НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ імені С.П. ТИМОШЕНКА

СИМЧУК ЯРОСЛАВ ВІКТОРОВИЧ

УДК 539.3+534.2

Особливості поширення циліндричних хвиль

в гіперпружних матеріалах

з внутрішньою структурою

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2008

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті механіки імені С.П. Тимошенка НАН України

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор
Рущицький Ярема Ярославович,

Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України,

завідувач відділу реології

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Селезов Ігор Тимофійович,

Інститут гідромеханіки НАН України,

завідувач відділу гідродинамічних процесів

кандидат фізико-математичних наук,

Коваленко Анатолій Петрович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України,

старший науковий співробітник відділу динаміки поліагрегатних систем

Захист відбудеться “ 26 ” лютого 2008 р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Ін-ституті механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057 м. Київ, вул. Нестерова, 3

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки
ім. С.П.Тимошенка НАН України

Автореферат розісланий “ 21 ” січня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор фізико-математичних наук О.П. Жук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Робота присвячена розвитку теорії поширення циліндричних хвиль в пружно нелінійних матеріалах (нелінійних пружних середовищах), отриманню розв’язків нелінійних хвильових рівнянь у циліндричних координатах, порівнянню з відповідними розв’язками для плоских хвиль та, як результат, побудові аналогій між плоскими та циліндричними пружними хвилями. Дисертаційна робота складається з двох частин: аналітичного дослідження і числового моделювання. Оскільки числове моделювання проводилося для волокнистих композитних матеріалів з внутрішньою структурою мікро та нанорівня, то цей факт відображений у назві дисертації словами “матеріали з внутрішньою структурою”.

Актуальність теми. Дисертаційна робота стосується двох сучасних наукових теорій: нелінійної теорії хвиль та теорії композитних матеріалів, що активно розвиваються і становлять важливу складову сучасної механіки – і являє собою продовження досліджень, що проводились в Інституті механіки ім. С. П. Тимошенка.

Дослідження хвиль, у тому числі і циліндричних, відноситься, головним чином, до тих проблем сучасної механіки, коли досліджуються конструкції, де основним навантаженням є динамічне. Гармонічні хвилі в матеріалах вивчаються, починаючи з початку ХІХ сторіччя. Класична лінійна теорія пружних хвиль була практично сформована у той самий час.

Задача про еволюцію хвиль є однією з основних у нелінійній теорії хвиль, цій проблемі присвячена велика кількість робіт декількох поколінь вчених. Еволюція в більшості випадків розуміється як повільна, поступова зміна. Частіше за все цікавляться зміною профіля хвилі, і така зміна описується за допомогою деякої нелінійності. У твердих тілах нелінійність враховується, головним чином, за допомогою моделей двох типів: 1. моделей, що описують гармонічні хвилі (навіть лінійні), коли дисперсійне співвідношення, що закладається в модель для цих хвиль, суттєво нелінійне; 2. класично нелінійних моделей твердого тіла, коли є нелінійними геометричні та визначальні співвідношення, і хвилі не обов’язково гармонічні. Як свідчать основні монографії, у неоднорідному твердому тілі спотворюються практично всі типи хвиль.

Механіка композитних матеріалів почала розвиватися як окремий науковий напрямок у другій половині двадцятого сторіччя. Суттєвий внесок у розвиток сучасних теорій композитних матеріалів внесли вчені Інституту механіки у Києві: Гузь О.М., Хорошун Л.П., Шевченко Ю.М., Григоренко Я.М., Шульга М.О.,
Бабич І.Ю., Ванін Г.А., Камінський А.О., Коханенко Ю.В., Маслов Б.П. та інші.

В даній роботі композитний матеріал (матеріал з мікроструктурою) описується як класичною мікроструктурною теорією ефективних модулів, згідно з якою вільні (біжучі) хвилі поширюються без спотворень, так і некласичною мікроструктурною моделлю двофазної пружної суміші, для якої у випадку класичних вільних гармонічних хвиль характерне явище дисперсії, тобто, в суміші фазові швидкості цих хвиль нелінійно залежать від частоти або від довжини хвилі.

