відповідних класів, асимптотичні властивості і чутливість оцінок параметрів стохастичних систем, оптимізація планування імітаційних експериментів.

Методи дослідження. В дослідженні використані методи статистичного аналізу, марковські та напівмарковські процеси, методи оптимізації та імітаційного моделювання.

Наукова новизна отриманих результатів, що виносяться до захисту, полягає у наступному: –

розвинуто математичний апарат для дослідження чутливості байєсівських оцінок до вибору класів апріорних розподілів;–

досліджено асимптотичні властивості непараметричної оцінки найменших квадратів для математичного сподівання випадкового поля на множині майже періодичних функцій двох змінних;–

запропоновано та досліджено нову модель керування запасами з дискретним часом і неперервними множинами станів і керувань, для якої доведено існування оптимальних за заданими критеріями стратегій керування запасами з простою дворівневою структурою;–

розроблено та досліджено нову виробничу модель проведення ремонтно-профілактичних робіт із неперервним часом і неперервними множинами станів і керувань, для якої доведено існування оптимальних за заданими критеріями стратегій керування з простою дворівневою структурою;–

запропоновано новий підхід та методологію моделювання і дослідження комплексних ризиків регіональної уразливості (для областей України) у квадраті безпеки: техногенної, природної, економічної і соціальної;–

розроблено, програмно реалізовано та досліджено оригінальну модель типової автоматизованої системи зв'язку, для якої визначені оптимальні функціональні характеристики;–

розроблено новий підхід та методологію моделювання багатопроцесорних комплексів засобами мов моделювання високого рівня на основі аналізу часових характеристик операцій обміну та обробки міжсистемних повідомлень;–

уперше у вітчизняній практиці на основі концепції оптимізаційно-імітаційної інтеграції і технології розподілених обчислень розроблено та програмно реалізовано інструментальну систему NEDISOPT_D для підтримки спрямованого пошуку оптимальних рішень при проведенні імітаційних експериментів на базі мережних архітектур;–

запропоновано уніфіковану методологію поетапного планування і реалізації оптимізаційно-імітаційних експериментів, що забезпечує підвищення ефективності процесів імітаційного моделювання.

Практичне значення отриманих результатів. Комп'ютерне моделювання виникло та розвивається, як прикладний напрямок системного аналізу, і в даний час є необхідним етапом процедури прийняття оптимальних рішень при дослідженні важливих практичних проблем.

Запропоновані в дисертації математичні моделі та методи забезпечують підвищення ефективності комп'ютерного моделювання і орієнтовані на такі конкретні застосування, як логістика, безпека АЕС, ризики регіональної вразливості, багатопроцесорні комплекси та інші і здебільшого доведені до програмної реалізації.

Інструментальна система NEDISOPT_D реалізує набір метаеврістичних стратегій (на основі генетичного алгоритму) для здійснення спрямованого пошуку оптимальних рішень, що дозволяє значно скоротити часові та фінансові ресурси, необхідні для проведення комп’ютерних експериментів, пов'язаних із розробкою та експлуатацією відповідних моделюючих комплексів. Ефективність системи продемонстрована на конкретних прикладах.

Використання результатів роботи надає можливість підвищення продуктивності праці при виконанні дослідних, проектних робіт і вирішення задач керування, а також підвищення рівня достовірності економічно і соціально значущих показників проектів та процесів керування.

Результати дисертаційної роботи можуть бути використані також в учбовому процесі при викладанні курсів з комп'ютерного моделювання у профільних вищих навчальних закладах.

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати дисертаційної роботи отримані автором особисто [1–2, 4–7, 13, 16–17, 27–29] або при безпосередній його участі. В працях, виконаних у співавторстві, здобувачу належать такі результати:

