КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

СЕМЕНОВА ІРИНА ЮЛІЇВНА

УДК 532.595

НЕЛІНІЙНІ КОЛИВАННЯ РІДИНИ З ВІЛЬНОЮ ПОВЕРХНЕЮ В РУХОМОМУ РЕЗЕРВУАРІ ПАРАБОЛІЧНОЇ ФОРМИ

01.02.05 – механіка рідини, газу та плазми

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті імені Шевченка.

Науковий керівник: доктор технічних наук, старший науковий співробітник

Лимарченко Олег Степанович,

Міжнародний математичний центр НАН України, завідувач відділу

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Селезов Ігор Тимофійович,

Інститут гідромеханіки НАН України, завідувач відділу

кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри теоретичної та прикладної механіки

Крук Леся Анатоліївна,

Національний транспортний університет України

Захист відбудеться «10» вересня 2008 р. о 14-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К26.001.21 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, вул. Глушкова 2, корпус 7, механіко-математичний факультет, ауд.41.

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м.Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий «30» липня 2008 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

кандидат фізико-математичних наук А.В. Ловейкін

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Робота присвячена розвитку теорії хвильового руху обмеженого об’єму рідини в резервуарах нециліндричної форми при різних кінематичних та динамічних засобах збурення руху, які приводять до прояву нелінійних ефектів. Вивчення цього класу задач зумовлені потребами машинобудування, і перш за все авіаційної і космічної техніки. Переважно такі задачі досліджувались на основі лінійних моделей, а також нелінійних моделей для порожнин з циліндричними стінками. Дослідження останніх років показали, що формальне перенесення результатів на випадок нециліндричних баків призводить до математичних протиріч і не дозволяє одержати фізично достовірні результати.

Основні результати в цій галузі були одержані в роботах Г.С. Наріманова, Б.І. Рабіновіча, Л.В. Докучаєва, І.О. Луковського, О.С. Лимарченка, Н.М. Мойсеєва, Д.Є. Охоцимського, В.Д Кубенка, П.С. Ковальчука, J. Miles, H. Bauer, Р.Ф. Ганієва, О.М. Тимохи, В.П. Шмакова, R. Ibrahim та ін., а також в роботах багатьох інших вітчизняних та закордонних вчених, які включені в огляд досліджень цієї галузі.

Актуальність теми. Проблема дослідження нелінійних коливань рідини із вільною поверхнею для випадку сумісного руху нециліндричного резервуару являє собою великий теоретичний та практичний інтерес і активно розвивається. Разом з тим цей напрямок є недостатньо вивченим і чисельних результатів по таких задачах у сучасній літературі мало. Основна увага в існуючих роботах з динаміки системи резервуар–рідина приділялася бакам циліндричної форми. Дослідження останніх років показали найвищу ефективність застосування варіаційних методів для таких задач. Вивчення нециліндричних резервуарів було розглянуто в роботах, J. Miles, H. Bauer, І.О. Луковського, О.С. Лимарченка. В цих роботах використовувались як класичне застосування принципу Гамільтона–Остроградського, так і некласичне на основі варіаційного принципу Бейтмена. Варіаційні алгоритми у поєднанні з методами модальної декомпозиції дозволяють побудувати нелінійні дискретні моделі коливань рідини, які пройшли апробацію у багатьох випадках кінематичного та динамічного збудження руху (періодичні та нестаціонарні режими). Перенесення цих розвинених методів на випадки результатів нециліндричної форми показало, що необхідно:

Використовувати недекартову параметризацію області, яку займає рідина.

Будувати модель, яка включає достатньо велику кількість форм коливань рідини, що особливо важливо у випадку нестаціонарних режимів.

Уточнено задовольняти умовам неперетікання рідини на стінках резервуару, включаючи умову неперетікання гребенів хвиль при зростанні хвилі у стінки.

Необхідно забезпечити виконання умов розв’язності крайової задачі про коливання рідини з урахуванням поширення хвилі на певне подовження бічної стінки, куди досягають хвилі.

Для будування ефективних засобів дослідження такого класу задач потрібно розвинути алгоритми і методи, які б враховували ці фактори, а також контролювали б виконання законів збереження.

Головна мета даної дисертації:

Дослідити особливості розвинення коливань рідини в параболічному резервуарі при нестаціонарних режимах руху.

Побудувати скінченновимірну нелінійну модель системи, в якій враховано умови розв’язності задачі, що еквівалентно властивості, при якій хвиля, що поширюється буде задовольняти умовам неперетікання на певному продовженні бічної поверхні.

Дослідити типові режими руху системи і виявити особливості поведінки такої системи для випадку резервуарів параболічної форми, включаючи режими сумісного руху системи.

В ході роботи необхідно було виконати наступні завдання:

Переглянути постановку задачі про коливання рідини в резервуарах нециліндричної форми і методи її розв’язання з точки зору уточненого задовільнення умов розв’язності задачі.

Побудувати ефективну модель дослідження динаміки рідини з вільною поверхнею в параболічному резервуарі і чисельно реалізувати даний алгоритм.