Проведені у дисертаційній роботі дослідження нелінійних циліндричних хвиль відносяться до того напрямку вивчення нелінійних хвиль у матеріалах, який був започаткований у 60-х роках минулого століття вченими, що працювали у області нелінійної акустики – Ґольдберґом, Гедройтц, Красильниковим, Джонсом, Кобеттом та іншими. Їх особливістю і також особливістю подальших досліджень у вказаному напрямку було те, що вивчалися і вивчаються далі лише плоскі хвилі. Оскільки напрямок не досяг закінченого вигляду, тут вивчаються різні моделі і різні наближення, то дослідження циліндричних хвиль в матеріалах з мікроструктурою є ще недослідженим фрагментом і тому у даному підході є актуальним з точки зору розвитку теорії хвиль в матеріалах.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відповідності до наукових планів досліджень відділу реології Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України. Отримані результати передбачені наступними темами відділу: 1. „Аналіз еволюції плоских та циліндричних хвиль в композитних волокнистих гіперпружних квадратично нелінійних мікро та наноматеріалах”. (1.3.1.459, 2005 – 2007). 2. “Поширення кубічно нелінійних пружних плоских хвиль в композитних гранульованих і волокнистих матеріалах мікро та наноструктури” (1.3.1. 477, 2007 – 2009).

Мета і завдання дослідження. Мета роботи включає: постановку та розв’язування задач про розповсюдження циліндричних хвиль у гіперпружних матеріалах; отримання розв’язків нелінійних хвильових рівнянь у циліндричних координатах; комп’ютерне моделювання еволюції профілів циліндричних хвиль у пружно нелінійних композитних матеріалах.

Задачі наукового дослідження. Для досягнення зазначеної мети виявилося необхідним виконати такі дослідження:

1) теоретичний аналіз циліндричних хвиль у квадратично та кубічно пружно нелінійних матеріалах, що включає отримання відповідних нелінійних хвильових рівнянь для різних представлень нелінійного пружного потенціалу;

2) отримання нелінійних хвильових рівнянь, що описують поширення та взаємодію циліндричних гіперпружних хвиль стосовно структурної теорії композитних матеріалів, основаної на моделі суміші двох пружних компонентів;

3) отримання нових наближених розв’язків на основі функцій Ханкеля для радіальних поздовжних циліндричних хвиль та на основі функцій Бесселя для крутильних циліндричних хвиль і обґрунтування коректності таких розв’язків;

4) вивчення крутильних циліндричних хвиль не тільки для випадку ізотропного матеріалу, але і для випадку трансверсально-ізотропних матеріалів;

5) проведення комп’ютерного моделювання еволюції вказаних вище трьох типів циліндричних хвиль та аналізу одержаних результатів, що включає побудову різних сценаріїв розвитку еволюції та порівняння результатів “плоска хвиля – циліндрична хвиля”, ”циліндрична хвиля – циліндрична хвиля”, отриманих для потенціалів Мурнаґана та Сіньйоріні.

Об’єктом наукового дослідження є гіперпружні циліндричні хвилі, що поширюються в композитному матеріалі.

Предметом наукового дослідження є вплив циліндричної форми профіля хвилі на закономірності її поширення у пружно нелінійному композитному матеріалі.

Методи дослідження. Для досягнення поставленої мети застосовувалися методи нелінійної механіки суцільного середовища і метод послідовних наближень розв’язування нелінійних хвильових рівнянь. Комп’ютерне моделювання було проведено за допомогою інтерактивного пакету „Mathematica 5.1”.

Наукова новизна одержаних результатів. Наукова новизна полягає у тому, що вперше розв’язано задачу про розповсюдження радіальних поздовжних та крутильних циліндричних хвиль у квадратично та кубічно нелінійних пружних матеріалах, для чого було побудовано нові нелінійні хвильові рівняння і проведено їх аналіз; побудовано нові наближені аналітичні розв’язки у вигляді ”гармонічних” хвиль і обґрунтовано коректність таких розв’язків. Проведено комп’ютерне моделювання еволюції радіальних поздовжних циліндричних хвиль та крутильних циліндричних хвиль для ізотропних та трансверсально-ізотропних матеріалів. Вперше спостережено, що класичний ефект затухання амплітуди, що спричинений циліндричністю профіля хвилі і є характерним для лінійних хвиль, супроводжується теж класичним ефектом зростання амплітуди внаслідок нелінійності середовища поширення хвилі. В результаті амплітуда хвилі зростає.

Новим елементом у роботі є побудова сценаріїв еволюції профілів циліндричних хвиль у залежності від параметрів початкової форми профіля та характерних розмірів матеріалу. Такі сценарії раніше будувалися для плоских хвиль, де виявилося, що квадратична та кубічна нелінійності суттєво по-різному формують еволюцію профіля хвилі. Аналогічне явище спостережено і для циліндричних хвиль.