[3] – розробка методологічних принципів моделювання автоматизованих систем зв'язку засобами мов високого рівня (НЕДИС); [8] – запропоновано набір функціональних модулів для системи прийняття рішень у задачах ризику на основі імітаційного моделювання; [9, 21] – розроблено модель керування запасами з дискретним часом і визначено види оптимальних стратегій для критеріїв, що характеризують середні витрати за одиницю часу і переоцінених сумарних витрат; [10] – проведено аналіз систем технологічної підтримки процесів моделювання; [11, 32] – обгрунтовано ефективність застосування адаптивних стратегій керування процесами розподіленого імітаційного моделювання;
[12, 23, 36] – отримано умови застосування байеєсівської процедури оцінювання до мінімізації (максимізації) дрібно-лінійного функціоналу; [14] – проведено аналіз тенденцій та особливості різних підходів у галузі сучасного імітаційного моделювання; [15] – розроблено процедуру оцінки альтернативних рішень на основі методів імітаційного моделювання; [18] – запропоновано метод непараметричного оцінювання для розпізнавання невідомих об'єктів; [19] – розроблено неперервну модель керування запасами; [20] – запропоновано принципи реалізації метаевристичних стратегій оптимізації імітаційних експериментів; [22] – розроблено модель проведення ремонтних робіт із неперервним часом і визначено вид оптимальної стратегії за критерієм середніх витрат за одиницю часу;
[24, 26, 33] – обгрунтувано підходи, вибір формалізму і визначення параметрів простору безпеки для дослідження системних ризиків у техногенній сфері; [25] – запропоновано уніфіковану схему проведення оптимізаційно-імітаційних експериментів; [30] – визначено набір класів апріорних розподілів для аналізу відповідних їм байєсівських оцінок; [31] – досліджено асимптотичні властивості непараметричної оцінки невідомого сигналу, заданого двомірною майже періодичною функцією; [34] – досліджено функціональну повноту набору модулів планування та проведення імітаційних експериментів; [35] – запропоновано процедуру прийняття рішень за умови невизначеності; [37] – проведено порівняльний аналіз та визначено особливості застосування сучасних підходів і методів розподіленого імітаційного моделювання; [38] – виконано аналіз сучасних підходів до оцінки достовірності імітаційних моделей.

Апробація результатів дисертації. Подані результати досліджень доповідались і обговорювалися на семінарах Наукової ради НАН України з проблеми “Кібернетика” (Київ, 1983–2007), Всесоюзних та республіканських конференціях, серед яких: “Надійність та якість програмного забезпечення” (Київ, 1985), “Автоматизація наукових досліджень” (Київ, 1986), “Математичне та імітаційне моделювання в системах проектування і керування” (Чернігів, 1990), “Перспективи розвитку та застосування засобів обчислювальної техніки для моделювання та автоматизованого дослідження” (Москва, 1991), “Математичне та машинне моделювання” (Воронеж, 1991), а також на 7-й Всесоюзній школі “Паралельне програмування та високопродуктивні системи” (Київ, 1986); 3-у міжгалузевому семінарі “Використання універсальної обчислювальної техніки при моделюванні систем обробки інформації” (Ленінград, 1990); міжнародних конференціях “Risk Analysis and Management in a Global Economy” (Stuttgart, Germany, 1995), “Risk in a Modern Society” (Guildford, Surrey, UK, 1996), “Risk Analysis: Facing the New Millenium” (Rotterdam, Netherlands, 1999), “Foresight and Precaution” (Edinburg, Scotland, UK, 2000), UkrProg (Kyev, 2000, 2002, 2004, 2006), “Problems of Decision Making under Uncertainties” (PDMU-2005) (Berdyansk, Ukraine, 2005); I-ій Всеросійській науково-практичній конференції ИММОД-2003 (Санкт-Петербург, 2003).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 38 наукових працях. З них 33 – у наукових профільних виданнях (журналах та збірниках наукових праць).

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, шести розділів, висновків та списку використаних джерел (241 найменування на 24 сторінках). Загальний обсяг роботи становить 305 сторінок, в тому числі 13 рисунків та 16 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету та основні задачі дослідження, визначено наукову новизну та практичне значення отриманих результатів, викладено інші загальні характеристики роботи.

Перший розділ присвячено огляду літератури, вивченню сучасного стану проблеми за темою дисертаційної роботи та обгрунтуванню напрямків досліджень.

Проведено аналіз вимог до функціональної повноти основних компонент систем імітації, що підтримують процеси сучасного комп'ютерного моделювання.

У методології комп'ютерного моделювання загальноприйнятою є концепція "застосування" (application). Кожне застосування APPL подається, як сукупність проблемно-орієнтованих програмних засобів, призначених для розв’язання певного класу задач у відповідній прикладній галузі і визначається наступним чином:

APPL = { M, SE, D},

де М – імітаційна модель системи, що досліджується або проектується, SE – схема (сценарій) комп'ютерних експериментів, які планується провести на основі зазначеної моделі, D – множина даних (вхідних і таких, що генеруються в процесі реалізації експериментів).