На основі розв’язання групи тестових задач розробити рекомендації по підтвердженню достовірності отриманої моделі, границь її застосування і точності задовільнення граничних умов, а також контролю виконання законів симетрії і законів збереження енергії.

Дослідити хвильові процеси в рухомому та нерухомому параболічних баках при кінематичному та динамічному збудженні руху. Проаналізувати нелінійні властивості утворення хвиль і динаміки взаємодії з резервуаром.

Визначити вплив форми резервуару на обмеження рухомості рідини, зокрема, дослідити особливості поведінки рідини в резервуарах параболічної форми, в якому окремі типи нелінійностей відсутні.

Об’єктом дослідження даної роботи є механічна система, що складається з параболічного резервуару та рідини, що частково заповнює його, в перехідних режимах сумісного руху системи в нелінійному диапазоні зміни параметрів.

Предметом дослідження є розробка ефективної достовірної нелінійної скінченновимірної моделі динаміки сумісного руху параболічного резервуару і рідини, яка міститься в ньому.

Метод дослідження базується на сукупному використанні аналітичних методів нелінійної механіки, варіційних методів математичної фізики до механічної задачи у варіаційному формулюванні. На основі аналізу умов розв’язності задачі побудована система координатних функцій, які задовільняють умові неперетікання не тільки на змочуваних у незбуреному стані твердих границях, а і на певному продовженні бічної поверхні резервуара, куди досягають хвилі. При цьому застосовувалась недекартова параметризація області, яку займає рідина. Отримана нелінійна дискретна модель мінімальної розмірності за допомогою підходу, який базується на виключенні всіх кінематичних в'язей перед розв'язанням варіаційної задачі. Відмінність цього підходу полягає в тому, що кінематична і динамічна граничні умови мінімізуються по єдиному ортогональному базису. Аналітично побудовані розклади розв’язків задачі, що задовільняють всім кінематичним граничним умовам. Застосований алгоритм базується на класичному варіаційному принципі Гамільтона–Остроградського для випадку рідини, що частково заповнює параболоїд обертання, і у поєднанні з методами модальної декомпозиції дозволяє побудувати нелінійну дискретну модель коливань рідини.

Наукова новизна отриманих результатів полягає у тому, що:

Розвинено алгоритм побудови нелінійної моделі динаміки рідини в резервуарах параболічної форми, яка орієнтована на дослідження сумісного руху параболічного резервуару із рідиною, вивчення перехідних процесів. При цьому при побудові моделі було значну увагу приділено виконанню умов розв’язності задачі.

Побудований алгоритм розв’язання задачі, який пройшов перевірку на ряді прикладів, було порівняно з відомими результатами і проаналізовано точність задовільнення умов розв’язності, законів збереження і симетрії.

Досліджено клас задач про кінематичний і динамічний режими збудження руху рідини нелінійного хвиле утворення, взаємодії бака з рідиною і впливу рідкого наповнення на рух резервуару.

Досліджено вплив зміни геометричної форми резервуара на коефіцієнти рівнянь руху і на обмеження рухомості рідини при різних формах параболічного резервуару, а також порівняно рух системи для випадку резервуарів конічної та циліндричної форми.

Вірогідність отриманих результатів забезпечується коректністю постановки задачі, контролем точності виконання граничних умов, умов розв’язності, законів симетрії та законів збереження енергії, контролю збереження маси. А також порівнянням одержаних результатів з результатами інших авторів, аналізом головних нелінійних властивостей хвилеутворення на конкретних прикладах.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати досліджень, які ввійшли в дисертаційну роботу, пов’язані з науковими дослідженнями КНУ ім. Тараса Шевченка та дослідженнями Міжнародного Математичного центру НАН України виконані у відповідності до теми "Дослідження коливальних та еволюційних процесів в розподілених системах на основі методів аналітичної та нелінійної механіки " (номер держреєстрації 0104U002780, 2004 –2006 р.).

Практична цінність отриманих результатів. Розвинені методи і алгоритми, а також одержані результати чисельного моделювання, можуть бути застосовані для аналізу прикладних задач динаміки авіаційних і космічних систем, пов’язаних з розробкою алгоритмів керування і аналізом розвинення внутрішньобакових процесів при нестаціонарних режимах руху. Практичне значення мають також розвинені алгоритми визначення коефіцієнтів рівнянь нелінійної дискретної моделі, а також виявлені особливості руху рідини в параболічному резервуарі.

Особистий внесок дисертанта. Представлені до захисту результати були отримані здобувачем особисто. В опублікованих у співавторстві з науковим керівником роботах дисертанту належить реалізація алгоритму для випадку параболічного резервуару, чисельна реалізація методу, дослідження групи тестових і прикладних задач по аналізу динаміки явищ, що спостерігаються в системі, а також формулювання узагальнених властивостей в системі і висновків по роботі. Науковому керівнику О.С. Лимарченку належить постановка задачі, ідея методу та участь в обговоренні і систематизації одержаних результатів.

Апробація роботи. Наукові та практичні результати були розглянуті на семінарах та конференціях.

