Національна академія наук України

Інститут прикладної математики і механіки

Сімонов Кирило Костянтинович

УДК 517.518.88; 517.984.7

Операторний підхід

до сильної проблемі моментів Гамбургера

01.01.01 — математичний аналіз

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк — 2008

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Донецькому національному університеті,

Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник: | доктор фізико-математичних наук, професор

Деркач Володимир Олександрович,

Донецький національний університет,

завідувач кафедри математичного аналізу

і теорії функцій математичного факультету

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, доцент

Дюкарев Юрій Михайлович,

Харківський національний університет

ім. В.Н. Каразіна, завідувач кафедри

вищої математики фізичного факультету

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Маламуд Марк Михайлович,

Інститут прикладної математики і механіки

НАН України (м. Донецьк),

старший науковий співробітник

відділу рівнянь в частинних похідних

Захист відбудеться «11» червня 2008 р. о 1600 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.193.02 Інституту прикладної математики і механіки НАН України (83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України (83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74).

Автореферат розісланий «29» травня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради __________________________ О. А. Довгоший

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

У дисертаційній роботі вивчаються повний та зрізаний випадки сильної матричної проблеми моментів Гамбургера за допомогою методів спектральної теорії симетричних операторів.

Актуальність теми. В 1894 р. Т. Стільтьєс у знаменитій роботі «Recherches sur les fractions continues» сформулював задачу, яку назвали проблемою моментів: задана послідовність дійсних чисел , знайти міру на інтервалі , яка задовольняє тотожностям

при Коли інтеграл береться на півосі , то задача називається проблемою моментів Стільтьєса, а коли інтеграл береться на всій дійсній осі , то задача називається проблемою моментів Гамбургера.

Класична проблема моментів послужила стимулом для розвитку багатьох напрямків математичного аналізу і породила численні узагальнення. Одне з можливих узагальнень можна здобути, якщо вважати, що моменти є ермітовими матрицями. Таку задачу, яку називають матричною проблемою моментів, вперш було розглянуто М. Г. Крейном. Різноманітні підходи до матричної проблеми моментів були розвинуті у роботах В. П. Потапова та І. В. Ковалішиной, Г. Дима, В. М. Адамяна та І. М. Ткаченко, А. Дюрана та П. Лопеса-Родригеса.

Інше узагальнення можна отримати, якщо вважати, що індекс у вищенаведеній формулі приймає не тільки додатні, але також і від'ємні значення. Таку проблему називають сильною проблемою моментів. Вперше проблему моментів з моментами від'ємних ступенів розглянув А. А. Нудельман для випадку кінцевого інтервалу . Ю. М. Березанський отримав критерій розв'язності сильної проблеми моментів Гамбургера як частковий випадок деякого загального твердження. Систематичним вивченням сильної проблеми моментів, розглядаючи цю задачу з точки зору теорії неперервних дробів, займалися В. Джонс, В. Трон, Х. Воделанн, О. Ньястад. Вони отримали умови розв'язності та описали усі розв'язки сильної проблеми моментів. Треба відмітити, що ці результати було отримано при надто сильній умові про регулярність проблеми моментів. Окрім цих результатів, можна відмітити роботу І. С. Каца та А. А. Нудельмана, які застосували теорію струн М. Г. Крейна до сильної проблеми моментів на півосі та отримали умови розв'язності і опис рішень цієї задачі.

Слід зауважити, що лише одна робота Е. Хендріксена та К. Найхауса присвячена зв'язку сильної проблеми моментів та теорії операторів і результати, що отримані у цій роботі, є далекими від повних. Застосований в дисертації підхід з точки зору теорії операторів та використання теорії репрезентацій симетричних операторів М. Г. Крейна дозволяє природним чином здобути нові та доповнити існуючі результати про сильну проблему моментів Гамбургера, в тому числі, вперше розглянути сильну матричну проблему моментів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась згідно з планами науково-дослідних робіт кафедри математичного аналізу та теорії функцій Донецького національного університету у межах держбюджетної наукової теми Г-06-1вв/06 «Спектральна теорія деяких класів сингулярно збурених операторів».