Загальновизнаним методологічним стандартом проведення досліджень на основі імітаційних застосувань є, так звана, схема О. Балчі, що базується на основних ідеях системного підходу. Згідно з такою схемою розробка та реалізація прикладних застосувань є складним багатоетапним ітеративним процесом, на різних етапах якого вирішуються різні взаємопов'язані задачі.

Відмінною рисою розробки імітаційних застосувань є наявність двох “життєвих” циклів (ЖЦ), що визначені Міжнародною асоціацією моделювання систем (ISSM) як методологічний стандарт M&S. Перший цикл (Modelling) пов'язаний із процесом побудови комп'ютерної моделі, визначення компонентів системи, що найбільше впливають на вихідні дані (відгуки) моделі. Сценарії імітаційних експериментів на даному циклі спрямовані головним чином на процедури верифікації імітаційної моделі, визначення обмежень та критичних границь вхідних та вихідних даних експериментів. Другий ЖЦ (Simulation) пов'язаний із проведенням експериментів, орієнтованих на пошук оптимальних рішень для розв’язання задач моделювання. Однією із важливих задач даного циклу є отримання оцінок адекватності власне імітаційної моделі та результатів моделювання по відношенню до реальної системи. Обидва цикли обов'язково включають процеси валідації даних.

Отже, основною вимогою до систем імітації є функціональна повнота множини методів, що враховують специфіку процесів моделювання і підтримують життєві цикли імітаційних застосувань. Таким вимогам задовольняють імітаційні системи, розроблені на основі високорозвинених мов імітаційного моделювання SIMSCRIPT, GPSS, GASP-IV, SIMULA-67, SLAM-II, НЕДИС, АЛСИМ. Відмінною рисою зазначених систем була їх реалізація на послідовних (однопроцесорних) архітектурах.

Нові задачі, що виникли в галузі сучасного імітаційного моделювання, висунули нові вимоги до систем імітації.

На основі аналізу сучасного стану та основних тенденцій щодо розробки і використання методів та засобів комп’ютерного моделювання стохастичних процесів і систем визначено, що на даний час в світовій та вітчизняній практиці прийняті наступні підходи, орієнтовані на підвищення ефективності комп’ютерного інструментарію дослідження та проектування складних систем:–

підвищення рівня інтеграції методів математичного та імітаційного моделювання;–

використання концепції та методів оптимізаційно-імітаційної інтеграції;–

використання методологічних та технологічних стандартів щодо розробки застосувань;–

розробка спеціалізованих методів і засобів оцінки достовірності імітаційних моделей та валідації даних, що використовують властивості прикладних галузей;–

застосування технологій розподілених та високопродуктивних паралельних обчислень;–

розробка розвинутих засобів аналізу вихідних даних експериментів, що забезпечують накопичення досвіду моделювання та подання результатів у персоніфікованих форматах, орієнтованих на різних користувачів.

Основний напрямок досліджень, що виконані в дисертаційній роботі, пов'язаний із розробкою математичних методів та програмних засобів, що підтримують проведення експериментів на різних етапах ЖЦ імітаційних застосувань.

У другому розділі розглянуто нові підходи до валідації вхідних даних моделювання, що базуються на методах параметричного та непараметричного оцінювання. При цьому враховується специфіка галузей застосувань щодо моделей теорії надійності, теорії розпізнавання та оцінки ризику виникнення екологічних катастроф.

Одна з важливих проблем валідації даних – це подолання проблеми малих вибірок. Для цих цілей часто використовується байєсівський підхід, при якому невідомі параметри розподілу вважаються не константами, а розглядаються як випадкові величини, що описуються деякою апріорною функцією розподілу.

Найбільшого поширення отримав метод, який використовує апріорну інформацію для вибору конкретної функції розподілу параметра з деякого певного класу функцій розподілу . Відповідно до цього методу, спочатку вибирається клас функцій розподілу, а потім із нього вибирається конкретна функція розподілу шляхом підбору значень її параметрів так, щоб вона відповідала апріорним значенням моментів або квантилів.

Дотримуючись консервативного підходу, природно припустити, що на практиці завжди реалізується найгірша в апріорна функція розподілу.

Для того, щоб досліджувати чутливість байєсівських оцінок до вибору апріорної функції розподілу з класу , необхідно відшукувати, як верхню так і нижню межі діапазону можливих значень цільового функціоналу, наприклад, байєсівських оцінок параметра при фіксованих вибіркових даних x.