Основні результати по темі дисертації доповідались та обговорювались на наступних конференціях:

International workshop on free boundary flows and related problems of analysis (Ukraine, Kiev, 25-30 September 2005 );

International conference of complex analysis and wave processes in mechanics (Ukraine, Zhitomir, 19-26 August 2007);

International conference of mathematical methods of nonlinear mechanics (Ukraine, Kiev, 27 August -2 September 2007).

У повному обсязі робота доповідалась і була підтримана на:

Семінарі Міжнародного математичного центру НАН України під керівництвом доктора техн. наук Лимарченка О.С. (м. Київ, лютий 2008);

Семінарі відділу гідромеханіки хвильових процесів інституту гідромеханіки НАН України під керівництвом проф. Селезова І.Т. (м. Київ, березень 2008);

Семінарі відділу динаміки та стійкості багатовимірних систем Інституту математики НАН України під керівництвом акад. НАН України Луковського І.О. (м. Київ, березень 2008);

Семінарі “Сучасні проблеми механіки” механіко-математичного факультету КНУ ім. Тараса Шевченка під керівництвом член.-кор. НАН України Улітка А.Ф. та проф. Мелешка В.В;

Семінарі кафедри механіки суцільних середовищ механіко-математичного факультету КНУ ім. Тараса Шевченка під керівництвом проф. Мольченка Л.В.

Публікації. По темі дисертації було опубліковано 5 праць, з них 3 роботи у вітчизняних фахових виданнях, затверджених ВАК України, і 2 у збірниках тез міжнародних конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі змісту, вступу, 5 розділів, висновків, списку використаних джерел. Викладена на 133 сторінках, із них 110 сторінок основного тексту, 19 рисунків, 17 таблиць, бібліографічні посилання складено з 169 джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність вибраної теми, проаналізовано сучасний стан наукової проблеми, якій присвячено дисертаційну роботу, сформульовані положення, що виносяться на захист.

В першому розділі подано стислий огляд літератури з дослідження нелінійних коливань системи резервуар–рідина. Виконано аналіз аналітичних методів у нелінійній динаміці рідини з вільною поверхнею.

В другому розділі наведено математичну модель динаміки сумісного руху нециліндричного резервуару з рідиною на основі варіаційного принципу Гамільтона–Остроградського.

Розглядається задача моделювання нелінійних коливань рідини з вільною поверхнею в резервуарі, що має форму параболоїда обертання. Незбурена вільна поверхня є плоскою. Стінки резервуара абсолютно жорсткі. Резервуар може бути нерухомим або здійснювати поступальний рух під дією активних зовнішніх сил. Припускається, що рідина є ідеальною, однорідною, нестисливою і в початковий момент часу рух її безвихровий.

Крайова задача про рух ідеальної нестисливої рідини в рухомому резервуарі може бути представлена таким чином:

Рис. – Ілюстрація прийнятих позначень

Рух описується в декартовій системі координат Oxyz, пов'язаною з резервуаром. Для опису коливань обмеженого об’єму рідини у резервуарі введені наступні позначення: – область, яку займає рідина, S – вільна поверхня рідини, – змочувана стінка резервуару. Відсутність індексу в цих позначеннях означає, що дані позначення застосовуються для збуреного об’єму рідини, а наявність індексу «0» – до незбуреного об’єму, – рівняння вільної поверхні рідини, – потенційна енергія зовнішніх сил, що діють на рідину. – рівняння твірної порожнини, задане в циліндричній системі координат, – глибина порожнини, а співпадає з незбуреною вільною поверхнею рідини.

Математичне формулювання динаміки системи резервуар–рідина з вільною поверхнею є сукупністю кінематичних і динамічної граничних умов. Кінематичні умови розглядаються як механічні в'язі, які накладають обмеження на варіації невідомих, при описі механічної системи на основі принципу Гамільтона–Остроградського. При цьому динамічна гранична умова випливає з варіаційного принципу Гамільтона–Остроградського як природна.

Для опису руху рідини вводиться недекартова параметризація області , яку займає рідина

Центр системи координат знаходиться в центрі незбуреної вільної поверхні рідини, вісь направлена вгору,– система циліндричних координат, яка замінюється на нову недекартову. У прийнятій недекартовій системі координат область, яку займає рідина, набуває циліндричної форми, але метріка цієї області вже неевклідова. Внаслідок циліндричності області в новій параметризації можливе представлення рівняння вільної поверхні рідини в розв’язаному відносно координати вигляді:

Надалі це дозволяє застосувати метод збурень і метод Канторовича для побудови нелінійної скінченновимірної моделі динаміки системи резервуар–рідина.

Постановка задачі про рух обмеженого об'єму рідини в нових змінних має вигляд:

Підкреслений член з'явився внаслідок нециліндричності порожнини, зайнятою рідиною, що відображає недекартовий тип нової параметризації.

Рівняння (1)–(3) по відношенню до варіаційного принципу, де

( – густина рідини,– маса резервуара,– маса рідини, – прискорення вільного падіння) є сукупністю кінематичних в'язей, які необхідно виключити до розв’язку варіаційної задачі. Для повного формулювання задачи слід додати динамічну граничну умову на вільній поверхні, яка є природною для варіаційного принципу Гамільтона–Остроградського.