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є розв'язок сильної матричної проблеми моментів Гамбургера за допомогою операторних методів. Для досягнення цієї мети розв'язуються наступні задачі:

(i) зведення сильної проблеми моментів до задачі опису усіх самоспряжених розширень деякого симетричного оператора у гільбертовому просторі;

(ii) перенос класичних об'єктів проблеми моментів — ортогональних поліномів, матриці Якобі, матриці Неванлінни на випадок сильної проблеми моментів;

(iii) застосування теорії репрезентацій симетричних операторів та метода просторів граничних значень для опису усіх рішень сильної проблеми моментів у цілком невизначеному випадку.

Об'єктом дослідження є проблема моментів, різницеві рівняння, симетричні оператори у гільбертових просторах.

Предметом дослідження є сильна матрична проблема моментів Гамбургера, ортогональні поліноми Лорана, матриця Якобі–Лорана, резольвентна матриця.

Методи дослідження. Для визначення взаємно однозначної відповідності між рішеннями сильної проблеми моментів та узагальненими резольвентами модельного симетричного оператора використовується спектральна теорія симетричних операторів. При дослідженні ортогональних поліномів Лорана першого і другого роду та резольвентних матриць застосовуються елементарні методи аналізу та лінійної алгебри. Для опису всіх рішень сильної проблеми моментів у вигляді формули Неванлінни використовується теорія репрезентацій симетричних операторів М. Г. Крейна та методи теорії граничних трійок.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації одержані такі нові результати:

(i) встановлено взаємно однозначну відповідність між множиною рішень сильної проблеми моментів Гамбургера та множиною узагальнених резольвент деякого модельного симетричного оператора;

(ii) отримано умови розв'язності та єдиності розв'язку для сильної матричної (повної та зрізаної) проблеми моментів;

(iii) дано опис ортогональних матричних поліномів Лорана першого та другого роду та супутніх об'єктів: рекурентних рівнянь, блочних матриць Якобі–Лорана, формул типу Остроградського–Ліувілля та Крістоффеля–Дарбу, двоточкових раціональних апроксимацій та резольвентних матриць;

(iv) отримано узагальнення теореми Фавара для матриць Якобі–Лорана; досліджено збіжність двоточкових раціональних апроксимацій, які відповідають рішенням сильної зрізаної матричної проблеми моментів; отримано факторизацію резольвентних матриць сильної проблеми моментів; знайдено умови збіжності граничної матриці Неванлінни і доведено, що вона має мінімальний експоненціальний тип у своїх особливих точках;

(v) знайдено опис усіх рішень сильної зрізаної матричної проблеми моментів, а також усіх рішень сильної повної матричної проблеми моментів у цілком невизначеному випадку, у формі дробово-лінійного перетворення типу Неванлінни.

Практичне та теоретичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер та можуть бути застосовані при подальшому вивченні багатоточкових інтерполяційних задач.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертації отримані здобувачем особисто. Науковому керівнику В. О. Деркачу належить постановка задачі та загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертації доповідались: на 13-ій Кримській осінній математичній школі-симпозіумі КРОМШ-XIII (Сімферополь, 2002); на першій літній школі з топологічної алгебри і функціонального аналізу (Львів–Козева, 2003); на 6-ій конференції молодих вчених: «Теорія операторів»' (Краків, Польща, 2003); на 16-ій конференції молодих вчених механіко-математичного факультету МГУ ім. М. В. Ломоносова (Москва, Росія, 2004); на 20-ій і 21-ій міжнародних конференціях з теорії операторів (Тімішоара, Румунія, 2004, 2006); на міжнародній конференції «`Сучасний аналіз та його застосування»', присвяченій 100-річчю М. Г. Крейна (Одеса, 2007).