Достовірність результатів, які наведено в дисертації, забезпечується: використанням апробованої моделі; коректністю постановки задач; обґрунтованістю математичного апарату, який використовується; взаємною погодженістю результатів та несуперечливістю між собою встановлених закономірностей з загально відомими твердженнями щодо фізичної природи хвиль.

Практичне значення одержаних результатів. Розв’язки нових динамічних задач теорії циліндричних хвиль у композитних матеріалах, одержані у роботі, можуть бути застосовані для дослідження прикладних технічних задач щодо розповсюдження хвиль у композитних матеріалах при ударних, вибухових та інших локально зосереджених силових імпульсах, коли нелінійність процесу деформування виявляється досить суттєво. Практичне значення мають також встановлені в роботі сценарії еволюції профілів циліндричних хвиль.

Особистий внесок здобувача. Представлені до захисту результати були отримані дисертантом особисто. В опублікованих у співавторстві наукових роботах внесок дисертанта такий:

у роботі, написаній у співавторстві з науковим керівником Я.Я. Рущицьким [1], був отриманий аналітичний розв’язок у вигляді “гармонічної” хвилі;

у роботі [4] був отриманий розв’язок з урахуванням більш точних апроксимацій функції Ханкеля та проведено порівняння різних наближень;

в роботах [6, 7] було отримано нелінійні хвильові рівняння, знайдено їх розв’язки та проведено комп’ютерне моделювання еволюції циліндричної крутильної хвилі.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на семінарах відділу реології Інституту механіки НАН України (2004-2007); науковому семінарі за напрямком “Механіка композитних та неоднорідних середовищ” при Інституті механіки НАН України (2007); науковому семінарі з теорії хвиль Інституту гідромеханіки НАНУ (2007); науковому семінарі з механіки кафедри механіки суцільних середовищ механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2007). Важливі результати з дисертації доповідалися на 11-й Всеукраїнській науковій конференції ”Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (2004, Львів); 10-й та 11-й міжнародних конференціях з математики пам’яті академіка М. Кравчука (2004, 2006, Київ); міжнародних конференціях “Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation” (2005, 2007, Київ); міжнародній конференції GAMM (2006, Берлін); міжнародній конференції Bogolubov readings 2007 Dedicated to Yu. A. Mitropolskii on the occasion of his 90th birthday (2007, Житомир).

Публікації. За темою дисертаційної роботи опубліковано 14 наукових праць, у тому числі 5 статтей у фахових журналах і збірниках [1, 2, 3, 4, 5], які входять до переліку ВАК України, а також 9 робіт у збірниках матеріалів і праць конгресів та конференцій.

Структура й обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел з 124 найменувань. Робота включає 162 сторінки основного тексту, 24 рисунки, 5 таблиць, усього –
172 сторінки.

Автор висловлює щиру вдячність науковому керівникові доктору фізико-математичних наук, професору Рущицькому Яремі Ярославовичу за постановку задачі, постійне наукове керівництво та увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі розкрито сутність і стан наукової проблеми, обґрунтовано важливість і актуальність теми дисертації, викладено мету роботи та сформульовано основні положення, що виносяться на захист, практичне значення та наукову новизну результатів дисертаційної роботи.

Наводяться дані щодо апробації та структури роботи.

У першому розділі виконано огляд сучасного стану проблеми поширення хвиль у твердих тілах з використанням інформаційних систем Google i ScienceDirect, окреслено етапи розвитку теорії хвиль у композитних матеріалах, а також місце даної роботи серед проведених раніше досліджень і обґрунтовано вибір напрямку дослідження. Викладено основні положення з застосованих у дисертації теорії композитних матеріалів, теорії гіперпружних матеріалів, теорії нелінійних плоских хвиль в матеріалах з мікроструктурою, теорії двофазної пружної суміші.