Згідно методу, запропонованому О.С. Лимарченком, застосовуємо принцип Гамільтона–Остроградського, із якого випливає динамічна гранична умова, рівняння руху резервуара з рідиною та сили взаємодії між ними. Для розв’язку варіаційної задачи використовується прямий метод математичної фізики, зокрема, метод Канторовича. При цьому збурення вільної поверхні розкладається в ряд по функціях, отриманих з рішення відповідної лінійної задачі, яке задовольняє умові повноти на , а розв’язок для потенціалу швидкостей будується з такими додатковими вимогами, щоб ці функції задовільняли умові неперетікання на . Відмінністю задачі є поява, що випливає з вимоги задовільнення умові збереження об'єму рідини в її збуреному русі, що відрізняється від випадку циліндра.

Для побудови скінченновимірної моделі необхідно від континуальної системи перейти до дискретної (для невільної системи), виключаючи кінематичні граничні умови на вільній поверхні, отримуємо функцію Лагранжа, що відповідає вільній системі, і кількість параметрів системи дорівнює кількості ступенів свободи системи.

Таким чином, застосований підхід складається з двох етапів:

1. Побудова незалежних розкладів змінних, що задовільняють усім кінематичним граничним умовам задачі із заданою точністю на основі застосування методів нелінійної механіки та методу Гальоркіна.

2. Побудова дискретної моделі системи на основі застосування методу Канторовича до варіаційного формулювання задачі динаміки, що базується на варіаційному принципі Гамільтона–Остроградського.

Перехід від континуальної структури системи тіло–рідина до її дискретної моделі на основі методу Канторовича в цілому подібний до випадку, коли резервуар має циліндричну форму. Проте при цьому є ряд принципових відмінностей, зумовлених нециліндричністю області, яку займає рідина, і вимогами виконання умови розв’язності задачі в збуреному стані рідини:

система координатних функцій, по яких відбувається розклад потенціалу швидкостей, наближено задовільняє умові неперетікання на змочуваній границі;

ця система координатних функцій додатково задовільняє умовам неперетікання на певному продовженні змочуваної межі області рідини, куди можуть досягати гребні хвиль, які випливають з умов розв’язності задачі;

в розв’язок входить сукупність геометричних нелінійностей, яка приводить до додаткової нелінійної взаємодії між формами коливань.

У третьому розділі приведено аналіз умов розв’язності задачі, побудова координатних функцій, побудова шуканих змінних, що задовільняють лінійним кінематичним граничним умовам, виключення кінематичної граничної умови на вільній поверхні, інтегрування окремих членів функціоналу на основі введених розкладів та отримання рівнянь для визначення підсумкової форми розв’язку.

Для успішної реалізації нелінійної скінченновимірної моделі динаміки рідини з вільною поверхнею в порожнині обертання потрібно визначити набір координатних функцій для представлення потенціалу швидкостей рідини. Основні етапи алгоритму побудови координатних функцій пов'язані з виконанням умови розв’язності для нелінійної задачи Неймана для рівняння Лапласа. Умову розв’язності задачі Неймана можна записати у вигляді:

Ці умови представляють вимоги задовільнення в слабкому сенсі умови неперетікання на змоченої в незбуреному стані стінці бака, умови неперетікання рідини на деякому продовженні стінки бака над вільною поверхнею і вимоги збереження об'єму рідини в збуреному русі. Задовільнити цим умовам необхідно на етапі побудови розкладів змінних до реалізації варіаційного принципу.

Важливим етапом при вирішенні розглянутої задачі є розклад потенціалу швидкостей

Для чисельної реалізації застосовувався розклад розв’язку по гармонічним поліномам, що є поліномами Лежандра для сферичної системи координат, перетвореними до циліндричної системи координат. Ці функції взагалі не залежать від геометрії області. Прийнятий розклад задовольняє вимогам повноти, та гармонічності. Та не задовільняє кінематичним граничним умовам на твердих стінках і на вільній поверхні.

Традиційно задача про визначення системи координатних функцій розв’язувалася на основі визначення форм вільних коливань рідини в порожнинах. Оскільки розв’язок цієї задачі лише частково задовільняє вимогам збереження об'єму рідини і містить аналітичну особливість на контурі, який утворений перетином поверхонь та, тому для розв’язання нелінійної задачи необхідно відмовитися від застосування класичного формулювання задачі і побудувати наближену систему координатних функцій, близьких до розв’язків класичної задачі з відповідними частотними параметрами, при цьому ці функції додатково повинні уточнено задовільняти умові неперетікання на .

Для реалізації цієї мети використовуємо два прийоми: ітераційне уточнення розв’язку задачі на власні значення для підвищення точності і метод допоміжної області для ослаблення впливу особливої точки на контурі і виконання умов неперетікання на продовженні стінок резервуару.

Алгоритм побудови системи координатних функцій, що використовуються для розв’язку нелінійної задачи динаміки рідини з вільною поверхнею в параболічному баку, наступний:

Розв’язок задачі на власні значення по методу допоміжної області.