В цілому результати дисертації доповідались на семінарі «Теорія операторів та її застосування» у Харківському національному університеті (керівник: проф., д. ф.-м. н. В. К. Дубовий); на семінарі з функціонального аналізу в Інституті Математики НАН України м. Київ (керівники: акад. НАН України Ю. М. Березанський, чл.-кор. НАН України М. Л. Горбачук), а також неодноразово доповідались на семінарі з теорії операторів у Донецькому національному університеті (керівник: проф., д. ф.-м. н. В. О. Деркач).

Публікації. Основні наукові результати дисертації викладені у 7 наукових публікаціях, які увійшли до видань, включених у перелік ВАК України.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаних джерел. Матеріал викладено на 159 сторінках друкованого тексту. Список літератури містить 80 найменувань та становить 9 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У дисертаційній роботі застосовуються методи теорії операторів до дослідження наступної задачі: задана послідовність ермітових матриць порядку , знайти матричну борелівську невід'ємну міру на , таку, що задовольняє тотожностям

(1)

Ця задача називається сильною матричною проблемою моментів Гамбургера. Якщо індекс у формулі (1) пробігає усі цілі числа, то задача називається повною і позначається . Якщо індекс у (1) пробігає інтервал , де , то задача називається зрізаною і позначається .

У вступі обґрунтовано актуальність теми, подано короткий аналіз сучасного стану проблеми, сформульовано мету та завдання дослідження, наукову новизну, практичне значення одержаних результатів та подано відомості про апробацію результатів дисертаційного дослідження.

У розділі 1 подано огляд відомих результатів, які мають відношення до теми дисертації та представлено основні результати цієї дисертаційної роботи.

У пункті 1.1 сформульована класична проблема моментів і описані об'єкти, які є пов'язаними з нею: ортогональні поліноми першого та другого роду, матриця Якобі і матриця Неванлінни. Наведені основні твердження, що стосуються класичної проблеми моментів Гамбургера, зокрема, умови розв'язності та визначеності задачі, а також опис усіх рішень у невизначеному випадку.

У пункті 1.2 показано, як побудувати операторну модель класичної проблеми моментів та за її допомогою відтворити основні твердження, що торкаються цієї задачі.

У пункті 1.3 наведені відомі результати, що стосуються предмета досліджень дисертації — сильної проблеми моментів.

У пункті 1.4 викладено основні результати дисертаційної роботи.

У розділі 2 побудовано операторну модель сильної проблеми моментів Гамбургера.

У пункті 2.2 знаходяться необхідні умови розв'язності задачі.

Пропозиція 2.2.1. Якщо сильна повна проблема моментів має рішення, то виконані умови

Пропозиція 2.2.2. Якщо сильна зрізана проблема моментів має рішення, то виконані умови

У пунктах 2.5 і 2.6 доведено, що цих умов достатньо для розв'язності задачі.

У пункті 2.3 побудовано модельний гільбертів простір та модельний симетричний оператор, що відповідають сильній проблемі моментів. Модельним простором для задачі є замикання лінійної оболонки векторів виду

відносно скалярного добутку, що визначається формулою

(2)

Відмітимо, що форма (2) може бути виродженою. У цьому випадку необхідно факторизувати простір по ізотропній частині (2). Модельним простором для задачі є підпростір виду

Модельний лінійний симетричний оператор для задачі визначається як замикання оператора множення в :

Модельний симетричний оператор для задачі є звуженням оператора на підпростір

Відмітимо, що оператор є нещільно заданим у просторі , тому вже не є лінійним оператором, а є лінійним відношенням.

Нагадаємо, що якщо є лінійним симетричним оператором у гільбертовому просторі , а — його самоспряженим розширенням, можливо з виходом у ширший простір , то функція

називається узагальненою резольвентою оператора .

У пунктах 2.5 і 2.6 рішення повної і зрізаної проблеми моментів описуються, відповідно, через узагальнені резольвенти модельних операторів і .