Спочатку викладаються відомості з основних моделей і теорій, що враховують мікроструктуру. Описуються особливості введення матеріального континуума для композитних матеріалів і основні положення кінематичної картини деформування пружного середовища. Вводиться означення початкової та актуальної конфігурації пружного середовища та пов’язаних з ними тензорів деформацій Альманзі та Коші-Гріна. Наводяться основні властивості цих тензорів. В четвертому параграфі перераховані і описані основні потенціали для стисливих і нестисливих середовищ. Основна увага акцентується на пружних потенціалах Мернаґана та Сіньйоріні, оскільки вони є основними в подальших дослідженнях. Проведено історичний огляд аналізу плоских хвиль з використанням потенціалу Мернаґана, починаючи від піонерських робіт Ґольдберґа та Кобетта, Джонса. Записані квадратично та кубічно нелінійні хвильові рівняння для плоских хвиль, описані особливості еволюції поздовжньо та поперечно поляризованих плоских хвиль.

У другому розділі детально описана процедура побудови нелінійних хвильових рівнянь в циліндричних координатах. Отримані хвильові рівняння для чотирьох основних конфігурацій пружного середовища: конфігурації I, яка залежить від координат і не залежить від координати ; конфігурації II, залежної від координат і не залежної від координати , конфігурації з віссю симетрії ; конфігурації III, залежної тільки від кутової координати з віссю симетрії ; конфігурації IV, залежної тільки від координати з віссю симетрії .

Для кожної конфігурації пружного середовища обчислені компоненти тензора деформацій Коші-Гріна за допомогою коваріантного диференціювання ко- і контраваріантних компонент вектора переміщень.

При цьому враховані значення символів Крістоффеля для циліндричної системи координатю

Базуючись на загальних нелінійних рівняннях руху та формулах, що дозволяють отримати більш зручну форму запису, записано нелінійні хвильові рівняння, що описують поширення та взаємодію циліндричних гіперпружних хвиль.

Конфігурація I. Третє рівняння системи вироджується в тотожність, а перших два набувають вигляду

Конфігурація II. Друге рівняння системи вироджується в тотожність, а перше і третє мають вигляд

КонфігураціяIII. Третє рівняння системи вироджується в тотожність, а перше і друге мають вигляд

КонфігураціяIV. Два останніх з трьох рівнянь рівноваги перетворюються на тотожності, а перше має вигляд

.

При умові, що деформування гіперпружного середовища описується потенціалом Мернаґана

,

та з урахуванням визначальних співвідношень , можна записати нелінійні рівняння руху через компоненти вектора переміщень, що дає можливість будувати розв’язки цих рівнянь та проводити числове моделювання поширення хвиль. При цьому можливі 4 варіанти врахування геометричної та фізичної нелінійностей:

Варіант 1. Використання в нелінійних визначальних співвідношеннях лінійного тензора деформацій Коші-Ґріна і нехтування нелінійними правими частинами (внаслідок чого нелінійність буде чисто фізичною).

Варіант 2. Використання в нелінійних визначальних співвідношеннях нелінійного тензора деформацій Коші-Ґріна і нехтування нелінійними правими частинами (внаслідок чого нелінійність буде не чисто фізичною).

Варіант 3. Використання в нелінійних визначальних співвідношеннях нелінійного тензора деформацій Коші-Ґріна і врахування нелінійних правих частин (внаслідок чого всі нелінійності будуть враховані).

Варіант 4. Використання лінійних визначальних співвідношень, нелінійного тензора деформацій Коші-Ґріна і врахування нелінійних правих частин (внаслідок чого нелінійність буде чисто геометричною).

Для кожної конфігурації пружного середовища записані нелінійні рівняння руху для різних варіантів врахування геометричної та фізичної нелінійностей. При цьому враховано формули зв’язку між коваріантними, контраваріантними та фізичними координатами.

Конфігурація I.

Варіант 2 (врахована фізична і частково геометрична нелінійності)

.

Конфігурація II.

Варіант 4 (врахована геометрична нелінійність)

.

КонфігураціяIII.

Варіант 2 (врахована фізична і частково геометрична нелінійності)

.

КонфігураціяIV.

Варіант 1 (врахована лише фізична нелінійність).

.

Варіант 2 (врахована фізична і частково геометрична нелінійності)

.

Варіант 3 (врахована фізична і геометрична нелінійності)

.

Варіант 4 (врахована геометрична нелінійність)

.

Для випадку, коли деформування пружного середовища описується потенціалом Сіньйоріні отримано хвильове рівняння для конфігурації IV

.

В усіх записаних рівняннях – сталі Ляме, – сталі Мернаґана,
– стала Сіньйоріні.