Тобто для байєсівського оцінювання необхідно розв’язувати задачу оптимізації дрібно-лінійного функціоналу за наявністю деяких обмежень.

Для цього використовується розв’язок допоміжної задачі оптимізації.

Відомо, що розв’язком такої оптимізаційної задачі є не більш ніж m+1 східчаста функція.

Звідси випливає, що задача оптимізації зводиться до задачі лінійного програмування.

На основі вище викладених результатів досліджена чутливість байєсівської оцінки інтенсивності відмов однієї з високонадійних компонент системи безпеки АЕС до вибору апріорної функції розподілу при відомих двох квантилях: x0.05 = 8·10-6 і x0.95 = 244·10-6. Для даної компоненти розглядається експоненційна модель відмов.

У таблиці наведені основні результати розрахунків.

При проведенні порівняльного аналізу різних оцінок інтенсивності відмов використовуються дані про відмови однієї тієї ж самої компоненти на 8 АЕС за сумарний час наробітку 6.48·104 год.

Для порівняння обрані найбільш вживані в галузі безпеки АЕС апріорні функції розподілу: Гама, логнормальна та Вейбулла.

Із проведеного аналізу можна зробити висновок, що байєсівські оцінки інтенсивності відмов у експоненціальній моделі дуже чутливі до вибору апріорної функції розподілу з класу всіх функцій розподілів, що мають фіксовані два квантиля. Тому, для того, щоб підняти рівень довіри до байєсівських оцінок, що отримані при недостатній апріорній інформації, пропонується доповнювати стандартні байєсівські процедури оцінювання процедурою обчислення верхньої і нижньої границь діапазону можливих значень байєсівсьих оцінок.

У розділі розглядається один із підходів до розв’язання задачі ідентифікації та розпізнавання, який базується на застосуванні моделей випадкових полів.

Припускається, що деякий об'єкт характеризується двома параметрами: параметром, який спостерігається та прихованим параметром станом об'єкта. Задано взаємозв'язок між цими двома параметрами, і на підставі спостережень потрібно побудувати стратегію розпізнавання стану об'єкта. Такі поля при природних умовах є гіббсівськими з функцією розподілу відомого вигляду, що залежать від невідомих параметрів. При цьому задача розпізнавання зводиться до оцінювання цих параметрів. Якщо параметри є елементами деякого нескінченновимірного простору, тоді розв’язок задачі зводиться до непараметричного оцінювання.

В основі запропонованого підходу лежить припущення, що за дійсний гіббсівський розподіл може бути обраний будь-який марковський розподіл, який задовольняє існуючій апріорній інформації.

Розглядається об'єкт, що описується скінченною сукупністю параметрів, які приймають значення зі скінченної множини K. Нехай T скінченна множина індексів, tT позначення індексу, k (t) значення параметра з індексом t . Тоді повний опис об'єкта, що спостерігається це функція : TK, яка для кожного параметра t задає його значення k(t). Позначимо множну всіх можливих описів об'єкта, тобто множину всіх допустимих функцій, що визначені на T і приймають значення з K. На множині всіх можливих описів задано розподіл імовірностей p: R, так, що p () це імовірність опису . Цей розподіл імовірностей може бути задано не єдиним чином, і належить деякому класу розподілів Р. Будь-який розподіл з класу P на однаковій підставі може бути використано як оцінку імовірності реалізації фіксованого опису .

Ця обставина суттєво ускладнює застосування найбільш поширеного в розпізнаванні образів підходу, що базується на пошуку такого опису , звуження якого на множину Т є спостереження , і який має максимальну імовірність.

Одним з напрямків подолання названих труднощів є визначення верхньої та нижньої межі діапазону ( ,) для кожного опису KT, що задовольняє деяким апріорним обмеженням.

У роботі показано, що розвязання цієї задачі зводиться до задачі лінійного програмування із сильно розрідженою матрицею лінійних обмежень. Описано алгоритм розв’язання цієї задачі.

Для розв’язання задач ідентифікації та розпізнавання розглянута також однопараметрична форма розподілу Гіббса.

Для оцінки невідомого параметра пропонується той самий алгоритм, що було розглянуто для байєсівської процедури оцінювання параметрів.

Наведені далі в даному розділі результати з непараметричного оцінювання стосуються окремого класу випадкових полів.

У багатьох застосуваннях використовуються моделі, які описуються періодичними або майже періодичними функціями, що спостерігаються в суміші з адитивним випадковим шумом. Наприклад, це моделі прогнозування повіней і паводків в гідрології.