Теорема 2.5.1. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною рішень сильної повної проблеми моментів і множиною усіх узагальнених резольвент симетричного оператора . Ця відповідність виражається формулою

де — рішення проблеми , а — самоспряжене розширення оператора , можливо з виходом у ширший простір.

Теорема 2.6.1. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною усіх рішень сильної зрізаної проблеми моментів і множиною узагальнених резольвент симетричного оператора , що породжені самоспряженими розширеннями , задовольняючими умовам

Ця відповідність задається формулою

Із теорем 2.5.1 і 2.6.1 випливає, що сильна проблема моментів має єдине рішення тоді і тільки тоді, коли хоча би один з індексів дефекту відповідного модельного оператора дорівнює нулю. В противному випадку, задача має нескінченно багато рішень.

У пункті 2.7 доведено еквівалентність сильної проблеми моментів і деякої двоточкової задачі інтерполяції у класі функцій Неванлінни–Піка. Нагадаємо, що голоморфна в функція зі значеннями у множині лінійних відношень у деякому просторі належить до класу Неванлінни–Піка , якщо при усіх значення є максимально дисипативним лінійним відношенням у та виконана тотожність . Якщо при цьому значення є лінійним оператором, то говорять, що функція належить до класу .

Теорема 2.7.2. Якщо міра є рішенням сильної зрізаної проблеми моментів , то відповідна функція виду

(3)

є функцією класу Неванлінни–Піка та допускає наступні асимптотичні розкладання:

(4)

Обернено, якщо функція класу допускає асимптотичні розкладання (4), то її можна представити у виді (3), де є деяким рішенням проблеми моментів .

Теорема 2.7.3. Якщо є рішенням сильної повної проблеми моментів , то функція виду (3) є функцією класу Неванлінни–Піка і допускає асимптотичні розкладання (4) при усіх , .

Обернено, якщо функція класу допускає асимптотичні розкладання (4) при усіх , , то її можна представити у виді (3), де є деяким рішенням проблеми моментів .

У розділі 3 вивчаються об'єкти, що супроводжують сильну проблему моментів: ортогональні поліноми Лорана, матриці Якобі–Лорана, двоточкові раціональні апроксимації, резольвентні матриці і матриці Неванлінни. У цьому і наступному розділі вважається, що виконані умови

та використовуються додаткові позначення:

У пункті 3.1 вводяться поняття ортогональних поліномів Лорана першого і другого роду. Поліноми Лорана першого роду є ортогональними у тому сенсі, що справедливі тотожності

При цьому послідовність побудована так, що лінійна оболонка виду

збігається з простором при усіх . Поліноми Лорана другого роду визначаються формулою

У пункті 3.2 поліноми Лорана явним чином виражаються через моменти .

У пункті 3.3 показано, що і задовольняють деякій системі рекурентних відношень.

Теорема 3.3.1. Ортогональні поліноми Лорана і першого і другого роду задовольняють системі рекурентних відношень:

(5)

з початковими умовами

де , а — деякі матриці розміру , причому . Коефіцієнти однозначно визначаються по послідовності моментів .

З коефіцієнтів можна скласти нескінченну матрицю виду

Ця матриця називається матрицею Якобі–Лорана для сильної проблеми моментів .

У пункті 3.4 знаходяться необхідні та достатні умови того, що деякий набір матриць є утвореним з коефіцієнтів відношень (5) для деякої сильної проблеми моментів .

Теорема 3.4.1. Коефіцієнти рекурентних відношень (5) задовольняють наступним умовам:

(i) існують та коректно визначені матриці

(ii) справедливі нерівності

(iii) матриці є ермітовими та справедливі тотожності

Теорема 3.4.2. Нехай задані послідовності матриць , , , що задовольняють умовам (1)–(3) Теореми 3.4.1. Тоді існує і є єдиною послідовність моментів , така, що відповідні поліноми Лорана першого роду задовольняють рекурентним відношенням (5) з заданими коефіцієнтами.