У третьому розділі побудовано розв’язки нелінійних хвильових рівнянь, отриманих в другому розділі, записаних через компоненти вектора зміщень. Було застосовано метод послідовних наближень. Для радіальних циліндричних хвиль (конфігурація IV) побудовано розв’язки на основі квадратичної та кубічної апроксимацій функції Ханкеля в рамках двох наближень . Перше наближення є розв’язком лінійного рівняння

і має вигляд .

Друге наближення знайдене як розв’язок лінійного рівняння

з відомою правою частиною

,

Де – сталі Ляме, – сталі Мернаґана.

Розв’язок, отриманий на основі квадратичної апроксимації функції Ханкеля має вигляд

.

Розв’язок, отриманий на основі кубічної апроксимації функції Ханкеля має вигляд

Проведене порівняння отриманих розв’язків, яке дозволяє зробити висновок, що при аналізі нелінійних радіальних циліндричних хвиль достатньою є квадратична апроксимація функції Ханкеля за умови, що хвиля досліджується не на початковому етапі еволюції.

Для крутильних циліндричних хвиль (конфігурація III) побудовано розв’язки нелінійних хвильових рівнянь на основі апроксимацій функції Бесселя.

Перше наближення вибране як класичний лінійний розв’язок рівняння

,

для циліндричної крутильної хвилі з нульовою правою частиною

.

Друге наближення знайдене як розв’язок рівняння з відомою правою частиною.

З урахуванням першого і другого наближень, розв’язок має вигляд

.

У четвертому розділі проведене числове моделювання еволюції циліндричних хвиль. Наведені таблиці механічних сталих для волокнистих композитів з епоксидною матрицею та графітовими волокнами та для гранульованих композитів. Для волокнистих композитів всі типи волокон виготовлені з вуглецю і матеріал матриці – епоксидна смола ЕПОН-828 з властивостями: густина кг/м3, модуль Юнга ГПа, модуль зсуву ГПа, коефіцієнт Пуассона . Для гранульованих – матеріал матриці – полістирол з властивостями: густина кг/м3; пружні модулі другого порядку: модуль Юнга , модуль зсуву MПа, коефіцієнт Пуассона ; пружні модулі третього порядку (сталі Мернаґана) MПа, MПа, MПа. Гранули виготовлені зі сталі з властивостями: густина кг/м3; пружні модулі другого порядку: модуль Юнга , модуль зсуву MПа, коефіцієнт Пуассона ; пружні модулі третього порядку (сталі Мернаґана) MПа, MПа, MПа.

На основі комп’ютерного аналізу проведене порівняння плоских та циліндричних хвиль та побудовано сценарії еволюції профілів циліндричних хвиль у залежності від параметрів початкової форми профіля та характерних розмірів матеріалу.

Для радіальних циліндричних хвиль побудовано тривимірні представлення профілю хвилі (рис.1). Вісь абсцис відповідає часу, вісь ординат – просторовій координаті, вісь аплікат – амплітуді хвилі. На цих графіках видно, що в результаті еволюції перша “гармоніка” перетворюється в другу ”гармоніку”.

Рис. 1

Більш наглядно поширення радіальної циліндричної хвилі показано на рис. 2.

Рис. 2

Для різних значень початкової амплітуди зображено тривимірний графік еволюції хвилі, яка поширюється в радіальному напрямку від циліндричної порожнини.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі реалізовано основану на строгому підході нелінійної механіки континуума процедуру побудови нелінійних хвильових рівнянь, що описують поширення та взаємодію циліндричних гіперпружних хвиль. Нелінійність вводиться метричними коефіцієнтами, тензором деформацій Коші-Гріна та потенціалом Мернагана і відповідає квадратичній нелінійності всіх основних співвідношень. Розглядаються чотири варіанти врахування фізичної та геометричної нелінійностей в хвильових рівняннях. Для різних варіантів врахування фізичної та геометричної нелінійностей та для всіх чотирьох конфігурацій пружного середовища побудовано нелінійні хвильові рівняння через компоненти вектора переміщень, що дає можливість будувати розв’язки цих рівнянь та проводити числове моделювання поширення хвиль.

Для моделі Сіньйоріні гіперпружного середовища реалізовано принципову схему виведення нелінійних хвильових рівнянь, що описують поширення і взаємодію циліндричних хвиль. Для конфігурації IV, залежної тільки від координати , побудовано нелінійне хвильове рівняння через компоненти вектора переміщень в рамках кубічної нелінійності. Отримане рівняння дозволяє провести числове моделювання поширення циліндричної хвилі методами, що застосовувалися при аналізі хвиль в більш вивченій моделі Мернаґана. Це дає змогу провести порівняльний аналіз поширення циліндричних хвиль при використанні двох різних моделей гіперпружного середовища – моделі Сіньйоріні та моделі Мернаґана.