Виникає задача оптимальної оцінки цієї функції на підставі зашумлених спостережень у деякій області DT. За критерій обирається оцінка найменших квадратів.

Асимптотичні властивості таких оцінок для функцій однієї змінної добре вивчені. Але більш точні моделі розробляються з урахуванням кореляційного впливу в часі. У цьому випадку задача зводиться до непараметричної оцінки деякої функції a0(s, t) і дослідженню асимптотичних властивостей цієї оцінки.

Формальна постановка задачі наступна.

Необхідно за спостереженням випадкового поля

x(s, t) = a0(s, t) + (s, t), (s, t) DT = [0, T] [0, T]

оцінити невідому детерміновану функцію a0(s, t).

Передбачається, що невідома функція a0(s, t) належить множині дійсних майже періодичних за обома змінними функцій.

Розглядається оцінка найменших квадратів аT(s, t) невідомої функції а0(s,t) за спостереженнями {x(s, t), (s, t) DT}.

Окремо розглядається підмножина K0 майже періодичних за обома змінними функцій таких, у яких коефіцієнти Фур'є задовольняють умови

c00(a) L, ck0 (a)k L,

c0l (a) l L, ckl (a) k l L, L > 0, > 2, > 2.

Досліджено конзистентність шуканих оцінок у тому або іншому імовірнісному сенсі та доведені теореми.

Теорема 2.7. Нехай (s, t) і (s, t) однорідні в широкому розумінні випадкові поля, кореляційні функції яких задовольняють умови

= о(Т2), Т,

= о(Т2), Т

і нехай К – деяка компактна та опукла щодо рівномірної збіжності множина майже періодичних у R2 функцій a(s,t). Тоді

P{aT(s, t) a0(s, t) } = 0, > 0.

Теорема 2.8. Нехай (s, t) – однорідне в широкому розумінні випадкове поле, кореляційна функція якого задовольняє умову

= о(Т2), Т.

Тоді для a(s,t) К0 має місце

P{ a(s, t) a0(s, t)} = 0, для будь-якого > 0.

Теорема 2.9. Нехай (s, t) і (s, t) – однорідні в широкому розумінні випадкові поля, кореляційні функції яких задовольняють умови

= О(Т2-), Т, 0,

= О(Т2-), Т, 0

і К – деяка компактна та опукла щодо рівномірної збіжності множина майже періодичних у R2 функцій a(s,t). Тоді

P{ a(s, t) a0(s, t) = 0} = 1.

Теорема 2.10. Нехай (s, t) – однорідне в широкому розумінні випадкове поле, кореляційна функція якого задовольняє умову

= О(Т2-), Т, 0.

Тоді для a(s,t) К0 має місце

P{aT(s, t) a0(s, t) = 0} = 1.

Наведені твердження визначають прості умови конзистентності оптимальних за критерієм найменших квадратів непараметричних оцінок періодичних або майже періодичних функцій, що залежать від двох змінних.

У третьому розділі розроблено та досліджено математичні моделі керованих стохастичних систем.

Вимоги до характеристик математичних моделей істотно залежать від умов їх застосування. Якщо модель використовується, як частина (компонента) більш складної (комплексної) моделі, то у цих випадках великою перевагою може стати простота стратегії керування такими (частковими) моделями.

Наявність оптимального блоку в комплексній моделі може істотно підвищити якість процесу моделювання і спростити процедуру прийняття оптимальних рішень у цілому. Показано, що в задачах керування запасами, оптимального обслуговування технологічних процесів та інших при природних умовах задача оптимального керування зводиться до знаходження так званої дворівневої стратегії або, іншими словами, знаходження деякої критичної точки, що визначає оптимальну стратегію. Отже, складна задача знаходження оптимального керування зводиться до задачі оптимізації деякої функції при заданих апріорних обмеженнях. Знання цієї оптимальної точки дозволяє більш адекватно моделювати процес поповнення запасів або процес оптимальної профілактики технологічного устаткування, що дозволяє істотно поліпшити і прискорити реальний процес моделювання більш складних процесів.

Останнім часом значно зросла зацікавленість до задач логістики. Моделі логістики являють приклад комплексних моделей, які поряд із транспортною компонентою містять і компоненту керування запасами. Прості стратегії оптимального керування запасами істотно спрощують модель у цілому.