У пункті 3.5 розглядаються двоточкові раціональні апроксимації формальних степеневих рядів

та досліджується їх збіжність.

Функція виду

де і є матричними поліномами порядку формального ступеня , називається двоточковою матричною -ою діагональною апроксимацією Паде типу , що відповідає парі , якщо виконані умови:

(i) матриці і є невиродженими;

(ii) функція має асимптотичні розкладання:
для , таких, що .

Покладемо

Теорема 3.5.5. Якщо матриця є невиродженою, то двоточкова діагональна апроксимація Паде типу для пари існує та дорівнює .

Якщо матриця є невиродженою, то двоточкова діагональна апроксимація Паде типу для пари існує та дорівнює .

Теорема 3.5.6. Послідовність є передкомпактною у просторі голоморфних функцій у топології рівномірної збіжності на компактних підмножинах і . При цьому будь-яка гранична точка послідовності має вигляд

де є деяким рішенням повної сильної проблеми моментів .

У пункті 3.6 вводяться так звані резольвентні матриці

та матриці Неванлінни

що відповідають сильній зрізаній проблемі моментів.

Отримано формули

де

(6)

які є узагальненням формул Остроградського–Ліувілля та Крістоффеля–Дарбу на випадок сильної матричної проблеми моментів.

У цьому розділі також знаходиться факторизація матриць і на елементарні множники.

Теорема 3.6.4. Справедлива репрезентація

де

Теорема 3.6.5. Справедлива репрезентація

де

У пункті 3.7 показано, що індекси дефекту оператора задовольняють тотожності

Якщо має максимальні індекси дефекту , то проблема моментів називається цілком невизначеною.

Теорема 3.7.3. Наступні умови є еквівалентними:

(i) сильна повна проблема моментів є цілком невизначеною;

(ii) існує точка , у якій збігається ряд (7)

(iii) існує точка , у якій збігається ряд (8)

(iv) існує точка , у якій збігаються ряди (7) і (8);

(v) при усіх збігаються ряди (7) і (8).

Якщо проблема моментів є цілком невизначеною, то існує гранична матриця Неванлінни, що відповідає сильній повній проблемі моментів,

яка є аналітичною у по першому аргументу і має мінімальний експоненціальний тип у своїх особливих точках.

У розділі 4 застосовується теорія репрезентацій симетричних операторів М. Г. Крейна і методи теорії просторів граничних значень до опису рішень сильної повної та зрізаної проблеми моментів у вигляді формули Неванлінни. Основні результати розділу викладені у пунктах 4.2 і 4.3.

Теорема 4.2.1. Нехай сильна повна проблема моментів є цілком невизначеною. Тоді існує взаємно однозначна відповідність між множиною рішень проблеми моментів і множиною функцій класу . Ця відповідність описується формулою

(9)

де — блочні елементи граничної матриці Неванлінни при деякому фіксованому .

Теорема 4.3.1. Формула виду (9) встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною рішень сильної зрізаної проблеми моментів і множиною функцій класу , що задовольняють умовам

Тут, — блочні елементи резольвентної матриці , а — функція, що визначена формулою

Будемо говорити, що матричнозначна, голоморфна в функція порядку належить до узагальненого класу Картрайт , якщо має скінченний експоненціальний тип у своїх особливих точках:

та задовольняє умові Картрайт:

Зафіксуємо деяку матрицю порядку , що задовольняє умові

Матричнозначна, голоморфна в функція порядку , що має майже всюди недотичну границю на , називається -внутрішньою, якщо при усіх вона задовольняє умові

та при майже усіх справедлива тотожність

Нехай матриця порядку голоморфна у . Якщо є -внутрішньою матрицею, де має вид (6), то називається матрицею Неванлінни.

У пункті 4.4 вивчаються функції класу і доведено, що кожна -внутрішня матричнозначна функція, яка голоморфна у , належить до узагальненого класу Картрайт. Зокрема, гранична матриця Неванлінни , що відповідає сильній повній проблемі моментів, належить до класу .