Показана процедура запису нелінійних хвильових рівнянь в циліндричних (ортогональних) координатах стосовно структурної теорії композитних матеріалів, основаної на моделі суміші двох пружних компонентів.

Методом послідовних наближень знайдено наближені розв’язки нелінійних хвильових рівнянь на основі різних апроксимацій функції Ханкеля для радіальних циліндричних хвиль і проведене порівняння розв’язків для квадратичної та кубічної апроксимації. Для крутильних циліндричних хвиль побудовано розв’язки на основі функції Бесселя для ізотропних та трансверсально – ізотропних матеріалів.

Записано таблиці механічних сталих для волокнистих та гранульованих композитів.

Проведене комп’ютерне моделювання поширення гіперпружних циліндричних хвиль, що включає побудову двовимірних та тривимірних графіків, що описують еволюцію радіальних та крутильних циліндричних хвиль.

На основі комп’ютерного аналізу поширення циліндричних хвиль побудовано сценарії волюції профілів у залежності від параметрів початкової форми профіля та характерних розмірів матеріалу. Для плоскої поздовжньої хвилі основні етапи сценарію:

Етап 1. Початковий профіль залишається зовні косинусоїдним, але графік нахиляється донизу під сталим кутом – максимальне додатне значення зменшується і максимальне від’ємне значення збільшується.

Етап 2. Вершина косинусоїди опускається і замість вершини утворюється плато, далі плато опускається ще і його середня частина опускається швидше, так що профіль з одногорбого стає двогорбим, частота повторення двогорбого профілю залишається тією ж, що і в початковому профілі. Починаючи з цього етапу, амплітуда зростає.

Етап 3. При збереженні попередньої частоти профіль формується більш чітко двогорбим зі збільшенням впадини до її дотику з віссю абсцис.

Етап 4. Впадина росте в сторону від’ємних значень і профіль стає схожим на косинусоїдальний з подвоєною частотою початкового профілю, тобто його другої гармоніки, але з нерівними амплітудами розмаху – відповідна впадині амплітуда дещо менша.

Етап 5. Остаточний розвиток еволюції приводить до профілю другої гармоніки – перша гармоніка перетворюється в другу.

Для циліндричної хвилі:

Етап 1. Висхідна (знизу вгору) гілка графіка періодично затухаючих коливань з кожним новим циклом коливань все більше нахиляється до осі абсцис. Низхідна гілка практично незмінна.

Етап 2. Навколо точки перетину гілки, що нахиляється, утворюється ніби плато, яке надалі трансформується в синусоїду з малою і повільно зростаючою з ростом циклів амплітудою. Одночасно основна висхідна гілка стає все більше симетричною до низхідної, разом вони утворюють один новий цикл коливань, який наближається до циклу з подвійною початковою частотою.

Етап 3. Новий цикл коливань з малою амплітудою поступово збільшує амплітуду з ростом циклів до величини, порівняної з амплітудою основного нового циклу. При цьому частота малого циклу коливань також прямує до подвоєної початкової частоти.

Етап 4. Новий основний і малий цикли коливань асимптотично зближуються за частотою і амплітудою, показуючи перетворення початкової першої “гармоніки” в її другу “гармоніку” з тими зауваженнями, що обидві гармоніки не є гармоніками в класичному розумінні. Цей етап характерний зупинкою у спаданні амплітуди і поступовим її зростанням. Хвиля із затухаючої перетворюється в хвилю, яка накопичує енергію.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Рущицький Я.Я., Симчук Я.В. Квадратично нелінійне хвильове рівняння для циліндричних гіперпружних осесиметричних хвиль, що поширюються в радіальному напрямку // Доповіді НАН України. – 2005, №10. – С. 45-52.

2. Рущицький Я.Я., Симчук Я.В. Теоретичний та числовий аналіз квадратично нелінійних циліндричних осесиметричних хвиль, що поширюються в композитах мікро і нанорівня // Доповіді НАН України. – 2006, № 3. – С. 54-62.

3. Rushchitsky J., Cattani C., Symchuk J. Evolution of the initial profile of hyperelastic cylindrical waves in fibrous nanocomposites // Збірник праць Ін-ту математики НАН України, 2006. – 3. – № . – С. 63-69.