У розділі розглянуто наступну систему керування запасами для одного виду продукції, що може поповнюватися в неперервних одиницях.

Максимальна місткість сховища дорівнює Q, так що рівень запасу товару приймає значення з інтервалу [0, Q].

Періодично, в дискретні моменти часу N, проводиться перевірка рівня запасу і приймається рішення про замовлення додаткової кількості товару в залежності тільки від дійсного рівня запасу.

Якщо в момент часу nN рівень запасу дорівнює Xn= x [0, Q], то подається замовлення на поповнення в розмірі Dn Ax := [0, Qx]. Замовлення поставляється негайно з імовірністю p (0, 1] і втрачається з імовірністю 1p.

Нехай = (n: n N) послідовність Бернуллі, де n = 1 означає, що подане у момент n замовлення виконане. Припускаємо, що n не залежить від історії системи до моменту часу n включно.

За період часу [n, n+1] має місце випадковий попит n, ={n: n N) послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин із функцією розподілу G (x), x 0. Будемо вважати, що розміри n не залежать від історії системи до моменту часу n включно і G( Q) < 1 .

Рівняння еволюції рівня запасу має такий вигляд:

Xn+1 = (Xn+n Dn n), n N, (9)

де (a)= max(a, 0), a R.

Функція витрат c(x), пов'язана з постачанням запасу x, є лінійною від розміру постачання, тобто c (x) = А / р + сх, (0 < p 1), і постачання запасу здійснюється з імовірністю p, або втрачається з імовірністю 1 p.

Функція витрат f(x), пов'язана зі збереженням і дефіцитом запасу x, є опукла.

Нехай r(x, a) очікувані витрати за один період за умови, що на початку періоду система знаходиться в стані х і приймається рішення aAx.

Для нашої моделі керування запасами з фазовим простором
X = [0, Q] і множиною припустимих рішень Аx = [0, Q x] функції
r (x, d0) і r (x, da) виглядають таким чином:

r(x, d0) = f (x); (10)

r (x, da) = pf (x + a) + (1 - p) f (x) + p c (a). (11)

Імовірності переходу на X для будь-якої борелівської підмножини [0, Q] задаються в такий спосіб:

P{[ y1, y2) / x, d0} = G (x– y1) – G (x– y2), 0 < y1 y2 x Q; (12)

P{[ y1, y2) / x, dа} = p (G( x+ a – y1) – G(x + a – y2)) +

+ (1– p)(G(x – y1) – G(x – y2)), a (0, Q –x], 0 < y1 y2 x Q; (13)

P{[ y1, y2 ) / x, dа} = p ( G( x + a – y1) – G ( x + a – y2 )),

0 < x y1 y2 x + a Q; (14)

P{{0} / x, d0} = 1– G(x ), x[0, Q]; (15)

P {{0} / x, d0} = p ( 1 – G(x + a)) + (1 – p) (1 – G(x)), x[0, Q]. (16)

Для оцінювання обраної стратегії розглянемо два критерії оптимальності:

1) середні очікувані витрати стратегії : (x,) =

2) очікувані сумарні переоцінені витрати з коефіцієнтом переоцінки (0, 1) стратегії : (x, ) = де математичне сподівання по мірі процесу, отриманого застосуванням стратегії керування , коли початковий стан системи дорівнює x.

Позначимо (z) = 1 – G (z).

Доведено таке твердження.

Теорема 3.3. Нехай функція f(x) неперервна. Тоді для моделі керування запасами, що описується рівняннями (9) (16), у класі 1 всіх припустимих детермінованих стратегій існує -оптимальна стратегія, для якої досягається мінімум витрат де () – міра, сконцентрована на відрізку [0, Q] в єдиній точці 0 із вагою (x ), а V(x) задовольняє рівняння оптимальності:

V(x) = min{ F( x), A + [ p F ( x + a) + ( 1 p ) F (x)]} cx TV, (17)

де F(x) = c x + f (x) + d (x y)+ V(0)[1 G(x)], TV = [ 1 G(Q)] V (0).

Досліджуючи рівняння оптимальності (17), отримуємо твердження.

Теорема 3.6. Нехай с(x) = A / p + cx, f(x) опукла диференційована на [0, Q] функція та існує g(x) = G (x). Тоді існує -оптимальна стратегія з класу 1 вигляду

якщо A > 0,

якщо A = 0,

де R * = arg F(x), x * [0, R *].