Можна цілком описати клас елементів матриць Неванлінни, які голоморфні у , у випадку .

Будемо говорити, що голоморфна в функція належить до узагальненого класу Крейна , якщо є дійсною функцією, має тільки дійсні та прості нулі і допускає абсолютно збіжне розкладання

де — це усі нулі , , і

Теорема 4.4.3. Клас функцій збігається з класом елементів матриць Неванлінни порядку , що голоморфні в .

У пункті 4.5 розглянуто приклад, у якому описано рішення сильної проблеми моментів, що задається періодичною матрицею Якобі–Лорана

ВИСНОВКИ

У дисертації розглядається сильна матрична проблема моментів Гамбургера з точки зору спектральної теорії операторів. Вивчаються повний та зрізаний варіанти задачі.

У роботі знайдено критерій розв'язності сильної проблеми моментів. Побудовано операторну модель задачі: по даним задачі сконструйовано модельний гільбертів простір і модельний симетричний оператор. Рішення проблеми моментів описано у термінах самоспряжених розширень модельного симетричного оператора, що дозволяє встановити критерій єдиності розв'язку задачі.

По даним задачі побудовано ортогональні матричні поліноми Лорана першого і другого роду та супутні об'єкти: трьох/п'ятичленні рекурентні співвідношення, матрицю Якобі–Лорана і матрицю Неванлінни. Знайдено аналоги класичних формул для ортогональних поліномів. Описано усі матриці Якобі–Лорана, які відповідають сильній проблемі моментів. Знайдено факторизацію та описано властивості граничної матриці Неванлінни.

Розглянуто двоточкові раціональні апроксимації, які відповідають сильній зрізаній проблемі моментів та описано їх збіжність.

У термінах ортогональних поліномів Лорана першого і другого роду сформульовано критерії визначеності і цілком невизначеності сильної повної проблеми моментів.

Для сильної зрізаної проблеми моментів і сильної повної проблеми моментів у цілком невизначеному випадку отримано формули типу Неванлінни для опису усіх рішень задачі.

Теоретичні побудови проілюстровано на конкретному прикладі.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Симонов К К. Функции класса Картрайт с конечным числом особенностей // Труды ИПММ НАН Украины. — 2003. — Т. 8. — С. 120–127.

[2] Симонов К. К. Ортогональные матричные полиномы Лорана // Матем. заметки. — 2006. — Т. 79, № 2. — С. 316–320.

[3] Симонов К. К. Ортогональные матричные полиномы Лорана на вещественной оси // Украинский Математический Вестник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 275–299.

[4] Симонов К. К. Рациональные аппроксимации и сильная матричная проблема моментов // Украинский Математический Вестник. — 2007. — Т. 4, № 2. — С. 235–264.

[5] Simonov K. K. Strong Hamburger moment problem // Ученые записки Таврического Национального Университета. — 2002. — Т. 15, № 1. — С. 36–38.

[6] Simonov K. K. Strong matrix moment problem of Hamburger // Methods of Functional Analysis and Topology. — 2006. — Vol. , no. 2. — Pp. 183–196.

[7] Simonov K. K. Strong truncated matrix moment problem of Hamburger // Sarajevo Journal of Mathematics. — 2006. — Vol. 2, no. 2. — Pp. 181–204.

АНОТАЦІЯ

Сімонов К. К. Операторний підхід до сильної проблеми моментів Гамбургера. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 — математичний аналіз, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк, 2008.

Сильна матрична проблема моментів Гамбургера полягає у наступному: задана послідовність ермітових матриць , треба знайти матричну міру , яка задовольняє тотожностям при всіх цілих . У дисертації досліджується ця задача за допомогою методів спектральної теорії симетричних операторів.