4. Рущицкий Я.Я., Симчук Я.В. О высших приближениях при анализе нелинейных цилиндрических волн в гиперупругой среде // Прикл. механика. – 2007. – 43, № 4. – С. 36-45.

5. Рущицкий Я.Я., Симчук Я.В. О моделировании цилиндрических волн в нелинейно деформируемых композитных материалах // Прикл. механика. – 2007. – 43, № 6. – С. 63-72.

6. Terletska K.V., Symchuk J.V. Application of Wavelet-Frames to Modeling Evolution of Solitary Waves in Composites.// Book of Abstracts of X International Scientific Kravchuk Conference. – Kyiv, 2004. – P. .

7. Terletska K.V., Symchuk J.V. Modeling of Solitary Impulses in a Composite Material Using Wavelet Analysis // Book of Abstracts of Conference Modern Problems of Mathematics and Informatics. – Lviv, 2004. – .

8. Symchuk J., Cattani C., Rushchitsky J. To Nonlinear Modelling the Cylindrical Waves in Fibrous Nanocomposites // Thesis of Conference Reports of International Conference on Dynamical System Modelling and Stability Investigation. – Kyiv, 2005. –P. .

9. Cattani C., Rushchitsky J., Symchuk J. Evolution of the Initial Profile of Hyperelastic Cylindrical Waves in Fibrous Nanocomposites // Book of abstracts of International Workshop on Free Boundary Flows and Related Problems of Analysis. –Kyiv, 2005. – P. .

10. Rushchitsky J., Cattani C., Symchuk J. To evolution of the profile of hyperelastic cylindrical waves in fibrous nanocomposites // Abstracts of GAMM 2006. Berlin, 27-31 March, 2006. – P. 374-375.

11. Симчук Я.В., Михальов І.І. Пружні вейвлети та їх застосування до задач про поширення поодиноких хвиль // XXI міжнародна наукова конференція
ім. М. Кравчука. – Київ, 2006. – С. 248.

12. Rushchitsky J., Cattani C., Terletska E., Symchuk J. Elastic wavelets and their application to problems of solitary wave propagation // Rendiconti di Accademia di Messina Comput. 2007

13. Хотенко І.М., Хотенко О.О., Симчук Я.В. Кубічно нелінійні крутильні гіперпружні хвилі в ізотропних циліндрах // Thesis of Conference Reports of International Conference on Dynamical System Modelling and Stability Investigation, Kyiv, 2007. – P. .

14. Хотенко І.М., Хотенко О.О., Симчук Я.В. Квадратично нелінійні крутильні гіперпружні хвилі в ізотропних циліндрах // Book of abstracts of Bogolubov readings 2007 Dedicated to Yu. A. Mitropolskii on the occasion of his 90th birthday, Zhitomir, 2007. – P. 102-103.

АНОТАЦІЯ

Симчук Я.В. Особливості поширення циліндричних хвиль в гіперпружних матеріалах з внутрішньою структурою. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ, 2008.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню поширення циліндричних хвиль в гіперпружних композитних матеріалах. Виведено нелінійні хвильові рівняння для різних представлень пружного потенціалу, що відповідають двом різним мікроструктурним моделям композитних матеріалів – моделі ефективних пружних модулів і моделі двофазної пружної суміші. Отримано наближені розв’язки на основі функцій Ханкеля для радіальних поздовжних циліндричних хвиль та на основі функцій Бесселя для крутильних циліндричних хвиль. Досліджені особливості поширення крутильних циліндричних хвиль також для трансверсально-ізотропних матеріалів. Проведене комп’ютерне моделювання еволюції радіальних циліндричних хвиль і крутильних циліндричних хвиль для випадків ізотропних та трансверсально-ізотропних матеріалів з внутрішньою структурою мікро або нанорівня. На основі результатів цього моделювання побудовано сценарії розвитку еволюції та проведене порівняння результатів для випадків “плоска хвиля – циліндрична хвиля”, ”циліндрична хвиля – циліндрична хвиля”, отриманих для потенціалів Мернаґана та Сіньйоріні.

Ключові слова: нелінійно пружні циліндричні хвилі, композитний матеріал з внутрішньою структурою мікро або нанорівня, потенціал Мернаґана, потенціал Сіньйоріні, комп’ютерне моделювання.

АННОТАЦИЯ

Симчук Я.В. Особенности распространения цилиндрических волн в гиперупругих материалах с внутренней структурой. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2008.