Аналогічні твердження доводяться для (x, ) стратегії.

У розділі досліджено також оптимальні стратегії ремонтно-профілактичних робіт для виробничої системи з випадковими зовнішніми впливами, що еволюціонує в неперервному часі, як випадковий стрибко- подібний процес, який у моменти стрибкоподібної зміни процесу є об'єктом керування для особи, що приймає рішення (ОПР).

Якщо система знаходиться в стані х Х, приймається рішення а А, і наступним станом є y Х (обрано відповідно до перехідних імовірностей P{/ x, a}), тоді випадковий проміжок часу в стані х має функцію розподілу (/ x, a, y) = P( / x, a, y).

Структура вартості в керованій системі така. Позначимо r(s/ x, a) очікуваний прибуток за один проміжок часу, якщо система знаходиться в стані х на початку періоду, прийнято рішення а Ах, і проміжок часу в стані х є s R+.

Розглянемо середню вартість на нескінченності для оцінювання продуктивності системи.

Еволюція системи описується незростаючим марковським процесом, {(t), t 0} із значеннями в [0, ) і перехідними імовірностями P(x, t, B), x[0, ), t 0, B – борелівська множина на B+ = [0, ). Стан {0} відповідає налагодженому стану системи, а x > 0 характеризує певний рівень несправності.

Поточний стан системи може бути визначено безпосередньою перевіркою з вартістю витрат на неї r1 > 0. Вартість виробленої продукції залежить від стану системи. Будемо припускати, що інтенсивність витрат у стані х дорівнює r(х) 0. Функція r(х) неспадна і обмежена.

У залежності від стану системи після кожної перевірки необхідно приймати рішення: або ми нічого не запобігаємо і здійснюємо наступний контроль через інтервал часу Т (ця дія позначається аТ), або робимо повну заміну, яка продовжується m 0 одиниць часу, а наступна перевірка здійснюється через інтервал часу Т після поновлення роботи системи в стані {0} (цю дію позначимо (а0, аТ)).

Передбачається також, що ремонт триває m одиниць часу і ремонт за одиницю часу коштує r2 > 0.

Стани x c, де c 0, будемо називати станами несправності системи. Якщо в момент перевірки стану процесу х с, то завжди приймається рішення (а0, аТ).

Ці припущення зводять нашу модель до простої керованої напівмарковської моделі з критерієм (18), простором станів X=[0, c], простором керувань A={aT, (a0, aT)} і такими імовірностями переходів:

P{B / x, aT }=P(x, T, B), x[0, c), B[0, c)B+, (19)

P{{c} / x, aT }=P(x, T, [c, )), x[0, c), (20)

P{B / x, (a0, aT) }=P(0, T, B), x[0, c], B[0, c) B+, (21)

P{{c} / x, (a0, aT) }=P(0, T, [c, )), x[0, c]. (22)

Середній час тривалості процесу визначається в такий спосіб:

(x, aT) = Т, x[0, c), (23)

(x, (a0, aT) ) = m +Т, x[0, c], (24)

а середня корисна вартість задається за допомогою

r(x, aT) [r1 + Exdt ], x[0, c), (25)

r(x, (a0, aT)) [r1 + E0dt + r2m], x[0, c]. (26)

Доведено наступну теорему.

Теорема 3.13. Нехай для довільної борелівської функції u на [0, ) функція Еx(u ( (t)) неперервна по х і t. Тоді для моделі, описаної рівняннями (19) (26), існує оптимальна -стратегія в класі 1, для якої досягається максимальне значення вартості , де () міра, зосереджена в точці с із масою , і V(x) задовольняє рівнянню оптимальності

V(x) = max [r1 + P (x, T, dy) +

+V(c) P(x, T, [c, )) , r1 + P (0, T, dy)+

+V(c) r2m ]. (27)

Досліджуючи рівняння оптимальності (27), отримуємо таке твердження.

Теорема 3.14. Нехай для довільної незростаючої обмеженої функції u(х), заданої на [0, ), функція Еx (u ( (t)) незростаюча по х для будь-якого t 0. Тоді оптимальна стратегія * 1 має вигляд

де х*[0, c].

Якщо для довільного стану х Х і стратегії визначити дисконтний загальний виграш на нескінченності, то для даного критерію можна довести аналогічні твердження.

Ще одна модель керування запасами, яка досліджується в цьому розділі, використовує декілька режимів поповнення запасів для забезпечення виробничого процесу.