Сильну проблему моментів зведено до задачі опису самоспряжених розширень модельного симетричного оператора у гільбертовому просторі. Класичні об'єкти проблеми моментів: ортогональні поліноми, якобієву матрицю, матрицю Неванлінни, перенесено на випадок сильної проблеми моментів. Теорія репрезентацій симетричних операторів і метод просторів граничних значень застосовується для опису всіх рішень задачі у виді формули Неванлінни у цілком невизначеному випадку та для випадку зрізаної сильної проблеми моментів.

Ключові слова: сильна проблема моментів, розширення симетричних операторів, ортогональні поліноми Лорана, якобієва матриця, матриця Неванлінни, простори граничних значень.

АННОТАЦИЯ

Симонов К. К. Операторный подход к сильной проблеме моментов Гамбургера. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 — математический анализ. — Институт прикладной математики и механики НАН Украины, г. Донецк, 2008.

Матричная проблема моментов Гамбургера — это задача, в которой по заданной последовательности эрмитовых матриц требуется найти матричную меру удовлетворяющую тождествам . Проблема моментов называется сильной, если индексы принимают как неотрицательные, так и отрицательные значения. В диссертации изучается полный и усеченный варианты сильной матричной проблемы моментов Гамбургера с помощью методов спектральной теории симметрических операторов.

Сильной проблеме моментов ставится в соответствие некоторый модельный симметрический оператор в гильбертовом пространстве и устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех решений задачи и множеством обобщенных резольвент модельного оператора. Это позволяет получить условия единственности и определенности для сильной проблемы моментов как в полном, так и в усеченном случае.

Описаны объекты, сопутствующие сильной проблеме моментов: ортогональные матричные полиномы Лорана первого и второго рода, рекуррентные соотношения, блочная матрица Якоби–Лорана, формулы типа Остроградского–Лиувилля и Кристоффеля–Дарбу, двухточечные рациональные аппроксимации, резольвентные матрицы и матрицы Неванлинны. Получено обобщение теоремы Фавара для матриц Якоби–Лорана. Описана сходимость двухточечных рациональных аппроксимаций соответствующих решению сильной усеченной проблемы моментов. Описана факторизация резольвентных матриц сильной проблемы моментов. Найдены условия сходимости предельной матрицы Неванлинны и доказано, что она имеет минимальный экспоненциальный тип в своих особых точках.

Теория представлений симметрических операторов и методы теории пространств граничных значений применяются для описания всех решений сильной усеченной проблемы моментов, а также всех решений сильной полной проблемы моментов во вполне неопределенном случае, в виде формулы типа Неванлинны.

Ключевые слова: сильная проблема моментов, расширения симметрических операторов, ортогональные полиномы Лорана, якобиева матрица, матрица Неванлинны, пространства граничных значений.

Abstract

Simonov K. K. Operator approach to the strong Hamburger moment problem. — Manuscript.

Dissertation for the degree of the Candidate of Physical and Mathematical Sciences on speciality 01.01.01 — Mathematical Analysis. — Institute of applied mathematics and mechanics, National academy of sciences of Ukraine, Donetsk, 2008.

The strong matrix moment problem of Hamburger consists in the following: Given a sequence of Hermitian matrices , find a matrix measure satisfying the equalities for all entire indices . In the dissertation, this problem is investigated from the viewpoint of the spectral theory of symmetric operators.

The strong moment problem is reduced to the problem of finding self-adjoint extensions of a model symmetric operator in a Hilbert space. The classical objects of the moment problem such as orthogonal polynomials of the first and the second kind, the Jacobi matrix and the Nevanlinna matrix, are extended to the case of the strong moment problem. The theory of representations of symmetric operators and the methods of boundary value spaces are applied for describing all the solutions in the form of a Nevanlinna-type transform both in the completely indeterminate case and in the case of the strong truncated moment problem.

Keywords: strong moment problem, extensions of symmetric operators, orthogonal Laurent polynomials, Jacobi matrix, Nevanlinna matrix, boundary value spaces.