Диссертационная работа посвящена исследованию распространения цилиндрических волн в гиперупругих композитных материалах. В работе реализовано основанную на строгом подходе процедуру построения нелинейных волновых уравнений, которые описывают распространение и взаимодействие цилиндрических гиперупругих волн. Нелинейность вводится метрическими коэффициентами, тензором деформаций Коши-Грина и потенциалом Мэрнагана и соответствует квадратической нелинейности всех основных соотношений. Выведены нелинейные волновые уравнения для разных представлений упругого потенциала, которые соответствуют двум разным микроструктурным моделям композитных материалов – модели эффективных упругих модулей и модели двухфазной упругой смеси. Рассмотрены четыре варианта учета физической и геометрической нелинейностей в волновых уравнениях. Для разных вариантов учета физической и геометрической нелинейностей и для всех четырех конфигураций гиперупругой среды записаны нелинейные волновые уравнения через компоненты вектора перемещений, что дало возможность построить решения этих уравнений и провести численное моделирование распространения волн. Для модели Синьйорини гиперупругой среды реализована принципиальная схема получения нелинейных волновых уравнений, которые описывают распространение и взаимодействие цилиндрических волн. Для конфигурации гиперупругой среды, которая зависит только от координаты , записано нелинейное волновое уравнение через компоненты вектора перемещений в рамках кубической нелинейности. Полученное уравнение позволяет провести численное моделирование распространения цилиндрической волны методами, которые использовались в модели Мэрнагана. Это дало возможность провести сравнительный анализ распространения цилиндрических волн при использовании двух разных моделей гиперупругой среды – модели Синьйорини и модели Мэрнагана. Методом последовательных приближений найдены приближенные решения нелинейных волновых уравнений на основе разных аппроксимаций функции Ханкеля для радиальных цилиндрических волн и проведено сравнение решений для квадратической и кубической аппроксимаций. Для крутильных цилиндрических волн получены решения на основе функций Бесселя для изотропных и трансверсально – изотропных материалов. Записаны таблицы механических постоянных для волокнистых композитов с эпоксидной матрицей и графитовыми волокнами, а также для гранулированных композитов, в которых материал матрицы – полистирол, а гранулы изготовлены из стали. Проведено компьютерное моделирование эволюции радиальных цилиндрических волн и крутильных цилиндрических волн для случаев изотропных и трансверсально – изотропных материалов с внутренней структурой микро и наноуровня, которое включает построение двумерных и трехмерных графиков, которые описывают эволюцию радиальных и крутильных цилиндрических волн. На основании результатов этого моделирования записаны сценарии развития эволюции и проведено сравнение результатов для случаев “плоская волна – цилиндрическая волна”, “цилиндрическая волна – цилиндрическая волна”, полученных для потенциалов Мэрнагана и Синьйорини.

Ключевые слова: нелинейно упругие цилиндрические волны, композитный материал с внутренней структурой микро и наноуровня, потенциал Мэрнагана, потенциал Синьйорини, компьютерное моделирование.

SUMMARY

Symchuk I.V. Features of the propagation of cylindrical waves in hyperelastic materials with an internal structure. – Manuscript.

Thesis for a Candidate’s degree of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01.02.04 – Mechanics of Solids. – Timoshenko Institute of Mechanics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2008.

The thesis is devoted to studing the propagation of cylindrical waves in hyperelastic composite materials. The nonlinear wave equations are derived for different representations of the elastic potential, which correspond to two distinguishing microstructural models of composite materials – the model of effective elastic moduli and the model of two-phase elastic mixture. The approximate solutions are obtained for the radial cylindrical waves basing on the Hankel functions and for the torsional cylindrical waves basing on the Bessel functions. The features of propagation of the torsional cylindrical waves are studied for the transversally isotropic materials, too. The computer modeling of evolution of both the radial cylindrical waves, and the torsional cylindrical waves is carried out for cases of isotropic and transversely isotropic materials of micro- or nanolevels of the internal structure. On basis of results of modeling, the scenarios of evolution are constructed and the comparison of obtained for Murnaghan and Signorini potentials results is carried out for cases "plane wave – cylindrical wave", "cylindrical wave – cylindrical wave".

Key words: nonlinearly elastic cylindrical waves, composite materials of micro- or nanolevel of the internal structure, Murnaghan potential, Signorini potential, computer modeling.