Ітераційне уточнення розв’язку.

Ортогоналізация функцій, відповідних одному окружному номеру m.

Визначення власного числа для кожної функції за методом Релея, яке використовується для оцінки частотних характеристик і контролю.

Таблиця 1. |

m=1,k=1 | m=0,k=1 | m=2,k=1

1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2

-0.283915 | -0.000101 | -3.525170 | -0.000697 | -0.652042 | -0.000222

-0.000101 | -0.000014 | -0.000697 | -0.000089 | -0.000222 | -0.000031

-0.101910 | -0.000024 | -0.806938 | -0.000187 | -0.262052 | -0.000048

1.30162808 | 1.30165012 | 3.42570797 | 3.42824681 | 2.30762265 | 2.30778944

В Таблиці 1 приведені значення похибки виконання умови неперетікання на змочуваній границі, – відносна похибка виконання умови неперетікання в кутовій точці – в найвищій точці над рівнем незбуреної вільної поверхні, куди можуть досягати хвилі, – в рівновіддаленій від верхнього краю відносно вільної поверхні. В колонках 1 приведені значення, які були отримані класичним методом, колонка 2 містить результати, що отримані за допомогою метода допоміжної області. Таблиця 1 ілюструє ефективність застосування метода допоміжної області у порівнянні з класичним. Слід відзначити, що метод допоміжної області незначно завищує частотний параметр , що узгоджується із законами механіки – накладання додаткових механічних в’язей приводить до збільшення частоти.

Згідно з відомої теореми про те, що безвихровий рух ідеальної, однорідної, нестисливої рідини визначається поведінкою її границь, можна виключити параметри розкладу потенціалу швидкостей як залежні. Розклад шуканих змінних збурення вільної поверхні рідини та потенціалу швидкостей представляється у вигляді:

де–

тригонометричні функції. Координатні функції для представлення потенціалу швидкостей рідини є гармонічними і мають уточнено задовільняти вимогам неперетікання на змочуваній границі , яка складається з незбуреної змочуваної границі і її деякого продовження, куди досягають гребені хвиль. Система функції повна на .

На відміну від випадку циліндричної області розклад змінних додатково містить член, який визначається з вимоги збереження об'єму рідини в її збуреному русі. Приймаємо амплітудні параметри з розкладу збурення вільної поверхні рідини як незалежні, а параметри розкладу потенціалу швидкостей розглядатимемо як залежні від :.

Представляємо та у вигляді:

Цифрові індекси відповідають порядку малості величин. З вимоги збереження об’єму отримуємо:

Лінійний член в відсутній, визначається квадратами амплітуд і кутом нахилу стінок резервуару в околиці вільної поверхні; значення залежить від кубічних членів і кривизни поверхні у околі . У випадку параболічного резервуару частина нелінійностей зникає, тому що дорівнює нулю, тобто член не залежить від кривизни поверхні у околі. Також подібний член не входить до складу потенційної енергії у випадку довільного параболоїда. Але друга похідна присутня у якобіані переходу від декартової системи координат до криволінійної і розклади цього якобіана у ряд також містять другу похідну.

Виключення кінематичної граничної умови на вільній поверхні проводиться за методом Гальоркіна. Підставляємо розклади змінних в диференціальний оператор

потім розкладаємо функції в ряд Тейлора відносно вільної поверхні, множимо обидві частини рівняння на, інтегруємо по та отримаємо розв’язок у вигляді

де коефіцієнти, та є квадратурами.

Параметри an вважаються повною незалежною системою змінних, що дозволяє перейти до побудови дискретної функції Лагранжа вільної механічної системи резервуар–рідина.

В четвертому розділі досліджується побудова дискретної моделі системи за допомогою методу Канторовіча до варіаційного формулювання завдання динаміки на основі принципу Гамільтона–Остроградського. Для цього підставляємо розклади вільної поверхні та потенціалу швидкостей (13) у функцію Лагранжа (9), виконуємо інтегрування по просторовим змінним, розкладаємо координатні функції в ряд Тейлора, а параметри по параметрах та , отримуємо дискретну функцію Лагранжа вільної механічної системи. За допомогою існуючих залежностей параметрів від та виводимо дискретну функцію Лагранжа вільної механічної системи з незалежними параметрами амплітудами форм коливань та координатами резервуару .

В функції Лагранжа (17) виключені всі в’язі (кінематичні граничні умови) і як параметри руху використовуються тільки незалежні змінні – амплітуди форм коливань та координати резервуару . Результатом застосованої методики є побудова нелінійних звичайних диференціальних рівнянь Лагранжа ІІ роду – рівнянь сумісного руху системи резервуар–рідина в амплітудних параметрах та параметрах руху несучого тіла .

Рівняння (18) описують динаміку амплітуд коливань вільної поверхні рідини, а рівняння (19) – динаміку резервуара, який рухається поступально. Сумісний рух резервуара з рідиною повністю характеризується незалежними узагальненими координатами та .

В п’ятому розділі наведені результати розв’язку задач, які орієнтовані на дослідження розвинення перехідних процесів в рухомому параболічному резервуарі з рідиною.

Розглядається параболічний резервуар з вертикальною віссю Oz, який здійснює поступальні рухи в площині xOy. Система рівнянь (18) – (19) лінійна відносно других похідних, що дає можливість при практичній реалізації на кожному кроці чисельного інтегрування спочатку перетворити систему до нормальної форми Коші, а потім чисельно інтегрувати за часом за допомогою стандартного методу Рунге–Кутта. При цьому на етапі перетворення до нормальної форми Коші порядок похідних знижувався шляхом введення узагальнених швидкостей як рівноправних незалежних змінних (разом з ).

Для розв’язання нелінійної задачі сумісного руху резервуару і рідини, що частково заповнює його, були застосовані наступні параметри: приймалося в розгляд координатних функцій (амплітудних параметрів), з них амплітуди перших розглядалися з точністю до величин другого порядку; а амплітуди перших координатних функцій вивчалися з точністю до величин третього порядку малості. Як величина першого порядку приймаються збурення вільної поверхні рідини по першій антисиметричній формі. З урахуванням характеру зміни частотних параметрів була прийнята така система координатних функцій для розкладання збурень вільної поверхні рідини:

де – розв’язок задачі про уточнене визначення форми коливань рідини з кутовим номером m, якому відповідає k–е власне число (розміщення координатних функцій обиралось відповідно до зростання власних чисел).

Крок чисельного інтегрування вибирався Дt=0,02 с. При розв’язку задачі на власні значення приймався розклад по N=22 гармонічним поліномам.

Для дослідження нелінійної динаміки сумісного руху системи параболічний резервуар – рідина були проведені серії обчислювальних експериментів, в яких досліджувалась динаміка рідини та резервуару при різних видах кінематичного та динамічного збудження вільної поверхні рідини.

У першому підрозділі наведені результати обчислювальних експериментів для підтвердження достовірності отриманої моделі. Для цього порівнювались коефіцієнти рівнянь руху для випадку циліндра для п’яти форм, конусу та сфери з результатами інших дослідників. Зіставлення чисельних результатів з результатами попередніх досліджень показало, що коефіцієнти нелінійних рівнянь руху співпадають з точністю до чотирьох значущих цифр.

Також був розв’язаний ряд тестових задач для контролю виконання законів симетрії та збереження. Так було встановлено, що закони симетрії виконуються при повороті системи на кожні 90 градусов, а також було підтверджено, що початкове збурення вільної поверхні не призводить до збудження форм коливань у перпендикулярній площині, що узгоджується із теоремою про рух центра мас системи. Розрахунки похибок виконання закону збереження енергії показують, що зміни енергії за 8 періодів коливань не перевищують 0.3%, що слід визнати задовільним результатом при дослідженні перехідних процесів на основі моделей третього порядку малості.

У другому підрозділі досліджується застосування метода допоміжної області у випадку складеного баку. Показано, що тенденція зміни частот співпадає із загальними теоремами аналітичної механіки. Проведені обчислення підтверджують, що координатні функції, визначені за методом допоміжної області забезпечують достатньо високу точність виконання кінематичних граничних умов задачі та умов її розв’язності.

Приведені графічні залежності зміни частоти від рівня заповнення бака для випадків параболічного резервуара, циліндра та конуса.

У третьому підрозділі для аналізу розвитку вільних коливань рідини було досліджено комплекс задач при кінематичному та динамічному збудженні руху системи параболічний резервуар–рідина. Приведені на Рис.2 картини хвиль на вільній поверхні ілюструють, що властивість перевищення горба хвилі над її впадиною проявляється не так сильно, як для випадку циліндра. А в деякі моменти часу значення навіть перевищує значення. Цей факт можна пояснити тим, що додаток у розкладі вільної поверхні для випадку параболічного резервуару має знак мінус, а також нахил стінок у зовнішню сторону дозволяє рідині заходити більше над вільною поверхнею, ніж під нею

. На Рис.2 приведений випадок, коли у нерухомому параболічному резервуарі рух генерується збуренням вільної поверхні по першій антисиметричній формі. У випадку рухомого параболоїда картина аналогічна, але ще більш помітний вплив вищих форм коливань. Порівняння зміни амплітуд у часі у випадку рухомого і нерухомого параболоїдів демонструє, що рухомість бака сприяє більшому прояву нелінійних взаємозв’язків у системі, особливо для вищих гармонік (Рис.3).

Розв’язувалась задача для визначення впливу форми бака на обмеження рухомості рідини, що міститься в резервуарі. З цією метою розглядались випадки рухомих параболічних, циліндричного та конічного резервуарів. Для визначення параметрів допоміжної області за методом допоміжної області було прийнято завищення по вертикалі, яке визначає вибір розміру області і.

У четвертому підрозділі досліджений клас задач про силове імпульсне збудження сумісного руху резервуара з рідиною. Показано необхідність залучення великої кількості форм до розрахункової моделі, що підтверджує Рис.4, на якому зображено вплив другої антисиметричної форми. А також досліджено вплив форми бака на обмеженість рухомості рідини в резервуарі і вплив рідкого наповнення на рух системи (Рис.5).

Розв’язувалась задача просторового утворення хвиль при силовому збудженні перпендикулярним імпульсом системи параболічний резервуар–рідина. Наведені графіки відображають стан вільної поверхні в перпендикулярних напрямках в однакові моменти часу. Наявність малого збурення вільної поверхні у перпендикулярному напрямку впливає на зростання амплітуд у головному, що відображає взаємозв’язок всіх форм коливань (Рис.6).

Рис. 6 – Задача просторового хвилеутворення при силовому збудженні сумісного руху параболічного резервуара з рідиною

У висновках проведено узагальнення результатів роботи.

Автор висловлює глибоку вдячність науковому керівникові доктору технічних наук, професору Олегу Степановичу Лимарченку за постановку задачі та постійну увагу до роботи.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

Розроблена ефективна нелінійна математична модель динаміки рідини із вільною поверхнею в резервуарах параболічної форми. На основі цієї моделі досліджені перехідні процеси хвилеутворення та взаємодії резервуара з рідиною.

Для параболічних резервуарів на основі методу допоміжної області побудовані координатні функції, які уточнено задовільняють умовам неперетікання рідини не тільки на змочуваній у незбуреному стані бічній поверхні, а й на певному її продовженні над незбуреною вільною поверхнею, куди можуть досягати хвилі. Показано зв’язок цього алгоритму з виконанням умов розв’язності задачі у баках нециліндричної форми.

Виконано комплекс тестових розрахунків для підтверждення достовірності запропонованої моделі, зокрема, здійснювався контроль законів збереження енергії, симетрії, а також, зроблено узгодження з результатами, що були отримані раніше для циліндричних резервуарів.

Досліджений комплекс задач розвитку хвильових процесів під час руху рідини з вільною поверхнею у параболічних резервуарах при кинематичному та динамичному збудженні руху системи. Побудовані картини хвиль на вільній поверхні, визначені параметри руху резервуара та силової взаємодії бака з рідиною.

Досліджено клас задач про силове імпульсне збудження сумісного руху резервуара з рідиною. Показано принципову необхідність залучення великої кількості форм коливань, яка згодом визначає розвиток хвильових процесів на вільній поверхні та силової взаємодії резервуара з рідиною. Досліджені характеристики нелінійного енергообміну між формами.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

Лимарченко О. С. Колебания жидкости со свободной поверхностью в резервуаре в форме параболоида вращения / О. С. Лимарченко, И. Ю. Семенова // Збірник праць Ін-ту математики НАН України. – Київ, Інститут математики НАН України, 2004. – Т.1. – №3. – С. 273–285.

Лимарченко О. С. Построение координатных функций для решения нелинейной задачи о колебании жидкости в параболоиде вращения / О. С. Лимарченко, И. Ю. Семенова // Комплексний аналіз і течії з вільними границями. Збірник праць Інститут у математики НАН України. – Київ, Інститут математики НАН України, 2006. – Т.3. – №4. – С. 374 – 388.

Лимарченко О. С. Нелинейная динамика совместного движения параболического резервуара и частично заполняющей его жидкости /О. С. Лимарченко, И. Ю. Семенова // Проблеми динаміки та стійкості багатовимірних систем. Збірник праць Інституту математики НАН України. – Київ, Інститут математики НАН України, 2007. – т. 4. – № 2. – С. 134 – 146.

International workshop on free boundary flows and related problems of analysis, ( Ukraine, Kiev. – Sept. 25 – 30, 2005)/ Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2005 – 70 p.

Bogolubov Readings 2007. Dedicated to Yu. Mitropolskii on the occasion of his 90-th birthday, ( Ukraine, Kiev. – 19 August–2 September 2007) / Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007. – 113 p.

АНОТАЦІЯ

Семенова І.Ю. Нелінійні коливання рідини з вільною поверхнею в рухомому резервуарі параболічної форми. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико–математичних наук за спеціальністю 01.02.05 – механіка рідини, газу та плазми. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

Дисертація містить результати досліджень задачі моделювання динаміки сумісного руху обмеженого об’єму рідини і резервуара параболічної форми. Дослідження виконано на основі аналітичних методів з використанням варіаційного формулювання задачі. Для аналітичного опису рідини було введено недекартову параметризацію області, яку займає рідина. Побудована ефективна нелінійна дискретна модель динаміки системи рухомий нециліндричний резервуар–рідина на основі варіаційного формулювання Гамільтона–Остроградського задачі з попереднім задовільненням кінематичних граничних умов. Модель орієнтована на дослідження перехідних процесів розвинення хвиль.

Побудовані координатні функції задовільняють умові неперетікання на змочуваній в незбуреному стані бічній поверхні бака і на певному подовженні бічної поверхні, куди можуть досягати гребні хвиль. Показано зв'язок алгоритму побудови координатних функцій у випадку нециліндричного резервуару з умовою розв’язності задачі.

Для оцінки достовірності побудованої моделі в ході обчислювальних експериментів здійснювалася перевірка законів збереження і симетрії в динамічній системі. Відносна похибка зміни повної енергії системи за 8 періодів не перевищує 0,28%, що є задовільним результатом для дослідження процесів.

Досліджений комплекс задач розвитку хвильових процесів під час руху рідини із вільною границею у параболічних резервуарах при різних кінематичних та динамічних способах збудження руху, які приводять до прояву нелінійних ефектів. Досліджені хвильові процеси, задачі силової взаємодії та сумісного руху параболічного резервуара з рідиною. Отримані результати якісно, а в окремих випадках і кількісно, узгоджуються з результатами теоретичних досліджень інших авторів і результатами експериментальних досліджень.

Ключові слова: рідина з вільною поверхнею, нелінійні коливання, перехідні процеси, сумісний рух, параболічний резервуар.

АННОТАЦИЯ

Семенова И.Ю. Нелинейные колебания жидкости со свободной поверхностью в подвижном резервуаре параболической формы. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук по специальности 01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченка, Киев, 2008.

Диссертация содержит результаты исследований задачи моделирования динамики совместного движения ограниченного объема жидкости и резервуара параболической формы. Исследование выполнено на основе аналитических методов с применением вариационной формулировки задачи. Использовался метод, основанный на применении вариационного принципа Гамильтона– Остроградского для случая произвольного тела вращения. Вводилась недекартовая параметризация области, которую занимает жидкость. Исключение потенциала скоростей жидкости проводилось через возмущение свободной поверхности жидкости. Отличительной чертой использованного подхода является то, что кинематическое и динамическое граничные условия минимизировались по единому ортогональному базису. При этом результирующие уравнения максимально упрощаются. Аналитически определена зависимость между коэффициентами разложения в ряд возмущений свободной поверхности и потенциала скоростей.

Построена эффективная конечномерная модель динамики системы подвижный нецилиндрический резервуар–жидкость. Для этого на основе анализа задачи и условия ее разрешимости построены координатные функции, которые в отличии от форм колебаний удовлетворяют условиям непротекания не только на твердой границе в невозмущенном состоянии жидкости, но и на некотором продолжении боковой поверхности резервуара, куда достигают гребни волн. Аналитически построены разложения решения задачи, удовлетворяющие всем кинематическим граничным условиям. Показана связь алгоритма построения системы координатных функций в случае нецилиндрического резервуара с условием разрешимости задачи.

Для оценки достоверности модели в ходе вычислительных экспериментов осуществлялась проверка выполнения законов симметрии и сохранения в динамической системе. Относительная погрешность изменения полной энергии системы за 8 периодов не превышает 0,28%, что является удовлетворительным результатом для исследования переходных процессов.

Исследован комплекс задач развития волновых процессов при движении жидкости со свободной границей в параболических резервуарах при кинематическом и динамическом возбуждении движения, которые приводят к проявлению нелинейных эффектов. Определены параметры движения резервуара, картины волн на свободной поверхности, амплитуды всех принятых во внимание форм колебаний, поле давления и силы взаимодействия бака с жидкостью. Показана необходимость выполнения условия непротекания на твердой смачиваемой поверхности и на некотором ее продолжении, куда могут достигать гребни волн.

Исследованы волновые процессы задачи силового взаимодействия и совместного движения параболического резервуара с жидкостью. Показана необходимость включать достаточно большое количество форм колебаний в расчетную модель. Изучен энергообмен между формами.

Ключевые слова: жидкость со свободной поверхностью, нелинейные колебания, переходные процессы, совместное движение, параболический резервуар.

SUMMARY

Semenova I.Yu. Nonlinear oscillations of liquid with a free surface in a parabolic tank. – Manuscript.

Thesis for a Candidate’s Degree in Physics and Mathematics by the specialty 01.02.05 – mechanics of fluid, gas and plasma. –The Taras Shevchenko National University of Kyiv, Kyiv, 2008.

Thesis contains results of investigations of the problem about nonlinear oscillations of liquid in a tank of parabolic shape. Investigation is conducted on the basis of analytical methods with applying variational formulation of the problem. For analytical description of liquid we introduced non-Cartesian parametrization of the domain, occupied by liquid. Construction of effective nonlinear discrete model for combined motion of the system “non-cylindrical tank-liquid” is done on the basis of the basis of the Hamilton–Ostrogradsky variational formulation of the problem with preliminary satisfying kinematical boundary conditions. The model is aimed at investigation of transient processes of wave generation.

The constructed coordinate functions with high accuracy hold non-flowing conditions on unperturbed moisten boundary and on its certain prolongation, until which wave crests can reach. We showed interrelation of the algorithm of construction of coordinate functions for noncylindrical reservoirs with the problem solvability condition.

For estimation of validity of the created model in numerical experiments we carried out verification of conservation laws and symmetry laws for the system. The relative error of variation of total energy of the system in 8 periods does not exceed 0,28%, that is a completely satisfactory result for research of transient processes.

The complex of problems of wave generation for motion of liquid with a free surface in parabolic reservoirs under different kinematic and dynamic ways of motion excitation, which are resulted in manifestation of nonlinear effects, was investigated. We study wave processes, force interaction and combined motion of a parabolic reservoir with liquid. The obtained results about wave